14-二次曲線

14- 二次曲線

【84-1】已知等軸雙曲線 的一條漸近線為 x  y  0，中心的坐標為(1，1)，且 通過點 (3，0)。試問下列敘述哪些是正確的？(A)  的兩條漸近線互相垂直 (B) x  y  0 為  的另外一條漸近線 (C)  的貫軸在直線 y  1 上 (D)點(1， 31)為 的一個 頂點 (E)點(1， 61)為 的一個焦點 【解答】(A)(C) 【詳解】 ∵ 等軸雙曲線  兩漸近線互相垂直 ∵ 兩漸近線的交點為曲線中心另一漸近線為 y 1 (1) (x 1)  x  y  2  0 令雙曲線方程式為(x  y)(x  y  2)  k ∵  過 (3，0)  (3  0)(3  0  2)  k  k  3 ∴ ：x2_ y2 2x  2y  3  0  3 ) 1 (x 2 _ 3 ) 1 (y 2 _ 1  的貫軸在 y  1  0 之直線上 ∴ 頂點為 與 y  1  0 的交點，得頂點 (1  3，1)，焦點(1  6，1) 【84-2】已知兩拋物線 x  y2  3y  2 與 y  x2  k x  19 有交點，其中兩個交點在直線 x  y  3 上，則 k 的值等於多少？ 。 【解答】11 【詳解】 先求 x  y2 3y  2 與 x  y  3 的兩交點，解         3 2 3 2 y x y y x 2 3 3  2   　 y y x  y2 4y  5  0  y  5，1 ∴ 兩交點為(8， 5)與(2，1) 將此兩交點坐標代入 y  x2 kx  19，均得 k 11 【85-1】坐標平面上有一橢圓，已知其長軸平行 y 軸，短軸的一個頂點為 (0，4)，且其中一焦 點為(4，0)。問此橢圓長軸的長度為何？(A) 2 (B) 2 2 (C) 6 (D) 6 2 (E) 8 2 【解答】(E) 【詳解】 如圖，此橢圓的中心為(4，4)，b  4，c  4， 而 a2_ b2 c2 32  a  4 4 ，長軸長  2a  8 2

【85-2】已知拋物線 的方程式為y  (x  1)2_ 1，且直線y  2x  2 與 相切。設L 為斜率等 於 2 的直線，若L 與 有兩個交點，則 L 上任一點 P 的坐標 (x，y) 滿足下列哪個關係式？ （參考下圖）(A) y  (x  1)2_ 1 (B) y  (x  1)2_ 1 (C) y  (x  1)2_ 1 (D) y  2x  2 (E) y  2x + 2 【解答】(D) 【詳解】 依題意，直線 L 上之任一點 P (x，y)恆在 y  2x  2 的上方 故 y  2x  2 【85-3】設 y  f (x) 及 y  g (x) 的圖形都是拋物線，一個開口向上，一個開口向下， 則 y  f (x) g (x)的圖形可能出現下列哪些情形？(A)兩條拋物線 (B)一條拋物線 (C)一條直線 (D)橢圓 (E)雙曲線 【解答】(B)(C) 【詳解】 設 f (x)  ax  bx  c（a > 0），g (x)  px2 qx + r（p  0） 則 f (x)  g (x)  (a  p) x2 (b  q) x  (c + r) 若 a  p  0，則 y  f (x) + g (x)之圖形為一直線 若 a  p  0，則 y  f (x) + g (x)之圖形為一拋物線 【86-1】關於方程式 | 10 19 3x y |  2 2 ) 2 ( ) 1 (x  y 所代表的錐線圖形，下列何者為真？ (A)  為拋物線 (B) (1，2) 為 的焦點 (C) 3x  y  19  0 為 的漸近線 (D) x  3y  7  0 為 的對稱軸 (E) (3，1) 為 的頂點 【解答】(A)(D) 【詳解】 | 10 19 3x y |  2 2 ) 2 ( ) 1 (x  y 令 P (x，y)，直線 L：3x  y  19  0，F (1，2) 則此式即表 d (P，L) PF 錐線圖形 是以 L 為準線，F 為焦點之拋物線 對稱軸為 x  3y  7  0，          0 19 3 0 7 3 y x y x ，交點 M (5，4) 頂點 V 即FM 之中點 (2，3)

【87】在下圖中，圓 O 的半徑為 6，F 的坐標為 (4，0)，Q 在圓 O 上，P 為FQ的中垂線與 OQ的交點。當 Q 在圓 O 上移動時，動點 P 的軌跡方程式為 。 【解答】 9 ) 2 (x 2  5 ) 0 (y 2 1 【詳解】 PQPF， POPF POPQ  6 由橢圓定義知 P 在以 O (0，0)，F (4，0) 為兩焦點，且長軸長為 6 之橢圓上 即 2a  6  a  3，2c  4  c  2  b  2 2 c a   5 且中心是 OF 之中點 (2，0) 故方程式為 9 ) 2 (x 2  5 ) 0 (y 2 1 【88】關於橢圓： 2 2 (x1) (y2)  (x1)2 (y2)2  6，下列何者為真？ (A) (0，0)是的 的中心 (B) (1，2)，( 1， 2) 為 的焦點 (C)  的短軸長為 4 (D)  對稱於直線 x  y (E)  對稱於 (1，2) 與 ( 1， 2) 的連線 【解答】(A)(B)(C)(E) 【詳解】 P (x，y)，F (1，2)，F (1， 2)  橢圓之兩焦點 F，F  中心 O (0，0)，長軸長  6  2a ∴ a  3 2c FF 2 5 ∴ c  5  b  2 2 c a   2 ∴ 短軸長 2b  4  的長軸：2x  y  0，短軸：x  2y  0 【89-1】在坐標平面上，以 (1，1)，(3，1)為焦點，且通過點 (3，4)畫一雙曲線。請問此 雙曲線也會通過下列哪些點？(A) (1，1) (B) (1，4) (C) (3， 2) (D) (1， 2) (E) (3，1) 【解答】(B)(C)(D) 【詳解】 以 (1，1)，(3，1) 為焦點，則中心為 (1，1)，二焦點的距離 2c  4  c  2 ∴ 雙曲線方程式可設為 ₂ 2 ) 1 ( a x _ 2 2 4 ) 1 ( a y   _ 1 ∵ 通過點 (3，4)  2 4 a 4 2 9 a  1  a 2_ 1 或 a2 16（不合）

∴ 雙曲線方程式為 1 ) 1 (x 2  3 ) 1 (y 2 1 然後得(B)，(C)，(D)選項，代入驗算皆合 【89-2】阿山家在一條東西向馬路的北方 D 點處，為了不同目的，他走到馬路的路線有下列三 條：向南走 a 公尺到 A 點之後，繼續向南走 a 公尺到達馬路；向東南走 b 公尺到 B 點之後，繼續向南走 b 公尺到達馬路；向東走 c 公尺到 C 點之後，繼續向南走 c 公尺 到達馬路。根據上述資料，下列選項何者為真？(A) c  2a (B) a < b < c (C) b  2 a (D) A，B，C，D 四點共圓 (E) A，B，C 三點剛好在以 D 點為焦點的拋物線上

【解答】(A)(B)(E) 【詳解】 (1)如上圖顯然 c  2a，b  b > 2a  b > a b  2 2 b  2a  b  2 2 1 2  a  2 (2  2 ) a ∴ (A)(B)真，(C)不真 (2) ADC  90， ABC  90

∴ ADC ABC  180 ∴ ABCD 四點不共圓 (3)依拋物線的定義：到定點的距離等於到定直線的距離 ∴ A，B，C 三點在以 D 為焦點，以 L （馬路）為準線的拋物線上 【90-1】下圖為一拋物線的部分圖形，且 A，B，C，D，E 五個點中有一為其焦點。試判斷哪 一點是其焦點？（可利用你手邊現有簡易測量工具） (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 【解答】(C) 【詳解】 利用正焦弦長  4 | c |，過 C 點作鉛垂線 交拋物線於 P，Q，PQ  4BC 【90-2】在坐標平面上，請問下列哪些直線與雙曲線 25 2 x _ 4 2 y  1 不相交？(A) 5y  2x (B) 5y  3x (C) 5y  2x  1 (D) 5y  2x (E) y  100 【解答】(A)(B)(D)

【詳解】 (A) 5y  2x 為一漸近線 ∴ 不相交 (B) 5y  3x，斜率為 5 3_ 5 2 ∴ 不相交 (C) 5y  2x  1 ∴ 相交 (D) 5y  2x 為一漸近線 ∴ 不相交 (E) y  100 ∴ 相交 【91-1】設 P(x，y)為坐標平面上一點，且滿足 2 2 ) 2 ( ) 1 (x  y  (x3)2 (y4)2  (31)2 (42)2 ，那麼 P 點的位置在 哪裡？(1)第一象限 (2)第二象限 (3)第三象限 (4)第四象限 (5) x 軸或 y 軸上 【解答】(1) 【詳解】 令 A(1，2)，B(3，4)，按題意PAPBAB，知表線段AB 又 A、B 均在第一象限 ∴ P 在第一象限 【91-2】在坐標平面上有一橢圓，它的長軸落在 x 軸上，短軸 落在 y 軸上，長軸、短軸的長度分別為 4、2。如圖所示 ，通過橢圓的中心 O 且與 x 軸夾角為 45 度的直線在 第一象限跟橢圓相交於 P。則此交點 P 與中心 O 的距 離為(1) 1.5 (2) 1.6 (3) 2 (4) 2.5 (5) 3.2 【解答】(2) 【詳解】 OP 之方程式為 x  y  0，         0 1 1 4 2 2 y x y x  x  y  5 2  P( 5 2 ， 5 2 )  OP 5 8  1.6 【92-1】設 P 為雙曲線 9 2 x _ 16 2 y  1 上的一點且位在第一象限。若 F1，F2為此雙曲線的兩個 焦點，且PF1 ：PF2  1：3，則△F1PF2的周長等於 。 【解答】22

【詳解】 9 2 x _ 16 2 y  1  a  3，b  4，c  a2 b2  5  F1F2 2c  10 已知PF₁ ：PF2  1：3|PF2 PF1 |  2a  6（雙曲線的定義）  2PF₁  6  PF1  3，PF2  9  △F1PF2之周長 PF1 PF2 F1F2 3  9  10  22 【92-2】設 A(1，0)與 B(b，0)為坐標平面上的兩點，其中 b  1。若拋物線：y2 4x 上有一點 P 使得△ABP 為一正三角形，則 b  。 【解答】5 【詳解】 如下圖，A(1，0)，B(b，0)，b  1，△ABP 為正△ ∴ 設 P( 2 1  b ， 2 3 (b  1))，又 P 在拋物線：y2_ 4x 上  [ 2 3 (b  1)]2 4． 2 1  b  3b2_ 14b  5  0  (b  5)(3b  1)  0  b  5， 3 1 （不合） 【92-3】在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。已知此拋物線以過 最高點的鉛垂線為對稱軸。現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺，且距底部 2 3 公尺高處其寬為 5 公尺。利用這些數據可推算出拱門的高度為 公尺。 （化成最簡分數） 【解答】 11 54 【詳解】 如圖，設拋物線方程式為 x2_ 4cy，拱門高度為 h 則 P(3， h)，Q( 2 5 ， h  2 3 ) ∵ P，Q 在拋物線上 ∴          ) 2 3 ( 4 ) 2 5 ( ) ( 4 3 2 2 h c h c  4 25 9  2 3    h h  h  11 54

【93-1】在坐標平面上，下列哪些方程式的圖形可以放進一個夠大的圓裡面？ (1) 3x  2y2 (2) 3x2 2y2 1 (3) 3x2 2y2 1 (4) | x  y |  1 (5) | x |  | y |  1 【解答】(2)(5) 【詳解】 (1) 3x  2y2  y2_ 2 3 x，圖形為一拋物線向右無限延伸 (2) 3x2 2y2 1  2 2 ) 3 1 ( x _ 2 2 ) 2 1 ( y _ 1，圖形為一橢圓，可放入 r  2 1 之圓中 (3) 3x2 2y2 1  2 2 ) 3 1 ( x _ 2 2 ) 2 1 ( y _ 1，圖形為一雙曲線向左、右無限延伸 (4) | x  y |  1  x  y  1，圖形為兩平行直線無限延伸 (5) | x |  | y |  1，圖形如 ，可放入 r  1 之圓中 【93-2】在坐標平面上，設直線 L：y  x  2 與拋物線：x2 4y 相交於 P，Q 兩點。若 F 表 拋物線 的焦點，則PFQF 。 【解答】10 【詳解】

設交點 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x2 4y，4c  4，

c  1 ∴ 準線 L：y  1 直線 L 代入 中得(y  2)2 4y  y2_ 8y  4  0 因 y1與 y2為方程式之兩根， 由根與係數關係得 y1  y2  8 PFQF d (P，L)  d (Q，L)  [y1 ( 1)]  [y2 ( 1)]  y1 y2 2  8  2  10 【94-1】設F₁ 與F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 : 1 9 16 x y    的兩個焦點，P 為 Γ 上一點，使得此 三點構成一等腰三角形。試問以下哪些值可能是這些等腰三角形的週長？ (1) 20 (2) 24 (3) 28 (4) 32 (5) 36 【解答】(2)(5)

【詳解】 因a3,b  4 c 5且 PF1PF2 2a 6 PF1PF26,F F1 2 2c10 設此三角形邊長為(PF PF F F₁, ₂, _{1 2})( ,x x6,10)or x x( , 6,10) 若為等腰三角形 x 10(10,16,10)or(10, 4,10)周長36or24 【94-2】在坐標平面上，過 F(1,0) 的直線交拋物線 2 :y 4x   於 P、Q 兩點，其中 P 在上半 平面，且知2PF 3QF， 則 P 點的 x 坐標為 。(化成最簡分數) 【解答】3 2 【詳解】 PF QF: 3: 2設 2 2 2 2 9 3 ( 2 ) 4 ( ,3 ) , ( , 2 ) 9 4 4 PQ t t t P t Q t t m t t t        4 2 : 2 ( ) PQ y t x t t    過 F(1,0) 4 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2 4 4 3 t t t t t t         P 點的 x 坐標為 2 2 9 9 ₃ 3 4 4 2 t   【95】考慮坐標平面上所有滿足 2 2 2 2 (x2) y  (x2) (y4) 10的點( , )x y 所成的圖形﹐ 下列敘述何者正確﹖(1)此圖形為一橢圓 (2)此圖形為一雙曲線 (3)此圖形的中心在 (2, 2) (4)此圖形對稱於x 2 0 (5)此圖形有一頂點(2,3). 【解答】(1)(3)(4)(5) 【詳解】 令F₁(2, 0),F₂(2, 4), 則PF₁PF₂ 10﹐2cF F_{1 2} 4, 2a10, (1)○﹕∵2a2c表橢圓. (2)╳ (3)○﹕F F_{1 2}之中點(2, 2) 即為中心. (4)○﹕x 2 0為長軸. (5)○﹕長軸之頂點A(2,3). 【96-1】坐標平面上方程式 1 4 9 2 2   y x 的圖形與 1 9 16 ) 1 (x 2 _ y2 _ 的圖形共有幾個交點？ (1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個 【解答】(1)

【詳解】  兩圖形只有 1 個交點，其坐標為(3,0) 【96-2】坐標平面上有一以點V(0, 3)為頂點、F(0, 6)為焦點的拋物線。設 P(a, b)為此拋物線 上一點，Q(a, 0)為 P 在 x 軸上的投影，滿足∠FPQ=60°，則 b = 。 【解答】12 【詳解】 因 V(0,3)為頂點、F(0,6)為焦點 x 軸是準線 又 P(a,b)在此拋物線上，PFPQ 且FPQ=60PFQ 是正三角形 故 2 2 2 2 ) 6 0 ( ) 0 ( ) 6 ( ) 0 (a  b  a    b=0(不合)或 12 則 b=PQ=2MQ=26=12 【97-1】設F 與₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ ： 2 2 1 8 x y   的兩個焦點，且P( 4, 1) 為上一點。 若F PF1 2的角平分線與x 軸交於點 D， 則 D 的 x 坐標為____________。 【解答】-2 【詳解】 2 ₈ a  ，_b2 _{1 c}2   _{8 1 9} 3 c 。 又PF₂ 2，PF₁5 2， 且PD為F PF1 2的角平分線， ∴F D₂ ：F D₁ PF₂：PF₁ 2：5 21：5，得D( 2 , 0) 。 【97-2】已知坐標平面上圓O₁：(x7)2(y1)2144與O₂：(x2)2(y13)29相切，且此兩 圓均與直線L：x5相切。若為以L 為準線的拋物線，且同時通過O1與O2的圓心， 則的焦點坐標為 ___________。（化為最簡分數） 【解答】 ( 1 ,5 3) 5 5 F  【詳解】 ∵O1的圓心C1(7 , 1)，半徑r112，O2的圓心C2( 2 ,13) ，半徑r23， 且 2 2 1 2 (7 2) (1 13) 15 1 2 C C       r r，∴O1和O2外切。

設拋物線焦點F，∵拋物線通過C1，C2且準線L：x 5 ∴d C( ₁,F)d C( ₁, ) 12L  ，d C( 2,F)d C( 2, )L 3， 故焦點F恰為O1，O2的切點且C F1 ：C F2 4：1， 利用分點公式， (1 7 4 ( 2) 1 1 4 13, ) ( 1 53, ) 5 5 5 5 F          。 【98-1】假設₁為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為 3 4 x 且焦距（焦點到頂點 的距離）為1 8。若1與另一拋物線 2 2: y x   恰交於一點，則₁的頂點之y坐標為 ____________。（化成最簡分數） 【解答】9 8 【詳解】 拋物線₁的頂點之y坐標為 t 時， 2 1 3 1 : ( ) 4 ( ) 4 8 x y t      ，整理得 2 1 9 : 2 3 8 y x x t      ， 2 2: y x   ， 因₁與₂恰相交於一點，即 2 9 2 2 3 8 x  x  t x 恰有一解， 2 9 3 ( ) 0 8 x  x  t 恰有一解， 9 4(9 ) 0 8 D   t ，得 9 8 t 。 【98-2】有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F ，₁ F ，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。 ₂ 設P為此橢圓與雙曲線的一個交點，且PF₁PF₂ 64，則F F_{1 2} _______。 【解答】16 【詳解】 設橢圓 2 2 1 2 2 1 x y a b     ，雙曲線 2 2 2 2 2 1 x y p q     ， 有共同的焦點F c₁( , 0)，F₂(c, 0)， 2 2 2 2 2 c a b  p q 。 雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等，2p2b，即pb。 PF₁PF₂ 2a， PF1PF2 2p，且PF1PF2 64， 由知 2 2 1 2 1 2 1 2 (PF PF ) (PF PF ) 4PFPF ， 2 2 2 4a  4p  4 6 4 b4  4 ，6 4a2b2 64，即c2 64，c8，F F_{1 2} 2c16。 【99-1】令橢圓 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 : 1, : 2, : 5 3 5 3 5 3 5 x y x y x y x          的長軸長分別為 ₁, ₂, ₃。 請問下列哪一個選項是正確的？(1) ₁ ₂  ₃ (2) ₁  ₂  ₃ (3) ₁ ₂  ₃ (4) ₁ ₃ ₂ (5) ₁ ₃ ₂。 【解答】(4)

【詳解】 2 2 1: 2 2 1 1 2 5 10 5 3 x y        2: 22 22 1 2 2 5 2 10 2 2 5 2 3 x y          2 2 3 2 2 3 ( 5) : 1 2 5 10 5 3 x y        ∴ ₂  ₁ ₃ 【99-2】設a, b 為實數。已知坐標平面上拋物線 2 yx ax b 與x 軸交於 P, Q 兩點，且PQ7。 若拋物線 2 ( 2) yx ax b 與x 軸的兩交點為 R, S，則 RS ________。 【解答】 41 【詳解】 令P( , 0) ，Q( , 0) ，則(  )2 49(  )24 49 又   a， b ∴ 2 4 49 a  b 令R(, 0)，S(, 0)，則   a，    b 2 ∴ 2 2 2 2 (  ) (  ) 4  a 4(b 2) a 4b 8 41 ∴|  | 41，即RS  41 【99-3】坐標平面上給定點 ( , 2)9 4 A 、直線L : y = −5 與拋物線 2 :x 8y   。以d(P, L)表示點 P 到直線 L 的距離。若點 P 在 上變動，則| ( , )d P L AP|之最大值為________。 （化成最簡分數） 【解答】21 4 【詳解】 2 8 4 2 x  y   y 焦點F(0, 2)且準線M y:  2 又| ( , )d P L AP| | ( , d P M) 3 AP| | PF 3 AP| | 3 | |9 3 | 21 4 4 FA      ∴最大值為21 4 【100-1】坐標平面上滿足方程式 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 0 5 4 3 4 x _ y x _ y _ 的點(x, y)所構成的圖形為 (1)只有原點 (2)橢圓及原點 (3)兩條相異直線 (4)橢圓及雙曲線 (5)雙曲線及原 點。 【解答】(3)

【詳解】 因為 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 ( )( ) 0 5 4 3 4 3 4 3 4 x _ y _{ } x _ y _{ } x_ y x_ y _ 0 3 4 x y   或 0 3 4 x y   ，圖形為兩條相異直線 【100- 2】設E ：₁ 2 2 2 2 1 x y a b  （其中a0）為焦點在(3, 0), ( 3 ,0)的橢圓；E2：焦點在(3,0)且 準線為x 3的拋物線。已知E₁, E 的交點在直線 x = 3 上，則 a = ________。 ₂ 【解答】a 3 3 2 【詳解】 1 E 之焦點為F₁(3, 0), F₂( 3, 0) E₁是左右向的橢圓 a b， 2 2: 12 E y  x， 令 x = 3，得 2 1 36 y  E 與E₂的交點為 A(3, 6)與 B(3, – 6) 2 2 1 2 2a AF AF 6 6 ( 6) 6 6 2          ，故a 3 3 2。 【101-1】平面上兩點F₁﹑F₂滿足F F_{1 2} 4﹒設d為一實數﹐令表示平面上滿足 PF1PF2 d的 所有P點所成的圖形﹐又令C為平面上以F₁為圓心﹑6為半徑的圓﹒請問下列哪些選項 是正確的？ (1)當d0時﹐為直線 (2)當d 1時﹐為雙曲線 (3)當d 2時﹐與圓C交於兩 點 (4)當d4時﹐與圓C交於四點 (5)當d8時﹐不存在﹒ 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】 (1) ○：當d0時﹐ PF1PF2 0  PF1PF2  P點所形成的圖形為F F_{1 2}的中垂線 (2) ○：當d 1時﹐ PF1PF2  1 F F1 2 4 P點所形成圖形為雙曲線 (3) ╳：當d2時﹐ PF1PF2  2 F F1 24  P點所形成圖形為雙曲線﹐與圓C交於4點 (4) ╳：當d4時﹐ PF1PF2  4 F F1 2  P點所形成圖形為以F₁﹑F₂為起點的射線﹐與圓C交於2點 (5) ○：當d 8時﹐ PF1PF2  8 F F1 2 P點所形成的圖形不存在 F1 F2

【101- 2】設m﹑n為正實數﹐橢圓 2 2 1 x y m  n  的焦點分別為F1

 

0, 2 與F2



0, 2



﹒若此橢圓上有 一點P使得△PF F_{1 2}為一正三角形﹐則m ﹐n ﹒ 【解答】12；16 【詳解】 ∵ △PF F_{1 2}為正三角形 ∴ PF₁PF₂﹐P點在F F1 2的中垂線上﹐設P x

 

,0 ∵ △PF F_{1 2}為正三角形 ∴ PF₁F F_{1 2}4  2 4 4 x    x2 12﹐得x 12或 12 ∴ c2﹐b 12﹐_a2₁₂ _{4 16}  2 12 mb  ﹐na2 16﹒ 【102-1】坐標平面上考慮兩點Q1(1,0),Q2( 1,0) 。在下列各方程式的圖形中，請選出其上至少 有一點P滿足內積 的選項。 (1) 1 2 y (2) 2 1 yx  (3) 2 2 2 1 x y    (4) 2 2 4x y 1 (5) 2 2 1 2 2 x _ y _ 【解答】(1)(3)(4) 【詳解】 (1)○：取 (0, )1 2 P ﹐則 _{1 2} (1, 1) ( 1, 1) 3 0 2 2 4 PQ PQ         ﹒ (2)╳：令P t t( , 21)﹐則 2 2 4 2 1 2 (1 , 1) ( 1 , 1) 3 0 PQ PQ           t t t t t t  ﹒ (3)○：取 (0, 1 ) 2 P  ﹐則 _{1 2} (1, 1 ) ( 1, 1 ) 1 0 2 2 2 PQ PQ       ﹒ (4)○：取 ( ,1 5) 3 3 P ﹐則 _{1 2} ( ,2 5) ( 4, 5) 1 0 3 3 3 3 3 PQ PQ         ﹒ (5)╳：令P x y( , )﹐則 2 2 1 2 2 x y   ﹐即 2 2 2 x y  ﹐ ∴ 2 2 1 2 (1 , ) ( 1 , ) 1 PQ PQ       x y x y x  y  (2 y2) 1 y2 2y2 1 0﹒ 故選(1)(3)(4)﹒

【102-2】設F F₁, ₂為橢圓的兩個焦點。S為以F1為中心的正方形(S的各邊可不與的對稱軸 平行)。試問S可能有幾個頂點落在上？ (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 0 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】 設 k 表正方形 S 對角線長之一半﹐ 而橢圓方程式不妨令成 2 2 2 2 1 x y a b  （a b 0）﹐則 2 2 c a b ﹒ ○1 當 k _{a c}時﹐沒有頂點在橢圓上﹒ ○2 當 k _{a c}時﹐可能有一頂點在橢圓上﹐此頂點為_{( , 0)a} ﹒ ○3 當 k _{a c}時﹐可能有一頂點在橢圓上﹐此頂點為₍_{a, 0)}﹒ ○4 當 2 b k a  時﹐可能有二頂點在橢圓上﹐此二頂點可取為 2 ( ,c b ) a 及 2 ( ,c b ) a  ﹒ 故選(1)(2)(5)﹒