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专题一：不定方程的经典题型以及解题方法
不定方程的概念：
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如 5x－3y＝9 就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一 些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如 5x－3y＝9 中，如果限定 x、y 的解是小于 5 的整数，那么解就只有 x＝3，Y＝2 这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些 限制条件对解的影响。不定方程的解法：
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再 一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试 验的次数。 对于有 3 个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。不定方程的经典例题：
例题一：一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装 12 个，每个小盒子装 5 个，恰好装 完。如果弹子数为 99，盒子数大于 9，问两种盒子各有多少个？ 解题方法：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然 数解。 设大盒子有 x 个，小盒子有 y 个，则 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）， y＝（99－12y） ÷5 经检验，符合条件的解有（X=12，Y=15）和（X=7，Y=3），所以，大盒子有 2 个，小盒子有 15 个，或大盒子有 7 个，小盒子有 3 个。 例题二：买三种水果 30 千克，共用去 80 元。其中苹果每千克 4 元，橘子每千克 3 元，梨每千 克 2 元。问三种水果各买了多少千克？ 解题方法：设苹果买了 x 千克，橘子买了 y 千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得： 4x+3y+2×（30－x－y）＝82最全苏教版初中数学分层练习资料 第 2 页 共 4 页 x=10-y/2 由式子可知：y<20，则 y 必须是 2 的倍数，所以 y 可取 2、4、6、8、10、12、14、16、18。 因此，原方程的解如下表： 苹果 9 8 7 6 5 4 3 2 1 橘子 2 4 6 8 10 12 14 16 18 梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11 例题三：某次快乐学校数学半月考准备例 2 枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。 原计划一等奖每人发 6 枝，二等奖每人发 3 枝，三等奖每人发 2 枝。后又改为一等奖每人发 9 枝，二等奖每人发 4 枝，三等奖每人发 1 枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？ 设一等奖有 x 人，二等奖有 y 人，三等奖有 z 人。则： ①6x+3y+2z＝22； ①9x+4y+z＝22； 由②×2－①，得 12x+5y＝22 x 只能取 1。Y＝2，代入①得 z＝5，原方程的解为（x=1,y=2,z=5） 所以，一等奖的学生有 1 人，二等奖的学生有 2 人，三等奖的学生有 5 人。
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不定方程举一反三练习：
1、快乐学校数学组 48 人到海埂公园划船。如果每只小船可坐 3 人，每只大船可坐 5 人。那么 需要小船和大船各几只？（大、小船都有） 2、甲级铅笔 7 角钱一枝，乙级铅笔 3 角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共 几枝？ 3、小华和小强各用 6 角 4 分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一枝和 7 分一枝的 两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？ 4、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共 26 只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的 9 倍，蓝皮球有多少 只？ 5、用 10 元钱买 25 枝笔。已知毛笔每枝 2 角，彩色笔每枝 4 角，钢笔每枝 9 角。问每种笔各 买几枝？（每种都要买）最全苏教版初中数学分层练习资料 第 4 页 共 4 页 6、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张 8 分，荧光纸每张 1 角，高级纸每张 2 角。她 一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？ 7、某人打靶，8 发打了 53 环，全部命中在 10 环、7 环和 5 环。他命中 10 环、7 环和 5 环各 几发？ 8、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋 30 个，价值 24 元。已知煮蛋每个 0.60 元，茶叶蛋每个 1 元，皮蛋每个 1.20 元。问篮子里最多有几个皮蛋？
