數學測驗之網絡分析

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文

指導教授：楊志堅 博士

數學測驗之網絡分析

研究生：宋方琦 撰

致謝

這段時間一路走來真的相當的不容易，除了碩士班的課，因為修教育學程的 關係還要上教程的課，實在是辛苦，期間還要煩惱投稿的事，這過程實在辛酸， 但是真的很感激我的指導教授楊志堅老師，總是給予我正向的力量以及支持，實 是用心良苦，在我有所迷惑時總是能用引導的方式啟發我思考，幫助我解決問題， 真的很敬佩我的指導教授，由衷感謝，也很慶幸我能當老師的學生。 還有要感謝口委張碧峰老師、張曉昀老師、楊育儀老師，能針對我的論文給 予寶貴的意見以及不同面向的看法給予指教，真的相當感謝。 接著要感謝的是黃中興主任，啟發我想就讀研究所的思緒，以及任何問題都 能為我剖析的相當精確以及寶貴的建議。 接著要感謝的是良庭學長，學長就像是實驗室的守護者一樣，如果隨時有任 何問題不懂，都可以到實驗室找到學長幫忙解答迷津，實是精神上的一大鼓勵。 還有要感謝的是佳哲學長，有些研究上以及投稿的問題，請教學長，學長都相當 有經驗的給予方向以及分享該如何進行，真的很感謝。 最後要感謝我的母親，在我讀研究所這期間，願意支持我，讓我有這築夢的 機會。 方琦 2013.12.08

摘要

測驗數學能力時所使用之應用題型的計算題，其題目文字敘述的複雜度有可 能是影響的關鍵，如果題目敘述的複雜度高，部分學生受限於認知發展的程度， 無法用想像的方式在腦中勾勒出解題圖像，這使得題目原本是在測試計算能力， 反而參雜測量另一向度的能力表現，但要如何來判定題目的複雜度是本研究定義 的重點，主要以社會網絡分析法來區分數學文字題測驗之文字關係、複雜度。 本研究利用社會網絡概念，採用UCINET社會網絡分析程式，以TIMSS (Trends in Mathematics and Science Study) 2011的數學四年級題目為基礎，將中、英 文題目資料轉換成矩陣後代入社會網絡分析程式執行，以計算網絡複雜度，以中 文(台灣)及英文(美國)的題目複雜度和其通過率做比較分析，以試題反應理論為 基礎可以有系統的解釋測驗資料。 研究發現美國學生表現起伏較大，而不管是中文或是英文題目，結果仍然能 說明題目的文字複雜度對通過率有者一定程度上的影響，其中以網絡分析中的中 心性指標能明顯的找到關聯，而對於題目的設計上是否良好可以利用結構洞指標 來判斷。設計題目時應該注意去除其它複雜因素的影響，文字的敘述若是種干擾， 應儘可能去注意此等變因產生的影響。 關鍵字：社會網絡、數學文字、結構洞、中心性

Abstract

This research aims to study the language complexity of mathematical word problems. The word choice and syntax of word problems might affect the actual performance of examinees. The performance of testers might be limited by one’s cognitive capacity on understanding complex language. Students are not able to picture the concrete graphs while encounter mathematical problems. By the usage of social network analysis, the influence of word choice will be analyzed in this study.

The research takes the concept of social networking and studies on the math problems of four graders, TIMSS (Trends in Mathematics and Science Study) 2011. By running through UCIENT program, the Chinese and English mathematics problems were first transferred into matrix then programmed into social network system to estimate the complexity of calculating network, complication of problem, passing rate and explain the reaction to problems base on outcome data.

The research shows that the Mathematical performance of American students has larger variation than Taiwan students. The complexity of problems’ description has certain degree of influence on the passing rates. Throughout the centrality indicators of network analysis, the association of word choice and mathematic performance can be found significantly; as for evaluating the appropriateness of a mathematics problem, indicators from structural holes can be used for judging the design of the problem. In sum, if the choice of problem’s language will impact the performance of testers, then problem designer should reduce

the effects of complex factor, and include the possible influence of each variants might bring to the result and adding further focus while choosing the appropriate language for a mathematics problem.

目錄

摘要………I Abstract………II 目錄………IV 表目錄………V 圖目錄………V 第一章 緒論………1 第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………2 第二章 文獻探討………3 第一節 網絡分析………3 第二節 網絡分析中的測量指標………3 第三節 TIMSS 2011………7 第四節 數學文字題………8 第三章 研究方法………9 第一節 研究程序………9 第二節 數學文字題資料轉換………9 第三節 網絡分析指標………12 第四章 研究結果………21 第一節 程度中心性和通過率比較………21 第二節 接近中心性和通過率比較………22 第三節 中介中心性和通過率比較………23 第五章 結論與建議………25 參考文獻………28

表目錄

表 3-2-1 試題 M031313 之關係矩陣………11

表 3-3-1 距離矩陣表………19

表 3-3-2 可達距離矩陣表………19

圖目錄

圖 2-2-1 Structural Holes and Weak Ties………6

圖 3-2-1 試題 M031313 內容及網絡圖………11 圖 3-3-1 試題 M031313 NetDraw 網絡圖………12 圖 3-3-2 UCINET 之 Density 輸出結果………13 圖 3-3-3 UCINET 中心性計算輸出結果………14 圖 3-3-4 UCINET 結構洞計算之輸出結果………17 圖 3-3-5 UCINET 計算可達距離矩陣的密度輸出結果………20 圖 4-1 程度中心性和中、英文國家試題通過率比較………21 圖 4-2 接近中心性和中、英文國家試題通過率比較………22 圖 4-3 中介中心性和中、英文國家試題通過率比較………23 圖 5-1 題目 M031313 重新設計之文字結構改變網絡圖………26

第一章 緒論

第一節 研究動機

在求學階段及實際接觸學生的教學過程中，計算數學題目時，單純四則運算 列式會計算，但是如果同樣的計算以應用題的方式來呈現題目時，學生反而變得 不會算了；這種情況下，是否代表著在詴卷題目的設計上，加入了一些與計算無 直接關聯性的複雜變因，因為這些複雜因素的影響，反而變成無法測出真正所要 測得的數學運算能力，使得結果無法真正反映受詴者的真實計算能力？所以在討 探學生的表現時也應考量到其他因素，若能同時經由對受測整體的隱藏類別分析 (Latent Class Analysis，簡稱 LCA)，則測驗的敏感性與特異性也可以因而得知 (楊志堅、劉湘川、楊志強，1999)。 參閱相關文獻與研究資料後發現，研究論點在探討數學成績表現時，較多以 受詴者的語文能力不佳進而影響到數學成績表現來解讀，但筆者卻認為中文能力 和數學能力表現不能直接連結，中文能力較佳的受詴者亦有可能在數學能力上表 現不佳，這其中絕對有探討的空間，因為成績也有可能受其它變因影響如：社會 背景、動習動機、老師的教學能力以及題目敘述複雜度等因素；因此筆者認為測 驗數學能力時所使用之應用題型的計算題，其題目文字敘述的複雜度有可能才是 影響的關鍵，張景媛(1994)說明學生會受整個文字題的複雜度的影響而對數學文 字題產生錯誤概念。林碧珍(1989）探討學生在解題歷程中的解題表現，發現數 學高程度以及低程度學生在解數學文字題時的歷程有所差異，低程度學生通常能 朗讀題目，但不了解題意，也無法擬出解題策略，因此在建構解題策略時常依賴 關鍵字來解題。羅綸新與劉宛枚(2012）也表示學童閱讀題目時常因看不懂文字 敘述、忽略重要關鍵字或是無法掌握整個題目情境，以致影響解題。 國際數學與科學教育成就調查在於了解各國學生的成就差異，其中主要的數

學能力表現，因為同樣的題目，但經過不同國家的翻譯，使用手冊(TIMSS 2011 User Guide for the International Database)上雖有有簡單陳述經過一些翻譯 後的驗證手段，保證內容的意義一樣，雖然文字描述上的語意不會差太多，但並 沒有做語法結構的詳細分析，也就是說意思上是一樣，但結構上來看，是不是某 些語言比較優勢，某些語言比較詰屈聱牙，會不會因為翻譯之後的文字敘述複雜 度差異而導致影響到解題，這是值得思考的問題。

第二節 研究目的

學生有可能看得懂文字，但因為題目敘述的複雜度高，部分學生受限於認知 發展的程度，無法用想像的方式在腦中勾勒出解題圖像，這使得題目原本是在測 詴計算能力，反而參雜測量另一向度的能力表現。探討數學能力表現時，應注意 題目敘述複雜度對數學能力的表現是否有顯著影響，但要如何來判定題目的複雜 度是接下來研究定義的重點，本研究主要以社會網絡分析法來區分數學文字題測 驗之文字關係、複雜度。

第二章 文獻探討

本研究會以社會網絡分析法中的各項指標來解讀數學文字題的文字結構關 係、複雜度，本章將依各項指標做相關文獻的說明，也會解釋各項指標在數學文 字的關係。

第一節 網絡分析

社會網絡分析方法是一門跨領域的方法學，理論的背景源於數學、統計學、 計算方法及社會心理學等領域。分析方法的假設是植基於互動中單位間關係的重 要性。因此，社會網絡分析取向研究的理論、模式及應用都以關係概念或歷程的 方式來表達(劉賢文、王思峰，2012)，因此可依此關係概念來分析數學文字題其 文字結構。一團體人群間特定連結型式，並認為連結型式的特質，可以用來解釋 網絡內行動者的社會行為，後來網絡被應用於社會科學之中，用來研究人與人之 間人際關係的複雜關係，最早提出「社會網絡」最早是源自於社會科學。社會網 絡主要的構成三要素為行為者(Actors)、關係(Relationship)、連帶(Tie)(陳以 明，陳蜜媛，2011)，本研究行為者會以節點，連帶會以連結來表示。

第二節 網絡分析中的測量指標

一個網絡裡，含有節點、連結與彼此間的關係，一個網絡的形成，節點的分 佈情形，彼此如何互相影響，如何組織成網絡在網絡分析中有著不同的測量指標， 以下本將回顧本研究中會涉及到的網絡分析指標之文獻。

壹、密度(Density)：

密度測量提供有關群體連接程度的指標。一個網絡圖的密度通常定義為所有 連線數值總和除以所有可能連線的總數，亦即，數值資料的密度定義為在所有可 能連線中，現存連線的平均強度。(陳世榮，2013)，密度高代表節點間的連結數 目多，可解釋成數學文字的組合數目多，一旦文字間的組合數越高，相對可以運 用的計算方式就更多，因此，對題意的理解上需更加清晰，不然容易誤判而造成 解讀題意所列的運算式錯誤。

貳、中心性(Centrality and Power)：

一、程度中心性(Degree Centrality)： 程度中心性愈高的節點，在網絡分析中代表比其他節點更為突出，也就是該 節點在網絡中具有重要程度，表示在網絡中占據愈重要的角色(楊志堅、蔡良庭、 張碧峰，2013)，表示其在網絡中和較多的節點有關連，具有較高中心性的節點 其在網絡中擁有的影響力也較高。程度中心性高表示節點相依的程度高，在數學 文字上可解釋為文字的相依程度高，數學題目文字的理解上邏輯較直接，而點度 低表示節點相依的程度低，數學題目在理解上因文字字詞間較鬆散，因此理解上 較不易。 二、中介中心性(Betweenness Centrality)： 中介中心性是由 Freeman (1979) 年所提出一中心性測量概念，證明了在星 形網絡中的中介中心性其最大值將會落在中心點。個人在人類溝通的結構特性網 絡中其所在，衡量一個人是否佔據了在其他兩人聯絡的中介位置，汪丹(2008)表 示中介中心性用於測度個體對資源控制的程度算法。一個網絡中每兩兩成員的互 動必頇透過某行動者的中間介紹，中介性指數較高的行動者，其引導資訊資源流 通的機會也較多，亦即佔據了操縱資訊資源流通的關鍵性位置(任慶宗、劉士銘、 尹靖遠，2005)。中介性高的節點表示愈多其他節點依賴該節點而形成連接，在

數學文字題上可解釋為該文字較具關鍵性，陳玟樺(2008)表示關鍵字解題雖為學 生常用之解題策略，但卻不見得是有效的解題策略。因此數學題目在關鍵字的理 解上需較具心思，如果關鍵字不理解那可能導致扭曲了整道題目的題意而無法解 題。 三、接近中心性(Closeness Centrality)： 衡量出社會網路的全域中心性，並藉此判斷一個人與其他人的接近程度，與 他人距離越短，接近中心性愈高，表示其能較快速取得資訊(任慶宗、劉士銘、 尹靖遠，2005) 。接近性高表示節點間的連接較直接，較少透過其他節點來連結， 在數學文字上可以解釋成一段文字的組成詞句較短較易理解，而接近性低表示節 點間的連接需多透過其他節點的連結，也就是說一段文字的組成可能透過較多的 字詞來連接，如此一來理解上就較困難，所以需花較多的時間。接近程度越高越 有助於理解，接近性值介於 0 跟 1 之間，越接近 1 表示接近程度越高。 四、特徵向量(Eigenvector)： 在上述不同構面的依據就稱作特徵值，而這種數值的集合就稱作特徵向量。

參、結構洞（Structural Hole）

：

Burt (1992) 提出結溝洞的概念，如圖 2-2-1，節點 A 和節點 C 之間存在著 結構洞，節點 B 和節點 C 之間存在著結構洞，節點 A 和節點 B 之間存在著結構洞， 這些結構洞是因為無法直接與對方取得聯繫，需透過 YOU 這個節點，也因此造成 YOU 這個節點位置的重要性，也因此 YOU 可取得高度的信息，取得優勢。

圖 2-2-1 Structural Holes and Weak Ties (Burt, 1992) 此概念說明了於缺乏關聯或對立的社會網絡系統中，結構洞的形成等同是一 個緩衝器。透過此緩衝器進而促成雙方訊息得以流動與連結，在結構間具有傳遞 功能的仲介者（broker），因仲介者所承載的訊息穿流使得結構對立的雙方能進 一步產生連結與互動(馬財專，2007)。這是一位執行者可以操弄以獲利的空間， 一個網絡間的「好位置」(任慶宗、方顯光、馮先覺，2009)。而這些可充當橋樑 的仲介者通常是弱連結，這是 Granovetter (1973) 所提到寶貴的弱連結概念能 解釋的。 一、 有效規模(Effective Size)： 代表讓節點與網絡中的連結其關係都是有用的，有效規模大表示節點存在網 絡中的效用是大的，也就是說如果該節點的有效規模為網絡中最大，代表該題目 的重點落在該節點文字，但如果該文字並非該題所要問之重點，則表示該題文字 結構設計並不好，而有效規模低表示節點的存在價值較低，在數學文字題中可解 釋成，如果該字詞的存在價值低，表示對該題解題的影響力小，就算受測者不理 解該文字的意涵仍能正確解題。

二、效率(Efficiency)： 效率越高，代表每一連結的影響都是大的，在數學文字題可以解讀成每一個 文字的連結都是重要的，在解讀題目時不能有遺漏字詞，而效率低代表著一定程 度上有著多餘的連結，可以解讀成存在多餘的文字闡述使得文字分割的片段變多， 干擾了受詴者的思考，使得受詴者對題意的理解增加難度。 三、侷限性(Constraint)： 自我連接到網絡那些相互連結者的程度，在網絡中的依賴而使得自主性下降 所受到的限制。在數學文字中，如果節點為代表數量的字詞時，其節點的侷限越 大，代表要將此數列為運算式時，其建構上較為複雜，反之，節點的侷限越小， 代表其建構數學運算式時較單純。

肆、關聯度：

關聯度是指網絡中獨立途徑的數目。獨立途徑指的是，除了起點和終於一樣 之外，其餘點都不同的途徑。兩點之間，獨立途徑愈多，關聯度就愈大。關聯度 愈大，可達性的程度就愈高。關聯度高的網絡特性是：分權、訊息分散、行動者 平等、不易受到個別點的影響。(榮泰生，2013)，關聯度高的網絡其中一樣特性 為訊息分散，就數學文字題的層面上來解讀，訊息分散將導致受詴者對題目的理 解更費時更難組織出題意，這使得解題更為困難。

第三節 TIMSS 2011

國際數學與科學教育成就調查 2011（Trends in International Mathematics and Science Study 2011, 簡稱 TIMSS 2011)為我國第四次辦理國際數學與科學 教育成就趨勢調查。我國於 1992 年申請加入國際教育學習成就調查委員會（The

International Association for the Evaluation of Education Achievement, 簡稱 IEA），現已成為正式會員，為我國積極參與國際性研究計畫，增添一個有 利的管道。本調查旨在於評量各國學生數學與科學領域上學習成就的發展趨勢、 了解各國學生數學及科學學習成就及其與各國文化背景、研究各國教育制度的差 異等影響因子之相關性，並進一步作國際間之比較分析，以幫助各國提昇其教學 與學習。目前全球有約 80 個國家參與此研究計畫。(國立台灣師範大學科學教育 中心，2011)

第四節 數學文字題

數學文字題的最大特點就是利用文字的方式來描述數學的概念及數字的關 係，也因此數學文字題的解題，除了涉及基本的數學能力以外，尚包含語文的理 解和問題解決的運作歷程(黃志強，2005)。

第三章 研究方法

介紹本研究之研究程序以及資料來源、數學文字題目資料的轉換方式，以及 使用 UCINET (UCINET Version 6.489 為 Borgatti, Everett and Freeman 撰寫 之程式)之網絡分析指標的內容與細節。

第一節 研究程序

本研究的程序會先收集 TIMSS2011 台灣以及美國的四年級數學詴題內之數學 文字題，將數學文字題目轉換成關係矩陣，以轉換完成的關係矩陣資料代入 UCINET 程式執行，運算出各種網絡分析指標，依其計算出之網絡分析指標來解釋 數學文字題之文字關係、複雜度再和該題之通過率做比較，以詴題反應理論為基 礎可以有系統的解釋測驗資料。

第二節 數學文字題資料轉換

將所採用之數學文字題目以字詞為單位劃分，每一個字詞形成網絡中的一個 節點，字詞間存在著依附關係，而依附關係判斷的原則依以下兩項。

壹、 語意原則：

以如果拿掉其中一個字詞，仍然能了解語意，能保留下來的字詞即為主要被 依附方。例如：一艘輪船，拆為[一艘]、[輪]、[船]，[輪]拿掉後為一艘船，仍 然能理解，即[輪]依附於[船]。

貳、 詞性原則：

依詞性的來判斷依附關係。 一、副詞依附於名詞。 例如：他必頇買，拆為[他]、[必頇]、[買]，[必頇]依附於[他]。 二、 形容詞依附於名詞。 例如：幾桶，拆為[幾]、[桶]，[幾]依附於[桶]。 三、名詞依附於動詞。 例如：船上有乘客，拆為[船]、[上]、[有]、[乘客]，[船]依附於[有]，[乘 客]依附於[有]。 四、方位詞依附於其他詞組成方位詞組。 例如：船上，拆為[船]、[上]，[上]依附於[船]。 依其依附關係的連結，一道題目即組織成一個網絡圖如圖 3-2-1 即依題目所 繪之網絡圖。再依所繪之網絡圖建立關係矩陣，而關係矩陣即是將字詞間的依附 關係以 0、1 來表示，表 3-2-1 為圖 3-2-1 之題目所轉換之關係矩陣，其中 D2 的 值為 1，表示列的字詞[一艘]依附於行的字詞[船]。

圖 3-2-1 詴題 M031313 內容及網絡圖

第三節 網絡分析指標

壹、密度(Density)：

L/n(n-1) (公式 1) (榮泰生， 2013) L(Line)代表圖中實際存在的連結數。該測度的取值範圍為[0,1]，一個完備圖的 密度為 1。 n 代表所有節點總數 以本研究中詴題 M031313 為例，如圖 3-3-1，存在的連結數為 L=18，而所有 節點總數 n=19，代入式中為 18/19(19-1)=0.0526，圖 3-3-2 為 UCINET 之 Density 輸出結果。

UCINET 程式執行方式 Network > Cohesion > Density > Old Density Procedure

圖 3-3-2 UCINET 之 Density 輸出結果

貳、中心性

UCINET 程式執行方式 Network > Centrality and Power > Multiple Measures(Old) 一、程度中心性(Degree Centrality)：與一點相鄰個數的數量佔網絡中所有節 點之比例 1 1 n ij j X n  



(公式 2) (李來錫、張順評， 2013) 1 n ij j X 



代表與節點 i 相鄰的節點數量之總合 n 代表所有節點總數 以本研究中詴題 M031313，如圖 3-3-1，以節點[船]為例，與之相鄰的節點 為[總共]、[一艘]、[上]、[問]、[輪]、[上]、[有]，總合為 7，所有節點總數 n=19，代入式中為 7/(19-1)=0.38889，在 UCINET 中輸出值以%表示為 38.889， 圖 3-3-3 為 UCINET 之輸出結果。

圖 3-3-3 UCINET 中心性計算輸出結果 二、接近中心性(Closeness Centrality)：節點到他點的距離總和。 1 1 n is s n X  



(公式 3) (李來錫、張順評，2013) n 代表所有節點總數 1 n is s X 



代表網絡中所有節點到節點 i 最短距離之總合 以本研究中詴題 M031313，如圖 3-3-1，以節點[乘客]為例，從最左上沿逆 時針方向依序，節點[多少]到節點[乘客]最短距離為 6、節點[人] ：5、節點[有] ： 4、節點[總共] ：3、節點[一艘] ：3、節點[上] ：3、節點[請] ：4、節點[問] ： 3、節點[船] ：2、節點[輪] ：3、節點[上] ：3、節點[有] ：1、節點[位] ： 2、節點[218] ：1、節點[與]：1、節點[水手]：2、節點[19]：3、節點[個]：4，

所 以 網 絡 中 所 有 節 點 到 節 點 [ 乘 客 ] 最 短 距 離 之 總 合 為 6+5+4+3+3+3+4+3+2+3+3+1+2+1+1+2+3+4=53，代入式中為(19-1)/53=0.33962， 在 UCINET 中輸出值以%表示為 33.962，如圖 3-3-3 UCINET 之輸出結果。接近性 值介於 0 跟 1 之間，越接近 1 表示接近程度越高。 三、中介中心性(Betweenness Centrality)：衡量一節點有多大程度上在網絡中 位於其他任兩節點中間。 ( ) / ( 1)( 2) / 2 n n jk i jk j k j k X n X n n    



, i≠j≠k 公式(4) (Freeman, 1979) n 代表所有節點總數 ( ) jk i X n 代表節點 j 透過節點( )n_i 到節點 k 之最短路徑數 jk X 代表節點 j 到節點 k 之最短路徑數 ( ) / n n jk i jk j k j k X n X  



代表所有節點 j 到節點 k 且通過節點n_i之最短路徑佔節點 j 到節 點 k 之最短路徑數之程度的總合；也就是說透過節點n_i所連結之節點 j 到節點 k 的最短路徑數佔了所有節點 j 到節點 k 的最短路徑數多大比例。 以本研究詴題 M031313，圖 3-3-1 中之節點[船]為例，節點[多少]透過節點[船] 連結到節點[有]的最短路徑有 1 條：[多少]→[人] →[有] →[總共] →[船] → [有]，而節點[多少]連結到節點[有]的最短路徑也是只有 1 條：[多少]→[人] → [有] →[總共] →[船] →[有]，所以為 1 / 1 = 1，以下路徑略，[多少]到[乘 客]：1 / 1 = 1、[多少]到[與]：1 / 1 = 1、[多少]到[水手]：1 / 1 = 1、[多 少]到[19]：1 / 1 = 1、[多少]到[個]：1 / 1 = 1、[多少]到[218]：1 / 1 = 1、 [多少]到[位]：1 / 1 = 1、[多少]到[上]：1 / 1 = 1、[多少]到[輪]：1 / 1 = 1、[多少]到[問]：1 / 1 = 1、[多少]到[請]：1 / 1 = 1、[多少]到[上]：1 / 1

= 1、[多少]到[一艘]：1 / 1 = 1，總合為 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 14， 以下相同之計算方式略，節點[人] =14、節點[有] =14、節點[總共] =14、節點 [一艘] =13、節點[上] =12、節點[問] =10、節點[請] =10、節點[輪] =9、節 點[上] =8，代入公式為(14 + 14 + 14 + 14 + 13 + 12 + 10 + 10 + 9 + 8 ) / [(19-1)(19-2) / 2]= 118 / 153 = 0.77124，在 UCINET 中輸出值以%表示為 77.124， 如圖 3-3-3 為 UCINET 之輸出結果。

參、結構洞：

UCINET 程式執行方式 Network > Ego Networks > Structural Holes

一、有效規模(EffSize)：將自我所擁有的相鄰者數目減去相鄰者間連結的平均值。 1 1 1 1 m m jk n j k ij n j ij j X X X     







, j≠k 公式(5) n 代表所有節點總數 ,m 代表可以透過節點 j 或 k 連接到節點 i 的總數 1 n ij j X 



代表與節點 i 相鄰的節點數量之總合 1 1 m m jk j k X  



代表與節點 i 相鄰之節點 j 其所連結之節點 k 數量之總合(不包含節點 i) 以本研究中詴題 M031313，如圖 3-3-1，以節點[船]為例，與[船]相鄰之節 點為[總共]、[一艘]、[上]、[問]、[輪]、[上]、[有]總合為 7，而與節點[船] 相鄰之節點 j 其所連結之節點 k 數量為零，代入式中為 7 – 0 / 7 = 7，如圖 3-3-4 UCINET 之輸出結果。

圖 3-3-4 UCINET 結構洞計算之輸出結果 二、效率(Efficiency) ：有效規模中，平均每一連結所佔的影響力。 Efficiency = EffSize Degree 公式(6) 以本研究中詴題 M031313，如圖 3-3-1，以節點[船]為例， Degree 為與[船] 相鄰之節點[總共]、[一艘]、[上]、[問]、[輪]、[上]、[有]總合為 7，代入式 中為 7 / 7 = 1，如圖 3-3-4 UCINET 之輸出結果。 三、侷限(Constraint)：自我連接到網絡那些相互連結者的程度，在網絡中的依 賴而使得自主性下降所受到的限制。 Ci= ij j C



公式(7-1) Cij= 2 ( _{ij ik kj}) k p 



p p , k≠i,j 公式(7-2) (Burt, 1992)

ij C 代表節點 i 受到節點 j 的限制程度 ij p 代表節點 i 連結到節點 j 所佔網絡的比例 ik kj k p p



代表節點 i 連結到節點 j 可透過其它相鄰之節點 k 所佔網絡比例之總合 以本研究中詴題 M031313，如圖 3-3-1，以節點[船]為例，對節點[船]而言， 節點[總共]的限制程度為





2 1/ 7 0 =0.0204，節點[一艘] 的限制程度為



1/ 7 0



2 =0.0204，節點[上] 的限制程度為





2 1/ 7 0 =0.0204，節點[問] 的限制程度為





2 1/ 7 0 =0.0204，節點[輪] 的限制程度為



1/ 7 0



2=0.0204，節點[上] 的限制 程度為





2 1/ 7 0 =0.0204，節點[有] 的限制程度為



1/ 7 0



2=0.0204，所以節點[船] 的所有限制程度為 0.0204 + 0.0204 + 0.0204 + 0.0204 + 0.0204 + 0.0204 + 0.0204 = 0.143，如圖 3-3-4 UCINET 之輸出結果。

肆、關聯度

榮泰生(2013)提出計算關聯度需三個步驟： Step.1 先將題目之關係矩陣轉換成距離矩陣。 Step.2 將距離矩陣轉換成可達距離矩陣。 Step.3 計算可達距離矩陣的密度。 以下將依本研究詴題 M031313 為例，計算關聯度。

Step.1 UCINET 程式執行：Network > Cohesion > Geodesic Distance(old) 輸入詴題 M031313 之關係矩陣，輸出之距離矩陣如表 3-3-1，可參考圖 3-3-1， 以節點[船]為例，節點[一艘]到節點[船]的距離為 1，節點[請] 到節點[船]的距 離為 2。

表 3-3-1 距離矩陣表

Step.2 UCINET 程式執行： Network > Cohesion > Reachability

將輸出之距離矩陣(表 3-3-1)轉換成可達距離矩陣(只表明兩點間是否可達)，如 表 3-3-2。

Step.3 UCINET 程式執行：Network > Cohesion > Density> Density Overall 計算表 3-3-2 可達距離矩陣的密度，由如圖 3-3-5 為 UCINET 之輸出結果。

圖 3-3-5 UCINET 計算可達距離矩陣的密度輸出結果

因為計算關聯度最後的步驟為計算可達距離矩陣的密度，而本研究之詴題網 絡在轉換至可達距離矩陣資料皆為 1，故可達距離矩陣的密度為 1。

第四章 研究結果

本章將數學文字題以網絡分析所計算之各項指標和中文及英文國家之通過 率做比較，提出各網絡分析指標和通過率關係之觀點。

第一節 程度中心性和通過率比較

圖 4-1 程度中心性和中、英文國家詴題通過率比較 圖 4-1 為程度中心性和通過率比較，中文和英文的國家，程度中心性皆和通 過率無明顯的影響。 但是英文國家的題目，其程度中心性起伏較大，通過率的起伏也大，起伏大 可解讀成是表現較不穩定。 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 5 10 15 通 過 率 程度中心性 中文國家試題 英文國家試題

第二節 接近中心性和通過率比較

圖 4-2 接近中心性和中、英文國家詴題通過率比較 圖 4-2 為接近中心性和通過率比較下，不論中文和英文國家，接近中心性越 低的題目，其通過率皆相對越高。 接近中心性高表示節點間的連接較直接，較少透過其他節點來連結，也就是 說在數學文字上來看，一段文字的組成詞句較短照理來說應較易理解，但因為接 近中心性越高，但組織成網絡的數學文字題的節點數並不少，因此會有大多數的 節點都相鄰於一起，這樣的文字結構將造成可組織的文字組合數變多，要在組合 數多的情況下思考將文字拼湊成可理解的題意，文字間的關係自然變得複雜，這 反而造成了要釐清題意變得相對困難，通過率相對也較低。 M031313 M031185 M051305 M041098 M031313 M031185 M051305 M041098 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 10 20 30 40 通 過 率 接近中心性 中文國家試題 英文國家試題

第三節 中介中心性和通過率比較

圖 4-3 中介中心性和中、英文國家詴題通過率比較 圖 4-3 為中介中心性和通過率比較下，中介中心性越高的題目，該題的通過 率也越高，這種情況在中文和英文的國家皆有。 如果一個網絡圖的平均中介性高，表示節點跟節點的距離不會太大，也就是 說節點間可能只相鄰一個節點，而這種特性在數學文字題的網絡中，可解讀成每 一句有意義的句子可能只需要三個片段的單字即可理解，不頇花費太多時間去理 解以及組織題意，所以中介性高的數學文字網絡其通過率相對提高。 詴題編號 M041098 其英文國家詴題之網絡分析指標和通過率比較下，無法明 顯的解釋其因素，透過結構洞的指標比對文字結構判斷，此題在文字結構上的重 點也確實符合了所要問的題意重點，但是第 4 題的通過率在中文及英文國家皆偏 低，因此研究者針對題目 M041098 去深入了解，發現此題正可以說明到研究者所 提到學生表現受到其它變因的影響，也就是社會背景及生活經驗，此題所設計的 情境是購買油漆，但一般國小四年級的學生是不會有使用到油漆的經驗，而且油 漆這麼重，家長是不會叫小孩去買的，而且此題目的設計是無法整除的，家長在 M031313 M031185 M051305 M041098 M031313 M031185 M051305 M041098 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0 5 10 15 20 25 30 通 過 率 中介中心性 中文國家試題 英文國家試題

教小孩都是以東西不要多買，夠用就好的理念去教導，在這情況下，此題第 3 個 答案所算的數值反而更接近正確解答，這可以合理解釋為什麼這題的通過率會是 較低的。 詴題編號 M031185 英文國家的通過率較低，而且在接近中心性指標較為離群， 可透過結構洞的指標來解釋，此題結構洞所含指標有效規模較高落在的節點也就 是文字結構重點並非落在該題所要問的題意重點，所以該題的文字結構設計並不 好，而影響到其通過率。

第五章 結論與建議

多餘的文字闡述以及不良的設計使得數學文字題其文字結構關係變得複雜， 讓受詴者對題意的理解增加難度，自然影響到解題效率，在這樣的情況下測出來 的成績是否能反映出受詴者的真實計算能力，是否將影響到測驗的效度，題目中 文字關係複雜度會影響到受詴者計算題目時的結果表現，則設計題目時應該注意 去除其它複雜因素的影響，文字的敘述若是種干擾，應儘可能去注意此等變因產 生的影響。尤其像是在 TIMSS 此等國際性測驗，更是要考量各個國家是在公平的 水平上，同樣的題目，不會因為翻譯後，造成文字敘述複雜度不同，因此受詴者 對題意的理解造成影響而使得真正所要測的能力有所誤差。 數學文字題學生的表現可能受到如社會背景、學習動機、教師的教學方式以 及題目敘述複雜度等因素影響，而排除那些在測驗前已無法改變之過程，唯一能 做的就是在測驗的設計上，將可能影響受詴者的題目敘述複雜度儘可能降低到最 小，而這些複雜度的衡量即是本研究中透過網絡分析各種指標來解讀，此外在題 目文字結構上可依結構洞指標來判定該題文字所呈現的重點是否落在要題意要 問之重點，則可重新針對該文字敘述方式來改變文字結構，而使得重點落在實際 要問之題意重點，以本研究中詴題編號 M031313 為例，如圖 5-1 文字結構重點是 落在船，並非題意要問之重點，而在文字結構重新設計過後，可將重點確實落在 實際題意要詢問之重點多少人、191 水手、218 乘客。

一艘輪船上有 218 位乘客與 191 個水手。請問船上總共有多少人？

有 218 位乘客與 191 個水手在輪船上。請問總共有多少人在船上？

本研究利用網絡分析指標來解釋數學文字題各種文字關係結構之複雜度，可 看出文字關係、結構複雜確實對通過率有一定程度之影響，但對於學生個體間或 個體內之個別差異的尊重與關懷，乃從事教育工作者應有的基本態度。(楊育儀， 2012)是故應考量到學生間之個別差異，亦可能因此運用解題策略方式之不同而 有不同之解題歷程，在不同解題策略下，文字關係結構複雜度可能對學生的影響 力也有不同，這是數學文字題網絡分析指標的解讀下，有可能例外的因子。 研究者發現許多使用社會網絡分析方法的研究，大多數其研究內容仍然是屬 於地域性以及人際關係相關，但其實網絡分析可應用的範圍應該更加廣泛，因其 特質為可視每一筆資料間存在的關係，而依此關係為基礎可做相當豐富之分析， 而非只是單純的量的比較，所以只要是可利用此點特質之研究皆可，因此相當鼓 勵未來之研究者可採用此方法。

參考文獻

中文部份

任慶宗、方顯光、馮先覺 (2009)。團隊成員個體外顯特徵與內隱變項對知識創 新之影響－知識網絡結構洞的中介效果。華人前瞻研究，5 (2)，73-94。 任慶宗、劉士銘、尹靖遠 (2005)。網絡中心性與知識創新－知識資本之中介效 果。第三屆管理思維與實務學術研討會論文集。台北：銘傳大學。 汪丹 (2008)。结构洞算法的比较与测评。現代情報，28 (9)，153-156。 李來錫、張順評 (2013)。以社會網絡分析探討虛擬社群知識分享之回應結構。

Electronic Commerce Studies，11 (1)，79-99。

林碧珍 (1989)。國小學生數學解題的表現及其相關因素之研究(碩士論文，國立 臺灣師範大學，1989)。

陳以明、 陳蜜媛 (2011)，應用社會網絡分析法於 IC 產品設計之流程改善。資訊與管 理科學，4 (1)，1-29。

陳世榮(譯)(2013)。社會網絡分析方法 UCINET 的應用。高雄市：巨流。(Robert, A.H., & Mark, R., 2000)

陳玟樺 (2008)。國小六年級學生解一致性語言及不一致性語言數學文字比較題 之研究(碩士論文，淡江大學，2008)。 馬財專 (2007)。結構網絡的分析及其脈絡。政治科學論叢，33，1-42。 國立台灣師範大學科學教育中心 (2011)。國際數學與科學教育成就趨勢調查。 臺北市：作者。 張景媛 (1994)。數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究。國立台 灣師範大學教育心理與輔導學系教育心理學報，27，175-200。 黃志強 (2005)。閱讀與數學文字題解題歷程關係之探究。中華民國特殊教育學 會年刊，94，57-73。

楊志堅、蔡良庭、張碧峰 (2013)。以勝負網絡分析重新評估女子網球選手之歷 史地位。大專體育學刊，15 (2)，218-227。 楊志堅、劉湘川、楊志強 (1999)。貝氏隱藏式類別分析統計法在數學科教育評 量的應用。台中師院學報，13，1-14。 楊育儀 (2012)。從關係取向的生涯觀點探討生涯人際能力之適性發展。學生輔 導，10。 榮泰生(2013)。UCINET 在社會網絡分析 SNA 之應用。台北市：五南。 劉賢文、王思峰 (2012)，以社會網絡方法分析工作世界：科系就業樣態與職能 潛在通性的探索。人力資源管理學報，12 (3)，51-73。 羅綸新、劉宛枚 (2012)。個人化文本電腦輔助教學對國小代數文字題學習之影 響。課程與教學季刊，15 (1)，233-256。

英文部份

Burt, R. S. (1992). Structural holes : the social structure of competition. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.

Freeman, L. C. (1979). Centrality in Social Networks Conceptual Clarification. Social Networks, 1, 215-239.

附錄一 TIMSS2011 試題 M031313 中文

M031313 中文試題題目 資料來源：國立臺灣師範大學科學教育中心

附錄二 TIMSS2011 試題 M031313 英文

M031313 英文試題題目

資料來源：2011 TIMSS and PIRLS International Study Center,Lynch School of Education, Boston College, and International Association for the Evaluation of Educational Achievement

附錄三 TIMSS2011 試題 M031185 中文

M031185 中文試題題目 資料來源：國立臺灣師範大學科學教育中心

附錄四 TIMSS2011 試題 M031185 英文

M031185 英文試題題目

資料來源：2011 TIMSS and PIRLS International Study Center,Lynch School of Education, Boston College, and International Association for the Evaluation of Educational Achievement

附錄五 TIMSS2011 試題 M051305 中文

M051305 中文試題題目 資料來源：國立臺灣師範大學科學教育中心

附錄六 TIMSS2011 試題 M051305 英文

M051305 英文試題題目

資料來源：2011 TIMSS and PIRLS International Study Center,Lynch School of Education, Boston College, and International Association for the Evaluation of Educational Achievement

附錄七 TIMSS2011 試題 M041098 中文

M041098 中文試題題目 資料來源：國立臺灣師範大學科學教育中心

附錄八 TIMSS2011 試題 M041098 英文

M041098 英文試題題目

資料來源：2011 TIMSS and PIRLS International Study Center,Lynch School of Education, Boston College, and International Association for the Evaluation of Educational Achievement