行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
子計畫三：DWDM 光波導零組件之數值模擬及最佳化設計
(2/2)
計畫類別： 整合型計畫 計畫編號： NSC91-2215-E-110-011- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學光電工程研究所 計畫主持人： 張弘文 計畫參與人員： 博士生 吳祚倫,盛夢徽. 碩士生 林明崇,周逸軒 報告類型： 完整報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 92 年 10 月 29 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫結案報告
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DWDM 光波導零組件之數值模擬及最佳化設計(2/2)
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計畫類別：整合型計畫
計畫編號：NSC91－2215－E－110－011
執行期間：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
計畫主持人：張弘文
共同主持人：
計畫參與人員： 博士生 吳祚倫
盛夢徽
碩士生 林明崇
周逸軒
吳宙秦
許峻源
執行單位：國立中山大學光電所
中
華 民 國 92 年 10 月 17 日
目錄：
1. 前言 3
2. 雙向多模解析法分析二維環型共振腔結構
3-15
(Multi-Mode Propagation Method for 2D Bi-directional Ring Cavities)
3.
圓柱座標多層介質波導之模態分析 16-30
(Modal Analysis of Multi-Layer Cylindrical Dielectric Waveguides)
4.
解析連續法分析彎曲光波導之模態與場型 30-33
(Analytic Continuity Method for Bending Waveguides)
前言： 本次的國科會計畫為兩年的計畫，題目為”DWDM 光波導零組件之數值模擬及最佳 化設計”。所以選擇了 DWDM 光波導零組件中的”環型共振腔”，“光纖模態”，”彎 曲波導”以及“轉彎的三層介電值光波導”，進行數值模擬及最佳化設計。 此報告分為三個子項目，分別為： 【1】雙向多模解析法分析二維環型共振腔結構
(Multi-Mode Propagation Method for 2D Bi-directional Ring Cavities) 【2】圓柱座標多層介質波導之模態分析
(Modal Analysis of Multi-Layer Cylindrical Dielectric Waveguides) 【3】解析連續法分析彎曲光波導之模態與場型
(Analytic Continuity Method for Bending Waveguides) 以下說明這兩年的部分研究成果 【1】雙向多模解析法分析二維環型共振腔結構： 本子計劃的目的在環型共振腔是一種光學上的元件，在特定的波長下會共 振，特性有點類似Fabry-Perot 共振腔，可以在特定的頻率做相位補償，使波數、 相位改變，而在製程上環型共振腔可以一道製程就完成，不需要做反射面及不用 鍍膜，只要蝕刻出導波的山脊區域即可，所以會更為簡單，也容易積體化，所以 會是一個重要的元件。本報告中，我們先處理了一維的三種不同情況，理論由簡 單而複雜，一維單向是最簡單的情況，而在這裡，我們有一個突破性的建設，我 們考慮反射的發生，進行前人所沒有的新的理論推導，並且在數值模擬上發現了 這樣的雙向理論是有其意義的，這是我們很高興能有突破性建設的一點；此外， 我們也進行二維的研究，因為二維研究一定要考慮雙向問題，而現有的研究二維 的方法並不能滿足我們的需求，所以決定發展一個新的方法，也就是我們的主
題，雙向多模解析法、Multi-Mode Propagation Method（MMPM），期望可以改善 現有方法的缺失。 首先我們探討最簡單的一維結構，一開始，我們不去考慮任何反射的情況， 建構出一維單向模型，可以先建立起基本的理論架構，去看在最簡單的狀況下環 型共振腔的運作情形，利用穿透係數和耦合係數的效應去推導出一維單向的公 式，並且得到的這個公式在物理意義上非常的顯著，接著，討論考慮到反射的雙 向模型，由於前人並沒有對環型共振腔做有反射的假設，但我們對反射與否耿耿 於懷，所以做一個新的理論架構，在此，我們將環型共振腔每個區域的場量值找 到，在耦合區內外總共四個邊界做邊界連續條件，之後就可以得到一個形式簡單 的矩陣方程式了。最後我們討論另一個左右對稱上下也對稱的環型共振腔結構， 充分利用它的對稱性，設定好邊界是電牆或磁牆，就可以只解四分之一區域了。 這幾個結構的分析都有數值模擬。 V2 3 V 1 V 4 V 耦 合 區 A A B C C D 圖1：環型共振腔 上圖是一個環型共振腔的結構示意圖，圖下方為一長直波導，上方為一運動 場形式的環型波導，中間有兩根波導耦合的區域，耦合區內可能是簡單的兩根波 導靠近耦合，或是複雜的MMI 結構。在此，我們先使用一維單向的模型，假設 波行進方向與入射同向，假設波由左下方的波導打入，經過耦合區，在環型區傳 播，最後在右下方的波導射出，V1、V2、V3、V4分別為耦合區外左下方波導、左 上方波導、右下方波導、右上方波導的場量值，我們可以得出一個矩陣方程式。 = 2 1 4 3 V V t k k t V V （1） 2 1 k2 t = − （2）
z j b b d b a e z j z a t β β β β β − − = 0 cos sin （3） z j b b a e z j c a k β β β − − = 21 sin 0 （4） a β 及βb及βd為耦合過的傳播常數的函數 4 2 P V V = × （5） P=e−(α+jβ)L （6） tP P k t V V T − + = = ⇒ 1 2 1 3 （7） （3）（4）（7）式是我們推出全新的方程式，不同於已有文獻的結果。 接著以物理意義來看：V3=tV1+k PV2 1+tk P V2 2 1+t k P V2 2 3 1+... 等號右邊第一項是V1的場量直接穿透到波導的右側；第二項是V1的場量耦合到 上方波導V4的位置，再經由環型傳播區到耦合區右側V2的位置，再耦合到右下 方波導V3的位置；第三項是先耦合到V4的位置後，再傳播至耦合區右側V2的位 置，經過一次穿透，到達V4的位置，再傳播至耦合區右側V2的位置，最後再耦 合到右下方波導V3的位置。同理，我們可知道第四項、第五項一直到第N項。 而V3的場量就是這所有的場量的累加，這就是它的物理意義所在。 一維單向的模型的分析使環型共振腔已有一個初步的理論依據，但是由於單 向的模型太過於簡化，這使得我們沒有辦法去解釋反射的情況，所以在此我們嘗 試建立一個更實際的模型，也就是使用雙向的模型來驗證一維的理論： 圖2：一維雙向的模型 首先將所有區域的場量形式定義出來，接著使用連續條件求解，整理即可得 z2 z1 E2 耦合區 E1 E3 E4
到一個矩陣方程式，而解出其場量。 一維單向的穿透係數結果如圖所示，在理想的環型共振腔無吸收的狀態下為 一條直線，代表所有能量全部都穿透過去了。 192.4 192.61 192.8 193 193.2 193.4 193.6 193.8 194 194.2 194.4 1 1 1 1 1 freq in THz p o w e r t ra n sm issi on coe ff icie n t 192.4 192.6 192.8 193 193.2 193.4 193.6 193.8 194 194.2 194.4 -150 -100 -50 0 50 100 150 ph as e in d egr e e phase
power transmission cofficient
圖3：一維單向的轉換函數 一維雙分析計算結果：更改參數為：波長1.55μm，環型跑道長度（Lc）250 μm，波導折射率1.5，耦合區長度（lc）50μm，耦合係數0.2，k=0.174j，不考 慮吸收情況下： 192 192.5 193 193.5 194 194.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq in T Hz pow er t ran sm issio n /r ef lect ion co ef fi ci ent Tc Rc lc =50 Lc =250 no los s 圖4：一維雙向的穿透與反射量圖(lc=50，無吸收)
193.8 193.85 193.9 193.95 194 194.05 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 freq in T Hz pow er t ransm is s ion/ re fl ect ion coef fi ci ent Tc Rc lc=50 Lc=250 no loss 圖5：一維雙向的穿透量放大圖(lc=50，無吸收) 再考慮吸收係數千分之一情況下： 192 192.5 193 193.5 194 194.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq in T Hz po wer t rans m iss io n/ ref lect ion co ef fi ci en t Tc Rc lc=50 Lc=250 loss 0.001 圖6：一維雙向的穿透與反射量圖(lc=50，千分之一吸收) 193.84 193.86 193.88 193.9 193.92 193.94 193.96 193.98 194 194.02 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 freq in THz pow er t ra n sm iss ion /refle ctio n co effic ien t Tc Rc lc=50 Lc=250 loss 0.001 圖7：一維雙向的穿透量放大圖(lc=50，千分之一吸收)
再考慮把吸收係數提高到百分之一： 192 192.5 193 193.5 194 194.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq in THz pow e r transmissi on/r e flec ti on coefficient Tc Rc lc=50 Lc=250 loss 0.01 圖8：一維雙向的穿透與反射量圖(lc=50，百分之一吸收) 193.6 193.7 193.8 193.9 194 194.1 194.2 194.3 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 freq in THz po w e r t ran smi ssi on/ re fl e c ti o n coe ff ici ent Tc Rc lc=50 Lc=250 loss 0.01 圖9：一維雙向的穿透量放大圖(lc=50，百分之一吸收) 192 192.5 193 193.5 194 194.5 195 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 freq in THz pow er tra n s m issi on /ref lec tio n c o e ffic ien t Tc Rc lc=100 Lc=200 loss 0.01 圖 10：一維雙向的穿透與反射量(lc=100，百分之一吸收)
接下來就進入了二維的世界，先討論了一些觀念，在二維的結構中，環型共 振腔是一個雙向的問題，研究波導結構最為人熟知的即是BPM及FDTD，但在 分析環型共振腔的問題上，因為有兩個方向的問題，使得BPM在大角度或是小 角度都不適用，所以傳統上解環型共振腔結構都是使用FDTD的方法，FDTD是 很好的方法，但會有精確度問題，我們需要的精確度必須到千分之一，且頻率變 化很快的情況計算時間會拖很長，且有一些色散誤差及邊界問題，所以我們希望 可以發展出一套更好的方法，可以做到更精細及更少的計算量，這個方法我們稱 之為雙向多模解析法 (Multi-Mode Propagation Method，簡稱MMPM)。
MMPM的觀念，以TM wave為例，在任一區中，若我們能知道左右兩邊介 面的磁場形式及模態基底，即可得知此區中每一點的場量形式，而這個磁場形式 並非任意的磁場，而須符合特殊的積分方程式的解。目前要做的就是找出這個特 殊的積分方程式。 另外，我們會引入積分運算子的觀念，去簡化問題，而進一步我們透過正交 投影將積分運算子轉化為矩陣，就像是將函數化為向量一樣，就可以把這個聯立 積分方程變成矩陣方程，容易做數值計算。 我們這節推導 TM wave 的聯立積分方程，首先先把每一區的切線磁場形式寫 出來： (1) 在第一區 入射波為第 i 個 mode
φ
i(1)( , )x z (1) (1) 1 1 ( ) ( ) (1)( , ) (1)( ) j i z z (1)( ) j n z z y i n n n H x z =φ
x e− β − +∑
r′φ
x e β − 我們把其中一項提出來，變成 (1) (1) (1) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) (1)( , ) (1)( ) j i z z (1)( ) j i z z (1)( ) j n z z y i i n n n H x z =φ
x e− β − +φ
x e β − +∑
rφ
x e β − 可以把 前兩項合併變成三角函數 (1) 1 ( ) (1) (1) (1) (1) 1 ( , ) 2 ( )sin( ( )) ( ) j i z z y i i n n n H x z = − jφ
xβ
z−z +∑
rφ
x e β −其中： ' ' 1 n n n n r r if n i r r if n i = ≠ = − = (2) 在第 m 區 在第 m 區中我們可以寫成兩種形式，第一種是把他寫成一個前進波加上後退 波形式，也就是類似第一區的寫法，有前進也有後退造成第 m 區的場量分布： ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( )( ) ( )( ) m m m n m n m m n n n j z z j z z m m m y n n n A H x z =
∑
φ x e− β − − +∑
B φ x e− β − 因為第 m 區的場量分布是由兩個入射及反射所構成，在此區域內會形成駐 波，駐波即可以寫成三角函數的形式，我們可以直接把上式寫成第二種表示法， 也就是駐波形式： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )( , ) m ( )( )sin m ( ) m ( )( )sin m ( ) n n m n n m n m m m y n n n A z z z z H x z =∑
φ x β − − +∑
B φ x β − 我們在此作了更進一步的推進，把兩個介面上的連續條件在此時考慮進來， 並且我們做歸一化，使其成為一組正交而且又是滿足自然邊界化（1 或 0）的函 數，這樣子我們就可以很方便的檢查連續條件，並且使得計算更加的簡化，這個 shifted normalized sine如下：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) sin[ ( )] sin[ ( )] ( , ) { ( ) ( ) } sin[ ] sin[ ] m m m m m n m m m n m y n n m n n m n n m n m z z z z H x z a x b x z z β β φ β − φ β − − = + ∆ ∆
∑
1 m m m z z z − ∆ = − 分母不為 0 的情況下，這兩項為獨立函數。 由此式我們可以看出在z=zm−1時方程式為： ( )m ( , ) ( ) ( )m m ( ) y n n n H x z =∑
a φ x 在z=zm時方程式為： ( )m ( , ) ( ) ( )m m ( ) y n n n H x z =∑
b φ x (3) 在第 N+1 區 第 N+1 區就只有單純的透射，也就是一個前進波，方程式是很簡單的形式： ( 1)( ) ( 1)( , ) ( 1)( ) N n N j z z N N y n n n H + x z =∑
tφ + x e− β + −到目前為止，我們已經把所有區域內的場量形式定義出來。在做連續條件前，先 引入未知場量的觀念，先假設在每一個介面上的場量我們都知道，我們可以把每 一區的係數用未知場量來表示，就將所有方程式變成都是以未知場量的形式存在 著。 {Φn(N+1)} {Φn(1)} {Φn(m)} 、、、 、、、 (1) (m) (N+1) H1(x) Hm-1(x) Hm(x) HN(x) x z 圖11:介面上的未知場量函數
再利用函數的正交性，對函數自身做內積就可以得到我們想要得
到的係數值，
( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) 1 ( ) 1 [ ( )] ( ) ( ) i i i i n i m n i m nm r r x x dx x x φ φ φ φ δ ε ≡∫
ε ∝接下來要做積分因子的定義，在這之前，我們先定義一個量 ( )l n
η
來簡化表示式： ( ) ( ) 0 1... 1 l l n n l N β η ωε = = + 第一區及第N+1區情況較簡單所以先處理： (1) 第一區 (1) (1) (1) (1) 1 (1) (1) 1 ( ) ( , ) 2 cos[ ( )] ( ) ( , , ) ( ) i x i i r x E x z z z x G x x z x dx φ η ε β = − − ′ ′ ′ +∫
Η (1) 1 (1) (1) (1) * ( ) (1) (1) (1) ( ) [ ( )] ( , , ) ( ) ( ) n n n j z z n n r r x x G x x z e x x β η φ φ ε ε ′ − ′ = ′∑
(1)( , , ) G x x z′ 是第一區定義的積 分因子 (2) 第N+1區 (N 1)( , ) (N 1)( , , ) ( ) x N E + x z =∫
G + x x z′ Η x dx′ ′( 1) ( 1) ( 1) ( 1) * ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) [ ( )] ( , , ) ( ) ( ) N n N N n n N N j z z N n n N N r r x x G x x z e x x β η + φε + φε + − + − + + + ′ ′ = − ′
∑
(N 1)( , , ) G + x x z′ 是第N+1 區的積分因子 (3) 第m區 ( ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) m m l m r x m m E x z =∫
G x x z′ Η − x dx′ ′+∫
G x x z′ Η x dx′ ′ 中間區的情況跟左右兩介面有關 其中G( , )m l ( , ', )x x z 為左邊介面的積分因子 ( ) ( ) ( ) * ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] cos[ ( )] ( , , ) ( ) ( ) sin( ) m n n m m m m l n n n m m m m r r n m x x z z G x x z j x x z η φ φ β ε ε ′ β − ′ = ′ ∆∑
( , )m r ( , ', ) G x x z 右邊介面的積分因子 (1) 1 (1) (1) (1) * ( ) (1) (1) (1) ( ) [ ( )] ( , , ) ( ) ( ) n n n j z z n n r r x x G x x z e x x β η φ φ ε ε ′ − ′ = ′∑
(1)( , , ) G x x z′ 是第一區定義的積 分因子 (4) 第N+1區 (N 1)( , ) (N 1)( , , ) ( ) x N E + x z =∫
G + x x z′ Η x dx′ ′ ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) * ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) [ ( )] ( , , ) ( ) ( ) N n N N n n N N j z z N n n N N r r x x G x x z e x x β η φ φ ε ε + + + + − − + + + ′ ′ = − ′∑
(N 1)( , , ) G + x x z′ 是第N+1 區的積分因子 (5) 第m區 ( ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) m m l m r x m m E x z =∫
G x x z′ Η − x dx′ ′+∫
G x x z′ Η x dx′ ′ 中間區的情況跟左右兩介面有關 其中 ( , )m l ( , ', ) G x x z 為左邊介面的積分因子 ( ) ( ) ( ) * ( , ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) cos[ ( )] ( ) [ ( )] ( , , ) ( ) ( ) sin( ) m m m m r m n n n m n m m m n r r n m z z x x G x x z j x x z β φ φ η ε ε β − ′ − ′ = − ′ ∆∑
在中間區因為太複雜，所以我們再做進一步分析，再把積分因子G分成四 個PQRS因子( ) ( ) i i R S ( ) ( ) i i
P
Q
圖12：PQRS 矩陣 由圖可以看出這四個因子所代表的意義： (i)P
：在第i區由左邊介面傳遞到右邊介面的影響；Q
(i)：在第i區由左邊介面 反射到左邊介面的影響；R
(i)：在第i區由右邊介面反射到右邊介面的影響；S
(i)： 在第i區由右邊介面傳遞到左邊介面的影響 而PQRS與積分因子G的關係為： ( ) ( ) * ( ) ( , ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( , ) ( ) cot( ) ( ) ( ) m m m m l m n n m n n m m h m m n r r x x Q x x G z z j z x x φ φ η ε ε β − ′ ′ = = = ∆ ′∑
( ) ( ) * ( ) ( , ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( , ) ( ) csc( ) ( ) ( ) m m m m r m n n m n n m m h m m n r r x x S x x G z z j z x x φ φ η β ε ε − ′ ′ = = = − ∆ ′∑
( ) ( ) * ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( , ) ( ) csc( ) ( ) ( ) m m m m l m n n m m n n m h m m n r r x x P x x G z z j z x x φ φ η β ε ε ′ ′ = = = ∆ ′∑
( ) ( ) * ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( , ) ( ) cot( ) ( ) ( ) m m m m r m n n m m n n m h m m n r r x x R x x G z z j z x x φ φ η β ε ε ′ ′ = = = − ∆ ′∑
寫成矩陣形式： ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ') ( , ') ( , ) ' ( ) ( , ') ( , ') ( , ) m m m m x m h h m m m m x m h h x Q x x S x x E x z dx x P x x R x x E x z ε ε − − ′ Η + = ′ Η −∫
我們可以歸納出任意N區的結構所形成的矩陣，將為N乘N的一個對稱矩陣： ( )1 h Q ( ) ( ) Rh( )N ( ) ( ) 2 2 h h 2 2 h h P R Q S…
圖13:任意 N 區的情況1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 1 1 , , 1 , 1 1 1, 2 1, 1 1, , , 1 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 i i i i i i i i i N N N N N N N N N N N G G G G G x x G G G x dx x G G G x G G − − + + − − − − − − ′ Η ′ Η ′ ′ Η ′ Η ′ Η
∫
L L L L L L M M M O L M M M L M O M L M L L L M O M L M M M M M O M M M L M O L L L 2 ( ) 0 0 inc E x = M M M M 其中每一項為 (1) (2) (2) 1,1 h h , 1,2 h G =R −Q G = −S ,Gi−1,i= −Sh( )i , ( ) ( ) ( 1) ( 1) , , 1 i, i i i i , , 1 i i i h h h i i h G − =P G =R −Q + G + = −S + ( 1) 1, i i i h G+ =P + ,GN N, 1 Ph( )N ,GN N, Rh( )N Qh(N 1) + − = = − ,−Sh( )i ( , )x x′ =Ph( )i ( , )x x′ , , 1 1, 1... 1 i i i i G + =G+ i= N− 所以這是一個對稱的N乘N矩陣 為了要將聯立積分方程變為矩陣方程，接著做一個重疊積分（Overlap Integral） 的定義： , , , , ( ) i i i i T i i k l O = O =O i 代表在第i個介面上的模態基底； i 代表在第i區的模態基底 , , i i k l O 代表矩陣內每一項元素 由第i介面轉到第i區的overlap integral為： , ( ) ( ) , ( ) 1 ( ) ( ) i i i i k l k i l r O ϕ x φ x dx ε =∫
而由第i介面轉到第i+1區的overlap integral為： , 1 ( ) ( 1), ( 1) 1 ( ) ( ) i i i i k l k i l r O ϕ x φ x dx ε + + + =
∫
最後推導整理出的矩陣方程式如下式： 1,1 1,2 1 2,1 2,2 2,3 1 , , 1 , 1 1 1, 2 1, 1 1, , , 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 inc i i i i i i i i i N N N N N N N N N N N G G G G G c E c c G G G c c G G G G G − − + + − − − − − − = L L L L L L M M M O L M M M L M O M L M M M L L M L M O M L M M M M M M M O M M L M O L L L (1) 1 1 (1) Ni c c c = M (2) 1 2 (2) Ni c c c = M ( 1) 1 1 ( 1) i i i Ni c c c − − − = M ( ) 1 ( ) i i i Ni c c c = M ( 1) 1 1 ( 1) i i i Ni c c c + + + = M ( ) 1 ( ) N N N Ni c c c = M 要解矩陣，我們使用couple E、couple H的方法去找m個模態，依序由
fundamental mode而guided mode再到β帶虛部的evanescent mode，重點是不能 漏掉任何一個模態，就不會有誤差。 【2】圓柱座標多層介質波導之模態分析： 光纖模態的問題，從1970年後就有許多相關的分析，近二十年來光纖的結 構及參數(如載波波長、光纖色散特性)經歷許多改變。而未來所設計的光纖結構 也會有許多的變化。本報告利用耦合z分量電磁場（coupled
E
z，H
z）方法， 推導出一N階橫向介面電磁場耦合聯立方程式，來分析圓柱波導及雷射與光纖 間的耦合問題。再將其轉換成矩陣特徵值、特徵向量的問題，即可找出光纖（圓 柱波導）的傳播常數與場型分佈。 本報告在數學模型中，我們可以處理任意層數層結構的Step-Index Fiber、 W-Type Fiber及Dielectric Tube等階梯變化的折射率，由於變數的減少、實數對稱矩陣的優點，及利用Wronskians行列式的簡化，將只有在對角線的元素才有
貝索函數（Bessel function）的存在，因此我們將可以大大減少推導的複雜度及 計算量。在數值計算結果方面，我們計算了目前市面上較普遍所採用的光纖型 態，如Step-Index Fiber；及其他型態如W-Type Fibers及Dielectric Tube。藉由
Step-Index Fiber推導正解比較後除了可以清楚地看到光纖內電磁場變化的情
形，也可發現，使用此分析方法不僅較快速且容易。
一般分析圓柱型波導問題，將三層圓柱型波導分成以下三種型態探討分析： （1） Step-Index fiber
（3） Dielectric Tube Waveguide
此三種波導的結構與折射率曲線如圖1，圖2，圖3所示。
圖1：Step-Index fiber
圖2：W-Type fiber 圖3：Dielectric Tube
分區正解法為先將光纖分為多區以階梯近似原來的折射率曲線，再將每一區 以貝索函數(Bessel Function)展開，在介面上以滿足切面電場與磁場連續去分析。 在折射率變化很大的情形下，因分成許多區，增加計算上的複雜度，其中電腦主 要花費在計算貝索函數的數值佔了大部分的時間；然而卻可以得到一數值正解。 WKB法是以連續變化的折射率曲線為基礎求出微分方程式的近似解。除 了上述的特性之外，以此二種方法求解前必須先假設適合之傳播常數β值，再判 斷此值是否滿足一個矩陣方程式的非零解（nontrivial solution）；再利用牛頓法 （Newton Method）等收斂至更佳的傳播常數值β。 近似的分析方法中，如有限差分（FD）法、有限元素（FE）法，這些近似 方法有計算快速的優點；但卻由於是利用近似的公式，比較無法得到精確的正 n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3
解，同時因為目前個人電腦的記憶容量及速度，在分析光纖時對矩陣大小的限 制，導致無法計算高階模態。在本報告中所討論的是延續分區正解法，但並非是 直接利用切線電磁場連續而是反其道而行的假設介面上的未知場量為已知量，配 合將所有的計算式轉換成矩陣運算子的方式及數學式的簡化來作多層的理論數
值分析；最終的未知量分別是介面上的電場或磁場，解的矩陣是一個NxN腰寬
為三的方塊對角矩陣（Block tridiagonal matrix）。
全部的計算皆是在圓柱座標下的推導，而我們也利用分離變數及軸對稱的特 性將問題轉化為較簡單的一維多層電介質波導的結構，如圖1所示。 (N+1) Q ( )1 R ( ) ( ) i i S R ( ) ( ) i i Q P r 1 1 i i at r r U − − = i i at r r U = N N at r r U = 1 1 at r r U = 1 n … ni … nN+1 圖4：一維多層電介質波導的結構圖 在圖4第一區中，由於貝索函數 Ym、K 在m r=0處會發散，所以矩陣運算子 因為只有一個介面的場量貢獻而只有一個；第N+1區中，由於貝索函數 Im在
r
= ∞
處會發散，矩陣運算子因為只有一個介面的場量貢獻而只有一個。 在分析光纖模態當中，如何判定光纖的模態及計算光纖能容納多少種模態是 一個重要的課題；所謂模態，就是指滿足方程式中的某一個特別解，而模態又分 為傳導模態(guided mode)、輻射模態(radiation mode)以及漏失模態(leaky mode)， 在光纖通訊當中，訊號都是透過傳導模態在傳送；所以如何去判斷以及計算光纖 的模態變成為分析光纖中的一們重要課題。在判定單模條件中，大部分是使用截 止頻率（Normalized frequency）來判斷。而V的數學式為 2)12 2 2 1 ( 0a n n k V = − ，並 且可以近似成為(2π/λ)an1 2∆，其中n ，1 n 分別代表光纖中蕊層及包層的折射2 率，λ為入射到光纖中的波長， 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 n n n n n n − ≈ − = ∆ 。在單模光纖中只能容許HE 模11存在，而單模光纖中的HE 模即是我們所熟悉的基模；在單模光纖中只容許一11 種模態HE 模的原因是其他的高階模態在某一種操作波長下被截止掉，11 HE 模11 並未被截止；所以在單模光纖中只有HE 模能存在。前面所提到的參數11 V就是 單模條件，根據計算貝索函數(Bessel’s function) 就可以知道V在小於2.405的情 況下會達到單模的條件。即在J0(V)=0的情形下，V若小於滿足J0(V)=0中V 之最小值，即可使光纖達到單模條件。V本身除了可以用來判斷單模條件外，在 V很大的情形下可以用V大略估計有多少個模態；在一個多模光纖中，且V很 大的情形下，此多模光纖所存在之模態大略與 2/2 V 接近。 在 Step-Index fiber 中，數值分析分為兩層結構及三層結構；並在兩種結 構中進一步分析m≠0（電場磁場耦合）及m=0（TE 或 TM）兩種傳播情況。 A.兩層結構 （1）m≠0
圖5中，光纖中為single mode，設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑
r
1=5 mµ ，第一 層折射率n1 =1.45，第二層折射率n2 =n1(
1 0.5%−)
，電磁場互相耦合，fundamental mode；四個分量Er、H 、r E 、φ H 分別乘上φ 0.012 8 、 0.018 8 etal× 、0.015 8 、 0.01 8 etal× ， 其中 0 1 0 1 etal n µ ε = ；只有Er會在介面處產生場形不連續。圖5中Er、Dr分別乘上 1/500、4.e10/500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1The fields of E H(HE ) of step-index fiber (2L) 1n d / 1 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n te n s it y Er Hr Eφ Hφ 圖(5)：2L step-index fiber，m = 1，單模，E H Er, r, φ,Hφ 對 r 之基模場形（1st/1）
（2）
m
=
0
分為TM及TE的case。
設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑r1=5 mµ ，第一層折射率
n
1 =1.45，第二層折射率
n
2 =n
1(
1 3%−)
，mode numbers為2，mode 1= 是基模；mode 2= ，是高模。 圖6及圖7為TM的兩個場形圖。圖6中三個分量Ez、Hφ、Er中，分別乘上1.e14、eta1*1.e14、0.7*1.e14。圖7中三個分量Ez、Hφ、Er中，分別乘上5.e13、eta1*5.e13、
0.7*5.e13 ，其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
The fields of TM of step-index fiber (2L) 1st / 2 mode
r (µm) N o rm al iz ed f ie ld i n te n s it y E z H φ Er 圖（6）2L step-index fiber，TM，多模，E E Hz, r, φ對r 之高模場形（1st / 2） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
The fields of TM of step-index fiber (2L) 2nd / 2 mode
r (µm) N o rm al iz e d f ield in te n s it y Ez H φ Er 圖（7）2L step-index fiber，TM，多模，E E Hz, r, φ對r 之高模場形（2nd / 2） 圖8及圖9，為TE的兩個場形圖。 圖8中三個分量Hz、Eφ、Hr中，分別乘上eta1*1.e8/30、1.e8/30、0.9*1.e8/30。
圖9分別乘上eta1*1.e8/12、1.e8/12、0.9*1.e8/12，其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
The fields of TE of step-index fiber (2L) 1st / 2 mode
r (µm) N o rm a li z e d fi e ld i n te n s it y Hz Eφ Hr 圖（8）2L step-index fiber，TE，多模，H H Ez, r, φ對r 之高模場形（1 st / 2） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
The fields of TE of step-index fiber (2L) 2nd / 2 mode
r (µm) N o rm al iz e d f ie ld i n te ns it y Hz Eφ Hr 圖（9）2L step-index fiber，TE，多模，H H Ez, r, φ對r 之高模場形（2nd / 2） B.三層結構 （1）m≠0 在三層結構的光纖波導中折射率曲，傳播常數β有兩種情況：n k2 0<β <n k1 0及 3 0 2 0 n k <β <n k 。設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑
r
1 =2 mµ
及cladding的半 徑r
2 =4 mµ
，第一層折射率n
1 =1.45，第二層折射率n2 =n1(
1 0.1%−)
，第三層mode；對四個分量Er、Hr、Eφ、Hφ分別乘上係數0.9/50、1/50、0.7/50、0.4/50， 以方便分辨各個場形。 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
The fields of EH(HE) of step-index fiber (3L) 1st / 1 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n te ns it y Er Hr Eφ Hφ 圖（10）3L step-index fiber，m = 1，單模，E H Er, r, φ,Hφ對r 之基模場形 接下來，則是我們改變第二層折射率
n
2 =n
1(
1 1%−)
，第三層折射率n3 =n1(1 3%− )的值，其他的參數維持不變。如此可讓guiding mode的數目增加，其中mode
numbers為3。圖（11）為fundamental mode， 別乘上係數1/15、1/15、0.9/15、 0.9/15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
The fields of EH(HE) of step-index fiber (3L) 1st / 3 mode
r (µm) N o rm al iz e d f ie ld in tens it y Er Hr E φ H φ 圖（11）3L step-index fiber，m = 1，多模，E H Er, r, φ,Hφ對r 之高模場形（1st / 2） （2）m=0 設定波長
λ
=1.55 mµ
，core的半徑r
1=2 mµ 及cladding的半徑r
2 =4 mµ ，第一層 折射率n1=1.45，第二層折射率n
2=n
1(
1 3%−)
，第三層折射率n3 =n1(1 5%− )。 TM中，modes=2，圖（12）為mode 1= ，fundamental mode； mode 1= 對三個分量Ez、Er、Hφ分別乘上係數1/1.2、0.7/1.2、eta1/1.2，。其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
The fields of TM of step-index fiber (3L) ( 1st / 2 mode )
r (µm) N o rm a liz e d f ie ld in te n s it y Ez Hφ Er 圖（12）3L step-index fiber，TM，多模，E E Hz, r, φ 對 r 之高模場形（1st / 2）
TE中，modes=2，圖（13），fundamental mode；三個分量Hz、Eφ、Hr，，我們
已對磁場乘上特徵阻抗，所以電磁場的數值相當接近。mode 1= 對三個分量Hz、 φ E 、Hr分別乘上係數5 *eta1*1.e-8、5*1.e-8、4*eta1*1.e-8。其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
The fields of TE of step-index fiber (3L) ( 1st / 2 mode )
r (µm) N o rm al iz ed f ie ld i n te n s it y H z E φ Hr 圖（13）3L step-index fiber，TE，多模，H Ez, φ,Hr對r 之高模場形（1st / 2） W-Type fiber 在三層結構的光纖波導中折射率曲線如圖，傳播常數β只有一種情況： 3 0 1 0 n k <β <n k 。
（1）m≠0
圖（14）中，設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑
r
1=4 mµ 及cladding的半徑2 8 m
r
= µ ，第一層折射率n
1 =1.45，第二層折射率n
2 =n
1(
1 3%−)
，第三層折射 率n
3 =n
1(
1 1%−)
，其中mode numbers為1，mode 1= 為fundamental mode；四 個分量Er、Hr、Eφ、Hφ中，只有Er會在介面處產生場形不連續；另外，我們 也已對磁場乘上特徵阻抗，所以電磁場的數值相當接近。對四個分量Er、Hr、 φ E 、Hφ分別乘上係數1/20、eta1/20、0.9/20、eta1*0.4*/20。其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Four fields of EH(HE) of w-type fiber (3L) 1s t / 1 mode
r (µm) N o rm a li z e d f iel d i n te ns it y E r Hr Eφ H φ 圖（14）w-type fiber，m = 1，E H Er, r, φ,Hφ 對 r 之基模場形（1st / 1） （2）m=0 分為TM及TE的case。 設定波長
λ
=1.55 mµ
，core的半徑r
1=4 mµ 及cladding的半徑r
2=8 mµ ，第一層 折射率n
1 =1.45，第二層折射率n
2 =n
1(
1 7%−)
，第三層折射率n
3 =n
1(
1 4%−)
， 其中mode numbers為2，mode 1= 是基模。圖（15），為TM的場形圖。mode 1= 對三個分量Ez、Er、Hφ分別乘上係數1.e4/1.5、1.e4/1.5、eta1*1.e4/1.5，以方便 分辨各個場形，其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。我們已對磁場乘上特徵阻抗，所以電磁場的 數值相當接近。0 2 4 6 8 10 12 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
The fields of TM of w-type fiber (3L) 1s t / 2 mode
r (µm) N o rm a liz e d f ie ld in te n s it y E z Hφ Er 圖（15）w-type fiber，m = 0，TM，E E Hz, r, φ對r 之高模場形 圖（16），為TE的場形圖。我們已對電場乘上特徵阻抗，所以電磁場的數 值相當接近。mode 1= 對三個分量Hz、Eφ、Hr分別乘上係數eta1*1.e-3/2.5、 1.e-3/2.5、0.9*eta1*1.e-3/2.5，其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = ，以方便分辨各個場形。 0 2 4 6 8 10 12 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
The fields of TE of w-type fiber (3L) 1s t / 2 mode
r (µm) N o rm al iz ed f ie ld i n te ns it y Hz Eφ Hr
圖（16）w-type fiber，m = 0，TE，H Ez, φ,Hr對r 之高模場形
Dielectric Tube Waveguide
在三層結構的光纖波導中折射率曲線，傳播常數β情況：n k3 0 ≤n k1 0 <β <n k2 0
（1）m≠0 1 3 2
n
< <
n
n
： 設定波長λ
=1.55 mµ
，core的半徑r
1=4 mµ 及cladding的半徑r
2=8 mµ ，第 一層折射率n
1 =n
2(
1 0.5%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三層折射率(
)
3 2 1 0.1%n
=n
− ，電磁場互相耦合m=1，其中mode numbers=1。圖（17） 是fundamental mode。 0 2 4 6 8 10 12 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Four fields of EH(HE) of dielectric tube 1st / 1 mode
r (µm) N o rm a li z ed f iel d i n tens it y Er Hr Eφ H φ 圖（17）tube，
n
1< <
n
3n
2，m = 1， , , , r r φ φ E H E H 對 r 之基模場形（1st/1） 接下來，我們改變第一層折射率n
1 =n
2(
1 8%−)
，第三層折射率n
3 =n
2(
1 4%−)
， 讓guiding mode增加，其中mode numbers為4。圖（18），fundamental mode。 四個分量Er、Hr、Eφ、Hφ分別乘上不同係數1/12、eta1/12、1/12、eta1/12。 只有Er會在介面處產生場形不連續； 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9F o ur fie ld s o f E H (H E ) o f d ie le c tric tub e 1s t / 4 m o d e
r (µm ) N o rm al iz ed f iel d i n te n s it y E r H r Eφ H φ 圖（18）tube，n1< <n3 n2，m = 1，多模，E H Er, r, φ,Hφ對r 之高模場形
3 1 2
n
< <
n
n
： 設定波長λ=1.55 mµ ，core與cladding的半徑分別為r
1=4 mµ 、r
2=8 mµ ， 第一層折射率n
1 =n
2(
1 1%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三層折射率(
)
3 2 1 2%n
=n
− ，mode numbers為5。圖（19）是fundamental mode。四個分量Er、Hr、Eφ、Hφ分別乘上0.7/18、eta1/18、 0.9/18、0.8*eta1/18。其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。 r E 會在介面處產生場形不連續；另外，我們也已對電場乘上特徵阻抗，所以電 磁場的數值相當接近。 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Four fields of EH(HE) of dielectric tube 1s t / 5 mode
r (µm) N o rm al iz ed f ie ld in tens it y Er Hr E φ H φ 圖（19）tube，n3< <n1 n2，m = 1，多模，E H Er, r, φ,H 對 r 之高模場形φ 3 1 2
n
=n
<
n
： 設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑r
1=4 mµ 及cladding的半徑r
2=8 mµ ，第一層 折射率n
1 =n
2(
1 0.3%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三層折射率(
)
3 2 1 0.3%n
=n
− 。圖（20），是fundamental mode。四個分量Er、Hr、Eφ、Hφ 分別乘上0.8/45、eta1/45、1.08/45、0.9*eta1/45。其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。0 2 4 6 8 10 12 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Four fields of EH(HE) of dielectric tube 1s t / 1 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n te n s it y Er Hr E φ H φ 圖（20）tube，n3 =n1<n2，m = 1，E H Er, r, φ,Hφ 對 r 之基模場形 接下來為多模： 設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑
r
1=4 mµ 及cladding的半徑r
2=8 mµ ，第一層 折射率n
1 =n
2(
1 1%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三層折射率n
3 =n
2(
1 1%−)
， mode numbers為3。圖（21），是fundamental mode。四個分量Er、Hr、Eφ、Hφ分別乘上0.7/16、eta1/16、0.9/16、0.8*eta1/16。其中， 0 1 0 1 etal n µ ε = 。 r E 會在介面處產生場形不連續；另外，我們也已對電場乘上特徵阻抗，所以電 磁場的數值相當接近。 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Four fields of EH(HE) of dielectric tube 1s t / 3 mode
r (µm) N o rm al iz e d f ield in te n s it y Er Hr Eφ Hφ 圖（21）tube，n3 =n1<n2，m = 1，多模，E H Er, r, φ,H 對 r 之場形 φ
（2）m=0
1 3 2
n
< <
n
n
：分為TM及TE的case，設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑r1=4 mµ 及cladding
的半徑
r
2=8 mµ ，第一層折射率n1=n2(
1 8%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三層 折射率n
3 =n
2(
1 4%−)
，其中modes numbers為2，圖（22）為TE，fundamental mode。三個分量Hz、Eφ、Hr分別乘上不同係數eta1*1.e-6/14、8.e-7/14、eta1*1.e-6/14。圖（23）為TM，fundamental mode。三個分量Ez、Er、Hφ分別
乘上不同係數1、eta1、1。 0 2 4 6 8 10 12 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Two fields of TM of dielectric tube 1s t / 2 mode
r (µm) No rm a liz e d f ie ld in te n s it y Ez Hφ Er 圖（22）tube，n1 < <n3 n2，TM，E E Hz, r, φ對r 之高模場形 0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Two fields of TE of dielectric tube) 1st / 2 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n te n s it y Hz Eφ Hr 圖（23）tube，n1< <n3 n2，TE，H H Ez, r, φ對r 之高模場形
3 1 2
n
< <
n
n
：分為TM及TE的case，設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑
r
1=4 mµ 及cladding 的半徑r
2=8 mµ ，第一層折射率n
1 =n
2(
1 1%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三 層折射n
3 =n
2(
1 4%−)
，其中modes numbers為4。圖（24）為TM，fundamental mode。三個分量Ez、Er、Hφ分別乘上不同係數1、1、1.28 *eta1。 圖（25）為TE，fundamental mode。三個分量Hz、Eφ、Hr分別乘上不同係 數eta1*1.e-6/14、8.e-7/14、eta1*1.e-6/14。 分量中，只有Er會在介面處產生場形不連續；另外，我們也已對電場乘上 特徵阻抗，所以電磁場的數值相當接近。 0 2 4 6 8 10 12 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2Two fields of TM of dielectric tube 1st / 4 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n te ns it y E z Hφ Er 圖（24）tube，n3 < <n1 n2，TM，E E Hz, r, φ對r 之高模場形 0 2 4 6 8 10 12 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Two fields of TE of dielectric tube) 1st / 4 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n te ns it y Hz E φ Hr 圖（25）tube，n3 < <n1 n2，TE，H H Ez, r, φ對r 之高模場形
1 3 2
n
=n
<
n
： 分為TM及TE的case： 設定波長λ=1.55 mµ ，core的半徑r
1=4 mµ 及cladding的半徑r
2=8 mµ ，第一層 折射率n
1 =n
2(
1 4%−)
，第二層折射率n
2 =1.45，第三層折射率n
3 =n
2(
1 4%−)
， modes numbers為2。 圖（26）為TM，fundamental mode。三個分量Ez、Er、Hφ分別乘上不同係數1、1、1.28*eta1。圖（27）為TE，fundamental mode。三個分量Hz、Eφ、Hr分別 乘上不同係數eta1*1.e-6/14、8.e-7/14、eta1*1.e-6/14。只有Er會在介面處產生場 形不連續；另外，我們也已對電場乘上特徵阻抗，所以電磁場的數值相當接近。 0 2 4 6 8 10 12 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Two fields of TM of dielectric tube 1st / 2 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n tens it y Ez H φ Er 圖（26）tube，n1=n3 <n2，TM，E E Hz, r, φ對r 之高模場形 0 2 4 6 8 10 12 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Two fields of TE of dielectric tube) 1st / 2 mode
r (µm) N o rm al iz ed f iel d i n tens it y Hz E φ Hr 圖（27），n1=n3<n2，TE，H H Ez, r, φ對r 之高模場形
【3】解析連續法分析彎曲光波導之模態與場型： 本報告我們將分析彎曲波導，因為彎曲波導的斜面左右兩側的座標系統不完 全匹配，造成計算上的困難，所以利用解析連續的方法分析，並利用其對稱結構 的特性，減少數值計算量，分析計算此彎曲波導的反射係數、穿透係數與場型。 我們先考慮一個彎曲金屬波導，在彎曲的介面是無法使用階梯近似的方式去 分析場型，即使可以用也會產生計算量過大的問題，導致計算結果不正確。因此， 我們在此引入解析連續去處理因為彎曲所導致的斜面邊界問題。然後，我們再利 用座標轉換，將 x，z 座標轉換成一維的 s 座標，x= −ssinθ +L，z=scosθ， 如此可以將原本斜面兩側座標系統不匹配，轉換為同座標系統，計算量與誤差可 以大幅降低。，下面我們以 TM wave 為例作分析說明：首先，我們根據連續條件 推得
( ) ( )
( ) ( )
0 0 n N N j z n n n n n n n n e− β rφΙ x ψΙ z t φΙΙ x ψΙΙ z = = +∑
=∑
，其中rn為反射係數、tn為穿透係數、 2 2 n n k L π β = − ( )
cos ,( )
j zn n n n x x z e L β π φΙ = ψΙ = − ( ) cos , ( ) j nz n n n x x z e L β π φΙ = ψΙ = − ( ) j nx , ( ) cos n n n z x e z L β π φΙΙ = − ψΙΙ = ，再根據微分連續邊界條件 $ $ 1 2 ∇u ng = ∇u ng 推得另一方 程式，並將此兩組方程式轉換至 s 座標。由〈 ϕ*〉=〈 ϕ*〉 m m LHS RHS ，推得兩組積分方程 式，再將其化成矩陣形式，但推導出的積分方程矩陣，計算上較複雜，所以利用 此波導具有對稱結構的特性，對稱性可用以簡化計算過程與矩陣繁衍，將其分解 為兩部分計算，可以有效地降低大約四分之一計算量。對稱性分解分為奇對稱與 偶對稱兩種情況，首先考慮奇對稱的情況，對稱的邊界條件為電牆u x z( ), =0，下 圖為20o轉彎介面為電牆的彎曲波導 + ( ), 0 u x z = L( )
( ) ( )
0 , − φΙ ψΙ 0 = = jkz+∑
N = n n n n u x z e r x z 在斜邊介面 同理我們考慮偶對稱的情況，對稱的邊界條件磁牆∇u ng$ 0= ，下圖為20o轉彎介面為磁牆的彎曲波導 + +
( )
, 0 ∂ = ∂ u x z n L( )
( ) ( )
0 ˆ , − φΙ ψΙ = = jkz+∑
N n n n n u x z e r x z ，將方程式整理成矩陣形式[ ]
0 1 ij N r r A a r = − M 、 0 1 ˆ ˆ ˆ = M ij N r r B b r ，(
( )
)
(
( )
)
*( )
ij j j i A = φΙ x s ψΙ z s ϕ s ，( )
( )
( )
( )
*( )
ij j j i B = φΙΙ x s ψΙΙ z s ϕ s 、[ ] j nz *( )
i a = e− β ϕ s 、[ ] jnz *( )
i b = e−β ϕ s ，解出rn（電 牆解的反射係數），rˆn（磁牆解的反射係數），並利用對稱性分解關係式，入射與 反射區的解=（電牆解+磁牆解）/2、穿透射區的解=（磁牆解-電牆解）/2、穿透 係數=（磁牆反射係數-電牆反射係數）/2、反射係數=（磁牆反射係數+電牆反射 係數）/2，即可得到在斜面兩側的場型。同理可推得 TE wave 的場型。 經過理論分析後，利用 matlab 程式計算出在彎曲波導兩側的 TM wave 場型 （彎曲角度以20o 為例），證明理論是正確可行的。 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Fig1.為彎曲波導左側的場型（奇對稱，電牆，λ =1 mµ ，L = 2 .3µm ） 由上可知在斜邊上確實滿足邊界連續條件-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Fig2.為彎曲波導左側的場型（偶對稱，磁牆，λ =1 mµ ，L = 2 .3µm ） 由上可知在斜邊上確實滿足邊界微分連續條件下表為不同角度情況的反射係數 與穿透係數 1o 3o 5o 10o 15o 20o 0
r -0.019+0.004i -0.021+0.050i 0.035+0.052i -0.053-0.060i 0.039+0.219i 0.151-0.349i
1
r 0.005+0.001i 0.030-0.013i 0.014-0.034i 0.037-0.018i 0.019-0.166i -0.366+0.145i
2
r -0.017-0.005i -0.001+0.063i 0.097-0.018i -0.287-0.022i 0.283+0.463i 0.182-0.761i
0
t 0.938-0.242i 0.639-0.574i 0.265-0.672i -0.242-0.186i 0.179+0.098i 0.057-0.507i
1
t -0.044-0.195i -0.366-0.441i -0.829-0.315i -0.609+0.876i 0.361+0.246i -0.558+0.242i
2
t -0.028-0.002i -0.081+0.133i -0.004+0.245i 0.361+0.551i 1.285-0.126i -0.037-1.491i
由計算的結果中，可以發現很有趣的現象，當彎曲角度在0o時穿透係數為 1，在 3o以下 0 t 大於t1，但是在大於3o則 1 t 大於t0。但是，經過我們的測試發現當彎曲 的角度過大時，推衍出來的矩陣會奇異，計算的誤差會加大，但可以透過修正而 克服此問題。此外，我們可以將此方法延伸到計算分析介電值波導。
總結與論文發表：
此計畫資助了兩篇的博士論文，分別為：
”Guiding mode Expansion of a TE and TM transverse -mode Integral Equation for Dielectric Slab Waveguides with an abrupt termination”
(此論文已發表在J.O.S.A.,November 2001)，
”Low Loss Polyimide-Ta2O5-SiO2 Hybrid ARROW Waveguides” (此論文已發表在IEEE Photonics Technology Letters,January 2002) 與四篇的碩士論文，分別為： ”雙向多模解析法分析二維環型共振腔結構”， ”圓柱座標多層介質波導之模態分析”， “利用解析連續法分析彎曲光波導之場型”， “解析連續法分析彎曲三層介電值光波導之模態與場型”， 以上四篇已有在O.P.T.發表，已在整理準備發表期刊。
