第十一章 一元二次方程

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67

-第

一、一元二次方程

11.1

一元二次方程

我們已經學過一元一次方程的解法及其應用,現在來看下面 的問題: 要剪一塊面積是 150 cm2的長方形鐵片,使它的長比寬多出 5 cm,應該怎樣剪法? 要解決這個問題,就要求出鐵片的長與寬,我們可以設寬是 x cm,那麼長是x+5 cm。根據題意,得 ( 5) 150 x x+ = , 去括號,得 2 5 150 x + x= 。 上面這個方程的兩邊都是關於未知數的整式,這樣的方程是 一個整式方程。在這個整式方程中,只含有一個未知數,並且未 知數的最高次數是 2,這樣的整式方程叫做一元二次方程。 上面的方程,經過移項可以化成下面的形式: 2 5 150 0 x + x− = 。 任何一個關於 x 的一元二次方程,經過整理,都可以化成 2 0 ax + + =bx c (a≠0) 的形式。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 2 ax 叫做 二次項,a 叫做二次項係數;bx叫做一次項,b 叫做一次項係數; c 叫做常數項。一次項係數 b 與常數項 c 可以是任何實數,二次 項係數 a 是不等於零的實數。因為如果 a 等於零,那麼這樣的方 程就不是二次方程了。 【例】 把方程4 (x x+ =3) 5(x− +1) 8化成一般形式,並寫出它的 二次項係數、一次項係數及常數項。

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解 去括號,得 4x2+12x=5x− +5 8, 移項,合併同類項,得 4x2+7x− =3 0。 方程的二次項係數是 4,一次項係數是 7,常數項是 3− 。

1. (口答) 說出一元二次方程 2 2x + + =x 4 0 的二次項係數、一次項係數及常數項。 2. 寫出下列一元二次方程的二次項係數、一次項係數及常數 項: (1) 4x2+3x− =2 0; (2) 3x2− =5 0。 3. 把下列方程先成一元二次方程的一般形式,再寫出它的二次 項係數、一次項係數及常數項: (1) 2 3x =5x+2; (2) (x+3)(x− = −4) 6; (3) 3 (x x− =1) 2(x+ −2) 4; (4) 2 (2x−1)(3x+ =2) x +2; (5) (t+1)2−2(t−1)2 = −6t 5; (6) (y+ 6)(y− 6) (2+ y+1)2 =4y−5。

11.2

一元二次方程的解法

1. 直接開平方法 我們來解方程 2 4 x = , 因為 x 就是 4 的平方根,所以 4 x= ± , 即

(4)

69 -1 2 x = 、x2 = −2。 3 這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。 【例1】 解方程 2 25 0 x − = 。

解 移項,得 2 25 x = , 所以 25 x= ± , 即 1 5 x = 、x2 = −5。 【例2】 解方程 2 (x+3) =2。 分析: 原方程中x+3是 2 的平方根,因此,也可運用直接開平 方法來解。

x+ = ±3 2, 即 3 2 x+ = 或x+ = −3 2, ∴ x1 = − +3 2、x2 = − −3 2。 這就是說,如果一元二次方程的一邊是含有未知數的式子之 平方,另一邊是一個非負數,同樣可以直接開平方法來解。

用直接開平方法解下列方程: (1) x2 =256; (2) 4y2 =9; (3) 16x2−49=0; (4) t2−45=0; (5) 2 (2x−3) =5; (6) 2 (x+1) − =12 0。 3 通常用 1 x 、x 表示未知數為 x 的一元二次方程的兩個根。 2

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2. 配方法 我們已經解過方程 2 (x+3) =2, 因為方程中x+3是 2 的平方根,所以運用了直接開平方法來解。 如果我們把方程 2 (x+3) =2 的左邊展開並整理,就得 2 6 7 0 x + x+ = , 因此,要解方程 2 6 7 0 x + x+ = , 我們可以先把它化成 2 (x+3) =2 來解,化法如下:把方程 2 6 7 0 x + x+ = 的常數項移到右邊,得 2 6 7 x + x= − 。 為了使左邊成為一個完全平方式,在方程的兩邊各加上一次項係 數一半的平方。 2 2 2 2 6 3 7 3 ( 3) 2 x x x + + = − + + = 解這個方程,得 3 2 x+ = ± , 所以 3 2 x= − ± , 即 1 3 2 x = − + 、x2 = − −3 2。 這種解一元二次方程的方法叫做配方法。這個方法就是先把 常數項移到方程的右邊,再把左邊配成一個完全平方式,如果右 邊是非負數,就可以進一步通過直接開平方法來求出它的根。

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71 -【例3】 解方程x2−4x− =3 0。

解 移項,得 2 4 3 xx= 配方,得 2 2 2 2 4 ( 2) 3 ( 2) ( 2) 7 x x x − + − = + − − = 解這個方程,得 2 7 x− = ± , ∴ x= ±2 7 即 1 2 7 x = + 、x2 = −2 7。 【例4】 解方程 2 2x +5x− =1 0。 分析: 這個方程的二次項係數是 2,為了便於配方,可以先把 二次項係數化為 1,為此方程的各項都除以 2。

解 把方程的各項都除以 2,得 2 5 1 0 2 2 x + x− = 移項,得 2 5 1 2 2 x + x= 配方,得 2 2 2 2 5 5 1 5 2 4 2 4 33 5 16 4 x x x     + +  = +        = +     解這個方程,得

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5 33 4 4 x+ = ± , ∴ 5 33 5 33 4 4 4 x= − ± = − ± 即 1 5 33 4 x =− + 、 2 5 33 4 x = − − 。

1. 用適當的數填空: (1) x2+6x+ = +(x )2; (2) x2−4x+ = −(x )2; (3) 2 2 3 ( ) x + x+ = +x ; (4) 2 5 2 ( ) 2 xx+ = −x ; (5) x2+px+ = +(x )2; (6) x2 bx (x )2 a + + = + 。 2. 用配方法解下列方程: (1) x2−6x+ =4 0; (2) 2t2− − =7t 4 0; (3) 3x2− =1 6x。 3. 公式法 現在我們用配方法解一般形式的一元二次方程 2 0 ax + + =bx c (a≠0)。 因為a≠0,所以就可以根據方程的同解原理,把一元二次方 程 2 0 ax + + =bx c 的兩邊都除以二次項的係數 a,得 2 0 b c x x a a + + = 。 把常數項移到方程的右邊,得 2 b c x x a a + = − 。

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73 在方程的兩邊各加上一次項係數一半的平方,得 2 2 2 2 2 b b c b x x a a a a     + +  = − +      , 即 2 2 2 4 4 2 b ac b x a a −   = +     。 因為a≠0,所以4a2 >0,當b2−4ac≥0時,得 2 2 2 4 4 2 4 2 b b ac b ac x a a a − − + = ± = ± ∴ 2 4 2 2 b b ac x a a − = − ± 即 2 4 2 b b ac x a − ± − = 。 由此得到 一元二次方程 2+ + = 0 ax bx c (a0)的求根公式是 − ± − = 2 4 2 b b ac x a ( − ≥ 2 4 0 b ac ) 我們看到,一元二次方程ax2+ + =bx c 0的根是由係數 a、b、 c 確定的。因此,在解一元二次方程時,只要先把方程化成一般 形式,然後把各項的係數 a、b、c 的值代入求根公式,就可以求 得方程的根。 這種解一元二次方程的方法叫做公式法。 【例5】 解方程2x2+7x− =4 0。

解 這裡a=2、b=7、c= −4。 b2−4ac=72− × × − =4 2 ( 4) 81

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7 81 7 9 2 2 4 x=− ± = − ± × ∴ 1 7 9 1 4 2 x =− + = 、 2 7 9 4 4 x = − − = − 。 【例6】 解方程 2 2 2 2 x + = x

解 移項,得 2 2 2 2 0 xx+ = 這裡a=1、b= −2 2、c=2。 2 2 4 ( 2 2) 4 1 2 0 bac= − − × × = 2 2 0 2 2 x= ± = ∴ x1 =x2 = 2。 注意:這個方程裡有兩個相等的實根。 【例7】 解方程 2 1 0 x + − =x (結果精確到 0.001)。

解 這裡a=1、b=1、c= −1。 2 2 4 1 4 1 ( 1) 5 bac= − × × − = 1 5 2 x=− ± 。 利用電子計算器,得 5=2.236,所以 1 1 2.236 0.618 2 x =− + = 、 2 1 2.236 1.618 2 x =− − = − 。 這是所謂的「黃金數」。 【例8】 解關於 x 的方程 2 2 (3 2 ) 0 xa xa b+ − =b

解 整理原方程,得 2 2 2 3 (2 ) 0 xax+ aab b− = 這裡,可以看出 2 x 的係數是 1、x 的係數是 3a− 、常數

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75 -項是 2 2 2aab b− 。而 2 2 2 2 2 2 ( 3 ) 4 1 (2 ) 4 4 ( 2 ) a a ab b a ab b a b − − × × − − = + + = + 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ) 2 2 a a b a a b x= ± + = ± + ∴ 1 3 2 2 2 a a b x = + + = a b+ 、 2 3 2 2 a a b x = − − = −a b

1. 把下列方程化成 2 0 ax + + =bx c 的形式,並寫出其中 a、b、c 的值: (1) x2+9x=6; (2) 2x2+ =1 7x; (3) 5x2 =3x+2; (4) 8x=3x2−1。 2. 用公式法解下列方程: (1) 2x2+5x− =3 0; (2) 6x2−13x− =5 0; (3) 2y2−4y− =1 0; (4) t2+ =2t 5; (5) p p( − =8) 16; (6) 5 2 2 1 2 y + y= ; (7) 0.3x2 + =x 0.8; (8) x2+ =3 2 3x。 3. 用公式法解下列方程,並求根的近似值(精確到 0.01): (1) x2+3x− =5 0; (2) x2−6x+ =4 0。 4. 解下列關於 x 的方程: (1) 2 2 2xmx m− =0; (2) abx2−(a2+b x2) +ab=0 (ab≠0)。 4. 因式分解法 我們知道,一元二次方程都可以用公式法來解。對於某些係 數較為特殊的方程,例如 2 4 x = ,用直接開方法就比較簡便。現

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在我們再來學習一種簡便的方法---因式分解法。 例如,對於方程 2 4 x = 除了直接用直接開方法來解以外,也可用下面的方法來解。 移項,得 2 4 0 x − = 。 這個方程的右邊是 0,左邊可以分解成兩個一次因式的積,就是 2 4 ( 2)( 2) x − = −x x+ 。 因此,這個方程可變形為 (x−2)(x+ =2) 0。 我們知道,如果兩個因式的積等於零,那麼這兩個因式至少 要有一個等於零;反過來,如果兩個因式有一個等於零,它們的 積也就等於零。例如:要使 (x−2)(x+2)等於零,必須並且只需 2 x− 等於零或x+2等於零。因此,解方程 (x−2)(x+ =2) 0 就相當於解方程x− =2 0或x+ =2 0了。進一步解這兩個一次方 程,得到x=2或x= −2。 所以,原方程 2 4 x = 的兩個根為 1 2 x = 、x2 = −2。 這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。在一元二次方 程的一邊是零而另一邊易於分解成兩個一次因式時,就可以用因 式分解法來解。 【例9】 解方程:(1) 2 3 10 0 x − − =x ; (2) (x+3)(x− =1) 5。

解 (1) 把方程的左邊分解因式,得 (x−5)(x+ =2) 0 5 0 x− = 或x+ =2 0 ∴ x1 =5、x2 = −2。 (2) 原方程可變形為 2 2 3 5 x + x− = ,

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77 即 2 2 8 0 x + x− = 。 把方程的左邊分解因式,得 (x−2)(x+ =4) 0 2 0 x− = 或x+ =4 0 ∴ x1=2、x2 = −4。 【例10】 解方程: (1) 3 (x x+ =2) 5(x+2); (2) (3x+1)2− =4 0。

解 (1) 原方程就是 3 (x x+ −2) 5(x+ =2) 0。 把方程的左邊分解因式,得 (x+2)(3x− =5) 0 2 0 x+ = 或 3x− =5 0 ∴ x1 = −2、 2 5 3 x = 。 (2) 把方程的左邊分解因式,得 [(3x+ +1) 2][(3x+ − =1) 2] 0, 即 (3x+3)(3x− =1) 0。 1 0 x+ = 或 3x− =1 0 ∴ x1= −1、 2 1 3 x = 。

1. (口答) 說出下列方程的根是什麼? (1) x x( − =2) 0; (2) (y+2)(y− =3) 0; (3) (3x+2)(2x− =1) 0; (4) x2 =x。 2. 用因式分解法解下列方程: (1) 5x2+4x=0; (2) 2y2 =3y; (3) x2+7x+12=0; (4) x2−10x+16=0;

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(5) x2+3x− =10 0; (6) x2−6x−40=0; (7) (t t+ =3) 28; (8) (x+1)(x+ =3) 15。 3. 用因式分解法解下列方程: (1) 2 (y−1) +2 (y y− =1) 0; (2) 6(x+ =5) x x( +5); (3) 2 (2y−1) − =9 0; (4) 2 2 (3x+2) =4(x−3) 。 如果學過十字相乘法分解因式,就可以用來解一些二次項係 數不是 1 的一元二次方程。 【例11】 解方程: (1) 2 3x −16x+ =5 0; (2) 2 (4x x+13)=7。

解 (1) (3x−1)(x− =5) 0 3x− =1 0或x− =5 0 ∴ 1 1 3 x = 、x2 =5。 (2) 整理原方程,得 2 8 26 7 0 (4 1)(2 7) 0 x x x x + − = − + = 4x− =1 0或 2x+ =7 0 ∴ 1 1 4 x = 、 2 7 2 x = − 。

解下列方程 (第 1~2 題): 1. (1) 3x2−7x+ =2 0; (2) 2x2−11x−21=0; (3) 14x2+3x− =5 0; (4) 15x2−14x− =8 0。 2. (1) 6(2x2+ =1) 17x; (2) 2 (4x x− =7) 15。 3. 解下列關於 x 的方程: (1) 5m x2 2−17mx+14=0; (2) 2 2 2 10a x −7abx b+ =0。

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-11.3

一元二次方程的根的判別式

我們已經知道,利用配方法就可以把任何一個一元二次方程 2 0 ax + + =bx c (a≠0)變形為 2 2 2 4 4 2 b ac b x a a −   = +     。 因為a≠0,所以4a2 >0,這樣,我們有: (1) 當b2−4ac>0時,方程右邊是一個正數,因此,方程有 兩個不相等的實數根 2 1 4 2 b b ac x a − + − = 、 2 2 4 2 b b ac x a − − − = 。 (2) 當 2 4 0 bac= 時,方程右邊是 0,因此,方程有兩個相 等的實數根 1 2 2 b x x a = = − 。 (3) 當 2 4 0 bac< 時,方程右邊是一個負數,而 2 2 b x a   +     不 可能為負數,因此,方程沒有實數根。 由此可知,根據b2−4ac的值之符號可以判定一元二次方程 2 0 ax + + =bx c 之根的情況。故我們把 2 4 bac叫做一元二次方程 2 0 ax + + =bx c 之根的判別式,通成用符號「∆」4來表示。 綜上所述,一元二次方程ax2+bx+ =c 0在∆>0時有兩個不 相等的實數根,在∆=0時有兩個相等的實數根,在∆<0時沒有 實數根。 【例1】不解方程,判斷下列方程之根的情況: (1) 2 2x +3x− =4 0; (2) 2 16y + =9 24y; (3) 2 5(x + −1) 7x=0。 4 「∆」是希臘字母,讀作 delta。

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解 (1) ∵ 2 3 4 2 ( 4) 9 32 0 ∆ = − × × − = + > ∴ 原方程有兩個不相等的實數根。 (2) 移項,得 2 16y −24y+ =9 0 ∵ ∆ = −( 24)2− × × =4 16 9 576 576− =0 ∴ 原方程有兩個相等的實數根。 (3) 原方程就是 2 5x −7x+ =5 0 ∵ ∆ = −( 7)2− × × =4 5 5 49 100− <0 ∴ 原方程沒有實數根。 【例2】 k 取什麼值時,方程 2 2 2x −(4k+1)x+2k − =1 0 (1) 有兩個不相等的實數根? (2) 有兩個相等的實數根? (3) 沒有實數根?

解 2 2 [ 4(k 1)] 4 2(2k 1) 8k 9 ∆ = − + − × − = + (1) 當 8k+ >9 0,即 9 8 k > − 時,方程有兩個不相等的實 數根; (2) 當 8k+ =9 0,即 9 8 k = − 時,方程有兩個相等的實數 根; (3) 當 8k+ <9 0,即 9 8 k< − 時,方程沒有實數根。 【例3】 求證方程 2 2 2 (m +1)x −2mx+(m + =4) 0沒有實數根。 證明: ∆ = −( 2 )m 2−4(m2+1)(m2+4) 2 4 2 4 2 2 2 4 4 20 16 4( 4 4) 4( 2) m m m m m m = − − − = − + + = − +

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81 -不論 m 為任何實數, 2 2 (m +2) 一定不等於零且一定是正 數,從而可以得知 2 2 4(m 2) − + 一定是負數,這就是說 0 ∆ < , 所以方程 2 2 2 (m +1)x −2mx+(m + =4) 0沒有實數根。

1. 不解方程,判斷下列方程的根之情況: (1) 3x2+4x− =2 0; (2) 2y2+ =5 6y; (3) 4 (p p− − =1) 3 0; (4) x2+ =5 2 5x; (5) 3x2− 2x+ =2 0; (6) 3t2−2 6t+ =2 0。 2. m 取什麼值時,方程 2 2 2( 1) ( 2) 0 xm+ x+ m − = (1) 有兩個不相等的實數根? (2) 有兩個相等的實數根? (3) 沒有實數根? 3. 求證方程x2+(2k+1)x k− + =2 k 0有兩個不相等的實數根。

用直接開平方法解下列方程 (第 1~3 題): 1. (1) 2 49x − =81 0; (2) 1 2 0.01 4y = 。 2. (1) 0.2 2 3 0 5 x − = ; (2) (x+3)(x− =3) 9。 3. (1) 2 (3x+1) =2; (2) 2 (2t+3) − =5 0。 用配方法解下列方程 (第 4~5 題): 4. (1) x2+2x−99=0; (2) 2 5 2 0 y + y+ = 。 5. (1) 3x2− =1 4x; (2) 2x2+ 2x−30=0。 6. 用配方法解關於 x 的方程x2+px+ =q 0。

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7. 用公式法解下列方程: (1) x2+2x− =2 0; (2) 6x2+4x− =7 0; (3) 2y2+8y− =1 0; (4) x2−2.4x− =13 0; (5) 2 2 3 1 0 8 xx+ = ; (6) 3 2 4 1 2t + =t ; (7) 3y2+ =1 2 3y; (8) x2+2( 3 1) 2 3+ + =0。 8. 用公式法解下列方程,並求根的近似值 (精確到 0.01): (1) x2− − =3x 7 0; (2) x2−3 2x+ =2 0。 9. 用因式分解法解下列方程: (1) 8 2 1 3 2 1 2 3 xx= x + x; (2) 1( 3)2 1( 3) 3 y+ =2 y+ ; (3) x2+7x+ =6 0; (4) x2−5x− =6 0; (5) 2 17 30 0 yy+ = ; (6) 2 7 60 0 yy− = ; (7) 2 2 9(2x+3) −4(2x−5) =0; (8) 2 (2y+1) +3(2y+ + =1) 2 0。 10.選用適當方法解下列方程: (1) x2− + =3x 2 0; (2) x2− − =3x 2 0; (3) x2+12x+27=0; (4) (x−1)(x+ =2) 70; (5) (3−t)2+ =t2 9; (6) (y−2)2 =3; (7) (2x+3)2 =3(4x+3); (8) 2 (y+ 3) =4 3y。 (9) (2x−1)(x+ =3) 4; (10) (y+1)(y− =1) 2 2y; (11) x2− 3x− 2x+ =6 0 (12) 3 (x x− = −1) 2 2x。 11.解下列關於 x 的方程: (1) mx2−(m n x− ) − =n 0 (m≠0); (2) x2−(2m+1)x+m2+ =m 0; (3) (x+a x b)( − + −) (x a x b)( + =) 2 (a ax b− ); (4) 2 4 4 3 3 ( ) 0 abxa +b x+a b = (ab≠0)。

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83 -12.已知y=x2−2x−3。x 是什麼數時,y 的值等於零?x 是什麼 數時,y 的值等於 4− ? 13.x 是什麼數時,x2+6x+5的值與x−1的值相等? 14.已知x2−7xy+12y2 =0,求證x=3yx=4y。 15.不解方程,判斷下列方程的根之情況: (1) 2x2+4x+35=0; (2) 4 (m m− + =1) 1 0; (3) 0.2 2 5 3 2 x − = x; (4) 4(y2+0.9)=2.4y; (5) 1 2 2 3 2x − = x; (6) 2 1 2 5 5 t= t +   。 16.m 取什麼值時,方程 2 2 (2 1) ( 2) 0 x + m+ x+ m− = (1) 有兩個不相等的實數根? (2) 有兩個相等的實數根? (3) 沒有實數根? 17.k 取什麼值時,方程4x2− +(k 2)x+ − =k 1 0有兩個相等的實數 根?並求出這時方程的根。 18.證明方程(x−1)(x− =2) k2有兩個不相等的實數根。

11.4

一元二次方程的應用

【例1】 兩個連續奇數的積是 323,求這兩個數。

設較小的一個奇數為 x,那麼另一個奇數為x+2。根據 題意,得 ( 2) 323 x x+ = , 整理後,得

(19)

2 2 323 0 x + x− = 。 解這個方程,得 1 17 x = 、x2 = −19。 奇數可以為正數,也可以為負數,所以x=17、x= −19 都適合題意。 由x=17,得x+ =2 19; 由x= −19,得x+ = −2 17。 答:這兩個奇數是 17 與 19,或者 19− 與 17− 。 試一試,如果設這兩個奇數中較小的一個為x−1,另一個為 1 x+ ,這個題應該怎樣解? 【例2】 如圖,用一塊長 80 cm,寬 60 cm 的白鐵片,在四個角 上 截 去 四 個 相 同 的 小 正 方 形,然後把四邊摺起來,做 成底面積為 1500 cm2的沒有 蓋之長方形盒子。截去的小 正方形之邊長應該是多少?

設小正方形的邊長為 x cm,那麼盒子底面的長及寬分別 為80 2xcm 及 60 2x− cm。根據題意,得 (80 2 )(60 2 )− xx =1500。 整理後,得 2 70 825 0 xx+ = 。 解這個方程,得 1 15 x = 、x2 =55。 由x=15時,80 2− x=50、 60 2− x=30; 由x=55時,80 2− x= −30、 60 2− x= −50。 但底面的長及寬都不能為負數,所以只能取x=15。 答:小正方形的邊長為 15 cm。 80 60 x x 80 2x60 2x− 圖 11-1

(20)

85 -【例3】某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為 5000 T,三月份上 升到 7200 T,這兩個月平均每月增長的百分率是多少? 分析: 設平均每月增長的百分率為 x,那麼去年二月份的產量 是 (5000 5000 )+ x T,也就是 5000(1+x)T;三月份的產量 是[5000(1+ +x) 5000(1+x x) ]T,就是5000(1+x)2T。於是 可以根據題意列出方程。

設平均每月增長的百分率為 x。根據題意,得 2 5000(1+x) =7200, 即 2 (1+x) =1.44 ∴ 1+ = ±x 1.2 由此可得 1 0.2 x = 、x2 = −2.2。 2.2 x= − 不合題意,所以只能取x=0.2=20%。 答:平均每月增長的百分率是 20%。 32 m 20 m (第 5 題)

1. 兩個連續整數的積是 210,求這兩個數。 2. 已知兩個數的和等於 12,積等於 23,求這兩個數。 3. 解本章第一節開始提出的應用題。 4. 要做一個容積是 750 cm3,高是 6 cm,底面的長比寬多 5 cm 的長方體匣子,底面的長及寬應該各是多少(精確到 0.1cm)? 5. 如圖,在寬為 20 m、長為 32 m 的矩形地面上,修築同樣寬的兩 條互相垂直的道路,餘下的部分 做為耕地,要使耕地的面積為 540 m2,道路的寬應為多少 m?

(21)

6. 某農場的稻米產量在兩年內從 600 萬 kg 增加到 726 萬 kg。 平均每年增產的百分率是多少? 7. 張老闆向地下錢莊借了 50 萬元,剛過兩年,銀行按「利滾 利」計算,硬要張老闆還 162 萬元。算一算,這筆債的年利 率是多少?

習 題 六

1. 已知兩個數的差等於 4,積等於 16,求這兩個數。 2. 一個兩位數等於它個位上的數碼之平方,個位上的數碼比十 位上的數碼大 3,求這個兩位數。(註:有兩個解) 3. 從一塊長 300 cm、寬 200 cm 的鐵片中間截去一個小長方形, 使剩下的長方框四周之寬度一樣,並且小長方形的面積是原 來鐵片面積之一半,求長方框的寬度(精確到 1 cm)。 4. 某林場計畫修一條長 750 m、斷面為等腰梯形的渠道,斷面面 積為 1.6 m2,上口寬比渠深多 2 m,渠底寬比渠深多 0.4 m。 (1) 渠道的上口寬與渠底寬各是多少? (2) 如果計畫每天挖土 48 m3,需要多少天把這條渠道的土 挖完? 5. 如圖,有一面積為 150 m2的長方形雞場,雞場的一邊靠牆(牆 長 18 m),另三邊用竹籬笆圍成,如果竹籬笆的長為 35 m,求 雞場的長與寬各為多少 m? (第 5 題) 雞場 18 m

(22)

87 -6. 製造一種產品,原來每件的成本是 300 元,由於連續兩次降 低相同百分比的成本,現在的成本是 195 元。問每次降低成 本百分之幾(精確到 1%)? 7. 某工廠計畫用兩年時間把產量提高 80%,如果每年比上一年 提高的百分比相同,求這個百分數(精確到 1%)。 8. 某印刷廠一月份印刷了科技書籍 50 萬冊,第一季共印 175 萬 冊,問二、三月份平均每月的增長率是多少(精確到 1%)?

二、一元二次方程的根與係數之關係

11.5

一元二次方程的根與係數之關係

在解一元二次方程時,我們發現它的根與係數之間有一定之 關係。 例如,在解方程x2−5x+ =6 0時,得 1 2 x = 、x2 =3。 可以看出,x1+ =x2 5是一次項係數 5− 的相反數;x1ix2 =6是 常數項。 又如,解方程2x2+5x− =3 0時,得 1 1 2 x = 、x2 = −3。 可以看出, 1 2 5 2 x + = −x 是一次項係數 5 除以二次項係數 2 所 得的商之相反數; 1 2 3 2 x i x = − 是常數項 3− 除以二次項係數 2 所 得的商。 一般地,對於一元二次方程ax2+ + =bx c 0 (a≠0),

(23)

∵ 2 1 4 2 b b ac x a − + − = 、 2 2 4 2 b b ac x a − − − = ∴ 2 2 1 2 4 4 2 2 2 2 b b ac b b ac b b x x a a a a − + − − − − − + = + = = − 2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b ac x x a a − + − − − − = i i 2 2 2 2 2 ( ) ( 4 ) 4 4 4 b b ac a ac a c a − − − = = = 由此得出,一元二次方程的根與係數有下列關係: 如果 2+ + = 0 ax bx c (a0)的兩個根是x 、1 x ,2 那麼x1+x2 = −b a1 i 2 = c x x a 如果把方程ax2+ + =bx c 0 (a≠0)變形為 2 0 b c x x a a + + = , 我們就可以把它寫成 2 0 x +px+ =q , 的形式,其中p b a = 、q c a = 。從而得出 如果x2+ px+ =q 0的兩個根是x 、1 x ,那麼 2 + = − 1 2 x x p 、x1i x2 =q 。 【例1】 已知方程 2 5x + −kx 6的一個根是 2,求它的另一個根及 k 的值。

(24)

89

-□

解 設方程的另一個根是x ,那麼 1 1 6 2 5 x i = − , ∴ 1 3 5 x = − 又 3 2 5 5 k   + = − −     ∴ 5 3 2 7 5 k= − − + = −     答:方程的另一個根是 3 5 − ,k= −7。 試一試,能不能把x=2代入原方程,先求出 k 的值,再求出 另一個根? 【例2】 利用根與係數的關係,求一元二次方程 2 2x +3x− =1 0兩 個根的 (1) 平方和; (2) 倒數和。

解 設方程的兩個根是 1 x 、x ,那麼 2 1 2 3 2 x + = −x1 2 1 2 x ix = − 。 (1) ∵ (x1+x2)2 =x12+2x x1 2+x22 ∴ 2 2 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2 x +x = x +xx x 2 13 3 1 2 4 2 2     =−  − ×− =     (2) 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1 2 x x x x x x − + + = = = − 。 答:方程的兩個根之平方和是 13 4 ,倒數和是 3。

(25)

1. (口答) 下列各方程中,兩根的和與兩根的積各是多少? (1) x2− + =3x 1 0; (2) 3x2−2x− =2 0; (3) 2x2−9x+ =5 0; (4) 4x2−7x+ =1 0; (5) 2x2+3x=0; (6) 3x2− =1 0。 2. 已知方程3x2−19x+ =m 0的一個根是 1,求它的另一個根及 m 的值。 3. 設x 、1 x 是方程2 2x2+4x− =3 0的兩個根,利用根與係數的 關係,求下列各式的值: (1) (x1+1)(x2+1); (2) 2 1 1 2 x x x + x 。 設有兩個數x 、1 x 。假定以這兩個數為根的一元二次方程(二2 次項係數為 1)是 2 0 x +px+ =q , 那麼,由根與係數的關係,得 1 2 x + = −x px1 ix2 =q, 因此, 1 2 ( ) p= − +x xq=x1ix2, 方程 2 0 x + px+ =q 就是 2 1 2 1 2 ( ) 0 xx +x x+x ix = , 這就是說,以兩個數x 、1 x 為根的一元二次方程(二次項係2 數為 1)是 ( ) − + + = 2 1 2 1 i 2 0 x x x x x x 。 【例3】 求一個一元二次方程,使它的兩個根是 1 3 3 − 、21 2。

解 所求的方程是 2 1 1 1 1 2 0 3 2 3 2 3 2 3 x −− + x+− × =     ,

(26)

91 即 2 5 25 0 6 3 x + x− = , 或 2 6x +5x−50=0。 【例4】 已知兩個數的和等於 8,積等於 9,求這兩個數。。

解 因為這兩個數的和等於 8,積等於 9,所以這兩個數是 方程 2 8 9 0 x − + =x 的兩個根。 解這個方程,得 1 4 7 x = + 、x2 = −4 7。 因此這兩個數是 4+ 7、 4− 7。 【例5】 已知方程 2 2 1 0 xx− = ,利用根與係數的關係求一個一 元二次方程,使它的根是原方程之各根的立方。

解 設方程 2 2 1 0 xx− = 的兩個根是x 、1 x ,那麼所求方程2 的根是 3 1 x 、x 。23 ∵ x1+ =x2 2、x1i x2 = −1 ∴ 3 3 2 2 1 2 ( 1 2)( 1 1 2 2) x +x = x +x xx x +x 2 1 2 1 2 1 2 2 ( )[( ) 3 ] 2[2 3 ( 1)] 14 x x x x x x = + + − = − × − = x13 ix32 =(x1i x2)3 = −( 1)3= −1 因此,所求的方程是 2 14 1 0 yy− = 。

(27)

1. (口答) 判定下列各方程後面括號內的兩個數是不是它的根: (1) x2+5x+ =4 0 (1、4); (2) x2−6x− =7 0 ( 1− 、7); (3) 2x2− + =3x 1 0 (1 2、1) (4) 2 3x +5x− =2 0 ( 1 3 − 、2); (5) x2− + =8x 11 0 ( 4− 5、 4+ 5); (6) 2 4 1 0 xx+ = ( 2− − 3、 2− + 3)。 2. 求一個一元二次方程,使它的兩個根分別為 (1) 4、 7− ; (2) 1+ 3、1− 3。 3. 已知兩個數的和等於 6− ,積等於 2,求這兩個數。 4. 利用根與係數的關係,求一個一元二次方程,使它的根分別 是方程 2 3 2 0 x + x− = 的各根之 2 倍。

11.6

二次三項式的因式分解

形如ax2+ +bx c的多項式叫做 x 的二次三項式,這裡 a、b、 c 都是已知數,並且a≠0。我們已學過x2+ +(a b x) +ab型的二次 三項式之因式分解,現在再來學習一般的二次三項式之因式分 解。 我們知道,在解一元二次方程 2 2x −6x+ =4 0 時,可以先把左邊分解因式,得 2 2( 3 2) 0 2( 1)( 2) 0 x x x x − + = − − = 這樣,就得到方程的兩個根: 1 1 x = 、x2 =2。 反過來,我們也可以利用求出一元二次方程的根來把二次三 項式分解因式。

(28)

93 如果我們用公式法求得一元二次方程 2 0 ax + + =bx c 的兩個根是x 與1 x ,那麼由根與係數的關係可知 2 1 2 b x x a + = − 、x1 x2 c a × = , 就是 1 2 ( ) b x x a = − + 、 1 2 c x x a = × ∴ 2 2 b c ax bx c a x x a a   + + =  + +    2 1 2 1 2 1 2 [ ( ) ] ( )( ) a x x x x x x a x x x x = − + + = − − 這就是說,在分解二次三項式ax2+ +bx c的因式時,可先用 公式求出 2 0 ax + + =bx c 的兩個根x 、1 x ,然後寫成 2 2 1 2 ( )( ) ax + + =bx c a xx xx 。 【例1】 把 2 4x +8x−1分解因式。

解 方程 2 4x +8x− =1 0的根是 2 8 8 4 4 ( 1) 8 4 5 2 5 2 4 8 2 x=− ± − × × − = − ± =− ± × , 即 1 2 5 2 x = − + 、 2 2 5 2 x = − − ∴ 2 2 5 2 5 4 8 1 4 2 2 x + x− = x−− +   x−− −      (2x 2 5)(2x 2 5) = + − + + 【例2】 把 2 2 2x −8xy+5y 分解因式。 分析: 把 8y看作 x 的係數, 2 5 y 看作常數項,2x2−8xy+5y2就 可看作是 x 的二次三項式。

(29)

解 把 2 2 2x −8xy+5y 看作關於 x 的二次方程,它的根是 2 2 8 (8 ) 4 2 (5 ) 8 2 6 4 6 2 2 4 2 y y y y y x= ± − × × = ± = ± y × ∴ 2 2 4 6 4 6 2 8 5 2 2 2 xxy+ y = x− + y  x− − y    

1. 分解因式: (1) x2+20x+96; (2) 6x2−13xy+7y2。 2. 在實數範圍內分解因式: (1) x2−5x+3; (2) 3x2+4xyy2。

習 題 七

1. (1) 如果 5− 是方程 2 5x + − =bx 10 0的一個根,求方程的另一 個根及 b 的值; (2) 如果 2+ 3是方程x2 −4x c+ =0的一個根,求方程的另 一個根及 c 的值; 2. 設x 、1 x 是方程2 2x2−6x+ =3 0的兩個根,利用根與係數的關 係求下列各式的值: (1) x x12 2+x x1 22; (2) 1 2 2 1 1 1 x x x x     + +        ; (3) (x1+x2)2; (4) 2 2 1 2 1 1 x + x 。 3. 設x 、1 x 是方程2 2 0 ax + + =bx c 的兩個根,求證: (1) 2 2 2 1 2 2 2 b ac x x a − + = ; (2) 1 2 1 1 0 b x + x + =c

(30)

95 -4. 求一個一元二次方程,使它的兩個根是 (1) −1、3 4; (2) 1 5 2 − + 1 5 2 − − 5. 已知兩個數的和及它們的積分別等於下列各數,求這兩個數: (1) 和等於 5− 、積等於 14− ; (2) 和等於 2、積等於 1 4 − 。 6. 利用根與係數的關係,求一個一元二次方程,使它的根分別 是方程 2 2x +3x− =1 0個各根的 (1) 相反數; (2) 倒數; (3) 平方。 7. 把下列各式分解因式: (1) 5x2+11x+6; (2) 6y2−13y+6; (3) −4x2−4x+15; (4) 10p2− −p 3; (5) a2+40a+384; (6) 3x y2 2−10xy+7。 8. 在實數範圍內分解因式: (1) 2x2−4x−5; (2) −3m2−2m+4; (3) x2−2 2x−3; (4) 3x2−5xyy2。

三、可化為一元二次方程的方程

11.7

簡單的高次方程

一個整式方程經過整理後,如果只含有一個未知數,並且未 知數的最高次數大於 2,這樣的方程叫做一元高次方程。有些特 殊的一元高次方程,可以化為一元一次方程或者一元二次方程來 解。

(31)

【例1】 解方程x3−2x2−15x=0。

解 將方程左邊分解因式, 2 ( 2 15) 0 ( 3)( 5) 0 x x x x x x − − = + − = 由此得x=0,或x+ =3 0,或x− =5 0。 所以原方程有三個根: 1 0 x = 、x2 = −3、x3 =5。 【例2】 解方程 4 2 6 5 0 xx + = 。

解 設 2 x = y,那麼 4 2 x = y ,於是原方程變為 2 6 5 0 yy+ = 。 解這個方程,得 1 1 y = 、y2 =5。 當y=1時, 2 1 x = , ∴ x= ±1。 當y=5時,x2 =5, ∴ x= ± 5。 所以原方程有四個根: 1 1 x = 、x2 = −1、x3 = 5、x4 = − 5。 像例 2 那樣,只含有未知數的偶次項之一元四次方程,叫做 雙二次方程。這類方程,通常用換元法來解,即用輔助未知數 y 代替方程裡的 2 x ,使這個雙二次方程變為關於 y 的一元二次方 程。求出 y 的值後,就可進一步求出原方程的根。 【例3】 解方程 2 2 2 (xx) −4(x − − =x) 12 0。

解 設 2 x − =x y,原方程變為 2 4 12 0 yy− = 。 解這個方程,得 1 6 y = 、y2 = −2。

(32)

97 -當y=6時,x2− =x 6,即 2 6 0 x − − =x 。 解這個方程,得 1 2 x = − 、x2 =3。 當y= −2時, 2 2 x − = −x , 2 2 0 x − + =x 。 ∵ 2 ( 1) 4 1 2 7 0 ∆ = − − × × = − < ∴ 這個方程沒有實數根 所以原方程有兩個實數根: 1 2 x = − 、x2 =3。

解下列方程: 1. (1) x3−8x2+15x=0; (2) x3+7x2−60x=0。 2. (1) x4−13x2+36=0; (2) x4−14x2+45=0; (3) 3x4−2x2− =1 0。 3. (1) (x2+2 )x 2−14(x2+2 ) 15x − =0; (2) (x2−3 )x 2−2(x2−3 ) 8x − =0。

11.8

分式方程

我們學過可化為一元一次方程的分式方程,現在進一步學習 可化為一元二次方程的分式方程。 解可化為一元二次方程的分式方程之步驟與解可化為一元 一次方程的分式方程之步驟相同。解方程時,用同一個含有未知 數的整式(各分式的最簡公分母)去乘方程的兩邊,約去分母,化 為整式方程。這樣得到的整式方程有時與原分式方程不是同解方 程,有可能產生增根。因此,解分式方程時,必須進行檢驗。可 把變形後求得的整式方程之根代入原方程各分式的分母,如果各 分母都不為零,就是原方程的根;如果有的分母為零,就是增根。

(33)

為了簡便起見,也可把變形後求得的整式方程之根代入所乘的整 式,如果不使這個整式等於零,就是原方程的根;如果使這個整 式等於零,就是增根。 【例1】 解方程 2 1 4 2 1 2 4 2 x x+ + x − + −x = 。

解 原方程就是 1 4 2 1 2 ( 2)( 2) 2 x x+ + x+ x− −x− = , 方程的兩邊都乘以 (x+2)(x−2),約去分母,得 (x− +2) 4x−2(x+ = +2) (x 2)(x−2), 整理後,得 2 3 2 0 x − + =x , 解這個方程,得 1 1 x = 、x2 =2。 檢驗: 把x=1代入 (x+2)(x−2),它不等於零, ∴ x=1是原方程的根 把x=2代入 (x+2)(x−2),它等於零, ∴ x=2是增根 所以原方程的根是x=1。 【例2】 解方程 2 2 2( 1) 6( 1) 7 1 1 x x x x + + + = + + 。 分析: 這個方程左邊兩個分式中的 2 1 1 x x + + 與 2 1 1 x x + + 互為倒數,根 據這個特點,可以用換元法來解。

解 設 2 1 1 x y x++ = ,那麼 2 1 1 1 x x + =+ y,於是原方程變為 6 2y 7 y + = 。

(34)

99 -兩邊的方程都乘以 y,約去分母,得 2 2y −7y+ =6 0。 解這個方程,得 1 2 y = 、 2 3 2 y = 。 當y=2時, 2 1 2 1 x x++ = ,去分母,整理得 2 2 1 0 xx− = 。 ∴ 2 8 1 2 2 x= ± = ± 。 當 3 2 y= 時, 2 1 3 1 2 x x++ = ,去分母,整理得 2 2x − − =3x 1 0。 ∴ 3 17 3 x= ± 。 檢驗: 把x= ±1 2、 3 17 3 x= ± 分別代入原方程的分 母,各分母都不等於零,所以它們都是原方程 的根。 從而原方程的根是 1 1 2 x = + 、x2 = −1 2、 3 3 17 3 x = + 、 4 3 17 3 x = − 。 【例3】 解關於 x 的方程 1 1 1 1 x a x a + = + − − 。

解 方程的兩邊同乘以 (a−1)(x−1),約去分母,得 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 x ax− + − =a a ax− + −x 。 整理後,得 2 2 2 (a−1)xa x+a =0。

(35)

解這個關於 x 的方程,得 1 x =a2 1 a x a = − 。 檢驗: 把x=a、 1 a x a = − 分別代入x−1都不等於零, 所以它們都是原方程的根。 從而原方程的根是 1 x =a2 1 a x a = − 。

1. 解下列方程: (1) 4 1 1 1 xx− = ; (2) 2 3 2 1 xx+ = ; (3) 2 1 1 1−x =1+x+ ; (4) 2 2 2 2 4 1 4 2 2 x x x x x x − + = − + − 。 2. 用換元法解下列方程: (1) 2 5 6 0 1 1 x x x x     − + =     − −     ; (2) 2 2 3 1 5 1 3 2 x x x x − + = − 。 3. 解下列關於 x 的方程: (1) x 1 c 1 x c + = + ; (2) a x 5 4(b x) b x a x= − + + − (a b+ ≠0)。 【例4】 甲、乙兩人同時從 A 村出發,步行 30 km 到 B 村。甲 比乙每小時多走 2 km,結果比乙早到半小時。二人每小 時各走幾 km?

(36)

- 101 -

設乙每小時走 x km,那麼甲每小時走 (x+2)km,根據 題意,得 30 30 1 2 2 x+ = x − 。 方程的兩邊同乘以 2 (x x+2),約去分母,整理得 2 2 120 0 x + x− = 。 解這個方程,得 1 10 x = 、x2 = −12。 經檢驗,x1=10、x2 = −12都是原方程的根。但速度為 負數不合題意,所以只取x=10,這時x+ =2 12。 答:甲每小時走 12 km,乙每小時走 10 km。 【例5】 一個水池有甲、乙兩個進水管。單獨開放甲管注滿水池 比單獨開放乙管少用 10 小時,如果兩管同時開放,12 小時可把水池注滿。若單獨開放一個水管,各需多少小 時才能把水池注滿? 分析: 我們可設單獨開放乙管注滿水池需 x 小時,那麼單獨開 放甲管注滿水池需 (x−10)小時。單開乙管每小時可注滿 水池的1 x,單開甲管每小時可注滿水池的 1 10 x− 。根據 兩管同時開,每小時可注滿水池的 1 12,可以列出方程。

設單獨開放乙管注滿水池需 x 小時,那麼單獨開放甲管 注滿水池需 (x−10)小時。根據題意,得 1 1 1 10 12 x− + =x 。 方程的兩邊同乘以12 (x x−10),約去分母,並整理,得 2 34 120 0 xx+ = 。 解這個方程,得 1 30 x = 、x2 =4。

(37)

經檢驗,x1=30、x2 =4都是原方程的根。 當x=30時,x− =10 20。 當x=4時,x− = −10 6。 因為注水時間不能為負數,所以只能取x=30。 答:單獨開放一個水管注滿水池,甲管需要 20 小時,乙管需要 30 小時。

1. 某農場開挖一條長 960 m 的渠道,開工後每天比原計畫多挖 20 m,結果提前 4 天完成任務。原計畫每天挖多少 m? 2. 某工廠貯存 350 T 煤,由於改進爐灶及燒煤技術,每天能節 約 2 T 煤,使貯存的煤比原計畫多用 20 天。貯存的煤原計畫 用多少天? 3. 甲、乙兩隊學生綠化校園。如果兩隊合作,6 天可以完成, 如果單獨工作,甲隊比乙隊少用 5 天。兩隊單獨工作各需多 少天完成? 4. 甲、乙兩組工人合做某項工作,10 天以後,因甲組另有任務, 乙組再單獨作兩天才完成。如果單獨完成這項工作,甲組比 乙組可以快 4 天,求各組單獨完成這項工作所需要的天數。 5. 一小艇順流下行 24 km 到目的地,然後逆流回航到出發地, 航行時間共計 3 小時 20 分鐘。已知水流速度是每小時 3 km, 小艇在靜水中的速度是多少?小艇順流下行的速度與逆流 回航的時間各是多少?

11.9

無理方程

我們來看下面的方程: 2 8+ +x 64+x =24。

(38)

- 103 - 這個方程的未知數 x 含在根號下。像這樣根號下含有未知數 的方程,叫做無理方程5。例如 1 3 xx− = 、 2x− + =4 1 x+5、 2 2 3 5 1 2 3 x x x − + = − − 等都是無理方程。但是像 2 2 2 1 x + x− =0、 1 1 2 2 1 x x + = − − 等都不是無理方程,而是整式方程或分式方 程。 整式方程與分式方程統稱有理方程。 下面我們研究無理方程的解法。例如,解方程 2 2x +7x− =2 x。 解這個方程,可以先移項,把被開方數中含有未知數的根式 放在方程的一邊,其餘的移到另一邊,得 2 2x +7x = +x 2。 兩邊平方,得到一個有理方程 2 2 2x +7x=x +4x+4。 整理後,得 2 3 4 0 x + x− = 。 解這個方程,得 1 1 x = 、x2 = −4。 檢驗: 把x=1代入原方程, 左邊= 2 1× + × − =2 7 1 2 2 7+ − = − =2 3 2 1 右邊 1= ∴ x=1是原方程的根 把x= −4代入原方程, 左邊= 2 ( 4)× − 2+ × − − =7 ( 4) 2 0 右邊= −4 ∴ x= −4是增根 因此原方程的根是x=1。 5 根號下含有字母的式子叫做無理式。

(39)

從上例可知,在解無理方程時,為了把無理方程變形為有理 方程,須要將方程的兩邊都乘方相同的次數,這樣就有產生增根 的可能。因此,解無理方程時,必須把變形後的得到的有理方程 的根,代入原方程進行檢驗,如果適合,就是原方程的根,如果 不適合,就是增根。 【例1】 解方程 2x− −4 x+ =5 1。

解 移項,得 2x− = +4 1 x+5, 兩邊平方,得 2x− = +4 1 2 x+ + +5 x 5。 即 10 2 5 x− = x+ 。 兩邊再平方,得 2 20 100 4( 5) xx+ = x+ 。 即 2 24 80 0 xx+ = 。 解這個方程,得 1 4 x = 、x2 =20。 檢驗: 把x=4代入原方程, 左邊= 2 4 4× − − 4 5+ = − = −2 3 1 右邊 1= ∴ x=4是增根 把x=20代入原方程, 左邊= 2 20 4× − − 20 5+ = − =6 5 1 右邊 1= ∴ x=20是原方程的根 因此原方程的根是x=20。 注意:這個方程,先移項,使左邊只有一個被開方數中含有未知 數的根式,解起來比較簡便。

(40)

- 105 - 【例2】 解方程 2 2 2x +3x−5 2x +3x+ + =9 3 0。 分析: 這個方程可變形為 2 2 2x +3x+ −9 5 2x +3x+ − =9 6 0。 這裡,可以知道 2 2x +3x+9是 2 2x +3x+9的平方,設 2 2x +3x+ =9 y,原方程就變為關於 y 的一元二次方程

解 設 2 2x +3x+ =9 y,那麼2x2+3x+ =9 y2,因此2x2+ 2 3x= y −9。於是原方程變為 2 9 5 3 0 y − − y+ = , 即 2 5 6 0 yy− = 。 解這個方程,得 1 1 y = − 、y2 =6。 當y= −1時, 2x2+3x+ = −9 1,根據算術根的定義, 2 2x +3x+9不可能等於一個負數,所以可以得知方程 2 2x +3x+ = −9 1無解。 當y=6時, 2x2+3x+ =9 6,兩邊平方,得 2 2x +3x+ =9 36, 即 2 2x +3x−27=0。 解這個方程,得 1 3 x = 、 2 9 2 x = − 。 檢驗: 把x=3、 9 2 x= − 分別代入原方程都適合,所以 它們都是原方程的根。 因此原方程的根是 1 3 x = 、 2 9 2 x = − 。

(41)

1. (口答) 下列方程是否有解?為什麼?: (1) x2+3x+ = −2 4; (2) x+ + =1 3 2。 2. 解下列方程: (1) 2x+ =3 x; (2) 2x+ = −3 x。 (3) x+ x− =2 2; (4) xx− =2 2; (5) 1− +x 12+ =x 5; (6) 3x− +2 x+ =3 3。 3. 用換元法解下列方程: (1) x2+8x+ x2+8x =12 (2) x2− −3x x2− + =3x 5 1。

1. 解下列方程: (1) (x+1)(x−2)(x+ =3) 0; (2) (2x+1)(x2−5x+ =6) 0; (3) 2x3+7x2−4x=0; (4) (x2 +2)(x+ =3) 6; (5) x3−2x2−5x+ =10 0; (6) x3− =16 4 (x x−1)。 2. 解下列方程: (1) x4−25x2+84=0; (2) 4x4−5x2+ =1 0; (3) 4 2 2x −19x + =9 0。 3. 用換元法解下列方程: (1) (x+1)4−10(x+1)2+ =9 0; (2) (6x2−7 )x 2−2(6x2−7 )x =3; (3) (3x2−2x+1)(3x2−2x− + =7) 12 0。 4. 解下列方程: (1) 2 1 1 2 2 x x x −− − =x x x− ; (2) 2 1 1 5 3 3 3 x x x x x x + = + + − ;

(42)

- 107 - (3) 218 3 3 9 x x x+ +x− = x − ; (4) 2 2 1 3 2 1 1 x x x x − − = − − ; (5) 1 1 1 62 2 2 3 12 x x x x − − = − − − − ; (6) 4 3 2 45 5 12 17 60 x x x x x x − − + = − − − + 。 5. 用換元法解下列方程: (1) 2 5 6 0 1 1 x x x x   +  + =     + +     ; (2) 2 2 2 2 8( 2 ) 3( 1) 11 1 2 x x x x x x + += − + ; (3) x2 x 1 22 x x + + = + 。 6. 解下列方程: (1) x2− = −5 x 1; (2) 2( x− + =3 3) x; (3) (x−3)(x− −4) 2 3=0; (4) x2+4x− −1 x− =3 0 (5) 2x+ −1 x+ =2 2 3; (6) (x−1)(x− +2) (x−3)(x−4)= 2。 7. 用換元法解下列方程: (1) 3x2+15x+2 x2+5x+ =1 2; (2) 2 3 2 2 3 2 3( 1) 2 x + − xx+ = x+ ; (3) 2 1 5 1 2 2 x x x x + += − + 。 8. 解本章第 9 節一開始提出的方程。

(43)

9. 解下列關於 x 的方程: (1) 2 2 2 2x 12x a x x a a x x a − + = − − + (a≠0); (2) a− +x x b− = a b− 。 10.從甲站到乙站有 150 km。一列快車與一列慢車同時從甲站開 出,1 小時後,快車在慢車前 12 km;快車到達乙站比慢車早 25 分鐘。快車與慢車每小時各走幾 km? 11.一汽船在順流中航行 46 km 與在逆流中航行 34 km 共用去的 時間恰好等於它在靜水中航行 80 km 用去的時間。已知水流 速度是每小時 2 km,求汽船在靜水中的速度。 12.某工廠加工 300 個零件,在加工完 80 個後,改進了操作方法, 每天能多加工 15 個,一共用 6 天完成了任務。求改進操作方 法後每天加工的零件數。 13.一個水池有甲、乙兩個進水管,甲管注滿水池比乙管快 15 小 時。如果單獨放甲管 10 小時,再單獨放乙管 15 小時,就可 注滿水池的2 3。求單獨開放一個水管,注滿水池各需多少時 間?

四、簡單的二元二次方程組

11.10

二元二次方程與二元二次方程組

方程x2 −2xy+y2+ − =x y 6是一個含有兩個未知數,並且含 有未知數的項之最高次數是 2 的整式方程,這樣的方程叫做二元 二次方程。

(44)

- 109 - 關於 x、y 的二元二次方程之一般形式是 2 2 0 ax +bxy+cy +dx cy+ + =f 。 2 ax 、bxy、 2 cy 叫做這個方程的二次項,dx、cy 叫做一次項, f 叫做常數項。 我們看下面的兩個方程組: 2 2 625 5 x y y x+ =  = +  、 2 2 2 2 12 2 3 11 x xy y x y x xy x y+ + + + =  + + + =  第一個方程組是由一個二元二次方程與一個二元一次方程 組成的,第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的。像這樣的 方程組都叫做二元二次方程組。 下面我們研究一些簡單的二元二次方程組之解法。

11.11

由一個二元二次方程與一個二元一次方程組成

的方程組

這種型式的方程組一般都可以用代入法來解。 【例1】 解方程組 2 2 4 3 1 0 2 1 0 x y x y x y + + − =  − − =  (1) (2)

解 由(2),得 2 1 y= x− (3) 把(3)代入(1),得 2 2 4(2 1) 3(2 1) 1 0 xx− + +x x− − = 。 整理,得 2 15x −23x+ =8 0,

(45)

解這個方程,得 1 1 x = 、 2 8 15 x = 。 把x1 =1代入(3),得 1 1 y = 。 把 2 8 15 x = 代入(3),得 2 1 15 y = 。 所以原方程組的解是: 1 1 1 1 x y =   =  、 2 2 8 15 1 15 x y  =    =  。 【例2】 解方程組 7 12 x y xy + =   =  分析: 這個方程組可以用代入法來解,也可根據一元二次方程 的根與係數之關係,把 x、y 看作一個一元二次方程的 解,通過解這個一元二次方程來求 x、y。

這個方程組的 x、y 是一元二次方程 2 7 12 0 zz+ = 。 的兩個根。解這個方程,得 3 z= 、z=4。 所以原方程組的解是: 1 1 3 4 x y =   =  、 2 2 4 3 x y =   =  。

(46)

111

-練

1. 下列各組中 x、y 的值是不是方程組 2 2 13 5 x y x y+ =  + =  的解 (1) 2 3 x y =   =  (2) 3 2 x y =   =  (3) 1 4 x y =   =  (4) 2 3 x y = −   = −  2. 解下列方程組: (1) 2 25 625 y x x y = +   + =  (2) 2 6 2 11 0 2 1 0 x x y x y + =  − + =  (3) 2 2 5 0 2 0 x xy y x y x y+ + + + =  + =  3. 解下列方程組: (1) 3 10 x y xy + =   = −  (2) 1 1 5 1 6 x y xy  + =     = 

11.12

由兩個二元二次方程組成的方程組

對於這種型式的方程組,我們只講一些特殊的方程組之解 法。現舉例如下: 【例1】 解方程組 2 2 2 2 20 5 6 0 x y x xy y+ =  − + =  (1) (2)

(47)

分析: 在這個方程組中,方程(2)的左邊可以分解為兩個一次因 式的積 (x−2 )(y x−3 )y ,而右邊為零,因此方程(2)可化 為兩個二元一次方程x−2y=0、x−3y=0,它們與方 程(1)分別組成方程組 2 2 20 2 0 x y x y+ =  − =  、 2 2 20 3 0 x y x y+ =  − =  。 解這兩個方程組,就得到原方程組的所有解。

解 由(2),得 (x−2 )(y x−3 )y =0, ∴ x−2y=0或x−3y=0 因此,原方程組可化為兩個方程組 2 2 20 2 0 x y x y+ =  − =  、 2 2 20 3 0 x y x y+ =  − =  。 解這兩個方程組,得原方程組的解為 1 1 4 2 x y =   =  、 2 2 4 2 x y = −   = −  、 3 3 3 2 2 x y=   =  、 4 4 3 2 2 x y= −   = −  。 【例2】 解方程組 2 2 2 2 9 ( ) 3( ) 2 0 x xy y x y x y+ + =  − − − + =  (1) (2) 分析: 這個方程組的每一個方程都可以化為兩個二元一次方 程。先將由(1)化得的第一個二元一次方程分別與由(2) 化得的兩個二元一次方程進行組合,可得兩個二元一次 方程組;再將由(1)化得的第二個二元一次方程分別與由 (2)化得的兩個二元一次方程進行組合,又可得兩個二元 一次方程組,這樣一共可以得到四個二元一次方程組。 解這四個二元一次方程組,就可以得到原方程組所有的 解。

(48)

113

-□

解 由(1),得 2 (x+y) =9。 ∴ x+ =y 3或x+ = −y 3 由(2),得 (x− −y 1)(x− − =y 2) 0。 ∴ x− − =y 1 0或x− − =y 2 0 因此,原方程組可化為四個方程組 3 1 0 x y x y + =   − − =  、 3 2 0 x y x y + =   − − =  、 3 1 0 x y x y + = −   − − =  、 3 2 0 x y x y + = −   − − =  。 解這四個方程組,得原方程組的解為 1 1 2 1 x y =   =  、 2 2 5 2 1 2 x y  =    =  、 3 3 1 2 x y = −   = −  、 4 4 1 2 5 2 x y  = −    = −  。

1. 把下列方程化為兩個二元一次方程: (1) x2−3xy+2y2 =0; (2) 2x2−5xy−3y2 =0; (3) x2−6xy+9y2 =16; (4) (x+y)2−3(x+ − =y) 10 0; (5) x2−4xy+4y2−2x+4y=3。 解下列方程組 (第 2~3 題): 2. (1) ( 2 )( 2 ) 0 3 2 20 x y x y x xy − − =   + =  (2) 2 2 2 2 5 2 3 2 0 x y x xy y+ =  − − =  3. (1) ( 2 1)( 2 1) 0 (3 2 1)(2 3) 0 x y x y x y x y − − − + =   − + + − =  (2) 2 2 2 2 2 25 9 12 4 9 x xy y x xy y+ + =  − + = 

(49)

【例3】 解方程組 2 2 3 28 2 7 x xy xy y+ =  − =  (1) (2) 分析: 這個方程組的兩個方程都不含未知數的一次項,消去常 數項後就可以得到形如 2 2 0 ax +bxy+cy = 的方程,解由 這個方程與原方程組的任何一個方程所組成的方程 組,就可以求得原方程組的解。

解 (1)-(2)×4,得 2 2 5 4 0 ( )( 4 ) 0 x xy y x y x y − + = − − = ∴ x− =y 0或x−4y=0 因此,原方程組可化為兩個方程組 2 0 2 7 x y xy y − =   − =  、 2 4 0 2 7 x y xy y − =   − =  。 解這兩個方程組,得原方程組的解為 1 1 7 7 x y=   =  、 2 2 7 7 x y= −   = −  、 3 3 4 1 x y =   =  、 4 4 4 1 x y = −   = −  。 【例4】 解方程組 2 2 5 2 x y xy+ =  =  (1) (2) 分析: 這個方程組可以像例 3 那樣解。但根據方程組的特點, 也可以把方程(1)加上方程(2)×2,得到一個新方程,它 的左邊是一個完全平方式,右邊是常數,通過兩邊開平 方,就可以得到兩個一次方程;同樣,把方程(1)減去方 程(2)×2,得也可以由此得到兩個一次方程。這兩對一次 方程同例 2 一樣,一共可以組成四個二元一次方程組。 解這四個二元一次方程組,就可以求得原方程組的解。

(50)

115

-□

解 (1)+(2)×2,得 2 (x+y) =9 ∴ x+ = ±y 3 (3) (1)-(2)×2,得 2 (xy) =1 ∴ x− = ±y 1 (4) 由(3)、(4),原方程組可化為四個方程組 3 1 x y x y + =   − =  、 3 1 x y x y + =   − = −  、 3 1 x y x y + = −   − =  、 3 1 x y x y + = −   − = −  。 解這四個方程組,得原方程組的解為 1 1 2 1 x y =   =  、 2 2 1 2 x y =   =  、 3 3 1 2 x y = −   = −  、 4 4 2 1 x y = −   = −  。

解下列方程組 (第 1~2 題): 1. (1) 2 2 2 2 2 4 x xy y xy y =  + =  (2) 2 2 2 2 3 8 4 x y x xy y =  + − =  2. (1) 2 2 20 8 x y xy+ =  =  (2) 2 2 13 6 x y xy+ =  = −  3. (口答) 已知方程組 2 2 2 2 5 3 x y x y+ =  − =  (1) (2) 下面的解法是否正確?如果不正確,應當怎樣改正?

解 [(1)+(2)]÷2,得 2 4 x = ∴ x= ±2

(51)

[(1)-(2)]÷2,得 2 1 y = ∴ y= ±1 因此,原方程組的解是 1 1 2 1 x y =   =  、 2 2 2 1 x y = −   = −  。 【例5】 解方程組 2 2 2 2 2 1 2 4 6 x y y x y x − =  − + =  (1) (2) 分析: 這個方程組的兩個方程之二次項係數對應成比例(即 1 2 2 4 − = − ),把方程(2)減去方程(1)×2,就可以得到一個一 次方程。解由這個一次方程與原方程組的任何一個方程 組成之方程組,就可以求得原方程組的解。

解 (2)-(1)×4,得 2 4 x+ y= 移項,得 4 2 x= − y (3) 把(3)代入(1)並整理,得 2 2y −17y+ =15 0 解這個方程,得 1 1 y = 、 2 15 2 y = 。 把y1 =1代入(3),得 1 2 x = 。 把 2 15 2 y = 代入(3),得

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