數學解析

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　　　　　家齊女中‧黃峻棋老師【試題．答案】依據大考中心公布內容

數學考科

發行人∕陳炳亨 出　版∕民國一○五年二月 總召集∕周耀琨 發行所∕7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 總編輯∕蔣海燕 編輯部∕7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 -1 號 主　編∕江欣穎 電　話∕ (06)2619621 #311 校　對∕陳盈如 ‧ 李遠菡 ‧ 李毓珊 E-mail ∕ periodical@hanlin.com.tw NO.00847

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試題分析

數學

_考科

105 年大學學測重點分析

一

　　為了方便老師教學和同學迅速統整記憶，筆者將目前課綱的考試重點以流程圖的方式呈現，如下：第 1 單元　數與式第 2 單元　多項式函數家齊女中黃峻棋老師

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第 3 單元　指數與對數函數

第 4 單元　數列與級數

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試題分析

第 6 單元　機率

第 7 單元　數據分析

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第 9 單元　直線與圓

第 10 單元　平面向量

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試題分析

第 12 單元　空間中的平面與直線

第 13 單元　矩陣

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105 年大學學測試題分布

二

題號題型命題出處測驗目標難易度 1 單選第一冊第二章　多項式函數二次函數的極值易 2 單選第三冊第一章　三角廣義角三角函數中偏易 3 單選第三冊第二章　直線與圓直線與圓的關係中偏易 4 單選第一冊第三章　指數與對數函數指數律的運算中偏易 5 單選第四冊第二章　空間中的平面與直線空間直線方程式中 6 單選第二冊第一章　數列與級數等比數列中偏易 7 多選第一冊第一章　數與式三角不等式易 8 多選第二冊第四章　數據分析平均數中 9 多選第四冊第二章　空間中的平面與直線兩直線的關係中 10 多選第一冊第二章　多項式函數多項式方程式的根、勘根定理中 11 多選第二冊第四章　數據分析數據的平移、對數運算中偏難 12 多選第三冊第一章　三角正弦與餘弦定理、三角形面積公式中 13 多選第二冊第三章　機率貝氏定理、公平原則中偏難 A 選填第二冊第二章　排列、組合第四冊第三章　矩陣排列組合、矩陣的定義易 B 選填第三冊第三章　平面向量向量的線性組合與面積中 C 選填第四冊第四章　二次曲線橢圓方程式中 D 選填第四冊第三章　矩陣矩陣列運算易 E 選填第三冊第二章　直線與圓二元一次不等式的圖形中 F 選填第二冊第三章　機率古典機率（條件機率）中偏易 G 選填第四冊第一章　空間向量第四冊第二章　空間中的平面與直線空間坐標化、平面方程式中偏難

結　論

三

　　綜合以上的分析，筆者做成幾點結論以供參考： 1_{試題分布平均：第一冊 20 分，第二冊 30 分，第三冊 25 分，第四冊 25 分。} 2_{難易適中、鑑別度高：部分試題雖然跨單元命題，但不至於全部拿不到分數，例如：} 多選第 11 題，統計的閱讀量也控制在一定範圍內，簡單但是有陷阱；選填第 E、G 題，題意明顯但必須具備一定的計算能力，可分辨出學生的程度。而概念較難的題目 如多選第 13 題，同學也不至於全錯。 3_{筆者預估，今年的滿級分大概要 93 分以上。}

F

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試題解析

數學

_考科

第壹部分：選擇題（占 65 分）一、單選題（占 30 分）說明：第1題至第6題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1 設 f（x）為二次實係數多項式，已知 f（x）在 x=2 時有最小值 1 且 f（3）=3。 請問 f（1）之值為下列哪一選項？ 1 5　 2 2　 3 3 4 4　 5 條件不足，無法確定 答案 3 命題出處第一冊第二章　多項式函數測驗目標二次函數的極值難易度易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 21 頁範例 5 詳解 令 f（x）=a（x-2）2+1，且 a>0（∵ f（x）有最小值） 又 f（3）=a+1=3　∴a=2 ∴ f（x）=2（x-2）2 +1，故 f（1）=3，故選3 （另解：亦可用圖形的對稱性看出）

2 請問 sin73°、sin146°、sin219°、sin292°、sin365°這五個數值的中位數是哪一個？

1 sin73°　 2 sin146°　 3 sin219° 4 sin292°　 5 sin365° 答案 5 命題出處第三冊第一章　三角測驗目標廣義角三角函數難易度中偏易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 125 頁範例 4 詳解 令　 a=sin73°

b=sin146°=sin（180°-34°）=sin34° c=sin219°=sin（180°+39°）=-sin39° d=sin292°=sin（360°-68°）=-sin68° e=sin365°=sin（360°+5°）=sin5° ∴ d<c<e<b<a，故中位數為 e，故選5

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3 坐標平面上兩圖形 Γ1，Γ2 的方程式分別為：Γ1：（x+1） 2 +y2 =1、 Γ2：（x+y） 2 =1。請問 Γ1，Γ2 共有幾個交點？ 1 1 個 2 2 個　 3 3 個　 4 4 個　 5 0 個 答案 2 命題出處第三冊第二章　直線與圓測驗目標直線與圓的關係難易度中偏易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 159 頁精彩試題觀摩 1 詳解 Γ₁：（x+1）2+y2 =1 !_{表圓心為（-1c0）}_{，半徑為 1 的圓方程式} Γ2：（x+y） 2 =1 ! x+y=1 或 x+y=-1，表兩條平行直線 作圖如下 ∴圖形交點有 2 個 故選2 4 放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T，該物質的質量會衰退成原來的一 半。鉛製容器中有兩種放射性物質 A、B，開始紀錄時容器中物質 A 的質量為 物質 B 的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時，請問物質 B 的半衰期為幾小時？ 1 8 小時 2 10 小時 3 12 小時 4 15 小時　 5 20 小時 答案 1 命題出處第一冊第三章　指數與對數函數測驗目標指數律的運算難易度中偏易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 43 頁範例 1

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試題解析

詳解 設物質 A 的原質量為 2M 　物質 B 的原質量為 M 且物質 A 的半衰期為 15 2 小時　物質 B 的半衰期為 t 小時 ∴由題意知經過 120 小時之後，A，B 的質量相同 ∴ 2M*

（

1 2

）

120 15 2=M*

（

1 2

）

120 t ! 2*

（

1 2

）

16 =

（

1 2

）

120 t !

（

1 2

）

16 =

（

1 2

）

120 t +1 故 16=120 t +1　∴ t=8 故選1 5 坐標空間中一質點自點 P（1c1c1）沿著方向 z a =（1c2c2）等速直線前進， 經過 5 秒後剛好到達平面 x-y+3z=28 上，立即轉向沿著方向 z b =（-2c2c-1）依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛 好到達平面 x=2 上？ 1 1 秒 2 2 秒 3 3 秒 4 4 秒 5永遠不會到達答案 2 命題出處第四冊第二章　空間中的平面與直線測驗目標空間直線方程式難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 204 頁範例 8 詳解 由題意知 L1 之方程式為 x-1 1 =y-1 2 = z-1 2 設 L 與平面 E1：x-y+3z=28 的交點為 Q 令 Q（t+1c2t+1c2t+1）代入 E1 ! t+1-2t-1+6t+3=28　∴ t=5 ∴ Q（6c11c11） ∴ PQ=

al

52+102+102 =d225 =15 又 L2 之方程式為 x-6 -2 = y-11 2 = z-11 -1

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設 L2 與平面 E2：x=2 的交點為 R ∴令 R（-2k+6c2k+11c-k+11） !-2k+6=2，k=2　 ∴ R（2c15c9） ∴ QR=

al

（-4）2 +42₊_（-2）2 =6 ∵此質點的速率=15 5 =3　 ∴6 3=2，即經過 2 秒到達平面 x=2 上故選2 6 設〈an〉為一等比數列。已知前十項的和為 10

∑

k＝1 ak=80，前五個奇數項的和為 a1+a3+a5+a7+a9=120，請選出首項 a1 的正確範圍。 1 a1<80 2 80Na1<90 3 90Na1<100 4 100Na1<110 5 110Na1 答案 4 命題出處第二冊第一章　數列與級數測驗目標等比數列難易度中偏易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 66 頁範例 3 詳解 10

∑

k＝1 ak= a1•（1-r 10_） 1-r =80 ………1 又 a1+a3+a5+a7+a9= a1•（1-r 10_） 1-r2 =120………2 1 2 得 1-r2 1-r =2 3　∴1+r= 2 3 ，r=-1 3 代入1 a1 = 80*4 3 1-

（

-1 3

）

10 = 320 3 1-

（

1 3

）

10 = 320 3 *3 10 310-1 ~320 3 ~107 故選4

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試題解析

二、多選題（占 35 分）說明：第7題至第e題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。 7 下列各方程式中，請選出有實數解的選項。 1_{∣x∣+∣x-5∣=1} 2_{∣x∣+∣x-5∣=6} 3_{∣x∣-∣x-5∣=1} 4_{∣x∣-∣x-5∣=6} 5_{∣x∣-∣x-5∣=-1} 答案 235 命題出處第一冊第一章　數與式測驗目標實數的性質（絕對值）、三角不等式難易度易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 13 頁範例 10 詳解 由三角不等式可得 ∣x∣+∣x-5∣M5 且∣x∣-∣x-5∣N5 ∴方程式有實根者為235 故選235 8 下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇 異果價格「35 元/一袋 2 顆」表示每一袋有 2 顆奇異果，價格 35 元。 甲商場售價 奇異果價格 20 元/一袋 1 顆 35 元/一袋 2 顆 80 元/一袋 5 顆 100 元/一袋 6 顆 蘋果價格 45 元/一袋 1 顆 130 元/一袋 3 顆 260 元/一袋 6 顆 340 元/一袋 8 顆 乙商場售價 奇異果價格 18 元/一袋 1 顆 50 元/一袋 3 顆 65 元/一袋 4 顆 95 元/一袋 6 顆 蘋果價格 50 元/一袋 1 顆 190 元/一袋 4 顆 280 元/一袋 6 顆 420 元/一袋 10 顆 依據上述數據，請選出正確的選項。 1_{在甲商場買一袋 3 顆裝的蘋果所需金額低於買三袋 1 顆裝的蘋果} 2乙商場的奇異果售價，一袋裝越多顆者，其每顆單價越低 3_{若只想買奇異果，則在甲商場花 500 元最多可以買到 30 顆奇異果} 4 如果要買 12 顆奇異果和 4 顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場 所需最少金額 5無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額

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答案 124 命題出處第二冊第四章　數據分析測驗目標平均數難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 116 頁精彩試題觀摩 詳解 1 ○：買一袋 3 顆的蘋果為 130 元 買三袋 1 顆的蘋果為 45*3=135 元 2 ○：一袋 1 顆單價為 18 元 一袋 3 顆單價為 50 3 =16 2 3 一袋 4 顆單價為 65 4 =16 1 4 一袋 6 顆單價為 95 6 =15 5 6 3 ×： ∵每個袋子中的水果均不能分開買　∴ 500=80*6+20 ∴最多可買 30+1=31 顆 4 ○：1　甲商場 設奇異果每種包裝各買 x、y、z、w 袋 ∴x+2y+5z+6w=12 !_{序組（xcyczcw）=（0c1c2c0）時} 買奇異果最少花 35+160=195 元 同理，買蘋果最少花 45+130=175 元 ∴共花 195+175=370 元 2　乙商場 設奇異果每種包裝各買 x、y、z、w 袋 ∴x+3y+4z+6w=12 !_{序組（xcyczcw）=（0c0c0c2）時} 買奇異果最少花 95*2=190 元 同理，買蘋果最少花 190 元 ∴共花 190+190=380 元 5 ×：反例：若買 40 顆蘋果 甲商場花 340*5=1700 元 乙商場花 420*4=1680 元 故選124

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試題解析

9 下列各直線中，請選出和 z 軸互為歪斜線的選項。 1 L1： x=0 z=0 2 L2 ： y=0 x+z=1 3 L3 ： z=0 x+y=1 4 L4： x=1 y=1 5 L5： y=1 z=1 答案 35 命題出處第四冊第二章　空間中的平面與直線測驗目標兩直線的關係難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 203 頁範例 7、 第 206 頁精彩試題觀摩 2、4 詳解 z 軸的方程式為 x=0 y=0 z=t ，tl 1 ×：L1： x=0 z=0 與 z 軸交點為（0c0c0） 2 ×：L2： y=0 x+z=1 與 z 軸交點為（0c0c1） 3 ○：L3： z=0 x+y=1 與 z 軸歪斜（不平行且不相交） 4 ×：L4： x=1 y=1 ! x=1 y=1 z=s ，sl 與 z 軸平行 5 ○：L5： x=k y=1 z=1 ，kl 與 z 軸歪斜（不平行且不相交） 故選35 0 設 a、b、c 皆為正整數，考慮多項式 f（x）=x4 +ax3 +bx2 +cx+2。請選出正確 的選項。 1 f（x）=0 無正根 2 f（x）=0 一定有實根 3 f（x）=0 一定有虛根 4 f（1）+f（-1）的值是偶數 5若 a+c>b+3，則 f（x）=0 有一根介於-1 與 0 之間

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答案 145 命題出處第一冊第二章　多項式函數測驗目標多項式方程式的根、勘根定理難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 35 頁範例 18 詳解 f （x）=x4+ax3+bx2+cx+2，a、b、c 均大於 0 1 ○：若 t>0，f（t）恆不為 0　∴f（x）=0 沒有正根 2 ×：偶次方程式不一定有實根，如圖1 3 ×：f（x）=0 可能有 4 個實根，如圖2 4 ○：f（1）+f（-1） 　　　 =（a+b+c+3）+（-a+b-c+3） 　　　 =2b+6 必為偶數 5 ○：f（0）f（-1） 　　　 =2*（-a+b-c+3） 　　　 =2*〔（b+3）-（a+c）〕<0　（∵a+c>b+3） 　　　 ∴由勘根定理可知，f（x）=0 在-1 與 0 之間有實根 故選145 q 一個 41 人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過 59 分。老師決定以下 列方式調整成績：原始成績為 x 分的學生，新成績調整為 40 log10

（

x+1 10

）

+60 分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。 1_{若某人原始成績是 9 分，則新成績為 60 分} 2_{若某人原始成績超過 20 分，則其新成績超過 70 分} 3調整後全班成績的全距比原始成績的全距大 4 已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數 5 已知小美的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小美的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）答案 124 命題出處第二冊第四章　數據分析測驗目標數據的平移、對數運算難易度中偏難類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 108 頁範例 3 圖! 圖@

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試題解析

詳解 1 ○：新成績=40*log10 10 10+60=60 2 ○：若 x>20，則 log10 x+1 10 >log10 21 10>log102~0.3010 ∴新成績>40*0.3010+60~72 3 ×：反例：設原始成績：最低 55 分，最高 59 分!全距為 4 新成績：最低 40*log10 56 10+60 　　　　最高 40*log10 60 10+60 　　　　∴全距=40*log10 60 56~1.2 ∴調整後：全距不一定變大 4 ○：調整後的順序不變，所以仍為中位數 5 ×： ∵新成績的調整不是線性關係 ∴調整後的成績平均數不一定是小美調整後的分數 反例：以 3 人為例 原成績：2、3、4 !平均為 3 新成績： 40 log10 3 10+60，40 log10 4 10+60， 40 log10 5 10+60 !_平均為40 3

（

log10 3 10+log10 4 10+log10 5 10

）

+60 _40 log10 4 10+60 故選124

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w 在△ABC 中，已知∠A=20°、AB=5、BC=4。請選出正確的選項。 1_{可以確定∠B 的餘弦值} 2可以確定∠C 的正弦值 3_{可以確定△ABC 的面積} 4_{可以確定△ABC 的內切圓半徑} 5_{可以確定△ABC 的外接圓半徑} 答案 25 命題出處第三冊第一章　三角測驗目標正弦與餘弦定理、三角形面積公式難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 127 頁範例 6、 第 128 頁範例 7、第 130 頁範例 9 詳解作圖如下 1 ×： ∠B 的角度有兩種可能 ∴cosB 不確定 2 ○：由正弦定理 4 sin20°= 5 sinC 　 ∴sinC=5 4*sin20° 3 ×： ∵AC 有兩種可能　 ∴△ABC 面積不確定 4 ×： △ABC 面積=r*s　 ∵面積不確定　 ∴r 亦不確定 5 ○：承2， 4 sin20°=2R　 ∴R 可確定 故選25

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試題解析

e 甲、乙、丙、丁四位男生各騎一臺機車約 A、B、C、D 四位女生一起出遊，他 們約定讓四位女生依照 A、B、C、D 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機 車。其中除了 B 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這 些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。 1 A 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到甲的鑰匙的機率 2 C 抽到甲的鑰匙的機率大於 D 抽到甲的鑰匙的機率 3 A 抽到乙的鑰匙的機率大於 B 抽到乙的鑰匙的機率 4 B 抽到丙的鑰匙的機率大於 C 抽到丙的鑰匙的機率 5 C 抽到甲的鑰匙的機率大於 C 抽到乙的鑰匙的機率 答案 45 命題出處第二冊第三章　機率測驗目標貝氏定理、公平原則難易度中偏難類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 96 頁範例 6、第 97 頁範例 7 詳解由上圖可知 P（A 抽到甲）=1 4，P（C 抽到甲）= 3 4*1* 1 2 =3 8 P（D 抽到甲）=3 4*1* 1 2*1= 3 8 ∴ A B C D P（抽到甲） 1 4 0 3 8 3 8 P（抽到非甲） 3 4 1 5 8 5 8 又每人抽到乙、丙、丁（非甲）的機率相等（公平原則） ∴ A B C D P（抽到乙） 1 4 1 3 5 24 5 24 P（抽到丙） 1 4 1 3 5 24 5 24 P（抽到丁） 1 4 1 3 5 24 5 24

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1 ×： A 抽到甲的機率為 1 4 C 抽到甲的機率為 3 8 2 ×： C 抽到甲的機率為 3 8 D 抽到甲的機率為 3 8 3 ×： A 抽到乙的機率為 1 4 B 抽到乙的機率為 1 3 　 4 ○： B 抽到丙的機率為 1 3 C 抽到丙的機率為 5 24　 5 ○： C 抽到甲的機率為 3 8 C 抽到乙的機率為 5 24 故選45

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試題解析

第貳部分：選填題（占 35 分）說明：1 第 A. 至 G. 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（14 – 31）。 　　　2 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 A. 考慮每個元（或稱元素）只能是 0 或 1 的 2*3 階矩陣，且它的第一列與第二列 不相同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有　rt　個。答案 42 命題出處第二冊第二章　排列、組合、第四冊第三章　矩陣測驗目標排列組合、矩陣的定義難易度易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 210 頁範例 2 詳解 □　□　□ □　□　□ _2*3 第一列的情形有 2*2*2-1=7 種 第二列的情形有 7-1=6 種（∵第一列與第二列不同） ∴共有 7*6=42 個矩陣 B. 坐標平面上 O 為原點，設 z u =（1c2）、z v =（3c4）。令 W 為滿足 zOP =xz u +yz v 的所有點 P 所形成的區域，其中 1 2NxN1、-3NyN 1 2 ， 則 W 的面積為 4 　y u　平方單位。（化成最簡分數）答案 7 2 命題出處第三冊第三章　平面向量測驗目標向量的線性組合與面積難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 167 頁範例 5 詳解 作圖如右 zzOP=xz u +yz v ，1 2NxN1，-3NyN 1 2 ∴ P 點所形成的區域如陰影部分所示 又 z u 、z v 所圍之平行四邊形面積為∣

∣

1　2 3　4

∣

∣=2 ∴所求為 1 4*2*7= 7 2

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C. 從橢圓 Γ 的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得 一個邊長為 2 的正方形，則 Γ 的長軸長為　i　+　o　。 答案 1+a5 命題出處第四冊第四章　二次曲線測驗目標橢圓方程式難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 224 頁範例 6 詳解 AB=AD=2，ABCD 為正方形 ∴ 2c=2 ! c=1 令方程式 x 2 a2 + y 2 b2 =1 ∵圖形過（1c1）　 ∴ 1 a2 + 1 b2 =1………（＊） 又 a2 =b2 +1 ! b2 =a2 -1 代入（＊） 得 1 a2 + 1 a2-1 =1　 ! a 2 -1+a2 =a4 -a2 ! a4_-3a2₊₁₌₀ ∴ a2₌ 38f9-4 2 = 38a5 2 （取正號）（∵a 2 =b2 +1） ∴ a2₌ 3+a5 2 = 6+2a5 4 ! a= 6+2a5 4 = a5 +1 2 ! 2a=1+a5 故長軸長為 1+a5 【另解】 由題意知，如右上圖 AF1=1，F1F2=2 ! AF2=

g

2 2₊₁2 =a5 ∴長軸長為 AF1+AF2=1+a5 s

(22)

試題解析

D. 線性方程組 　x+2y+3z=0 2x+　y+3z=6 　x-　y　　　 =6 　x-2y-　z=8 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為 1　0　a　b 0　1　c　d 0　0　0　0 0　0　0　0 ，則 a=　p　、b=　a　、c=　s　、d=　df　。 答案 1，4，1，-2 命題出處第四冊第三章　矩陣測驗目標矩陣列運算難易度易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 208 頁範例 1 詳解 1　　2　　3　0 2　　1　　3　6 1　-1　　0　6 1　-2　-1　8 　　　　　　　　 → 1　　2　　3　0 0　-3　-3　6 0　-3　-3　6 0　-4　-4　8 → 1　2　3　　0 0　1　1　-2 0　1　1　-2 0　1　1　-2 　　　　　　 → 1　2　3　　0 0　1　1　-2 0　0　0　　0 0　0　0　　0 → 1　0　1　　4 0　1　1　-2 0　0　0　　0 0　0　0　　0 ∴a=1，b=4，c=1，d=-2 *（-2）_* （-1） *（-1） /（-3） /（-3） /（-4） *（-1） *（-1） *（-2）

(23)

E. 設 a 為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式 x-3yNa x+2yN14 的所有點所形成 之區域面積為 213 5 平方單位，則 a=　g　。 答案 6 命題出處第三冊第二章　直線與圓測驗目標二元一次不等式的圖形難易度中類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 148 頁範例 4 詳解 作圖如下 所求為陰影面積 面積 =△BCD-△OAD =1 2*

∣（

7+ a 3

）

* 42+2a 5

∣

-1 2*

∣（

-a 3

）

*a

∣

=213 5 ! a+21 3 * 2a+42 5 - a 2 3 =213 5 *2 !_（a+21）_{（2a+42）-5a}2 =1278 ! 3a2 -84a+396=0 ! a2 -28a+132=0 !（a-6）（a-22）=0 ∴a=6 或 22

（

不合　∵面積=213 5

）

故 a=6

(24)

試題解析

F. 投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為 a，b，c。在 b 為奇數的條件下，行 列式

∣

a　b b　c

∣

>0 的機率為₄ 　hj kl　。（化成最簡分數）答案 19 36 命題出處第二冊第三章　機率測驗目標古典機率（條件機率）難易度中偏易類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 93 頁範例 3 詳解 a　b　c 6*3*6=108 ∴

∣

a　b b　c

∣

>0 ! ac-b 2_>0 1 b=1 時，ac>1　∴6*6-1=35 個 2 b=3 時，ac>9 ∴ a 2 3 4 5 6 c 5，6 4，5，6 3，4，5，6 2，3，4，5，6 2，3，4，5，6 共 19 個 3 b=5 時，ac>25 ∴ a 5 6 c 6 5，6 共 3 個 ∴滿足 ac-b2 >0 的情形共有 35+19+3=57 個 ∴機率為 57 108 =19 36 G. 如右圖所示，ABCD-EFGH 為一長方體。若平面 BDG 上一 點 P 滿足zz AP =1

3 zzAB +2 zzAD +a zzAE ，則實數 a=₄　 ; z　。（化成最簡分數）

答案 4

(25)

命題出處第四冊第一章　空間向量、第四冊第二章　空間中的平面與直線測驗目標空間坐標化、平面方程式難易度中偏難類似題 《大滿貫複習講義•數學 1-4 冊》第 189 頁範例 4、第 198 頁範例 1 詳解 設此長方體的邊長為 1，2，3，並將圖形坐標化，如下圖所示 令 P（xcycz） zzAP =1

3 zzAB +2 zzAD+a zzAE !_{（xcycz-3） =}1 3（1c0c0）+2（0c2c0）+a（0c0c-3） =

（

1 3c4c-3a

）

∴ x=1 3，y=4，z=3-3a 又平面 BDG 的法向量 z n 7zzBD *zzBG 　　=

（∣

2　　0 2　-3

∣

c

∣

　0　-1 -3　　0

∣

c

∣

-1　2 　0　2

∣）

　　=（-6c-3c-2） 令 z n =（6c3c2）　 ∴平面 BDG 的方程式為 6x+3y+2z=12 將 P 代入平面中，2+12+6-6a=12　 ∴6a=8 ! a=4 3

(26)

試題解析

參考公式及可能用到的數值 1_{首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S=} n（2a+（n-1）d） 2 首項為 a，公比為 r（r_1）的等比數列前 n 項之和為 S=a（1-r n_） 1-r 2_{三角函數的和角公式： sin（A+B）=sinA cosB+cosA sinB}

cos（A+B）=cosA cosB-sinA sinB tan（A+B）= tanA+tanB 1-tanA tanB 3_{△ABC 的正弦定理：} a sinA = b sinB = c sinC =2R（R 為△ABC 外接圓半徑） △ABC 的餘弦定理：c2_=a2_+b2_{-2ab cosC}

4_{一維數據 X：x}₁_，x₂_{，……，x}_n_， 算術平均數 mX= 1 n（x1+x2 +……+xn）= 1 n n

∑

i＝1 xi 標準差 sX= 1 n n

∑

i＝1 （xi-mX） 2 = 1 n（（ n

∑

i＝1 xi 2_） -nmX 2_） 5_{二維數據（XcY）}：（x1cy1），（x2cy2），……，（xncyn）， 相關係數 rXcY= n

∑

i＝1 （xi-mX）（yi-mY） nsXsY 迴歸直線（最適合直線）方程式 y-mY=rXcY sY sX （x-mX）

6　參考數值：a2 ~1.414，a3 ~1.732，a5 ~2.236，a6 ~2.449，π~3.142 7　對數值：log102~0.3010，log103~0.4771，log105~0.6990，log107~0.8451

F

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數學 解析

數學考科

試題分析

數學

考科

105 年大學學測重點分析

一

試題分析

試題分析

105 年大學學測試題分布

二

結 論

三

F

試題解析

數學

考科

試題解析

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al

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試題解析

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試題解析

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_考科

結　論

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