99學年度高一下第二次定期考

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定期考優良試題推介

99 學年度高一下第二次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

報告撰寫:國立竹南高中李政豐老師 指導教授:國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、洪有情教授、張幼賢教授、 朱亮儒教授 小組成員:臺北市立建國高中曾政清老師、國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、國立武陵高中謝文斌老師、 國立新竹高中褚雨蓓老師、國立新竹女中張寶文老師、 國立竹南高中李政豐老師、國立臺中一中李吉彬老師、 國立員林高中黃駿耀老師、國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、國立臺南一中蕭健忠老師、 國立高師大附中歐志昌老師

前言

99 課綱實施之後,原本在高二下的排列組合課程,提前在高一下實施教學, 在這個重大的變動之下,課綱委員與高中數學教師的看法,有一點落差,因而 在教學與評量中,衍生一些需要時間來適應的問題。本校學生基測PR 值約為 61,我以任教於中等程度學校教師的觀點,列舉一般性問題如下,謹提供大家 參考: 1、排列組合的學習著重在分析理解能力的訓練,高一學生的智慧年齡與數學能 力的背景,比起高二學生是有些不足。 2、99 課綱明顯的希望降低排列組合的難度,但是老師們對舊課綱的命題內容還 是很多,短時間內還無法融入新課綱的精神。 3、部分學校的試題,解題的技巧性很高,需要思考得很週延,相對的解題時間 變得很匆忙,學生的挫折感必定很大。 4、部分試題思考的細膩度廣,計算量大,要在(60~70)分鐘內解完試題,實不容 易。 5、需要逐一檢查解題方式的題目稍微偏多,學生不易在短短的考試時間內掌握 它的演算法。 6、在教學時,要讓學生有自由解題的空間,走他自己的路,尤其要讓學生體會 『我這樣的作法,到底錯在哪裡?』。能夠讓學生了解自己的路哪裡出錯,他 才會領悟並接受老師所 的敎 正確解題方法。因此診斷學習是很必要的,只教

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學生如十八般武藝的解題技巧,在我們中等程度學校是有學習困難的。 在教學與評量當中,我們感覺需要加強的內容也將它列舉如下: 1、相同物分堆的定義不夠清楚,能舉出來的生活中的實例太少。 例如:曾小姐擁有一副好歌喉,在同學的鼓勵之下參加了「歌唱大賽」,現場有 5 名專業的評審,依照表演者的表現給出 1、2、3、4、5、6 的分數。今曾小姐在 唱完後共得到26 分的高分, (1)如果只考慮所評出來的分數,不需辨識評審的身分,則共有多少種可能的 給分方式。 這是相同物分堆的題目; 26=6+6+6+6+2,26=6+6+6+5+3,26=6+6+6+4+4,26=6+6+5+5+4, 26=6+5+5+5+5,共五種。 (2)如果要考慮每位評審各給幾分,則共有多少種可能的給分方式。這是重複 組合的情境:要先作相同物分堆,再作不盡相異物排列。 26=6+6+6+6+2 有 5! =5 4!1! 種,26=6+6+6+5+3 有 5! =20 3!1!1! 種 26=6+6+6+4+4 有 5! =10 3!2! 種,26=6+6+5+5+4 有 5! =30 2!2!1! 種 26=6+5+5+5+5 有 5! =5 1!4! 種,總共有70 種 於是,我們可以對相同物分堆下定義: 「任兩堆之間沒有順序,如果相同物品數量有n 個,將 n 分成由大到小的非負 整數和,即為一種相同物分堆的方法」。 2、不同物分堆的定義也不夠清楚,能舉出的生活中實例也不多。 以賽程的安排做為不同物分堆的例子是比較適當的。 所謂兩隊比賽的賽程安排:是指兩隊的成員,與比賽的對象。當隊內組成的 成員有變化,或比賽的對象有變化,就視為不同的賽程。 例如:有9 位學生要分兩組作籃球的鬥牛賽,一組 5 人,另一組 4 人,有多 少種賽程的安排。 因為人數不同,有大小組的區分,故有C95C =12644 種 例如:有8 位學生要分兩組作籃球的鬥牛賽,每一組 4 人,有多少種賽程的

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安排。 因人數相同,沒有組別區分,兩組人馬對調,比賽對象沒變,故有C84 C44 =35 2!  種。 由此,我們可加入不同物分堆的定義:  把n 個不同物分 k 堆  a. 若兩堆數目不同,有大小堆的差異,則兩堆之間要考慮順序,視同排列,   堆內物品不考慮順序視同組合。  b. 若兩堆數目相同,則兩堆之間不考慮順序,只有各堆內成員有變化時才   算是不同的分堆方法。 3、課本只列舉重複排列的正向算法(用乘法原理),缺乏重複排列的逆向算法。 例如:有3 條渡船,有 6 名旅客,規定每條渡船的安全載客量為 4 人,若旅 客在不知道安全載客量規定的情況下,每位旅客都可隨機選擇上哪一 條船,則安全過渡的情形有幾種。 這是重複排列的情境,所有上船的情形(含安全或不安全)有3 =7296 種。 設三條渡船是B1、B2、B3,會有危險的載客量是: 重複排列的逆向算法是要考慮每條船載了多少人,而且載了哪些人。 當三條渡船載客量是6,0,0 之排列情形有 6 0 0 6 0 0 3! C C C =3 2!1!   種。 當三條渡船載客量是5,1,0 之排列情形有 6 1 0 5 1 0 3! C C C =36 1!1!1!   種。 故危險過渡共有39 種。而安全過渡有 729-39=690 種。 6 1 0 5 1 0 C  C C 的算法,我們暫且稱為『外排內組』,任兩船之間所載的客人是有 順序的,視同排列。同一條船內所載的客人是不分順序的,視同組合。它的算 法與不盡相異物排列的算法相似,但情境不同。因此; 重複組合的結構:(1)相同物分堆 (2)不盡相異物排列。 重複排列的結構:(1)相同物分堆 (2)不盡相異物排列 (3)外排內組。

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4、要讓學生領會重複計數或少算的錯誤。 例如:男生3 人,女生 4 人,從中選 3 名公差,但是至少要有兩位男生。 方法一(正解):男 2 女 1 或男 3 女 0。 3 4 3 4 2 1 3 0 C C +C C =13 方法二(誤解):先挑兩位男生,再由剩下的 5 人任選一位。 3 5 2 1 C C =15 要讓學生體會到錯在哪裡,哪裡重複計數? 例如:有 5 本不同的英文書,4 本不同的中文書,從中取 3 本英文書與 2 本中 文書排成一列,有多少種排列方法? 方法一(正解): 5 4 3 2 (C C ) 5!=7200 方法二(誤解): 5 4 3 2 P P =720 要讓學生體會到哪裡錯了,兩種方法之間的關聯性為何? 5、重複組合的說明:演算法的說明,題型的種類,稍有不足。 例如:一棟建築物地下有兩層:B1、B2,地上有 10 層:F1、F2、F3、…F10。 今有6 位客人由 B1 上電梯,必須在地上 10 層當中下電梯,有幾種方法? (1)如果我們需要計算每位客人在哪一層樓下電梯(可辨識 6 位客人的身分), 有106種方法,是重複排列。 (2)如果我們只需計算每一層樓下電梯客人的數目(不需辨識 6 位客人的身分), 有C10 1+66  種方法,是重複組合。

出處:A First Course in Probability (Sheldom Ross),Ch1,P.16,ex.19

『6 個 O 與 9 個∣的每一個不盡相異物排列』與『重複組合每一組解答』形成一 一對應,這個演算法,在我所任 的中等程度的學校,學生的學習是有困難 的,段考前會算,考後一個月就忘了,我們的學生,沒有那麼優秀,需要多 一點適當的題型,來加強他對重複組合的認識。 6、所謂相關位置與實際位置的概念,有必要強調與說明(見下註)。 如下圖:當四葉片的電扇,將上方、左方、下方、右方塗上紅橙黃綠四種顏色 之後(左一),逆時針旋轉 90 度(左二)、180 度(左三)、270 度(左四)、360 度(左 一)仍屬同一種相關位置;

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若用四色塗四扇葉片,每片一色,則共有多少種相關位置? 如果我們固定紅色在上,則左方、下方、右方已經變成紅色的相關位置了, 其他的三種顏色,要塗在紅色的左方、下方或右方,則有3!種排列,亦即有 6 種相關位置。下圖的英文字母(R,O,Y,G)代表上、左、下、右分別是紅、橙、黃、 綠。 註:99 課綱已經刪除環狀排列,此內容不建議列入高一排列組合教學範圍; 若已補充此內容者,請勿列入評量範圍。 7、情境命題的解釋與舉例不足,命題老師的敘述與學生的領會有落差,導致題 意不清引起的錯誤解題。 例如:有9 個人,分乘 3 部計程車,每車 3 人,則有多少種分組的方法。 (1)如果要區分計程車(因為司機、車號皆不同),這是類似重複排列的情境,則 有C93C36C =168033 種。 (2)如果不要區分計程車,只討論哪 3 個人搭同一部車,這是類似不同物分堆 的情境,則有 9 6 3 3 3 3 C C C =280 3!   種。 我的想法是,敘述需要清楚詳盡,學生才能心領神會,相信老師如此命題,學 生的誤會將變少。

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A. 基礎重要試題

1、(單選) 從甲、乙、丙、…等 8 人中選出 4 人去參加比賽,則此 8 人中之 A、 B、C 三人至少一人入選的方法數有多少種? (1)85 (2)70 (3)65 (4)56 (5)35 參考答案:(3) 8 5 4 4 C C =65 出處:金門高中 修題建議:從甲、乙、丙、…等8 人中選出 4 人去參加比賽,則此 8 人中之甲 乙、丙三人,至少一人入選的方法數有多少種? 2、(多選) 選出答案與 6 3 C =20 等值的選項: (1)從 6 人中選出 3 人參加辯論比賽的方法數 (2) 3 件相同的禮物全部分給 6 個人,每人至多得 1 件的方法數 (3)甲乙丙三人從 6 本不同的書中,每人各選一本的方法數 (4) 6 個不同座位,3 個人各選 1 座位入坐的選法數 (5)將 3 本相同的書分給 4 個人的方法數 參考答案:(1)(2)(5) 出處:金門高中 3、(多選) 擲兩粒公正骰子一次,下列敘述哪些為真? (1)點數和為 6 的機率為 5 36 (2)點數相同的機率為1 6 (3)點數和小於 5 點的機率為1 6 (4)點數和為奇數之機率為1 2 (5)點數乘積為偶數之機率為1 2 參考答案:(1)(2)(3)(4) 出處:金門高中 4、(1)兩個人玩「剪刀、石頭、布」的遊戲一次,則一次決勝負的機率為 , 不分勝負的機率為 (2)三人玩猜拳遊戲一次,則一次決勝負的機率為 ,不分勝負的機率為 ,兩人留下的機率為 (兩人留下,如(剪刀,石頭,石頭)) (3)四人同時玩「剪刀、石頭、布」的遊戲一次,若不分勝負(4 人留下)的機率

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為 27 B ,則B____(不分勝負如(剪刀,石頭,布,石頭)或(布,布,布,布)) 參考答案:(1)2 3, 1 3 (2) 1 3, 1 3, 1 3 (3) 13 出處:金門高中 5、(多選) 將 8 個不同的獎品,依下列各情況分法有不同的方法數,則下列敘述 哪些是正確的? •平分成四堆有a種方法; •平分給甲、乙、丙、丁四人有b種方法; •依 4 個,2 個,2 個分成三堆有c種方法; •依 4 個,2 個,2 個分給甲、乙、丙三人,且已知甲分到 2 個有d種方法; •分給甲、乙、丙三人,只知道其中有一人得 4 個,一人得 3 個,一人得 1 個, 有e種方法。 (1)b4a (2)d 500 (3)c為7 的倍數 (4)a最小 (5)e最大 參考答案:(3)(4) 8 6 4 2 2 2 2 2 105 4! C C C C a     , 8 6 4 2 2 2 2 2 b=CCCC =2520, 48 24 22 210 2! C C C c    ,d C 28C46C22 2 840, 8 4 1 4 3 1 3! 1680 e C CC   出處:基隆女中 6、從 1,2,3,…,11 這十一個數中隨意取四個相異的數, (1) 若這四個數字中至少有兩個數大於 6,則有 種選法。 (2) 若這四個數中任兩數都不是連續整數,則有 種選法。 參考答案:(1)215;(2)70 (1) 5 6 5 6 5 6 2 2 3 1 4 0 215 CCCCCC  (2)先把 7 個 O 作排列,在 8 個間隔中插入 4 個 Δ,使得 Δ 被分開,再把 11 個O 或 Δ 符號,由左至右填上編號 1,2,3,4…..11。則 4 個 Δ 代表的編號就是 不連續整數。故有C =7084 種 出處:基隆女中 7、(多選) 設A B, 為樣本空間中的兩事件,且

 

1 2 P A  ,

 

3 8 P B  ,

3 4 P A B  ,則下列敘述哪些是正確的?

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(1)

 

1 2 P A   (2)

1 8 P A B   (3)

1 4 P AB   (4)

1 8 P A B  (5)

5 8 P AB  參考答案:(1)(2)(3) 出處:基隆女中 8、將「岈然洼然,若垤若穴」這八個字全取而排列之 (1)若任意排列,則總共有___________種排法; (2)限定「然」字不相鄰、「若」字也不相鄰,則總共有___________種排法。 參考答案:(1)10080;(2) 8! (7! 7!+ 6!)=5760 2!2! 2! 2! 出處:新店高中 9、設 n 為大於或等於 5 的正整數,且(1 )n x  的展開式中,xk項的係數為 k a ,若 3 4 5 5a 8a 5a 0,則n的值為  ___ 。 參考答案:n7或8 出處:師大附中 10、設 2 位女生 3 位男生,要坐在 9 個排成一列的座位等候面試,若 2 位女生相 鄰而坐,3 位男生也相鄰而坐,男生與女生之間,可以有空位,也可以沒有 空位,則有____種坐法。 參考答案:把2 位女生看成一個物件,3 位男生也看成一個物件,4 個空位 也分別看成4 個物件,則 6! 2! 3!=360 1!1!4!  出處:建國中學 11、(單選)設 A, B 為樣本空間 S 中的事件,事件 A 發生的機率為1 3,事件B 發生

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的機率為1 2,若p 表示事件 A 或事件 B 發生的機率,則p的最大值為何? (A)1 2 (B) 1 3 (C) 5 6 (D) 6 7 (E) 7 8 參考答案:(C) 出處:復旦高中 12、(單選) 在一個盒子裡裝著四枚硬幣,其中三枚的正面為人頭,反面為字,都 是正反面出現機率均等的公正硬幣,另一枚的兩面均為人頭。若Sandra 隨機 取出一枚並投擲,則這枚硬幣出現人頭的機率為何? (A)3 8 (B) 1 2 (C) 4 7 (D) 5 8 (E) 5 7。 參考答案:(D) 出處:復旦高中 13、(多選) 設 A、B、C 為某個隨機試驗的三事件,下列敘述哪些是正確的? (A)A、B 獨立AB獨立 (B)若 A、B 為獨立事件,則P A B(  )P A( )P B( )P A P B( ) ( ) (C)若 A、B、C 為獨立事件,則P A B C(   )P A P B P C( ) ( ) ( ) (D)若 A、B、C 兩兩獨立,則 A、B、C 獨立。 參考答案:(A)(B)(C) 出處:復旦高中 14、(多選)高一孵蛋班有 46 位同學,要選出 5 位同學當環保小天使,班長作了 46 張籤,其中 5 張寫”當選”,其餘空白,試問下列選項哪些是正確的? (A)莎莎叫著不要第一個抽,她認為第一個抽中的機率最大 (B)麗麗排第一個抽,結果沒抽中,志明心想不妙,他認為抽中的機率提高了。 (C)第一個沒抽中,第二個志明真的抽中了,眉村第三個抽,他認為第一個 沒抽中,第二個抽中,互相抵消,不影響她原來抽中”當選”的機率。 (D)歡歡排在最後一個抽籤,但還沒輪到他時,5 張當選的籤都被抽走了,他 抗議班長不公平,排他最後一位抽,抽中的機率最低。 (E)在未開始抽籤之前,每一位同學抽中當選的機率都是 5 46,與排序無關 參考答案:(B)(E) 選項(C)眉村第三個抽,他抽中的機率是 4 44,是個條件機率。 出處:復旦高中

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15、從 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 七個數字中,任取四個不重複的數字,排成四位數,則能 排成____個偶數。 參考答案:360 出處:新竹高中 16、甲、乙、丙、丁、戊等五名男生和 A, B, C 三名女生一起參加某營隊,若將此 8 個人分成3 組(不分組別),這 3 組人數分別為 2、3、3,且每組各有一位女生 則分法共有_____種。 參考答案:假設有組別之分,女生先分再補足男生有3! C 15C42C =18022 種 今不分組別則有 5 4 2 1 2 2 3! C C C =90 2!    種。 出處:新竹高中 17、同時擲 3 顆公正的骰子一次,則點數 1 與點數 2 同時出現的機率為____ 參考答案: 5 36 出處:新竹高中 18、(單選) 在任一個有兩個小孩的家庭中,假設每個孩子是男生或女生的機率均 為1 2。若已知家庭中有男孩的情況下,則老大是男孩的機率為多少? (A)1 2 (B) 1 4 (C) 2 3 (D) 3 4 (E)1。 參考答案:(C) 出處:新竹女中 19、假設感冒的人中,咳嗽的機率為 40%,喉嚨痛的機率為 30%,咳嗽又喉嚨 痛的機率為15%。 (1) 感冒的人中咳嗽或喉嚨痛的機率為______; (2) 感冒的人中咳嗽但喉嚨不痛的機率為______。 參考答案:(1)55%;(2) 25% 出處:竹南高中 20、設一年有 365 天,某班上有 40 人,同學間至少有人生日相同的機率為何? (只須列式,不用算出來)。

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參考答案: 365 40 40 1 365 P - (0.8912318098) 出處:竹南高中 21、下圖中有 12 點,上下左右的點皆等距,若共可決定x條不同的直線(含水平 線、鉛直線、斜線),y個不同的正方形(含□、◇兩類),則數對( , )x y = 參考答案:(35,10) 出處:臺中二中 22、(多選) 將 5 件不同的禮物要分給甲、乙、丙、丁 4 人,且禮物一定要分完,則 下列哪些敘述是正確的? (A)每人可兼得亦可不得,共有 625 種分法。 (B)甲恰得一件禮物,其他四件任意分,共有 405 種分法。 (C)甲一件禮物都沒有,共有 125 種分法。 (D)甲至少得一件禮物,共有 781 種分法。 (E)甲、乙各得到兩件禮物,丙得到一件禮物,共有 30 種分法。 參考答案:(B), (D), (E) 出處:臺中二中 23、一袋中有 4 個紅球,5 個黃球,6 個綠球,除了顏色之外,球完全相同,今 從袋中任取4 球,共有____種不同的情形。 參考答案:15 出處:臺中二中 修題建議: 「一袋中有4 個紅球,5 個黃球,6 個綠球」此條件與「一袋中有紅、黃、綠球 各 4 個以上 」效果相同 24、一副撲克牌中點數為 2, 3, 4, 5 的牌共 16 張牌,其中黑桃、紅心、方塊和梅花 等四種花色各4 張,今自這 16 張牌中任取 5 張,則點數含『兩對』的取法共 有____種。 撲克牌兩對的定義:撲克牌兩對(two pairs)的定義:出現 3 種點數,其中兩種 各兩張,另一種一張。點數如(x, x, y, y, z),但 x, y, z 是不同點數。 參考答案:先選點數,再分配張數,最後挑花色,C43 3 C42C42C =172814 出處:臺南二中

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25、同時擲出三粒公正的骰子,則最大點數與最小點數恰好相差 5 的機率為__ __。 參考答案: 5 36 出處:臺南二中 26、(單選) 有八個座位排成一排,今甲、乙、丙三人選完全不相連(即兩兩分開)的 位子而坐,則有多少種坐法? (A)40320 (B)5040 (C)720 (D)120 (E)24 參考答案:(D)120 出處:長榮女中 27、(單選) 用 0、1、1、1、2、2、3 等七個數字全取作成七位數,共有多少個? (A) 321 (B) 360 (C) 383 (D) 395 (E) 420 參考答案:(B)全部減掉最高位數是 0 的 7! 1 6! =360 3!2! 3!2! 出處:長榮女中 28、(多選) 甲乙丙丁戊己庚 7 人排成一列,下列哪些敘述是正確的? (A)甲乙丙三人相連坐在一起的排法有 120 種 (B)甲乙丙三人完全分開( 任兩人不相鄰 ) 的排法有 10 種 (C)甲排在最中間的排法有 120 種 (D)甲要排在乙丙丁三人的前面(乙丙丁的順序不要求﹐且所謂排在前面並 不一定要緊鄰或不鄰)的排法有 1260 種 (E)甲、乙不相鄰,丙丁相鄰的排法有 960 種 參考答案:(D), (E) (D)把甲乙丙丁的順序除掉,乙丙丁的排列有 3!種,故7! 3!=1260 4! (E)丙丁看成一包與戊己庚排列有 4!種,甲、乙再安插到 5 個間隔, 4! 2! 5 4=960   出處:長榮女中 29、(單選) 相同之鉛筆 3 枝,及相同的原子筆 2 枝,分給 7 個兒童,每人最多一 枝,則有幾種分法? (A) 200 (B) 210 (C) 144 (D) 84 (E) 256 種 參考答案:(B)

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出處:道明中學 30、籃球三對三鬥牛賽,共有甲、乙、丙、…等 12 位同學參加,分成 4 隊,每隊 3 人,則甲、乙同隊但丙不同一隊的組隊方法有____種。 參考答案: 先假設有隊名之分,甲乙分一隊,丙分在另一隊,有12 種方法,再補足各 隊人數,因沒有隊名之分,最後除以4!,即 9 8 6 3 1 2 3 3 12 C C C C =2520 4!     出處:屏東女中 31、今取 20 顆圍棋排成兩列,每列 10 顆上下相對,上列 6 黑 4 白,下列 7 黑 3 白,若上下列的白棋不可相對,則排法有____種。 參考答案:上列有 10!=210 6!4! 種不盡相異物排。上列4 白,下列要對 4 黑,下 列剩下3 白 3 黑作不盡相異物排列有 6! =20 3!3! 種,故有210×20=4200 種 出處:大溪高中 32、(多選) 由 1,2,3,4,5,6,7,8,9 共九個數字中,任取相異三個數字為 一組,則: (A)三數皆為奇數的情形有 10 種。 (B)三數的乘積為奇數的情形有 10 種。 (C)三數的和為奇數的情形有 40 種。 (D)三數為連續的整數的情形有 7 種。 (E)三數能成等比數列的情形有 3 種 參考答案:(A)(B)(C)(D) 因為 4,6,9 也成等比,公比為3 2 出處:臺中二中

B. 新穎創意試題

1、棒球比賽每隊的先發守備位置有九個:投手、捕手、一壘手、二壘手、三壘手、 游擊手、右外野、中外野、左外野各一位。某一棒球隊有18 位可以先發的球員 由教練團認定可擔任的守備位置球員數情形如下:投手4 位、捕手 2 位、一壘 手1 位、二壘手 2 位、三壘手 2 位、游擊手 2 位;外野手 4 位(每一位外野手都 可擔任右外野、中外野或左外野的守備);另外1 位是全隊人氣最旺的明星 球員,他可擔任一壘手與右外野的守備。已知開幕戰的比賽,確定由某位投 手先發,而且與此投手最佳搭檔的先發捕手也已確定,並由人氣最旺的明星 球員擔任一壘手守備,其餘六個守備位置就上述可擔任的先發球員隨意安排, 則此場開幕戰共有 種先發守備陣容。(當九個守備位置只要有一個球員

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不同時,就視為不同的守備陣容) 參考答案:192 出處:99 年指考社會組試題 2、為了慶祝兒童節的到來,小蘭及園子決定趁著這次的連假帶著柯南、步美、元 太、光彥等小朋友去花博逛逛。已知花博總共分成四個園區、13 個館,分別是: 圓山園區(爭艷館、流行館、名人館、文化館、真相館)、美術園區(故事館、美術館 風味館、舞蝶館)、新生園區(未來館、夢想館、天使生活館、養生館)及大佳園區。 而毛利叔叔因為不放心也決定跟一起去,於是一行人就這樣展開了花博之旅 …… 甲、由於柯南、步美、光彥及元太這四人非常想進入夢想館,所以他們特地起了 個大早先去排預約券,而皇天不負苦心人,他們四人順利地排到了預約券! 進入夢想館時,每個人可以從『感情(紅色)、健康(黃色)、事業(藍色)、心靈 (白色)、家庭(綠色)』五種夢想手環中選擇一種,請問他們四人共有多少種選 擇手環的方式? 乙、離開了夢想館後,這時晚到的小蘭姊姊、園子及毛利叔叔也來了。一行人走 到了未來館附近,看見天使生活館的上方有一條青青步道,可以在屋頂上 看到花博整個會場的風景,於是他們決定走上去瞧瞧。在總共 21 級的樓梯 中,光彥想要一次跨 2 級或是 3 級,請問光彥總共有幾種走法? 丙、走著走著元太肚子就餓了。因為花博會場沒有賣鰻魚飯讓元太很難過,於是 小蘭姊姊為了安撫元太的情緒,決定請在場所有人喝果汁(包含小蘭自己)。 已知飲料吧有賣酸梅汁、葡萄汁、柳橙汁、芭樂汁及蘋果汁等五種果汁。請問 小蘭共有多少種不同的買法? 丁、喝完果汁後,一行人來到了舞蝶館看表演。進入會場時,他們看到有一排座 位剛好有連續七個空位,於是這七個人坐在這一排。若小蘭要和園子坐在一 起,四個小朋友也想要坐在一起,且最外側(只有一邊)不可以坐小朋友,請 問共有多少種入坐方式? 戊、到了下午,阿笠博士帶著小哀也進入了花博園區了。一行 9 個人相約去大佳 園區走走,並決定去租腳踏車來騎。除了柯南要自己騎一台腳踏車以外,其 他 8 人打算一個大人載一個小孩。試問,這八個人有多少種分組方式? 己、最後逛累的這 9 個人決定要搭乘計程車回家。他們打算分坐三台車,每台車 都坐三個人,且不區分三台車的不同。試問,這 9 個人有多少種分組方法? 參考答案:甲、625 乙、151 丙、330 丁、192 戊、24 己、280

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出處:新店高中 3、設小宏,小霖,小廷,小安,…等 8 人參加桌球賽,採單淘汰賽,如圖安排 賽程,若第一輪比賽小宏和小霖對打,但小廷和小安不對打,則共有___ 種賽程排法。        參考答案:單淘汰賽賽程的安排,主要決定在一輪及往後二輪、三輪可能遭 遇比賽的對象是誰。把小宏和小霖對打的賽程,扣除小宏和小霖對打且小廷 和小安對打的情形。 小宏和小霖對打的賽程有 6 42 22 2 C C C =45 2!   (其中 6 2 C 是與小宏和小霖同一邊的) 小廷和小安對打且與小宏和小霖在同一邊的有 2 42 22 2 C C C =3 2!   小廷和小安對打且與小宏和小霖不在同一邊的有 4 2 2 2 C C =6 45-3-6 = 36 出處:建國中學 4、(多選) 「craps」遊戲的玩法如下:同時投擲兩粒骰子,如果擲出點數和為 7 或 11,你就贏了,如果擲出的點數和為 2、3 或 12,你就輸了,如果擲出的點數 和為4、5、6、8、9、10 之一,此數字爾後就稱為 your point,那你就再擲第二次, 從第二次丟擲開始,如果出現your point,你就贏了(如第一次擲出點數和為 4,以後如再擲出點數和為 4,你就贏了),如果出現點數和為 7,你就輸了, 若出現其他數字,就可以再繼續投擲,直到出現your point 或 7 為止。今江江 玩一局craps,則下列哪些選項的敘述是正確的? (A)江江在第一次擲出點數和為 10 的機率為 3 36 (B)江江第一次投擲就獲勝的機率為2 9 (C)江江第一次擲出 your point 的機率為6 9 (D)已知江江第一次擲出點數和為 4 點的條件下,則他恰在第三次投擲就獲勝的 機率為 3 27 3 36 36 36 

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為 4 的機率為1 8。 參考答案:(A)(B)(C) 因為投兩顆公正的骰子,每次投擲都是獨立事件,故 (D) 27 3 36 36

(E)擲出的點數和為 your point 4、5、6、8、9、10 之一的機率是24

36 P( 4 yourpoint)=(24/36) (3/36)= 1 (24/36) 12  第二次投得 點 第一次投得 出處:復旦高中 5、某試場共有六個座位,座位安排如下圖所示,本試場有甲、乙、丙、丁、戊、己 六名考生,若在考試前用抽籤安排座位入場應考,則乙生坐在甲生旁且丙生 坐在甲生正前方的機率為__________。 參考答案:4 3! 1 6! 30   因為甲只能坐在後排的左方、右方、或中間:若甲坐在後排的左方,乙一定坐 後排中間,丙一定坐前排左方,其他人有3!種排列。若甲坐在後排的右方, 其他人也有3!種排列。但是如果甲坐在後排的中間,乙有左右兩種選擇,丙 一定坐前排中間,故有2×3!種排列。總共有 4×3!種排列 出處:復旦高中 修題建議:不鼓勵原題目出現作弊的敘述 6、司令台上有三根旗桿,旗桿上的旗子分布如下圖所示,今欲將旗子降下,若 每次降下的旗子都必須是該旗桿上最低的旗子,且可交錯降各旗桿上的旗子, 則降下全部7 面旗子可以有 種次序。

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參考答案: 7! 2!3!2!=210 (1)以下圖為例,每次降下的旗子都必須是該旗桿上最低的旗子,且可交錯降各 旗桿上的旗子,若將B1,B2 排好,將 A1 插進左右或中間,有 3 種方法,其 中一種是A1,B1,B2,再把 C1 插進左右或中間兩個間隔有 4 種方法,所以總 共有12 種。但是不論 12 種當中的哪一種皆保持 B1,B2 的順序。故有4!=12 2! 種 (2) 以 下 圖 為 例 , 比 上 面 多 了 A2 , 要 安 插 進 上 面 12 種 當 中 的 一 種 如 : C1,B1,A1,B2 將A2 插進左右或中間三個間格有 5 種方法,但只有 A1 在 A2 之前的才符合 規定,整體來說12×5=60 種當中,只有依照 A1,A2 順序的才符合規定,故只 有60 2!=30 種方法。 (3)當插入 C2,有30 6 2!  =90 種方法。 (4)再插入 B3,有 90 7 (3!/2!)  =210 種方法。因為 B1,B2 已經排好順序,當插入 B3, 可放入B1 之左邊,B1B2 中間,或 B2 的右邊。但是 3 種中只有一種符合規定

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出處:臺中二中 7、甲、乙各自任意寫出一個二位數,若甲所寫的數比乙所寫的數大,且甲的個 位數大於乙的個位數,則所有可能的情形有 種 參考答案一:(1)甲的十位數、個位數都比乙大 9 10 2 2 C C =1620。 如果由1~9 選兩個不相同的數,比較大的是甲的十位數,比較小的是乙的 十位數,只有一種順序,故有9 8 2!  = 9 2 C 種方法。個位數多個0,故有 10 2 C 種方 法。 (2)甲的十位數與乙相同,但個位數比乙大有 10 2 9 C =405 。 將(1)(2)合併,共有 1620+405=2025 種情形 參考答案二: (1)當甲的十位數是 9,乙的十位數可能 1~9,有 9 種。 因為甲的個位數要大於乙的個位數; 如果甲的個位數是 9,乙的個位數是 0~8,有 9 種, 如果甲的個位數是 8,乙的個位數是 0~7,有 8 種 如果甲的個位數是 7,乙的個位數是 0~6,有 7 種 如果甲的個位數是 6,乙的個位數是 0~5,有 6 種 ……… 如果甲的個位數是 1,乙的個位數是 0,有 1 種 故當甲的十位數是 9,滿足條件的共有 9×(9+8+7+……+1)=9×45 種 (2)當甲的十位數是 8,乙的十位數可能 1~8,有 8 種。 如果甲的個位數是 9,乙的個位數是 0~8,有 9 種, 如果甲的個位數是 8,乙的個位數是 0~7,有 8 種 如果甲的個位數是 7,乙的個位數是 0~6,有 7 種 如果甲的個位數是 6,乙的個位數是 0~5,有 6 種 ……… 如果甲的個位數是 1,乙的個位數是 0,有 1 種 故當甲的十位數是 8,滿足條件的共有 8×(9+8+7+……+1)=8×45 種 (3)當甲的十位數是 7,乙的十位數可能 1~7,有 7 種。 個位數一樣有 45 種,故有 7×45 種 ……… (9)當甲的十位數是 1,乙的十位數只可能 1,有 1 種。 個位數一樣有 45 種,故有 1×45 種 綜合(1)~(9) 甲所寫的數比乙所寫的數大,且甲的個位數大於乙的個位數,共有

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(1+2+3+…9)×45=2025 種,這是很自然、很基本的想法,初學的同學可能有很 多人會用這種計數的模式。 出處:臺中二中 8、某天阿草欲使用提款卡提款時發現他忘了正確密碼,只記得他設定的密碼是 由2, 2, 5, 8 四個數字排成的四位數,並且每一種不盡相異物排列被輸入的機 會都均等,提款機設定當輸入的密碼錯誤達三次時,會沒收該提款卡,阿草 嘗試輸入不同密碼,則他的提款卡會被沒收的機率為____。 參考答案:11 10 9 =3 12 11 10 4  出處:臺南二中 9、正、副總統和另外 6 位官員搭船渡河,有甲、乙二船,若每船最多只能載 5 個 人,且該正、副總統必須不同船,則共有____種搭船的方法。 參考答案:100 這是類似重複排列的情境: 正副總統搭不同船的情形有2 種:正(甲)、副(乙)或正(乙)、副(甲)。 每一種情形,要補足其他官員且不超載的方法有C46C +C22 36C +C33 26C =5044 種 出處:鳳新高中 10、若 9 個人排成一列,其中甲乙兩人之間恰有 2 個人,乙丙之間也恰有 2 個人 請問有幾種不同的排列方式? 參考答案:4320 按照題目要求,它有六類情況: ○○甲○○乙○○丙,○甲○○乙○○丙○,甲○○乙○○丙○○ ○○丙○○乙○○甲,○丙○○乙○○甲○,丙○○乙○○甲○○ 將其他6 人排入六個○中有 6!種方法,故有 6×6!= 4320 出處:屏東女中 11、擲一公正骰子三次,依序將三次的點數在右圖上標出,則這三點可以形成三 角形的機率為______________。

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        參考答案:17 36 (1)如果有投得相同點數,一定不能形成三角形 (2)如果有三點共線,也不能形成三角形 所以我們把三個不同點數的組合扣除三點共線的然後作排列(C63 3) 3!=17 6 出處:新竹女中 12、某社團裡男生女生共 25 人,且女生多於男生。現從其中任選 2 人,若選出的 2 人為同性的機率與選出的 2 人為異性的機率恰好相等,則女生比男生多_ ___人。 參考答案:5 出處:臺南二中 13、甲、乙兩個人玩猜數字的遊戲,甲先從 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 這 10 個數字中 任取4 數排列,例如:0123,再由乙去猜,如果數字、位置都對的數字有n個 就記為nA,如果數字對位置不對的數字有m個就記為mB,例如:甲選了 0123,乙猜 5126,就是2 0A B;乙猜1628 就是1 1A B。今在乙猜完後被告知是 2 2A B的情況下,則乙再猜一次就猜對的機率為_________。 參考答案:1 6 出處:新竹女中

C. 建議避免出現或可待討論改善之試題

1、有 6 件不同的物品: (1)若等分成三堆﹐每堆各有 2 個﹐則分法有幾種? (2)若任意分給 A﹐B﹐C 三人﹐且 6 件都要分完,則分法有幾種? (3) 若任取 3 件分給 A﹐B﹐C 三人,每人分到一件﹐則分法有幾種? 參考答案:(1)15;(3)729;(5)120 修題建議: 1、建議加入不同物分堆的定義。 2、「任意分給 A﹐B﹐C 三人﹐則分法有幾種」修改為「任意分給 A﹐B﹐C

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三人﹐6 件都要分完 ,則分法有幾種」 2、十個相同的球分給甲﹑乙﹑丙三人﹐(2)十個球可不全部分完﹐分法共有幾種 參考答案:286 修題建議: 「十個球可不全部分完﹐分法共有幾種」修改為「十個球可以全部分完,分一部 分,或不分﹐分法共有幾種」用建議修改 3、10 張椅子排成一列,甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人任意分成三組入坐,三組人數 各為1 人、2 人、3 人,則同組相鄰、不同組不相鄰的坐法有________種。 【例如分成三組:(甲)(乙丙)(丁戊己),坐法可為_甲_乙丙_ _戊丁己】 參考答案:43200 修題建議: 「則同組相鄰、不同組不相鄰的坐法有_種」修改為「則同組的人連排,中間不能 有空椅,兩組人之間必須有空椅隔開的坐法有 _ 種」用建議修改 4、甲、乙、丙、丁進行比賽,若同分則名次相同,則 4 人有_______種排名方式。 參考答案:75 修題建議: 「若同分則名次相同」之後增加「例如當甲乙丙同分 丁 最低分,排名格式如下表 」 甲 乙 丙 丁 1 1 1 2 如此,以相同名次的人數來分類(相同物分堆): 有1111、1112、1122、1123、1222、1223、1233、1234,再排列,學生會更清楚題意。 5、如下圖,共有 9 個小正方形,將其中 5 個方格塗紅色,2 個方格塗黑色,2 個 方格塗黃色,共有 種塗法。 參考答案:756 修題建議: 1. 「將其中 5 個方格塗紅色,2 個方格塗黑色,2 個方格塗黃色」修改為「將其 中5 個方格塗紅色,2 個方格塗黑色,2 個方格塗黃色,且不得旋轉」用建議 修改。

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6、設A

a b c, ,

(a, b, c 不一定都相異), B

a2, 3, 5

,若A B ,則序組 ( , , )a b c 共有___個解。參考答案:5 修題建議:這個題目已經存在至少三十年的歷史,它的訣竅是: 當a3,a 2 1, B

1, 3, 5

,故( , , ) (3, 1, 5)a b c  或(3, 5, 1)兩組解; 當a5,a 2 3, B={3,3,5}={5,3}={5,3,3},故(a,b,c)=(5,3,3)或(5,5,3),(5,3,5)三 組解,故總共有五組解。 但是A={a,b,c}={a-2,3,5}=B,就已經表示他有 3 個不同的元素,如果它可以簡 化成兩個元素的集合,一開始就不該將A 表成 A={a,b,c},這有混淆學生觀念的 可能,應該避免。不然要加入(a, b, c 不一定都相異)的說明。 7、有 10 個棒球隊,舉行雙敗淘汰賽(敗兩場則被淘汰),則到冠軍隊產生至多 需賽____場。 參考答案:19 修題建議: 1. 學生已經背熟了:單淘汰至多須比隊數減一場,雙淘汰賽至多須比(2×隊 數)減 1 場。 2. 單淘汰還容易說明讓學生了解賽程如何安排,雙淘汰賽為了求公平,一開 始就比兩輪,才會有隊伍被淘汰,而且第二輪比完後剩下只輸一場的隊 數並不確定,第三輪、第四輪剩下的隊數也不確定,因此不易與學生說明 賽程如何安排,如果學生只背答案就得分,就失去評量的意義。用建議修 改 8、如下圖,若從點 A 沿著格線走捷徑到點 B,則經過點 P 但不通過障礙區之走 法共有____種 參考答案:34 修題建議: 答案好像是33,而不是 34

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9、設 10 10 10 10 10 10 10 10 0 8 1 7 2 6 8 0 m n C CC CC CC CC ,且n1,則數對( , )m n =___。 參考答案:(20, 8) 修題建議: 這是一個超幾何分配的例子(20,12),也是正確答案,或改成選擇題可能會較適合。 為了讓學生能循序漸進的瞭解,建議在題目之前加入兩個引導性試題來鋪路。 (1)設 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 2 0 i j CCCCCCC ,且j 1 ,則數對( , )i j = (2)設 4 4 4 4 4 4 0 2 1 1 2 0 k l CCCCCCC ,且l1,則數對( , )k l = 再呈現原題目; (3)設 10 10 10 10 10 10 10 10 0 8 1 7 2 6 8 0 m n C CC CC CC CC ,且n1,則數對( , )m n =___。

數據

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參考文獻

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