JavaSketchpad編輯器在數學科教具學具環境設計上的應用

JavaSketchpad 編輯器在數學科教具學具環境

設計上的應用

林保平

臺北市立教育大學 數學及資訊教育學系

摘

要

JavaSketchpad 是 能 執 行 Geometer’s Sketchpad （簡 稱 GSP） HTML 檔 案 的 網 路 執

行 引 擎 軟 體 。Geometer’s Sketchpad 雖然 可 以 將 大 部 分 圖 形檔 案 存 為 HTML 檔案 ， 但 是 用「 圓 弧 」、「 角 平 分 線 」、「 連 續 按 鈕 」、「 函 數 圖 形 」、「 非 基 本 物 件 上 的 點 」、「 遞 迴 作 圖 」 (iteration) 、 … 等 相 關 指 令 所 做 圖形 ， 無 法 存 為 HTML 檔 案 以 便 上 網使 用 。 在 設 計教 具 學 具 相 關 學 習 環 境 時 ，JavaSketchpad 也 有 一 些 缺 陷 ，HTML 檔 案內 的 GSP 資料 是序 列 性 編 號 的 物 件 資 料，由 於 無 法 再 轉 存 為GSP 檔 案，插入 新 物 件 或 修 改 程 式 相 當 困 難，而 且JavaSketchpad 並 不提 供 如「 輸 入 輸 出 」或「 連 續 按 鈕」等 方 便 設 計 互 動 程 式 的 功 能 。 本 文 介 紹 一 個 編 輯 程 式 ， 能 將Geometer’s Sketchpad htm 檔案 內 的 物 件 資 料 轉 換 成一 個 形 式 上 方 便 修 改 的 檔 案 。 這 個 新 型 式 的 檔 案 ， 就 可 以 很 容 易 地 根 據 JavaSketchpad 的 文 法，加 入 新 的 物 件，並 作 一 些 修 飾。修 改 或 修 飾 後 的 檔 案，可 以 再 度 轉 換 回 HTML 的形 式 ， 能 由 JavaSketchpad 來 執 行 。使 用 者 也 可 以 利 用 編 輯 器， 加 入 JavaSketchpad 物 件 、 或 加 入 可 以 與 JavaSketchpad 程 式 畫頁 互 動 的「 輸 出 輸 入 區」、「 連 續 或 並行 按 鈕」、「 下 拉 選 項 欄 」 等 。 在 修 改 完 畢 後 ， 也 可 以 直 接 呼 叫 瀏 覽 器 作 執 行 測 試 。 運 用 Geometer’s Sketchpad 及 這 個 編 輯 器，可 以 協 助 發展 數 學 科 教 具 學 具 學習 環 境。我 們 已 經 發 展 了許 多 這 類 程 式 放 置 於 網 頁http://www.dynamath.idv.tw ， 在 本 文中 也 作 了 一 些 介 紹 。 關 鍵 字 ：Geometer’s Sketchpad、GSP、JavaSketchpad、教 具 學 具

壹、 簡 介

透 過 動 態 數 學 來 幫 助 學 生 學 習 起 始 於 Geometric Supposer (Schwartz , 1985)，其後

有Cabri Geometry (Baulac et al, 1988)，the

Geometer’s Sketchpad (Jackiw, 1992)、Java Sketchpad (1997，簡記為 JavaGSP)…等軟 體 。 這 些 軟 體 不 只 支 援 動 態 幾 何 作 圖 ， 有 些 新 版 的 軟 體 還 支 援 坐 標 系 統 、 可 作 函 數 圖 形 、 極 坐 標 圖 形 、 支 援 碎 形(fractal) 製 作、3D 立 體 圖 形 等。利 用 這 些 軟體，我 們 可 以 製 作 幾 何 或 函 數 圖 形 ， 並 變 動 其 已 知 條 件 或 參 數 ， 觀 察 圖 形 在 保 持 某 些 幾 何 關 係 不 變 之 下 ， 整 體 形 態 隨 著 變 化 的 情 形 。 雖 然 這 些 程 式 功 能 很 大 ， 但 是 這 些 程 式 本 身 是 多 功 能 多 目 標 的 程 式 ， 並 非 針 對 特 定 單 元 數 學 教 材 而 設 計 的 。 教 師 也 許 期 望 能

獲 得 立 即 可 選 取 使 用 ， 且 與 某 一 單 元 教 材 契 合 的 程 式 。 這 些 功 能 強 大 的 動 態 數 學 程 式 ， 固 然 可 以 供 學 生 直 接 學 習 ， 並 透 過 圖 形 製 作 來 探 討 數 學 或 幾 何 性 質 ， 也 可 以 用 來 設 計 針 對 單 元 教 材 內 容 的 電 腦 教 具 學 具 ， 協 助 教 師 教 室 教 學 ， 刺 激 或 引 導 學 生 討 論 ， 作 融 入 課 程 的 電 腦 輔 助 教 學 。 動 態 數 學 軟 體 Geometer’s Sketchpad (簡記 為 GSP)提 供 了 基 本 幾 何 作 圖工 具 ， 具 有 尺 規 作 圖 、 圖 形 可 變 異 或 動 態 連 續 變 換 、 保 持 結 構 、 特 殊 即 一 般 、 記 錄 作 圖 過 程 等 功 能 （ 林 ， 民 85, 民 86）。GSP 程式 也 提 供 了 一 個 強 而 有 力 的 「 按 鈕 」 功 能 ， 這 些 按 鈕 好 像 一 個 個 的 副 程 式 一 樣 ， 各 具 不 同 的 功 能 ， 但 是 也 可 以 串 連 起 來 ， 成 為 一 個 新 的「 按 鈕 」，可 以「 依 序 」或「 同 時 」 執 行 已 串 連 的 按 鈕 。 這 個 功 能 使 得 使 用 者 具 有 控 制 程 式 流 程 的 工 具，也 使 GSP 成 為 一 個 方 便 發 展 數 學 單 元 教 材 的 開 發 工 具 。 GSP4.x 軟 體 本 身 提 供 了 將 設 計 內 容 存 為 HTML 檔案 的 功 能，這 個 htm 檔 案 包 含 了 一 個 JavaGSP 的 Applet， 能 在 網 路 上 執 行。我 們 可 將 製 作 出 的GSP 程 式 檔 案，轉 換 成 網 路 執 行 程 式 可 執 行 的 檔 案 ， 放 置 於 網 頁 中 ， 供 教 師 及 學 生 使 用 。 長 期 以 來 ， 我 們 已 經 利 用 GSP 設 計 了 相 多 針 對 教 室 上 課 使 用 的 電 腦 教 具 學 具 程 式 ， 放 置 於 網 頁 http://www.dynamath.idv.tw 上 。 JavaGSP 有 其 本 身 的 語 法(http://www. keypress.com/sketchpad/javasketchpad/dr_ grammar.php)，使 用 者 可 利 用 這 個 語法，對 HTML 檔案中的 JavaGSP Applet，增 刪 物 件 或 加 以 修 飾 。 但 是 它 的 序 列 性 編 號 方 式 ， 使 得 增 刪 修 飾 不 太 容 易。Lisken (1997) 提 供 了 一 個script 程 式(jsp.awk 見 http://www. mathematik.uni-bielefeld.de/~lisken/jsp/) 可 以 在 任 何 編 輯 軟 體 上 ， 用 書 寫 JavaGSP 指 令 的 方 式（ 不 同 於GSP 桌 上 型 程式 的 畫 圖 建 構 ），製 作 動 態 數 學 檔 案，然 後 將 編 輯 完 成 的 檔 案 轉 換 為 能 在 網 路 上 執 行 的 HTML 檔 案 。 這 個 程 式 也 提 供 了 巨 集 功 能 ，簡 化 了 程 式 的 書 寫。Hans Klein 也 提 供 了 以javascript 寫 成 的 程 式 JSPGenerator (http://home.wxs.nl/%7ehklein/ jspgenerator/jspgenerator.htm) ， 提 供 了 可 在 網 路 上 直 接 製 作 動 態 數 學 檔 案 ， 並 立 即 觀 察 結 果 的 程 式 檔 案 開 發 工 具 。 它 們 都 提 供 字 串 命 名 的 方 式 ， 避 開 了 序 列 性 數 字 編 號 ， 使 檔 案 編 寫 變 得 很 簡 單 。 但 是 這 兩 個 程 式 ， 似 乎 是 以 取 代 桌 上 型 GSP 程 式 為 目 標，建 議 以 書 寫 的 方 式，設 計 程 式 檔 案。 我 們 認 為 透 過 幾 何 畫 圖 方 式 無 論 如 何 均 要 比 書 寫 指 令 的 方 法 要 直 接 了 當 ， 清 楚 明 白，而 且 GSP 在 方 便 製 作 圖 形 檔 案上 有 相 當 多 的 優 點 。 但 是 從 另 一 個 層 面 來 看 ， 當 GSP 檔 案 存 成 HTML 檔 案 時，許 多 有 用 的 GSP 功 能，JavaGSP 都 不 支 援，如「 圓 弧 」、 「 角 平 分 線 」、「 畫 頁 選 擇 」、「 連 續 按 鈕 」、 「 函 數 圖 形 」、「 非 基 本 物 件 上 的 點 」、「 遞 迴 作 圖 」(iteration) 、 … 等 。 有 些 圖 形 製 作 可 以 用 其 他 方 式 取 代，但 如「 連 續 按 鈕 」 則 無 可 取 代 。JavaGSP 也 不 提 供 如「 輸 入 輸 出 」、及「 選 擇 」之 功 能。因 此，額 外 加 入 一 些 功 能 進 入 JavaGSP 有其 必 要，因 要

方 便 加 入 新 物 件 進 入 原 來 的HTML 檔 案 ， 我 們 除 了 需 要 一 個 方 便 的 編 輯 程 式 外 ， 我 們 也 需 要 一 個 能 將 現 成HTML 檔 案 中 序 列 性 編 號 資 料 轉 換 為 字 串 指 標 資 料 的 轉 換 器。 在 這 種 情 況 下，GSP 是 一 個 基本 建 構 工 具，再 透 過 轉 換 器 的 轉 換、增 修、編 輯 ， 我 們 便 可 以 較 方 便 地 製 作 可 供 教 師 或 學 生 在 教 室 直 接 使 用 ， 針 對 單 元 教 材 的 教 具 學 具 程 式 。 本 文 的 目 的 就 是 介 紹 這 個 編 輯 器 （JavaGSP Editor）， 並 展 示 一 些 我們 製 作 完 成 的 電 腦 輔 助 教 學 的 教 具 學 具 程 式 。

貳、

JavaGSP Editor 的功能

本 編 輯 器 是 一 個 可 在 Windows 執 行 的 程 式 。 除 了 基 本 的 編 輯 外 ， 我 們 還 提 供 下 列 功 能 ：

一、 檔案 轉換

JavaGSP 指 令文 法，是 採 用 序 列 性編 號 方 式。圖 1 中，編 號 1 至 12 的 數 學 物 件， 就 是 這 個 檔 案 的 12 個物 件 。 每 一 個 物 件 均 依 序 編 定 一 個 號 數 ， 當 轉 換 此 檔 案 時 ， 編 輯 器 用 不 同 的 字 串 取 代 所 有 的 序 號 （ 事 實 上 ， 只 是 在 號 碼 前 加 上 ＄ ， 使 其 成 為 字 串 ）， 將 延 伸 檔 名 改 為 “jsp”，並 在主 要 物 件 部 分 的 前 後 加上 兩 個 標 籤 ：<jsp> 及 </jsp> （ 圖 2）。 物 件 參 照 時 ， 依 其 字 串 標 籤 而 非 序 號 ， 因 此 在 插 入 新 物 件 時 ， 我 們 不 必 修 改 在 其 後 方 物 件 的 號 碼 。 例 如 我 們 能 用 下 面 兩 個 物 件 取 代 ＄4： $M1 Parameter(0.5, 10, 10, 'x1'); $4 Dilation/MarkedRatio ($2, $1, $M1) [label('B'),blue]; 此 時 ， 我 們 可 以 透 過 改 變 參 數 值 來 改 變 圓 半 徑。當 然，這 麼 簡 單 的 程 式，用 GSP 重 作 也 可 以 ， 複 雜 的 程 式 重 作 就 很 費 事 了 。 最 後 ， 我 們 可 以 將 修 改 完 的 檔 案 ， 再 轉 換 為 HTML 檔 案 ， 由 瀏 覽 器 執行 。 圖 1、 一 個 簡 單 的 JavaGSP applet 檔 案 內 容 及 其 圖 形 。

圖 2、 轉 換 後 的 jsp 檔 案 ， 我 們 可 以 在 任 意 兩 行 間 插 入 親 代 (parents)在 前 的 新 物 件 。

二、 加入 物件

利 用 選 擇 的 方 式，從 JavaGSP 物件 表 (圖 3)中，選 取 要 插 入 的 物 件。插 入 的物 件 必 須 插 在<jsp> 及 </jsp> 兩 個 標 籤 之 間 的 適 當 位 置 ， 且 使 其 親 代(parents)均 在 前 面 出 現 。 物 件 表 只 列 出 物 件 名 稱 、 變 數 的 數 量 、 變 數 的 性 質 及 呈 現 的 語 法 格 式 ， 使 用 時 必 須 以 適 當 的 親 代 字 串 標 籤 替 代 之 。 圖 3、 JavaGSP 物 件 表 列

三、 加入 巨集

使 用 者 可 以 建 立 自 己 常 用 的 巨 集 程 式，將其加入檔案 jsp.macro 中，此檔案應 與目前運作的檔案置於同一個檔案夾，目前 內建 5 個巨集：三度空間坐標軸’三角形單 面塗色、三角形雙面塗色、三度空間描點、 及空間上過三點的圓，這些巨集，均先用Ｇ ＳＰ製作，轉換為 JavaGSP 物件後，再修 飾而成巨集。圖 4 為含巨集之 jsp 檔案範 例，及巨集選項表，介於符號“#”之間的字 串為註解不會被執行。 本 巨 集 畫 出 3-Ｄ直 角 坐 標、一 個 兩 面 塗 色 的 空 間 三 角 形 及 其 外 接 圓 ， 圖 5 呈現 該 程 式 畫 面 中 ， 物 件 在 空 間 旋 轉 後 的 許 多 圖 形 。 程 式 中 巨 集 標 籤 應 以 “$!” 為 起 始 字 元 。 前 述 含 巨 集 之 程 式（9 行 ），當 轉換 為 HTML 檔 案 時 ， 將 展 開 成 為 130 行 的 JavaGSP 資 料 ， 巨 集 展 開 後 的 HTML 檔 案 ， 無 法 還 原 成 原 來 的 巨 集 程 式 。

圖 4、 巨 集 範 例 及 巨 集 選 項 表 圖 5、 不 同 方 向 看 空 間 上 兩 面 塗 色 的 三 角 形 及 其 外 接 圓 。

四、加入互動的按鈕、輸出輸入區、

或下拉選項欄

JavaGSP 本 身 就 提 供 了 基 本 的 網 頁 互 動 (inter-applet communication) 功 能 (Jackiw1997)。我 們 利 用 這 個 功 能發 展 了 一 組applets 來 控 制 JavaGSP 的按 鈕，也 設 計 了 輸 出 輸 入 區、下 拉 選 項 欄。這 些applets 彼 此 可 互 相 溝 通，並 都 可 與 JavaGSP 的 主 要 applet 溝 通互 動 。 使 用 者 可 以在 按 鈕 選 項 表（ 圖 6-1）中 選 擇 想 插 入 的 applets 物 件 ， 並 插 入 於 適 當 的 位 置 。 我 們 已 提 供 了 SerialGSPbution，其 基 本 功 能 是 連 續 或 同 時 執 行 JavaGSP 的 按 鈕 ， 也 可 以 做 成 輪 換 按 鈕(togglebutton)， 輪 換 執 行 兩 組 或 兩 序 列 的 按 鈕 ， 或 輪 換 執 行 數 組 或 數 個 序 列 的 按 鈕 。 圖 6-1、 按 鈕 選 項 表 ChoiceGSPButton 可 以選 擇 不 同 的頁 面 或 分 岔 ， 並 執 行 選 項 要 求 的 按 鈕 。 IfChoiceGSPButton 可 以 從 ChoiceGSPButton 獲 得資 訊 配 合 頁面 或 分 岔 作 動 作 或 執 行 按 鈕。GSPInput 可 以 建 立 與 主 畫 面 溝 通 互 動 的 輸 出 輸 入 區 ， 並 執 行 要 求 的 按 鈕 。GSPRegister 用 來註 冊 主 頁 面 ， 以 便 其 他 頁 面 與 主 頁 面 溝 通 。 當 然 ， 在 插 入 這 些 可 溝 通 互 動 的 applets 物 件 時，也 要 在 JavaGSP 上 設 定 一 些變 數，方 便 溝 通 及 互 動 的 進 行 ， 也 方 便 使 用 者 與 程 式 頁 面 的 互 動 。

五、執行程式

使 用 者 可 以 在 編 輯 器 選 項 下 ， 選 擇 執 行 程 式（ 圖7）。只 要 目 前 運 作 中 的檔 案 是 儲 存 於 與 JavaGSP 執 行 引 擎(jsp 檔 案 夾) 相 同 的 檔 案 夾 下 時 ， 不 論 此 檔 案 為 HTML 或 jsp 檔（ 若 為 jsp 檔，編 輯 器 會 先在 內 部 將 此 檔 轉 換 為 HTML），編 輯 器 均 會 呼 叫 預 設 的 瀏 覽 器 來 執 行 程 式 。

圖 6-2、 使 用 applets 物 件 與 主 頁 面 溝 通 的 程 式 實 例

參、已完成的教具學具學習環境實例

所 有 的 教 具 學 具 環 境 ， 在 設 計 時 ， 均 具 下 列 目 標 。

一、一般化的教學工具

與 實 體 教 具 學 具 比 較 ， 我 們 所 設 計 的 教 學 環 境 ， 都 是 一 般 化 的 情 境 。 例 如 平 行 四 邊 形 面 積 公 式 的 教 學 環 境 中 ， 教 師 可 以 隨 意 改 變 （ 旋 轉 圖 形 、 改 變 高 、 邊 長 … ） 平 行 四 邊 形 的 形 狀 （ 因 此 ， 這 個 平 行 四 邊 形 是 一 般 化 的 平 行 四 邊 形 ），將 平 行 四 邊 形 切 割（ 切 割 處 也 可 以 改 變 ），重 組 圖 形 為 長 方 形 （ 圖 8）。

二、在網路上動態可操作

所 有 的 教 具 學 具 程 式 ， 均 可 在 網 路 上 執 行 ， 而 且 是 可 以 手 動 以 滑 鼠 操 作 的 。 操 作 過 程 中 ， 程 式 將 呈 現 物 件 動 態 的 變 化 過 程，教 師 可 以 上 網 使 用 來 教 學，隨 時 暫 停， 向 學 生 提 問 ， 請 學 生 思 考 及 說 明 自 己 觀 察 後 的 想 法 ， 例 如 上 述 平 行 四 邊 形 程 式 ， 教 師 可 以 鼓 勵 學 生 發 現 及 討 論 平 行 四 邊 形 與 長 方 形 面 積 間 的 關 係 。 此 時 ， 也 正 是 老 師 與 學 生 討 論 平 行 四 邊 形 高 與 底 的 最 佳 時 機 ， 並 引 導 學 生 發 現 及 描 述 平 行 四 邊 形 的 面 積 公 式 。

三、透過互動按鈕控制畫面

我 們 使 用 外 加 的 按 鈕 、 輸 出 輸 入 區 、 下 拉 選 項 欄 等 使 程 式 更 具 互 動 性 ， 在 滑 鼠 操 作 不 方 便 時 ， 單 擊 按 鈕 ， 可 以 令 程 式 自 動 操 作 。

四、多重表徵的呈現（Kaput, 1989;

Lin, 1993; Lin & Olive 1994）

程 式 的 呈 現 可 有 多 重 的 表 徵 ， 這 些 表 徵 互 相 對 照 呼 應 ， 呈 現 表 徵 內 部 的 變 換 或 不 同 表 徵 之 間 的 轉 譯 。 例 如 呈 現 二 次 函 數 的 圖 形 ， 學 生 或 教 師 可 透 過 滑 鼠 操 作 圖 形 ， 觀 察 函 數 式 在 係 數 上 的 變 化 ， 或 在 輸 出 輸 入 區 改 變 係 數 觀 察 圖 形 的 變 化 ， 將 函 數 圖 形 及 函 數 式 看 成 一 個 物 件 ， 忽 略 函 數 自 變 數 與 應 變 數 對 應 的 關 係 ， 提 升 學 習 研 究 的 層 次 （ 圖 9） 。 在 此 程 式 中 ， 使 用 者 也 可 以 輸 入 頂 點 及 二 次 項 係 數 改 變 拋 物 線 的 形 狀 ， 使 用 滑 鼠 移 動 坐 標 原 點 O， 或 移 動 A，B 兩 點 改 變 拋 物 線 的 形 狀， 此 時 拋 物 線 的 函 數 式 會 跟 著 改 變 。

五、使用的彈性

教 師 能 根 據 教 學 設 計 ， 選 擇 程 式 中 部 分 需 要 的 功 能 ， 或 自 行 設 計 補 充 的 功 能 ， 或 作 大 班 教 學 （ 教 師 操 作 ， 學 生 或 教 師 提 問 題 討 論 ） ， 或 由 個 別 或 小 組 操 作 ， 作 彈 性 的 設 計 調 配 ， 以 適 應 學 生 的 程 度 或 個 別 需 求 。 下 列 圖 形展 示 教 具 學 具 實 例。它們 都 是 在 網 站http://www.dynamath.idv.tw 上 公 布 的 作 品 ， 只 要 連 線 上 網 ， 就 可 在 教 室 中 使 用 ， 不 需 桌 上 型 GSP 程 式 。

圖 8、 不 同 的 平 行 四 邊 形 及 不 同 的 分 割 圖 9、 多 重 表 徵 的 函 數 呈 現 圖 10、透 過 車 子 的 方 輪 及 圓 輪 探 討 圓 的 圓 心 及 半 徑 圖 11、以 平 行 及 垂 直 斜 邊 的 切 割 方 式，觀 察 勾 股 定 理 的 切 割 拼 補 圖 12、透 過 等 積 變 換、旋 轉 或 平 移 探 討 勾 股 定 理 （ 林 ， 民 87）

圖 13、 柱 體 錐 體 的 觀 察 及 其 展 開 圖 14、 分 割 正 方 體 ， 組 成 另 一 立 體 圖 15、 球 面 坐 標 系 統 的 認 識 圖 16、 固 定 的 三 角 形 ABC 兩 頂 點 A、 B 在 兩 軸 滑 動 之 模 型 及 抽 象 後 的 數 學 圖 形 圖 17、 正 方 體 的 剛 體 運 動 群 圖 18、圓 在 另 一 圓 內 部 或 外 部 作 相 切 但 不 滑 動 的 轉 動 時 ， 相 對 于 圓 心 的 某 點 所 形 成 的 軌 跡 圖 形 之 探 討 （ 可 輸 入 不 同 的 半 徑 ）

肆、 結 語

本 文 簡 單 描 述 了 JavaGSP Editor 並 介 紹 了 一 些 教 具 學 具 程 式 實 例 ， 這 些 實 例 都 已 經 放 置 於 網 站 上 。 雖 然 我 們 已 經 利 用 這 編 輯 器 發 展 了 許 多 教 具 學 具 環 境 ， 這 個 編 輯 器 仍 有 許 多 缺 陷 ， 希 望 未 來 能 將 此 編 輯 器 設 計 得 更 簡 單 實 用 ， 透 過 按 鈕 或 滑 鼠 就 能 安 排 好 各 種 需 要 的 按 鈕 ， 發 展 更 多 的 巨 集 程 式 。 此 外 ， 這 些 介 紹 的 實 例 ， 主 要 為 教 師 設 計 ， 教 師 應 先 瞭 解 這 些 教 具 學 具 程 式 的 功 能 ， 並 依 其 功 能 設 計 教 學 流 程 ， 使 用 它 們 來 教 學 。 程 式 並 未 提 供 一 步 一 步 的 指 示 來 協 助 學 生 自 學 ， 我 們 下 一 步 的 研 究 目 標 將 放 在 這 個 方 向 。

參考 資 料

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National Council of Teachers of Mathematics.