第五章

(1)

第五章

機率論

(2)

學習目的

1. 定義機率。

應用統計學林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 2006

(3)

學習目的

1. 定義機率。

2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗，實驗結果，事件，樣本空間等。

(4)

學習目的

1. 定義機率。

3. 描述古典的機率理論、客觀的機率理論及主觀的機率理論。

(5)

學習目的

1. 定義機率。

4. 熟習聯合機率、邊際機率及條件機率的定義及其應用。

(6)

學習目的

1. 定義機率。

5. 學習獨立、不獨立與互斥事件間的相互關係。

(7)

學習目的

1. 定義機率。

5. 學習獨立、不獨立與互斥事件間的相互關係。

(8)

本章結構

機率論

隨機實驗

事件機率的定義隨機實驗

的意義隨機實驗的

基本觀念聯合機率

邊際機率機率理論

的種類

條件機率三個機率

理論的比較機率的公理體系

機率理論事件機率事件的性質與事

件機率的運算貝氏定理 Excel 的使用

事件的性質與關連事件機率的

運算法則

J. Cardano P. D. Fermat

(9)

隨機實驗

•

^隨機

隨機是指一個現象事先無法預知是否發生，但在長期多次重複實驗之後，該現象的發生會出現有規則的型態。

(10)

隨機實驗

•

^隨機

隨機是指一個現象事先無法預知是否發生，但在長期多次重複實驗之後，該現象的發生會出現有規則的型態。

•

^{隨機實驗的意義}

隨機實驗是一種過程(process)，是一種不能確定預知會發生何種結果的實驗方式。在實驗前已知所有可能出現的結果，而實驗後的結果為所有可能的結果之一，但實驗前並未能正確的、肯定的預知它是何種結果。隨機實驗可重複進行，而經過長期重複實驗，出現的結果會遵循某一些統計規則。

(11)

隨機實驗

隨機實驗出象樣本空間

產品品質檢驗良品，不良品 S = {良品 , 不良品}

一場足球賽贏，輸，和 S = {贏 , 輸 , 和}

丟一個骰子 1 次 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

新生小孩的性別男性，女性 S = {男性 , 女性}

隨機實驗、出象與樣本空間

(12)

隨機實驗的基本觀念

•

^基本出象

隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象，又稱為樣本點。

(13)

隨機實驗的基本觀念

•

^基本出象

隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象，又稱為樣本點。

•

^樣本空間

一個隨機實驗中，所有可能出象的集合稱為樣本空間。通常以英文大寫字母 S 表示之。

(14)

兩個小孩家庭的樣本空間

隨機實驗的基本觀念

BB BG

GB GG

Venn 圖

(15)

兩個小孩家庭的樣本空間

隨機實驗的基本觀念

BB BG

GB GG

Venn 圖

BB

BG GB B

B

B G G

G

J. Venn

(16)

隨機實驗的基本觀念

•

^事件

樣本空間的部份集合稱為事件。

(17)

1 3 5

2 4 6

S

隨機實驗的基本觀念

B

簡單事件

事件只包含一個基本出象者稱為簡單事件。

B = {3}

(18)

1 3 5

2 4 6

S

隨機實驗的基本觀念

A

複合事件

事件包含二個或二個以上基本出象者稱為複合事件。

A = {2 , 4 , 6}

(19)

計算樣本點的法則

• ^乘數定理

(20)

計算樣本點的法則

• ^乘數定理

• ^排列

P

_rⁿ

=

n - r

] g !

n! = n # n - 1 ^] ^g # g # n - r + 1 ^] ^g

(21)

計算樣本點的法則

• ^乘數定理

• ^排列

• ^組合

P

_rⁿ

=

n - r

] g !

n! = n # n - 1 ^] ^g # g # n - r + 1 ^] ^g

C

r

n

=

r! n - r ^] ^g !

n! = r!

n # n - 1 ^] ^g # g # n - r + 1 ^] ^g

(22)

機率理論

•

^{古典的機率理論}

P E ^{] g} = N 1

(23)

機率理論

•

^{客觀的機率理論}

P E ^{] g} = N 1

P E ^{] g} = lim

n " 3

n E ^{] g} n

(24)

機率理論

•

^{客觀的機率理論}

•

^{主觀的機率理論}

P E ^{] g} = N 1

P E ^{] g} = lim

n " 3

n E ^{] g} n

P(E) = [對事件 E 發生的信心]

(25)

機率的公理

•

^公理一

0 ≤ P(Ei) ≤ 1，表示任一事件 Ei 若可能發生，則其機率大於 0 小於 1。若事件不發生，則其機率等於 0。若事 件一定發生，則機率等於 1。

(26)

機率的公理

•

^公理一

•

^公理二

P(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)，

E1, E2, ..., En互斥，表示若有 n 個互斥事件E1, E2, ..., En，則 E1 發生或 E2 發生或 En 發生的機率為其個別機率的和。

(27)

機率的公理

•

^公理一

•

^公理二

P(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)，

E1, E2, ..., En互斥，表示若有 n 個互斥事件E1, E2, ..., En，則 E1 發生或 E2 發生或 En 發生的機率為其個別機率的和。

•

(28)

樂透彩－台灣人的發財夢☺

• ^頭獎： ^C ^C

⁶⁴²⁶⁶

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

(29)

樂透彩－台灣人的發財夢☺

• ^頭獎：

• ^二獎：

C

₆⁴²

C

₆⁶

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

(30)

樂透彩－台灣人的發財夢☺

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^三獎：

C

₆⁴²

C

₆⁶

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

C

₆⁴²

C

₁³⁵

C

₅⁶

= 5,245,786 35 # 6 = 0.00004003

(31)

樂透彩－台灣人的發財夢☺

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^三獎：

• ^四獎：

C

₆⁴²

C

₆⁶

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

C

₆⁴²

C

₁³⁵

C

₅⁶

= 5,245,786 35 # 6 = 0.00004003 C

₆⁴²

C

₂³⁶

C

₄⁶

= 5,245,786 630 # 15

= 0.001801

(32)

樂透彩－台灣人的發財夢☺

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^三獎：

• ^四獎：

• ^普獎：

C

₆⁴²

C

₆⁶

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

C

₆⁴²

C

₁³⁵

C

₅⁶

= 5,245,786 35 # 6 = 0.00004003 C

₆⁴²

C

₂³⁶

C

₄⁶

= 5,245,786 630 # 15

= 0.001801

C

₆⁴²

C

₃³⁶

C

₃⁶

= 5,245,786 7, 140 # 20

= 0.02722

(33)

事件機率

•

^{事件機率的定義}_設事件

A定義於隨機實驗的樣本空間，其發生之機率P(A)為 事件A之基本出象的機率總和，即 P(A) = ∑ P(Ei)，Ei A。

(34)

事件機率

A\B B1 B2 ... Bc

A1 A1 ∩ B1 A1 ∩ B2 ... A1 ∩ Bc

Ar Ar ∩ B1 Ar ∩ B2 ... Ar ∩ Bc

... ... ... ... ...

... ... ... ...

事件的聯合（聯合次數分配）

•

^{聯合機率的定義}二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率。

(35)

事件機率

A\B B1 B2 ... Bc

A1 P(A1 ∩ B1) P(A1 ∩ B2) ... P(A1 ∩ Bc)

... ... ... ... ...

聯合機率分配表

•

(36)

產品（B）

良品（B1）瑕疵品（B2）合計模具

（A）

狀況佳（A1） 320 80 400

狀況差（A2） 14 36 50

合計 334 116 450

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

(37)

產品（B）

（A）

狀況佳（A1） 320 80 400

狀況差（A2） 14 36 50

合計 334 116 450

產品（B）

良品（B1）瑕疵品（B2）合計

P(狀況佳，良品) = P(A1 ∩ B1) = 320/450 = 0.71

(38)

產品（B）

（A）

狀況佳（A1） 320 80 400

狀況差（A2） 14 36 50

合計 334 116 450

產品（B）

（A）

狀況佳（A1） P(A1 ∩ B1) = 0.71 P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A1) = 0.89 狀況差（A2） P(A2 ∩ B1) = 0.03 P(A2 ∩ B2) = 0.08 P(A2) = 0.11 合計 P(B1) = 0.74 P(B2) = 0.26 1.00

P(狀況差，良品) = P(A2 ∩ B1) = 14/450 = 0.03

(39)

模具狀況

A1 狀況佳

A2 狀況差

B1 良品

B2 瑕疵品

B2 瑕疵品 B1 良品

P(A1 ∩ B1) = 0.71

P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A2 ∩ B1) = 0.03

P(A2 ∩ B2) = 0.08 汽車墊片的品質與模具狀況的樹枝圖

(40)

事件機率

•

^{邊際機率的定義}在有二個或二個以上類別的樣本空間中，若僅考慮某一類別個別發生的機率者稱為邊際機率。

(41)

產品（B）

（A）

(42)

產品（B）

（A）

P(良品) = P(B1) = P(A1 ∩ B1) + P(A2 ∩ B1)

= 0.71 + 0.03 = 0.74

(43)

事件機率

•

^{邊際機率的定義}在有二個或二個以上類別的樣本空間中，若僅考慮某一類別個別發生的機率者稱為邊際機率。

•

(44)

產品（B）

（A）

(45)

產品（B）

（A）

P(良品 | 狀況佳) = P(B1 | A1) = P(A1 ∩ B1) = 0.80 P(A1)

(46)

事件的性質與關係

•

^獨立事件獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的機率。

(47)

事件的性質與關係

若 A、B 兩事件合乎於下列任一條件，

則 A、B 互為獨立。

① P(A | B) = P(A)

② P(B | A) = P(B)

③ P(A ∩ B) = P(A)．P(B)

•

(48)

台北股市小計

漲跌

紐約股市

漲 24 10 34

跌 12 16 28

小計 36 26 62

台北與紐約股市關聯表

資料來源：大師資訊。2003/6/1~2003/8/31

(49)

台北股市小計

漲跌

紐約股市

漲 0.387 0.161 0.548

跌 0.194 0.258 0.452

小計 0.581 0.419 1.000

台北與紐約股市漲跌機率表

(50)

台北股市

漲跌

紐約股市

漲 P(TPU ∩ NYU) = 0.706 P(TPD ∩ NYU) = 0.294 跌 P(TPU ∩ NYD) = 0.429 P(TPD ∩ NYD) = 0.571

台北與紐約股市漲跌條件機率

台北股市小計

漲跌

紐約股市

漲 0.387 0.161 0.548

跌 0.194 0.258 0.452

小計 0.581 0.419 1.000

台北與紐約股市漲跌機率表

(51)

事件的性質與關係

•

^相依事件相依事件係指一事件的發生影響其他事件發生的機率。

(52)

事件的性質與關係

•

^相依事件相依事件係指一事件的發生影響其他事件發生的機率。

•

^互斥事件如果事件沒有共同的元素（樣本點），則稱為互斥事件。

(53)

甄試結果合計錄取（B1）不錄取（B1）

性別男生（A1） 175 225 400 女生（A2） 100 200 300

合計 275 425 700

高中應屆畢業生申請參加甄試的結果

(54)

甄試結果合計

錄取（B1）不錄取（B1）

性別男生（A1） 175 225 400 女生（A2） 100 200 300

合計 275 425 700

高中應屆畢業生申請參加甄試的結果

P B

^

1 |A1

h

= 400175

= 44%

P B

^

1 |A2

h

= 300100

= 33%

(55)

電機學院文學院

男女男女

錄取 150 50 25 50

不錄取 150 50 75 150

合計 300 100 100 200

個別學院甄試結果

(56)

電機學院文學院

男女男女

錄取 150 50 25 50

不錄取 150 50 75 150

合計 300 100 100 200

個別學院甄試結果

P(錄取 | 女生 ∩ 電機學院) = 50/100 = 1/2 P(錄取 | 男生 ∩ 電機學院) = 150/300 = 1/2

P(錄取 | 男生 ∩ 文學院) = 25/100 = 1/4 P(錄取 | 女生 ∩ 文學院) = 50/200 = 1/4

(57)

事件機率的運算法則

•

^加法定理

兩事件的聯集：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

如果事件 A 與事件 B 互斥，則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(58)

事件機率的運算法則

•

^加法定理

兩事件的聯集：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

如果事件 A 與事件 B 互斥，則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

•

^乘法定理

兩事件的交集：P(A ∩ B) = P(B)．P(A | B) 如果 A、B 獨立，則 P(A ∩ B) = P(A)．P(B)

(59)

事件機率的運算法則

P B ^{] g} = P B + A ]

i

g

i = 1

/

r

P B + A ]

i

g = P A ]

_i

g $ P B |A ^

i

h

P B ^{] g} = P B + A ]

i

g

i = 1

/

r

⁼ ^{P A} ^]

ⁱ

^g ^{$ P B |A} ^{^}

ⁱ

^h

i = 1

/

r

•

^分割定理

若 A1, ... , Ai 為分割集合，B 為一事件，則

且由故，

(60)

貝氏定理

若已知 A1, ... , Ai 為樣本空間的分割集合，B 為某事件，

且已知 P(Ai) 及 P(B | Ai)，則 B 條件下發生事件 Ai 之機率表為 P(Ai | B)：

P A

^ i

|B

h

=

P B

^{] g}

P B + A ]

i

g

= P B + A ]

1

g + P B + A ]

2

g + g + P B + A ]

r

g

P B + A ]

i

g

= P A ]

1

g P (B |A

1

) + P A ]

2

g P (B |A

2

) + g + P A ]

r

g P (B |A

r

)

P A ]

i

g P (B |A

i

)

(61)

事前機率新的訊息聯合機率事後機率

P A] 1g = 0.6

P A] 2g = 0.4

P B |A^ 1h = 0.9

P B |A^ 1h = 0.1

P B |A^ 2h = 0.3

P A

]

1 + B

g

= P A] ₁g $ P B |A^ 1h

= 0.6 # 0.9 = 0.54

P A

]

2 + B

g

= P A] 2g $ P B |A^ 2h

= 0.4 # 0.3 = 0.12 P A^ 1 + B h

= P A] ₁g $ P B |A^ 1h

= 0.6 # 0.1 = 0.06

P A^ 1 |Bh = 0.82

P A^ 2 |Bh = 0.18

P A^ 1 |B h = 0.18

貝氏定理的樹枝圖

(62)

貝氏定理的應用

事前機率

(63)

貝氏定理的應用事前機率

取得新資訊

(64)

貝氏定理的應用事前機率

取得新資訊

應用貝氏定理

(65)

貝氏定理的應用事前機率

取得新資訊應用貝氏定理

事後機率

第五章

第五章

機率論

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

學習目的

本章結構

隨機實驗

•

隨機實驗

•

•

隨機實驗

隨機實驗的基本觀念

•

隨機實驗的基本觀念

•

•

兩個小孩家庭的樣本空間

隨機實驗的基本觀念

BB BG

GB GG

兩個小孩家庭的樣本空間

隨機實驗的基本觀念

BB BG

GB GG

隨機實驗的基本觀念

•

1 3 5

2 4 6

S

隨機實驗的基本觀念

B

1 3 5

2 4 6

S

隨機實驗的基本觀念

A

計算樣本點的法則

• 乘數定理

計算樣本點的法則

• 乘數定理

• 排列

P

=

n - r

] g !

n! = n # n - 1 ] g # g # n - r + 1 ] g

計算樣本點的法則

• 乘數定理

• 排列

• 組合

P

=

n - r

] g !

n! = n # n - 1 ] g # g # n - r + 1 ] g

C

=

r! n - r ] g !

n! = r!

n # n - 1 ] g # g # n - r + 1 ] g

機率理論

•

P E ] g = N 1

機率理論

•

•

P E ] g = N 1

P E ] g = lim

n E ] g n

機率理論

•

•

•

P E ] g = N 1

P E ] g = lim

• ^乘數定理

• ^乘數定理

• ^排列

n! = n # n - 1 ^] ^g # g # n - r + 1 ^] ^g

• ^乘數定理

• ^排列

• ^組合

n! = n # n - 1 ^] ^g # g # n - r + 1 ^] ^g

r! n - r ^] ^g !

n # n - 1 ^] ^g # g # n - r + 1 ^] ^g

P E ^{] g} = N 1

P E ^{] g} = N 1

P E ^{] g} = lim

n E ^{] g} n

P E ^{] g} = N 1

P E ^{] g} = lim

n E ^{] g} n

• ^頭獎： ^C ^C

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^三獎：

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^三獎：

• ^四獎：

• ^頭獎：

• ^二獎：

• ^三獎：

• ^四獎：