第一章 电磁现象的普遍规律
Universal Law of Electromagnetic
本章将从基本的电磁实验定律出发
建立真空中的
Maxwell’s equations
。并
从 微 观 角 度 论 证 了 存 在 介 质 时 的
Maxwell’s equations
的形式及其电磁性
质 的 本 构 关 系 。 继 而 给 出
Maxwell’s
equations
在边界上的形式，及其电磁场
的 能 量 和 能 流 ， 最 后 讨 论
Maxwell’s
equations
的自洽性和完备性。
本 章 主 要 内 容
电荷守恒定律 电荷与电场 电流和磁场 麦克斯韦方程组 介质的电磁性质 电磁场边值关系 电磁场的能量和能流§1.1 电荷守恒定律
The Conservation Law of Charge
电荷不会产生也不会消失.
1. 电荷密度(Charge Density)
V
q
V
lim
0
i i ix
x
q
(
)
电荷连续分布带电体 点电荷分布带电体 面电荷密度s
q
S
lim
0
线电荷密度l
q
l
lim
0
单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强 度，用I表示，显然I与 的关系为j
j
d
s
I
2 电流密度（Current density)
v
j
j v
电荷的运动形成电流，通常用 来描述，其定义为 代表电荷密度 的运动速度。3 电流强度(Current intensity)
对于封闭系统，总电荷保持不变。实验表明电 荷是守恒的。即一处电荷增加了，另一处的电荷必 然减少，而且增加和减少的量值相等。 若在通有电流的导体内部，任意找出一个小体 积V，包围这个体积的闭合 曲面为S，并且假定电流的 体积V的一面流入，从另一 面流出。 S V
3.电荷守恒(
Conservation of Charge)
单位时间内穿过
S
曲面流出去的电量为 而流出去的电量应该等于封闭曲面S
内总电荷在单位 时间内的减少量，即 所以
Ss
d
j
dQ
Vd
dt
d
V Sd
dt
d
s
d
j
根据Gauss’ theorem，有 若所选取的封闭曲面S不随时间变化，则 由于曲面S是任意选取的，所以被积函数恒为零，即
V Sd
j
s
d
j
Vd
t
j
)
0
(
0
t
j
注意： a) 在稳定电流的情况下，由于 ，所以 这表示稳定电流线是闭合的。 b) 对于全空间V，S为无穷远界面，由于S面上 没有电流流出，即 ，从而得到 表示全空间的总电荷守恒。
0
j
0
t
0
Ss
d
j
0
Vd
dt
d
§1.2 电荷与电场
Electric Charge and Electric Field
库仑定律 叠加原理 电场 高斯定理 电场的散度 电场的旋度
1.库仑定律（Coulomb’s law) Coulomb’s law是描写真空中两个静止的点电荷
q
’和q
之间相互作用力的定律。其数学表达式为'
4
1
3 0x
x
r
r
r
q
q
F
z x y o q q’ x xr
式中 表示
q
’到q
的矢径， 表示电荷q
受到q
’ 的作用力。同理，q
’受到q
的作用力 是： 这里的 Coulomb‘s law是大家熟知的，在这里要着重指 出的是：该定律在电磁学发展史上占有重要的地位， 它的发现使人们对电现象由定性的研究过渡到定量 的研究，这是电学研究的转折点，特别是它的平方 反比律性质，是Gauss theorem的基础。现代物理实 验证明，如果把库仑力写成正比于 ，则ε
的x
x
r
F
FF
r
r
q
q
F
3
04
1
r
r
) 2 ( r
2、叠加原理（principle of superposition) Coulomb’s law所说明的只是空间存在的两个点 电荷之间的相互作用。实际上，往往同时存在多个 电荷，这时任意两个电荷之间的相互作用的规律是 什么呢？每个电荷受到多大的作用力呢？总结了许 多实验以后, 人们发现： 若空间存在n个电荷q1, q2···qn，这时任意一个电荷qj， 受到其它所有电荷对它的作用力为
n i ji ji i j jr
r
q
q
F
1 3 04
1
此式称为线性叠加原理。 原理是假设性的，它并不能从理论本身中产生， 其可靠性由实验来检验。迄今为止，在经典范围内 和我们可以达到的场强下还没有找到一个反例显示 出线性叠加原理的失效。 实际上电荷分布是不连续的，因为电荷是量子 化的，任何物体所带的电荷总是电子电荷的整数倍。 但在考查物体的宏观性质时能观察到的总是大量微 观粒子的平均效应，因此常用到电荷连续分布的概
其中
dQ
是这空间任一体积元 中所逞的电量。因此， 一个点电荷q
受到一个电荷连续分布的带电体的作用 力为 式中 是 指向q
的位置矢量。 显然，两个电荷连续分布的带电体之间的相互作用 力为
d
dQ
Q
lim
0
Vd
r
r
q
F
3 04
1
d r d
1 3 2 1 24
1
d
d
r
r
F
虽然电荷的真实分布是体电荷分布，但在实际 中会碰到电荷集中分布在靠近物体表面的一个薄层 内，此时常引入面电荷密度来描述这种电荷分布。 若电荷分布在表面薄层
h
内，用 代表表面上的 任一小面积元，则体积元h
内的电量为 定义面电荷密度为 h S S S S
h
Q
3、电场（electric field） 由Coulomb’s law得知，在一个给定电荷分布的 空间内某一点放置一个点电荷q，此点电荷所受的力 由两个因素决定：一是点电荷本身的位置及其电量 的大小；二是给定周围电荷的分布和电量的大小。 由于放置点电荷q将会直接影响给定电荷的分布，因 此为了使问题简单，我们在讨论放置电荷q的运动时， 常把其余电荷看作保持原先的分布，即其余电荷的 的相对位置都是固定不变的。于是，作用在电荷
q
上 的力仅与该电荷的电量q
及其位置有关，即式中 是点电荷
q
所在的位置矢量， 是点 的 某一矢量函数，与Coulomb’s law比较，可以看出 或者 ) (x F x x
n i i i i x x x x q x E 1 3 0 | | ) ( 4 1 ) (
Vx
d
x
x
x
x
x
x
E
)
(
1
|
|
)
)(
(
4
1
)
(
3 0
)
(x
E
q
F
式中 是场点
P
的位置矢量， 是源点 的位 置矢量， 要讨论点电荷q
的运动就要知道它所受到的作用力。 求作用力可归结为求函数 ，而它决定于空间除q
以外其余电荷的分布，这个函数就称为电场强度。 z P(x,y,z) y o x x xr
d x x
(x ) d
x
x
r
) (x E 4、高斯定理（Gauss’ theorem) 现在，具体分析一下电荷分布产生的电场 的一般性质。所谓电场其实是带电体周围的一个特 殊空间，特殊性表现在：当我们在这个空间放入一 个点电荷时，该电荷会受到作用力。 Gauss’ theorem主要是讨论电场强度 的面积 分，在点电荷场中，设
s
表示包围着点电荷q
的一个 闭合面， 为s
上的定向面元，以外法线方向为正。 ) (x E ) (x E s
d
a) 如果点电荷
q
在s
面内 θ S q r E s d d s d 对于空间任一封闭曲面S
作 的面积分，可得 推导E
0 04
q
d
q
s
d
E
S S
b) 如果点电荷
q
在S
面外，把S
面分成两部分， 照明部分S
2和阴影部分S
1,则 S q E 1 s d d s d S1 2 1 2 s d0
E
d
s
q
d
d
推导由此可得到结论： 根据叠加原理，在点电荷系场中，则存在着如下形 式： 设
q
1,q
2,···q
k在S
内，q
k+1,q
k+2,···q
n在S
外，则有 对于连续分布的电荷体系来说，则有 0 0
面外 在 面内 在 S q S q q S d E S
S n k S s d E E E E S d E ( 1 2 ) 0 1 0 1 q q S d E k i i S
S面内
E
d
s
d
1
5、静电场的散度（divergence of electrostatic field) 方法一： 已知 根据Gauss公式： 将此与Gauss定理比较，得到
V Sd
s
d
E
01
V Sd
A
s
d
A
V Sd
E
s
d
E
1 得到即有 故 从而得到 严格说来：
0
)
1
(
0
Vd
E
0
1
0
E
01
E
)
(
1
)
(
0x
x
E
方法二： 已知 ，对该式两边作用 ，即
Vd
r
r
x
x
E
3 0)
(
4
1
)
(
)
(
1
)
(
0x
x
E
推导 讨论： a) 空间任一点 的散度仅仅决定于该点的电 荷密度，而
E
(x
)
描述场源的性质（有检源作用）。 ) (x E b) Gauss’ theorem是由Coulomb’s law导出的， 它是一个有限范围，而Gauss’ theorem是一个宏观无 限小 的，这种推广是合乎情理的。 c) Gauss’ theorem反映了电荷激发电场通量的 基本规律， 是因， 是果。而 与 是 同一点上，作用不需要时间，即瞬间作用。
6、静电场的旋度（rotation of electrostatic field）
Gauss’ theorem只确定了电力线的发散和会聚， 对电力线可能存在的其他形式却不能提供任何信息。 所以，仅仅有Gauss’ theorem还不足以决定空间的性 质，还必须讨论空间的线积分性质。
)
0
(
) (x E E(x) ) (x (x)方法一：由静电场的表达式出发，即 由于 所以
Vd
r
r
x
x
E
3 0)
(
4
1
)
(
31
r
r
r
1
)
(
4
1
)
1
)(
(
4
1
)
(
0 0d
r
x
d
r
x
x
E
V
推导这里 由于任意标量的梯度的旋度恒为零，故有 从而得到 故 此方程是静电场的又一个基本方程。 方法二：
Vd
r
x
x
(
)
4
1
)
(
0
0
)
(
x
(
)
0
)
(
E
x
x
0
)
(
E
x
两边取 即 根据
Vd
r
r
x
x
E
3 0)
(
4
1
)
(
:
V Vd
r
r
x
d
r
r
x
x
E
3 0 3 0)
(
4
1
)
(
4
1
)
(
推导得到 即
0
)
1
(
)
(
4
1
)
(
4
1
)
(
0 3 0
d
r
x
d
r
r
x
x
E
V V
0
)
(
E
x
注：从线积分形式出发 已知 根据Stoke’s theorem,得到 这里的 为面元法线单位矢量，其指向 与闭合回
L
的环绕方向是呈右手螺旋定则关系。从而 有
LE
d
l
0
L Ss
d
E
l
d
E
(
)
0
n
n
ds
s
d
ˆ
.
ˆ
（保守力场）最后，我们根据以下两个方程 可知： a) 静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正 电荷出发到负电荷终止，有头有尾。 b) 静电场的场强表示为标量函数的负梯度，即 因此，它是保守场，电荷在场中沿闭合曲 线运动一周电场力做功为零。 0 ) ( ) ( 1 ) ( 0 x E x x E ) (x E
c) 因为 这就是静电场中电势 满足的泊松方程，而 是泊松方程的特解。 0 2 0 1 . 1 , ) ( E 故有 x E
V d r x
( ) 4 1 0
§1.3 电流和磁场
本节主要讨论磁场的基本规律，因为磁场 是与电流相互作用的，而Ampere’s law在静磁 学中的地位同Coulomb’s law 在静电学中的地 位相当，所以，这节中的电流元相当于上节中 的点电荷，在讨论磁场规律之前，先讨论电流 分布的基本规律。
1、安培定律(Ampere’s law)
最先是由Ampere建立了电流与电流之间的相互 作用力的关系，若真空中有两个稳定的电流元 和 ，则电流元 受到电流元 的作用力 为 同理， 受到 的作用力 为 在线电流分布的情况下，有 ，于是得到 2 2d
j
j
1d
1
1 1d
j
2 2d
j
3 12 12 2 2 1 1 0 12 ) ( 4 r r d j d j F
2 2d
j
1 1d
j
21F
d
3 21 21 1 1 2 2 0 21)
(
4
r
r
d
j
d
j
F
l
Id
d
j
以上是Ampere’s law的数表达式。
将Ampere’s law与Coulomb’s law比较，可看到
a) 电流元之间的相互作用力也服从平方反比律； b) 电流元之间的相互作用力的方向不具有有心性质； c) 电流元之间的相互作用力不满足Newton的作用力和反 作用力定律，即 3 21 21 1 1 2 2 0 21 3 12 12 2 2 1 1 0 12 ) ( 4 ) ( 4 r r l d I l d I F d r r l d I l d I F d
这个矛盾之所以出现，是因为我们考虑了两个 孤立的电流元之间的作用力，而孤立的电流元是不 存在的。 真实的电流总是构成闭合回路的，因而电流元 相互作用力的公式应该进行回路积分。如果有两个 闭合回路1和2，那么且有 r 2 2dl I 1 1dl I
1 2 3 12 12 2 2 1 1 0 12)
(
4
r
r
l
d
I
l
d
I
F
利用公式 即得 该式第一项可写为：
C
B
A
B
C
A
C
B
A
(
)
(
)
(
)
1 2 3 12 12 2 1 2 3 12 12 1 2 1 0 1 2 3 12 12 2 2 1 1 2 2 3 12 12 1 1 0 124
)
(
)
(
4
r
r
l
d
l
d
l
d
r
r
l
d
I
I
r
r
l
d
I
l
d
I
l
d
I
r
r
l
d
I
F
1 2 1 12 12 2 2 1 3 1 12 12 2 2 ) , ˆ cos( ˆ dr l d r dl l d r r l d l d r r l d 推导因为 所以 因此则有： 类似地，
L L r d r dr 0 1 2
1 2 12 12 2 2 1 3 1 12 12 2 2r
0
dr
l
d
l
d
r
r
l
d
1 2 3 12 12 2 1 2 1 0 12)
(
4
r
r
l
d
l
d
I
I
F
1 2 3 21 1 2 1 3 21 2 2 1 0 1 2 3 21 21 1 1 2 2 0 21 4 ) ( 4 r r l d l d l d r r l d I I r r l d I l d I F
因为 故得 这说 明只有两闭合回 路电流之 间的相互 作用才满 足 Newton作用与反作用定律。 2、磁场（magnetic field) 类似于两个点电荷之间作用力通过静电场进行的 情形，两个电流元之间的作用力则是通过所谓的磁场
1 2 3 21 21 1 2 2 1 0(
)
4
r
r
l
d
l
d
I
I
,
21 12r
r
21 12F
F
概念。 实验指出，一个电流元 在磁场中所受到的力 可以写为 将此式与Ampere’s law 比较，即得 但是，根据叠加原理，矢量函数 的一般形式为
)
(
)
(
)
(
1 1 1x
j
x
d
B
x
F
d
1 1d
j 3 12 12 2 0(
)
4
)
(
r
r
d
x
j
x
B
Vr
r
d
x
j
x
B
0(
)
34
)
(
) (x B 对于线电流： 这就是毕奥——萨伐尔定律（Biot-Savart’s law) z P( ) y o x x x
r
d j2 x V
Lr
r
l
d
I
x
B
0 34
)
(
应强度为
3、磁场的散度（divergence of magnetic field)
已知电流分布 在空间一点 处所激发的 磁感应强度为 E v c E v r r v q x B 2 0 0 3 0 1 4 ) (
) (x P )
(x
j
V V d x j r d r x j d r r x j x B ) ( 1 4 1 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 0 0 3 0 推导式中 是对场点 微分，与源点 无 关，运用公式 这里， 相当于上式中的 ， 相当于 ，因此 其中，因为 对 的函数无关，所以 从而得到
x
x
,
r
x
x
f
f
f
(
)
)
(x
j
r 1
f
j
x
d
r
r
x
j
x
B
V)
(
1
)
(
4
)
(
0
x
0
)
(
j
x
j
(
x
)
又因为积分是对 函数而言的，所以 可以提到积 分号外，故 令 且得 如果对 求散度，则得
x
d
r
x
j
x
B
V)
(
4
)
(
0
d
r
x
j
x
A
V)
(
4
)
(
0
)
(
)
(
x
A
x
B
0 )) ( ( ) ( B x A x ) (x B 故得
由此可见，稳恒电流所激发的磁感应强度是一个无
源矢量场，即 线是一个闭合曲线。
4、磁场的旋度(rotor of magnetic field)
因为 ，对 求旋度，即 先看第一项
0
)
(
B
x
) (x B )
(
)
(
x
A
x
B
B(x)
A A x A x B 2 ) ( ) ( ) ( ?
A
j
(
x
)
对于稳恒电流， 故有
d
x
j
r
d
r
x
j
d
x
j
r
x
A
V V)
(
1
)
(
4
)
(
)
1
(
4
)
(
0 0
0
)
(
j
x
S VS
d
r
x
j
d
r
x
j
x
A
)
(
4
)
)
(
4
)
(
0 0
由于电流应全部包含在积分区域内，因而在边界面 上电流密度的法向分量应为零，即得到 再看第二项 因为
0
)
(
A
x
?
2
A
V Vd
r
x
j
d
r
x
j
x
A
1
)
(
4
)
(
4
)
(
2 0 2 0 2
1
2
推导所以 最后得到 至此，我们得到了静磁场的两个基本方程：
) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 0 0 0 2 x j d x x x j d x x x j x A V V
)
(
)
(
)
(
0 2x
j
A
A
x
B
由此方程，我们可以看到 a) 磁场是无源有旋场，磁力线是闭合的。 b) 磁场是非保守场，电流激发的磁场是以涡旋 形式出现的，与静电场截然不同， 和 是同一点函数，它描述了电流的分布情 况， 起检源作用。 c) 判断是否稳恒电流，只须从式子出发
)
(
)
(
0
)
(
0j
x
x
B
x
B
)
(
)
(
x
0j
x
B
)
(x
B
j(x))
(x
B
如果上式成立，则有 ，根据连续性方程 即电荷分布不随时间变 化，只有一点，才能说明是稳恒的。 d) 磁感应强度 可以表示为矢量 的旋度， 为矢势，稳恒电流激发的磁场的矢势满足如下方程 0 j
0
,
0
t
t
j
可见
A B A0
)
(
,
)
(
)
(
0 2
A
x
j
x
且
A
x
§1.4 麦克斯韦方程组
Maxwell’s equations 是建立在 Coulomb’s law, Ampere’s law, Faraday’s electromagnetic induction
law 这几个实验定律和Maxwell引入的位移电流基 础之上的。
1、法拉弟定律（Faraday’s law)
主要论述：变化磁场产生电场。 实验总结：闭合线圈中的感应电动势与通过该 线圈内部的磁通量变化率成正比如果闭合线圈是一固定的面，且有 又由于感应电场的存在，则
S mB
d
s
dt
d
dt
d
Ss
d
t
B
LE
d
l
感
B
即 由于S曲面是任意的，要使上式成立，除非是 一般说来，空间任一点的电场总是由两部分组成， 即 ，其中
Ss
d
t
B
E
)
0
(
感t
B
E
感 感 静E
E
E
纵场 静 静 0 0 E E
是指由电荷激发的纵场，所谓纵场是指凡是散度 不为零而旋度为零的场。 是由变化着的磁场激发的横场，所谓横场是指散 度为零而旋度不为零的场。 在一般情况下的场 由纵场和横场叠加而成， 因此， 满足的普遍方程式为 静 E 横场 感 感 0 t B E E 感 E E E
2、位移电流（displacement current)
主要论述：变化电场产生磁场。 由静电磁现象的基本实验定律，我们有如下关 系式
t
x
B
x
E
x
x
E
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0)
(
0
0
静止电荷
E
E
这些分别都有自己的适用条件和范围，但是从 将看到 与
0)
0
(
0
0
稳恒电流
运动电荷
j
B
B
变化磁场产生电场 t B E j B
0 t j t j
0
0
)
(
0
B
j
根据电荷守恒定律，则要求 如 果 承 认
电 荷 守 恒 定 律 是 普 遍 成 立
的 , 那 么 Ampere’s law必须作修改. Maxwell首先看到了这个问题，并从理论上巧妙 地解决了，若将 代入连续性方程(电荷守恒定律
)，则t
j
E
0
推导由此可见，只要把Ampere’s law中的 用 代 替，矛盾就迎刃而解，所以在一般情况下Ampere’s law修改为
0
)
(
)
(
0 0
t
E
j
E
t
j
t
j
t
E
j
0
j
t
E
j
B
0 0(
)
式中 称为位移电流。 位移电流的引入从另一个侧面深刻揭示了电场 和磁场之间的联系： 变化的磁场激发电场， 变化的电场激发磁场， 两者都以涡旋形式激发， 并且左右手旋转对称。 根据以上分析，得到电磁规律的普通形式为
t
E
0
t
E
j
D
0
3、洛仑兹力（
Lorentz force)
前面已经指出，一个点电荷q
在电场 中所受的 力(Coulomb’s force)为 equations s Maxwall' 0 0 0 0 0 真空中的 t E j B B t B E E E
q
F
E存在，则该电荷既受到电场力的作用，还要受到磁 场力的作用（即Ampere’s force) 对于电流元，有 而 因为 即得 大家知道，由于变化的电场激发磁场，变化的 磁场激发电场，所以在非稳恒条件下，电场和磁场
B
q
F
m
d
j
l
Id
B
d
j
B
l
Id
F
d
v
nq
j
B
d
v
nq
F
d
总是同时存在的，而且不可分割。因而对一个电荷
q
以速度 运动时，总是同时受到电场和磁场的作用力 ，即 这就是Lorentz力，它也是电磁现象的基本规律之一。 如果把它写成力密度的形式，则有 从而得到v
)
(
E
v
B
q
F
F
F
e
m
B
j
f
E
f
e
,
m
B
j
E
f
总结：Maxwell’s equation 的特点 1、反映一般情况下电荷电流激发的电磁场以及 电磁场内部矛盾运动的规律，当 、 的区域， 通过自身相互激发而运动传播。电磁场的内部 矛盾是它存在和运动的主要因素，而 则以一定 形式作用于电磁场。 2、最重要的特点是它揭示了电磁场的内在矛盾 和运动，不仅 可激发电磁场，而且 、 也可相互激发，因此只要某处发生电磁扰动，电磁场 就互相激发，就会在空间传播，形成电磁波。 0 j 0 j 和
B E和 j 和
t
B
t
E
3、不仅揭示了电磁场的运动规律，更加揭示了电磁 场可以独立于电荷，电流之外单独存在。这就加深 了我们对电磁场物质性的认识。
§1.5 介质的电磁性质
Electromagnetic Property in
Medium
根据电磁学的观点，介质是一个带电粒子系统，其内 部存在微观电磁场。宏观电动力学(经典电动力学)不是考察 个别粒子产生的微观电磁场，而是考察它们的宏观平均值。 由于介质在宏观电磁场的作用下，将被极化和磁化， 即出现宏观的附加电荷和电流，这些附加的电荷和电流也要 激发电磁场，使原来的宏观电磁场有所改变。所以在介质的 极化和磁化过程中，电荷和电场、电流和磁场是互相制约的， 介质的内部宏观电磁现象就是这些电荷、电流分布和电磁场 之间相互作用的结果。 本节将要研究的是介质在外场作用下可能出现哪些附
1、介质的极化（polarization of dielectric)
介质的极化说明介质对电场的反映，在有电场 的情况下，介质中的正负电荷分别受到方向相反的 作用力，因此正负电荷间的距离拉开了。另外，那 些有极分子在电场作用下按一定方向有序排列，从 宏观上来看这两种行为都相当于产生了一个电偶极 矩。在电磁学中，曾引进了极化强度矢量：
i i p P 其中 是第 i 个分子的电偶极矩，即 , 求和 是对 体积中所有分子进行的。 i i i q l p i p a) 极化电荷体密度与极化强度的关系 由于极化，正负电荷间发生了相对位移，每处 的正负电荷可能不完全抵消，这样就呈现宏观电荷， 称之为极化电荷。 若极化时正负电荷拉开的位移为 ，设介质分子 密度为
n
，则通过d
s
面跑出去的正电荷数目为 ll
s
nd
+q l +q-q +q -q sd
s
d
P
s
d
l
qn
dQ
从封闭曲面跑出去的总电荷 由于介质是电中性的， 也等于V内净余的负 电荷，即 因为 式中V是S所包围的体积，所以 即
S s d P Q
S s d P
S p Q P ds Q
V p p d Q
V S V
pd
P
d
s
P
d
P
p
负电荷 正电荷b) 极化电流密度与极化强度的关系 当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷的 相对位移也将随时间改变，由此产生的电流称为极 化电流。极化电流和极化电荷也满足连续性方程： 即 所以
0
t
j
p
p
t
P
P
t
t
j
p p
称为极化电流密度
P
j
c) 极化电荷面密度与极化强度的关系 因为在非均匀介质内部，极化后一般出现极化 电荷。在均匀介质中，极化电荷只出现在介质界面 上。在介质1和介质2分界面上取一个面元为 ，在 分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包围在薄 层内。 通过薄层进入介质2的正电荷为 ，由介质1通 过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 因此薄层出 现的净余电荷为 nˆ ds h 1 P 介质1 介质2 2 P
s
d
s d P2 s d P1 以 为极化电荷面密度，则有 得到
2、介质的磁化（
magnetization of dielectric)
介质的磁化说明介质对磁场的反映,介质内部分 的电子运动构成微观环形电流，这种环形电流相当s
d
P
P
dQ
p
(
2
1)
p
ds n P P s d P P ds p ( 2 1) ( 2 1) ˆ
) ( ˆ 1 2 P P n p
是无规则的，不呈现宏观电流效应，一旦在外磁场 作用下，环形电流出现有规则取向，形成宏观电流 效应，这就是磁化现象。 在电磁学中，引入了磁化强度矢量 ，其定义 为单位体积内的磁偶极子数，即 其中 是第i 个环形电流的磁偶极子，即 为第i个分子环流的面积，求和是对 中所有环流进 行。
i i m M M i i i ii
a
a
m
,
i m a) 磁化电流密度与磁化强度的关系 由于磁化，引起介质内部环形电流有规则取向， 呈现 宏观电流 效 应，这种 由磁化 引起的 电流 称为 磁化电流。 设S为介质内部的一个曲 面，其边界线为L，环形电流 通过S面有两种情况: 一种是在S面中间通过两次的环形电流，为1、2、3，这 种电流环对总电流没有贡献；而另一种是在S面中间通过一 次的环流，如4、5、7，这种电流环对总电流有贡献，但这种 L S 8 7 6 1 2 3 4 5
每一个环形电流贡献为 或-i，在S面上一共有多少这 种电流呢？ 在边界线L上取一线元 ，设环 形电流圈 的面积为 ，则 由图可见，若分子中心位于体 积元 的柱体内，则该环形电流 就被 所穿过。因此，若单位体积 内分子数为n，则被边界线L穿过的环形电流数目为 l d l d a a l d a l d i
Ln
a
d
l
此数目乘上每个环形电流
i
，即得从S背面流向前面 的总磁化电流： 以 表示磁化电流密度，有
L L m ina dl M dl I m j
S L S md
S
M
d
l
M
d
s
j
)
(
0 ) (
j M dS S m M
j
m
这就说明磁化电流不引起电荷的积累，电流无源头。 b) 磁化电流面密度与磁化强度的关系 对于均匀介质，磁化后介质内部的 为一常矢 量。可见 ，即介质内部 。但 表面上却有电流分布。 为此，要引入面电流密度的概念。面电流实际上是 靠近表面的相当多分子层内的平均宏观效应，对于 薄层厚度趋于零，则通过电流的横截面变为横截线。
0
M
j
m
0
mj
M 常矢 M现在来看两介质交界面上的磁化电流分布情况。如 图所示的回路中，有 l m nˆ tˆ Nˆ nˆ N m m ˆ tˆ 2 M 1 M l
L M dl Im ˆ ˆ ) (M M lt I lN l d M
即 根据矢量分析 则得到 即 又因为 故得到
t
M
M
t
n
m(
ˆ
ˆ
)
(
2 1)
ˆ
)
(
)
(
)
(
B
C
B
C
A
C
A
B
A
t M M n tˆ (
m ˆ) ( 2 1) ˆ ) ( ˆ 1 2 M M n m m m m mn
n
n
n
n
n
(
ˆ
)
(
ˆ
ˆ
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
)
(
ˆ
M
M
n
3、介质中的方程组（equations in medium)
由上述讨论可知，介质存在时空间电荷包括自 由电荷和极化电荷，即 介质中出现的电流有传导电流(自由电流)、极化电流、 磁化电流。 即 因此，在介质存在的情况下，Maxwell’s equations应P
f p f
f p m f P j j j j j M t 若令
t
E
M
t
P
j
B
B
t
B
E
P
E
f f
0 0 0 0)
(
0
)
(
1
M
B
H
P
E
D
0
则得到
4、电磁性质方程（electromagnetic property equ’s)
宏观Maxwell’s equations是包含有 这四 个场量。显然在导入量 之间的关系尚未确 t D j H B t B E D f f 0 H B D E, 与 , H B D E, , ,
和 之中，一般说来 ，它们的函数关系视各种介质的性质而 定，所以必须引入一些关系来反映介质电磁性质， 这些关系常称为介质的电磁性质方程。或者称为介 质的电磁性质的本构关系。 大多数物质在场强不是很强的情况下，介质对 场的反应是线性的。尤其在各向同性的物质内，线 性关系写成简单的比例关系：
P
E
D
0
H B M 0 ) , ( BE H H ) , ( BE D D H
B
H
x
M
E
D
E
x
P
,
,
0
其中 都是比例常数，通常分别被称为极 化率、介电常数、磁化率和导磁系数(磁导率)。 将电磁性质方程与 的定义式比较，有 式中 称为相对介电常数， 称为相对导磁系数。 在导电物质中，有 称为电导率，因此，电磁性质方程的
,
,
,
x
mx
H D, m r r r rx
x
1
,
1
,
0 0
r
r
E
j
应当指出，在高频情况下，由于场变化很快， 以致于极化电荷和磁化电流跟不上场的变化，所以 极化率和磁化率都将是场变化频率ω的函数，即 。其次在铁电和铁磁物质或强场 情况下， 之间将不再是齐次线性关系。 另外，对于各向异性的介质来说，介电常数和导磁 系数都是张量，场强和感应场强之间的关系推广为
E
j
H
B
E
D
)
(
,
)
(
H M E P与 , 与 对于导电介质来说，有推广的欧姆定律： 因此，要注意电磁性质方程的适用范围。
3
,
2
,
1
,
,
,
E
B
H
i
j
D
i
ij j i
ij j i ij iE
j
§
1.6
电磁场边值关系
Boundary Conditions
of Electromagnetic Field
在电动力学中，我们关心的场量 、 是一个 矢量，要想确定区域V中的 和 ，必须知道V中每 一点 、 的散度和旋度，以及在边界面上的法线 分量 、 。本节主要是讨论两种不同介质的分界 面上Maxwell’s equations 的形式，亦即电磁场边值 关系。 大家知道, 由于在外场作用下，介质分界面上一 般出现一层束缚电荷和电流分布，这些电荷、电流 的存在又使得界面两侧场量发生跃变，这种场量跃 B
E
B
E
BE
nB
nE
变是面电荷、面电流激发附加的电磁场产生的，描 述在两介质分界面上，两侧场量与界面上电荷、电 流的关系，是本节的主要讨论内容。 然而，微分形式的Maxwell’s equations不能应用 到两介质的界面上, 这是因为Maxwell’s equations对 场 量 而 言 , 是 连 续 、 可 微 的 。 只 有 积 分 形 式 的 Maxwell’s equations 才能应用到两介质的分界面上， 这是因为积分形式的Maxwell’s equations对任意不连 续的场量适合。因此研究边值关系的基础是积分形 式的Maxwell’s equations：
0
S f S L S f L Ss
d
B
Q
s
d
D
s
d
D
dt
d
I
l
d
H
s
d
B
dt
d
l
d
E
1、法向分量的跃变（discontinuity of normal component)
三个面元平行，大小相等，ds为界面上被截出的面 元，匣的高度h→0，用 求矢量 通过 匣表面的通量。 由于匣的高度h→0，所以通过侧面的 的通量可以 f S Q s d D
D
nˆ 2 ds h 1 D 介质1 介质2 2 D 2 ˆn 1 ˆn ds1 ds nˆ D由于 ，即得 或者 ds n D n D s d D s d D s d D s d D S S S S ) ˆ ˆ ( 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1
侧 侧 n n n nˆ1 ˆ , ˆ2 ˆds
ds
n
D
n
D
ˆ
ˆ
)
f(
1
1
2
2 f n nD
D
2
1
0 fD
D
n
ˆ
(
2
1)
界面两侧的电位移矢量 在面法线上的分量， 的 方向由介质1指向介质2。 根据 的关系，不难得到 讨论：a) 对于两种电介质的分界面 ，则得 b) 只有导体与介质交界面上，存在 。这 时 、 在法线上都不连续，有跃变。 D
nˆ
E
D
f n nE
E
2 2
1 1
0
f
有跃变 不连续 无跃变 连续 , , 2 1 1 2 1 2 n n n n E E D D0
f
D Ec) 对于磁场 ，把 应用到边界上的 扁平匣区域上，同理得到 即 由于 ，不难找到： 这就说明：在分界面上， 的法线分量是连续的， 0
B ds S B0
)
(
ˆ
1 2
B
B
n
无跃变
连续
,
1 2n
B
n
B
有跃变
不连续
,
2 1 1 2 1 1 2 2
n n n nH
H
H
H
H B B H2、切向分量的跃变(discontinuity of tangential component) 平行边界作一小扁回路，并令此回路与分界面正 交且其长边与界面平行。由于回路短边h→0，所以 对回路的环流为： E h A B C D Nˆ nˆ 2 E 1 E dl1 2 l d 介质2 介质1 t
