CH05

5-2 布林代數的獲得

5-3

布林代數式簡化法

5-4

卡諾圖

5-5

布林代數的實現

EXIT

5-2

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

•

_{The Karnaugh Map-Rules of Simpl}

ification

EXIT 5-3 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

　　積項和式就是將一個或一個以上的積項加在

一起所形成的運算式。

　　和項之積（以下簡稱和項積）其形式如下：

　　和項積式就是指一個或一個以上的和項相乘

所形成的運算式。

EXIT 5-4 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

　　標準乘積項是指函數中所有變數都存在的乘積

項，又稱為最小項（ minterm ）。

　　標準和項是指函數中所有變數都存在的和項，

又稱為最大項（ maxterm ）

EXIT 5-5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

1.當輸入 ABC = 010 時，其標準積項為

；標準和項為 。

2.當輸入 ABC = 110 時，其標準積項為

；標準和項為 。

　　若最小項與最大項分別以 m

和 M

來表示，

而 i 是指該輸入對應的十進位數，則：

EXIT

5-6

EXIT

5-7

EXIT

5-8

EXIT 5-9 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 請寫出 f (x , y , z ) = ∑(0 , 1 , 3 , 7) 的標準積項和式。 先將∑後的各數字轉換成二進制，再將二進制轉成 標準積項後加總即可。

EXIT 5-10 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 1. 請寫出 f (A , B , C , D) = ∑(1 , 4 , 5 , 10, 13 , 15) 的 標準積項和式。 f (A , B , C , D) = Σ( 1 , 4 , 5 , 10 , 13 , 15 ) =

EXIT 5-11 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 請寫出 f (A , B , C) = ∏(0 , 2 , 4 , 6) 的標準和項積式。 先將∏函數的各項數字轉成二進制，再將二進制轉 成標準和項積式即可。

EXIT 5-12 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 2. 請寫出 f (A , B , C , D) = ∏( 0 , 3 , 5 , 11 , 15 ) 的標準 和項積式。 f (A , B, C , D) = Π(0 , 3 , 5 , 11 , 15) = (0000)(0011)(0101)(1011)(1111) =

EXIT

5-13

EXIT

5-14

EXIT 5-15 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 A 、 B 、 C 三人投票表決事件 y 的成立與否，依規定 只要有兩人以上贊成則 _{y 事件就通過，試依描述求 y} 事件通過的積項和式與和項積式。 依問題我們可以列出如下所示之真值表，其中贊成 者為 1 ，不贊成者為 0 。依 條 件只要有兩人以 上輸入 1 ，則 y = 1 。故其布林代數式如下： (1)將真值表轉換成積項和式，只要將輸出 1 的 標準積項相加即可， 故

EXIT

5-16

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

準和項相乘即可， 故

EXIT 5-17 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 3. 函數 f (A , B , C) 中，只要 3 個輸入變數有奇數個 1 輸入，其輸出結果就為 1 ，試寫出 f (A , B , C) 的積項和式與和項積式。 在三位元二進制中輸入奇 數個 1 的情況只有 001 , 010 , 100 與 111 四種， 其真值表如圖所示。

EXIT

5-18

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

依真值表可得輸出 f 之積項和式與和項積式如下 ：

EXIT

5-19

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

欲將積項和式轉成和項積式，只要將未出現在積

EXIT 5-20 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

1.項目合併，如

2.項目刪除，如

3.

刪除多餘，如

4.加入多餘項，如乘上 ，再重新整

合。

EXIT

5-21

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

簡化

EXIT 5-22 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 (2) 在各積項中尋找共同因子將其提出，如上式的 第一項和第二項有共同因子 ，而第三項和 第四項亦有 ，故

EXIT

5-23

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT

5-24

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

1.檢視各和項，並儘量提出公因數。

2.利用　　　 刪除不必要的和項。

EXIT

5-25

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

化簡式子

EXIT

5-26

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

試化簡下列各式： (1)

EXIT

5-27

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

試化簡下列各式： (2)

EXIT

5-28

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT

5-29

EXIT

5-30

EXIT

5-31

EXIT

5-32

EXIT 5-33 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 將右圖真值表轉入三變數卡諾圖中。 按真值表輸入變數的二進位值， 依序將其所對應的輸出結果（ y 值）填入卡諾圖所對應的方格中 ，結果如下圖所示。

EXIT 5-34 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

二組對

　　任意兩緊鄰的方格內值為 1 ，必可消除一個

變數。

EXIT

5-35

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

( 續 )

EXIT

5-36

EXIT

5-37

EXIT

5-38

EXIT

5-39

EXIT

5-40

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

( 續 )

EXIT

5-41

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT 5-42 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

1.依真值表將輸出值（ 0 或 1 ）填入對應卡諾

圖的方格中。

2.善用重複組對的技巧，依序圈出八組對、四組

對和二組對。

3.如果遺留下獨立的 1 未被組對，要個別圈出

。

4.重新觀察組對，要讓所有 1 的方格都被圈到

，而且圈選組對的總數要越少越好。

5.寫出各組對的簡化結果（組對中未曾改變的變

數乘積），並將其 OR 起來，寫成布林等式

。

EXIT 5-43 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 簡化下列布林等式。 (1) x (A , B , C , D) = ∑ (2 , 5 , 7 , 11 , 13 , 15) (1)將 x 函數代入卡諾圖，如下圖所示，可圈得一 個四組對、一個二組對與一個獨立 1 ，得

EXIT 5-44 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 簡化下列布林等式。 (2) y (A , B , C , D) = ∑ (1 , 5 , 6 , 7 , 11 , 12 , 13 , 15) (2) 將 y 函數代入卡諾圖，如下圖所示，可圈出四 個二組對，得

EXIT 5-45 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 6. 試簡化 f (A , B ,C , D) = ∑ (1 ,2 , 3 , 5 ,6 , 7 , 13, 14, 15) 的函數。 函數 f (A, B, C, D) 其以 A 變 數為最高位元， D 為最低位 元，故其卡諾圖如圖所示。 其總計可圈出 4 個四組對 （注意利用重複組對技巧，只 要能圈 4 組對者，就要圈四 組對，切莫圈二組對），其組 合結果分別為 ， 故其輸出函數

EXIT 5-46 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

積項和式的卡諾圖化簡法

1.將各積項的變數原形用 1 、補數用 0 、缺項

用 × 來取代。

2.將各積項所能代表的二進位數轉成十進制。

3.將積項和式改寫成最小項組成的

函數，再

代入卡諾圖化簡。

EXIT 5-47 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 請寫出右圖真值表的最簡布林代數。 將真值表代入卡諾圖如下圖所示， 可將上下兩列合成一只四組對，而 中間兩個隨意狀態可不予考慮，故 得

EXIT 5-48 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 9. 化簡 f (A , B , C) = ∑( 3 , 6 , 7 ) + D ( 2 , 4) 。 （註：符號 D 表隨意條件） 代入卡諾圖，得 _{f = B 。}

EXIT 5-49 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試化簡下列布林代數： (1) (1)先將布林代數式轉成標準積項和式，由 可知 x 函數至 少具有 A 、 B 、 C 三變數，故

EXIT

5-50

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT 5-51 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 代入卡諾圖，如下圖 (b) 所示，經組合化簡得 或如圖 (c) 所示， 試化簡下列布林代數： (2)

EXIT

5-52

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

本解因二組對的圈選對象不同，雖有兩種不同的結果， 但兩者都是正確的。

EXIT 5-53 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 7. 簡化 = Σ(1, 2, 4, 5, 6, 7) 代入卡諾圖化簡如右圖 所示，可得

EXIT 5-54 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 在 中，使 f =1 的輸入組 合最多有幾種？_{將其還原成標準積項和式，所得的每個最小項} 就是一種 f =1 的輸入組合。 故最多有 m₀ 、 m₁ 、 m₂ 、 m₃ 、 m₅ 、 m₆ 等 6 種組合。

EXIT 5-55 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 8. 在 中，使 y =1 的輸入組合有 哪些？_由 故 y 為 1 的組合計有 m₁ 、 m₄ 、 m₅ ， 即 與 等 3 項。

EXIT

5-56

EXIT 5-57 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

(1)積項和式圈內值為

1 的方格，而和項積式則是

圈 0 的方格。

(2)積項和式的最後輸出結果是每一組對圈記中未

改變變數的積項和，而和項積式則為每一組對

未改變變數的和項乘積。

EXIT 5-58 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試求右圖所示真值表的最簡和項積式。 (1)將真值表的輸出 y 填入 對應的卡諾圖方格中，如 下圖所示。

EXIT 5-59 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 (2) 將內值為 0 的方格依積項和式的組對圈選 要領圈記，可得兩組二組對。其中直立組因 只有 B 與 　兩變數未改變（注意：標示 0 用原形， 1 用補數），故其組合後的和項為 而橫向組則為 (3) 其輸出函數則為各組對的和項乘積，即

EXIT 5-60 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試求 f (A , B , C , D) = ∏ (1 , 3 , 4 , 6 , 11) + D (9 , 10, 15) 的最簡布林代數式。 (1)將∏ (1 , 3 , 4 , 6 , 11) 所對 應之卡諾圖方格填 0 ， D (9 , 10, 15) 對應的方格 填 × ，未被標示的方格如 0 , 2 , 5 , 7 , 8 , 12 , 13 , 14 填入 1 ，如右圖所示。 (2)依組對要領圈記，得出結 果為：

EXIT

5-61

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

10. 試求 f (A , B , C , D) = ∏ (0 , 2 , 5 , 7 , 8 , 10) +

EXIT 5-62 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試簡化下列布林代數。 (1) (1) 採標準和項積式還原法，將式中每一和項的變數 原形用 0 、補數用 1 、缺項用 × 來取代， 在求取∏ 函數後代入卡諾圖化簡。

EXIT

5-63

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT 5-64 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試簡化下列布林代數。 (2) (2)

EXIT

5-65

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT 5-66 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 11. 試簡化 由 = (0×1)(11×)(×11) =Π(1, 3, 6, 7) 故代入卡諾圖化簡可得

EXIT

5-67

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

AND-OR 結構

EXIT 5-68 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試完成 的組合邏輯電路。_{原式為積項和式，故可用 AND-OR 之雙層結構} 來完成，詳如下圖所示。

EXIT

5-69

EXIT 5-70 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

　　布林代數式轉換成 NAND-NAND 網路的方法

如下：

1.將布林代數簡化，並以積項和式來表示。

2.繪出 AND-OR 網路，再以 NAND 閘取代每一

個 AND 與最終的 OR 閘（亦可直接以雙層

NAND 結構來繪製）。

3.單變數的積項，須先經反閘反相才能引入第二層

NAND 閘。

EXIT 5-71 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試完成 的電路設計。一般在積項和式中，其代數式通常都不是最簡單的， 當然其所得的電路也不是最理想的，故可先予化簡， 再行設計。 由 故可得如下圖兩種電路。

EXIT 5-72 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 12. 試用 NAND-NAND 結構，完成 之電路。 (1) 之電路如圖 (a) 。 (2) 直接將圖 (a) 改成圖 (b) 之 NAND-NAND 結構 。

EXIT

5-73

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

OR-AND 結構

EXIT

5-74

EXIT 5-75 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

　　布林代數式轉換成 NOR-NOR 雙層電路的方

法如下：

1.將布林代數式化簡，並以和項積式來表示。

2.根據和項積式繪出 OR-AND 電路，再直接以

NOR 閘來取代每一個 OR 閘和 AND 閘（亦可

以 NOR-NOR 的二階電路直接繪製）。

3.對直接接到最終 AND 閘的單輸入變數，應先加

入 NOR 閘予以反相。

EXIT 5-76 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 試以 NOR-NOR 結構電路完成下列布林代數之功能： (1) 由原式 y = ∏( 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 ) 代 入卡諾圖化簡，詳如右圖所示。 得

EXIT

5-77

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

(3)再用 NOR 閘取代所有 OR 閘與 AND 閘，就 可獲得如下圖的 NOR-NOR 結構電路。

EXIT 5-78 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 13.試以 NOR-NOR 結構完成 之電路。 直接以 NOR-NOR 結構完成如下圖。

EXIT 5-79 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

1.條列輸入條件與輸出關係。

2.設定變數。

3.填列真值表與卡諾圖。

4.布林代數化簡。

5.依據布林代數式組合電路。

EXIT 5-80 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 在人、狼、羊、捲心菜過河遊戲中，人每次只能帶狼 、羊、捲心菜其中一樣過河。設輸入變數狼 (A) 、羊 (B) 、菜 (C) 、人 (D) 等在右岸為 0 ，左岸為 1 。 輸出變數 f 表渡河過程中，各物品之安全與否。若 安全則 f = 0 ，不安全則渡河失敗 f = 1 。請完成 渡河失敗 f ( A , B , C , D ) 的偵測電路。(1) 依條件敘述，只要人 (D) 不在，狼 (A) 會吃 羊 (B) ，羊 (B) 會吃菜 (C) ，即渡河失敗 f =1 。故渡河過程所有物件狀態的輸入組合與 輸出關係的真值表，詳如下表所示。

EXIT

5-81

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

EXIT

5-82

EXIT 5-83 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 某單位主管與三位助理對提案表決的規定是，若主管 贊成，則只要有一位助理以上贊成，提案即可通過； 若主管不贊成，則需三位助理都贊成，提案才能通過。 請設計一組表決器，以供該單位表決之用。 (1)設 f 代表提案，若 f = 1 表示提案通過， f = 0 表示提案不通過。 (2)設 P 代表主管， A 、 B 、 C 分別代表三位 助理，若為 1 表示贊成，為 0 表示不贊成 。

EXIT 5-84 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 所示。 (4) 將真值表填入卡諾圖直接圈 1 化簡，詳如圖 (a) 所示， 可得其輸出 f 之布林代數 為

EXIT

5-85

EXIT

5-86

5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

可得圖 (b) 所示之 NAND-NAND 結構電路 。

EXIT 5-87 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 示之 NOR-NOR 結構電路。 (8) 表決器的電路如圖 (b)NAND-NAND 結構與 圖 (c)NOR-NOR 電路所示，兩組電路並無好 壞之分，只要擇一即可。

EXIT 5-88 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 14. 有一邏輯電路輸入 ABCD ，當 A = 0 或 ABCD = 1000 或 ABCD = 1010 時，其輸出 y = 1 ；否則 y 必為 0 ，試繪出其可能之電路結構。 (1)其真值表如圖 (a) 所示。 (2)轉入卡諾圖化簡，圈 1 得積項 和式 ；圈 0 得 和項積式 (3)其電路分別如圖 (c) 、 (d) 所示。

EXIT

5-89