106-01-03高三數學題目

彰化縣私立精誠中學

106 學年度第 1 學期 第三次段考 高三數學科 題目卷

A. 單選題(每題 5 分，共 25 分)

1. ( )在右下圖邊長為 1 的正立方體上有兩質點分別自頂點A B, 同時出發﹐各自以等速直線運動分別向頂點C D, 前進﹐且 在1秒後分別同時到達 ,C D ﹒請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項﹒ (1)兩質點的距離固定不變 (2)兩質點的距離越來越小 (3)兩質點的距離越來越大 (4)在2₃秒時兩質點的距離最小 (5)兩質點的距離最小值為 1₂ 公尺﹒ 2. ( )坐標空間中一質點自點P



15,9,7



沿著方向



a 



2, 2, 1



等速直線前進﹐經過 3 秒後剛好到達平面 3x2y z 35上﹐ 立即轉向沿著方向



b 



2, 2,1



依同樣的速率等速直線前進﹒請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面x y z  36上﹖　 (1) 4 秒　(2) 5 秒　(3) 6 秒　(4) 7 秒　(5)永遠不會到達﹒ 3. ( )有兩組供機器運作的配件A﹑B﹐其單獨發生故障的機率分別為0.3﹑0.25﹒只有當A B, 都發生故障時﹐此機器才無 法運作﹒ A ﹑ B 兩配件若用串接方式﹐前面故障會導致後面故障﹐但若後面故障則不會影響前面的故障情形﹔若用並列方 式﹐則故障情形互不影響﹒若考慮以下三種情形﹕　(一)將B串接於A之後　(二)將A串接於B之後　(三)將A B, 獨立並列 在情況(一) (﹑ 二) (﹑ 三)之下﹐機器無法運作的機率分別為p1 ﹑p2﹑p3﹒請選出正確的選項﹒　 (1)p1 p2  p3　(2)p2  p1 p3　(3)p3  p2  p1　(4)p3  p1 p2　(5) p1 p2 p3﹒ 4. ( )設 a﹐b﹐c 皆為正整數﹐關於多項式

 

4 3 2 ₂ f x x ax bx cx ﹐有五個同學的敘述如下： 甲：「 f x

 

0無正根」 乙：「 f x

 

0一定有實根」 丙：「f x

 

0一定有虛根」 丁：「 f

 

1  f

 

1 的值是偶數」 戊：「若a c b  3﹐則 f x

 

0有一根介於 1 與 0 之間」 請問哪幾位同學的敘述是正確的？ (1) 甲乙丁　(2) 甲丙戊　(3) 甲丁戊　(4)甲乙丁戊 　(5)乙丁戊 5. ( )已知以下各選項資料的迴歸直線（最適合直線）皆相同且皆為正相關﹐請選出相關係數最小的選項﹒ (1) 2 3 5 1 13 1 x y ₍₂₎ 2 3 5 3 10 2 x y ₍₃₎ 2 3 5 5 7 3 x y ₍₄₎ 2 3 5 9 1 5 x y ₍₅₎ 2 3 5 7 4 4 x y _﹒

B. 多選題(每題 5 分，答錯一個選項得 3 分，答錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上不給分)

1. ( )坐標空間中有三直線 1 1 2 : 1 2 x t L y t z t            ﹐t 為實數﹐ 2 2 2 4 : 4 5 x y z L x y z           ﹐ 3 2 4 : 1 1 4 x y z L      ﹒ 高三數學第 1 頁

請選出正確的選項﹒ (1) 有一個平面同時包含L1與L2 (2) 有一個平面同時包含L1與L3 (3) 有一個平面同時包含L2與L3 (4) L1與L2的方向向量互相垂直 (5) L1與L3的方向向量互相垂直﹒ 2. ( )某一班共有45人﹐某次段考後調查數學與英文及格的人數﹒發現此班有35人數學及格﹐而有 24 人英文及格﹒ 設﹕ A 為英文與數學都及格的人數 B 為數學及格但英文不及格的人數 C_{為數學不及格但英文及格的人數} D 為數學英文都不及格的人數 請選出恆成立的不等式選項﹒　 (1) A B 　(2)A C 　(3) C D 　(4) B C 　(5) B D ﹒ 3. ( )設 f x

 

為實係數二次多項式﹐且已知 f

 

1 0﹐f

 

2 0﹐ f

 

3 0﹒令g x

 

 f x

  

 x2

 

x3



﹐請選出正確 的選項﹕ (1)y f x

 

的圖形是開口向下的拋物線 (2)y g x

 

的圖形是開口向下的拋物線 (3)g

 

1  f

 

1 (4)

 

0 g x  在1與 2 之間恰有一個實根 (5)若 為 f x

 

0的最大實根﹐則g

 

 0﹒ 4. ( )設a  1 b 0﹐關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹒ (1)

   

7 9 a a    　(2)_b9_b7　(3) 10 10 1 1 log log

a b　(4)log 1 log 1a  b 　(5)logablogba﹒

5. ( )坐標平面上考慮兩點Q1

 

1,0 ﹐Q2



1,0



﹒在下列各方程式的圖形中﹐請選出其上至少有一點P滿足內積 1 2 0 PQ PQ

 

  _的選項﹒ (1)y 1₂　(2) _{ x}2 _2y2 _1　(3) _{y x} 2_1　(4) 2 2 1 2 2 x _ y _ 　(5) _4x2_y2_1﹒

C.填充題

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 7 14 21 28 35 38 41 44 47 50 1. 遞迴數列 an 滿足an an1 f n



2



﹐其中n2且 f x

 

為二次多項式﹒若a11﹐a2 2﹐a3 5﹐a4 14﹐ 則 (5)f  　　　　﹒　　 2. 設 1, 2, , 9 a a _ a 為等差數列且_k為實數﹒若方程組 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 2 5 2 9 a x a y a z k a x a y a z k a x a y a z k       _{    }   _{   }  　有解﹐則k 　　　　﹒ 高三數學第 2 頁

3. 在坐標平面上﹐△ ABC內有一點 P 滿足 4 5 , 3 6 AP _{ } _  



及 1 1 2 5 AP

  

 AB AC ﹒若 ,A P 連線交BC於 M ﹐ 則 AM 



　　　　﹒（化成最簡分數） 4. 設 a 為一實數﹐已知在第一象限滿足聯立不等式 3 2 2 14 x y a x y        的所有點所形成之區域面積為 4 平方單位﹐ 則a　　　　﹒ 5. 不透明袋中有 4 白 3 紅共 7 個球﹐球大小形狀相同﹐僅顏色相異﹒甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊5人依甲第一﹑乙第二﹑……﹑戊 第五的次序﹐從袋中各取一球﹐取後不放回﹒試問在甲﹑乙取出不同色球的條件下﹐戊取得紅球的機率為　　　　﹒（化 為最簡分數） 6. 在空間中﹐一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 的正切值tan ﹒若一金字塔（底部為 一 正方形﹐四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為1₃﹐如圖﹒則相鄰斜面的夾角的餘弦 函 數的絕對值為　　　　﹒ （化為最簡分數） 7. 設圓O之半徑為 48﹐OC50﹐OC交圓O於A點﹐CD切圓O於D點﹐B為A點到OD的垂足﹐如下圖﹐則AB CD 　 ﹒（化為最簡分數） A O _B C D 8. 某疾病可分為兩種類型﹕第一類占 70%﹐可藉由藥物 A 治療﹐其每一次療程的成功率為2₃ ﹐且每一次療程的成功與否互相 獨立﹔其餘為第二類﹐藥物 A 治療方式完全無效﹒在不知道患者所患此疾病的類型﹐且用藥物 A 第一次療程失敗的情況 下﹐進行第二次療程成功的條件機率為________　 9. 坐標平面上﹐一圓與直線x y  5以及直線x y 7所截的弦長皆為 16﹒則此圓的面積為　　　　﹒ 10. 如圖﹐在坐標空間中﹐A﹑B﹑C﹑D﹑E﹑F﹑G﹑H為正立方體的八個頂點﹐已知其中四個 點的坐標A



0,0,0



﹑B



6,0,0



﹑D



0,6,0



及E



0,0,6



﹐P在線段CG上且CP : PG1 : 2﹐R在線 段EH 上且ER : RH 1 : 1﹐Q在線段AD上﹒若空間中通過P﹐Q﹐R這三點的平面﹐與直線 AG不相交﹐則Q點的y坐標為　　　　﹒（化成最簡分數） (此圖僅供參考﹐不代表實際長度) 高三數學第 3 頁 x y z A B C D E F _G H Q P R