99學年度高一上第三次定期考

定期考優良試題推介

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99

學年度高一第三次定期考

教育部高中數學學科中心試題研發小組

指導教授：國立臺灣師範大學數學系陳昭地教授、 國立臺灣師範大學數學系洪有情教授、 國立臺灣師範大學數學系張幼賢教授、 國立臺灣師範大學數學系朱亮儒教授 小組成員：臺北市立建國高中曾政清老師、 國立基隆女中沈燈賢老師、 臺北市立北一女中蘇麗敏老師、 國立竹南高中李政豐老師、 國立臺中一中李吉彬老師、 國立北港高中蕭民能老師、 國立新豐高中王人傑老師、 報告撰寫：國立基隆女中沈燈賢老師

一、前言

自99 學年度開始，高中實施新的課程綱要。有鑒於新課綱的變動很大，數學 學科中心 了讓在教學現場第一線的老師能互相觀摩學習，並擴充數學教學資_爲 源，於是廣邀全國各高中上網分享定期考試題，再依據學校特性隨機抽樣20 所學校，之後邀請學者專家、第一線高中教師與種子教師從中挑出優良試題，提 供教師們參考。敝人忝為其中一員，在陳昭地與朱亮儒兩位教授指導之下，與政 豐前輩合作完成「指數、對數函數」範圍的報告，希望藉此拋磚引玉讓大家能更 清楚課綱，並使命題的品質更上層樓。 命題時需考量的因素極複雜，在有限的時間及配分的情況下，須就題目數量、 難易度、鑑別度與平均成績等因素反覆考量，是有一定難度的工作。令我們驚豔 的是大部分學校的試題都能切中課綱，也難易適中；但限於篇幅，相同的題型， 我們只能選一題為代表，_{如校名有所疏漏，尚請見諒！除此，我們盡量呈現新} 穎創意考題，那是老師們用心與努力的結晶；同時 了讓大家能互相觀摩，我_爲 們也儘可能呈現最多數的學校。 其次，有感於新課綱才開始實施，仍有少數學校忽略新舊課綱的變動，命題 內容超出課綱範圍，我們整理成第四部分，以茲互相提醒之！最後一部分，容 我們提出一點溫馨的建議，互相切磋，希望對大家的出題能有幫助。

二、基礎重要試題

1. 已知(6, )p _為y3x_{圖形上的一點，且( , )q p 為y} 3_{243 3} x_{圖形上的一} 點，求q的值。 參考答案：13 3 出處：屏東女中 2. 將函數ylog2 x的圖形往右平移h單位，再往上平移k單位後可得函數 2 1 log 8 4 x y _  _  的圖形，求數對( , )h k __________。 _{參考答案：}(2, 3) 出處：金門高中 建議：「求數對( , )h k __________」 改為「則數對( , )h k  」 3. 已知a0, b0且2a _{d , 3}b _d，若12x _d，則x_{__＿＿________。} （以a b, _表之） 參考答案： 2 ab a b 出處：金門高中 4. （多選）設 f x( )為三次實係數多項式 f( 1 2 ) 0  i  ，且對任意負實數a, f a( ) 0 恆成立，試問下列哪些敘述是正確的？ (1) f(2 i) 0 (2) 多項式 f x( )可被_x2_{2x5整除} (3) 若y f x( )的圖形交x軸於( , 0) ，則 0 (4) 若 f( ) 0  ，則 0 (5) 方程式 _{f x( )}3 _{ x 0沒有實根。} 參考答案：(1)(2)(3) 出處：新竹女中 建議： f x( )應為實係數三次多項式函數，且滿足 f( 1 2 ) 0  i 

5. （多選）坐標平面上，若A(0, 5), B(6, 7)_為: y b log (₂ x k )_圖形上的 兩 點，其中 b, k 為常數，試問下列哪些敘述是正確的？ (1) 數對( , ) (4, 2)b k  (2) 若點(2, )_{ 在}的圖形上，則 5 (3) 若點(3, )_{ 在}的圖形上，則4 _6400 (4) 若P(14, )c , Q(16, )d _在的圖形上，則PQ 5 (5) 將的圖形向左平移 1 單位，再向下平移 3 單位，得函數 　: ylog (22 x6). 參考答案：(1)(3)(5) 出處：新竹女中 建議：(5)平移之後的函數就不再是函數 6. （多選）下列對於圖形的敘述何者正確？ (1) _y2x_與y2x_{圖形對稱y軸} (2)

 

1 2 4 x y 與_y2x2_{圖形對稱直線x2} (3)

 

1 2 x y 與y log2x圖形對稱直線y x (4) ylog2x與y log2x圖形對稱y軸 (5) ylog2x與 3 8 log y x 圖形重合。 參考答案：(1)(2)(3)(5) 出處：新竹高中 建議：「何者正確」改為「那些是正確的」

7. 設 x＞0, y＞0 且滿足x4y8_，試求log₂xlog₂ y_{的最大值。} 參考答案：2 出處：錦和高中 8. 解不等式： 2 _{2 3} 2 _{3 4} 3x x _3  x x _{，x範圍為__________。} 參考答案： 7 2 x 或x 1 出處：岡山高中 建議：題目敘述：若x_{滿足不等式：} 2 _{2 3} 2 _{3 4} 3x x _3  x x _{，則x的範圍為_______} _。

9. （多選）下列各 x 值，何者大於 1？ (1) log 10 10 3 2 x  (2) 1 2 log 32 x (3) ₁₀x _ 3₁₀₀ (4) 1 2 log x 2 (5) 1 2 2 x        . 參考答案：(1)(4) 出處：暖暖高中 建議：「下列各 x 值，何者大於 1」改為「下列哪些選項中的x_{值大於1」} 10. 解方程式：1 log ( 4 x 1) log (2 x7)，則x__________。 參考答案：15 出處：暖暖高中 建議：「解方程式」改為「若x_{滿足方程式」} 11. （多選）下列各圖形, 何者與2x y0_{恰有一交點？} (1) 1 2 x y  _{  }   　 (2) _y2x (3) 1 2 log y x (4) ylog2 x　 (5) ylog | |2 x . 參考答案：(1)(3)(4)(5) 出處：基隆女中 建議：「下列各圖形, 何者與」改為「下列哪些函數圖形與」

12. （多選） 設log 32 a, log 53 b，則下列各式何者正確？ (1) log 5 ab2  (2) 5 1 log 2 ab  (3) log₃102b (4) log 56 1 b a   (5) 15 1 2 log 50 ab a ab    . 參考答案：(1)(2)(5) 出處：基隆女中 建議：「則下列各式何者正確」改為「下列哪些式子是正確的」 13. 解 2 1 log log 1 64 x x  . 參考答案：8, 1 4 出處：小港高中 14. 已知指數函數 _{f x}( )_ax_{，其中a0，且此函數圖形通過P(4,16)。若} 1, 2 x x 為實數，且 f x( ) 31  , f x( ) 52  ，則 f x( 1x2)__________。 參考答案：3 5 出處：陽明高中 15. 方程式 2 10 5 10 log ( 1) log ( 3) log 5 x x   _{ 的解為}x__________。 參考答案：1 或2 出處：陽明高中 建議：「為x__________」改為「x_{為__________」} 16. 設 5 100 9 a         , 8 3 10 b _{  }   , 3 0.027 c ，試比較a b c, , _{三數的大小 。} （以a b c, , _表示） 參考答案：b c a  出處：新豐高中

值為__________。 參考答案：234000 出處：新豐高中 18. （多選）設1 a b  , x0，下列敘述何者正確？ (1) logalogb (2) 若x1，則log_a xlog_bx (3) 若x1，則log_a xlog_bx (4) 若0 x 1，則log_a xlog_b x (5) 若0 x 1，則log_a xlog_bx 參考答案：(3)(5) 出處：臺南二中 建議：「下列敘述何者正確？」改為「下列哪些選項是正確的？」 19. 設2和1 8是方程式log2x a log 8x  b 0的兩根，求數對



a b,



_________。 參考答案：



1, 2



出處：臺中二中 建議：「求數對



a b,



_________」改為「則數對



a b,



為_________」 20. 2 4 2 8 1 1 log 5 log 5 (log 5 log 0.2) _  _   __________。 參考答案：2 出處：國立苑裡高中 21. （單選）若 x＝ 56 . 2 3 . 88 3 ，則下列哪一個敘述是正確的？（請參見以下對數 表）　 (1) 2.73 x 2.74 (2) 2.74 x 2.75 (3) 2.75 x 2.76 (4) 2.77 x 2.78 (5) 2.78 x 2.79 參考答案：(5) 出處：鹿港高中

22. 已知 2 6 5 10 4 n    _     ，則 n 之最大值為__________。 參考答案：-60 出處：鹿港高中 建議：「n 之最大值為__________」改為「整數 n 之最大值為__________」或 「已知整數n_滿足 2 6 5 10 4 n    _     ，則 n 之最大值為__________。」 23. 設a0, a1, ,b c_{皆大於 0，且a}3_b2_c1_{，求log a}4_b4_c2 a =__________。 參考答案：2 出處：蘭陽女中 建議：「求_{log a}4_b4_c2 a =__________」改為「則 4 4 2 log (a a b c )之值為 」 且複雜的真數應加括弧_{(a b c}4 4 2₎ 24.關於指數、對數的運算，下列哪些選項是正確的？ (1) (log 3)(log 4) 17 7  (2) 4 2 3 (log 3) (log 2) 4 (3) log 35 3 7 3 5 log 7 (4) 5log 76 7log 56

(5) log 7 5 log 5 log 25 7  49 參考答案：(3)(4)(5)

出處：建國中學

25. 若自然數n滿足log (log ) 25 3n  ，則n是__________位數。 參考答案：12

三、新穎創意試題

26.（單選）已知x y, 0且x y, 滿足_xy3_{1000，若將(log , log )x y 描繪在坐標} 平面上，下列何者為其圖形？ 參考答案：(A) 出處：屏東女中 27.鮮奶的保鮮時間會因其儲藏的溫度而不同。當儲藏溫度為x℃時，可保鮮 ( ) x f x  k a 小時，其中k a, 是常數。下圖是y f x( )的部份圖形：試問 當室溫為20℃時，此時鮮奶在這樣的室溫下的保鮮時間為幾小時？（請 化簡為最簡根式） 參考答案：_{25 2} 出處：屏東女中

28.（單選）某一調查發現，觀看美國職棒轉播的觀眾人數，會受王建民在美國 職棒的勝場數影響。若觀看美職轉播的人數為 f k( )，滿足 _{f k}( )_a(1.2)k_， 其中a為常數，k為王建民在美國職棒的勝場數。今發現 f k( ) 400001  , 2 ( ) 80000 f k  , f k( ) 1600003  ，則下列選項何者正確？ (1) k3 2k1k2 (2) k3 2k2k1 (3) k3  k1 k2 (4) k3 k k1 2 (5) 2 2 3 1 k k k  參考答案：(2) 出處：新竹女中 建議：「若觀看美職轉播的人數為 f k( )」的若改為「已知」 29.（單選）下列選項中最小的數為 (1) 1 3 　(2) 3 3 9 　(3) 4 1 27 　(4) 8 0.25 3 ( 3 ) ₍₅₎ 2 6 1 ( 3) . 參考答案：(4) 出處：新竹高中 建議：「下列選項中最小的數為」改為「下列哪一個選項中的數最小」 30.（是非）若a1, k為任意實數，則方程式_ax_{  x k} 0_{必恰有一實根。} 參考答案：○ 出處：岡山高中 31.若n! 1 2 3    _ n，則 2 3 50 1 1 1 + + +

log 50! log 50!  log 50!__________。 參考答案：1 出處：暖暖高中 建議：因為答案是1 比較容易被猜到，如果改成計算題，可以觀察學生作 答 情形就更好了。 32.小明向地下錢莊借100 元，月利率 24％，每月複利 1 次，10 個月後本利和= __________元。 參考答案：859 出處：小港高中 33.函數_y2x_{a的圖形與函數 log ( 1)} b y x 的圖形，對稱於直線y x，

則( , )a b ＝__________。 參考答案：(1,2) 出處：臺南二中 建議：「則( , )a b ＝__________」改為「數對( , )a b _＝ 」 34. 已知函數_{f x}( ) 2_ x_{，等差數列}

 

n a 的公差為2，若 2 4 6 8 10 ( ) 4 f a a a a a  ，則log [ ( )2 f a1 f a( )2 f a( )3   f a( 10)]______ ____。 參考答案：6 出處：臺南二中 建議：「等差數列

 

an 的公差為2」改為「

 

an 為公差2 的等差數列」 35.某天陳小亮喝酒，x_{小時後血液中酒精濃度百分比為R%，兩者關係可以下} 列數學模式表示：_{R }2 5kx_{，其中k為常數。若 2 小時後血液中酒精濃度} 為 1%，則從喝完酒後至少要__________小時（取整數）血液中酒精濃度才 檢驗不出來。（儀器在血液中酒精濃度 0.01%以下即檢驗不出） 參考答案：6.7 出處：臺中二中 36.有一球從 10 公尺的高度自由落下，若每次反彈的高度是落下前高度的 5 2 ， 則至少反彈__________次後，球的高度小於₁₀2_公尺。 參考答案：8 出處：鹿港高中 37.若 a﹐b﹐c﹐d﹐e 皆為不等於 1 的正實數﹐且_a2_＝c5_﹐c3_＝e2_﹐若

(loga b)(logb c)(logc d)(logd e)=

x y ，求x =__________。y 參考答案： 5 3 出處：蘭陽女中 建議：「若 a﹐b﹐c﹐d﹐e」改為「已知 a﹐b﹐c﹐d﹐e」

「求x =________」改為「則y x y _{之值為 」} 38.（多選）曲線_{y a} x_{的部分圖形與x軸的關係如下圖所示，其中A B C, , 為x} 軸上的相異三點，且AB BC ，過A B C, , _{三點分別作}x_{軸的垂線，並交曲} 線_{y a} x_{的圖形於D E F, , 三點。下列選項哪些正確？} (1) a1 (2) AD CF  2 BE (3) AD BE CF, , 三線段長度成等差數列 (4) 2 AD CF BE (5) 若B為原點，則_{AD CF a}2 參考答案：(1)(2)(4) 出處：建國中學 39.（多選）_已知0 a 1，若方程式 log_a x 2011 0 _{的最大實根為}x_{1，最小實} 根為x2。下列選項哪些正確？ (1) y| log_ax|_的圖形與y2011_{的圖形共有 2 個交點} (2) 方程式log_a x 2011 0 _{恰有 3 個相異實根} (3) x1 a2011 (4) x1x2 2011 (5) x x1 2 1 參考答案：(1)(5)

出處：建國中學 建議：「下列選項哪些正確」改為「下列哪些選項是正確的」 40.若一物質的碳 14 初始量為a0，經過t 年之後隨著放射衰變的碳 14 殘存量 為at ，則at a0(1r%)t，其中

r

為常數。已知碳 14 的半衰期為 5570 年， 即經過約 5570 年後，碳 14 的殘存量為初始量的一半。西元 1951 年，日本 植物學家大賀一郎博士在東京附近千葉縣檢見川地下泥碳層中，發現了三 粒種子，並由芝加哥大學 Willard Frank Libby 博士測得碳 14 殘餘量與原始 含量的比為 0.7797。 (1) 請利用本卷附表並搭配線性內插法，求log 7.797_{之值。(四捨五入至小} 數點後第四位) (2) 求此種子是距當時(西元 1951 年)幾年前之遺物。(四捨五入至整數) 參考答案：(1) 0.89192 (2) 2000 出處：建國中學 註：在發現後的數個月，其中的兩顆種子栽培失敗，但第三顆於 1952 年 7 月 18 日竟成功開出 蓮花，因此取名「大賀蓮」，目前於日本千葉縣千葉公園中的蓮花即為大賀蓮，於每年六 月下旬至七月間盛開。 附表：部分常用對數表(log x10 ) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025

四、建議避免出現或可待討論改善之試題

1. （多選）觀察相關的函數圖形，判斷下列何者正確？ (1) 方程式5x_{ x} 0_{恰有1 個實數解} (2) ylog (2 x5)與ylog (5 )2 x 之圖形，經平移之後，可以疊合 (3) 若0 a 1，則_{y a} x_{的圖形與 log} a y x的圖形恰有1 個交點 (4) ylog3x的圖形與 1 3 log y x_{的圖形對稱於x軸} (5) 函數 _{f x}( ) 2_ x_{的圖形與直線x2011相交於一點} 修題建議: (3) x log a y a 與y x,在0_{ a e}e_{時有三交點，如下圖，在e}e_{ a 1} 有一交點，但是不易證明，只有藉助 gsp 或 geogebra 才看得出，不必在高中 考題中出現，本題約在三年前曾由大陸高考中出現，我們也覺得不適合。若 改成『 1 2 1 log 2 x y _{ } y x   與 的圖形恰有一交點』或許比較好。 2 .（多選）設整係數多項式 _{f x( ) 2 x}5_cx4_dx3_ex2 _{ fx15，則下列何者正}

(1) f x( ) 0 必有實根 (2) 若 f(1 i) f i( ) 0 ，則 f x( ) 0 恰有一實根 (3) 若 f(1) (2) 0f  ，則方程式 f x( ) 0 在1 與 2 之間沒有實根 (4) 若2 3是 f x( ) 0 的一根，則2 3亦為另一根 (5) 若ax b 是 f x( )的一次因式，則a整除2，且b整除15。 修題建議: 第(3)個選項｢若 f(1) (2) 0,f  _則方程式 f x( ) 0 _{在 1 與 2 之間沒有實根｣，這題} 本來想印證或補充勘根定理的不足： f(1) (2) 0f  _{則在 1 與 2 之間，可能沒有實} 根，或偶數個實根。但是 Galois 定理告訴我們一元五次以上方程式沒有公式解， 當特殊的係數時，解得實根也是很奇怪的根式，不太容易用牛頓定理或一次因 式檢查法找得它的有理根，因此命題老師可能認為 _{f x( ) (2 - 3)( x x}4_{- 5)就滿足} (1) (2) 0 f f  ，_{且在 1 與 2 之間有兩個實根的情形，而否定選項(3)。函數圖形的} 概念比較完整的介紹課綱是擺在選修Ⅱ，以高一階段較不適合此題型。_如下圖 5 4 3 2 ( ) 2 +2 65 306 299 15 f x  x x  x  x  x 也有同樣性質。建議直接把函數改成 4 ( ) (2 - 3)( - 5) f x  x x ，讓學生更容易判斷也有了心得。

3. （多選）若 a = 22008_{﹐則下列敘述何者正確？} (1) a的個位數字為 8　 (2) a為 605 位數　 (3) a的首位數字為 4 (4)_a14自小數點後第 152 位開始出現不為 0 的數字　 (5)承(4)﹐此數字為 1﹒ 修題建議: log 2 0.30103 _{，若指數超過 2008 較多時，} 2008 0.3010=604.408 2008 0.30103=604.46824 與  的值會差較大。要特別 小心。 4. （多選）下列關於對數的運算哪些是正確的？ (1) log 3 log2  2 3

(2) log (7 5) log 7 log 510   10  10 (3) log 6 log 2

log 3

(4) _logx2 _{2 logx}

(5) 若 log3x3，則x1 修題建議:

(4)_logx2 _{2 log x 加上(x0)，如果學生以為『log x既然寫出來就表示它}

有意義(即 x>0)，是否造成爭議？』條件清楚最好，不要讓學生疑慮。 5.（多選）已知 log2



0.3010，log3



0.4771，log7



0.8451，則下列敘述何者 正確? (A) 720_{為 17 位數} (B) 100 3 1       _{在小數點後第 48 位開始不為 0} (C)720_{的個位數字為 9} (D) 524_{的最高位數字為 6} (E) 720 _{ 5}24_{為 18 位數} 修題建議: 每一小題都是好的題目，但放在一起之後，整個題目的份量就顯 得太重，會因為投資報酬率太低而造成學生容易放棄，殊為可惜。

(1) _{  2}8 _{( 2)}8 (2) ₂30_230 _260

(3) log(13 17) log13 log17  

(4) 4 5 5 log x 4 log x (5) 7 7 log 3 log 3 log5log 5 修題建議: 選項(4) 4 5 5 log x 4 log x 加上「其中x_{為任意實數」，才能說它是錯的。如果} 學生以為『log x5 既然寫出來就表示它有意義(即 x>0)，是否造成爭議？』 7. （是非） ₂10 ₁₀ 1 5 25 修題建議: 應用括弧表示 _{(2 )}10 ₁₀ 5 =25 或(5 ) =252 10 10，以明確表示符號的意義。 8. （是非）若x0，且log x ab 其中a_{ }_{（負整數），b  （自然數），} 則log x 的首數為a，尾數為b。 修題建議: 改成：若 x>0,log x= 2.3 ,則log x_{的首數為－2，尾數為 3，這樣比較清楚。} 這個選項是錯的。 9. （是非）指數函數與對數函數的圖形兩者必對稱y x直線。 修題建議: 改成 0, 1, x log a a a y a 與 y x兩者必對稱於直線 y=x。這樣 才明確。 10.（是非）若 1 0.5 4 log (2x 1) log x_{，則x的範圍為除了1 以外的任意實數。} 修題建議: x 範圍為除了 1 以外的任意實數，『x=-1，一看就知不合』。

11. 設 a﹐b﹐c 為異於 1 的正數﹐若_ab2_c3_{1﹐求 2 b} a log _ 2 1 _a b log _ 2 3 _c b log  3 2 _b c log _ 3 1 _b c

log _{logca  3logac  __________﹒}

修題建議: (1) 答案為2 logab3logac 1, 1 3 log log 1 2 ba2 bc  , 但是 2 1

log log log

3 cb3 cb ca卻不是－1 (代入 c=2, b=a= 1 2)。題目是否有誤?可能為 2log_ab_ 2 1 _a b log _ 2 3 _c b log _ 3 2 _b c log _ 3 1 _b c log _{ 3logac  － 3 ﹒} (2) 此題若拆成以下兩個子題，是不錯的題目：

(i)2 logab3logac？ (ii)

1 3

log log

2 ba2 bc？

12. 求_{(log 2)}3_{(log 5)}3_{(log5)(log8)的值。} 修題建議:

若_沒想到

2 2

log 5 log8=3log 2 log 5=3log 2 log 5 ( log 2+ log 5) =3( log 2) log 5+3( log 2) ( log 5)

log 2+ log 5=1       且 就做不出來。第一次解此題的同學會有點困難。

五

、溫馨的建議

1. 題意敘述應力求清楚完整，不用符號。如x R 直接寫x_為實數。 2. 問句的寫法要適當： 選擇題的句子應求完整，如「∙∙∙，則小明獲利」應改為「∙∙∙，則小明獲利多 少元？」。 單選題的問句是「下列何者」或「下列哪一個」； 多選題的問句是「下列哪些」，而且選項間要盡量互斥，如 (1)a0(2)a0(3)a0_{只能三選一，就不合適；} 填充題如「求n_{為 位數」應改為「則}n_{為 位數」。} 3. 有教過才會的題目最好不要在全校性的考試出現，例如 求 _{(log 2)}3_{(log 5)}3_{(log5)(log8)的值，}

5. 在備課前記得先看課綱，不在課綱範圍的教材，可視學生的程度教授；但是， 不在課綱範圍內的試題，則不宜在全校性的考試中出現。