中學生通訊解題第九期
問題編號 89901 試求 11111111111110000000000051之值。 參考解答： (方法一)
9 1 10 9 99 9999999999 9 9 11 1111111111 12 原式＝ (10 5) 1 9 1 10 12 12 = 9 9 ) 5 10 )( 1 10 ( 2 12 ＝
9 4 10 4 1012 2 12 ＝
9 2 1012 2 ＝＝ ＝333333333333+1 ＝333333333334 (方法二)： 設 111111111111 為 x 則 1000000000005 為 9x+6 原式= = = =3x+1 =333333333334 解題重點： 1.把數字轉化成較簡單的形式，或以符號替代。 2.因式分解與開平方根 問題編號 89902 求出最小的正整數 n，使為完全平方數，為完全立方數，為完全五次方數。 參考解答： 因為 n 被 2,3,5 整除 可設 n=2a3b5c 於是=2a-13b5c =2a3b-15c =2a3b5c-1 由所需滿足的條件，知 a-1 必為偶數， a 必為 3 與 5 的倍數，所以 a 的最小值為 15。 同理 b 與 c 的最小值分別為 10,6。 故得 n 的最小正整數為 21531056。解題重點： 此題只要利用因數、倍數、最小公倍數的觀念即可作答。 問題編號 89903 達文西曾作一幅素描，此素描是由邊長相等的正五邊形和正三角形所組成的封 閉多面體，且正五邊形的每邊都與正三角形共邊，正三角形每一邊也與正五邊 形共邊。若多面體的頂點數–邊數+面數 ，則此多面體的表面共有多少個正2 五邊形？多少個正三角形？ 參考解答： (解法一) 設共有 x 個正五邊形，y 個正三角形，則點數=，邊數=， 面數=x+y，因 － + (x+y)=2…… 又 5x=3y…… 解， 得 x=12,y=20 (解法二) 設正五邊形之個數為 x，則頂點數=，邊數=5x，面數=x+ 由 －5x+x+=2 得 x=12 故正五邊形有 12 個，正三角形有 =20 個 解題重點： 1.此題可設兩個未知數，再以二元一次聯立方程組求解；亦可只令一個未知數 解之。 2.本題不管採用解法一或解法二，其解題關鍵都要用到正五邊形邊數與正三角 形邊數相等之條件。 問題編號 89904 ABCD 為一個圓內接四邊形，O 為圓心，且 O 點不在線段 AC 上，連接線段 OA 與線段 OC，當四邊形對角線互相垂直時，求證：四邊形 ABCO 與四邊形 AOCD 面積相等。(注意：四邊形 ABCO 與四邊形 AOCD，其中一個為凸四邊形，另 一個為凹四邊形) 參考解答： (i)當 O 點不在(線段上時 連接(與(交於 G，自 O 做(⊥(垂足為 E 點，及自 O 做(⊥(垂足為 F 點。如右圖所示，則BEDE， 因為(⊥(，∠OED=90，(⊥(，∠OFG=90，(⊥(，∠FGE=90 所以四邊形 OEGF 為矩形，(=( 四邊形 ABCO=(×(－(×(=×(×((－()=(×( O A B C D E F G
四邊形 AOCD=(×(+(×(=×(×((+()=(×( 因為(=( 所以(×(=(×( 四邊形 ABCO=四邊形 AOCD (ii)當 O 點在(線段上時 連接(與(交於 G 點，如右圖所示， 四邊形 AOCD=(×( 四邊形 ABCO= (×(+(×(=(×( 因為(=( 所以四邊形 ABCO=四邊形 AOCD 問題編號 89905 同樂會中小明表演了一種撲克牌遊戲：他將一副撲克牌正面朝下（共52張）， 依照黑桃、梅花、紅心、方塊、黑桃、梅花、紅心、方塊…的順序排列，再請大華從 最上面拿起若干張撲克牌，將這些撲克牌的次序顛倒（正面依然朝下），再整 個插入剩餘的撲克牌中（剩餘的撲克牌任意分成兩部分，大華的撲克牌再插入 此兩堆中），此時小明再從頭將撲克牌每四張一組，結果他宣稱每一組撲克牌 都會出現四個不同的花色。請問小明的說法是否正確，說明你的理由。 參考解答： 設 A 為拿出的撲克牌，剩下的撲克牌分成 B、C 兩個部分，而 A 部分撲克牌的次 序顛倒之後稱為 A/。將 A/插入 B、C 之間，整個撲克牌的順序由上至下為 B-A/-C， (1)如果 B、A/、C 都是 4 的倍數，則每一組撲克牌都會出現四個不同的花色。 (2)如果 B、A/、C 中有一堆的張數不為 4 的倍數，則由上至下每四張一組，最多 有兩組橫跨 B、A/之間與 A/、C 之間，令此兩組（一組有四張）分別為 P、Q。 根據假設可知若 P 在 B 之間有 m 張牌，則 P 在 A/的部分就有（4-m）張牌，因 為從 B 開始每四張一組，所以這 m 張牌剛好與 B 前面的 m 張牌花色的順序是 一樣的，而 P 在 A/部分的（4-m）張牌剛好與 A 最後（4-m）張牌是一樣的，而 原先 52 張撲克牌是依照黑桃、梅花、紅心、方塊來排列,因此 P 的四張牌還是 會有黑桃、梅花、紅心、方塊這四個花色。最後除了 Q 之外其他各組都是有四 個花色，因為每一個花色都有 13 張，所以 Q 中的四張牌必是四個不同的花色。 由上述所言知小明的說法是對正確的。 解題重點： 此題為一個操作型的題目，可用實際操作探索尋求一種形式並加以描述出來。 O G A B C D
