Ø 雙曲線

(1)

4 Ø 拋物線

Ø 橢圓

Ø 雙曲線

Ø 重點回顧

Ø

歷屆試題

(2)

主題一拋物線

1.定義：1 設 L 是一定直線，F 是不在 L 上的一點，則在包含 L 與 F 的平面上，至 F 與 L 等距離的所有點所形成的圖形，稱為以 F 為焦點，L 為準線的拋物線

2.標準式：

標準式 ( y - k ) ²= 4 c ( x - h ) ( x - h ) ²= 4 c ( y - k )

類型左右型上下型

中心

( )

h, k

( )

h, k

焦點 ( h + c , k ) ( h + , k c ) 準線 x - h + c = 0 ^y^-^k⁺^c⁼⁰

對稱軸 y-k=0 x-h=0

焦距 c c

正焦弦長 4 c 4 c

離心率 1 1

圖形開口 c>0,向右 c<0,向左

c>0,向上 c<0,向下 3. 標準式：

(1)向左或向右開口Þ(y－k) ²＝4c(x－h) c＞0 向右，c＜0 向左

頂點(h,k)，焦點(h+c,k)，正焦弦長 4│c│

準線：x－h+c＝0，對稱軸：y－k=0 (2)向上或向下開口Þ(x－h) ²＝4c(y－k)

c＞0 向上，c＜0 向下

(3)

頂點(h,k)，焦點(h,k+c)，正焦弦長 4│c│

準線 y－k+c＝0，對稱軸 x－h＝0 4. 一般式：

(1)軸平行 x 軸：x＝ay ²+by+c (2)軸平行 y 軸：y＝ax ²+bx+c

(4)

教師解析

試求拋物線 x ²+ 2 x + 4 y - 7 = 0 之頂點、焦點、準線、軸、正焦弦長及離心率。

自我挑戰

1. 試求拋物線

0 2 8

2 x ²+ x + y + = 之頂點、焦點、準線、軸、正焦弦長及離心率。

2. 試求拋物線

0 1 4

2 3

= + + + x y

y 之頂

點、焦點、準線、軸、正焦弦長及離心率。

試求頂點為(2,1),焦點為(4,1) 之拋物線方程式。

3. 試求頂點為(2,1),準線為 y=4 之拋物線方程式。

4. 試求焦點為(2,1), 準線為 x=1 之拋物線方程式。

(5)

試求對稱軸與 x 軸平行，且過 (1,-1),(9,1),(9,-2)三點之拋物線方程式。

5. 試求對稱軸與 x 軸平行，

且過(-1,2) , (2,5) , (0,2)三點之拋物線方程式。

6. 試求對稱軸與 x 軸平行，

且過(3,0) , (1,-2) , (-1,-8)三點之拋物線方程式。

試求焦點為(-1,2),準線為 x-2y-3=0 之拋物線方程式。

7. 試求焦點為(-1,1),準線為 x-y-2=0 之拋物線方程式。

8. 試求焦點為(1,2),準線為 x+y-1=0 之拋物線方程式。

(6)

試求與 x ²= 8 y 相切且與 3x-2y=0 平行之直線方程式

9. 試求過(-1,2)且與拋物線 1

2 2 - -

= x x

y 相切之直線

方程式

10.試求過(-3,-2)且與拋物線 y ²- y + x - 3 = 0 相切之直線方程式

(7)

作業研究

1.設拋物線與 y 軸交於 A、B 兩點，則 AB =○ A 8○ B 10○ C 12○ D 14 2.已知一拋物線的頂點為原點，軸為 x 軸，且過點(2,8)則此拋物線方程式為○ A x ²= - 32 y ○ B x ²= 32 y ○ C y ²= - 32 x ○ D y ²= 32 x

3 拋物線的焦點坐標為○ A (2,12) ○ B (2,-3) ○ C (-1,0) ○ D (5,0) 4.圖形

{

⁽^x^,^y⁾^x²^-⁶^x⁺⁴^y⁺⁵⁼⁰

}

之焦點為(a,b)，則○ A

4 )

1

( a - ²+ b ²= ○ B ( a - 1 ) ²+ b ²> 4 ○ C ( a - 1 ) ²+ ( b - 1 ) ²= 1 ○ D 1

) 1 ( ) 1

( a - ²+ b - ²<

5.已知一拋物線的頂點為(1,0),準線為 x-3=0,則此拋物線方程式

○ A x ²- y 8 - 8 = 0 ○ B x ²+ y 8 - 8 = 0 ○ C y ²= 4 x ○ D y ²=- 4 x

(8)

～解答～

學生練習

1.頂點(-2,6),焦點(-2,47/8),準線 y=49/8,軸 x=-2,正焦弦長 1/2,e=1

2. 頂點(1,-2),焦點(1/4,-2),準線 y=7/4,軸 y=-2,正焦弦長 3,e=1

3. ( x - 1 ) ²= - 24 ( y + 2 ) 4. ( y - 1 ) ²= 4 ( x - 2 )

5. 2

2 1 2 1 ₂

+ +

= x x

y

6. 2

3 9 2 1 ₂

- + -

= x x

y

7. x ²+ y ²+ 2 xy + 8 x - 8 y = 0 8. x ²+ y ²- 2 xy - 2 x - 6 y + 9 = 0 9.4x+y+2=0

10.x-5y-7=0 作業研究

1

○

^{C 2}

○

^{D 3}

○

^{B 4}

○

^{A 5}

○

^B

(9)

主題二橢圓

1.定義：在同一平面上到兩定點 F 及 F＇之距離和為定數 )

' 2

(

2 a a > FF 之所以動點 P 所以形成之圖形稱為橢圓，兩定點 F 及

F＇稱為焦點

(1) PF + PF ' FF > ' = 圖形為橢圓 (2) PF + PF ' FF = ' = 圖形為線段 (3) PF + PF ' FF < ' = 無圖形 2.標準式：

(

^a^>^b^>⁰^,^c²⁼^a²^-^b²

)

標準式

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - +

b k y a

h

x

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - +

a k y b

h x

中心

( )

h, k

( )

h, k

焦點

(

h ± c , k

) (

h ± , k c

)

長軸頂點

(

h ± a , k

) (

h ± , k a

)

短軸頂點 ( h ± , k b )

(

h ± b , k

)

準線

c h a x

2

±

= c

k a y

2

±

=

長軸長 2a 2a

短軸長 2b 2b

正焦弦長

a b ² 2

離心率 a

e = c

a e = c

3.圖形：

4.參數式：

( ) ( ) (

q p

)

q q

2 sin 0

1 cos

2 2 2

2

<

£ î

í ì

+

= + Þ =

- = - +

b k y

a h x b

k y a

h x

5.橢圓內之幾何度量

(10)

(1)橢圓之面積= ab p (2)內接正方形面積 ₂ ₂

2

4 2

b a

= + , 周長 2 2

8 b a

ab +

=

(3)內接矩形面積最大 2 ab ，周長 4 a + ² b ² 6. 參數式：

(1)躺著： x h+ acosθ y k+ bsinθ ì í

î

＝

＝ (0£θ＜2π)

(2)站著： h+ b cosθ y k+ asinθ ì x

í î

＝

＝ (0£θ＜2π)

7. 性質：

(1)橢圓內接矩形最大面積：2ab (2)橢圓面積：πab

(3)外切最小矩形面積：4ab

(4)內接正方形面積：

+

2 2

4a b a b (5)內接最大三角形面積： 3 3

4 ab

(11)

老師解析

試求在坐標平面上與兩定點 (0,-5),(0,1)距離和恒為 10 之軌跡方程式

自我挑戰

1.試求在坐標平面上與兩定點(2,1),(-6,1)距離和恒為 10 之軌跡方程式 2.試求在坐標平面上與兩定

點( 5 ,0),( - 5 ,0)距離和恒為 6 之軌跡方程式

試求橢圓

0 71 18 64 9

16 x ²+ y ²- x + y - = 之中心、頂點、焦點、準線、長軸長、

短軸長、正焦弦長及離心率

試求下列各橢圓之中心、頂點、焦點、準線、長軸長、短軸長、正焦弦長及離心率 3. x ²+ 4 y ²+ 6 x - 8 y - 3 = 0 4. 3 x²+ 2 y ²+ 12 x + 4 y + 8 = 0

(12)

試求長軸之兩頂點為(2,1)(-8,1) 且短軸長為 8 文橢圓方程式

5. 試求兩焦點點為

(-2,5)(-2,-1)且短軸長為 10 文橢圓方程式

6.試求中心為(3,-1)，長軸長為 6，短軸長為 4，且長軸平行 x 軸之方程式

若 1

4 9

2 2

- = - + k

y k

x 表之莖形為橢

圓，且其長軸在 x 軸上，試求 k 之範圍

7. 若 1

3 7

2 2

- = - + k

y k

x 表之莖

形為橢圓，且其長軸在 x 軸上，試求 k 之範圍

8. 若 1

1 4

2 2

- = - + k

y k

x 表之莖

形為橢圓，且其長軸在 y 軸上，試求 k 之範圍

(13)

試求橢圓

0 231 96

50 16

25 x ²+ y ²+ x - y - = 之參數方程式

9.試求 î í ì

+

= + -

=

q q sin 2 1

cos 3 2 y x

) 2 0

( £ q £ p 之直角坐標方程式

10. 試求 î í ì

+ -

= +

=

q q sin 3 2

cos 5 1 y

x

) 2 0

( £ q £ p 之直角坐標方程式

(14)

作業研究

1.一橢圓方程式為 4 x ²+ y ²+ 8 c - 2 y - 3 = 0 ，則其長軸長等於○ A 2 2 ○ B 4 2 ○ C 8○ D 16

2.橢圓 1

4 9

) 2 ( ² ²

= - + y

x 之內接矩形中面積最大者為○ A 18○ B 16○ C 12○ D 6

3.設橢圓 9 x ²+ y 4 ²= 36 的長軸長為 m，短軸長為 n，則 m+n=○ A 5○ B 10○ C 3○ D 36

4.關於橢圓 x ²+ y 4 ²= 4 之描還何者錯誤○ A 短軸長為 1○ B 長軸長為 4○ C 長軸之端點為(-2,0),(2,0)○ D 焦點坐標為

( 3 ,0),( - 3 ,0)

5.已知一橢圓的二焦點為(-2,0),(2,0),長軸長為 10，則此橢圓的短軸長等於○ A 8○ B 2 19 ○ C 2 21 ○ D 2 23

6. 試求二次曲線的參數式為 î í ì

= -

=

q q sin 3

cos 2 y

x (0 £ q £ 2 p ) 之直角坐標方程式○ A 4 x ²+ y 9 ²= 36 ○ B 4 x ²- y 9 ²= 36 ○ C 9 x ²- y 4 ²= 36 ○ D

36 4

9 x ²+ y ²=

7.橢圓 9 x ²+ 16 y ²- 18 x + 96 y + 9 = 0 的中心在第幾象限內○ A 第一象限 ○ B 第二象限 ○ C 第三象限 ○ D 第四象限

8.二元二次方程式 9 x ²+ 16 y ²+ 54 x - 32 y - 47 = 0 之圖形為○ A 圓 ○ B 拋物線 ○ C 橢圓 ○ D 雙曲線

9.橢圓 4 x ²+ 9 y ²+ 8 x - 18 y - 23 = 0 的兩焦點為 F ₁^'F ₂，且為橢圓上之點，則 PF + ₁ PF ₂=○ A 2 13 ○ B 2 13 ○ C 4○ D 6

10.設 P(x,y)為平面上之點且滿足 0 276 193 100

16

25 x ²+ y ²+ x - y = ，則點(-2,1)至 P 之距離之最小值為○ A 0○ B 1○ C 2○ D 3

(15)

～解答～

自我挑戰

1. 1

9 ) 1 ( 25

) 2

( ² ² - = + + y x

2. 1 4 9

2 2

= + y x

3.中心(-3,1)，頂點(-3 ± 4,1),焦點(-3 ± 2 3 ,1),準線

3 2 3 ± 16 -

=

x ,長軸長 8,正焦弦長 2,離心率 2

3

4.中心(-2,-1)，頂點(-3 ± 4,1),焦點(-2,-1 ± 1),準線 y = - 1 ± 3 , 長軸長 2 3 ,短軸長 2 2 ，正焦弦長

3

4 ,離心率 3 1

5. 1

34 ) 2 ( 25

) 2

( ² ² - = + + y x

6. 1

4 ) 1 ( 9

) 3

( ² ² + = - + y x

7.3<k<5 8.5/2<k<4

9. 1

9 ) 2 ( 25

) 2

( ² ² + = + + y x

10. 1

9 ) 2 ( 25

) 1

( ² ² + = - + y x

作業研究

1

○

^{B 2}

○

^{C 3}

○

^{B 4}

○

^{A 5}

○

^{C 6}

○

^{D 7}

○

^{D 8}

○

^{C 9}

○

^{D 10}

○

^B

(16)

主題三雙曲線

定義：1.在平面上，相異兩定點 F 及 F＇，及一定長 2a，其中 2 '

0 < a < FF ，若 PF - PF ^' = 2 a 時，則 P 所成之圖形稱為雙曲線，又 F 及 F＇稱為雙曲線之兩個焦點。而 2a 稱為雙曲線之貫軸長。

2.標準式：

(

^a^,^b^>⁰^,^c²⁼^a²⁺^b²

)

標準式

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - -

b k y a

h

x

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - -

b h x a

k y

中心

( )

h, k

( )

h, k

焦點

(

h ± c , k

) (

h ± , k c

)

頂點

(

h ± a , k

) (

h ± , k a

)

準線

c h a x

2

±

= c

k a y

2

±

=

貫軸長 2a 2a

共軛軸長 2b 2b

正焦弦長

a b ² 2

離心率 a

e = c

a e = c

漸近線 - = 1

- ±

b k y a

h

x - = 1

- ±

b h x a

k y

註：雙曲線上任一點到兩點漸近線之距離的乘積為定值

2 2

2 2 2

2 2

b a

b a c

b a

= +

3. 等軸雙曲線：

(1)定義：貫軸長＝共軛軸長。

(2)特性：漸近線互相垂直。

(17)

(3)e＝ c a ^＝ 2

4. 共軛雙曲線：

(1)定義：一雙曲線之貫軸、共軛軸，為另一雙曲線之共軛軸、

貫軸，此兩

組雙曲線稱之。

(2)同中心，焦距 c，漸近線均相同。

(3) ₂ + ₂

1 2

1 1

e e ^＝1

5.已知漸近線求雙曲線方程式：

以 a ₁x + b ₁y + c ₁= 0 與 a ₂x + b ₂y + c ₂= 0 為漸近線的雙曲線可令為 k

c y b x a c y b x

a + + )( + + ) =

( ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ( ¹ k 0 )

(18)

老師解析

試求在平面上到兩定點

(-3,1),(7,1)距離差之絕對值為 8 之所有動點 P(x,y)所形成之軌跡方程式

自我挑戰

1. 試求在平面上到兩定點 (0,-1),(0,7)距離差之絕對值為 6 之所有動點 P(x,y)所形成之軌跡方程式

2. 試求在平面上到兩定點 (0,13),(0,-13)距離差之絕對值為 24 之所有動點 P(x,y)所形成之軌跡方程式

試求雙曲線

0 89 18 64 9

16 x ²- y ²- x - y + = 之中心、頂點、焦點、準線、貫軸長、共軛軸長、正焦弦長、離心率及漸近線

試求下列各雙曲線之中心、頂點、焦點、準線、貫軸長、共軛軸長、正焦弦長、離心率及漸近線

3.

0 43 16 18 4

9 x ²- y ²- x + y - = 4. x²- 9 y ²- 2 x - 36 y - 26 = 0

(19)

已知一雙曲線之中心為(6,4)，一頂點為(6,8)，共軛軸長為 6，試求此雙曲線之方程式

5.已知一雙曲線之中心為 (1,-2)，一焦點為(-4,-2)，

貫軸長為 6，試求此雙曲線之方程式

6.已知一雙曲線之貫軸二端點為(5,3)及(13,3)，一焦點為 (15,3)，試求此雙曲線之方程式

設一雙曲線過點(5,2)且兩漸近線為 x+2y-5=0 及 x-2y+3=0，試求此雙曲線方程式

7.設一雙曲線過點(-1,2)且兩漸近線為 3x+2y=0 及

3x-2y+3=0，試求此雙曲線方程式

8.設一雙曲線過點(1,4)且兩漸近線為 3x+2y-5=0 及

3x-2y=0，試求此雙曲線方程式

.

(20)

作業研究

1.已知一雙曲線的二漸近線為 y=-3x 及 y=3x，一頂點為(2,0)，則此雙曲線方程式為○ A 1

36 4

2 2

= - y

x ○ B 1

4 36

2 2

= - y

x ○ C 1

36 4

2 2

= - x y

○ D 1 4 36

2 2

= - x y

2.求平面上原點(0,0)至雙曲線 y ²= x ²- 4 x + 10 的最短距離為○ A 1

○ B 2 ○ C 2 ○ D 2 2 3. 方程式 1

16 9

2 2

= - y

x 之圖形為雙曲線，下列敘述何者錯誤○ A 中心為(0,0) ○ B 貫軸長 8 ○ C 頂點為( ± 3,0) ○ D 焦點為( ± 5,0)

4.雙曲線 3 x ²- 2 y ²- 12 x - 12 y - 24 = 0 的共軛軸長為○ A 18 ○ B 15 ○ C 9 ○ D 6

5. 25 x ²- 144 y ²+ 3600 = 0 兩焦點距離為○ A 10 ○ B 12 ○ C 15 ○ D 26 6.已知雙曲線兩焦點為(-1,0),(9,0)，貫軸長為 6，則共軛軸長為○ A

4 ○ B 6 ○ C 8 ○ D 10

7.雙曲線 1

4 9

2 2

= - y

x 之漸近線方程式為○ A 2x ± y=0 ○ B 3x ± 2y=0 ○ C 2x ± 3y=0 ○ D 9x ± 4y=0

8.以 2x+y=0，2x-y=0 為漸近線，且過點(-5,8)之雙曲線方程式為○ A 16

2 x ²- y ²= ○ B 2 x ²- y ²= - 16 ○ C x ²- y 4 ²= 64 ○ D 36

4 x²- y ²=

(21)

～解答～

自我挑戰

1. 1

7 9

) 3 ( ² ²

= - - x y

2. 1

25 144

2 2

= - x y

3.中心(1,2)，頂點(1 ± 2,2),焦點(1 ± 13 ,2),準線

13 1 ± 4

=

x ,

貫軸長 4,共軛軸長 6，正焦弦長 9,離心率 2

13 ，漸近線

3 0 2 2

1 - =

- ± y x

4.中心(1,-2)，頂點(1,-2 ± 1),焦點(1,-2 ± 10 ),準線

10 2 ± 1 -

=

y ,貫軸長 2, 共軛軸長 6，正焦弦長 18,離心率 10 ，

漸近線 0

3 ) 1 2

( - =

±

- x

y

5. 1

16 ) 2 ( 9

) 1

( ² ² + = - + y x

6. 1

20 ) 3 ( 16

) 9

( ² ² - = - + y x

7. 9 x ²- 4 y ²- 6 x + 16 y - 31 = 0 8. 9 x ²- y 4 ²+ 55 = 0

作業研究

1

○

^{A 2}

○

^{D 3}

○

^{B 4}

○

^{D 5}

○

^{D 6}

○

^{C 7}

○

^{C 8}

○

^D

(22)

重點回顧

拋物線

1.定義：1 設 L 是一定直線，F 是不在 L 上的一點，則在包含 L 與 F 的平面上，至 F 與 L 等距離的所有點所形成的圖形，稱為以 F 為焦點，L 為準線的拋物線

2.標準式：

標準式 ( y - k ) ²= 4 c ( x - h ) ( x - h ) ²= 4 c ( y - k )

中心

( )

h, k

( )

h, k

焦點 ( h + c , k ) ( h + , k c )

準線 x - h + c = 0 ^y^-^k⁺^c⁼⁰

對稱軸 y-k=0 x-h=0

焦距 c c

正焦弦長 4 c 4 c

離心率 1 1

圖形開口 c>0,向右 c<0,向左

c>0,向上 c<0,向下

(23)

(1)向左或向右開口Þ(y－k) ²＝4c(x－h) c＞0 向右，c＜0 向左

頂點(h,k)，焦點(h+c,k)，正焦弦長 4│c│

準線：x－h+c＝0，對稱軸：y－k=0 (2)向上或向下開口Þ(x－h) ²＝4c(y－k)

c＞0 向上，c＜0 向下

頂點(h,k)，焦點(h,k+c)，正焦弦長 4│c│

準線 y－k+c＝0，對稱軸 x－h＝0 4. 一般式：

(1)軸平行 x 軸：x＝ay ²+by+c (2)軸平行 y 軸：y＝ax ²+bx+c 橢圓

1.定義：在同一平面上到兩定點 F 及 F＇之距離和為定數 )

' 2

(

2 a a > FF 之所以動點 P 所以形成之圖形稱為橢圓，兩定點 F 及

F＇稱為焦點

(1) PF + PF ' FF > ' = 圖形為橢圓 (2) PF + PF ' FF = ' = 圖形為線段 (3) PF + PF ' FF < ' = 無圖形 2.標準式：

(

^a^>^b^>⁰^,^c²⁼^a²^-^b²

)

標準式

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - +

b k y a

h

x

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - +

a k y b

h x

中心

( )

h, k

( )

h,k

(24)

焦點

(

^h^±^c^,^k

) (

^{h ±}^,^k ^c

)

長軸頂點

(

h ± a , k

) (

h ± , k a

)

短軸頂點 ( h ± , k b )

(

h ± b , k

)

準線 c

h a x

2

±

= c

k a y

2

±

=

長軸長 2a 2a

短軸長 2b 2b

正焦弦長

a b ² 2

離心率 a

e = c

a e = c

3.參數式：

( ) ( ) (

q p

)

q q

2 sin 0

1 cos

2 2 2

2

<

£ î í

ì

+

= + Þ =

- = - +

b k y

a h x b

k y a

h x

4 橢圓內之幾何度量 (1)橢圓之面積= ab p

(2)內接正方形面積 ₂ ₂

2

4 2

b a

= + , 周長 2 2

8 b a

ab +

= (3)內接矩形面積最大 2 ab ，周長

2

4 a + 2 b

5. 參數式：

(1)躺著：

x h+ acosθ y k+ bsinθ ì í

î

＝

＝ ^{(0£θ＜2π)}

(2)站著：

h+ b cosθ y k+ asinθ ì x

í î

＝

＝ ^{(0£θ＜2π)}

6.性質：

(25)

(1)橢圓內接矩形最大面積：2ab (2)橢圓面積：πab (3)外切最小矩形面積：4ab

(4)內接正方形面積：

+

2 2

4a b a b (5)內接最大三角形面積：

3 3 ab 4

雙曲線

定義：1.在平面上，相異兩定點 F 及 F＇，及一定長 2a，其中 2 '

0 < a < FF ，若 PF - PF ^' = 2 a 時，則 P 所成之圖形稱為雙曲線，又 F 及 F＇稱為雙曲線之兩個焦點。而 2a 稱為雙曲線之貫軸長。

2.標準式：

(

^a^,^b^>⁰^,^c²⁼^a²⁺^b²

)

標準式

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - -

b k y a

h

x

( ) ( )

2 1

2 2

2

- = - -

b h x a

k y

中心

( )

h, k

( )

h, k

焦點

(

^h^±^c^,^k

) (

^{h ±}^,^k ^c

)

頂點

(

h ± a , k

) (

h ± , k a

)

準線 c

h a x

2

±

= c

k a y

2

±

=

貫軸長 2a 2a

共軛軸長 2b 2b

正焦弦長

a b ² 2

離心率 a

e = c

a e = c

(26)

漸近線 - = 1 - ±

b k y a

h

x - = 1

- ±

b h x a

k y

註：雙曲線上任一點到兩點漸近線之距離的乘積為定值

2 2

2 2 2

2 2

b a

b a c

b a

= +

3. 等軸雙曲線：

(1)定義：貫軸長＝共軛軸長。 (2)特性：漸近線互相垂直。

(3)e＝ c a ^＝ 2

4. 共軛雙曲線：

(1)定義：一雙曲線之貫軸、共軛軸，為另一雙曲線

之共軛軸、貫軸，此兩組雙曲線稱之。

(2)同中心，焦距 c，漸近線均相同。

(3) ₂ + ₂

1 2

1 1

e e ^＝1

5.已知漸近線求雙曲線方程式：

以 a ₁x + b ₁y + c ₁= 0 與 a ₂x + b ₂y + c ₂= 0 為漸近線的雙曲線可令為 k

c y b x a c y b x

a + + )( + + ) =

( ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ( ¹ k 0 )

(27)

歷屆試題

1.試問在坐標平面上，曲線 y²= 4 x 與 x+y +2= 之間的最短距離 0 為何？ (A) 1

2 (B)1 (C) 2 (D)2。(95)

2.下列何者為曲線 4y² =(2x +1)²+ 的漸近線？ (A) 9 ¹ y=x + 2

(B) y=2x - 1 (C) y=2x + 1 (D) 2 ¹

y=x + 2 。(95)

3. 在坐標平面上，若將二次曲線(x+1) ²=4y向x軸正方向平移 2，

再向y軸正方向平移 1，則平移後的方程式為何？

(A)(x+3) ²=4(y+1) (B)(x-1) ²=4(y-1) (C)(x+1) ²=4y-1 (D)(x-3) ²=4y+1。(94)

4.若f(x)=x³+3x²-9x-10 的相對極大值為M，相對極小值為m，則 M-m=？ (A)2 (B)15 (C)17 (D)32。(94)

5.已知 A( ,3)為雙曲線 16x ²－9y ²＝144 上一點，若 P 與 Q 為此雙曲線的兩焦點，則| － |＝？ (A)6 (B)8 (C)10

(D)2 。(93)

6.若 x、 y 均為實數，且＋

＝10，則

(x , y)恆滿足下列那一個方程式？ (A) －

＝1 (B) －＝1 (C) ＋

＝1 (D) ＋＝1。(91)

7.已知點 A(5 , 6)在拋物線(x－1) ²＝4(y－2)上，則點 A 與此拋物

(28)

線之焦點的距離為何？ (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。(93) 8.求橢圓 9x ²＋5y ²＋18x－20y－16＝0 的長軸長為何？ (A)4

(B)5 (C)6 (D)9。(93) 9.設 A、B 為橢圓之 1

25 9

2 2

= + y

x 兩焦點，P 為此橢圓上之任一點，

則△PAB 面積的最大值為(A)6(B)12(C)15(D)20 (92)

10.若雙曲線的兩焦點為(-4,0)，(6,0)及一頂點為(4,0)則下列哪一點在此雙曲線上(A) ÷

ø ç ö

è æ - ,3

4

11 (B) ÷ ø ç ö è æ , 4

4

17 (C)(5,5)(D)

÷ ø ç ö è æ , 6

2

11 (92)

11.設拋物線 y = x ²+ bx + c 的頂點坐標為()2,1，則

= + c

b 2 (A)2(B)6(C)8(D)10

【85 保甄】

12.橢圓 4 x ²+ 9 y ²- 16 x + 54 y + 61 = 0 的中心至直線 3 x + y 4 - 9 = 0 的距離等於

(A)3/5(B)9/5(C)2(D)3

【85 保甄】

13.方程式 x ²- 4 x + 12 y + 4 = 0 之圖形為(A)直線(B)拋物線(C)橢圓 (D)雙曲線

【85 日工】

14.曲線 x ²+ y = 2 在點(2,-2)的切線方程式為 (A)x-4y=10(B)4x-y=10(C)x+4y=-6

(D)4x+y=6

【85 日商】

(29)

15.一橢圓方程式為 3 x ²+ y ²+ 6 x - 2 y - 5 = 0 ，則其長軸等於 (A) 2 3 (B)6(C) 2 (D) 2 6

【86 保甄】

16 關於拋物線 y = x ( - 1 ) ²+ 2 之圖形，下列何者正確(A)圖形開口朝下(B)圖形對稱於直線 x=1(C)圖形 y 坐標之最大可能值為-1(D) 圖形 x 坐標之最大可能值為 8 【86 日工】

17.雙曲線 4 x ²- y ²- 16 x - 8 y = 16 ，求正焦弦長 (A)16(B)2(C)1/16(D)1/2 【87 保甄工】

18.拋物線 x ²+ 2 x + 4 y + 1 = 0 在其上一點(1,-1)之切線方程式為 (A)4x+y=3 (B)x+y=0(C)x+4y=-3(D)y-x=2

【87 保甄商】

19.考慮拋物線 y = - 2 x ²+ 3 ，則下列何者錯誤(A)此圖形開口向下 (B)此圖形之頂點坐標為(0,3)(C)通過此圖形頂點之切線為水平線(D)此函數之最小值為 3

【87 日工】

20.橢圓方程式為 9 x ²+ 25 y ²- 18 x + 100 y - 116 = 0 ，試問此橢圓之長軸之長度為(A)6 (B)10(C)15(D)20

【88 推甄】

21.拋物線 y = - x ²- 4 x + 8 之頂點至點(3,0)之距離 (A)10(B)11(C)12(D)13【88 日工】

22.設拋物線 y = x ²與直線 y=2x+3 相交於 P,Q 兩點，則PQ之中點

(30)

至直線 3x+4y-3=0 之距離為(A)4(B)5(C)6(D)7

【88 日工】

23.已知橢圓方程式為 x ²+ 4 y ²+ 6 x + 8 y + 4 = 0 ，則此橢圓之長軸及短軸之和為(A)9(B)18(C)7(D)6(E)5

【89 推甄工】

24.拋物線 y ²+ 12 x = 0 之焦坐標為

(A)(-3,0)(B)(3,0)(C)(0,3)(D)(0,-3) (E)(0,0)

【89 推甄工】

25.若拋物線 y = x ²- 2 x - 3 的頂點為 A，且與 x 軸的交點為 B 與 C，

則△ABC 的面積為(A)12(B)8(C)6(D)4

【89 日工】

(31)

～解答～

歷屆試題：

1.○ A 2.○ A 3.○ B 4.○ D 5.○ A 6.○ C 7.○ D 8.○ C 9.○ B 10.○ A 11.○ B 12.○ D 13.○ B 14.○ D 15.○ B 16.○ B 17.○ A 18.○ B 19.○ D 20.○ B 21.○ D 22.○ A 23.○ A 24.○ A 25.○ A