臺灣省北區九十二學年度高級中學數學及自然科能力競賽數學科複寶試題及參考解答

(1)

臺灣省北區九十二學年度高級中學數學及

自然科能力競賽數學科複寶試題及參考解答

國立臺灣師範大學

數學系

《試題部分》

壹、

一、第一區(花蓮區)複賽試題(一)

二、第二區(花蓮區)複賽試題(二)

l.

H

-J

0 、 l 、...、 9 ifl 的三相異數字，拼成千 {[叫:三{\'/數再除以此 i 個數的和，試問所得【問題一】:考慮平面 r-.-·{[ /i] en] 多邊形區域的數值中最小的是仁斗比賽 P

₁

P

₂

_月 ...Pn(n 三 3) 。這是」個島闕，週邊是海洋。因此，其週邊長 p 就是她的海岸線全長。現在她宣稱與岸邊距離 d 的缸圍之內都是她的價悔。證明她的領海問積是 (p

+

lrd)d.

2. 某次桌球單打比賽中，原訂每兩f\'/球員恰半場， {H 有四{v:球且各比賽r 兩場後就退出 t' 這樣全部比賽只進行了50 場，則這四位選于之間總共賽(-.l.一三之一場 c

3. 投聞封 +(y_a)2

=

1 與拋物線 Y =2x

2

_相

有兩個問題要問你: 切，

flU

a 的值為 (\)請你完成這問題的證明。 (8 分) 4. 福爾摩斯拉偵辦杆二兇殺案，案發時間據 (2) 如果有 .{間島嶼的形狀恰為圓形，且海判斷是在半夜十三點至凌晨三點之間，褔岸轍總長也是 P' 那!要這島嶼的領海面積比凸 n 邊形島國的領海面積大、相等或小呢?請你先猜答案，再實際計算是仟猜對。 (8 分) 【問題三】:設 α <

b

_{0 函數 f(x)}

=

4 +

2x - x

2

在區間 [a， b] !三的最小值為扭，最大值為凹，

求 a， b 之值。( 16 分) 【問題三】:在 A 容器內裝有濃度 10% 的溶液 100 公克，注入濃度為 40%的溶液 25 公克，均勻攪拌後，再倒出混合液 25 公克。如此反覆進行下去。設 an %代表稀釋 n 次後，溶液的濃度，並令 αο%=]0%( 溶液初始湛度)。 (\)求 a ，的值 o (3 分) (2) 列出 an 與 an刊的相關式于 o (5 分) (3) 求冉的一般公式。 (9 分) 爾摩斯想從案發現場拾獲的 -L{ 于錶準確研判兇殺時間。據判斷，此于錶;在案發時，因為紹過劇烈的打鬥而損壞停 I上，指針僅剩 fA寺針，而刻度也僅剩 F 12 ，其他刻度皆已脫落。福爾摩斯拿隨身攜帶的尺量了一下，時針的長度是 0.5 公分，位順于拿鉛筆在錶的中心治 12 點的方向 0.8 公分處點一個黑點，再 E至此黑點與時針的頂點的距離是 0.7 公分。福爾摩斯在草稿紙仁算了一下，微笑的說: I 我知道精確的案發時間了。」問: 案發的時間是凌晨幾時幾分。答:(且.2 0 5. 下圖是矩形內接」半圓形，且半間圓弧與矩形的邊相切，則此半圓形的半徑為 (Ii，) 。 6.標準身材的定義是 -64 一

(2)

。(格子點是

J

的最短距離為肚擠高度肚月齊距頭頂距離身高肚月齊高度 _{拍兩個主任標都是整數的點)}

足

站附 3. 設 a

,

b 府正整數且 α 三 b 有一身高 152 公分，肚擠高度 92 公分的女求

ab+a+b

=

181 及 a

2

b

+

ab

2

=

3900

孩欲借穿高跟鞋來提高身高與肚擠高度' L斗 4 主任標平面 I". 有三個問 A 、 B 與 C o 圓 A 的

a

2 _

b

2

=

滿足標準身材的定義。試問:該女孩穿多少公分(取最接近的整數)的高跟鞋較恰圓心目 (O， a) 而乍得自 α' 圓 B 與圓 A 外

丘已

M、 2仁立一 . 告回 '圓 C 與闢

)

仇 V O

(

切且與 x 軸相切於點 A 、固 B 都外切且父與 x 軸相切，則圓 C 與

貳、

山

X 軸切點的 x 坐標為一、第二區(台北區)複賽試題(一) 川 H川」 n 口川

4 9x

一一一+--一的最小值為

4-x

9x-1

設 α 是實數

x

4

_-(3+2a)x

2

_+2x+a

2

_{+2α=0 的根都是}

1-9

4手 X 且i 且 x ;t 4 數， 5. 有 x 是【問題一】:試求滿足 F 列條件的所有JE暫數

n

( I )

n 恰有 6 個正因數: I ，的， d

₂

可吭，吭， n

(2) l+n=5(d

1

+d

2

+d

3

+d

4 ) 0(16 分)

6.

方程

it

【問題二】:從 l 到 l 側的整數中挑選相異的 μ斗實根，則 a 的範圍為數形成 n 個集合，滿足下列兩個條件: 7. 以卡是 -{Ii圳青數字遊戲:甲由。到 9 的卜個 (1)任何兩個集合都沒有共同的元主; 數字中任選四個相異數字排成一列(例如

( 2

)每個集合中最大元素等於其餘各元素的。923) ，讓乙猜此數。若數字與tV:置:都對有乘積。 ;若數宇對而 tV:置不有 n 個，記為‘叫，試問 n 最大是多少?並寫出這 n 個集合。 o f列主[]:{衣~:面對者有 m 個，記為‘ mB' (需說明理由)

(

16 分) ‘

IA

，則甲記 ,

1983'

貝 U 甲言己

‘

2AOB'

‘

1935 '

數字，若乙猜 ;若乙猜

IB'

【問題三】:在凸五邊形ABCDE 中，若

AB

=

BC

=

CD

=

DE

=

EA

' 而且 CD 的中點

M

滿足 ζ CMB= ζDME =450 _。試求 _若乙第 _{-次猜的結果是} ‘

_{IA IB'}

_，則乙第位斗二次就猜對此數的機率為

( I

)ζABC 的度數 ;(9 分)

(2) CF: CM

' 其中 F 是 B 荒直線 CD 的垂

一、第四區(新竹區)複賽試題(一)

【問題一】:在坐標平面上給定黑白 A(2 ， 5)

,

試在[1[線 y 三 x 上找臂高 p ，使得 AP-PQ 為最小，其中 Q 為 P 在直線 2x-5y

=

0

t. 的垂

參、

足。( 8 分) 二、第二區(台北區)複賽試題(二) I.設 MBC 中 ζB=2ζC'ζA 的平分線交 BC 15

1:

D 點，使得 AB=CD

'

flUζA= 足。請求出 P 點的坐標，並證明之。 65 一仁斗 2. 平面上的格于點到直線 15x

+

20y 一 12=

0

(3)

【問題二】:試求出所布的正整數。、 b ，使

得至立即r轄數。

ab+1

【問題三】:將 al 、。 2 ，

a

3 ，"'，。叫依順時針 )j 向排列在」圓周上，其中恥，圳，

a

3 ，'" 句 a4R 為 l 之， 3 ，···，4 8 的種排列。設 f(n) 表示圓周上從第 n 個數 a /I開始依順時針方向連續的 16 個數 ltl 是偶數的個數。 (a) 試證: f (l )f(2)··f(48) 三 2 (b) 試證:必有整數 kε {I之， 3 ，···

,

48}

f吏1~主 ((k) 二 8. 二、第四區(新竹區)複賽試題(二)

l

技有兩圈內切，通過小圓的圓心作 °1白毛線 A-B-C-D' 分別交大圓於 A 、 D ，交小國 B 、 C ，若 AB:BC:CD=2:6:5 ，則小固與大國半徑的比值為---ill 2. 已知函數/滿足: f(14)三 14 ，/ (26)=訝，且當質數 p 與 q 滿足 p>q 孟 2 時，

((pq)

=

f(p) 一 ((q)+p+q 0 則 f(91) 三位Lc

3. 在 6ABC 中， D 為 BC 邊 1-0 的 ifl 點 '6ABD 的內切固與中線 AD 相切於 M ， 6ACD 的內切圓與中線 AD 相切於 Nab

AB=

15 ,

AC 三 10 '則線段 MN= 一」主

4 平面 1-0過~~州且與精固去+戶 l 相

切的兩條 I白:線所夾成的銳向為 t夕。則 tan

(l

三世La 5. 設正數。可 b 滿足 2ab+3α+ 的=

27 '

flU

。 2 +的 2 的最小值為...-.-ill 6 設((x) 為有理係數的三次多項式 'f(l

)=2

,

f(2)寸、 f(3)寸，且對任意正整數月 'fin) 都

66

是正整數。則 j{IO) 的最小口j 能值為---l豆La

二、第四區(新竹區)複賽試題(二)

l

設有一兩圓內切，通過小圓的間心作→葭線 A-B四 C-D' 分別交大國於 A 、 D ，交小圓

B

、 C' 才'i

AB: BC : CD

=

2 : 6 : 5

'則小圖與大間半悍的比值為---ill 2. 已知函數/滿足:

f

(1

4)=14 '

f

(26)三詞， Ii 當質數 p 與 q 滿足 p>q 這 2 時， /如q)=.尺抖抖 q)+p+q 0

W

Jf

(91)=

---l且 3. 在 6ABC 巾， D 為 BC 邊 fOoRZI 中點 '6ABD

的內切|員|與 III 線 AD 相切於 M ， 6ACD 的內切區|與中線 AD 相切於 No 若 AB 三 15 ，

AC

=10 '

fll]柯:段 MN

=

---l且

4.

/半|手i叮咱刷i面回相切的兩兩j{i條|保茉 i直頁線所夾成的銳角為 tθf 0 則

tan

{l= ---l坐上一。 5. 設正數。可 b 滿足 2ab+3α+6b=27 ' 則 a2

₊

4b

2 _{的最小值為」旦} _。 6. 設 ( (x)為有理係數的三次多項式，

f

(I)寸， j( 2)寸，/ (3 )寸， 11 對任意 iE整數月， f(n)都是 I 正整數。則((1 0)的最小可能值為斗豆上。《參考解答》

高且

一、第一區(花蓮區)複賽試題(一)

【問題一】: (I)如 F 圍所示，令凸多邊形區域 p\P

₂

月

...凡的 Pi 所對應的內角為 αi 戶，)-一一一---.!!..!..

(4)

(不合) 。=0

2

, b=0

2

解之得

領海是由 P

_j

P

₂

，P

₂

_門

，....，凡門為邊向外作寬為

解答為:。 =2

b=i

d 的 n 個矩形及頂點 4 月，門，

.,.

，P'1 所在外向

所圍成半徑 d 的扇形面積總和。【問題三】:

p"P

₂

，l三P

₃

，····，九月為邊向外作寬為d 的 n 個

CI )根據題意

100· a o% + 25

.4

0%

u q / - 3 0 l = l 6 .

1

/0 一 125 矩形面積和為

(P

_j

P

₂+1三月十..

+

PnP\ )d

=0

pd.

頂點只，馬司門，...，凡所在外角所間f&/I汗(1~

d

C

2

)根據題意 100·a~

%+25

.4

0 % 4

, 0 a."

,

% =0---"力。叫 ==--;Un TO n+1 .

125 )

的扇形面積和為 Jr

d

2

公一

α

i) 芋=0 (nJr 一仲 α2 +叫，))百

Lo ll 。。

+

μ

4-5

一一十 α 力吋叫 J H叫叫川 \i/ 、、 d

(

Jrd

2 _冒 =0(n Jr 一 (n- 2)Jr) 三7= 們□

研成 (an刊物)=;(4 州

弓

)

I Ja. ‘、、 F、 d 一= • 吋， X X

勻-+

凡『一=一

)

X Ja' 、 Jfu 可』

題

日 EJ

-Hl VE

‘

[11

此關係式得知，數列

(an

-40)

是首項為

。

1-40

=0

_16-40

=0

_-24

公比;的等比數列。

干I:

[a

,

b]

1-_

遞

Ifl?

故最大值為

f(b)

=0品，最小_{oJ:為 ((α)=02μ

f

土寸

case

1.當α<b

< I

1

-40

二

(a

l

-4

叫一

l

解得

_an

=0川

_l

_一州了

l

r

4 +

2b - b2 =02b

Ell]

_~勻

_a

14+2α-a~ =0l.a l坎 (+合)

在

[α

_，

b]

L

的最大

α=0

-2

_, b=0

-2

時，./ 解之得

二、第二區(花蓮區)複賽試題(二)

5-2

一一 '。

case

2. 當。<

I

<

b

(二) 3 。

21

(丘克

_τ)

。

189

18

5

=02b " 'i 9 II

f

件由已全r1 值為((1)=0 5 (凹);時0 分。 17 扎，

一一-

I--tV-1

8

5 。 (六)

({I.)

5 。故/之最小值發/主於(Cα)=0_2α

貳、

(

~Yμ二 ₂

)

:. a

=士2 4+2αμ2 =0

_2α'

5-2

一一 '。守中一 G 故

一、第二區(台北區)複賽試題(一)

時

_'f

_在

[α

_，

b]Jo. 遞減

{I;

_文

case

3. 當I<a<b 【問題一】:設正整數月滿足條件(I)、 (2)吐

最大值為

f(

α)

=0凹，最小值為州的=02a日口

其質囚數分解

uJ 表示為

Pn

二pfIp;1....pf

其

I

_~l

_I

至

_αl

三角三﹒三

α

_k

J

:l

PI

可凹.，.的是

ba

守中?且一一一一可勾勻 G' 。一一 αEhu 守中?且

++

凡且可凡且可 rllid--lL

-

67一

(5)

相異質數，則它的 JE 因數共有 (αI

+

1)(α2

+

1)...(α k

+

I) 個。由條件(1) ，則只口J能是 (i) 供 l 且 α1=5 ;或

(ii)

k=2 ， α1=1 且 α2=2 。若是情況(i) ，則

n

=

p5 ;

1'j 白條件 (2)可得 l+p有三 5(p+

p"

+

p3

+

p4)

=

5p

(1

+

p+ p"

+

p')

此顯然不可能。若是情況(ii) ，則 n=pq2 ，

其中 p 、 q 為相異質數。由條件(2)可得

1 +

pq2

=

5(p

+

q

+

pq

+

l) ;

所以，

30a+ 24

p=5+

-,'一一一

(a)

q- -5q-5

因為 p 為正整數，所以30q

+

24 這正一句 -5 。山此口J得 q 星 35 。滿足 (a) 且不大於 35 的質數 q 口J使得 p 亦為質數的只有 q=7' 而此時對應的 p

= 31

'故，

n=31.7 2 =1519

c 【問題二】:由於每個集合巾的元素均相異，日，每個集合中最大的數等於其餘各數之輯，所以每個集合至少含有 3 個數，且每個集合 Jj l 最小的數不大於 9 ，否則此集合中除了最大的數，其餘各數的積不小於

10

x

11 =

11

0 >

I

00

'矛盾!因而集合的個數不大於 9 。若存在 9 個滿足條件(I) 、 (2)的集合，則它們最小的元素分別為1 ， 2 ， "'， 9 0 _考慮包含 _l 的集合，則此集合至少還包含其他 3 個相異的數，所以此集合中第二小的數大

於

9 '因而會導致此集合時1最大的數大於

100

'矛盾!故，滿足條件(1)、 (2) 的集合辛辛多有 8 個。事實上 '{2 ， 17 ， 34} 句口，峙， 4叭， {4司

15 ,

60}

,

{5

,

14 ,

70 },

{6

,

13 ,

78}

, {7,

12 ,

84 },

悶， 11 、 88 }， {9 ，帥， 90} 為 8 個滿足條件(1)、 (2) 的集合。

-

68 一【問題三】: A B G

E

F

C

M

D

(1)在等腰王角形 6 CDB 中，因為 LCDB< ζ CMB=45' ，所以 LBCD

>90

0 0 於是， 6CMB( 與 6DME) 是鈍角三角形 C~ fiX鈍角三角形的SSA 全等定理，可知 6CMB 三 6DME ，

MB=ME

0 於是 '6 MBE 是 i直角等腰 i 角形， BE 與 CD 平行， AM 將 BE 垂直平分於Go 若 B 至直線 CD 的垂足為 F ，則 BF=GM

=BG

0 依直角三角形的 SSA 全等定I唔，口J 知 6BCF 三 A

BAG

0 於是 LFBC=

LABG

4三ABC=

LFBG

= 90' 。 (2) 閃為 LBMC

=

45°

，所以，在三角形 6BMC 中 51 用餘弦定律，得

-c

-B

一叫

l-d

一ω

-M

一nn -4 凡

一間

-DU -aAz

--d

一側

百 =j(d±JIZ) 互(應取正號)。

進一步得

CF= 市一百 =-LEE-l 五=

.J

2

2 I

J2

+Mτ lτ J于一 l τ

J2

4

..~ 2"~ 4"~

CF

: CM

=

(17

-I) :

2 。

(6)

二、第二區(台北區)複賽試題(二)

(一)

72°

0

(二)主(三)

25

0

12

-1

(四 )EG 或 2α( 五)了(六) a 三五二

(七)一

6!

參、

一、第四區(新竹區)複賽試題(一)

I.令 A' 為 A (2 ， 5) 對直線 y=x 的對稱點，即

A'=(5

,

2)

，則在直線 y=x 1二任意但市 P ，恆有 AP=

A'P

，且 A' 恰好在直線 2x-5y士。上。若 Q 為 P 在直線 2x-5y=OJ·.的垂足，則 AP

- PQ

=

A'P - PQ

=

A'P - PQ

三三 O. 因此，使得 AP-PQ=O 為最小，此即

A'=Q 。故 P 點為商品泉 5x+2y=29 與直線 y=x

29

的交點。因此，可得 P 的坐標為(一，一)。

7

2. 我們將證明所求的解為 (I ，的， (k可 k+1

),

(k

2

,k)

，其中 k 為任意的正整數。注意:

至二主主 l 之充要條件為“-I )(α+I-b) 這 O

ab+1

(

i) 當 a=1 時 'b 可為任意的正整數約經檢驗可知徊，

b)

=

(I ，的為滿足條件的解，其中 k 為任意的正整數。

(ii)

當 α 全 2 時

,

I

三三

b

三三 α+10 若 b=α+1

'

則經檢驗可知徊， b)=阱， k+1 )為滿足條件的解，其中 k 為任意的正整數。若 69 一

l 封封，令 41=m ，目II

。b+1 a2_{+b 三 (ab+1)m 三 abm+m.} 於是叫得 'm 三 b

(mod

a) 。故可令 m三aq+b' 其中 q 昂，非負整數:亦即 a2_+b三

(ab+l)(aq+b)。化簡可得 a=abq+q+b

2_ο[

大

j

此，

比較兩邊大小

wJ知 :q二，0 '且 a=b20

_經檢驗，

(a司的 =

(k

2

,

k) 也是滿足條件的解，其中 k 為任意的正整數。 3.(a) 廿二意 a\ 司肉， Q3 ，"'， a峙中有 24 個偶數，每一偶數在計算((

1)+

f

(2)+···+

f

(48)之不LJ 巾各重複了 16 次，因此，

f'(

I

)+((2)+"

'+f(

48)三24·16=384.於是，吐l 算幾不等式，可得吋/缸。。 \-Ill-l/ 卅一 8 gt-A 『令、 d 一 /rill--L\ 、、 alfil----1 ，/

n

fIJ

判寸行

-OE ---4 斗 /'， lIll-ll1 、\ <-H J/

的HH

(b) 若每個 ((k) =

8

'則證畢:若有個

f(k)8*

' 則由 (a)一口J 知:必有令作且 m ，

n

{吏

fim)

<

8

<{en) 。不失-般性，可設 m

<n

0 注意:對任- k' 恆有 If(k+ I) 內的戶 O 或 1 0 故必存在-

kE{m+l

,

m+2 ，'" 、 n-l} 使得 {(k)

= 8

0 (此為整數集上離散型的中間個定理) 二、第四區(新竹區)複賽試題(二)

18 (l) .

=

49 (2)26

5-2

、 -Y 吋‘ J J6 •• 、