第五章

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(1)

第五章

機率論

(2)

學習目的

1. 定義機率。

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

(3)

學習目的

1. 定義機率。

2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗,實驗結果,事件,樣本 空間等。

(4)

學習目的

1. 定義機率。

2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗,實驗結果,事件,樣本 空間等。

3. 描述古典的機率理論、客觀的機率理論及主觀的機率理 論。

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

(5)

學習目的

1. 定義機率。

2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗,實驗結果,事件,樣本 空間等。

3. 描述古典的機率理論、客觀的機率理論及主觀的機率理 論。

4. 熟習聯合機率、邊際機率及條件機率的定義及其應用。

(6)

學習目的

1. 定義機率。

2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗,實驗結果,事件,樣本 空間等。

3. 描述古典的機率理論、客觀的機率理論及主觀的機率理 論。

4. 熟習聯合機率、邊際機率及條件機率的定義及其應用。

5. 學習獨立、不獨立與互斥事件間的相互關係。

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

(7)

學習目的

1. 定義機率。

2. 了解機率的基本觀念如隨機實驗,實驗結果,事件,樣本 空間等。

3. 描述古典的機率理論、客觀的機率理論及主觀的機率理 論。

4. 熟習聯合機率、邊際機率及條件機率的定義及其應用。

5. 學習獨立、不獨立與互斥事件間的相互關係。

(8)

本章結構

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

機率論

隨機實驗

事件機率 的定義 隨機實驗

的意義 隨機實驗的

基本觀念 聯合機率

邊際機率 機率理論

的種類

條件機率 三個機率

理論的比較 機率的 公理體系

機率理論 事件機率 事件的性質與事

件機率的運算 貝氏定理 Excel 的使用

事件的性質 與關連 事件機率的

運算法則

J. Cardano P. D. Fermat

(9)

隨機實驗

隨機

隨機是指一個現象事先無法預知是否發生,但在長期多 次重複實驗之後,該現象的發生會出現有規則的型態。

(10)

隨機實驗

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

隨機

隨機是指一個現象事先無法預知是否發生,但在長期多 次重複實驗之後,該現象的發生會出現有規則的型態。

隨機實驗的意義

隨機實驗是一種過程(process),是一種不能確定預知會 發生何種結果的實驗方式。在實驗前已知所有可能出現 的結果,而實驗後的結果為所有可能的結果之一,但實 驗前並未能正確的、肯定的預知它是何種結果。隨機實 驗可重複進行,而經過長期重複實驗,出現的結果會遵 循某一些統計規則。

(11)

隨機實驗

隨機實驗 出象 樣本空間

產品品質檢驗 良品,不良品 S = {良品 , 不良品}

一場足球賽 贏,輸,和 S = {贏 , 輸 , 和}

丟一個骰子 1 次 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 S = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

新生小孩的性別 男性,女性 S = {男性 , 女性}

隨機實驗、出象與樣本空間

(12)

隨機實驗的基本觀念

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

基本出象

隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象,又稱為 樣本點。

(13)

隨機實驗的基本觀念

基本出象

隨機實驗的每個可能的結果稱為基本出象,又稱為 樣本點。

樣本空間

一個隨機實驗中,所有可能出象的集合稱為樣本空 間。通常以英文大寫字母 S 表示之。

(14)

兩個小孩家庭的樣本空間

隨機實驗的基本觀念

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

BB BG

GB GG

Venn 圖

(15)

兩個小孩家庭的樣本空間

隨機實驗的基本觀念

BB BG

GB GG

Venn 圖

BB

BG GB B

B

B G G

G

J. Venn

(16)

隨機實驗的基本觀念

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

事件

樣本空間的部份集合稱為事件。

(17)

1 3 5

2 4 6

S

隨機實驗的基本觀念

B

簡單事件

事件只包含一個基 本出象者稱為簡單 事件。

B = {3}

(18)

1 3 5

2 4 6

S

隨機實驗的基本觀念

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

A

複合事件

事件包含二個或二 個以上基本出象者 稱為複合事件。

A = {2 , 4 , 6}

(19)

計算樣本點的法則

乘數定理

(20)

計算樣本點的法則

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

乘數定理

排列

P

rn

=

n - r

] g !

n! = n # n - 1 ] g # g # n - r + 1 ] g

(21)

計算樣本點的法則

乘數定理

排列

組合

P

rn

=

n - r

] g !

n! = n # n - 1 ] g # g # n - r + 1 ] g

C

r

n

=

r! n - r ] g !

n! = r!

n # n - 1 ] g # g # n - r + 1 ] g

(22)

機率理論

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古典的機率理論

P E ] g = N 1

(23)

機率理論

古典的機率理論

客觀的機率理論

P E ] g = N 1

P E ] g = lim

n " 3

n E ] g n

(24)

機率理論

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

古典的機率理論

客觀的機率理論

主觀的機率理論

P E ] g = N 1

P E ] g = lim

n " 3

n E ] g n

P(E) = [對事件 E 發生的信心]

(25)

機率的公理

公理一

0 ≤ P(Ei) ≤ 1,表示任一事件 Ei 若可能發生,則其機率 大於 0 小於 1。若事件不發生,則其機率等於 0。若事 件一定發生,則機率等於 1。

(26)

機率的公理

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公理一

0 ≤ P(Ei) ≤ 1,表示任一事件 Ei 若可能發生,則其機率 大於 0 小於 1。若事件不發生,則其機率等於 0。若事 件一定發生,則機率等於 1。

公理二

P(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En),

E1, E2, ..., En互斥,表示若有 n 個互斥事件E1, E2, ..., En,則 E1 發生或 E2 發生或 En 發生的機率為其個別機 率的和。

(27)

機率的公理

公理一

0 ≤ P(Ei) ≤ 1,表示任一事件 Ei 若可能發生,則其機率 大於 0 小於 1。若事件不發生,則其機率等於 0。若事 件一定發生,則機率等於 1。

公理二

P(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En),

E1, E2, ..., En互斥,表示若有 n 個互斥事件E1, E2, ..., En,則 E1 發生或 E2 發生或 En 發生的機率為其個別機 率的和。

(28)

樂透彩-台灣人的發財夢☺

頭獎: C C

64266

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

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(29)

樂透彩-台灣人的發財夢☺

頭獎:

二獎:

C

642

C

66

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

(30)

樂透彩-台灣人的發財夢☺

頭獎:

二獎:

三獎:

C

642

C

66

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

C

642

C

135

C

56

= 5,245,786 35 # 6 = 0.00004003

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

(31)

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頭獎:

二獎:

三獎:

四獎:

C

642

C

66

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

C

642

C

135

C

56

= 5,245,786 35 # 6 = 0.00004003 C

642

C

236

C

46

= 5,245,786 630 # 15

= 0.001801

(32)

樂透彩-台灣人的發財夢☺

頭獎:

二獎:

三獎:

四獎:

普獎:

C

642

C

66

= 5,245,786 1

= 0.0000001906

C

642

C

1

1

C

5 6

= 5,245,786 1 # 6

= 0.000001144

C

642

C

135

C

56

= 5,245,786 35 # 6 = 0.00004003 C

642

C

236

C

46

= 5,245,786 630 # 15

= 0.001801

C

642

C

336

C

36

= 5,245,786 7, 140 # 20

= 0.02722

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

(33)

事件機率

事件機率的定義設事件

A定義於隨機實驗的樣本空間,其發生之機率P(A)為 事件A之基本出象的機率總和,即 P(A) = ∑ P(Ei),Ei A。

(34)

事件機率

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

A\B B1 B2 ... Bc

A1 A1 ∩ B1 A1 ∩ B2 ... A1 ∩ Bc

Ar Ar ∩ B1 Ar ∩ B2 ... Ar ∩ Bc

... ... ... ... ...

... ... ... ...

事件的聯合(聯合次數分配)

事件機率的定義設事件

A定義於隨機實驗的樣本空間,其發生之機率P(A)為 事件A之基本出象的機率總和,即 P(A) = ∑ P(Ei),Ei A。

聯合機率的定義二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率。

(35)

事件機率

A\B B1 B2 ... Bc

A1 P(A1 ∩ B1) P(A1 ∩ B2) ... P(A1 ∩ Bc)

... ... ... ... ...

聯合機率分配表

事件機率的定義設事件

A定義於隨機實驗的樣本空間,其發生之機率P(A)為 事件A之基本出象的機率總和,即 P(A) = ∑ P(Ei),Ei A。

聯合機率的定義二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率。

(36)

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1320 80 400

狀況差(A214 36 50

334 116 450

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

(37)

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1320 80 400

狀況差(A214 36 50

334 116 450

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

P(狀況佳,良品) = P(A1 ∩ B1) = 320/450 = 0.71

(38)

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1320 80 400

狀況差(A214 36 50

334 116 450

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1P(A1 ∩ B1) = 0.71 P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A1) = 0.89 狀況差(A2P(A2 ∩ B1) = 0.03 P(A2 ∩ B2) = 0.08 P(A2) = 0.11 合 P(B1) = 0.74 P(B2) = 0.26 1.00

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

P(狀況差,良品) = P(A2 ∩ B1) = 14/450 = 0.03

(39)

模具狀況

A1 狀況佳

A2 狀況差

B1 良品

B2 瑕疵品

B2 瑕疵品 B1 良品

P(A1 ∩ B1) = 0.71

P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A2 ∩ B1) = 0.03

P(A2 ∩ B2) = 0.08 汽車墊片的品質與模具狀況的樹枝圖

(40)

事件機率

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

事件機率的定義設事件

A定義於隨機實驗的樣本空間,其發生之機率P(A)為 事件A之基本出象的機率總和,即 P(A) = ∑ P(Ei),Ei A。

聯合機率的定義二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率。

邊際機率的定義在有二個或二個以上類別的樣本空間中,若僅考慮某一類 別個別發生的機率者稱為邊際機率。

(41)

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1P(A1 ∩ B1) = 0.71 P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A1) = 0.89 狀況差(A2P(A2 ∩ B1) = 0.03 P(A2 ∩ B2) = 0.08 P(A2) = 0.11 合 P(B1) = 0.74 P(B2) = 0.26 1.00

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

(42)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1P(A1 ∩ B1) = 0.71 P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A1) = 0.89 狀況差(A2P(A2 ∩ B1) = 0.03 P(A2 ∩ B2) = 0.08 P(A2) = 0.11 合 P(B1) = 0.74 P(B2) = 0.26 1.00

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

P(良品) = P(B1) = P(A1 ∩ B1) + P(A2 ∩ B1)

= 0.71 + 0.03 = 0.74

(43)

事件機率

事件機率的定義設事件

A定義於隨機實驗的樣本空間,其發生之機率P(A)為 事件A之基本出象的機率總和,即 P(A) = ∑ P(Ei),Ei A。

聯合機率的定義二個或二個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率。

邊際機率的定義在有二個或二個以上類別的樣本空間中,若僅考慮某一類 別個別發生的機率者稱為邊際機率。

(44)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1P(A1 ∩ B1) = 0.71 P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A1) = 0.89 狀況差(A2P(A2 ∩ B1) = 0.03 P(A2 ∩ B2) = 0.08 P(A2) = 0.11 合 P(B1) = 0.74 P(B2) = 0.26 1.00

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

(45)

產品(B)

良品(B1) 瑕疵品(B2) 合計 模具

A)

狀況佳(A1P(A1 ∩ B1) = 0.71 P(A1 ∩ B2) = 0.18 P(A1) = 0.89 狀況差(A2P(A2 ∩ B1) = 0.03 P(A2 ∩ B2) = 0.08 P(A2) = 0.11 合 P(B1) = 0.74 P(B2) = 0.26 1.00

汽車墊片的品質與模具狀況分析表

P(良品 | 狀況佳) = P(B1 | A1) = P(A1 ∩ B1) = 0.80 P(A1)

(46)

事件的性質與關係

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

獨立事件獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的 機率。

(47)

事件的性質與關係

A、B 兩事件合乎於下列任一條件,

A、B 互為獨立。

P(A | B) = P(A)

P(B | A) = P(B)

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

獨立事件獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的 機率。

(48)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

台北股市 小計

漲 跌

紐約 股市

24 10 34

12 16 28

36 26 62

台北與紐約股市關聯表

資料來源:大師資訊。2003/6/1~2003/8/31

(49)

台北股市 小計

漲 跌

紐約 股市

0.387 0.161 0.548

0.194 0.258 0.452

0.581 0.419 1.000

台北與紐約股市漲跌機率表

(50)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

台北股市

漲 跌

紐約 股市

P(TPU ∩ NYU) = 0.706 P(TPD ∩ NYU) = 0.294P(TPU ∩ NYD) = 0.429 P(TPD ∩ NYD) = 0.571

台北與紐約股市漲跌條件機率

台北股市 小計

漲 跌

紐約 股市

0.387 0.161 0.548

0.194 0.258 0.452

0.581 0.419 1.000

台北與紐約股市漲跌機率表

(51)

事件的性質與關係

獨立事件獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的 機率。

相依事件相依事件係指一事件的發生影響其他事件發生的機 率。

(52)

事件的性質與關係

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

獨立事件獨立事件係指一事件的發生不影響其他事件發生的 機率。

相依事件相依事件係指一事件的發生影響其他事件發生的機 率。

互斥事件如果事件沒有共同的元素(樣本點),則稱為互斥 事件。

(53)

甄試結果 合計 錄取(B1) 不錄取(B1

性別 男生(A1175 225 400 女生(A2100 200 300

合計 275 425 700

高中應屆畢業生申請參加甄試的結果

(54)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

甄試結果 合計

錄取(B1) 不錄取(B1

性別 男生(A1175 225 400 女生(A2100 200 300

合計 275 425 700

高中應屆畢業生申請參加甄試的結果

P B

^

1 |A1

h

= 400175

= 44%

P B

^

1 |A2

h

= 300100

= 33%

(55)

電機學院 文學院

男 女 男 女

錄取 150 50 25 50

不錄取 150 50 75 150

合計 300 100 100 200

個別學院甄試結果

(56)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

電機學院 文學院

男 女 男 女

錄取 150 50 25 50

不錄取 150 50 75 150

合計 300 100 100 200

個別學院甄試結果

P(錄取 | 女生 ∩ 電機學院) = 50/100 = 1/2 P(錄取 | 男生 ∩ 電機學院) = 150/300 = 1/2

P(錄取 | 男生 ∩ 文學院) = 25/100 = 1/4 P(錄取 | 女生 ∩ 文學院) = 50/200 = 1/4

(57)

事件機率的運算法則

加法定理

兩事件的聯集:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

如果事件 A 與事件 B 互斥,則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(58)

事件機率的運算法則

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

加法定理

兩事件的聯集:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

如果事件 A 與事件 B 互斥,則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

乘法定理

兩事件的交集:P(A ∩ B) = P(B).P(A | B) 如果 A、B 獨立,則 P(A ∩ B) = P(A).P(B)

(59)

事件機率的運算法則

P B ] g = P B + A ]

i

g

i = 1

/

r

P B + A ]

i

g = P A ]

i

g $ P B |A ^

i

h

P B ] g = P B + A ]

i

g

i = 1

/

r

= P A ]

i

g $ P B |A ^

i

h

i = 1

/

r

分割定理

A1, ... , Ai 為分割集合,B 為一事件,則

且由 故,

(60)

貝氏定理

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

若已知 A1, ... , Ai 為樣本空間的分割集合,B 為某事件,

且已知 P(Ai) 及 P(B | Ai),則 B 條件下發生事件 Ai 之機 率表為 P(Ai | B):

P A

^ i

|B

h

=

P B

] g

P B + A ]

i

g

= P B + A ]

1

g + P B + A ]

2

g + g + P B + A ]

r

g

P B + A ]

i

g

= P A ]

1

g P (B |A

1

) + P A ]

2

g P (B |A

2

) + g + P A ]

r

g P (B |A

r

)

P A ]

i

g P (B |A

i

)

(61)

事前機率 新的訊息 聯合機率 事後機率

P A] 1g = 0.6

P A] 2g = 0.4

P B |A^ 1h = 0.9

P B |A^ 1h = 0.1

P B |A^ 2h = 0.3

P A

]

1 + B

g

= P A] 1g $ P B |A^ 1h

= 0.6 # 0.9 = 0.54

P A

]

2 + B

g

= P A] 2g $ P B |A^ 2h

= 0.4 # 0.3 = 0.12 P A^ 1 + B h

= P A] 1g $ P B |A^ 1h

= 0.6 # 0.1 = 0.06

P A^ 1 |Bh = 0.82

P A^ 2 |Bh = 0.18

P A^ 1 |B h = 0.18

貝氏定理的樹枝圖

(62)

應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

貝氏定理的應用

事前機率

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貝氏定理的應用 事前機率

取得新資訊

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應用統計學 林惠玲 陳正倉著 雙葉書廊發行 2006

貝氏定理的應用 事前機率

取得新資訊

應用貝氏定理

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貝氏定理的應用 事前機率

取得新資訊 應用貝氏定理

事後機率

數據

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參考文獻

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