3B03 指數函數

▲ 圖 1 實驗室中常進行細菌培養與研究，其中一 個原因是因為其繁殖速度極快，在短時間內細 菌的數量會以指數方式成長。若某細菌每 1 小 時會分裂 1 次，其數量會變為原來的 2 倍；經 過 2 小時後，其數量會變為原來的 4 倍…，以 此類推，可得「時間（小時）」與其數量「倍 數」的關係圖如圖 1 所示。 本單元將探討形如圖 1 這樣的函數關係及其圖形，並介紹它在生活上的應 用。

甲 指數函數及其圖形

如同引言所說，生物族群在環境阻力小，養分、空間充足的情況下，短時間 內生物數目會以指數的方式成長，最常見的例子是實驗室中培養的細菌，若每 1 小時會分裂 1 次，其數量會變為原來的 2 倍；經過 2 小時後，其數量會變為原來 的 4 倍…，以此類推，如下表所示。 時間（小時） 0 1 2 3 4 … x … 數量會變為原來的幾倍 1 2 4 8 16 …

₂

x _… 一般而言，經過 x 小時後，其數量 y 會變為原來的

2

x_{倍，也就是說，}

_{y }

₂

x_會 形成函數關係，說明如下。 給定任意實數 x，指數

2

x_{的值都隨之唯一確定，也就是說，x 與}

₂

x_之間的對 應關係

2

x

x

 





指數函數的定義 設

_a

 

_0,

_a

₁

，且 x 是任意實數，函數

 

x

y f x





a

稱為以 a 為底數的指數函數。 上面的定義中，特別要求

a

1

，原因是：當

a

1

時，

_{f x  }

 

1 1

x _為常數函 數，其圖形為一條水平直線。 接下來利用描點法來描繪前文提及的指數函數

_{y }

2

x_之圖形。 【例题 1】 描繪指數函數

_{y }

2

x_的圖形。 Ans： 【詳解】 首先列出一些滿足

y 

2

x的點

 

x y

,

。 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4

2

x

y 

1

16

1

8

1

4

1

2

1 2 4 8 16 接著，將表列所對應的點逐一畫在坐標平 面上（如右圖中的黑點）。此外，可再描出 更多的點，如

1

,

3

,

5

,

2

2

2

x 



7

2



所對應 的點（此時可利用計算機來求值，例如當

1

2

x 

時， 1 2

2 1.41

y



等），在繪製很多 個點之後，可看出 x 愈大，y 愈大。最後， 如果描點數夠多，並用平滑曲線把這些點 連接起來，就可得到函數

_{y }

2

x_{的圖形（如} 右圖中的紅色曲線）。

觀察

_{y }

2

x_{的圖形發現：其圖形通過點}

 

_0,1

_{，恆在 x 軸上方，且愈往右邊上} 升愈快，愈往左邊愈貼近 x 軸。 【隨堂練習 1】 描繪指數函數

_{y }

3

x 的圖形。 Ans： 【詳解】 首先列出一些滿足

_{y }

3

x_的點

 

_{x y}

_,

_： x 2 1 0 1 2

3

x

y 

1

9

1

3

1 3 9 接著將表列所對應的點逐一畫在坐標平面上， 最後再用平滑曲線把這些點連接起來而得出下圖，

即為

_{y }

3

x_的圖形 事實上，

_{y }

3

x_{的圖形同樣具有類似例題 1 中}

_{y }

₂

x_{的圖形之特徵。一般而言，} 當底數

a

1

時，指數函數

y a



x的圖形都通過點

 

0,1

，恆在 x 軸上方，且愈往右 邊上升愈快，愈往左邊愈貼近 x 軸。 接著，來看一個底數

0

 

a

1

的例子：半衰期是指放射性物質衰變至原來數 量的一半所需的時間。經過 1 個半衰期後，其數量會變為原來的

1

2

；經過 2 個半 衰期後，其數量會變為原來的

1

4

…，以此類推，如下表所示。 經過幾個半衰期 0 1 2 3 4 … x …

剩餘的量

原來數量

1

1

2

1

4

1

8

1

16

…

1

2

x

 

 

 

… 一般而言，經過 x 個的半衰期，其數量會變為原來的

1

2

x

 

 

 

，那麼，函數

1

2

x

y  

 

_{ }

圖形長什麼樣子呢？來看一道例題。

【例题 2】 描繪指數函數

1

2

x

y  

 

 

的圖形。 Ans： 【詳解】 首先列出一些滿足

1

2

x

y  

 

_{ }

的點

 

x y

,

。 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

x

y  

 

_{ }

16 8 4 2 1

1

2

1

4

1

8

1

16

接著，將表列所對應的點逐一畫在坐標平 面上（如右圖中的黑點）。此外，可再描出 更多的點，如

1

,

3

,

5

,

7

2

2

2

2

x 

 

所對應 的點（此時可利用計算機來求值，例如當

1

2

x 

時， 1 2

1

_0.71

2

y  



 



 

等）。最後，如 果描點數夠多，並用平滑曲線把這些點連 接起來，就可得到函數

1

2

x

y  

 

 

的圖形（如 右圖中的綠色曲線）。 觀察

1

2

x

y  

 

 

的圖形發現：其圖形通過點

 

0,1

，恆在 x 軸上方，且愈往右邊 愈貼近 x 軸，愈往左邊上升愈快。

【隨堂練習 2】 描繪指數函數

1

3

x

y  

 

 

的圖形。 Ans： 【詳解】 首先列出一些滿足

1

3

x

y  

 

_{ }

的點

 

x y

,

： x 2 1 0 1 2

1

3

x

y  

 

_{ }

9 3 1

1

3

1

9

接著將表列所對應的點逐一畫在坐標平面上， 最後再用平滑曲線把這些點連接起來而得出下圖， 即為

1

3

x

y  

 

_{ }

的圖形。

▲ 圖 2 事實上，

1

3

x

y  

 

 

的圖形同樣具有類似例題 2 中

1

2

x

y  

 

 

的圖形之特徵。一 般而言，當底數

0

 

a

1

時，指數函數

y a



x的圖形都通過點

 

0,1

，恆在 x 軸上 方，且愈往右邊愈貼近 x 軸，愈往左邊上升愈快。 再將

_{y }

2

x_和

1

2

x

y  

 

 

的圖形放在同一坐標 平面上，如圖 2 所示；觀察發現兩圖形對稱於 y 軸。 一般而言，指數函數

y a



x和

1

x

y

a

 

 

_{ }

的圖 形對稱於 y 軸（證明請見附錄一）。 將指數函數

y a



x的圖形整理如下。

指數函數的圖形 設

a

 

0,

a

1

，指數函數

y a



x的圖形如下： 指數函數

y a



x的圖形有以下的特徵： (1) 因為

a 

0

1

，所以圖形會過點

 

0,1

。 (2) 圖形都在 x 軸上方。 (3) ①當

a

1

時，圖形由左往右逐漸上升，即 x 愈大，y 愈大（也就是說，若

 



，則

a





a

），並稱這樣的函數為嚴格遞增函數。 ②當

0

 

a

1

時，圖形由左往右逐漸下降，即 x 愈大，y 愈小（也就是說，若

 



，則

_a





_a

），並稱這樣的函數為嚴格遞減函數。 (4) 函數

y a



x和

1

x

y

a

 

 

_{ }

的圖形對稱於 y 軸。 (5) 圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的上方，稱函數圖形的凹口向 上，如圖 3 所示。 ▲圖 3 由圖 3 觀察發現：指數函數

y a



x的定義域為全體實數 ，且值域為所有正

【隨堂練習】 已知函數

f x

 

的圖形與

 

1

5

x

g x

 

 

 

的圖形對稱於 y 軸，求

f x

 

。 Ans： 【詳解】 因為函數

_{y a}



x_和

1

x

y

a

 

 

_{ }

的圖形對稱於 y 軸， 所以

_{f x }

 

5

x_。 利用指數函數的特徵來做一道與底數有關的題目。 【例题 3】 指數函數

_{y a y b y c}



x

,



x

,



x_{的圖形如右所示。} 選出所有正確的選項。 (1)

a

1

(2)

_b

₁

(3)

_c

₁

(4)

_{b a}



。 Ans： 【詳解】 由圖形可知： (1) 因為

y a



x為嚴格遞增函數，所以

a

1

。 (2) 因為

y b



x為嚴格遞增函數，所以

b

1

。 (3) 因為

y c



x為嚴格遞減函數，所以

₀

 

_c

₁

。

(4) 作直線

x

1

分別與

y a



x和

y b



x交於

A a

 

1,

,

 

1,

B b

兩點，如右圖所示；因為 B 點在 A 點的上方， 所以

_{b a}



。 故選(1)(2)(4)。 【隨堂練習 3】 指數函數

_{y a y b y}



x

,



x

,



2

x_{的圖形如右圖所示，其} 中

y a



x與

_{y }

2

x_{的圖形對稱於 y 軸。選出所有正確} 的選項。 (1)

a

1

(2)

OP

1

(3)

1

2

a 

(4)

a b



。 Ans： 【詳解】 由圖形可知： (1) 因為

_{y a}



x_{為嚴格遞減函數，所以}

₀

 

_a

₁

_。 (2) 因為P 點坐標為

 

0,1

，所以

_OP

₁

。 (3) 因為

y a



x與

y 

2

x對稱於y 軸，所以

1

2

a 

。 (4) 作直線

x

1

分別與

y a



x和

y b



x交於

1

1,

A

a



_











，

B

1,

1

b



_











兩點，

如上圖所示，因為B 點在 A 點的上方， 所以

1 1

b a



，即

a b



。

乙 指數函數在生活的應用

了解指數函數及其圖形的特徵後，接下來看看指數函數在不同層面的應用。 （一）指數方程式與其生活的應用 前一節提到細菌的數量會以指數的方式成長，常見的研究對象為大腸桿菌， 它每過 30 分鐘，其數量會變為原來的 2 倍；經過 60 分鐘後（2 個 30 分鐘），其 數量會變為原來的 4 倍。一般而言，經過 x 分鐘後（

30

x

個 30 分鐘），其數量會 變為原來的

₂

30 x 倍。假設經過一段時間後，發現細菌數量變為原來的 1024 倍，那 麼是經過了多少分鐘呢？也就是說，指數方程式 30

2

1024

x



的解為何呢？ 在解指數方程式的過程中，經常會用到第一冊學過的指數律：設

a b

,

為正實 數，

r s

,

是任意實數，則 (1)

a a a

r s



r s 。 (2)

 

a

r s



a

rs。 (3)

a b

r r



 

ab

r。 再者，因為指數函數為嚴格遞增函數或嚴格遞減函數，其圖形與 x 軸上方的 水平線僅有唯一的交點，也就是說， 若

_a





_a

，則

 



。 (a) (b) ▲圖 4 利用這個性質來看一道例題。

【例题 4】 解下列各方程式： (1)

3

x



3 3

。 (2)

 

3

3 1x



3

。 Ans： 【詳解】 (1) 將方程式化為 3 2

3 3 3 3

x





_， 又因為

_{y }

3

x_{為嚴格遞增函數，} 可知其圖形與

y

3 3

僅有唯一的交點， 如右圖所示，所以

3

2

x 

。 (2) 因為

 

₁ 3 1 _{3 1} 3 1 2 2

3

3

3

x _x x

 

 



_{ }



 

， 所以方程式可化為 3 1 2

3

3

x



， 可得

3

1

1

2

x 

， 解得

1

3

x 

。 【隨堂練習 4】 解下列各方程式： (1)

3

x2



3

5 6x 。 (2)

₂

30

₁₀₂₄

x



。 Ans：

(2) 將方程式化為

₂

30

_{1024 2}

10 x





可得

10

30

x 

，解得

x

300

。 再來看一道較複雜的指數方程式例題。 【例题 5】 (1) 設

t 

3

x，試以 t 表示

₉

x與

₃

x1。 (2) 解方程式

9 3

x

  

x1

18 0

。 Ans： 【詳解】 (1) 因為

9

x

 

3

2x

 

3

x 2_，所以

9

x



t

2_； 因為

3

x1



3 3

x _，所以

3

x1



3

t

_。 (2) 利用(1)將方程式

9 3

x

  

x1

18 0

化為 2

_{3 18 0}

t

  

t

， 因式分解得

  

t



3

t

 

6

0

， 解得

_{t }

₃

或

_{t }

₆

。 但因為

t  

3 0

x ，所以

t 

6

不合。 故

t 

3

，即

3 3 3

x

 

1，解得

x

1

。 【隨堂練習 5】 (1) 設

t 

2

x，試以 t 表示

4

x_。 (2) 解方程式

4 2 2 0

x

  

x 。 Ans： 【詳解】

 

(2) 利用(1)將方程式

_{4 2 2 0}

x

  

x 化為 t2 －t－2＝0， 因式分解得

  

t



2

t

 

1 0

， 解得 t＝2 或



1

。 但因為 t＝2x_{＞0，所以 t＝1 不合。} 故 t＝2，即 t＝2x ＝2， 解得 x＝1。 接著，來看一道跟指數方程式相關的應用問題。 【例题 6】 十二平均律是一種音樂的定律方法，每個音的弦長乘以 1 12

2

 倍 即可得到下一個音的弦長。設第一個音的弦長為 1，問： 第幾個音的弦長為

1

2

？ Ans： 【詳解】 設第 x 個音的弦長為

1

2

，依題意可得 1 1 12

1

1 2

2

x 







_

_







， 再將方程式化為 1 1 12

2

x



2

 ， 可得

1

1

12

x







_

_







，

【隨堂練習 6】 藥物在人體血液中的剩餘量會隨著時間遞減，且經過 x 小時後，血液中的藥物濃度為指數函數

 

x

f x



ma

， 其中

m a

,

是常數。已知右圖是

y f x



 

的部分圖形， 求

m a

,

的值。 Ans： 【詳解】 因為函數圖形通過點



2, 200 , 4,100

 



， 所以代入函數得

_{200 ma}



2_與

_{100 ma}



4_。 將兩式相除，得 2

100 1

2

1

200 2

a



 

， 解得 1 2

2

a



 ， 再代回

_{200 ma}



2_， 得

 

2 1 1 2

200

 

m

2



 

m

2

， 解得

m

400

。 （二）指數不等式與其生活的應用 前一節提過半衰期是指放射性物質衰變至原來數量的一半所需的時間，例如 碘 131 的半衰期為 8 天，表示該元素經過 8 天後，其數量會變為原來的

1

2

；經過 16 天後（2 個 8 天），其數量會變為原來的

1

4

。一般而言，經過 x 天後（

8

x

個 8 天），其數量會變為原來的

1

8

2

x

 

 

 

。

依據臺灣食品管理法規，一般食品中碘 131 的安全容許量需低於 100 貝克／ 公斤，如果某食材中，測出碘 131 的含量為 3200 貝克／公斤，那麼，要經過多少 天後，其碘 131 含量才會在安全容許量以內呢？也就是說，指數不等式 8

1

3200

100

2

x

 



_{ }



 

的解為何呢？ 在解決形如上述的不等式之前，我們先利用圖形來比較給定實數指數的大小 關係，並以兩個例題（分別為底數大於 1 與底數介於

_0,1

之間）來說明。 【例题 7】 觀察

_{y }

5

x 的圖形，比較 1 0.25 6 4

5 ,

25,

25

a



b



c



三數的大小關係。 Ans： 【詳解】 將以上三數都化成以 5 為底數的指數： 1 0.25 ₄

5

5

a



, 2 1 6 2 6

₂₅

₅

₅

6

₅

3

b



 

,

 

1 1 1 2 4 4 2

25

5

5

c





。 因為

_{y }

5

x_{是嚴格遞增函數} （即 x 愈大，y 愈大）， 所以

c b a

 

。 【隨堂練習 7】 觀察

y 

2

x的圖形，比較

a



2,

b



3

4,

c



4

8

三數的大小關係。

1 2

2 2

a



,

 

1 2 2 3

₄

₂

3

₂

3

b





,

 

1 3 3 4

₈

₂

4

₂

4

c





。 因為

_{y }

2

x_{是嚴格遞增函數（即 x 愈大，y 愈大），} 所以

c b a

 

。 再來看一道底數大於 0 且小於 1 的例題。 【例题 8】 觀察

_{y }

0.3

x_{的圖形，比較}

 

3 2 0.5

10

0.3,

0.09 ,

3

a

b

c



 





_{ }

 

三數的大小關係。 Ans： 【詳解】 將以上三數都化成以 0.3 為底數的指數：

 

1 2

0.3

0.3

a



,

   

_0.5

 

₂ 0.5

 

₁

0.09

0.3

0.3

b





 

 

 

3 ₃ 3 2 _{1 2} 2

10

0.3

0.3

3

c

 _ 

 



_{ }





 

。 因為

y

 

0.3

x是嚴格遞減函數（即 x 愈大，y 愈小）， 所以

_{a b c}

 

。

【隨堂練習 8】 觀察

_{y }

0.5

x_{的圖形，比較}

_a



_0.5,

_b



3

_0.25,

_c



4

_0.125

三數的大小關係。 Ans： 【詳解】 將以上三數都化成以 0.5 為底的指數：

 

1 2

0.5

0.5

a



,

 



₂



1

 

2 3

_0.25

_0.5

3

_0.5

₃

b





,

 





1

 

3 3 4 4

_0.125

_0.5

_0.5

₄

c





。 因為

_{y }

0.5

x_{是嚴格遞減函數（即 x 愈大，y 愈小），} 所以

a b c

 

。 指數函數嚴格遞增或嚴格遞減的特徵也可以用來解決指數不等式的問題。 【例题 9】 解不等式

   

0.7

x2



0.49

x。 Ans： 【詳解】 因為

0.49



 

0.7

2，所以不等式可化為

   

2 ₂

0.7

x



0.7

x， 又因為

0 0.7 1

 

， 可知以 0.7 為底的指數函數為嚴格遞減函數，所以

【隨堂練習 9】 解不等式

3

2 1

1

3

x



。 Ans： 【詳解】 上式可化為

₃

2 1x



₃

1， 因為底數

3 1



，所以

2 1

x 

1

， 解得

x

1

。 碳 14 定年法是考古學上常用的技術：生物還活著時，因為呼吸作用，所以體 內的碳 14 數量大致不變；當生物死去後，體內的碳 14 就會放射衰變減少。考古 學家們可利用這個衰變特性來推斷生物的死亡時間或與生物相關的古物年代。 【例题 10】 2014 年考古學家於法國北部發現了一尊雕像，利用碳 14 鑑定後， 發現該雕像的碳 14 數量少於原來的

1

16

。已知碳 14 的半衰期約 為 5700 年，問：該雕像至少為幾年前的古物？ 選出最接近的選項。 (1) 1500 年 (2) 3000 年 (3) 12000 年 (4) 23000 年。 Ans： 【詳解】 設此雕像為 x 年前的古物。 因為碳 14 的半衰期約為 5700 年， 表示該元素經過 5700 年後數量剩下原來的

1

2

， 所以，經過 x 年後，碳 14 的數量變為原來的

1

5700

2

x

 

 

 

。

依據題意可得 5700

1

1

2

16

x

  

 

 

， 再將不等式化為 4 5700

1

1

2

2

x

 

_

 

 

 

 

 

， 又因為

0

1

1

2

 

， 可知以

1

2

為底的指數函數為嚴格遞減函數， 所以

4

5700

x 

， 解得

x

22800

。 故選(4)。 【隨堂練習 10】 依據臺灣食品管理法規，一般食品中碘 131 的安全容許量 需低於 100 貝克／公斤。已知某食材中，測出碘 131 的含 量為 3200 貝克／公斤，且碘 131 的半衰期為 8 天，問： 至少要超過幾天其含量才會在安全容許量以內？ Ans： 【詳解】 因為碘 131 的半衰期為 8 天， 表示該元素經過 8 天後剩下原來的

1

2

， 所以，經過 x 天後， 碘 131 的含量為原來 3200 的

1

8 x

 

 

倍。

再將不等式化為 5 8

1

1

2

2

x

   

_

   

   

， 又因為底數

1

1

2



，所以

8

x 

5

， 解得

_x

₄₀

。 故至少要超過 40 天，其含量才會在安全容許量以內。 （三）指數函數在金融的應用 再來看一個按比例成長的應用情形。同學過年領到的壓歲錢常被存入銀行， 而銀行常提供的利息計算方式有單利與複利兩種，這兩種的不同在於：單利是將 所獲得的利息與本金分開，每期所領取的利息固定，如銀行的「存本取息」制； 複利則是把每期所獲得的利息加上本金，一起當作下一期的本金，如「整存整付」 制。例如：某定存年利率為 10％，已知本金為 10 萬元，以一年為一期，不同期 數的本利和如下表（單位：萬元）。 時間 以單利計算本利和 以複利計算本利和 1 年後

10 1 10





％





11

10 1 10





％





11

2 年後

10 1 10





％

 

2 12



11 1 10

 



％

 



10 1 0.1





2



12.1

3 年後

10 1 10





％

 

3 13



12.1 1 10

 



％

 



10 1 0.1





3



13.31

… … … n 年後

10 1 10





％



n



10 1 0.1







n 以單利計算時，本利和隨著時間以線性成長；而以複利 計算時，本利和隨著時間以指數成長，如圖 5 所示。愛因斯 坦曾說：「複利的威力勝過原子彈！」不少信用卡的循環利 率都是複利計算。指數成長的複利，其威力不容小覷。 一般而言，設本金為 P 元，每期的利率為 r％，單利與 複利的本利和計算方法如下表。 ▲ 圖 5

時間 以單利計算的本利和 以複利計算的本利和 n 期後

P



1

 ％

r

n



P



1

 ％

r



n 來看一道單利與複利比較的應用問題。 【例题 11】 某銀行推出青年創業優惠貸款方案如下： 貸款 100 萬元、年利率為 3％、每年計息一次， 十年後期滿一次還清本利和。 (1)以單利計息，期滿還款時須還多少錢？ (2)以複利計息，期滿還款時須還多少錢？ （四捨五入到整數位） Ans： 【詳解】 (1) 十年後單利的本利和為









100 1 3

  

％

10 100 1 0.3 130





（萬元）。 (2) 十年後複利的本利和為





10

 

10

100 1 3



％



100 1.03

（萬元）。 利用計算機依序按下 1.03 10 1000000 可得

 

10

100 1.03

（萬元）



1343916（元）。 【隨堂練習 11】 某銀行推出六年儲蓄專案如下： 一次存 100 萬元、年利率為 2.5％、每年計息一次，

Ans： 【詳解】 (1) 六年後單利的本利和為









100 1 2.5% 6 100 1 0.15 115



 





（萬元）。 (2) 六年後複利的本利和為





6





6

100 1 2.5%





100 1.025

（萬元）。 利用計算機得

100 1.025





6（萬元）



1159693（元）。 (3) 六年期滿領回本利和時， 複利計息比單利計息多領 9693（元）。

之前提到，複利的本利和會隨著時間以指數成長，那麼如果是在一年內的計 息次數愈多，本利和會不會無上限的愈來愈大呢？我們以本金 1 萬元、年利率 100 ％的情形下，以一年複利一次（此時利率為 100％=1）、每半年複利一次（此時利 率為

1 0

0

％

 

2

05

.

）、每季複利一次（此時利率為

10

0

％

 

4

0

. 5

2

）…，一年後 得到的本利和列出如下表（單位：萬元）。 計息週期 （多久複 利一次） 一年的 期數 n 每期的利率

100

n

％

一年（n 期）的 本利和

1 1

100

n

n





 

_

_





％

一 年 1

100

％



1

 

1 1

 

1

2

半 年 2

100

％

 

2 0.5



1 0.5





2



2.25

一 季 4

100

％

 

4 0.25



1 0.25





4



2.4414

一個月 12

100

％

 

12 0.0833



1 0.0833





12



2.61207

一 週 52

100

％

 

52 0.01923



1 0.01923





52



2.69249

一 天 365

100

％

 

365 0.00274



1 0.00274





365



2.71484

半 天 730

100

％

 

730 0.00137



1 0.00137





730



2.71669

一小時 8760

100

％



8760 0.000114155





1 0.000114155





8760



2.71812

一分鐘 525600

10

0

％



5

2560

0



0.

00

00

019

0259



1



0.00000190259



525600



2.71828

由上表可看到，計息次數愈多，本利和愈大，而且會大 約趨近 2.718…；事實上，當一年內計息次數愈來愈多次時， 本利和並不會無上限的愈來愈大，而會趨近一個固定的常數， 我們將這個常數記做 e。利用計算機依序按下 1 如圖 6 所示，就可得到 e

2.718281828。

由計算機的畫面，看起來 e 似乎是循環小數，事實上，e

=2.718281828459045…

為一個無理數。它就像圓周率



一樣，是一個小數點以後有無限多個數字且不循 環的無理數。因為歐拉是第一位使用 e 來表示這個常數的數學家，所以常數 e 又 稱為「歐拉數」。

觀念澄清

0. 下列敘述對的打「」 (1) 指數函數

y 

7

x的圖形過點

 

0,1

。 (2) 若點





100, k



在

_{y }

2

x_{的圖形上，則}

_k

₀

_。 (3) 指數函數

y

 

0.99

x的圖形與

y

100

不相交。 (4) 指數函數

y 

5

x與

1

5

x

y  

 

_{ }

的圖形都是凹口向上。 (5)

7

0.8



7

0.9。 Ans： 【詳解】 (1) ○：

7 1

0



。 (2) ╳：

k



2

100



0

。 (3) ╳：指數函數

y



0.99



x的值域為所有正實數， 所以與

y

100

有交點。 (4) ○：指數函數圖形的凹口向上。 (5) ╳：因為

7 1



，所以

7

0.8



7

0.9 。

1. 連連看：將下列各函數連到所對應的函數圖形：

2

x

y 

• •

f x

 

1

2

x

y  

 

_{ }

• •

g x

 

3

x

y 

• •

h x

 

1

3

x

y  

 

 

• •

k x

 

Ans： 【詳解】

2

x

y 

• •

f x

 

1

2

x

y  

 

 

• •

g x

 

3

x

y 

• •

h x

 

1

3

x

y  

 

_{ }

• •

k x

 

2. 指數函數

y a y b y



x

,



x

,



3

x的圖形如右圖所示， 其中

y b



x與

_{y }

3

x_{的圖形對稱於 y 軸。選出所有} 正確的選項。 (1)

a

1

(2) P 點坐標為

 

0,1

(3)

1

3

b

(4)

3 a



。 Ans： 【詳解】 由圖形可知：

(1) 因為

_{y a}



x_{為嚴格遞增函數，所以}

_a

₁

_。 (2) P 點坐標為

 

0,1

。 (3) 因為

y b



x與

_{y }

3

x_{對稱於y 軸，所以}

1

3

b

。 (4) 作直線

x

1

分別與

y a



x和

_{y }

3

x_交於

 

1,

A a

，

C

 

1,3

兩點， 因為A 點在 C 點的上方， 所以

a

3

。 故選(1)(2)(3)。 3. 解下列各方程式： (1) 3

5

5

5

x

 

 

 

 

。 (2)

4 7 2 8 0

x

   

x 。 Ans： 【詳解】 (1) 將方程式化為 3 2

5 5

x



 _，解得

3

2

x

。 (2) 設 t＝2x ，方程式可化為 t2 －7t－8＝0， 即

  

t

  

1

t

8 0

，解得 t＝8 或



1

。 但因為 t＝2x_{＞0，所以 t＝1 不合。} 故 t＝8，即 2x ＝8， 解得 x＝3。

【詳解】 將以上三數都化成以 5 為底的指數： 3 4

_{125 5}

4

a



, 2 3

_{25 5}

3

b



, 1 2

5 5

c



。 因為

_{y }

5

x_{是嚴格遞增函數（即 x 愈大，y 愈大），} 所以

_{a b c}

 

。 5. 解不等式 2

4

₁

5

x

  

 

 

。 Ans： 【詳解】 將不等式化為 2 0

4

_>

4

5

5

x

 

 

 

 

 

 

， 因為底數

4

1

5



， 所以

x 

2 0

， 解得

_x

₂

。 6. 已知服用某藥物經過 x 小時後，體內該藥物濃度降為原來的

 

0.5

4 x ， 問：至少需要幾個小時，體內的藥物濃度才會降至原來的一半？ Ans： 【詳解】 經過 4 小時後， 體內該藥物濃度降為原來的

 

4 4

1

0.5

2



倍， 即降至原來的一半。 7. 某保險公司推出教育基金儲蓄專案如下： 在嬰兒出生時存 10 萬元、年利率為 3.5％、以複利計息且 每年計息一次，18 年後期滿一次領回本利和。問：期滿時可 領回多少錢？（四捨五入到整數位）

Ans： 【詳解】 18 年後複利的本利和為





18





18

100000 1 3.5%





100000 1.035



185749

（元）。

二、進階題

8. 解不等式

 

 

2 _{2 3}

0.3

x x



0.09

x 。 Ans： 【詳解】 將不等式化成

 

0.3

x x2



 

0.3

4 6x ， |因為底數

0.3 1



， 所以

_{x x}

2

  

_{4 6}

_x

， 解得

  

₁

_x

₆

。 9. 鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的 半衰期為 30 小時。已知經過 120 小時後甲的質量為乙的兩倍， 求乙的半衰期。 Ans： 【詳解】 因為物質甲的半衰期為 30 小時， 表示該物質經過 30 小時後質量剩下原來的

1

2

， 所以經過 120 小時後，物質甲的質量為原來的 120 ₄ 30

1

1

1

 

_

 

_

 

 

倍。

物質乙的質量為原來的 120

1

2

t

 

 

 

倍。 因為經過 120 小時後， 物質甲的質量為物質乙的兩倍， 所以得 120

1

₂

1

16

2

t

 

  

_{ }

， 即 120 ₅

1

1

1

2

32

2

t

 

_{ }

 

 

 

 

 

， 解得

_{t }

₂₄

。 10. 半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體 數目每兩年增加為原來的兩倍」。 (1) 已知經過 6 年後，電晶體數目為原來的 x 倍，求 x 的值。 (2) 已知經過 t 年後，電晶體數目為原來的

a

t倍，求 a 的值。 Ans： 【詳解】 (1) 因為積體電路板可容納的電晶體數目 每兩年增加為原來的兩倍， 所以經過 6 年後為 6 3 2

2

 

2 8

倍， 即

_x

₈

。 (2) 經過t 年後，電晶體數目為原來的

 

2

t倍，

2

a

。 11. 某城市每年的人口數逐年按固定比例成長。已知此城市十年前 有 81 萬人，且現在有 100 萬人，依此比例繼續成長下去，問： 五年後此城市的人口數為幾萬人？（四捨五入到整數位） Ans：

【詳解】 設此城市每年的人口數按固定比例 r 成長。 依題意可得

₈₁

 

_r

10

₁₀₀

， 解得 10

100

81

r 

。 故五年後此城市的人口數為 1 2 5

100

10

100

100

100

111

81

9

r

 

  

_{ }

_{ }

  

（萬人）。