第五章联立方程计量经济模型理论方法

(1)

第五章联立方程计量经济模型理论方法

Theory and Methodology of Simultaneous-Equations

Econometrics Model

(2)

2

第四节联立方程模型的单方程估计方法 Single-Equation Estimation Methods

一、狭义的工具变量法（IV）

二、间接最小二乘法(ILS)

三、二阶段最小二乘法(2SLS) 四、三种方法的等价性证明

五、简单宏观经济模型实例演示六、主分量法的应用

七、其它有限信息估计方法简介

八、k级估计式

(3)

• 联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：

单方程估计方法与系统估计方法。

• 所谓单方程估计方法，指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计。

• 所谓系统估计方法，指同时对全部方程进行估计，

同时得到所有方程的参数估计量。

• 联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模型的估计方法。

(4)

4

一、狭义的工具变量法

（IV，Instrumental Variables）

(5)

⒈方法思路

• “狭义的工具变量法”

• 解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变量问题。

• 方法原理与单方程模型的IV方法相同。

• 模型系统中提供了可供选择的工具变量，使得 IV方法的应用成为可能。

(6)

6

⒉工具变量的选取

• 联立方程模型的每一个结构方程，例如第1个方程，可 以写成如下形式：

Y ₁ _{12 2} Y _{13 3} Y ₁

_g

Y

_g

₁₁ X ₁ ₁₂ X ₂ ₁

_k

X

_k

₁

1 1 1 1

= β + β + +  β + γ + γ + +  γ + Ν

• 内生解释变量（g₁-1）个，先决解释变量k₁个。

• 如果方程是恰好识别的，有（g₁-1）=（k- k₁）。

• 可以选择（k- k₁）个方程没有包含的先决变量作为（g₁-1）

个内生解释变量的工具变量。

对于联立方程模型

Β Y + Γ X = Ν

(7)

⒊ IV参数估计量

• 方程的矩阵表示为

Y

₁

=

₀ ₀



₁

  

  + ( Y , X )

⁰

0

Β

Γ Ν

(8)

8

( ) ( ) ( )



 ^* ^*

Β Γ

0 0

0 0 0 0

1 0 0 1



  

  =  ′

 



− ′

IV

Y

X X Y X X X

• 选择方程中没有包含的先决变量X

₀ ^*

作为包含的内生解释变量Y

₀

的工具变量，得到参数估计量为：

(9)

⒋讨论

• 该估计量与OLS估计量的区别是什么？

• 该估计量具有什么统计特性？

• （k- k

₁

）工具变量与（g

₁

-1）个内生解释变量的对应关系是否影响参数估计结果？为什么？

• IV是否利用了模型系统中方程之间相关性信息？

• 对于过度识别的方程，可否应用IV ？为什么？

(10)

10

二、间接最小二乘法

(ILS, Indirect Least Squares)

(11)

⒈方法思路

• 联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量，

不能直接采用OLS估计其参数。但是对于简化式方程，

可以采用OLS直接估计其参数。

• 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采用OLS估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。

• 间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参

(12)

12

(13)

⒉一般间接最小二乘法的估计过程 Y ₁ = ₀ ₀  ₁

  

  + ( Y X , ) ⁰

0 Β

Γ Ν

Y ₁ − Β ₀ Y ₀ − Γ ₀ X ₀ = Ν ₁

( ⁻ ⁻ ) ^ ^  ¹

 

 =

Β Γ Ν

Y

(14)

14

( ^Β 00 ^Γ 00 ) ^Ν

00 0

1 Y X



  

  =

Y ₀₀ = Π ₀₀ X + Ε Β Π ₀₀ ₀₀ X + Γ ₀₀ X ₀ = 0

Β Π ₀₀ ₀₀ ⁰ Γ

0 00 0 0

X

X _* X



  

  + =

(15)

( )

Π ₀₀ = Π ¹ ₀₀ Π ₀₀ ²

Β Π Γ Β Π

00 00 1

0 00 00

2 0

=

 



• 用OLS估计简化式模型，得到简化式参数估计量，

代入该参数关系体系，先由第2组方程计算得到内生 解释变量的参数，然后再代入第1组方程计算得到先

(16)

16

⒊间接最小二乘法也是一种工具变量方法

• ILS等价于一种工具变量方法：依次选择X作 为（Y

₀ ,X ₀

）的工具变量。

• 数学证明见《计量经济学—方法与应用》（李 子奈编著，清华大学出版社，1992年3月）第 126—128页。

• 估计结果为：

( )



 Β

Γ

0 0

1

1 

  

  = ′ ⁻ ′

ILS

Y

X Y X X

(17)

三、二阶段最小二乘法

(2SLS, Two Stage Least Squares)

(18)

18

⒈2SLS是应用最多的单方程估计方法

• IV和ILS一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方程的估计。

• 在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。

• 2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法。

(19)

⒉2SLS的方法步骤

• 第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLS。

得到：

  (( ) )

Y ₀ = X Π ₀ = X X X ′ ⁻ ¹ X Y ′ ₀

• 用估计量代替结构方程中的内生解释变量，得到新的模型：

 Β 

(20)

20

• 第二阶段：对该模型应用OLS估计，得到的参数 估计量即为原结构方程参数的二阶段最小二乘估计量。

( ) ( ) ( )



   

Β Γ

0 0 2

0 0 0 0

1 0 0 1



  

  =  ′







− ′

SLS

Y

Y X Y X Y X

(21)

⒊二阶段最小二乘法也是一种工具变量方法

• 如果用Y

₀

的估计量作为工具变量，按照工具变量方法的估计过程，应该得到如下的结构参数估计量：

( ) ⁽ ⁾ ( )



  

Β Γ

0 0

0 0 0 0

1 0 0 1



  

  =  ′







− ′

Y X Y X Y X Y

• 可以严格证明两组参数估计量是完全等价的，所以可以把2SLS也看成为一种工具变量方法。

(22)

22

四、三种方法的等价性证明

(23)

⒈三种单方程估计方法得到的参数估计量

( ) ( ) ( )



 ^* ^*

Β Γ

0 0

0 0 0 0

1 0 0 1



  

  =  ′

 



− ′

IV

Y

X X Y X X X

( )



 Β

Γ

0 0

1

1 

  

  = ′ ⁻ ′

ILS

Y

X Y X X

( ) ( )

Β  ¹

   ′  ⁻ ′

(24)

24

⒉IV与ILS估计量的等价性

• 在恰好识别情况下

• 工具变量集合相同，只是次序不同。

• 次序不同不影响正规方程组的解。

(25)

⒉2SLS与ILS估计量的等价性

• 在恰好识别情况下

• ILS的工具变量是全体先决变量。

• 2SLS的每个工具变量都是全体先决变量的线性组合。

• 2SLS的正规方程组相当于ILS的正规方程组经过一 系列的初等变换的结果。

• 线性代数方程组经过初等变换不影响方程组的解。

(26)

26

五、简单宏观经济模型实例演示

(27)

⒈模型

C Y C

I Y

Y I C G

t t t t

t t t

t t t t

= + + +

= + +



 

 

α α α − µ

β β µ

0 1 2 1 1

0 1 2

• 消费方程是恰好识别的；

• 投资方程是过度识别的；

• 模型是可以识别的。

(28)

28

⒉数据

年份 Y I C G

1978 3606 1378 1759 469

1979 4074 1474 2005 595

1980 4551 1590 2317 644

1981 4901 1581 2604 716

1982 5489 1760 2868 861

1983 6076 2005 3182 889

1984 7164 2469 3675 1020

1985 8792 3386 4589 817

1986 10133 3846 5175 1112

1987 11784 4322 5961 1501

1988 14704 5495 7633 1576

1989 16466 6095 8524 1847

1990 18320 6444 9113 2763

1991 21280 7517 10316 3447

1992 25864 9636 12460 3768

1993 34501 14998 15682 3821

1994 47111 19261 21230 6620

1995 59405 23877 27839 7689

1996 68498 26867 32589 9042

(29)

⒊用狭义的工具变量法估计消费方程

 .

α α α

0 1 2

164 79951 0 3175387

0 3919359

=

用 G

_t

作为 Y

_t

的工具变量

(30)

30

• 估计结果显示

Dependent Variable: CC

Method: Two-Stage Least Squares Date: 04/11/03 Time: 22:06 Sample(adjusted): 1979 1996

Included observations: 18 after adjusting endpoints Instrument list: C G CC1

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 164.8004 95.45182 1.726529 0.1048 Y 0.317539 0.032376 9.807786 0.0000 CC1 0.391935 0.087514 4.478510 0.0004 R-squared 0.999435 Mean dependent var 9875.667 Adjusted R-squared 0.999360 S.D. dependent var 9026.792 S.E. of regression 228.3835 Sum squared resid 782385.2 F-statistic 13200.10 Durbin-Watson stat 2.015655 Prob(F-statistic) 0.000000

(31)

⒋用间接最小二乘法估计消费方程

C C G

Y C G

t t t t

= + + +

 



−

π π π ε

10 11 1 12 1

20 21 1 22 2

 .

π π π

10 11 12

63 594002 0 8132890 1 2191863

= −

=

 .

π π π

20 21 22

719 26343 1 3269366

3 8394822

= −

=

   .

    .

   

α π π

α π α π

1 12 22

2 11 1 21

0 31753925

0 39193422

= =

= − =

(32)

32

• C简化式模型估计结果

Dependent Variable: CC Method: Least Squares

Date: 04/11/03 Time: 22:13 Sample(adjusted): 1979 1996

Included observations: 18 after adjusting endpoints

C -63.59400 279.1279 -0.227831 0.8229 CC1 0.813289 0.145306 5.597062 0.0001 G 1.219186 0.402482 3.029167 0.0085 R-squared 0.994079 Mean dependent var 9875.667 Adjusted R-squared 0.993289 S.D. dependent var 9026.792 S.E. of regression 739.4562 Akaike info criterion 16.20072 Sum squared resid 8201931. Schwarz criterion 16.34911 Log likelihood -142.8065 F-statistic 1259.163 Durbin-Watson stat 1.542608 Prob(F-statistic) 0.000000

(33)

• Y简化式模型估计结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares

C -719.2634 740.2944 -0.971591 0.3467 CC1 1.326937 0.385377 3.443215 0.0036 G 3.839482 1.067451 3.596869 0.0026 R-squared 0.991131 Mean dependent var 20506.28 Adjusted R-squared 0.989948 S.D. dependent var 19561.13 S.E. of regression 1961.163 Akaike info criterion 18.15147

(34)

34

⒌用两阶段最小二乘法估计消费方程

• 比较上述消费方程的3种估计结果，证明这3种方 法对于恰好识别的结构方程是等价的。估计量的差别只是很小的计算误差。

 . . .

Y

_t

= − 719 26343 + 1 3269366 C

_t₋₁

+ 3 8394822 G

_t

 .

α α α

0 1 2

164 90009 0 3175580

0 3918794

=

代替原消费方程中的 _Y

_t

，应用 _OLS 估计

(35)

• 第2阶段估计结果

Dependent Variable: CC Method: Least Squares

C 164.8004 309.0523 0.533244 0.6017 YF 0.317539 0.104827 3.029167 0.0085 CC1 0.391935 0.283353 1.383203 0.1868 R-squared 0.994079 Mean dependent var 9875.667 Adjusted R-squared 0.993289 S.D. dependent var 9026.792 S.E. of regression 739.4562 Akaike info criterion 16.20072

(36)

36

⒍用两阶段最小二乘法估计投资方程

• 投资方程是过度识别的结构方程，只能用2SLS 估计。估计过程与上述2SLS估计消费方程的过 程相同。得到投资方程的参数估计量为：

 .

β β

0 1

380 11614 0 4049326

= −

=

• 至此，完成了该模型系统的估计。

(37)

• 2SLS第2阶段估计结果

Dependent Variable: I Method: Least Squares

Date: 04/11/03 Time: 22:28 Sample(adjusted): 1979 1996

Included observations: 18 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -380.2044 427.6175 -0.889123 0.3871

YF 0.404935 0.015324 26.42468 0.0000

R-squared 0.977599 Mean dependent var 7923.500

Adjusted R-squared 0.976199 S.D. dependent var 7975.613

S.E. of regression 1230.436 Akaike info criterion 17.17256

Sum squared resid 24223582 Schwarz criterion 17.27149

(38)

38

六、主分量法的应用

(39)

⒈方法的提出

• 主分量方法本身并不是联立方程模型的估计方法，而 是配合其它方法，例如2SLS使用于模型的估计过程之 中。

• 数学上的主分量方法早就成熟，Kloek和Mennes于 1960年提出将它用于计量经济学模型的估计。

• 2SLS是一种普遍适用的联立方程模型的单方程估计方 法，但是当它在实际模型估计中被应用时，立刻就会 遇到不可逾越的困难。其第一阶段—用OLS估计简化 式方程，是难以实现的。为什么？

(40)

40

⒉方法的原理

• 所谓主分量方法，就是用较少数目的新变量重新表示原模型中较多数目的先决变量的方法。

• 例如，如果能够找到5个左右的新变量表示宏观经济模 型中的30个先决变量，那么只需要15组以上的样本，

就可以进行2SLS第一阶段的估计。

• 对充当主分量的变量是有严格要求：一是它必须是先决变量的线性组合，二是它们之间必须是正交的。前一条是保证主分量对先决变量的代表性；后一条是保证主分量之间不出现共线性。

(41)

⒊主分量的选取

• 用两个主分量表示两个原变量

Z ₁ = a X ₁₁ ₁ + a X ₁₂ ₂ Z ₂ = a X ₂₁ ₁ + a X ₂₂ ₂

( )

A = a a = 

  

 

1 2

11 21

12 22

a a

(42)

42

• 用k个主分量表示k个原变量

同样可以证明，a

₁

、a

₂

、…、a

_k

分别是X’X的k个 特征值对应的特征向量。

Z = XA

( )

A = a ₁ a ₂  a _k

(43)

• 用f个主分量表示k个原变量

选择a

₁

、a

₂

、…、a

_f

分别是X’X的f个最大特征值 对应的特征向量。

Z = XA

( )

A = a ₁ a ₂  a _f

(44)

44

⒋主分量法在2SLS中的应用

• 对于2SLS，直接利用主分量完成第一阶段的估 计，得到内生解释变量的估计量。

• 在2SLS中主分量的选取 对于简化式方程

( )

Y ₀ = X Π ₀ + Ε ₀ = X ₀ X ₀ ^* Π ₀ + Ε ₀

一般情况下，结构方程包含的先决解释变量

X₀

中变量的数目很有

限，变量主要集中在结构方程未包含的先决变量

X₀^*

中。所以只需

要选择主分量重新表示

_X₀^*

，就可以有效地减少简化式方程中解释

变量的数目，使得在有限样本的支持下模型得到估计。

(45)

(46)

46

5.主分量法在ILS中的应用

• 对于ILS，必须求得到简化式参数，进而计算 结构式参数。

• 首先估计Y=ZΔ+Ε，然后将Z=XA代入，得到 Y=XΠ 中Π的估计量。

(47)

七、其它有限信息估计方法简介

(Limited Information Estimation

Methods)

(48)

48

⒈有限信息最大或然法(LIML，Limited Information Maximum Likelihood )

• 以最大或然为准则、通过对简化式模型进行最大或然估计，以得到结构方程参数估计量的联立方程模型的单方程估计方法。

• 由Anderson和Rubin于1949年提出，早于两阶 段最小二乘法。

• 适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。

(49)

• 在该方法中，以下两个概念是重要的：

一是这里的“有限信息”指的是每次估计只考虑一个结构方程的信息，而没有考虑模型系统中其它结构方程的信息；

二是这里的“最大或然法”是针对结构方程中包含的内生变量的简化式模型的，即应用最大或然法求得的是简化式参数估计量，而不是结构式参

(50)

50

⒉有限信息最小方差比方法(LVR，Least Variable Ratio )

• 估计某一个结构方程参数时，仍然只利用关于该方程的信息，没有利用方程系统的信息，所以是一种有限信息估计方法。

• 参见教科书。

(51)

八、k级估计式

(52)

52

⒈k级估计式

• 本身不是一种估计方法，而是对上述几种方法得到的估计式的概括。

• 对于联立方程模型中的第1个结构方程：

Y

₁

=

₀ ₀



₁

  

  + ( Y , X )

⁰

0

Β

Γ Ν

• k级估计式为：



 (( (  ), ) ( , )) ( (  ), )

Β Γ

0 0

0 0 0 0 0 0

1

0 0 0 0 1



  

  = Y + k Y − Y X ′ Y X

⁻

Y + k Y − Y X ′ Y

(53)

• 显然，当

k=0时，即为OLS估计式；

k=1时，即为2SLS估计式；

k等于有限信息估计方法中的 时，即为有限信息估计式。

λ

(54)

54

⒉k级估计式的性质

• 假设工具变量与随机误差项不相关，即

P lim ( _n ¹ Y ₀ + k (  Y ₀ − Y ₀ )) Ν ₁ = 0

且先决变量与随机误差项不相关，即

P lim _n ¹ ( X ₀ ′ Ν ₁ ) = 0

那么，容易证明k级估计式是一致性估计式。

(55)

• 工具变量与随机误差项不相关，对k是有限制 的，必须有（证明见教科书）：

P lim( 1 − k ) = 0

• 这就是说，只有在2SLS或有限信息估计方法中，

k级估计式是一致性估计式，而在OLS方法中，不具

有一致性。

(56)

56

第五章联立方程计量经济学模型的系统估计方法

the Systems Estimation Methods

一、联立方程模型随机误差项方差—协方差矩阵

二、三阶段最小二乘法简介

三、完全信息最大似然法简介

(57)

一、联立方程模型随机误差项方

差—协方差矩阵

(58)

58

⒈随机误差项的同期相关性

• 随机误差项的相关性不仅存在于每个结构方程不同样本点之间，而且存在于不同结构方程之间。

• 对于不同结构方程的随机误差项之间，不同时期互不相关，只有同期的随机误差项之间才相关，称为具有同期相关性。

(59)

⒉具有同期相关性的方差—协方差矩阵

Y Β + X Γ Ν = Y = Z ∆ Ν~ + [ ^Y ₁ ^Y ₂

^

^Y

_g

]

= Y

y y

i

= i

 



 



1 2

Y _i = Z _i ∆ _i + Ν ~ _i

( )

Z _i = Y ₀ ⁱ X ⁱ ₀

(60)

60

假设：

• 对于一个结构方程的随机误差项，在不同样本点之间，具有同方差性和序列不相关性。即

Cov ( ~ _i _ii Ν = ) σ ² I

• 对于不同结构方程的随机误差项之间，具有且仅具有同期相关性。即

Cov ( ~ _i _j _ij , ~

Ν Ν = ) σ I

(61)

于是，联立方程模型系统随机误差项方差—协方 差矩阵为：

Cov

g g

g g gg

( ~ Ν = )





 







 



σ σ σ

11 2

12 1

21 22

2

2 1 2

2 I I I

I I I





(62)

62

二、三阶段最小二乘法简介 (3SLS,Three Stages Least

Squares)

(63)

⒈概念

• 3SLS是由Zellner和Theil于1962年提出的同时 估计联立方程模型全部结构方程的系统估计方法。

• 其基本思路是 3SLS=2SLS+GLS

即首先用2SLS估计模型系统中每一个结构方 程，然后再用GLS估计模型系统。

(64)

64

⒉三阶段最小二乘法的步骤

⑴ 用2SLS估计结构方程

Y _i = Z _i ∆ _i + Ν ~ _i

得到方程随机误差项的估计值。

(65)

( )

Z _i = Y ₀ ⁱ X ⁱ ₀ Y ₀ ⁱ = X Π ⁱ ₀ + Ε ⁱ ₀

  ( )

Y

₀

ⁱ = X Π ⁱ

₀

= X X X ′

⁻¹

X Y ′

₀

ⁱ

( )

 

Z _i = Y ₀ ⁱ X ₀ ⁱ

 (   ) 

∆ _i = Z Z _i ′ _i

⁻¹

Z _{i i} ′ Y

OLS

估计

OLS

估计

(66)

66

⑵ 求随机误差项方差—协方差矩阵的估计量

( )

e _i = e _i e _i e _in ′

1 2 



( )( )

σ _ij ⁱ ^j

i i j j

n g k n g k

= ′

− + − − + −

e e

1 1

 (  ) Σ = σ _ij

 

Σ ⊗ = I Ω

(67)

⑶ 用GLS估计原模型系统

Y = Z ∆ Ν + ~

得到结构参数的3SLS估计量为：

 (    )  

(  (  )  )  (  )

∆ Ω Ω

Σ Σ

= ′ ′

= ′ ⊗ ′ ⊗

− − −

Z Z Z Y

Z I Z Z I Y

1 1 1

(68)

68

⒊三阶段最小二乘法估计量的统计性质

⑴如果联立方程模型系统中所有结构方程都是可以识别的，

并且非奇异，则3SLS估计量是一致性估计量。

⑵ 3SLS估计量比2SLS估计量更有效。

⑶如果Σ是对角矩阵，即模型系统中不同结构方程的随机 误差项之间无相关性，那么可以证明3SLS估计量与 2SLS估计量是等价的。

⑷这反过来说明，3SLS方法主要优点是考虑了模型系统 中不同结构方程的随机误差项之间的相关性。

(69)

三、完全信息最大似然法简介

（FIML,Full Information

Maximum Likelihood）

(70)

70

⒈概念

• 另一种已有实际应用的联立方程模型的系统估计方法。

• Rothenberg和Leenders于1964年提出一个线性 化的FIML估计量。

• FIML是ML的直接推广，是在已经得到样本观 测值的情况下，使整个联立方程模型系统的或然函数达到最大以得到所有结构参数的估计量。

(71)

⒉复习：多元线性单方程模型的最大似然估计

y _i = β ₀ + β ₁ x ₁ _i + β ₂ x ₂ _i + ⋅⋅⋅ + β _k x _ki + µ _i

i=1,2,…,n

Y = X Β Ν +

(72)

72

• Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率

L P y y y

e

n

y x x x

n

i i i k ki

n

(  , ) ( , , , )

( )

( (     ))

(  ) (  )

Β

Σ

Β Β

σ

π σ π σ

µ

σ β β β β

µ

σ

µ

2 1 2

1 2

2

2 0 1 1 2 2

2

=

− − + + + +

− − ′ −



Y X Y X

(73)

• 对数或然函数为

L Ln L nLn

*

'

( )

( ) (  ) (  )

=

= − 2 − 1 − −

2 ²

πσ ^µ σ _µ ^Y ^X ^Β ^Y ^X ^Β

 ( )

Β = X X ′ ⁻ ¹ X Y ′

• 参数的最大或然估计

(74)

74

⒊复习：有限信息最大或然法 (LIML，Limited Information Maximum Likelihood )

• 以最大或然为准则、通过对简化式模型进行最大或然估计，以得到结构方程参数估计量的联立方程模型的单方程估计方法。

• 由Anderson和Rubin于1949年提出，早于两阶 段最小二乘法。

• 适用于恰好识别和过度识别结构方程的估计。

(75)

• 在该方法中，以下两个概念是重要的：

一是这里的“有限信息”指的是每次估计只考虑一个结构方程的信息，而没有考虑模型系统中其它结构方程的信息；

二是这里的“最大或然法”是针对结构方程中包含的内生变量的简化式模型的，即应用最大或然法求得的是简化式参数估计量，而不是结构式参

(76)

76

Y ₀ ¹ = X Π ¹ ₀ + Ε ¹ ₀

LnL

(

Y ₀ ¹

) = +

c

ⁿ

₂ Ln

Ω

₀ ⁻ ¹

−

₂ ¹ tr

Ω

₀ ⁻ ¹

(

Y ₀ ¹

−

X

Π

¹ ₀

) (′

Y ₀ ¹

−

X

Π

¹ ₀

)

Y ₁ = ₀ ₀  ₁

  

  + ( Y , X ) ⁰

0 Β

Γ Ν

( Y , X )

0

1

0 0 1

1 0

Β

Γ Ν



  

  + =

(77)

⒋完全信息最大似然函数 Y = Z ∆ Ν + ~ ~

~ )

Ν 正态（， 0 Σ ⊗ I

L e

( )

gn

( )

~

( ) ( )( )

Y

I Y

Y Z ¹ I Y Z

= ⊗

⁻

− − ′ ⁻ ⊗ −

1

2

²

1 2

π

∂ Σ ∂

Ν

_{∆ Σ} _∆

= ⊗

⁻

− − ′ ⁻ ⊗ −

1

2 ¹

1

2( ) ( )( )

π

^gn

n

e

Σ Β

^{Y Z}^{∆ Σ} ¹ ^{I Y Z}^∆

ML

的直接推广

(78)

78

• 对数或然函数对于协方差逆矩阵的元素取极大值的一阶条件，得到协方差矩阵的元素的

FIML估计量；

• 对数或然函数对于待估计参数取极大值的一阶条件，求解该方程系统，即可得到结构参数的 FIML估计量。

• 研究的重点是如何求解非线性方程系统。

L e

( ) gn

( )

~

( ) ( )( )

Y

I Y

Y Z

¹

I Y Z

= ⊗ ⁻

− − ′

⁻

⊗ −

1 2 ²

1 2

π

∂ Σ ∂

Ν _{∆ Σ} _∆

(79)

第六章联立方程计量经济学模型的估计方法选择和模型检验

一、模型估计方法的比较

二、为什么普通最小二乘法被普遍采用

三、模型的检验

(80)

80

一、模型估计方法的比较

(81)

⒈大样本估计特性的比较

• 在大样本的情况下，各种参数估计方法的统计特性可以从数学上进行严格的证明，因而也可以将各种方法按照各个性质比较优劣。

• 按渐近无偏性比较优劣

除了OLS方法外，所有方法的参数估计量都具 有大样本下渐近无偏性。因而，除了OLS方法

(82)

82

• 按渐近有效性比较优劣

OLS 非一致性估计，未利用任何单方程外的信息；

IV 利用了模型系统部分先决变量的数据信息；

2SLS、LIML 利用了模型系统全部先决变量的数 据信息；

3SLS、FIML 利用了模型系统全部先决变量的数 据信息和结构方程相关性信息。

(83)

⒉小样本估计特性的Monte Carlo试验

• 参数估计量的大样本特性只是理论上的，实际上并没有“大样本”，所以，对小样本估计特性进行比较更有实际意义。

• 而在小样本的情况下，各种参数估计方法的统计特性无法从数学上进行严格的证明，因而提 出了一种Monte Carlo试验方法。

(84)

84

• 小样本估计特性的Monte Carlo试验过程

第一步：利用随机数发生器产生随机项分布的一组样本；

第二步：代入已经知道结构参数和先决变量观测值的结构模型中；

第三步：计算内生变量的样本观测值；

第四步：选用各种估计方法估计模型的结构参数。

上述步骤反复进行数百次，得到每一种估计方法的参数估计值的序列。

第五步：对每种估计方法的参数估计值序列进行统计分析；

第六步：与真实参数（即试验前已经知道的结构参数）进行比较，以判断各种估计方法的优劣。

(85)

• 小样本估计特性实验结果比较

⑴无偏性

OLS 2SLS 3SLS（LIML，FIML）

⑵最小方差性

LIML 2SLS FIML OLS

⑶最小均方差性

OLS LIML 2SLS 3SLS（FIML）

(86)

86

为什么OLS具有最好的最小方差性？

方差的计算公式：

V N

_i ⁱ

=

N

−

∑

=

1

(  β β  )

2

均方差的计算公式：

MSE E

n ⁱ

i N

= − = −

∑ =

(  β β ) ² (  β β )

1 1 2

前者反映估计量偏离实验均值的程度；后者反映估计量偏离真实值的程度。所以尽管OLS具有最小方

差性，但是由于它是有偏的，偏离真实值最为严重，

所以它的最小均方差性仍然是最差的。

(87)

二、为什么普通最小二乘法被普遍

采用

(88)

88

⒈ 小样本特性

• 从理论上讲，在小样本情况下，各种估计方法的估计量都是有偏的。

(89)

⒉ 充分利用样本数据信息

• 除OLS之外的其它估计方法可以部分地或者全 部地利用某个结构方程中未包含的先决变量的数据信息，从而提高参数估计量的统计性质。

但是其前提是所有变量具有相同的样本容量。

• 在实际上变量经常不具有相同的样本容量。

• 采用先进估计方法所付出的代价经常是牺牲了

(90)

90

⒊ 确定性误差传递

• 确定性误差：结构方程的关系误差和外生变量的观测误差。

• 采用OLS方法，当估计某一个结构方程时，方 程中没有包含的外生变量的观测误差和其它结构方程的关系误差对该方程的估计结果没有影响。

• 如果采用2SLS方法 …

• 如果采用3SLS方法…

(91)

⒋ 样本容量不支持

• 实际的联立方程模型中每个结构方程往往是过度识别的，适宜采用2SLS或3SLS方法，但是在其第一阶段要以所有先决变量作为解释变量，

这就需要很大容量的样本。实际上是难以实现的。

• 采用主分量方法等可以克服这个矛盾，但又带来方法的复杂性和新的误差。

(92)

92

⒌ 实际模型的递推（Recurred）结构

• 应用中的联立方程模型主要是宏观经济计量模型。

• 宏观经济计量模型一般具有递推结构。

• 具有递推结构的模型可以采用OLS。

(93)

补充：递推模型（Recursive Model ）

Β Y + Γ X = Ν

Β =

−

− −

 

 

 

 

1 0 0 0

1 0 0

1 0

21 31 32



 

β

β β

(94)

94

• 可以采用OLS依次估计每个结构方程；

• 在估计后面的结构方程时，认为其中的内生解释变量是“先决”的。

Γ =

− − −





 





 

γ γ γ

11 12 1

21 22 2

1 2







k k

g g gk

(95)

三、模型的检验

(96)

96

• 包括单方程检验和方程系统的检验。

• 凡是在单方程模型中必须进行的各项检验，对于 联立方程模型中的结构方程，以及应用2SLS或 3SLS方法过程中的简化式方程，都是适用的和需 要的。

• 模型系统的检验主要包括：

(97)

⒈拟合效果检验

• 将样本期的先决变量观测值代入估计后的模型，

求解该模型系统，得到内生变量的估计值。将估计值与实际观测值进行比较，据此判断模型系统的拟合效果。

• 模型的求解方法：迭代法。

• 常用的判断模型系统拟合效果的检验统计量是

“均方百分比误差”，用RMS表示。

(98)

98

• 当RMS

_i

=0，表示第i个内生变量估计值与观测 值完全拟合。

• 一般地，在g个内生变量中，RMS<5%的变量数目占70%以上，并且每个变量的RMS不大于10%，

则认为模型系统总体拟合效果较好。

RMS _i e _it n

t n

=

∑ = ² 1

/ e _it = ( y _it − y  ) / _it y _it

(99)

⒉预测性能检验

• 如果样本期之外的某个时间截面上的内生变量实际观测值已经知道，这就有条件对模型系统进行预测检验。

• 将该时间截面上的先决变量实际观测值代入模型，

计算所有内生变量预测值，并计算其相对误差。

RE = ( y _i ₀ − y  ) _i ₀ y _i ₀

• 一般认为，RE<5%的变量数目占70%以上，并且每个

(100)

100

⒊方程间误差传递检验

• 寻找模型中描述主要经济行为主体的经济活动过程的、方程之间存在明显的递推关系的关键路径。

• 在关键路径上进行误差传递分析，可以检验总体模型的模拟优度和预测精度。

• 例如，在一个中国宏观经济模型中，生产方程、收入方程、

分配方程、投资方程、固定资产形成方程等，就构成一个关键路径。而且存在着递推关系，由固定资产决定总产值，由总产值决定国民收入，由国民收入决定财政收入，由财政收入决定投资，由投资决定固定资产。在关键路径上进行误差传递分析，可以检验总体模型的模拟优度和预测精度。

(101)

• 可以计算冯诺曼比来计量关键路径上的误差传递程度：

( e e ) e T

i i

T

i T

i i

T

 −

  

 

− −

= =

∑ ¹ ² ∑

2

2 1 1

(102)

102

⒋样本点间误差传递检验

• 在联立方程模型系统中，由于经济系统的动态性，决定了有一定数量的滞后内生变量。

• 由于滞后内生变量的存在，使得模型预测误差不仅在方程之间传递，而且在不同的时间截面之间，即样本点之间传递。

• 必须对模型进行滚动预测检验。

(103)

• 给定t=1时的所有先决变量的观测值，包括滞后内生变量，求解方程组，得到内生变量 Y ₁ 的预测值；

• 对于t=2，只给定外生变量的观测值，滞后内生变量则以前一时期的预测值代替，求解方程组，得到内生变量Y ₂ 的预测值；

• 逐年滚动预测，直至得到t=n时的内生变量

(104)

104

• 将t=n时的所有先决变量的观测值，包括滞后内生变量的实际观测值，代入模型，求解方程 组，得到内生变量Y

_n

的非滚动预测值；

• 求出该非滚动预测值与实际观测值的相对误差。

• 比较两种结果，二者的差异表明模型预测误差在不同的时间截面之间的传递。

第五章 联立方程计量经济模型 理论方法