103mathpoint

國立新營高中

大學學測數學科重點公式

範圍

:

高中

103

課綱數學一、 二、 三、 四、 冊

高

三

:

班

號

學

生

:

演練

指 導 教 師

:

老師

新營高中

鄭國順 編

版本修訂

:2016

年

12

月

1

日

https://sites.google.com/site/hysh4math _· 目 次 1 數與式 1 2 多項式函數 2 3 指數對數函數 7 4 數列與級數 10 5 排列、 組合 11 6 機率 16 7 數據分析 18 8 三角 23 9 直線與圓 27 10 平面向量 30 11 空間向量 36 12 空間中的平面與直線 38 13 _矩陣 40 14 二次曲線 46 順伯的窩

第 1 單元 數與式 算幾不等式_: 若 _{a, b} 為非負實數_, 則 a + b 2 ≥ √ ab 。 且當 _{a = b} 時_, 等式才成立。 絕對值_:

數線上對應的點 A(a) , 用符號 _|a| 表示原點 _O 與點 _A(a) 的距離, _|a| 為 _a 的絕 對值。

絕對值的性質_:

1. 當 _{a ≥ 0} 時_{, |a| = a}。 _{a < 0} 時_{, |a| = −a} 。

2. 數線上兩點 _{A(a), B(b)} 的距離為 _{AB = |a − b| = |b − a|} 3. 絕對值性質_: 兩實數 _{a, b} (a) _{|a| ≥ 0} (b) _{|a| = | − a|} (c) _|a|2 _{= |a}2_| (d) |a||b| = |ab| (e) |a| |b| = |ab|, b 6= 0 (f) |a| ≤ |b| ⇔ a2 _{≤ b}2 (g) 三角不等式 _{|a + b| ≤ |a| + |b|} 分點公式_: 分點公式_: 設 _{A(a), B(b)} 為數線上相異兩點, 若點 _{P (x)} 是線段 AB 上的一點且 P A : P B = m : n, 則 _{P (x) = (nb + man + m )} 絕對值不等式_: 1. |x| ≤ a 充要條件為 _{−a ≤ x ≤ a} 。 2. |x| ≥ a 充要條件為 _{x ≥ a}或_{x ≤ −a} 。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2 多項式函數 _· 第 2 單元 多項式函數 一次函數_: f (x) = ax + b, a 6= 0 又稱為線性函數。 圖形為斜率為 _{a, b} 為直線 _L 的截距。 直線的斜率: 直線 L 與 _x 軸正向的夾角稱為斜角θ, 則直線斜率 _{m = ∆x}∆y ₌ y2 − y1 x2 − x1 = tan θ x y L : y = mx + b ∆x ∆y 點斜式_{:y − b = m(x − a) ,} 表必過點 _{(a, b) ,} 斜率為 _m 的直線。 二次函數 _{f (x) = ax}2 _{+ bx + c} 圖形與係數關係_: 1. a 值_{: a > 0} 開口向上_{, a < 0} 開口向下。 2. b 值_: 由頂點坐標 _(−b 2a , −b 2 − 4ac 4a ) 在哪一象限判斷來決定。 3. c 值_: 圖形與 _Y 軸交點坐標 _{(0, c)} 位置來判定。 4. ∆ = b2 _{− 4ac :} 由圖形與 _X 軸交點個數判定 ₍交點即方程式 _ax2 _{+ bx + c = 0 之解)} (a) 若圖形與 _X 軸交兩點 _{⇔ ∆ > 0} (b) 與 _X 軸相切 ₍交一點_{) ⇔ ∆ = 0} (c) 與 _X 軸不相交 _{⇔ ∆ < 0} x y D > 0: 與 _x 軸交兩點 x y D = 0: 與 _x 軸相切_, 恰交一點 x y D < 0: 與 _x 軸不相交 三次、 四次單項式函數圖形特徵_: 1. 三次單項式 _{y = f (x) = x}3 _{的圖形: 遞增性、 圖形對稱於原點。} 順伯的窩

−4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 y = x3 三次函數y = x3_圖形 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 y = x3 y = 2x3 y =1 2x3 三次函數圖形的伸縮 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 y = x3 y = (x− 2)3 三次函數圖形的平移 2. 四次單項函數圖形 _{:y = f (x) = x}4 _的圖形: ( x _{≥ 0 f(x)}為遞增 x ≤ 0 f(x)為遞減 、 圖形對 稱於 _y 軸。 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 函數y = x4_圖形 −4 −2 2 4 6 8 −5 5 10 y = x4 y= (x− 3)4_{+ 2} y = x4_{圖形的每一點平移(3, 2)單位} 函數的遞增與遞減_: 若函數 _{f (x)}在區間 _{[a, b]} 內_, 若 _{x1 < x2} 時_, 恆有 _{f (x1) ≤ f(x2)} 則稱函數 _{f (x)} 為遞增函數。 ₍恆有 _{f (x1) < f (x2)} 則稱嚴格遞增函數₎ 若函數 _{f (x)}在區間 _{[a, b]} 內_, 若 _{x1 < x2} 時_, 恆有 _{f (x1) ≥ f(x2)} 則稱函數 _{f (x)} 為遞減函數。 ₍恆有 _{f (x1) > f (x2)} 則稱嚴格遞減函數₎ 函數的奇偶性_{( :} 奇函數 _{: ∀x ∈ D,}函數_{f (x)}使得_{f (−x) = −f(x)}恆成立。 偶函數 _{: ∀x ∈ D,}函數_{f (x)}使得_{f (−x) = f(x)}恆成立。 奇函數圖形對稱於原點 _{(0, 0),} 偶函數圖形對稱於 _y 軸。 −2 −1 1 2 3 4 −4 −2 2 4 6 y = x y = x3 y = x5 奇函數圖形: 對稱原點 −2 −1 1 2 3 −4 −2 2 4 6 y = x4 y = x2 偶函數圖形: 對稱 y 軸 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2 多項式函數 _· 利用平移、 伸縮、 對稱性質描繪圖形_: 1. 若 _{(x, y)} 是函數 _{y = f (x)} 圖形上的點_, 則新函數 _{Y = y + k = f (x + h)} 的 圖形是 _{y = f (x)} 圖形平移 _{(h, k)} 單位。 2. 若 _{(x, y)} 是函數 _{y = f (x)} 圖形上的點_, 而新函數 _{Y = by, X = ax} 則 Y = f (X) 圖形是 _{y = f (x)} 圖形 _x 軸方向左右伸展_a倍、_y 軸方向左右伸 展_b倍。 3. 若 _{(x, y)} 是圖形上一點, 且 _{(−x, y)} 也是圖形上的點坐標_, 則圖形對稱於 _y 軸。 4. 若 _{(x, y)} 是圖形上一點, 且 _(x,−y) 也是圖形上的點坐標_, 則圖形對稱於 _x 軸。 5. 若 _{(x, y)} 是圖形上一點_, 且 _{(−x, −y)} 也是圖形上的點坐標_, 則圖形對稱於原 點 _{(0, 0)} 。 6. 若 _{(x, y)} 是圖形上一點, 且 _{(y, x)} 也是圖形上的點坐標_, 則圖形對稱於 _{x = y} 例_{: |x| + |y| = 1} 圖形具有對稱 _x 軸、 對稱 _y軸、 對稱原點、 對稱直線 _{y = x} 特點。 y = f (x) =|x| 圖形只具有對稱 _y軸特點。_{y = x}3 _{圖形具有對稱原點特點。} 餘式定理_: 設 _{a 6= 0 ,} 則多項式 _{f (x)} 被一次式 _{ax− b} 所除的餘式是 _{f ( ba)} f (x) = g(x)· q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x) 當 _{g(α) = 0} 時_, 函數值 _{f (α) = r(α)} 值。 1. 長除法_: 被除式次數不大_, 或除式非一次式時通常使用長除法。 2. 綜合除法_: 被除式次數頗大_, 且除式為一次式時通常使用綜合除法。 3. 餘式定理_: 當長除法與綜合除法都不適用時, 或 _{g(α) = 0, α} 好解時_, 函數值 f (α) 好算時_, 可利用餘式定理求餘式。 因式定理_: 設 _{a 6= 0 ,} 則多項式 _{f (x)} 被一次式 _{ax− b} 所整除的充要條件是 _{f ( ba) = 0} α 是_{f (x)}的一個零解 _{⇔ f(α) = 0} 零解的定義₍方程式的根₎ ⇔ R(α) = 0 餘式定理 ⇔ f(x) = (x − α)Q(x) 除法算則 ⇔ (x − α)是_{f (x)}的因式 因式的定義 順伯的窩

多項式的應用_: 多項式的值與插值多項式。 1. 求數值_: 餘式定理應用。 長除法、 綜合除法 求 _{3(4 +} √ 13 3 )4 − 17(4 + √ 13 3 )3 + 28(4 + √ 13 3 )2 − 11(4 + √ 13 3 ) + 3 = 2 求 _{2× 7}5 _{− 13 × 7}4 _{− 9 × 7}3 _{+ 11× 7}2 _{+ 15× 7 − 17 = −59} 2. 插值多項式_: 給定相異實數 _{x1, x2, x3} 分別對應到 _{y1, y2, y3 ;} 若多項式 _{f (x)} 滿足 f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 且次數 ≤ 2 則 (a) 簡易多項式_: 可假設_{f (x) = ax}2_{+bx+c,再分別將三點(x} 1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入_, 解多項式係數 _{a, b, c} 三元一次聯立方程組。 (b) 牛頓插值多項式_: 可假設 _{f (x) = A(x− x1)(x− x2) + B(x− x1) + C ,} 再分別將三點 _{(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)} 代入_, 解 _{A, B, C} 聯立方程組。 (c) 拉格朗日插值多項式_: 有固定公式_, 可處理大量數據運算。 設 _{f (x) = A(x− x2)(x− x3) + B(x− x1)(x− x3) + C(x− x1)(x− x2)} , 再分別將三點 _{(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)} 代入_, 解 _{A, B, C} 聯立方程組。 一般已知 _{n + 1} 個相異值求 _n 次拉格朗日插值多項式: Pn(x) = n X k=0 yk × n Y i=0,i_6=k (x_{− x}i) (xk− xi) = n X k=0 yk · (x_{− x}0)(x− x1)· · · (x − xk₋₁)(x− xk+1)· · · (x − xn) (xk− x0)(xk− x1)· · · (xk− xk₋₁)(xk− xk+1)· · · (xk− xn) = y0 · (x− x1)(x− x2)· · · (x − xn) (x0 − x1)(x0− x2)· · · (x0 − xn) + y1 · (x− x0)(x− x2)(x− x3)· · · (x − xn) (x1 − x0)(x1− x2)(x1− x3)· · · (x1 − xn) +_{· · ·} +yk · (x− x0)(x− x1)· · · (x − xk₋₁)(x− xk+1)· · · (x − xn) (xk− x0)(xk− x1)· · · (xk − xk₋₁)(xk − xk+1)· · · (xk − xn) + · · · + yn · (x_{− x}0)(x− x1)· · · (x − xn₋₁) (xn− x0)(xn− x1)· · · (xn − xn₋₁) 整係數多項式的一次因式檢驗法₍牛頓定理_): (整係數多項式方程式有理根檢驗法) 整係數多項式的一次因式檢驗法_: 設 _{f (x) = anx}n_{+ a} n₋₁xn−1 +· · · + a2x2 + a1x + a0 是整係數 n 次多項式。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 2 多項式函數 _· 若 _{px− q} 是 _{f (x)} 的因式_, 且_p和_q為互質的整數, 則 _p|an 且 _q|a0 (即 _p 必為 _an 的因數_{, q} 必為 _a0 的因數₎。 一次因式檢查法₍牛頓定理_): 設 _{a0, a1, a2· · · an−1, an ∈ Z} 若 _{f (x) = anx}n _{+ a} n₋₁xn−1+· · · + a1x + a0 有一 次因式 _{ax + b; a, b ∈ Z, (a, b) = 1} 則 _{a|an, b|a0} 勘根定理_: 設 _{f (x) = 0} 為一實係數方程式_, 若 _{f (a)f (b) < 0,} 則 _{∃c ∈ (a, b)} 使得 _{f (c) = 0} 即在 _{a, b} 之間 _,至少有一實根 _c 使得 _{f (c) = 0} 1. 若 _{f (a)f (b) < 0 ,} 則在 _{a, b} 之間一定有奇數個根。 2. 若 _{f (a)f (b) > 0 ,} 則在 _{a, b} 之間無根或有偶數個根。 代數基本定理_: 每一複係數 n 次多項方程式 f (x) = anxn + an₋₁xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0 恰 有_n個複數根。_{( f (x)} 可分解成 _n 個複係數一次因式乘積₎ 共軛虛根成雙定理_: 實係數方程式 _{f (x) = 0 ,} 若有複數根 _{z = a + bi ,} 則其共軛複數 _{z = a− bi} 亦 為其根。 即 _{f (z) = 0}則 _{f (z) = 0} 二次有理係數方程式 _{f (x) = 0 ,} 若有無理根 _{a + b}√_{c ,} 則 _{a− b}√_c 亦為其根₍其 中 _{a, b, c∈ Q)}。 Note: 實係數多項式必可分解成實係數一次因式或二次因式的乘積。 勘根定理_: 設 _{f (x) = 0} 為一實係數方程式, 若 _{f (a)f (b) < 0,} 則 _{∃ c ∈ (a, b)} 使得 _{f (c) = 0} 即在 _{a, b} 之間至少有一實根 _c 使得 _{f (c) = 0} 1. 若 _{f (a)f (b) < 0 ,} 則在 _{a, b} 之間一定有奇數個根。 2. 若 _{f (a)f (b) > 0 ,} 則在 _{a, b} 之間無根或有偶數個根。 正 _n 次方根 √n _{a 的意義:} 設 _{a > 0, n} 是大於₁的正整數_, 滿足方程式 _xn _{= a 的正實根 x , 記為} √n a 。 正 _n 次方根的運算: 1. √n _a√n _{b =} √n _ab 2. n √ a n √ b = n q_a b 順伯的窩

3. (√n _a)m ₌ √n am 4. pm √n a = mn√ a 高次不等式的解法_: 代數觀點_: 先將其因式分解_, 可直接去除恆正 ₍負₎ 的二次因式。 f (x) = a(x− xn)· · · (x − x3)(x− x2)(x− x1) ≶ 0, a > 0 將 _{f (x) = 0} 的實數解畫記在 x 軸上_, 由右往左依序採一正 , 一負的區間分別為 不等式_{f (x) > 0} 及 _{f (x) < 0} 的解。

+

+

-+

x

x

x

x

₄

₃

₂

₁

log x = n + log a , 1 _{≤ a < 10, n ∈ Z , n} 稱為首數_{, 0 ≤ log a < 1} 稱為尾數。

x = a× 10n _{為 (n + 1)位數} 對數運算的用處_: 將複雜運算簡易化_, 化乘除為加減運算、 化冪次方 ₍開根₎ 為乘法 (除法₎ 運算 首數性質_: 1. 對數₌首數₊ 尾數。 ₍首數為整數_{, 0 ≤} 尾數 _{< 1 )} 2. 真數 _{x ≥ 1, log x} 的首數為 n ⇔ x 的整數部分為 n + 1 位數。 3. 真數 _{0 < x < 1, log x} 的首數為 _−n 。 _{(−n ≤ log x < −n + 1) ⇔} x 在小數點後第 _n 位始出現不為₀的數字。_(x 的小數點後有連續 n − 1 位數 字為₀₎。 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 3 指數對數函數 _· 表 _2-1: 多項式函數與多項式方程式的一些性質 多項式 f (x) = anxn + an−1xn−1 +· · · + a2x2+ a1x + a0 方程式f (x) = 0 因式定理: 若 (x _{− α)} 是 f (x) 的因式 _⇔ f (α) = 0 。 稱α 是函數f (x) 的一個零解 。 x = α是方程式的一根(解) _{⇔ f(α) = 0} 整係數多項式 f (x) f (x) 有整係數一次因式px + q則p_|an, q|a0 (整係數一次因式檢查法) 有理根判別法: f (x) = 0 有有理根 x = −q_p 則p|an, q|a0 有理係數多項 式 f (x) 方程式f (x) = 0 , 若有無理根 a + b√c , 則a− b√c亦為其根(其中 a, b, c∈ Q)。 實係數多項式 1.f (z) = f (z) 虛根成雙定理: f (x) 2. 若f (c + di) = 0, c, d∈ R 則f (c− di) = 0 , f (x) 有實係數二次因式x2_{− 2cx + (c}2₊ d2_{) (此時 ∆ < 0) 。} 方程式 f (x) = 0 , 若有複數根 z = c + di, c, d_{∈ R ,} 則其共軛複數z = c_{− di} 亦 為其根。 3.f (x) 必可分解成實係數一次因式或二次因 式的連乘積。 勘根定理: 4. 連續函數中間值定理: 若 f (a) _{6= f(b)} , 則存在 c ∈ (a, b) 使得 f (c) 的值介於 f (a), f (b) 之間 若 f (a)f (b) < 0, 則 _{∃ c ∈ (a, b)} 使得 f (c) = 0。 即在 a, b 之間至少有一實根 c 使得 f (c) = 0 實係數多項式 二次函數 f (x) = ax2 _{+ bx + c 二次方程式f (x) = ax}2 _{+ bx + c = 0} f (x) 1. f (x) 恆正 _{⇔ a > 0, ∆ < 0} ∆ > 0 ,方程式有兩相異實數根 2. f (x) 恆負 _{⇔ a < 0, ∆ < 0} ∆ < 0 ,方程式有兩共軛複數根 3. ∆ > 0 ⇔ f(x)圖形部分在X 軸上方, 部 分在 X 軸下方 ∆ = 0 ,方程式有相等實根 4. 在 x = −b_2a 時,f (x) 有最大或最小值 −b2 − 4ac_4a 公式解x = −b ± √ b2 _{− 4ac} 2a 複係數多項式 代數基本定理: f (x) 複係數_{數一次因式連乘積}n 次多項式 f (x) 可分解成n 個複係 複係數_{一個複數根。}n 次多項方程式 f (x) = 0最少有 唯一分解定理: 複係數 n 次多項式 f (x) 可 分解成 n 個複係數一次因式連乘積。(因式不 一定完全相異) 解複係數方程式f (x) = ax2_{+ bx + c = 0} , 令 α 為其實根, 代入 f (α) = 0 比較實 部、 虛部均必為0 _⇒ 解出 α , _⇒ 再利用 根與係數關係 (韋達定理) 求另一複數根。 若 α 無實數解則 f (x) = 0 無實根, 則其 兩複數根 (非共軛複數) 為 x = −b ± z_2a , 其中 z2 _{= ∆ = b}2_{− 4ac} 實係數多項式 f (x)必可分解成實係數一次因式或二次因式 (此時 ∆ < 0) 的連乘積。 若c + di, c, d_{∈ R, d 6= 0}是f (x) 的一個 零解, 則c− di亦是 f (x) 的一個零解。 f (x)的一些定理 奇數次多項式至少有一實數的零解。 n次多項式有n個零解(可為實數或複數, 若為複數必為共軛複數出現) 順伯的窩

表 _3-2: 指數函數與對數函數圖形的特點 函數 y = ax_{, a > 1 y = a}x_{, 0 < a < 1 y = log} ax, a > 1 y = logax, 0 < a < 1 定義域 x∈ R x∈ R x > 0 x > 0 值域 y > 0 y > 0 R R 運算性質 ar_as _{= a}r+s _log aM + logaN = logaMN (ar₎s_{= a}rs _log aM − logaN = loga M N ar_br _{= (ab)}r _log aMr = r logaM logab = logcb logca 單調性 遞增 遞減 遞增 遞減 凹凸性 凹向上 凹向上 凹向下 凹向上 漸近線 x軸 _x軸 _y軸 _y軸 與x軸交點 無 無 (1, 0) (1, 0) 與y軸交點 (0, 1) (0, 1) 無 無 圖形 -3-2-1 1 2 3 (x, ax ) (0, 1) y -3-2-1 1 2 3 (x, ax ) (0, 1) y 1 2 3 4 5 (1, 0) y 1 2 3 4 5 (1, 0) y 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 4 數列與級數 _· 尾數性質_: 若 _{log x, log y} 尾數相同 _{⇔ x = y · 10}n _{, n ∈ Z} 等差、 等比_: 1. 等差數列 ( 一般項 _{an = a1 + (n− 1) × d} 前_n項和 _{Sn = a}1 + an 2 × n = 2a1 + (n2 − 1)d × n 2. 等比數列 ( 一般項 _{an = a1 × r}n₋₁ 前_n項和 _{sn = a + ar + ar}2 _{+· · · + ar}n_{−1 =} a(1− rn) 1_{− r} , r 6= 1 (若 _{r = 1, Sn = na1 )} 第 4 單元 數列與級數 數列_: 將一些數依序排成一列_, 稱為數列。 例_{: a1, a2, a3,· · · , an· · ·} 以 _{< an >} 表示數列的第 _n 項。_an 用 _n 來表示稱為數列 an 的一般項 (通項)。 由數列前幾項無法唯一決定此數列的一般項。 例:1, 2, 4_{· · ·} 可為 _{< 2}n_{−1 > 的前三} 項_, 也可能為 _{< n}2 − n + 2 2 > 的前三項。 遞迴數列與遞迴關係式_{: (}高中主要討論一階遞迴關係式或簡單規律的遞推數列₎ 數列 _{< an >} 中_, 一般項可用前相鄰項 _{an−1, an−2,· · ·} 表示的一種表示關係。 具有 此種關係的數列稱為遞迴數列, 此關係式稱為遞迴關係式。 例_: 公差為 _d 的等差數列亦可表為 _{an = an−1 + d, n ≥ 2} 。 公比為 _r 的等比數列 亦可表為 _{an = ran−1, n ≥ 2} 。 一階線性遞迴關係式_{: an = α· an−1 + f (n), n ≥ 2} 1. 若 _{an = an−1 + f (n), n≥ 2 ⇒} 累加消去法_{: an = a1 + f (2) + f (3) +· · · +} f (n) = a1 + n P k=2 f (k) 2. 若 _{an = αan−1+ k, n ≥ 2 ⇒} 變數代換消去 _k: 令 _{bn = an + c,} 代換並比較 常數_{,k = (α− 1)c} 則 _{bn = αbn−1} 為公比為 _α 的等比數列。 an = bn − c = b1(α)n−1 − c = (a1 + c)(α)n−1 − k α− 1, n ≥ 2 P _{的運算性質} : a1+ a2+· · · + an = 級數末項_P n k=級數初始項1 ak, 其中 ak 為級數一般項,k 為變數。 順伯的窩

1. n P k=1 (ak ± bk) = n P k=1 ak± n P k=1 bk 2. n P k=1 c = c + c + c +_{| {z · · · + c}} n項 = nc 3. n P k=1 cak = c n P k=1 ak 4. n P k=m+1 ak = n P k=1 ak − m P k=1 ak 5. n P k=1 (akbk) 6= n P k=1 ak n P k=1 bk 常用級數和公式_: 1. n P k=1 k = 1 + 2 + 3 +· · · + n = n(n + 1)₂ 2. n P k=1 k2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 ₌ n(n + 1)(2n + 1) 6 3. n P k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + _{· · · + n}3 = n 2_{(n + 1)}2 4 第 5 單元 排列、 組合 計數原理_: 1. 樹形圖分層計數法_: 利用樹枝狀圖形分析_, 使複雜狀況明顯化。 root sub3 sub2 sub1 child2 child1 A B 2. 列舉法_: 將集合的元素一一列出_, 記算其中的元素個數。 3. 一一對應原理_: 設 _{A, B} 是兩個元素個數有限個的集合, 若集合 _A 與 _B 之間 的元素可以建立一一對應的關係, 則這兩個集合的元素個數必相等_{, n(A) =} n(B) 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 5 排列、 組合 _· 4. 加法原理_: 若 _A 及 _B 兩步驟完成的方法各為 _m,n 種方法。 且 _A、_B 兩步驟不 會同時完執行彼此為互斥_, 則完成一事件可選擇 _A 或 _B 步驟來完成_, 則事件 的完成方法共有 _{m + n} 種方法。₍完成一事件採取互斥的步驟 _A,B,C 其一就 完成事件_, 則完成事件方法有 _{n(A) + n(B) + n(C)} 種₎ 5. 乘法原理_: 完成 _E 及 _F 步驟的方法各為 _m,n 種方法。 且 _E、_F 兩事不互相影 響_, 則完成一事件需 _E、_F 兩步驟才能完成_, 則完成事件的方法有 _{m× n} 種方 法。₍完成一事件須採取獨立的步驟 _A,B,C 全部步驟才算完成此事件_, 則完成 事件方法有 _{n(A)× n(B) × n(C)} 種₎ 6. *高等計數方法_: (a) 取捨原理 (b) 遞推關係 (c) 生成函數 (d) 鴿籠原理與 _Ramsey 定理 (e) 波利亞 _(Poly) 計數定理 加法原理_: 若 _A 及 _B 兩事件完成的方法各為 _m、_n 種方法。 且 _A、_B 兩事不能同時完成為互 斥_, 則完成 _A 或 _B 事的方法共有 _{m + n} 種方法。₍完成一事件採取互斥的步驟 A、_B、_C 只要其一就完成事件_, 則完成事件方法有 _{n(A) + n(B) + n(C)} 種₎ 乘法原理_: 完成 _E 及 _F 事件的方法各為 _m,n 種方法。 且 _E、_F 兩事不互相影響_, 則完成 _E、_F 兩事件的方法有 _{m × n} 種方法。₍完成一事件須採取獨立的步驟 _A,B,C 全部步驟 才算完成此事件_, 則完成事件方法有 _{n(A)× n(B) × n(C)} 種₎ P Q 2× (2 + 2) + 2 × 3 × 4 = 32 取捨原理 _:(排容原理₎ 設 _A,B,C 是三個有限個元素的集合, 則

n(A∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

n(A_{∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) +} n(A∩ B ∩ C)

直線排列數_: n 件相異物的直線排列方法有 _{n! = n· (n − 1) · (n − 2) · · · · 2 · 1} 種 從 _n 件相異物品中取 _k 件排成一列的方法數 _{: P}n k = _{(n− k)!}n! n n_{− 1} n_{− 2 · · · · · ·(n − k + 1)} ⊗ ⊗ · · · ⊗ 只取出_K物排列_, 剩下_{(n− k)}物的排列均視為同一排列 重複排列數_{: n}k n 類物品 ₍每類至少有 k 件_), 中取出 _k 件排成一列_, 可重複選取_, 則其排列數為 n_{· n · n · · · · n} | {z } k個 = nk 相異組合數_: 從_n件相異物品中選取 _k 件的方法數 _Cn k = Cnn_−k = _k!(nn!_{− k)!} 5相異物 A、B、C、D、E 取出3物排列數 5物取出3物組合數

ABC ACB BAC BCA CAB CBA ⇒ {A, B, C} ABD ADB BAD BDA DAB DBA ⇒ {A, B, D} ABE AEB BAE BEA EAB EBA _{⇒ {A, B, E}} ACD ADC CAD CDA DAC DCA ⇒ {A, C, D} ACE AEC CAE CEA EAC ECA ⇒ {A, C, E} ADE AED DAE DEA EAD EDA _{⇒ {A, D, E}} BCD BDC CBD CDB DBC DCB ⇒ {B, C, D} BCE BEC CBE CEB EBC ECB ⇒ {B, C, E} BDE BED DBE DEB EBD EDB _{⇒ {B, D, E}} CDE CED DCE DEC ECD EDC _{⇒ {C, D, E}}

共有 P5 3 = 5! 2! = 60 排法 共有 C 5 3 = 5! 3!2! = 10 取法 從n 件相異物品中取 k 件排列數 Pn k = Ckn× k! 重複組合_: 從 _n 類相異物品中 ₍每類物品至少有 k 件_, 可重複選取₎ 則選出 _k 件的方 法數有 _Hn類 k選取數 = C n+k−1 k 將相同物 _k 件_, 切割成 _n 份_, 只要切 _{(n− 1)} 刀分割。重複組合數就是相當於此 _k 件相同物及 _{(n− 1)} 個分割點的排列數 ₌ (k + n− 1)! k!(n− 1)! = Ckn+k−1 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 5 排列、 組合 _· 非負整數解個數_: x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數為 H_kn = C_kn+k−1 解應用問題時_, 假設未知數_, 列式後再化成非負整數解的題型。 1. 從 _n 類物品 ₍每類個數很多) 中選取 _k 個的組合數。 2. n 元一次方程式 _{x1 + x2 +· · · + xn = k} 的非負整數解個數。 3. 將 _k 個相同的事物全分給 _n 個人的分法。 也就是在乎每類物品被取出幾個_, 即第 _i 類物品被取出 _xi 個_, 總共取出 _k 個的不 同取法。_{⇒ x1+ x2 +· · · + xn = k} 的非負整數解個數 相當於有 _k 個₁要分給 _n 個未知數 _{⇒ k} 個₁要分成 _n 份_, 只要 _{(n− 1)} 個分割記 號。 1 1 1 + 1 1 + 1 + + 1 表示 3 , 2 , 1 , 0 , 1 的整數解 表 _5-3: 計數方法的種類一覽表 物品 給法 對象 方法數 k 類相異物 任意 (可重複) 分給 n 相異對象 _nk n相異物 每人一件 m相異對象 Pn m = Cmn × m! n相異物 任意 (可重複) 分給 m相同對象 討論 (a1, b1,· · · )有 Can1 · C n−a1 b1 · · · (a2, b2,· · · ) 有Can2 · C n−a2 b₂ · · · 有任何 k 個相同數目 ai = bi ,要 ×_k!1 n相異物 平均分給 m 相同 Cn kCkn−k· · · × 1_m! n 相異物(n > m) 每個一件 m相同對象 Cn m m 相同物 全部任意分給 n 相異對象 Hn種類數 m可重複選取數 = C n+m−1 m n 相同物_{(n < m)} 每人至多一件 _m相異對象 _Cm n n 相同物(n > m) 每人至多一件 m相異對象 2m m 相同物 任意分給 n 相同對象 討論 (a1, a2,· · · , an) 為一種情形 (b1, b2,· · · )為一種情形 ... 先固定a1 再討論其後 順伯的窩

計數方法種類_: 如表 計數方法 適用情景 排列或組合 nk _{n類相異物任取出 k 個的排列數 相異—相異的重複排列} n! n件相異物的直線排列 相異物的排列數 * n!_n n件相異物的環狀排列 *環狀排列 Pn m 從n 件相異物中選取 m件相異物排列的方法數 選取相異物的排列數 n! m! n件物品中有 m 件相同物的排列數 不盡相異物的排列數 Cn m n類相異物任意取出 k 個相異的選取方法數 選取相異物的組合數 Hn m m件相同物任意分給 n類相異對象的方法數 重複組合數 特殊規定: 1. n 人中_, 甲不可排首位_, 乙不可排末位_, 丙不可排第三位_, 有 _{n!− 3(n − 1)! +} 3(n− 2)! − (n − 3)! 種排法。 2. k 件相異物任分給 _n人_, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物_, 有 _nk_{− 3(n − 1)}k₊ 3(n− 2)k_{− (n − 3)}k _種分法。 3. k 件相同物任分給 _n 人_, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物_, 有 _Hn k − 3H n₋₁ k + 3H_kn−2− Hn₋₃ k 種分法。 二項式展開式的一般項 _{: (}前項₊後項₎n ₌ Pn k=0 C_nn_−k(前項₎k _{· (後項)}n_−k 降冪排列的 _k 次項為 Cn n_−k(前項)k · (後項)n−k 降冪排列的 _k 次項係數為 ak+1 = C_kn = _(n n! − k)!k! 求餘式 (數_): 1. 同除式_{: f1 = g · q1 + r1, f2 = g· q2 + r2 ⇒ (f1 + f2)÷ g · · · (r1 + r2)} (f1 × f2)÷ g · · · (r1 × r2) , (f1)n÷ g · · · (r1)n 2. 長除法_:(被除式次數不甚高_, 除式次數二次以上₎ 3. 綜合除法_:(被除式次數不甚高_, 除式次數一次₎ 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 6 機率 _· 4. 餘式定理_{: f (x) = g(x)q(x) + r(x),} 當 _{g(x) = 0 (}好解_, 無重根時) x = α 為其解時_, 則 _{f (α) = r(α)} 5. 二項式定理求餘式_{: [f (x)]}n _{= [g(x)q(x) + r(x)]}n _{, 當 r(x) 愈簡易越好。} 6. 微分應用重根定理及餘式定理_{: f (x) = g(x)q(x) + r(x),} 當 _{g(x) = 0} 有重根 時。 第 6 單元 機率 等機率樣本空間_S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間 _S 。₍若樣本 空間內的所有樣本點發生機率均等_, 此時稱為等機率樣本空間)。 例_: 投擲兩公正相同骰子_, 則其點數有 _H6 2 種不同的情形 (事件)。 其等機率樣本空 間有 ₆2 _{個樣本點 (事件)。} 骰子點數一個₆一個₃點的事件有 _{(3, 6), (6, 3) ,} 而骰子點數兩個₆點的事件只有 (6, 6) ,前者有₂個樣本點_, 後者只有₁個樣本點_; 且_{(1, 1), (1, 2),· · · ,(3, 6), · · · , (6, 3),} · · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 _n(S) 就是數出 所有可能會發生且機會均相等的樣本點個數; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的 個數 _{n(S) = 6}2_。 機率的定義₍古典機率_): 利用排列組合數出樣本空間的個數或數出試驗有幾種不同的結 果。 事件 _A 的機率就是數出在等機率樣本空間 _S 內符合 _A 事件的樣本個數 _n(A) 與 等機率樣本空間個數 _n(S) 的比值。 即 _{P (A) =} n(A) n(S) (拉普拉斯的古典機率) 。 , 特別是 _{P (∅) = 0, P (S) = 1} 注意_: 某一試驗可能發生的情形共有 _n 種不同的事件 ₍樣本點), 並不意謂每一事 件 ₍樣本點₎ 發生機會均等。 只有在等機率樣本空間內每一事件₍樣本點₎ 發生的機 會才相等。 例如_: 投擲兩公正硬幣₍正反面個數有₃種不同的情形_): 樣本空間 _S′ _{= {兩正面、} 一正一反、 兩反面_} 或 _{S = {}正正、 正反、 反正、 反反_}。 _S′_{, S 均為投擲兩硬幣正} 反面結果的樣本空間_, 其 中 _S 才是等機率樣本空間。 而一正一反的機率為 _{P (A) =} n(A) n(S) = 24 機率的基本性質_: 1. 空事件的機率_{: P (∅) = 0}。 順伯的窩

2. 全部事件的機率_{: P (S) = 1}。 3. 若 _{A ⊂ S ,} 則 _{0≤ P (A) ≤ 1}。 4. 餘事件 _A′_{的 機率: P (A}′_{) = 1− P (A)。} 5. 機率的取捨原理 ₍排容原理_): P (A_{∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)} P (A_{∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩} C) + P (A∩ B ∩ C) 6. 互斥事件的機率_: 若 _{A∩ B = ∅ ,} 則 _{P (A∪ B) = P (A) + P (B)} 7. P (B) = P (A∩ B) + P (A′∩ B) 條件機率_: 設 _A,B 為樣本空間 S 的兩事件_, 已知在事件 _B 發生的情況下 _{P (B) > 0 ,} 事件 A 發生之機率_, 以 _{P (A|B) =} P (A ∩ B) P (B) 表之。 1. P (∅_{|B) = 0} 2. P (B_{|B) = 1} 3. 0 _{≤ P (A|B) ≤ 1}

4. P (A∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)

5. P (A∩ B ∩ C) = P (A ∩ B)P (C|A ∩ B) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩ B)

條件機率乘法法則_{: P (A∩ B) = P (A)P (B|A)} P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) 取捨原理_{:P (A∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)} 獨立事件_: 設_A,B 為同一樣本空間的兩事件, 若 _{P (A ∩ B) = P (A)P (B)} 則稱 _A 與 B 為獨立事件。 若兩事件不是獨立稱為相依事件。 若 _A,B 為獨立事件, _{⇔ A’,B’} 亦為獨立事件。 1. P (A∩ B) = P (A) · P (B) 2. P (B|A) = P (B) 3. P (A_{|B) = P (A)} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 7 數據分析 _· 貝士定理_: 若 _{A1, A2,· · · , An} 是樣本空間 S 的一個分割, B 為 _S 的一任意事件; 則在事件 _B 發生狀況下_, 事件 _Ak 發生的機率為 P (Ak|B) = P (A_{P (B)}k ∩ B) = _XnP (Ak)· P (B|Ak) i=1 P (Ai)· P (B|Ai) ; i = 1, 2,_{· · · , n} 一般簡易題目可藉由樹形圖分別求出各分割事件的機率。 貝士定理是合計機率法則的逆問題。 也就是已知各種_“原因 _” 機率_, 而在進行隨機 試驗中_A事件已發生下_, 問在這種條件下_, 各_“原因 _”事件發生的機率是多少_? 事前機率 _→ 新資訊 (抽樣、 研究報告、 品管) _→ 貝氏定理 _→ 事後機率 族群 有生病 檢查無病症 檢查有病症 無生病 檢查無病症 檢查有病症 第 7 單元 數據分析 集中趨勢量數_: 用一數值來表示這一群數集中趨勢。 一般常見的集中趨勢量數有算術平均數、 中位數、 眾數、 幾何平均數等。 算術平均數_{(Mean) µ : (}簡單_, 易算_, 靈敏₎₍易受極端值影響₎ µ = 1_n(x1 + x2 +· · · + xn) = 1_n n P i=1 xi 離散趨勢的統計量_: 全距、 四分位差、 標準差等。 離差_: 一群數值_, 除了考慮集中趨勢外_, 另一重點是分散的程度_, 就是離差。 一般常用測量離散程度的量數有全距、 四分位差、 變異數與標準差等。 標準差_: 變異數的平方根 1. 母群體_: 母群體的標準差為 _{σ =} s 1 N N P i=1 (xi− µ)2 = s 1 N N P i=1 (xi)2 − µ2 = s 1 N N P i=1 (xi − A)2 − (A − µ)2 , A 為 µ 的近似估計值。 順伯的窩

表 _6-4: 不同規則抽獎的中獎問題 (取球顏色問題) 取球方式 (抽獎) 一次取一球,取出不放回,共取n球(n 人依序抽獎) 一次取一球, 取出放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎) 第i位抽中獎品機率 第i位抽中機率p1 = p2 =· · · = pn 第i位抽中機率p1 = p2 =· · · = pn 中獎機率與次序無關 每 回 為 條 件 機 率 受 到 前 人抽中及沒抽中的 影 響(每 人 是 否 中獎為相依事件) 每回均為獨立事件(二項式機率) 若已知第k位中獎與否 _⇒ 改變後人中 獎機率 若已知第k位中獎與否 _⇒ 不改變後人 中獎機率 n(球) 人無序結果發 生的機率 如同一次取出 n 球所發生事件的機率 取出 n 球無序結果發生機率為二項式 機率 Cn k(p) k₍₁ − p)n−k 例題說明: 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 取出兩球均為紅球的 機率 P (R1∩R2) = P (R1)P (R2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ R2) = P (R1)P (R2) = C2 2( 3 5) 2 ₌ 9 25 (獨立事件) 第一球為 R, 第二球 為W 的機率 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2) = 3 5 × 2 5 = 6 25 無 序 結 果:2 球 為 1R1W的機率 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)p(W2|R1) + P (W1)P (R2|W1) = 3 5· 2 4+ 2 5· 3 4 = 3 5 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)P (W2) + P (W1)P (R2) = C12( 3 5)( 2 5) = 12 25 與 一 次 取 出 兩 球 為 1R1W 的 機 率 C3 1C12 C5 2 = 3 5 相同 條件機率: 已知第一球為 R 則 第二球為 R 的機率 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) = 2 4 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 第 一 球 為W則 第二球為 R 的機率 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) = 3 4 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 取 出 3 球 為 2R1W, 則第3球為 R機率 P (R3|2R1B) = = 1R1W排列 (2R1W排列) = 2! 3!/2! = 2 3 P (R3|2R1B) 獨立 = P (R3) S:2R1B = P (R3) = 2 3 期望值 (n 人中獎個 數₎ 取出n球R球期望值 E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 7 數據分析 _· 2. 樣本_: 樣本資料的標準差為 S = s 1 n− 1 n P i=1 (xi − x)2 = v u u u t N X i=1 (xi)2 − nX 2 n− 1 = v u u u t N X i=1 (xi− A)2 − n(A − X)2 n− 1 , A 為 X 的近似估計值。 (母群體的資料取得有其限制或困難_, 故採取抽樣樣本的平均值_, 標準差資訊來 推估原母群體的平均值及標準差_; 為了使樣本資料值推估原母體保持不偏_, 必 須有所修正調整_, 因此分母為 _{n− 1} 而非取 _{n )} 標準差的意義_: 計算資料與算術平均數的平均距離_, 用以表明整個資料的離散情形。 值愈小_, 表示 各資料數值較接近_, 變動範圍小_, 集中趨勢量數也較具代表性。 資料的線性平移_: 兩群資料_{Xi, Yi;} 若_{Yi = aXi + b} 則 1. 算術平均數_{: Y = aX + b = aX + b}

2. 中位數 _{:Me(Y ) = Me(aX + b) = aMe(X) + b}

3. 全距_{: RY = |a|RX} 4. 四分位差_{: Q.D.Y = |a|Q.D.X} 5. 標準差_{: SY = SaX+b = |a|SX} 數據標準化_: 將數據線性變換成平均數為_0, 標準差為₁的新數據。 _{zi =} xi− µ σ 稱為標 準分數或 _z 分數。 可用來比較不同變數間資料的排序高低。 散佈圖_{: X,Y}兩變量_,將兩數據看成序對 _{(xi, yi) ,}在坐標系上繪出點 _{(x1, y1),· · · , (xn, yn)} 所得的圖_, 以利觀察其相關情形。 歐姆定律描述了電壓和電流在導體的關係_, 某一 段電線電流與電壓的關係如下: 相關係數_: 未標準化兩變量 _X,Y 之間的相關程度 ₍高中只討論線性相關₎ 相關係數就是用標準化新資料計算出的_, 可減少不同測量單位的數據對散佈圖的 影響_, 使資料分布情形更易觀察其相關程度。 資料標準化 _(x′_{, y}′_{) 的相關係數: r =} n X i=1 x′_iy′_i n 與未標準化資料相關係數相等。_順伯的窩

電流 電壓 電流 電壓 電流 電壓 0 0.4 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6 0.6 0.8 0.4 1 1 1.2 0.9 1.4 0.7 1.6 1 1.8 1.1 2 1.3 2.2 1.1 2.4 1.4 2.6 1.6 2.8 1.9 3 1.9 3.2 2 3.4 1.9 3.6 2.1 3.8 2.1 4 2.4 4.2 2.4 4.4 2.5 4.6 2.5 1 2 3 4 5 0 1 2 3 電流 電 壓 1 2 3 4 5 0 1 2 3 ˆ Y 電流 電 壓 圖 _7-4: 電流、 電壓關係的散佈圖與迴歸直線 r = n X i=1 x′_iy′_i n = n X i=1 (xi− X)(yi− Y ) n· SX · SY = n X i=1 xiyi− nX · Y r X x2 i − nX 2 X y2 i − nY 2 = n X i=1 (xi− X)(yi− Y ) qX (xi− X)2 qX (yi − Y )2 = p Sxy Sxx · p Syy 其中 _{Sxx =} P_{(xi − x)}2_{, S}

xy = P(xi − x)(yi − y); Sx, Sy, 分別為x,y 的標準差

Sxx = n· Sx2, Syy = n· Sy2 1. r = 1 完全正相關 2. 0.7 ≤ |r| ≤ 1 表高度相關 3. 0.3 ≤ |r| ≤ 0.7表中度相關 4. 0 < |r| < 0.3 表低度相關 5. r = 0 表零相關 6. r = −1 表完全負相關 相關係數的意義與性質_: 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 7 數據分析 _· 1. 當兩變數的線性相關程度很高時, 兩變數之間未必可解釋存在 「因果關係 」。 相關係數只顯現兩變數之間關連性的強弱程度。 2. 若兩變量 _X,Y 的相關係數為 r, X′ = aX + b, Y′ = cY + d , 則 _X′_{, Y}′ _的相 關係數 _r′ _為 (a) ac > 0, r′ = r (b) ac < 0, r′ = −r 3. 相關係數與單位無關。 變量 X, Y 線性平移後的相關係數與原相關係數一樣 (頂多改變正負相關₎。 4. X 和 _Y 相關係數與 Y 和 _X 的相關係數不變。 5. 相關係數與平均數及標準差一樣_, 即易受少數極端數據 ₍離群數據₎ 影響。 迴歸直線 _{by = a + bxi:(}最適合直線₎ 兩變數之散佈圖上呈現類似直線關係_, 可用一適當直線方程式來描述兩變量關係。₍殘 差最小平方法₎。_: 若用最小平方法_, 使上述直線與實際資料的誤差值平方和為最小 時_, 則此直線為 _{ybi = a + bxi} 稱為 _{xi, yi} 的迴歸線。 必過資料中心點 (X, Y )。 稱 _ybi 為第 i 筆資料的擬合值_{; ei = yi − byi = yi − a − bxi} 為第 i 筆資料的殘差。 迴歸直線斜率 b 的意義: 若變量 _X 每增減₁單位_, 則變量 _Y 平均增減 _b 單位。 迴歸線的截距_{ a :} 一般無特殊涵義 ₍只是配合一次函數關係式₎     a = y_{− bx} b = _SSxy xx = r ·pSyy p Sxx = r_S· Sy x 圖 _{7-4: MinTab} 軟體所呈現之體重 (磅) 與身高(吋₎的散佈圖與迴歸直線 順伯的窩

第 8 單元 三角 三角函數定義_: 直角三角形中; 對應角的對邊_, 鄰邊_, 斜邊的比值關係。 ∠A 的對應邊 a = BC,∠B 的對應邊 _{b = AC,∠C} 的對應邊 _{c = AB} 正弦函數_{: sin θ = ac =} 對邊 斜邊 餘弦函數_{: cos θ = bc =} 鄰邊 斜邊 正切函數_{: tan θ = a} b = 對邊 鄰邊 A B C ±×Ãä ¾FÃä ¹ïÃä 同界角₍共同的始邊與終邊_): 兩個標準位置角_θ1 與 _θ2 具有相同的終邊。 θ1 與 θ2 同界角 ⇔ θ1 = θ2 ± k × 360◦, k ∈ Z x y θ1 θ2 = θ1+ 360◦ x y θ1 θ1 = θ3+ 360◦ 同界角關係_{: θ2−θ1 = 360}◦_·k x y 210◦ −510◦ 廣義角三角函數定義_{: θ} 終邊上_, 任一點 _{P (x, y), r = OP =} p_x2 _{+ y}2

定義_{: sin θ =} y_{r , cos θ =} x_{r , tan θ =} y_{x, x 6= 0}

x y −1 ₋1 2 12 1 −1 −1₂ 1 2 1 O P (x, y) θ 三角函數與坐標關係 x y −1 −1₂ 1₂ 1 −1 −1₂ 1 2 1 A (all) S (sin) T (tan) C (cos) 廣義三角函數值四個象限角 的正負_{: C-A-S-T} 正值 三角函數化簡公式 _−→ 旋轉木馬記憶法_: 1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。 2. 以 ₉₀◦ _{為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉。} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 8 三角 _· sin -sin cos -cos tan

-cot -sin sin

cos -cos csc -csc sec -sec sin cos 圖 _8-4: 三角函數化簡公式: 旋轉木馬記憶法 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。

三角函數的奇偶性質_{: sin(−θ) = − sin θ ,cos(−θ) = cos θ}

奇函數_: 類似_x3_{的性質, 若變數相反數, 則函數值為相反數。 sin θ 具有奇函數性質}

(函數圖形對稱於原點₎。

偶函數_: 類似_x2_{的性質, 若變數相反數, 則函數值不變。 cos θ 具有偶函數性質 (函}

數圖形對稱於y軸₎。

三角函數的同值不同角度關係_:

sin θ = sin(180◦_{− θ); cos θ = cos(−θ)}

tan θ = tan(180◦ + θ); cot θ = cot(180◦ + θ)

x y O P(x, y) Pθ+90◦(−y, x) P_θ+180◦(−x, −y) P_θ+270◦(y,−x) θ θ 角與 _{θ + 90}◦_{, θ + 180}◦_{, θ + 270}◦ _坐標關係 三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系_:

1. 餘角關係 ∠A+ ∠B = 90◦ : sin A = cos B, sin B = cos A 2. 補角關係 ∠A+ ∠B = 180◦: sin A = sin B, cos A + cos B = 0 3. 周角關係 _{∠A+ ∠B = 360}◦ _{: sin A + sin B = 0, cos A = cos B}

4. 反向角關係 ∠A = 180◦+ ∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相反 數關係)

5. 奇偶性_{: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ}

6. 三角函數值相反數_{:sin(−θ) = − sin θ; cos(180}◦ _{− θ) = − cos θ}

tan(180◦_{− θ) = − tan θ; cot(180}◦ _{− θ) = − cot θ} sec(180◦ + θ) = _{− sec θ; csc(180}◦+ θ) = _{− csc θ} 已知一三角函數求其餘三角函數值方法_: 1. 銳角參考角法_: 每一標準角θ終邊與_x軸所夾之銳角參考角α,θ 角的三角函數 值絕對值與_α 的三角函數值相同, 再由_θ 象限角位置決定其三角函數值的正 負。 2. 坐標法_: 利用 _{cos θ =} x r, sin θ = y r 找出 θ 終邊上的點P (x, y)坐標, 再依三 角函數定義求其餘三角函數值。 3. 基本關係法_: 利用平方關係、 商數關係、 倒數關係求其餘三角函數值。

正弦定理_{: △ABC} 與 _△A′_{BC 中, ∠A = ∠A}′_{,sin A = a}

2R

△ 三邊長比等於其三內角的正弦比_, 且比值為其外接圓的直徑。

a

sin A = sin B =b sin C = 2Rc

餘弦定理 _{: a}2 _{= BC}2 _{= (b− c cos A)}2 _{+ (0− c sin A)}2

△ 第三邊平方₌兩鄰邊平方和 _−2×鄰邊乘積_×餘弦值。

1. a2 = b2 + c2 − 2bc cos A , 或 _{cos A = b}2 + c2 − a2

2bc 2. b2 = a2 + c2 _{− 2ac cos B ,} 或 _{cos B = a}2 + c2 − b2

2ac 3. c2 = a2 + b2 − 2ab cos C , 或 _{cos C = a}2 + b2 − c2

2ab 三角形面積公式_: a_{△ABC =} 1 2底×高 = 1 2ab sin C = 1 2ac sin B = 1 2bc sin A (海龍公式_{) =} p_{s(s− a)(s − b)(s − c) , s =} 1 2(a + b + c) a_{△ABC = r}內 · s = abc 4R外 = 1 2 q |−⇀AB_|2_|−⇀_AC|2 _{− (}−⇀_AB·−⇀_AC)2 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 8 三角 _·

正餘弦的和角、 差角公式_:

1. cos(A− B) = cos A cos B + sin A sin B 2. cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B 3. sin(A− B) = sin A cos B − cos A sin B 4. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

倍角、 三倍角公式_:

1. cos 2θ = cos(θ + θ) = cos2θ− sin2θ = 2 cos2θ − 1 = 1 − 2 sin2θ 2. sin 2θ = sin(θ + θ) = 2 sin θ cos θ

3. cos 3θ = 4 cos3θ_{− 3 cos θ} 4. sin 3θ = _{−4 sin}3θ + 3 sin θ 5. tan 2θ = 2 tan θ 1_{− tan}2θ 半角公式_: cos θ2 = ± q 1 + cos θ 2 , sin θ2 = ± q 1_{− cos θ} 2 (_± 號可由 θ 2 之象限角其三角函數值來判定) tanθ 2 = sin θ 1 + cos θ = 1_{− cos θ} sin θ = ± r 1_{− cos θ} 1 + cos θ 同界角的 _n 倍與 1 n 倍: θ ≡ θ + 2kπ, k ∈ Z 與 _θ 同界角之整數倍後仍為同界角。 _{nθ ≡ nθ + 2kπ, k ∈ Z ,} 均為同界角。 但其 _n1 倍角_, 有 _n 個不同角度。 _{n =}θ θ + 2kπ_{n , k = 0, 1,· · · , (n − 1) ,} 有 _n 個非 同界角的不同角度。 三角函數求值問題_: 銳角_θ: 任一銳角 _θ三角函數_, 可做一包含_θ角的三角形_, 利用畢氏定理_, 再找出其三邊 邊長比例關係。 鈍角_θ: 一般角三角函數值可先找出該函數對應的參考角 _θref 三角函數變化關係 ₍依 象限角決定正負變化關係₎。 順伯的窩

1. 同一 _θ 角_, 求其餘三角函數值。(在銳角下畢氏定理求出斜邊、 鄰邊、 對邊比_;

再由 _θ 象限角決定三角函數值正負₎。

(坐標法_{: (x, y) = (r cos θ, r sin θ), r =} p_x2 _{+ y}2_{, tan θ =} y x ) 2. 同一三角函數下_, 求其倍角、 半角、 和角、 差角的三角函數值。₍利用倍角、 半 角、 和角、 差角公式代入₎ 3. 不同三角函數、 不同角度下_, 求三角函數值。(先化成同一函數或化成同角度_; 再依上述_1,2項方法求值₎ 三角測量幾何問題的一些步驟要領_: 1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長、 角度或相關量。 2. 直角三角形的邊角關係_: 可利用畢氏定理、 三角函數的基本關係運用。 3. 幾何測量_, 作圖利用正弦_, 餘弦定理_, 畢氏定理_, 三角形面積公式_, 配合三角函 數及其性質解決問題。 將包含已知邊長 ₍角度₎ 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出_; 再仔細 觀察這些三角形有何上列公式 ₍定理₎ 可運用。 第 9 單元 直線與圓 直線方程式_: 1. 一般式_{:ax + by = c ,} 其斜率 _{m = −ab, (b 6= 0)} 2. 點斜式_{:y − b = m(x − a)} 表直線經過點_{(a, b),}及直線斜率為_m 3. 兩點式_:y − y1 x− x1 = y2 − y1 x2 − x1 表直線經過兩點(x1, y1), (x2, y2) 。 4. 斜截式_{:y = mx + k} 表直線斜率為_m, 與 _y 軸截距為 _k 。 5. 截距式_{:xa +} y b = 1 表直線與 x 軸,y 軸的截距分別為 a,b 。 6. 向量參數式_: ( x = x0 + bt y = y0 − at , t _{∈ R} 表直線方向 _(b,−a), 過點 _{(x0, y0)} 7. 共交點的直線簇 _{: L} 過 _{L1, L2} 的交點, 則直線 _L 方程式為 L : L1 + kL2 = 0 , k ∈ R 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 9 直線與圓 _· 直線的平行與垂直_: 兩斜截式直線 _{L1 : y1 = m1x + k1, L2 : y2 = m2x + k2} 互相平行_: 則 _{m1 = m2, k1 6= k2} 互相垂直_{: m1m2 = −1} 或直線一般式, 互相平行_: ( ax + by + c1 = 0 ax + by + c2 = 0 互相垂直_: ( ax + by + c1 = 0 bx− ay + c2 = 0 二元一次方程組的幾何意義_: 兩直線方程式 _{L1 : a1x + b1y + c1 = 0, L2 : a2x + b2y + c2 = 0 ,} 聯立方程組 ( a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 , b1b2 6= 0 1. a1b2 6= a2b1 時, 方程組恰一解, 此時 L1 與 L2 相交一點。(相容方程組) 2. a1b2 = a2b1, b1c2 6= b2c1時, 方程組無解, 此時L1與L2互相平行。(矛盾方程組) 3. a1b2 = a2b1, b1c2 = b2c1時, 方程組無窮多解, 此時L1與L2重合。(相依方程組) 二元一次不等式的解區域_: 1. 若 _{y > ax + b} 則不等式包含直線 _{L : y = ax + b} 的上方區域。 2. 若 _{y < ax + b} 則不等式包含直線 _{L : y = ax + b} 的下方區域。 3. 若 _{x > ay + b} 則不等式包含直線 _{L : x = ay + b} 的右方區域。 4. 若 _{x < ay + b} 則不等式包含直線 _{L : x = ay + b} 的左方區域。 y_{≥ −x + 1} x y L: x + y = 1 y <_{−x + 1} x y L: x + y = 1 y <2x + 4 x y L: 2x_{− y = −4} y_{≥ 2x + 4} x y L: 2x_{− y = −4} 線性規劃問題_: 1. 決策變數: 影響問題的變數稱為決策變數 _xi。 2. 目標函數_: 求問題的方程關係式稱為目標函數 _{Z =} Pk i cixi。 其值稱為目標函 數值。 順伯的窩

3. 限制條件_: 決策變數受限的不等式組稱為限制條件。 型如_: 求 _{Max(Min) Z = c1x1 + c2x2 +· · · + cnxn} 之最大值 ₍或最小值₎ s.t.(受制於₎            a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn ≥ b2 ... am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≥ bm 二元線性規劃問題的圖解平行線法_: 欲求 _{max(min) Z = c1x + c2y ,} 利用一組平行線 Lk : c1x + c2y = k 在解區域內平行移動, 找出 (x, y) 使 k 直為最大或最小值的 方法。 1. 畫出可行解區域 F (不等式組的圖形_), 並標示出所有的頂點。 若 _{F = ∅ ,} 則 此問題無解。 2. 若 _{(c1, c2) = (0, 0) ,} 則 _F 中任一點都是最佳解_, 且最佳解值 _Z∗ _{= 0 。} 3. 若 _{(c1, c2) 6= (0, 0) ,} 則將目標函數 _{max(min) c1x + c2y = k} 按其法向量方 向 _{(c1, c2)} 或 _{(−c1,−c2)} 平移。 4. 將上述平移過程中與可行解區域相交的點均為可行解_; 取最後 ₍最先₎ 的相交 點_, 即為最佳解。 代入目標函數即為最佳解值。₍最佳解可能是無解、 單一解、 或 無限多組解)。 s.t.            x + y _{≤ 24} x + 2y _{≤ 30} x ≥ 0 y _{≥ 0} ,Max Z = 3x + 4y O x y F L: x + 2y = 30 L: x + y = 24 Lobj: 3x + 4y = k (18, 6)∗最佳解 O x y F L: x + 2y = 30 L: x + y = 24 (24, 0) (0, 15) (0, 0) (18, 6)∗最佳解 二元線性規劃問題的頂點法_{: max(min) Z = c1x + c2y} 一次聯立不等式所決定的可行解區域為一凸多邊形區域。 而目標函數的極值必發 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 10 平面向量 _· 生在此凸多邊形區域的頂點上, 故可先把凸多邊形區域的頂點坐標值全部找出來, 再分別代入目標函數_, 求出 _{max(min) Z = c1x + c2y} 之值。 第 10 單元 平面向量 向量_: 包含方向與大小兩種意義₍有方向的量₎。 由 _A 點到 _B 點的有向線段_, 記為 −⇀_AB, 其中 _A 為起始點,B 為終點, 線段 _AB 的 長度稱為有向線段 −⇀_AB 的長度, 以 _|−⇀_AB| 表示。 零向量_: 始點與終點重合的向量_, 記為−⇀_{0 ,}其大小為_0, 方向可視為任意方向。 始點A 終點B 向量 向量坐標上表示法_: 坐標平面上任意一個向量 −⇀v ,將始點平移至原點_, 終點坐標為_{(a, b)} 時_, 則 −⇀_{v = (a, b)} 若平面上 _{A, B} 兩點坐標為 _{(a1, a2), (b1, b2)} 則由起點 _A 到終點 _B 的方向與大小, 記為 _{AB = (b}−⇀ _{1 − a1, b2 − a2)}。 _AB 長度 ₌ −⇀_{AB =}p_{(b1 − a1)}2 _{+ (b} 2 − a2)2 向量的加減法_: 可利用平行四邊形法或坐標法。 向量坐標的加減法_{: −}⇀_{a ±}−⇀_{b = (x1±x2, y1±y2)} B C A D −⇀ AD=−⇀BC −⇀ AB=−⇀DC B C C′ A D D′ −⇀ AB+−⇀AD=−⇀AC −⇀ AB₋−⇀AD=−−⇀AC′₌−⇀_DB 1. −⇀AB +−⇀AD=−⇀AB +−⇀BC=−⇀AC 2. −⇀AB −−⇀AD=−⇀AB +−⇀DA=−⇀DA +−⇀AB = −⇀DB = −⇀AB +−−⇀AD′=−⇀AB +−−⇀BC′=−−⇀AC′ 向量的線性組合_: 若 −⇀_OA,−⇀_OB 為平面上兩不平行的非零向量, 則平面上任一向量−⇀_OP 必能唯一表示 成 −⇀_{OP = x}−⇀_{OA + y}−⇀_OB 其中 _{x, y} 為實數_, 稱為 −⇀_OA,−⇀_OB 的線性組合。 平面直角坐標點 _{P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1)} 是由 _{(1, 0), (0, 1)} 兩向量組成。 順伯的窩

(平面上任一向量 −⇀_{OP = a−}⇀_{ex + b−}⇀_ey 可表示成兩不平行向量的線性組合_, 其係數和 未必為₁。 若係數和為_1, 表示 _{P, A, B} 共線₎ O A B P −⇀ OP = x−⇀OA+ y−⇀OB 1. −⇀OA = −⇀OP +−⇀P A 2. −⇀OA = −⇀P A−−⇀P O O A P O A P 向量解題應用_: 1. 平行向量 (與係數積有關_): 若 −⇀_{a //}−⇀_{b ,} 則 −⇀_{a = t}−⇀_b 2. 若 −⇀_{OP =} −⇀_{OA + t}−⇀_{OB, t ∈ R} 則 _P點必位於過 _A 點平行 _OB 的直線上。 3. 單位向量_{: −}⇀_{ea =} −⇀a |−⇀a | = (cos θ, sin θ) = (px2x_{+ y}2, y p x2 _{+ y}2) 4. A, B, C三點共線 (a) A, B, C三點共線 _⇔ −⇀_{AB = k}−⇀_{AC , k ∈ R} (b) A, B, C三點共線_{⇔ ∃α, β ∈ R, α + β = 1,}使得 −⇀_{OC = α}−⇀_{OA + β}−⇀_OB (c) −⇀AB ·−⇀AC =|−⇀AB||−⇀AC| 或 _−|−⇀_AB||−⇀_AC| (d) A, B, C 坐標在同一直線方程式 _{y = ax + b} 上 (e) 斜率 _{mAB = mAC} (f) _△ABC 面積為₀ 5. 內分點公式_: 若 _P 是_AB的內分點, 且_{AP : BP = m : n,} 則 −⇀_{OP =} n−⇀OA + m−⇀OB m + n 6. 外分點公式_: 若 _P 是_AB的外分點, 且_{AP : BP = m : n,} 則 −⇀_{OP =} n−⇀OA_{− m}−⇀OB n_{− m} 順伯的窩

https://sites.google.com/site/hysh4math 10 平面向量 _· 7. 正 _N 邊形的外接圓圓心 _O, 則 _O 到所有頂點向量和為 −⇀_{0 , (z}n _{= 1 的根之} 和為₀₎ 向量內積定義_: −⇀_{a ·}−⇀_{b = −}⇀_a −⇀_{b  cos θ = (x} 1, y1)· (x2, y2) = x1x2 + y1y2 其中 _θ 為兩向量的夾角。 內積在物理上的意義為作功。 |−⇀U ₋−⇀V _|2 = (−⇀U ₋−⇀V )_{· (}−⇀U ₋−⇀V ) =_|−⇀U _|2 _{− 2}−⇀U _·−⇀V +_|−⇀V _|2 即 −⇀_{U ·}−⇀_{V = 12(|}−⇀_{U |}2 _+|−⇀_{V |}2 _{− |}−⇀_{U −}−⇀_{V |}2_{) 和餘弦定理有關} θ −⇀a −⇀ b 注意_: 1. 向量內積未具有消去律_{: −}⇀_{a ·}−⇀_{b = −}⇀_{a · −}⇀_c 未必 −⇀_{b = −}⇀_{c (}表示−⇀_{b , −}⇀_c 在 −⇀_a 上有相同的投影長₎ 2. 向量零因子_:−⇀_{a ·}−⇀_{b = −}⇀₀ 未必 −⇀_{a = 0} 或 −⇀_{b = 0 (}表示 −⇀_{a ⊥}−⇀_{b )} 3. −⇀a _⊥−⇀b _{⇔ −}⇀a _·−⇀b = 0 兩向量垂直則內積值為₀ 4. −⇀a //−⇀b _{⇔ −}⇀a = t−⇀b 兩向量平行則與係數積有關 柯西不等式_{: |−}⇀_{a ·}−⇀_{b | ≤ |−}⇀_{a ||}−⇀_{b |} (x1y1 + x2y2 +· · · + xnyn)2 ≤ (x2₁ + x2₂ +· · · + x2n)(y12 + y22 +· · · + yn2) 當 −⇀_{a = k}−⇀_b 時_, 即 x1 y1 = x 2 y2 = · · · = xn yn = k 時為等式 向量的正射影₍投影_): −⇀_{a 在} −⇀_{b 上的投影 = (−}⇀_{a 在} −⇀_{b 的投影長) ×(}−⇀_{b 的單位向量)} −⇀_{a 在} −⇀_{b 的正射影= (}−⇀a _·−⇀b |−⇀b _| )× −⇀ b |−⇀b _| = ( −⇀_{a ·}−⇀_b |−⇀b _|2 )× −⇀ b , 為一向量。 −⇀_{a 在} −⇀_{b 的投影長=} −⇀a ·−⇀b |−⇀b |    , 為一正實數。 θ −⇀_a −⇀ b −⇀_c −⇀_{a 在} −⇀_{b 的正射影= (}−⇀a _·−⇀b |−⇀b _| )× −⇀ b |−⇀b_| 若 −⇀_{a ·}−⇀_{b = −}⇀_{c ·}−⇀_b 表示 −⇀_a 在 −⇀_b 的正射影長與 −⇀_c 在 −⇀_b 的正射影長相等。 向量的正射影與 _△ 高的關係_: △ABC 中_, 底邊 _BC 上的高 _AH為 _|−⇀_{BA− (} −⇀ BA_·−⇀BC |−⇀BC|2 )× −⇀ BC| 順伯的窩

直線向量參數式_: 由 −⇀_{P A = (x− x0, y− y0)//(b,−a)} 化簡可得 _{x, y} 的關係式為 _{ax +} by + k = 0 O −⇀_{v = (b,−a)} A(x0, y0) P(x, y) L: ax + by + c = 0 t= 0 t >0 t <0 因此若點 _{(x0, y0)} 在直線 _{L : ax + by + c = 0} 上_, 則直線上任一點可以表示成 −⇀ OP =−⇀OA + t−⇀v =(x0, y0) + t(b,−a) 即 ( x = x0 + bt y = y0 − at , t _{∈ R ,} 稱為直線 _L 的參數式。 其中直線方向 −⇀L //(b,_−a) 直線方程式的方向向量與法向量_: 若直線方程式 _{L : ax + by + c = 0} 則直線方向 −⇀_{L //(b,−a),} 法向量方向 −⇀n 為垂直 _L 的向量,−⇀n //(a, b) 點 _{P (x0, y0)} 到線 _{L : ax + by + c = 0} 的距離公式_{: d(P, L) =} ax_p0 + by0 + c a2 _{+ b}2    L: ax + by + c = 0 P(x0, y0) H −⇀_n Q d(P, L) =−⇀QP 在 −⇀_n 上的正射影長 ₌−⇀QP · −⇀n |−⇀n_|   =   axp0 + by0 + c a2 _{+ b}2    二階行列式定義 _:     a1 b1 a2 b2      = a1b2 − a2b1 平面上三角形面積公式_{: △ = 12|}−⇀_AB||−⇀_{AC| sin θ = 12|AB}−⇀_||−⇀_AC|√_{1− cos}2_θ 故 _{∆ABC = 12} q |−⇀AB_|2_|−⇀_AC|2 _{− (}−⇀_{AB ·}−⇀_AC)2

若 −⇀_{AB = (a, b),}−⇀_{AC = (c, d)} 則 _△ABC 面積 _{= 12|ad − bc| =} 1

2|      a b c d     | θ −⇀ AB −⇀ AC θ −⇀_a −⇀ b 順伯的窩