2 極限 (limits) 與
導數 (derivatives)
2.4 極限的精確定義
極限的精確定義
在之前我們對極限的定義使用了很多直覺上的語句，例如 x 很靠近 2 ， f(x) 可以任意靠近 L 等等模糊的敘述。
為了能夠實際的描述靠近、趨近，並且確實地以數學語言證 明類似下列的極限
極限的精確定義
為了瞭解我們為何需要精確的定義，這裡舉個例子。我們考 慮下列的函數：
直覺上在 x 靠近 3 但不等於 3 時， f(x) 的值會靠近 5 ，也就 是 limx 3f(x) = 5 。
為了瞭解 f(x) 的變化，我們可能想問：
我們知道 x 跟 3 之間的距離就是取差的絕對值 |x – 3| ，而 同樣的， f(x) 跟 5 的距離為 |f(x) – 5| 。
因此我們的問題變成，如何取一個 值，使得
當 |x – 3| < ，但 x ≠ 3 時，滿足 |f(x) – 5| < 0.1 。 另外我們其實也可以寫成 0 < |x – 3| < ，如此便可以保證 x 不為 3 。換句話說，如何取一個 值，使得
極限的精確定義
極限的精確定義
注意到，若 0 < | x – 3 | < (0.1)/2 = 0.05 ，則
| f ( x) – 5 | = | (2x – 1) – 5 | = | 2x – 6 |
= 2| x – 3 | < 2(0.05) = 0.1
也就是說，只要 0 < | x – 3 | < 0.05 ，便有 |f (x) – 5| < 0.1 所以我們的答案就是：
給定 = 0.05 ，只要 x 在距離 3 的 0.05 單位範圍之內，就
極限的精確定義
那如果我們將差距的範圍從 0.1 縮小至 0.01 呢？
利用同樣的方法，我們可以計算得只要當 x 與 3 的差距在 0.01/2 = 0.005 以內，則有 |f(x) – 5| < 0.01 。
更近一步，還有
| f(x) – 5| < 0.001 ，當 0 < |x – 3| < 0.0005 。
極限的精確定義
為了說明 x 趨近 3 時， f(x) 的極限為 5 。我們目標想證明得 靠近程度當然不僅止於前面的三個容錯尺度，而是要對於任 意的正數，都要能決定一個在 3 附近的範圍，使得 f(x) 跟 5 的差距在這個正數之內。
然而事實上，對任意正數我們真的都可以做到這樣：
令 ε (希臘字母, 讀作 epsilon) 為一任意正數，則我們可以如 同前面一樣取到一個 = ε/2，使得
| f(x) – 5| < ε 當 0 < |x – 3| < = 。
極限的精確定義
也就是說，我們可以很精確的說，只要 x 夠靠近 3 ，則 f(x) 可以任意靠近 5 ，因為不管我們設定多小的誤差 ε ，都能取 一個範圍 = ε/2 ，使得 x 在 3 附近 範圍內，但 x 不為 3 之時，都能保證 f(x) 跟 5 的差距在誤差 ε 之內。
注意到前面的式子我們可以改寫成：
當 3 – < x < 3 + (x 3) ， 則有 5 – ε < f(x) < 5 + ε 。 如右圖所刻劃。
極限的精確定義
以下我們就依照這個邏輯給出極限的精確定義：
[定義]
假設 f(x) 在 a 附近的開區間範圍(但可能不包括 a)都 有定義，我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時的極限值為 L ， 表示：
給定任意正數 ε ，存在正數 使得，當 0 < |x-a| < 時，誤差 |f(x) - L| < ε 。
符號寫作 limx->a f(x) = L 。
極限的精確定義
我們再仔細地說一次：
這個極限
limx a f(x) = L
表示 f(x) 跟 L 的距離可以任意地小，只要我們可以控制 x 到 a 的距離足夠小（但 x ≠ a）。
極限的精確定義
在定義中，我們也可以把對距離的控制 0 < |x – a| < 改寫 成區間的形式：
注意到誤差的不等式 |x – a| < 等價於 – < x – a < 這表 示 x 會落在這個區間 a – < x < a + 。
而 0 < |x – a| 表示 x a 。
極限的精確定義
同樣，誤差夠靠近 |f(x) – L| < ε 等價於 f(x) 落在這個 ε 區間 L – ε < f(x) < L + ε
因此我們可以改寫定義如下：
limx a f(x) = L
表示對任意正數 ε > 0 ，我們可以挑選 > 0 夠小，使得
極限的精確定義
我們準備以圖形來刻畫這個誤差內的對應：只要 x 在 a 附近 的範圍，經過 f 對應後，也會落在 L 的附近。
圖二
L
極限的精確定義
從極限的定義告訴我們，給定一個 L 附近的誤差範圍內區間 (L – ε, L + ε) ，則可以找到一個 a 附近的區間 (a – , a + ) 使得：
f 會把 (a – , a + ) 上除了 a 以外的點，
都打入區間 (L – ε, L + ε) 之內。
極限的精確定義
另一種圖形的刻畫是從函數圖形來看，我們可以在 y 軸上 L 附近確定 ε 的誤差範圍：也就是水平線 y = L + ε 與 y = L – ε 之內。
極限的精確定義
若 limx af(x) = L 從極限定義可知，存在 > 0 使得我們可 以將 x 限制在 (a – , a + ) 上且 x a ，則此時 y = f(x) 的 函數圖形會落在 y = L – ε, y = L + ε 兩條直線的誤差範圍之 間，如下圖。
另外我們可以觀察到，只要有一個 滿足這個誤差估計，納 所有比 還小的正數都會滿足。
圖五
極限的精確定義
在極限的定義是要求我們對所有的誤差都要能有同樣的估計。
因此如下圖六，假使我們挑選更小的 ε ，則我們可能需要比 原先更小的 才能滿足定義。
範例一
利用函數圖形，求 滿足
若 0 <|x – 1| < 則 |(x3 – 5x + 6) – 2| < 0.2
換言之，就是在極限的定義中，我們希望找到一數 能夠使 得：
在 x = 1 附近 範圍內，
保證 f(x) 的值會在 L = 2 誤差範圍 ε = 0.2 之內。
範例一 / 解
我們以下圖解，考慮在 (1, 2) 附近的範圍。
我們想滿足下列的不等式
|(x3 – 5x + 6) – 2| < 0.2
Figure 7
範例一 / 解
決定好誤差範圍 0.2 以後，我們便是希望可以挑一個範圍使 得曲線 y = x3 – 5x + 6 的圖形落在兩條直線 y = 1.8, y = 2.2 之間。
我們截出函數圖形如下圖：
cont’d
範例一 / 解
我們觀察圖形，可以大概估計直線 y = 2.2 與曲線 y = x3 – 5x + 6 圖形的交點大約在 x = 0.911 的地方。
同樣， y = x3 – 5x + 6 與直線 y = 1.8 相交在大約 x 1.124 的地方。因此我們稍稍把範圍縮小，有以下的估計：
若 0.92 < x < 1.12 則有 1.8 < x3 – 5x + 6 < 2.2
注意到 (0.92, 1.12) 其實並沒有對 x = 1 對稱，左、右端點 到 x = 1 的距離分別為 1 – 0.92 = 0.08 及 1.12 – 1 = 0.12。
cont’d
範例一 / 解
以距離的不等式寫下新的估計：
若 | x – 1 | < 0.08 則 | (x3 – 5x + 6) – 2 | < 0.2 也就是說，只要 x 到 1 的距離能夠控制在 0.08 以內，那麼 f(x) 的值跟 2 的誤差就會在 0.2 以內。
雖然我們取了 = 0.08 ，然而事實上取任意更小的值，誤 差的估計式仍會成立。
cont’d
範例二
證明：
解:
1. 首先我們的目標是，要對誤差 ε 做一個估計，然後猜出 一個可能的 ：
給定任意正數 ε ，想找出 滿足下列估計
若 0 < |x – 3| < 則 |(4x – 5) – 7| < ε 此時我們可以改寫誤差：
範例二 / 解
希望有 滿足：
若 0 < |x – 3| < 則 4| x – 3| < ε 也就是：
若 0 < |x – 3| < 則 |x – 3| <
這告訴我們最好挑選 = ε/4 。
cont’d
範例二 / 解
2. 猜出 範圍以後，我們便要開始證明這樣的估計符合極限 的定義。
任給定 ε > 0 ，我們可挑選 = ε/4 ，此時有：
若 0 < | x – 3 | < ，
則 | (4x – 5) – 7 | = 4| x – 3 | < 4 = = ε 因此最後可得：
– 3 | < – 5) – 7 | < ε
cont’d
範例二 / 解
由極限的定義，我們可知：
我們刻畫這個極限如下圖：
cont’d
極限的精確定義
而對於單邊極限我們也可以做同樣的精確定義：
[定義]
假設 f(x) 在比 a 小的附近開區間範圍(但可能不包括 a)都 有定義，我們說 f(x) 在 x 從左側趨近 a 時的極限值為 L ， 表示：
給定任意正數 ε ，存在正數 使得，當 a – < x < a 時 時，誤差 |f(x) - L| < ε 。
符號寫作 limx->a- f(x) = L 。
極限的精確定義
[定義]
假設 f(x) 在比 a 小的附近開區間範圍(但可能不包括 a)都 有定義，我們說 f(x) 在 x 從左側趨近 a 時的極限值為 L ， 表示：
給定任意正數 ε ，存在正數 使得，當 a < x < a + 時 時，誤差 |f(x) - L| < ε 。
符號寫作 lim f(x) = L 。
右極限則是從另一個方向逼近：
範例三
試以單邊極限的定義證明：
證明:
1.首先我們仍是要做誤差的估計，來猜出一個適合的 值。
先假設給定一個正數 ε ，要在 x = 0 的附近，估計 f(x) 到 L
= 0 之間的誤差，並取 滿足
若 0 < x < 則 | – 0 | < ε 也就是，
若 0 < x < 則 < ε
為了方便，我們取平方，最後希望得到： x < ε2
範例三 / 解
2. 接著我們證明這樣 的取法滿足定義的需要：
給定任意正數 ε > 0 ，我們取 = ε2 ，此時有 若 0 < x < 則
因此有
| – 0 | < ε 。 根據定義我們便有：
cont’d
極限的精確定義
利用極限的精確定義，我們同樣可以證明極限的四則運算，
例如加法：
若 limx a f ( x) = L, limx a g ( x) = M 均存在，則此時有
無窮大值的極限
無窮大值的極限
趨近正、負無窮大值的極限，我們有同樣類似的精確定義：
[定義]
假設 f(x) 在 a 附近開區間範圍(但可能不包括 a)都 有定義，我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時，值趨近無窮大，
表示：
給定任意正數 M ，存在正數 使得當 0 < |x – a| < 時，有 f(x) > M
符號寫作 lim f(x) = ∞
無窮大值的極限
我們希望 f(x) 可以任意地大，只要取 x 夠靠近 a 。
換句話說，給定任意大的數字 M ，我們需要取一個範圍 使 得 x 跟 a 的距離在 內而 x ≠ a 時，可以保證 f(x) > M 。
我們用函數圖形刻劃如下：
無窮大值的極限
觀察前述的圖形，取任意高度的水平線 y = M ，我們需要做 的是找到一個 > 0 使得若 x 落在 (a – , a + ) 上且 x ≠ a 之時，可以保證曲線 y = f(x) 在 y = M 的上方。
同樣的，若有一個 滿足估計，則任意比 小的正數也會滿 足。
而若我們要求更大的 M ，直觀上我們就會需要更小的 來 達成這個要求。
範例五
利用定義證明：
解:
給定 M 為任意正數，我們需要取得 使得 若 0 < | x | < ，則 1 / x2 > M 經過移項我們可知道：
無窮大值的極限
最後，我們也同樣列舉趨近負無窮大值的精確定義如下：
[定義]
假設 f(x) 在 a 附近開區間範圍(但可能不包括 a)都
有定義，我們說 f(x) 在 x 趨近 a 時，函數值趨近負無窮大，
表示：
給定任意正數 M ，存在正數 使得當 0 < |x – a| < 時，有 f(x) < – M
符號寫作 lim f(x) = – ∞
