鐵芯式永磁同步伺服線性馬達應用於高精密度定位平台之運動控制與設計

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(1)國立臺灣師範大學機電科技學系碩士論文指導教授：陳美勇博士鐵芯式永磁同步伺服線性馬達應用於高精密度定位平台之運動控制與設計 High Precision Motion Control and Design in Position Platform for Linear Permanent－Magnet Iron Core Synchronous Motors.. 研究生：盧建勳撰中. 華. 民. 國. 一. ○. 一. 年. 七. 月.

(2) 摘要. 摘要本研究之主要目的為建置一部高精密度定位控制平台，且為了達到次微米等級之精密控制，我們設計了四種控制器作為提升定位平台系統精密度的方法，分別為兩個系統主要控制器與兩個輔助控制器，其中主要控制器包含了 PID 控制器與適應性步階迴歸滑模控制器（ABSMC），而輔助控制器則有變速度控制器（VSC）與遞迴式類神經網路補償控制器（RNNC）。在高精密度定位平台之控制性能中，有兩項控制性能是必備的，即高精密定位控制與高精密動態軌跡追蹤控制的能力。因此我們將比較兩個主控制器 PID 與 ABSMC 在上述兩項控制性能上的優劣，最後選定性能優者為本系統之主控制器。當高精密度定位平台在執行定位控制的過程中，往往因為較嚴重的暫態超越量，影響定位控制的精密度，所以我們將系統主控制器結合 VSC 輔助控制器為系統暫態效能做改善。而在執行動態軌跡追蹤控制的過程中，其動態軌跡移動之反曲點通常會有較大的追蹤誤差出現，此也是造成定位平台精密度不足的主因，在此我們將系統主控制器結合 RNNC 輔助控制器，改善系統動態反曲點之最大誤差量。本研究之高精密定位平台控制，主要由鐵芯式永磁同步伺服線性馬達作為驅動系統，其最大行程為 200mm，而光學尺之精密度為 0.1μm，在系統控制器設計方面，主要是採用 LabVIEW 2010 Professional Development System，作為控制器程式設計之軟體與操作介面。關鍵詞：高精密度定位控制平台、鐵芯式永磁同步伺服線性馬達、適應性步階迴歸滑模控制器（ABSMC）、變速度控制器（VSC）、遞迴式類神經網路補償控制器（RNNC）. -i國立臺灣師範大學機電科技學系.

(3) 摘要. Abstract The main purpose of this study is to build a high precision positioning control platform. In order to achieve high-precision control, we designed four controllers to enhance the precision of the positioning platform to sub-micron level. These controllers can be divided into two categories of main controller and auxiliary controller. The main controllers contain a PID controller and an adaptive back-stepping sliding mode controller (ABSMC). As well as the auxiliary controllers contain a variable speed controller (VSC) and a recurrent neural network compensative controller (RNNC). High-precision positioning control and dynamic tracking control are the necessary abilities in high precision positioning control platform. For these reasons, we compared the PID and ABSMC the pros and cons of these two control performance. Then, we selected the excellent one to be the main controller of the system. The precision of positioning control is disturbed by serious transient overshoot in the positioning platform system. Therefore, we combined the main controller with the auxiliary controller of VSC to improve the transient performance of the system. However, in the process of dynamical tracking control, the maximum tracking errors usually appear in the dynamic inflection points. Therefore, we combined the main controller with the auxiliary controller of RNNC to improve the performance of dynamic inflection points. In this study, we chose the linear permanent-magnet iron core synchronous motors drive system on the positioning platform and the maximum stroke is 200mm. The resolution of the linear scale is 0.1μm. In the controller design, we - ii 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(4) 摘要. utilize LabVIEW 2010 Professional Development System to program the system code and develop the human-machine interface.. Keywords:High precision positioning control platform, linear permanent-magnet iron core synchronous motor, adaptive back-stepping sliding mode controller (ABSMC), variable speed controller (VSC), recurrent neural network compensative controller (RNNC). - iii 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(5) 誌謝. 誌謝在論文完成之際，心中的那股壓力，也逐漸得到釋放，隨即而來的是內心滿滿的喜悅與感謝。首先我要感謝我的指導教授陳美勇老師，讓我在過去兩年半的研究生涯中，可以開放且多元的學習，讓我的研究視野變得更寬廣，此外老師也常鼓勵我去參加一些學術研討會、論文競賽與期刊論文投稿等等活動，讓我有自我實現的機會與空間，自此建立我正確的研究態度與自信心。接著我感謝口試委員練光祐博士、呂藝光博士、葉賜旭博士，於百忙之中，仍認真且仔細的審察我的畢業論文，讓本論文的謬誤可以得到改正，並且在口試的過程中給予我許多寶貴的意見與指教，讓我的畢業論文可以更加地嚴謹與專業。同時也要感謝精密運動控制實驗室的學長昌翰、智瑋、偉恭、盈源，同儕傅文、建州、希哲與學弟昀翰、東諺、秉剛、哲勝，感謝你們在我這段求學期間的幫助與陪伴，讓我可以順利的完成研究與論文，而在實驗室的點點滴滴，也將永遠存放在我的心中，在此感謝各位，也希望大家在未來人生的道路上能夠有美好的發展與成就。然後我要感謝我的家人，感謝家人二十多年來對我的栽培與照顧，給我無憂的經濟支援與心靈支持，讓我在學校可以安心的學習與研究。最後我要感謝女友佳馨這一路走來的支持與陪伴，讓我在心力交瘁、疲憊不堪之際，能仍再激起繼續向前的勇氣與動力。在此謹以此論文獻給曾經幫助過我的人與周遭關心我的家人、師長、朋友與同學，並祝福各位身體健康、心想事成。盧建勳西元 2012 年 12 月 PMCL 精密運動控制實驗室 -iv國立臺灣師範大學機電科技學系.

(6) 目錄摘要 ....................................................................................................................... i Abstract ................................................................................................................. ii 誌謝 ..................................................................................................................... iv 目錄 ...................................................................................................................... v 圖目錄 ................................................................................................................. viii 表目錄 ................................................................................................................. xiv 第一章. 緒論 ...................................................................................................... 1. 1.1. 前言 ..................................................................................................... 1. 1.2. 文獻回顧 ............................................................................................. 3. 1.3. 研究動機與目的 ............................................................................... 11. 1.4. 本研究之貢獻 ................................................................................... 12. 1.5. 論文架構 ........................................................................................... 13. 第二章. 理論基礎 .............................................................................................. 14. 2.1 線性馬達簡介 .................................................................................... 14 2.1.1. 線性馬達之種類與變化 ....................................................... 15. 2.1.2. 線性馬達與滾珠導螺桿之驅動系統性能比較 ................... 16. 2.1.3. 線性馬達之座標轉換 ........................................................... 17. 2.2 高階控制器之設計原理解說 ............................................................ 24 2.2.1. Lyapunov 穩定性理論 ......................................................... 28. 2.2.2. 可變結構控制理論 ............................................................... 30. 2.2.3. Lyapunov 控制器設計法 ..................................................... 31. 2.2.4. 線性馬達之速度迴路控制 ................................................... 34 -v國立臺灣師範大學機電科技學系.

(7) 2.3 線性馬達之干擾模型 ...................................................................... 36. 第三章. 2.3.1. 摩擦力之介紹 ....................................................................... 36. 2.3.2. 漣波效應( Ripple effect ) ...................................................... 42. 實驗設備介紹 ...................................................................................... 44. 3.1 高精密度定位平台控制系統 ............................................................ 45 3.2 鐵芯式永磁同步伺服線性馬達 ........................................................ 46 3.3 線性馬達驅動器 ................................................................................ 48 3.4 光學量測系統之線性編碼器 ............................................................ 50 3.5 線性滑軌 ............................................................................................ 51 3.6 資料擷取卡 ........................................................................................ 53 第四章. 系統動態模型之建立 .......................................................................... 54. 4.1 高精密度定位平台控制系統之致動分析 ........................................ 54 4.2 鐵芯式永磁同步伺服線性馬達之推力模型分析 ............................ 56 4.3 高精密度定位平台之系統動態模型 ................................................ 63 第五章. 系統控制器設計 ................................................................................ 64. 5.1 主控制設計－PID 控制器................................................................. 66 5.1.1 調整 PID 控制參數－Ziegler-Nichols 演算法 ....................... 69 5.1.2 調整 PID 控制參數－Chien-Hrones-Reswick 演算法 .......... 72 5.1.3 調整 PID 控制參數－Cohen-Coon 演算法 ............................ 73 5.2 主控制器設計－適應性步階回歸滑模控制器（ABSMC） ............ 74 5.3 輔助控制器設計－變速度控制器（VSC） .................................... 81 5.4 輔助控制器設計－遞迴式類神經網路補償控制器（RNNC） ..... 88. - vi 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(8) 第六章. 實驗結果與討論 ................................................................................ 94. 6.1 高精密度定位平台之主控制器選定 .............................................. 95 6.1.1 定位控制－PID 與 ABSMC 之實驗結果 ............................... 95 6.1.2 動態軌跡追蹤控制－PID 與 ABSMC 之實驗結果............ 102 6.1.3 系統主要控制器 ..................................................................... 104 6.2 主控制器 ABSMC 之負載強健性能評估與問題分析 .................. 105 6.2.1 定位控制實驗－負載強健性能測試 ..................................... 105 6.2.2 問題分析：ABSMC 定位控制之強健性 ............................ 108 6.2.3 動態軌跡追蹤控制實驗－負載強健性能測試 ..................... 109 6.2.4 問題分析：ABSMC 追跡控制之強健性 ............................... 111 6.3 定位控制效能改善－ABSMC 結合 VSC 之實驗結果 ................... 112 6.3.1 總結：定位控制效能改善成果 .............................................. 117 6.4 動態軌跡追蹤控制－ABSMC 結合 RNNC 之實驗結果 ................. 118 6.4.1 總結：動態軌跡追蹤控制效能改善成果 .............................. 123 第七章. 結論與未來展望 .............................................................................. 124. 參考文獻 .......................................................................................................... 126. - vii 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(9) 圖目錄圖 1-1. 準確性與精確性示意圖......................................................................... 2. 圖 1-2. 管性線性馬達設備圖............................................................................. 3. 圖 1-3. 漣波效應與馬達速度關係圖 ................................................................ 3. 圖 1-4. 管型線性馬達設備圖............................................................................. 4. 圖 1-5. RMPC 與系統控制方塊圖 ...................................................................... 4. 圖 1-6. 負載效應之追蹤誤差............................................................................... 4. 圖 1-7. 負載效應之追蹤誤差(RMS) ................................................................... 4. 圖 1-8. 電壓向量交換表....................................................................................... 5. 圖 1-9. 系統控制方塊圖....................................................................................... 5. 圖 1-10 D-Q 軸磁交鍊訊號關係圖 ...................................................................... 5 圖 1-11 X-Y 雙軸線性馬達定位平台 .................................................................. 6 圖 1-12 基於 H  之速度控制迴路 ......................................................................... 6 圖 1-13 金屬打線機控制系統方塊圖 .................................................................. 6 圖 1-14 馬達等速度控制....................................................................................... 7 圖 1-15 Hysteretic relay 功能函數圖形 ............................................................... 7 圖 1-16 頻譜分析與得到 limit cycles 的頻率 ...................................................... 7 圖 1-17 切換控制系統方塊圖............................................................................... 8 圖 1-18 馬達速度變換曲線................................................................................... 8 圖 1-19 (a) 5mm 步階定位響應圖、(b)步階定位控制之速度變化圖 ............... 8 圖 1-20 強健型類神經滑差模型控制器 .............................................................. 9 圖 1-21 二軸線性馬達追蹤軌跡控制 .................................................................. 9 圖 1-22 (a)人類腦神經構造圖、(b)仿生工程之腦神經模型 ............................. 9 圖 1-23 摩擦力前饋補償模型與逆推模型干擾估測器之控制方塊圖 ............ 10 圖 1-24 三軸同動線性馬達之 X-Y 定位平台 ................................................... 10. - viii 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(10) 圖 2-1. 線性馬達展開示意圖............................................................................. 14. 圖 2-2. 線性馬達實體圖..................................................................................... 14. 圖 2-3. 線性馬達之分類 .................................................................................... 15. 圖 2-4. 線性馬達驅動系統................................................................................. 16. 圖 2-5. 滾珠導螺桿驅動系統............................................................................. 16. 圖 2-6. 三相靜止座標與 d s  q s 軸座標系統轉換圖 ........................................ 18. 圖 2-7. 三相靜止座標與 d e  q e 軸座標系統轉換圖 ........................................ 20. 圖 2-8. 兩軸座標系統轉換關係圖 .................................................................... 22. 圖 2-9. 靜態系統與動態系統............................................................................. 24. 圖 2-10 狀態空間表示法方塊圖......................................................................... 25 圖 2-11 水槽控制系統配置圖............................................................................. 26 圖 2-12 控制系統之狀態回授圖（其中 D = 0） .............................................. 27 圖 2-13 順滑膜態控制示意圖............................................................................. 30 圖 2-14 線性馬達之控制迴路............................................................................. 34 圖 2-15 梯形速度曲線圖..................................................................................... 35 圖 2-16 馬達與滑軌之接觸面............................................................................. 36 圖 2-17 古典摩擦力模型特性圖......................................................................... 37 圖 2-18 摩擦力 Stribeck effect 曲線 ................................................................... 38 圖 2-19 阿姆斯壯摩擦力模型............................................................................. 39 圖 2-20 刺毛摩擦力模型..................................................................................... 40 圖 2-21 三相電源換相控制圖－(左)：理想值、(右)：實際值 ....................... 42 圖 2-22 正弦波磁場分佈圖－(左)：理想值、(右)：實際值 ........................... 42 圖 2-23 漣波效應與運動速度關係圖 ................................................................ 43 圖 3-1 精密度定位平台控制系統之結構簡圖 ..................................................... 44 圖 3-2. 定位平台控制系統 (a)左視圖 (b)右視圖 (c)正視圖 (d)上視圖 ...... 45 - ix 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(11) 圖 3-3. 高精密度定位平台 X-Y 雙軸線性馬達 (a).左視圖 (b).右視圖 ........ 46. 圖 3-4. HWIN 線性馬達 LMS 系列 (a).裸視圖 (b).外觀圖 ........................... 46. 圖 3-5. 數位伺服線性馬達驅動器 .................................................................... 48. 圖 3-6. 同步多層次傳輸控制............................................................................. 48. 圖 3-7. 數位伺服線性馬達驅動器之功能接線圖 ............................................ 49. 圖 3-8. 光學量測感測器光學尺......................................................................... 50. 圖 3-9. 光學尺內部構造 .................................................................................... 50. 圖 3-10 線性滑軌結構圖 (a).遠視分布圖 (b).近視結構圖 ............................. 51 圖 3-11 線性滑軌( QR 系列－靜音式滾柱型線性滑軌 ) ................................ 52 圖 3-12 資料擷取卡 NI PXIe-6363 (a).側視圖 (b).右視圖 .............................. 53 圖 4-1. 單軸鐵芯式永磁線性馬達硬體配置簡圖 ............................................ 54. 圖 4-2. 單軸鐵芯式永磁線性馬達動態系統方塊圖 ........................................ 55. 圖 4-3. 線性馬達系統之電流轉換與致動結構圖 ............................................ 56. 圖 4-4. 馬達旋轉結構演進成線性結構之流程圖 ............................................ 56. 圖 4-5. 線性馬達之驅動電力系統 .................................................................... 57. 圖 4-6. 三相弦波電流訊號................................................................................. 57. 圖 4-7. 線性馬達 d  q 軸之動態方塊圖 ........................................................... 61. 圖 4-8. 解耦合之 d  q 動態電流方塊圖 ........................................................... 62. 圖 4-9. 單軸鐵芯式永磁同步伺服線性馬達系統控制方塊圖 ........................ 62. 圖 5-1. 高精密度定位平台系統控制器設計流程 ............................................ 65. 圖 5-2. 典型 PID 控制結構圖 ............................................................................ 66. 圖 5-3. 四分之一衰減比響應（A 為步階響應振幅）..................................... 69. 圖 5-4. 模型步階響應曲線（藍色曲線） ........................................................ 70. 圖 5-5. 系統響應之 Niquist 圖 ........................................................................... 71. 圖 5-6. ABSMC 控制器之設計概念結構圖 ..................................................... 74. 圖 5-7. 飽和函數................................................................................................. 77 -x國立臺灣師範大學機電科技學系.

(12) 圖 5-8. ABSMC 控制器之系統方塊圖 ............................................................. 80. 圖 5-9. 變速度控制器（VSC）之設計概念方塊圖 ......................................... 81. 圖 5-10. VSC 控制器之切換控制 ....................................................................... 82. 圖 5-11. VSC 變速度控制之速度曲線 ............................................................... 82. 圖 5-12. VSC 控制器之等加速度階段控制方塊圖 ........................................... 85. 圖 5-13 VSC 控制器之等速度階段控制方塊圖 ................................................ 86 圖 5-14. VSC 控制器之等減速度階段控制方塊圖 ........................................... 87. 圖 5-15 系統主控制器與 RNNC 輔助控制器之設計概念結構圖 ................... 88 圖 5-16 遞迴式類神經網路補償控制器之組成結構 ........................................ 89 圖 5-17 RNNC 輔助控制器之系統方塊圖 ........................................................ 93 圖 6-1. LabVIEW 2010 Professional Development System 軟體 ...................... 94. 圖 6-2. MATLAB - R2008a 軟體 ....................................................................... 94. 圖 6-3. 主控制器之性能比較項目與流程 ........................................................ 95. 圖 6-4. PID 控制器人機介面 ............................................................................. 96. 圖 6-5. PID 控制器 Labview 圖形化程式碼 ..................................................... 96. 圖 6-6. ABSMC 控制器人機介面 ..................................................................... 97. 圖 6-7. ABSMC 控制器 Labview 圖形化程式碼 ............................................. 97. 圖 6-8. 步階響應 10 mm .................................................................................... 98. 圖 6-9. 步階響應 10 mm－暫態響應曲線 ........................................................ 98. 圖 6-10 步階響應 10 mm－穩態響應曲線 ........................................................ 98 圖 6-11 步階響應 10 mm－穩態誤差曲線 ........................................................ 99 圖 6-12 步階響應 100 mm ................................................................................ 100 圖 6-13 步階響應 100 mm－暫態響應曲線 .................................................... 100 圖 6-14 步階響應 100 mm－穩態響應曲線 .................................................... 100 圖 6-15 步階響應 100 mm－穩態誤差曲線 .................................................... 101 圖 6-16 PID 正弦波響應 ................................................................................... 102 - xi 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(13) 圖 6-17 ABSMC 正弦波響應............................................................................ 102 圖 6-18 PID 與 ABSMC 正弦波響應－誤差響應曲線 ................................... 103 圖 6-19 PID 與 ABSMC 正弦波響應－穩態誤差響應曲線 ........................... 103 圖 6-20 主控制器 ABSMC 之強健性分析流程 .............................................. 105 圖 6-21 步階響應 100 mm－暫態響應（負載 0～8 Kg） ............................. 106 圖 6-22. 步階響應 100 mm－穩態響應（負載 0～8 Kg）............................. 107. 圖 6-23. 定位控制效能改善流程與目的 .......................................................... 108. 圖 6-24. 正弦波響應（負載 0 Kg） ................................................................. 109. 圖 6-25. 正弦波響應（負載 4 與 8 Kg） ......................................................... 109. 圖 6-26. 誤差曲線（負載 0 Kg） ..................................................................... 110. 圖 6-27. 誤差曲線（負載 4 與 8 Kg） ............................................................. 110. 圖 6-28. 動態軌跡追蹤控制效能改善流程與目的 .......................................... 111. 圖 6-29. VSC 控制器人機介面 ......................................................................... 112. 圖 6-30. VSC 控制器 Labview 圖形化程式碼 ................................................. 112. 圖 6-31. VSC 子控制器－加速度控制段 ......................................................... 113. 圖 6-32. VSC 子控制器－等速度控制段 ......................................................... 113. 圖 6-33. VSC 子控制器－減速度控制段 ......................................................... 113. 圖 6-34. 理想規劃之 VSC 變速度曲線 ............................................................ 114. 圖 6-35. ABSMC 與 ABSMC & VSC 速度曲線實驗圖 .................................. 114. 圖 6-36. 步階響應 100 mm － ABSMC 與 ABSMC & VSC......................... 114. 圖 6-37. ABSMC & VSC 速度曲線實驗圖 ...................................................... 115. 圖 6-38. 步階響應 100 mm－ABSMC & VSC ................................................. 115. 圖 6-39. 暫態超越量－ABSMC & VSC ........................................................... 115. 圖 6-40. 暫態響應－ABSMC & VSC ............................................................... 114. 圖 6-41. 穩態響應－ABSMC & VSC ............................................................... 116. 圖 6-42. RNNC 控制器人機介面 ...................................................................... 118 - xii 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(14) 圖 6-43. RNNC 控制器 Labview 圖形化程式碼.............................................. 118. 圖 6-44. RNNC 輸入層之輸入訊號 .................................................................. 119. 圖 6-45. RNNC 隱藏層之輸入訊號 .................................................................. 119. 圖 6-46. RNNC 隱藏層與輸入層之遞迴權重值變化量.................................. 119. 圖 6-47. 隱藏層之激發函數 .............................................................................. 120. 圖 6-48. 隱藏層之輸出訊號 .............................................................................. 120. 圖 6-49. 隱藏層遞迴權重值之變化量 .............................................................. 121. 圖 6-50. 隱藏層之輸出變化量 .......................................................................... 121. 圖 6-51. 輸出層之輸出訊號 .............................................................................. 121. 圖 6-52. ABSMC 響應圖 ................................................................................... 122. 圖 6-53. ABSMC & RNNC 響應圖................................................................... 122. 圖 6-54. ABSMC 與 ABSMC & RNNC 動態追跡誤差圖 .............................. 122. - xiii 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(15) 表目錄表 2-1. 驅動系統性能響應比較表 .................................................................. 16. 表 3-1. 鐵芯式永磁同步伺服線性馬達 X-Y 軸之規格與介紹 ..................... 47. 表 5-1. PID 參數與系統時域性能指標之關係 ............................................... 68. 表 5-2. Ziegler-Nichols 調整法－步階響應法 ................................................ 70. 表 5-3. Ziegler-Nichols 調整法－極限靈敏法 ................................................ 71. 表 5-4. Chien-Hrones-Reswick 調整演算法 .................................................... 72. 表 5-5. Chien-Hrones-Reswick 調整演算法（具擾動抑制控制） ................. 72. 表 5-6. Cohen-Coon 調整演算法 ...................................................................... 73. 表 5-7. 變速度控制器（VSC）之切換流程 .................................................... 83. 表 6-1. 階響應 10 mm 實驗數據....................................................................... 99. 表 6-2. 步階響應 100 mm 實驗數據............................................................... 101. 表 6-3. 動態軌跡追蹤響應實驗數據 .............................................................. 104. 表 6-4. 步階響應 100 mm 之暫態超越量（負載 0～8 Kg） ....................... 106. 表 6-5. 步階響應 100 mm 之穩態誤差（負載 0～8 Kg）............................ 107. 表 6-6. 正弦波響應追蹤誤差 ......................................................................... 110. 表 6-7. PID、ABSMC 與 ABSMC&VSC 定位控制步階響應 100mm ........ 116. 表 6-8. 動態軌跡追蹤控制效能比較表 .......................................................... 123. - xiv 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(16) 第一章緒論. 第一章緒論 1.1 前言隨著科技產品體積日趨輕薄化及功能高效率化，驅使著工業製造技術日新月異的往高精密製程方向來做改善與突破，尤其在半導體產業、光電通訊系統、微顯結構、微機電製程、積體電路設計及精密機械設備等方面，對於高精密製程技術的需求與日俱增，且將成為未來科技發展之趨勢與重點。其中高精密運動控制技術屬於高精密製程技術範疇內的一個重要環節，高精密運動控制技術可提升工業製造流程的精密度與機電設備的準確度，使製造的產品可以滿足更高規格的品質檢驗與通過消費市場更嚴苛的比較與考驗。本研究將著重於高精密運動控制技術中，行程定位控制與動態軌跡追蹤控制等兩大主題，利用鐵芯式永磁同步伺服線性馬達作為高精密伺服定位平台之主要驅動力來源，執行高精密運動中的定位控制與動態軌跡追跡控制。在高精密行程定位控制的認知中，『定位』之意義為：從空間中的某一靜態出發點移動至空間中另一目標點且停止繼續移動的整體運動過程；而在高精密度動態軌跡追蹤控制的觀點中，『動態軌跡追蹤』之意義為：從空間中的某一靜態出發點依序的定位至多數個目標點，直至停止於最後一個目標點的整體運動過程，簡言之，高精密度動態軌跡追蹤控制等同於高精密行程定位控制的連續時間序列組合。無論是高精密度行程定位控制亦或是高精密度動態軌跡追蹤控制，都將討論到控制精度優劣的問題，而優劣標準可由兩大規格：準確性（Accuracy）與精確性（Precision）做為討論高精密度系統性能表現之歸依。『準確性』之定義為：實際量測平均值與目標值的一致程度，若兩數值誤差甚小，則稱為準確性佳，反之為準確性差，即受控體是否能正確抵達目標點的準確程度；而『精確性』之定義為：以相同的量測過程重複量測同一待測物，而每. -1國立臺灣師範大學機電科技學系.

(17) 第一章緒論. 一次之量測值會分布於目標值附近，而此分布的擴散程度即為精確程度，若分散程度甚小，則精確性佳，反之則精確性差，即受控體在每次的量測中是否能每次都精確地達到目標值。整合上述兩項性能，若我們皆能將此性能提高至特定的精準數量級，則此控制系統即可稱為高精密度控制系統。. 圖 1-1 準確性與精確性示意圖在本研究中，高精密度定位平台控制之動態效能是必須要受到關注的，控制精準度高、系統響應速度快、定位行程長及抗干擾能力強等特性，為高精密定位平台必須要具備的條件。而在驅動馬達的選擇部分，分別有旋轉式與線性式兩種，如果利用旋轉式馬達作為線性驅動機構，則此結構通常要外加齒輪、旋轉軸及連軸器等機械耦合傳輸軸承來傳輸馬達的動能，這會造成多餘的耦合性干擾來源，例如：滾珠導螺桿的背隙與軸承死區等問題，所以本研究選擇線性式馬達做為高精密度定位平台之驅動源，而線性式馬達的直接驅動特性，可有效的減少背隙、齒隙、滑動或磨耗等干擾，且也容易達到較高的推進速度，使得整體系統的動態響應效果較佳，所以利用線性馬達執行高精密度定位平台控制，蔚然已成為一種趨勢，但儘管線性馬達的性能響應皆算優良，不可否認的，高精密度定位平台仍然承受某些不易免除的非線性干擾，例如：線性軌道的摩擦力、磁極間的漣波斥力、平台機構的負載效應、機台移動的振動及系統參數變異等等影響，所以高精密定位平台之控制器設計將成為對抗系統干擾的一個關鍵。 -2國立臺灣師範大學機電科技學系.

(18) 第一章緒論. 本研究將提出一個高精密度定位平台控制，並以鐵芯式永磁同步伺服線性馬達作為致動器，其有效行程為 200mm，而最高之定位精度可達 0.1μm，同時搭配系統控制器之設計，執行並完成高精密度定位控制與高精密度動態軌跡追蹤控制等兩大目標。. 1.2 文獻回顧在這幾年高精密度定位平台控制技術的相關研究中，由於工業科技產業的需求與期待，系統定位精密度的等級，日漸提高且越來越精密，定位精密度等級已從微米等級晉升至更精確細微的奈米等級，因此對於線性馬達控制精度的要求將是越來越高，如下為眾多學者對於線性馬達之精密控制研究的相關文獻與研究探討。 Kok Kiong Tan, Tong Heng Lee, Hui Fang Dou, Shok Jun Chin, and Shao Zhao 等學者[1]，在高精密管型線性馬達之控制器設計中，配置了干擾估測器與對於 PWM 放大器做頻率濾波改善，研究管型線性馬達之運動速度與漣波推力的關係，分析估測管型線性馬達系統中的漣波效應（Ripple effect），並對干擾管型線性馬達的漣波力做即時的回授補償，增加動態系統的正弦波軌跡追蹤精度（105sin(t) mm、0.2Hz），並降低追跡誤差至 5μm。. 圖 1-2 管性線性馬達設備圖. 圖 1-3 漣波效應與馬達速度關係圖. -3國立臺灣師範大學機電科技學系.

(19) 第一章緒論. Runzi Cao and Kay-Soon Low 等學者[2]，利用管型線性馬達定位平台，如下圖 1-4 所示，來做精密定位軌跡追蹤控制，並提出新型 Repetitive Model Predictive Control（RMPC）控制器，如圖 1-5 所示，即將傳統 Model Predictive Control（MPC）控制器中的前饋控制轉換成重覆型前饋回授，降低軌跡追蹤誤差，如圖 1-6、1-7 所示，並且提升系統對抗負載效應（Load effect）的強健性與穩定度。. 圖 1-4 管型線性馬達設備圖. 圖 1-6 負載效應之追蹤誤差. 圖 1-5 RMPC 與系統控制方塊圖. 圖 1-7 負載效應之追蹤誤差（RMS）. Cheng-Chung Sung and Yi-Sheng Huang 等學者[3]，在系統控制器的設計中，提出直接推力控制器（DTC）來操作永磁同步線性馬達，其控制器之設計概念為利用線性馬達內部電流控制迴路中的兩大關鍵訊號：推力訊號（Thrust）與磁鍊訊號（Flux linkage）來直接驅動線性馬達，由於此兩項訊號需要經過電壓向量交換表（Switch Table）的切換與調變，然後經過逆變. -4國立臺灣師範大學機電科技學系.

(20) 第一章緒論. 器（Inverter）轉換成電流訊號送入動力線驅動線性馬達，並同步估測兩大訊號狀態，回授至電壓向量交換表進行修正，如圖 1-8 示，而系統控制方塊圖，如圖 1-9 示，由於控制訊號直接驅動馬達電流訊號產生推力，所以電磁交鍊，如圖 1-10 示，訊號的完整性將是此控制器的關鍵，電壓向量法設計的越完善，切換的訊號將越精準，則線性馬達的控制效能也將越精確，此種控制器產生的推力演算法，將比其他控制器來的更直接。. 圖 1-8 電壓向量交換表. 圖 1-9 系統控制方塊圖. 圖 1-10 D-Q 軸磁交鍊訊號關係圖. Zuo Zong Liu, Fang Lin Luo, and M. Azizur Rahman 等學者[4]，將 X-Y 雙軸線性馬達定位平台，如圖 1-11 示，應用在半導體製程中做為金屬打線機的移動平台，由於金屬打線機所需要的精度等級為數十微米級，且打線機的工作速度需要有相當快速的定位響應，所以這篇文獻中，利用 H  - based precision motion control 原理，如圖 1-12 示，設計系統動態控制器，以滿足需要高精密度且快速定位的打線機，達到半導體晶片內部之金屬打線所需的 -5國立臺灣師範大學機電科技學系.

(21) 第一章緒論. 精密規格，此文獻中，線性馬達能達到之最大定位加速度為 5.2g. ( g  9.8m / s 2 ) ，. 定位精度控制在為 3μm 以內，圖 1-13 為整體控制系統方塊圖。. 圖 1-11 X-Y 雙軸線性馬達定位平台. 圖 1-12 基於 H  之速度控制迴路. 圖 1-13 金屬打線機控制系統方塊圖 Si-Lu Chen, Kok Kiong Tan, Sunan Huang and Chek Sing Teo 等學者[5]，提出了一種利用頻率響應原理，估測非線性干擾模型並利用此模型對於系統做回授補償的控制法，去提升系統控制器補償的能力，在實驗過程中，將線性馬達的速度控制迴路，設定為等速度運動，如圖 1-14 示，然後在馬達驅動期間使用了 Hysteretic relay 元件，如圖 1-15 示，去辨識漣波效應的頻譜分析與得到 Limit cycles 的頻率，如圖 1-16 示，做為非線性干擾模型參數的設. -6國立臺灣師範大學機電科技學系.

(22) 第一章緒論. 定標準與調整，目的為估測建立出符合真實情況的非線性干擾，讓我們可以有效的補償，提升系統的控制效能與精度。. 圖 1-14 馬達等速度控制. 圖 1-15 Hysteretic relay 功能函數圖形. 圖 1-16 頻譜分析與得到 Limit cycles 的頻率 Faa-Jeng Lin,Kuo-Kai Shyu,Chih-Hong Lin 等學者[6]，提出了一個切換控制法，於線性馬達的定位控制中，有兩種切換模式：變速度控制模式與位置控制模式，如圖 1-17 所示，在執行定位控制時，首先執行變速度控制模式，監控馬達驅動過程之運動速度，在速度控制迴路中，設定了三個速度滑差模型控制器，分別執行等加速度、等速度及等減速度運動，如圖 1-18 示，藉由時間點的設定出速度切換點，結束變速度控制模式，然後系統再切換成位置控制模式，由光學尺回授定位誤差做為致動訊號，修正補償定位效果，使定位誤差趨近於零，完成高精密度定位控制。此文獻提出的切換控制可以有. -7國立臺灣師範大學機電科技學系.

(23) 第一章緒論. 效地降低線性馬達直接驅動時，暫態響應不理想與超越量太大的缺點，如圖 1-19 示，改善系統暫態效能等同於加快速度響應與保護機械結構損壞，同時可以使定位控制精密度上升。. 圖 1-17 切換控制系統方塊圖. 圖 1-19 (a).5mm 步階定位響應圖. 圖 1-18 馬達速度變換曲線. (b).步階定位控制之速度變化圖. Faa-Jeng Lin and Po-Hung Shen 等學者[7]，設計一個強健型類神經滑差模型控制器，如圖 1-20 所示，對 X-Y 定位平台之雙軸線性馬達做二軸同動之追蹤軌跡定位控制，如圖 1-21 所示，當二軸線性馬達相互運動時，軸與軸之間的動態響應會相互產生耦合性的動態干擾，而此種干擾誤差會嚴重的影響定位與軌跡追蹤精度，所以利用類神經控制器之學習功能與誤差成本函數之建立，可即時的對於系統控制參數做調整與修正，期待達到誤差成本函數收斂至零的理想條件，而類神經控制器的設計概念為，模仿人類神經細胞中，如圖 1-22 示，大腦神經元的學習記憶功能與判別分類功能，然後產生經驗法則，讓系統對抗外界變化的應變能力，更加快速且更為有效率。 -8國立臺灣師範大學機電科技學系.

(24) 第一章緒論. 圖 1-20 強健型類神經滑模控制器. 圖 1-22 (a).人類腦神經構造圖. 圖 1-21 二軸線性馬達追蹤軌跡控制. (b).仿生工程之腦神經模型. Zamberi Jamaludin, Hendrik Van Brussel, and Jan Swevers 等學者[8]，提出了數學摩擦力前饋補償模型（Friction model based feed forward）與逆推模型干擾估測器（Inverse model based disturbance observer），如圖 1-23 所示，對於三軸同動之線性馬達 X-Y 定位平台，如圖 1-24 所示，做回授控制補償，摩擦力是線性馬達運動中最大的誤差干擾來源，因為摩擦力會隨著負載重量與運動速度而改變，屬於非線性的干擾推力，因此摩擦力模型之優劣，對於系統之控制效能必定有所影響，所以同時利用逆推模型干擾估測器觀測系統參數的變異情況，目標為建立完整的摩擦力模型，取得適當的補償控制，減少過度補償的情況。 -9國立臺灣師範大學機電科技學系.

(25) 第一章緒論. 圖 1-23 摩擦力前饋補償模型與逆推模型干擾估測器之控制方塊圖. 圖 1-24 三軸同動線性馬達之 X-Y 定位平台以上為本研究之相關文獻回顧概述，本研究也將以上述各篇論文為論述參考與實驗基礎，希望能擷取其各家學者之長處，修改自己的短處與缺失，精進改善自我研究之方法與成效，但願站在巨人的肩膀上，能啟發出更創新之想法與實踐出有價值的研究成果。. - 10 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(26) 第一章緒論. 1.3 研究動機與目的隨著現代科技之演進，對於工業製程精密度的要求越來越高，精密等級之討論與產業競爭力的標準，將從微米等級提升至奈米等級，當然定位平台之演進也將朝著此方向前進，以高精密度定位控制為未來發展的目標。現代精密定位平台之發展中，其動力驅動裝置有很多種，例如：壓電致動器、音圈馬達、超音波馬達、滾珠導螺桿、線性馬達…等等，其中壓電致動器之壓電元件成本偏高，且驅動行程比較短，如果要增加行程，即需要增加致動器的數目，成本相對上升，用於業界將無法符合應用面之經濟效應；而音圈馬達與超音波馬達，二者之電磁推力比較小，大多適用於光碟機、音箱音響、光學顯微鏡…等等較小型之精密儀器，無法提供較重負載之精密定位功能；再者是現今產業界最常使用的滾珠導螺桿驅動裝置，其需要搭配旋轉型的馬達與線性連偶器之接合，將旋轉運動轉換成線性運動，但由於滾珠導螺桿有背隙（Backlash）與摩擦力等問題，且在旋轉馬達與連偶器之接合處，又常產生時間延遲與耦合性傳動失步等誤差，還有在傳動行程較長時，導螺桿容易有彎曲的現象，所以本研究將選用電磁推力大、響應速度快、直接驅動無需連偶器、定位行程長、負載能力強的線性伺服馬達，做為高精密度定位平台之驅動裝置。本研究之目的為建立一高精密度定位平台，其利用鐵芯式永磁同步伺服線性馬達做為驅動裝置，光學尺做為位置感測器，且預期達到之高精密定位性能為，最大定位精密度可達 0.1 μm 等級、定位載台可攜重量在 0 ~ 12 kg 之間、X-Y 方向之運動行程皆為 200 mm、可執行二維平面之點對點高精密度定位控制與高精密度動態軌跡追蹤控制。最重要的是，定位平台能藉著平台系統運動控制器之設計，克服外在雜訊干擾與先天系統缺陷，幫助高精密度定位平台系統達到上述之各項性能要求，完成高精密度運動控制之任務。. - 11 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(27) 第一章緒論. 1.4 本研究之貢獻本研究論文內容主要可分為三個方面，分別為定位平台系統模型架構分析、電磁驅動推力之分析與高階控制器之設計等三方面，系統模型架構主要為分析與建立定位平台之數學模型，並了解外界干擾之相關因素，而電磁驅動推力分析主要目的為，合理的將線性馬達電磁推力線性化，方便系統控制器之設計，最後高階控制器之設計，為本研究之重點，由於線性馬達在定位運動之過程中，經常受到磁鐵磁極間漣波力、線性滑軌之摩擦力與各種外界振動或是雜訊所帶來的干擾，所以我們藉由高階控制器之設計來降低這些影響與誤差，來達到我們所要求的目標建置一部『高精密度定位平台』。. 本研究之貢獻，大致上可分為三點，簡述如下： 1. 分析與建立高精密定位平台之數學模型與干擾模型。 2. 分析、改善、整合與應用高階定位控制器於高精密度定位平台。 3. 整理且評估定位效能與動態軌跡追蹤效能，建立高精密定位平台之最佳化控制方案、執行程序與系統參數。. - 12 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(28) 第一章緒論. 1.5 論文架構本論文一共分為七章，各章內容依序如下：第一章：緒論說明研究背景與動機，並了解相關領域學者之研究狀況。第二章：理論基礎本研究之相關理論介紹，其中包含了線性馬達的簡介、高階控制器的設計原理解說與線性馬達之外部干擾與雜訊之論述。第三章：實驗設備介紹介紹定位平台系統之硬體設備架構，例如：鐵芯式永磁同步伺服線性馬達、數位光學尺、數位驅動器、資料擷取卡…等等。第四章：系統動態模型之建立首先分析線性馬達之電源驅動系統，然後建立電磁推力模型，最後整合建立出定位平台系統之動態數學模型。第五章：系統控制器設計本研究定位平台系統設計了四種控制器，分別為（1）PID 控制器、（2）適應性步階迴歸滑模控制器（ABSMC）、（3）變速度控制器（VSC）與（4）遞迴式類神經網路補償控制器（RNNC）。第六章：實驗結果與討論藉由實驗驗證系統控制器對於定位平台之控制效能。第七章：結論與未來展望對於本研究做一個整合性的總結，並且歸納與討論未來應該再改進之研究缺失與方向。. - 13 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(29) 第二章理論基礎. 第二章理論基礎本章重點主要為本研究所需基礎理論之介紹，總共分為三個部份，第一部分為線性馬達之簡介，其中包含了線性馬達之基本結構、驅動特性與驅動電源座標轉換；第二部分為高階控制器之設計原理解說，其中包含了 Lyapunov 穩定性理論分析、可變結構控制之設計原理與線性馬達速度控制之概念；而在第三部分將介紹線性馬達運作時所受到的干擾與其數學模型，包含了非線性摩擦力與漣波效應（Ripple effect）之討論與分析。. 2.1 線性馬達簡介線性電動機（俗稱：線性馬達）之起源可追溯到西元 1845 年，英國科學家 Charles Wheatstone 所製作的磁阻式線性馬達，但一開始因為使用效率不高且應用開發尚未周全，因此對其研究進展並不被重視，直到 1965 年，隨著相關應用的需求出現，例如：磁浮列車驅動系統、自動化工具機之定位系統與機械設備之運輸傳動等，大家才開始致力於線性馬達領域之研究[9]。線性馬達等同於將傳統式旋轉型馬達之定子（Stator）、轉子（Rotor）與氣隙（Air gap）從旋轉中心以直線向外切開，並展開呈水平直線型式之電動機[10]，如下圖 2-1 與 2-2 所示。. 圖 2-1 線性馬達展開示意圖. - 14 國立臺灣師範大學機電科技學系. 圖 2-2 線性馬達實體圖.

(30) 第二章理論基礎. 2.1.1 線性馬達之種類與變化隨著科技的演進與突破，為了滿足各類需求與規格條件，其線性馬達的種類與特性已產生許多種類別的變化，例如：在線性馬達激磁驅動形式中，常用的驅動訊號為交流、直流與脈波等三種驅動訊號，因此線性馬達可分為線性交流馬達、線性直流馬達與線性脈波馬達等三類[11]。在此我們將線性馬達的種類整理在下圖 2-3 中。. 圖 2-3 線性馬達之分類本研究使用之驅動馬達為鐵芯式永磁同步伺服線性馬達，歸屬於永磁式交流同步伺服馬達的一種，其定子由永久磁鐵構成，而動子線圈則置於定子上方，且不需要換向器，因此無須維修碳刷，適合應用於自動化設備。而在永磁式交流同步伺服馬達之驅動原理中，以三相換流器（Inverter）經由脈寬調變（Pulse width modulation）在馬達之動子形成電磁場，並與定子之永久磁場相互作用而產生電磁推力。而電子換相器（Electronic commutator）之目的為，使永久磁場方向與動子電磁場方向保持垂直，產生最大電磁推力，為達到此目標，可經由動子位置之回授信號，在由電子換相器來完成[10]。. - 15 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(31) 第二章理論基礎. 2.1.2 線性馬達與滾珠導螺桿之驅動系統性能比較雖然線性馬達的結構可視為旋轉式馬達的水平展開，但應用在定位平台的性能表現上，線性馬達驅動系統卻與旋轉式馬達組成的滾珠導螺桿（Ball screw）驅動系統有所不同，以下我們將對此兩種業界常用的驅動系統做性能響應之比較[12]～[14]。. 圖 2-4 線性馬達驅動系統. 圖 2-5 滾珠導螺桿驅動系統. 表 2-1 驅動系統性能響應比較表. - 16 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(32) 第二章理論基礎. 2.1.3 線性馬達之座標轉換 [15]～[17] 在建立鐵芯式永磁同步伺服線性馬達之數學模型（論述於第四章）前，在此必須先介紹線性馬達之『三相座標系統』與『二軸卡式座標系統』之間的座標轉換關係。雖然三相座標變數系統可以完整描述線性馬達之動態，但其動態方程式實在非常複雜，不適合當作工程人員設計各種控制器時的系統數學模型，因此利用座標轉換法將線性馬達之三相電路動態方程式轉換成二軸動態方程式，以方便工程領域上各種控制器的設計、模擬與實現。在將線性馬達之三相電壓與電流執行系統座標轉換前，在此預先介紹會採用到的三種座標系統轉換法：一、『靜止座標系統轉換法』：此運算法之特性適合以線性馬達定子為轉換基準點，例如：線性馬達之波形模擬與參數量測。二、『轉子參考座標系統轉換法』：此運算法特性適合用在線性馬達的暫態響應中。三、『同步旋轉參考座標系統轉換法』：此運算特性適合線性馬達之效能特性分析、系統穩定度分析與等效直流電路分析技巧，因為在此座標系統中，系統參數：如電壓、電流與磁通練數皆轉換成直流值，且在穩態響應時，各個狀態變數均屬於定值常數。當然在執行座標轉換前，有幾項理想化的假設是必須要考慮的，第一點：三相電源系統為穩定平衡狀態；第二點：轉換過程中不考慮系統飽和效應、磁滯損失與電磁渦流損失；第三點：定子三相繞組在空間中均勻對稱分佈，且彼此相差 120∘，並在空間中產生一平面式之旋轉磁場。符合以上三點則可建立出一平面磁場，由於在平面中的任一向量，皆可分成兩個向量之線性組合，其也為二軸轉換控制法能表示旋轉磁場之原因，接下來將開始介紹線性馬達系統之座標轉換法。 - 17 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(33) 第二章理論基礎.  座標向量轉換當三相座標系統為靜止座標系統時，如果 w  0 ，則 d  q 軸座標系統將屬於靜止座標系統 d s  q s ，如圖 2-6 所示。. 圖 2-6 三相靜止座標與 d s  q s 軸座標系統轉換圖三相定子電流 is 在 d s  q s 軸座標系統中，可將其表示為 iss ，且由 d s  q s 兩軸向之分量所組成，Eq.(2-1)。. iss  idss t   j  iqss t . （2-1）. 1 1   idss  c Re{is }  c ias  ibs  ics  2 2  . （2-2）.  3 3  iqss  c Im{is }  c  ibs  ics  2   2. （2-3）. 其中 iss 是由 is 之實部與虛部組合而成，皆屬於時間 t 的函數，而 c 為系統座標轉換因子，同理可推導線性馬達之電壓向量 v ss ，其也是由 v s 之實部與虛部所組成的，如下 Eq.(2-4)、(2-5)示。 - 18 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(34) 第二章理論基礎. 1 1   vdss  c vas  vbs  vcs  2 2  . （2-4）.  3 3  vqss  c  vbs  vcs  2 2  . （2-5）. 接著開始討論線性馬達在運作時，其瞬間功率 P 之座標轉換關係式，在三相座標系統之瞬間功率表示為 Pabcs ，如 Eq.(2-6)，而在 d s  q s 軸座標系統 s 中表示為 Pdqs ，如 Eq.(2-7)，其二者之轉換關係如下，Eq.(2-8)。. Pabcs  iasvas  ibsvbs  ics vcs. （2-6）. s Pdqs  idss vdss  iqss vqss. （2-7）. 3 s Pdqs  c 2 Pabcs 2. （2-8）. 在了解上述轉換關係式後，在此將討論系統轉換因子 c 的數值選定，其主要分為兩種情況：Non-power invariant 與 Power invariant 兩種系統轉換因子選定原則。在 Non-power invariant 之選定原則下，其系統轉換因子 c  Eq.(2-8)，可推得瞬間功率轉換關係式 Pabcs . 2 ，整合 3. 3 s Pdqs 。 2. 而在另一種情況 Power invariant 之選定原則下，此原則主要意義為：瞬間功率在不同系統座標下，功率數值皆相等，因此系統轉換因子 c  s 並整合 Eq.(2-8)，可推得瞬間功率轉換關係式 Pabcs  Pdqs 。. - 19 國立臺灣師範大學機電科技學系. 2 ， 3.

(35) 第二章理論基礎.  三相座標與兩軸間轉換在此將討論系統三相座標與二軸座標系統間的轉換關係式，首先，以三相動子座標（ f as  f bs  f cs ）為系統參考座標，並假設三相狀態為對稱、且線性馬達之繞組為平衡狀態，然後設定零序分量（Zero-sequence component）為零。因為在永磁同步線性馬達中，其動子側之電氣轉動速率與輸入電源頻率同步，因此圖 2-6 中的馬達電機角    e ，其系統轉換關係，如圖 2-7 示。. 圖 2-7 三相靜止座標與 d e  q e 軸座標系統轉換圖. 如下為我們對三相靜止座標與兩軸座標系統間的轉換關係式，做的一些整理與分類：. 1. 『三相靜止座標  兩軸同步旋轉座標』之轉換關係.   sin e f  2     f  3  cos e  e qs e ds. 2  2  f    sin e    sin e    as  3  3       f 2  2    bs    cos e  cos e    f  3  3    cs   . - 20 國立臺灣師範大學機電科技學系. （2-9）.

(36) 第二章理論基礎. 2. 『三相靜止座標  兩軸靜止座標』之轉換關係.  3  f qss  2 0 2  s    f ds  3 1  1  2. 3   f as   2    f bs  1      f cs  2 . . （2-10）. 3. 『三相靜止座標  兩軸同步旋轉座標』之轉換關係.      sin e cos e  f as    e  f    sin  2  cos  2    f qs   e   e     bs   3  3   f dse     f cs   2  2    sin e   cos e   3  3    . （2-11）. 4. 『三相靜止座標  兩軸靜止座標』之轉換關係.    f as   0 f    3  bs   2  f cs   3  2.  1  s 1   f qs    s 2   f ds  1   2. （2-12）. 其中（ f as  f bs  f cs ）代表三相靜止座標、（ f qss  f dss ）代表兩軸靜止座標、而（ f qse  f dse ）代表兩軸同步旋轉座標。. - 21 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(37) 第二章理論基礎.  二維座標間轉換接下來我們要討論的是『兩軸靜止座標系統』與『兩軸同步旋轉座標系統』之間的轉換關係，由圖 2-8 可知，兩軸座標 d x  q x 與 d y  q y 分別以速度 w x 與 w y 繞座標原點旋轉，且在 d x、d y 軸與水平軸之夾角分別為  x 與  y ，其關係示，如下 Eq.(2-13)與 Eq.(2-14)所示。. 圖 2-8 兩軸座標系統轉換關係圖.  x  0 w x  d   x 0  0 w x  d. （2-13）.  y  0 w y  d   y 0  0 w y  d. （2-14）. t. t. t. t. 由圖 2-8 可得兩軸座標之轉換定義式 Eq.(2-15)與 Eq.(2-16)，其矩陣形式 Eq.(2-17)式，. f qy   sin y   x  f dx  cos y   x  f qx. （2-15）. f dy  cos y   x  f dx  sin y   x  f qx. （2-16）. - 22 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(38) 第二章理論基礎.  f qy   sin y   x  cos y   x   f qx    y   y x y x   x  f d   cos    sin     f d . （2-17）. 在此令  y   e 、  x  0 並代入 Eq.(2-17)中，並將圖 2-8 中『 d y  q y 座標系統』以『 d e  q e 同步旋轉座標』取代，而『 d x  q x 座標』以『 d s  q s 靜止座標』取代，最後可得『 d s  q s 靜止座標系統』與『 d e  q e 同步旋轉座標系統』之相互轉換關係式，如下 Eq.(2-18)與 Eq.(2-19)所示。. 1.. 『 d s  q s 靜止座標系統  d e  q e 同步旋轉座標系統』.  f qse   sin  e  e  f ds   cos e. 2.. cos e   f qss    sin  e   f dss . （2-18）. 『 d s  q s 靜止座標系統  d e  q e 同步旋轉座標系統』.  f qss   sin  e  s  f ds  cos e. cos e   f qse     sin  e   f dse . （2-19）. 其中（ f qss  f dss ）表示兩軸靜止座標系統，而（ f qse  f dse ）表示兩軸同步旋轉座標系統。在此我們已經對於永磁同步線性馬達之硬體結構、操作性能之優缺點與馬達內部電路狀態之三相座標轉換做了一些理論說明與數學推導，但是在『永磁同步線性馬達之系統動態數學模型』的部分，我們將把此重要部份之說明專門放在本論文第四章『系統動態模型之建立』中來探討，以方便跟本論文第五章『控制器設計』相互呼應。接下來我們將對於本論文第五章『控制器設計』所需要的基礎理論，加以說明與討論。. - 23 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(39) 第二章理論基礎. 2.2 高階控制器之設計原理解說在說明系統控制器設計基礎原理之前，我們必須對於『系統』這個名詞有所了解，系統在控制領域中，主要有兩種大方向之分類，即靜態系統與動態系統[18]。在靜態系統中，系統輸入訊號為 u(t )  A sin(wt ) ，而系統輸出訊號為 y(t )  B sin(wt) ，即靜態系統不會改變輸入訊號頻率 w 與產生相位差.  ，且系統輸出訊號之振幅 B 其大小也與頻率無關；而在動態系統中，同上輸入一樣的訊號，其輸出訊號為 y(t )  C (w) sin(wt   (w)) ，即動態系統之輸出訊號中，振幅 C (w) 大小與相位差  (w) 皆受到頻率之影響，如圖 2-9 所示。. 圖 2-9 靜態系統與動態系統在分析靜態與動態系統之性質後，本研究之高精密定位平台控制系統屬於動態系統。接著在控制器設計的數學處理流程中，過去總是利用轉移函數來代表受控系統模型，然後再由控制器執行控制系統之分析與設計，即所謂古典控制之範疇，可惜的是，轉移函數的表現只能詮釋受控系統之輸入與輸出間的關係，對於系統運作過程之內部狀態變化卻無法一窺究竟，且只能應用在線性非時變（LTI）的控制系統中，如此對於控制器之設計實屬窒礙。. - 24 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(40) 第二章理論基礎. 因此為了突破這些困境與了解更多系統狀態資訊之變化，本研究將採用狀態空間之數學概念[19]，來設計我們的高階控制器，狀態空間表示法除了可以精確地描述控制系統之狀態變化外，對於多輸入多輸出（MIMO）之複雜系統也可以完整的描述與處理，最重要的是它可以處理非線性系統的問題，打破 LTI 系統的羈絆，如下為狀態空間表示法之相關介紹。狀態空間表示法主要包含了『系統狀態方程式』與『系統輸出方程式』，如下 Eq.(2-20)所示，. 狀態方程式: x t   Axt   Bt . 輸出方程式: yt   Cxt   Du t . （2-20）. 其中 A : n  n 矩陣、 B : n 1 向量、 C : 1 n 向量、 D : 純量。而狀態空間表示法之系統方塊圖（令 D  0 時），如下圖 2-10 所示。. 圖 2-10 狀態空間表示法方塊圖有了狀態空間表示法當作我們設計控制器的數學工具後，接著我們還是回歸至系統控制的本質，也就是當我們面對一個系統時，必須要先判斷此系統是否可控制，如果可控制，我們利用狀態空間法設計控制器才有意義，如果系統本身就屬不可控制，控制器設計地在完美也是徒勞無功，至於在系統控制的過程中，哪些系統狀態變數可被拿來當作控制器的資訊，也是一項重點，因為在動態系統中，某些狀態變數資訊是感測器所量測不到的，如果無知地把這些未知變數當作控制器設計的內涵資訊，等同於在控制器中增加未. - 25 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(41) 第二章理論基礎. 知變數，大大提升控制器之失控機率，因此在設計高階控制器前，預先了解受控系統之『可控制性』與系統狀態之『可觀測性』是身為一個控制工程人員所要有的基本概念，以下將舉水槽控制系統[18]之實例來說明這兩項觀念。. 圖 2-11 水槽控制系統配置圖現在有個水槽控制系統，其系統之控制輸入項為水源流入量 u (t ) ，而系統狀態項為水槽 A 之水量高度 x1 (t ) 與水槽 B 之水量高度 x2 (t ) 。在此希望藉由單一水源流入量 u (t ) 來控制水量高度 x1 (t ) 與 x2 (t ) 至任意水位高度，可能嗎？答案是不可能的，所以此水槽控制系統為不可控制系統。現在希望可以得到系統水流平均流速 v2 (t )，我們可以得到這項資訊嗎？答案可以的，儘管我們沒有加裝流速計量測，但我們可以利用水量高度 x2 (t ) 之變化狀態與打開水源流入量 u (t ) 的時間，逆推得水流平均流速 v2 (t ) ，因此我們稱 v2 (t ) 為可觀測之系統狀態變數。最後我們將說明受控系統可控制性與可觀測性之完整定義[18]～[20]，並提出在狀態空間描述之系統，該如何利用數學方法判斷其系統特性，幫助我們高階控制器之設計與開發。. - 26 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(42) 第二章理論基礎.  系統之可控制性在有限時間內，施加一個無限制之控制向量 u (t ) ，使得系統狀態 xi (t ) 由任意初始狀態 xi (t 0 ) 轉移到目標點，則稱該狀態在時刻 t 0 為可控的，如果系統所有狀態變數皆可控，則稱此系統為完全可控的，其判斷法則 Eq.(2-21)。. S  B. AB    An1 B , rankS   n  full rank. （2-21）.  系統之可觀測性如果系統狀態 xi (t ) 能在有限時間內，由系統輸出量測值 y (t ) 或是系統控制輸入 u (t ) 推測得知其正確數值，則稱該狀態 xi (t ) 為可觀測的，若系統之狀態皆可觀測，則成此系統為完全可觀測的，其判斷法則 Eq.(2-22)。. V  C CA    CAn1  , rankV   n T.  full. rank . （2-22）. 在有了狀態空間表示法、受控系統可控制性與系統狀態可觀測性之觀念後，控制系統之狀態回授設計概念，也可順理成章的建立起來了。. 圖 2-12 控制系統之狀態回授圖（其中 D = 0）[18] 狀態回授控制為設計高階控制器的基礎，在圖 2-12 中，系統控制器輸入 u (t ) 由狀態回授變數 x(t ) 與輸入命令 r 之前饋控制所組成，其中 K 為狀態回授增益向量，而 H 為純量之前饋增益，其控制器輸入 u (t ) ，如 Eq.(2-23)示。. u(t )  Kx(t )  Hr. （2-23） - 27 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(43) 第二章理論基礎. 2.2.1 Lyapunov 穩定性理論 [21]～[23] 在控制一個系統時，要保持系統在穩定的情況下運作，是控制工程中的第一要務，在過去的古典控制理論中，Routh-Hurwitz 或是 Nyquist 穩定性準則均是用來決定系統穩定性的法則，但此準則只能用在線性非時變的系統中，當面對非線性的系統時，這些穩定性準則就無法使用了。在此我們將介紹 Lyapunov 穩定性理論，此理論可以判斷在狀態空間結構下線性、非線性、或時變系統之穩定性，其最大特色為無須求解複雜之系統狀態方程式，即可決定系統穩定性，這對工程師來說無非是項福音。 Lyapunov 穩定性理論其概念主要來自於古典力學，即一個系統若屬於穩定，其系統之總能量將呈現隨時間之變化連續性地遞減至系統之平衡狀態，以下對 Lyapunov 穩定性理論做一個歸納式之定理論述。.  Lyapunov 穩定性定理對於一個非線性、非自律（Non-autonomous）系統，如 Eq.(2-24)示，. x  f (t , x) , t  0. （2-24）. 其位於原點之平衡狀態為穩定，若存在一個 Lyapunov 正定函數 V ，其一次微分函數值 V  0，如 Eq.(2-25)，則可確定系統狀態為有界或漸進穩定收斂，如果呈現 V  0 ，則可確定系統狀態呈現漸進穩定收斂，如 Eq.(2-26)，如果. V  2V ，則系統狀態呈指數收斂，其中  表示為穩定收斂率，如 Eq.(2-27)。. V (t , x)  0 , t  0 , x  Br. （2-25）. V (t , x)  0 , t  0 , x  Br. （2-26）. V (t , x)  2  V ( x) , t  0 , x  Br ,   0. （2-27）. - 28 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(44) 第二章理論基礎. 在上述 Lyapunov 穩定性理論之介紹後，我們要更進一步的討論系統狀態之有界與漸進穩定收斂之判別，當系統只能確定 V  0 ，且 V  0 又很難證明得到時，其系統之穩定度要求又必須明確判斷為有界或是漸進穩定收斂時，到底該怎樣分辨 V  0 是屬於哪種情況呢？在此利用 Barbalat' s 引理來分辨非自主性（Non-autonomous）系統之穩定性狀態。.  Barbalat 引理如果 f (t ) 為可微分函數且在時間 t   時為有限值，且 f (t ) 為一均勻連續函數，則 f (t )  0 當 t   時。但如果 f (t ) 為一均勻連續函數這個條件很難確定時，通常都是利用 f(t ) 是否有界來判斷 f (t ) 是否為一均勻連續函數，因為 f(t ) 有界，則 f (t ) 為一均勻連續函數。經過上述 Lyapunov 穩定性理論的介紹後，在此補充需要注意的事項：一、上述 Eq.(2-25)～(2-27)之 Lyapunov 穩定性判斷原則，皆屬於充分條件，具不可逆性。二、如何選擇一個適當之 Lyapunov 函數 V ，至目前為止，此函數之選擇並無一套完整的建構流程，依然還是以人為經驗為主要之依據。三、Lyapunov 函數 V 具有下列相關特質 1. 屬於一個純量函數 2 恆為正定函數 3 對於一個已知的系統來說，Lyapunov 函數 V 不具唯一性 4. Lyapunov 函數 V 之時間導數為非正定函數. - 29 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(45) 第二章理論基礎. 2.2.2 可變結構控制理論 [22] 最早的可變結構控制技術可追朔至 1950 年代的前蘇聯，當時就已有一些學者與工程師應用這項技術於控制馬達。可變結構控制技術屬於一種切換條件控制（Switching condition control），其先使受控系統包含兩個或以上之控制子結構，接著再刻意的加入切換條件來達成控制之目的。在可變結構控制領域中，順滑膜態控制（Sliding model control）為主要之應用主軸，其順滑膜態控制主要有四項重點部分，即迫近條件、順滑條件、等效控制與順滑層，如下圖 2-13 所示。. 圖 2-13 順滑膜態控制示意圖順滑模態控制之主要目的為，將系統變數之初始值 x(t 0 ) ，透過迫近模式，在時間 t s 時，將系統變數 x(t s ) 逼進超空間 S ( x)  0 上，接著透過輸入等效控制，同步產生順滑層並使系統變數維持順滑模態，最後將系統狀態變數順滑移動至系統之平衡點，完成順滑模態控制。有了可變結構控制理論中順滑模態控制之認知與 Lyapunov 穩定性理論之概念後，在下一小節我們將介紹，以 Lyapunov 原理為設計基礎之高階控制器設計法，做為本研究論文中第五章（控制器設計）之基礎原理。. - 30 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(46) 第二章理論基礎. 2.2.3 Lyapunov 控制器設計法 [22] Lyapunov 控制器設計法，是以 Lyapunov 原理中，能量收斂之觀點所提出的一種控制器設計技巧，其在順滑向量的選擇上，其屬於最簡易的一種。其中為了使用 Lyapunov 原理，控制系統 Eq.(2-28)，必須先經由根值指定法先行求得狀態回饋矩陣 K 使得 A  BK 之特徵值都在複數平面之左半平面上，在選定控制輸入 u  Kx  v ，則控制系統可改寫為 Eq.(2-29)所示。. x  Ax  Bu  d ( x, t ). （2-28）. x  As x  Bv  Bd m ( x, t )  Br d r ( x, t ). （2-29）. 其中 As  A  BK 且雜訊 d ( x, t )  Bd m ( x, t )  Br d r ( x, t ) ，而 Bd m 為匹配式雜訊、 Br d r 為非匹配式雜訊。接著利用 Lyapunov 方程式，如 Eq.(2-30)，求出一個具唯一性與對稱性的正定矩陣 P ，其中 Q 屬於任意對稱正定矩陣。. AsT P  PAs   Q. （2-30）. 接著分析控制系統的穩定性，通常選定一個 Lyapunov 函數，如 Eq.(2-31)，並在對時間做一次微分後，整合 Eq.(2-29)與 Eq.(2-30)，可得到 Eq.(2-32)。. V ( x)  x T Px. （2-31）. V ( x)   x T Qx  2 x T PB(v  d m ( x, t ))  2 x T PBr d r ( x, t ). （2-32）. 觀察 Eq.(2-32)可知，如果非匹配雜訊 d r ( x, t ) 不存在，且 B T Px  0 時，則 Eq.(2-32)可改寫成 Eq.(2-33)，且只有在系統狀態 x  0 時，而 V  0 才會成立，因此可推論其系統狀態 x()  0 ，即控制系統為漸進穩定。. V ( x)   x T Qx  0. （2-33）. - 31 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(47) 第二章理論基礎. 因此當系統不具有 d r ( x, t ) 時，選定一個順滑函數 Eq.(2-34)，只要系統狀態進入順滑模態 Eq.(2-35)之下，則系統將會逐漸收斂至穩定平衡點。. s  Cx  BT Px. （2-34）. s  Cx  BT Px  0. （2-35）. 但是如果系統中具有 d r ( x, t ) 時，順滑模態則變成 Eq.(2-36)所示，為了將此雜訊的干擾效應最小化，我們必須多考慮一個控制準則 Eq.(2-37)，這也意味著，未來在設計控制器之 Q 、 K 與 P 矩陣等系統參數時，除了要符合順滑模態函數的設定外，非匹配干擾之最小化也是一項不可忽略之重點。. V ( x)   x T Qx  2 x T PBr d r ( x, t ) min. （2-36）. PBr. （2-37）. P. 此外 Lyapunov 控制器設計法，還有另外一種不需要 Lyapunov 方程式之設計方式，即利用 As  A  BK 之 n 個不同特徵值 1 , 2 ...n ，並寫成 Eq.(2-38) 之型式，在進一步整理成 Eq.(2-39)。. vi As  i vi , i  1, 2, ... n. VAs  V. ,. （2-38）. V  v1  vn . T. ,. 0 1        0 n . （2-39）. 其中 vi  R1n 為 i 之左特徵向量（具有 n 項），經整理可得到 Eq.(2-39)，由於 V 包含所有左特徵向量屬於非奇異矩陣向量，在此定義一個新的系統狀態. y ，如下 Eq.(2-40)所示，並在選擇一個 Lyapunov 函數 V ( y )，如 Eq.(2-41)示。. - 32 國立臺灣師範大學機電科技學系.

(48) 第二章理論基礎. y  Vx. （2-40）. V ( y)  y T y. （2-41）. 將 Lyapunov 函數 V ( y ) 對時間取一次微分後，並整合 Eq.(2-29)與 Eq.(2-39) 可得到 Eq.(2-42)，並在此選擇一個順滑函數 s ，如 Eq.(2-43)。. V ( y)  y T y  2 y T VBv  d m ( x, t )  2 y T VBr d r ( x, t ). （2-42）. s  BT V T y  BT V T Vx. （2-43）. 當非匹配雜訊 d r ( x, t ) 不存在時，且在順滑模態下 s  B T V T y  0，則 Eq.(2-42) 可化為 Eq.(2-44)，其中只在 y  0 時，V ( x)  0 才成立，即 y()  Vx()  0 ，也就是說 x()  0 ，因此控制系統為穩定的。. V ( y)  y T y  0. （2-44）. 相同地，如果系統包含了非匹配雜訊 d r ( x, t ) ，則 Eq.(2-42)變為 Eq.(2-45)，如果我們希望降低非匹配雜訊之影響，則此系統之設計必須多考慮 Eq.(2-46) 式，藉此降低非匹配雜訊對系統的干擾現象。. V ( y)  y T y  2 y T VBr d r ( x, t ) min. VBr. （2-45）（2-46）. V. 經過上述 Lyapunov 控制器設計法之操作流程後，我們應該已經可以了解到 Lyapunov 穩定性理論、可變結構控制理論與 Lyapunov 控制器設計法之相對關係，以及系統控制器穩定性原則之建立與設計，在本研究之第五章（控制器設計）中，我們將大量的使用此類型之設計技巧，來控制我們的線性馬達運動系統，希望可以有效降低匹配雜訊與非匹配雜訊對於高精密度定位平台之干擾，提升平台之精密度。 - 33 國立臺灣師範大學機電科技學系.