圖(十 三 )
運用摺紙提升學生尺規作圖技巧
譚克平
* 陳宥良
國 立 臺 灣 師 範 大 學 科 學教 育 研 究 所 一 般 學 生 懼 怕 學 習 幾 何 ， 更 害 怕 解 尺 規 作 圖 的 題 目 。 本 文 提 出 可 以 教 導 學 生 從 摺 紙 活 動 學 習 尺 規 作 圖 的 想 法 ， 除 了 介 紹 六 個 基 本 摺 紙 動 作 之 外 ， 並 介 紹 摺 紙 動 作 如 何 轉 換 成 為 尺 規 作 圖 動 作 ， 另 外 說 明 進 行 摺 紙 教 學 時 應 留 意 的 事 項 ， 以 及 學 生 學 習 摺 紙 動 作 時 遭 遇 的 困 難 ， 藉 此 解 釋 透 過 摺 紙 學 習 尺 規 作 圖 的 可 行 性 ， 以 供 第 一 線 的 數 學 教 師 參 考 。壹、學習尺規作圖的困難
眾 所 周 知 ， 一 般 學 生 最 懼 怕 的 學 科 是 數 學 ， 而 在 數 學 科 眾 多 的 主 題 之 中 ， 很 多 學 生 最 怕 的 是 幾 何 ， 尤 其 是 幾 何 證 明 和 尺 規 作 圖 這 兩 個 主 題 。 近 年 來 ， 數 學 教 育 工 作 者 對 幾 何 證 明 投 入 了 不 少 關 注 ， 包 括 了 學 生 對 作 出 幾 何 證 明 或 閱 讀 理 解 幾 何 證 明 的 困 難 等 方 面，都 有 不 少 相 關 研 究。然 而， 數 學 教 育 界 對 尺 規 作 圖 方 面 的 研 究 ， 可 說 是 相 形 見 少 的 。 相 較 之 下 ， 由 於 這 方 面 的 論 著 並 不 多 ， 我 們 對 學 生 學 習 尺 規 作 圖 的 困 難 知 之 不 詳 。 玆 試 以 有 三 十 萬 考 生 的 國 民 中 學 學 生 基 本 學 力 測 驗 的 題 目 為 例 ， 藉 以 管 窺 臺 灣 國 中 生 尺 規 作 圖 表 現 的 現 況。在98 學 年 *為本 文 通 訊 作 者 度 數 學 科 第 一 試 第 33 題，所 測驗 的 是 國 三 學 生 能 否 判 斷 兩 種 作 圖 方 法 的 正 確 性 。 為 方 便 討 論 ， 題 目 轉 錄 如 下 ： 如 圖 (十 三 )，直 線 AB、直 線CD為 不 平 行 之 二 直 線，今 欲 作 一 圓O 同 時 與 直線 AB、直 線CD相 切，以 下 是 甲、乙 兩 人 的 作 法 ： (甲) 1. 過 D，作 一 直 線 L 與直 線 AB垂 直， 且 交 直 線 AB於 E 2. 取DE中 點 O 3. 以 O 為圓 心 ，OE長 為 半 徑 畫 圓 ， 則 圓 O 即 為 所 求 (乙) 1. 設 直線AB與 直 線CD相 交 於 P 2. 作∠BPD之 角 平 分 線 L 3. 過 C， 作 一 直 線 M 與 直 線CD垂 直 ， 且 交 直 線 L 於 O4. 以 O 為圓 心 ，OC長 為 半 徑 畫 圓 ， 則 圓O 即 為 所 求 對 於 兩 人 的 作 法 ， 下 列 敘 述 何 者 正 確 ？ (A) 兩人 皆 正 確 (B) 兩 人 皆 錯 誤 (C) 甲 正 確 ， 乙錯 誤 (D) 甲錯 誤 ， 乙正 確 此 題 的 答 對 率 僅 約 28%，即 每 四 位 應 試 者 當 中 ， 約 略 只 有 一 位 答 對 該 題 。 該 題 的 正 確 答 案 是(D)選項，甲、乙 兩 人 的 作圖 方 法 中 ， 只 有 乙 的 方 法 是 對 的 ， 甲 是 錯 誤 的。甲 作 圖 法 的 問 題 在 於 如 果 以 O 為 圓心 且OE長 為 半 徑 畫 圓 的 話，該 圓 與 直 線CD 將 有 兩 個 交 點，其 中 一 個 即 為D 點。從 應 試 者 的 表 現 來 看 ， 卻 有 超 過 半 數 選 擇(A) 及(C)選 項，換 句話 說，有 超過 半 數 的 應試 者 認 為 甲 的 方 法 是 對 的 。 這 一 題 測 驗 學 生 是 否 瞭 解 圓 與 切 線 的 性 質 ， 以 及 作 圖 動 作 相 對 應 的 幾 何 意 義 ， 雖 則 本 題 有 一 點 閱 讀 量 ， 且 是 測 驗 判 斷 對 錯 能 力 而 非 直 接 運 用 尺 規 作 圖 能 力 ， 但 國 中 畢 業 生 對 尺 規 作 圖 題 感 覺 到 的 困 難 ， 由 此 題 仍 然 可 見 一 般 。
貳、尺規作圖困難的所在
對 一 般 學 生 來 說 ， 解 尺 規 作 圖 題 的 困 難 來 自 若 干 個 層 面 。 首 先 ， 尺 規 作 圖 有 只 能 使 用 無 刻 度 直 尺 及 圓 規 兩 種 工 具 的 限 制 ， 而 且 這 些 工 具 使 用 的 方 式 也 有 限 制 ， 陳 宥 良(2009)的 研 究 即 曾 發 現 ， 有 不 少 學 生 並 不 清 楚 使 用 直 尺 和 圓 規 的 限 制 ， 尤 其 是 對 數 學 成 績 屬 於 較 為 後 段 的 學 生 ， 常 會 有 這 種 情 況 。 此 外 ， 雖 然 基 本 尺 規 作 圖 的 動 作 並 不 算 多 ， 但 其 應 用 卻 可 以 說 是 變 化 萬 千，沒 有 常 規 可 循，因 此 並 不 容 易 掌 握。 再 者 ， 有 些 學 習 者 甚 至 不 清 楚 基 本 尺 規 作 圖 動 作 有 什 麽 功 能 ， 可 以 完 成 哪 些 圖 形 。 反 之 ， 學 習 者 亦 不 容 易 判 斷 如 果 要 獲 得 想 要 的 作 圖 結 果 ， 則 需 要 應 用 那 些 尺 規 作 圖 動 作 以 及 應 該 執 行 的 步 驟 。參、如何教導尺規作圖？
有 些 數 學 教 師 可 能 會 誤 認 為 ， 由 於 尺 規 作 圖 工 具 的 功 能 非 常 明 顯 ， 直 尺 畫 直 線 ， 圓 規 則 畫 圓 弧 ， 學 習 者 很 自 然 就 會 知 道 如 何 使 用 該 等 工 具 在 使 用 上 的 限 制 。 他 們 可 能 忽 略 作 圖 工 具 使 用 上 的 限 制 是 前 人 設 定 的 ， 而 且 無 論 工 具 的 使 用 規 定 是 如 何 簡 潔 ， 如 果 教 師 沒 有 將 可 容 許 的 使 用 方 式 對 學 習 者 明 說 並 反 覆 提 醒 ， 有 些 學 習 者 便 不 會 留 意 ， 或 者 是 很 容 易 會 忘 記 。 關 於 尺 規 作 圖 的 學 習 ， 教 師 必 須 留 意 工 具 特 性 所 帶 來 的 影 響 ， 此 外 教 師 必 須 充 分 瞭 解 到 ， 學 生 是 無 法 使 用 他 們 日 常 經 驗 中 熟 悉 的 畫 圖 方 式 來 解 決 尺 規 作 圖 問 題 ， 而 是 需 要 學 習 基 本 尺 規 作 圖 的 動 作 ， 並 且 在 解 題 時 要 靈 活 加 以 應 用 。 可 是 學 習 者 的 困 難 在 於 不 容 易 判 斷 應 該 要 用 什 麽 作 圖 動 作 ， 才 能 獲 得 想 要 的 結 果 ， 這 當 然 需 要 教 師 教 導 不 同 類 型 的 題 目 以 及 學 習 者 多 加 練 習 。 只 是 作 圖 題 變 化 多 端 ， 倘 若 學 習 者 只 是 辨 認 題 型 ， 並 且 逐 一 背 熟 作 圖 步 驟 ， 如 此 則 會 太 偏 重 記 憶 ， 減 少 了 數 學 推 理 的 成 份 。 另 一 方 面 ， 即 使 是 數 學 能 力 較 強 的 學生 ， 當 他 們 遇 到 一 些 非 傳 統 的 作 圖 題 目 時，偶 然 也 會 摸 不 著 頭 緒，不 知 如 何 入 手。 難 道 教 師 就 只 能 讓 他 們 一 籌 莫 展 ？ 或 者 是 只 能 示 範 標 準 的 作 圖 步 驟 讓 學 生 們 參 考 ？ 有 鑑 於 上 述 種 種 情 況 ， 本 文 欲 推 薦 教 師 採 用 摺 紙 作 圖 的 方 式 ， 作 為 讓 學 習 者 另 闢 蹊 徑 、 探 索 解 題 的 工 具 ， 正 當 他 們 解 尺 規 題 無 計 可 施 的 時 候 ， 如 果 能 夠 讓 他 們 增 加 摺 紙 這 一 條 新 思 路 ， 運 用 他 們 的 直 觀 思 維 ， 擴 大 探 索 的 空 間 ， 這 應 該 是 值 得 鼓 勵 的 解 題 方 法 。 倘 若 摺 紙 的 運 思 能 夠 成 功 解 題 ， 即 可 再 轉 換 回 尺 規 作 圖 的 步 驟 ， 藉 此 完 成 原 來 的 尺 規 作 圖 任 務 。
肆、摺紙可以用來解尺規作圖題嗎？
摺 紙 是 兒 時 的 遊 戲 ， 每 一 個 學 童 可 能 都 有 過 摺 紙 的 經 驗 ， 不 是 摺 紙 飛 機 ， 就 是 摺 紙 船 ， 或 者 是 幸 運 星 。 該 等 遊 戲 活 動 讓 學 童 對 摺 紙 擁 有 非 常 直 觀 的 感 覺 ， 對 於 摺 紙 的 動 作 會 帶 來 什 麼 結 果 比 較 有 概 念 ， 可 以 成 為 一 種 學 習 尺 規 作 圖 的 先 備 經 驗 。 其 實 摺 紙 的 過 程 常 需 要 用 到 對 稱 與 平 分 的 概 念 ， 而 且 是 要 重 複 地 應 用 這 些 概 念 ， 對 於 學 習 尺 規 作 圖 相 當 有 幫 助 。 可 是 摺 紙 與 平 面 幾 何 的 尺 規 作 圖 有 什 麽 關 係 ？ 摺 紙 可 以 用 來 解 尺 規 作 圖 的 問 題 嗎 ？Yates(1949)曾 指 出 ， 所 有 歐 氏 幾 何 作 圖 問 題 本 質 上 均 可 視 為 是 要 尋 找 所 有 交 點 的 相 對 位 置 。 如 果 對 摺 紙 動 作 有 適 當 的 假 設 ， 即 可 藉 由 摺 紙 完 成 所 有 直 尺 和 圓 規 可 以 完 成 的 作 圖 問 題 。 但 是 這 將 會 引 發 一 個 疑 問 ： 如 何 透 過 摺 紙 動 作 摺 出 一 個 圓 ？ 當 然 ， 要 實 質 上 摺 出 一 個 圓 是 不 可 能 的 事 情 ， 然 而 ， 如 果 我 們 願 意 接 受 「 如 果 利 用 摺 紙 找 出 圓 心 與 圓 上 任 一 點 ， 即 可 視 為 摺 出 一 個 圓 」 這 一 個 協 議 的 話 ， 則 要 摺 出 一 個 圓 就 可 變 成 是 一 件 可 能 的 事 了 。 關 於 前 述 所 提 的 假 設 ， 如 果 摺 紙 動 作 的 目 的 是 要 解 決 中 學 階 段 的 尺 規 作 圖 題 目 ， 可 考 慮 採 納 下 列 四 項 假 設 。 第 一 、 摺 紙 動 作 所 產 生 的 摺 痕 均 可 視 為 是 直 線 ， 除 此 之 外 ， 多 邊 形 紙 張 的 邊 亦 可 視 為 是 直 線 。 第 二 、 任 意 兩 條 不 平 行 直 線 的 相 交 處 可 視 為 是 一 個 點 。 第 三 、 經 紙 張 摺 疊 後 可 重 合 的 兩 個 線 段 或 兩 個 角 均 可 視 為 是 相 等 的 。 第 四 、 當 一 個 作 圖 問 題 中 所 有 交 點 的 相 對 位 置 均 確 定 後 ， 此 作 圖 問 題 即 可 視 為 已 經 完 成 。 倘 若 將 這 四 項 假 設 配 合 下 文 接 著 要 介 紹 的 基 本 摺 紙 動 作 ， 即 可 成 為 有 力 的 解 題 工 具 。伍、實際上的基本摺紙動作
本 文 作 者 先 前 考 慮 到 為 了 要 方 便 一 般 國 中 生 對 摺 紙 的 掌 握 ， 因 此 曾 根 據 Huzita 的六個摺紙動作(參 Coad, 2006)與 Auckly 和 Cleveland(1995)的四個摺紙動作，略做修改 而 提 出 七 個 基 本 摺 紙 動 作( 陳 宥 良 、 譚 克 平、趙君培，2009)，作為教導學生透過摺 紙學習尺規作圖的途徑，並以此進行實驗教 學的試教。可是經過後續的分析與檢討，發 現 學 生 在 實 作 上 對 於 有 些 基 本 摺 紙 動 作 會 感到困難，可能會影響到學生的學習(參陳 宥良，2009)，而且七個摺紙動作亦稍嫌多 了一點，因此經過反思之後，我們決定再修改為六個適合國中生的基本摺紙動作。以下 將會介紹先前提出的七個基本摺紙動作，接 著介紹試教後重新修改的版本，並解釋更改 的原因，以及它們轉換回尺規作圖的方法。 此外，還會按照我們的經驗，提出一些摺紙 教學時應該留意的事項。 摺 紙 動 作 1 摺出 通 過 兩 點的 直 線 如 圖 一 所 示 ， 紙 上 給 定 有 A、 B 兩 個 點， 可 摺 出 摺 痕 M 線 通 過此 兩 點 。 圖 一 摺 紙 動 作 2 兩點 重 合 如 圖 二 所 示，紙 上 有A、B 兩點，可 摺疊 紙 張 將 A 點 與 B 點 重合，此 時 所產 生 的 摺 痕 M 線 為A、 B 兩 點的 對 稱 軸 。 圖 二 摺 紙 動 作 3 兩線 重 合 如 圖 三 所 示，紙 上 有 L1、L2兩 直 線，可 將 L1與 L2重 合，此 時 所 產 生 的 摺 痕 M 線 為 兩直 線 的 對 稱 軸 。 圖 三 A B A B A B M A B A B M L1 L2 L1 L2 M L1(L2)
摺 紙 動 作 4 給定 對 稱 軸 搬 運直 線 如 圖 四 所 示，紙 上 有L1、L2兩 直 線，先 以 L2為 摺 痕 將 紙 摺 疊，在 未 攤 開 紙 張 的 情 況 下 ， 摺 出 與L1重 合 的 摺 痕M 線。 這一 個 摺 紙動 作 在 陳 宥良 等 人(2009) 的文 章 中又 稱 為 摺 疊 再 摺 疊 。 圖 四 摺 紙 動 作 5 線外 一 點 作 垂線 如 圖 五 所 示 ， 紙 上 有 一 直 線L 與線 外 一 點 A， 可 摺出 通 過 A 的 摺 痕 M 線 ， 且 M⊥ L。 圖 五 摺 紙 動 作 6 線上 一 點 作 垂線 如 圖 六 所 示 ， 紙 上 有 一 直 線L 與線 上 一 點 A， 可 摺出 通 過 A 的 摺 痕 M 線 ， 且 M⊥ L。 圖 六 A L A L M A L L A L A M L A L1 L2 L1 L2 L1 L2 L1 L2 M
摺 紙 動 作 7 一點 到 一 線 ，摺 線 過 一 點 如 圖 七 所 示 ， 紙 上 有 一 直 線 與A、B 兩 點，可 將 A 點 透 過 摺 紙搬 運 至 直 線 L 上（ 假 設與 A＇ 點 重 合 ）， 且讓 摺 痕 M 線 通 過 B。 圖 七
陸、學生學習摺紙動作時遭遇的困
難
在 陳 宥 良(2009) 教 學 實 驗 進 行 的 期 間 ， 曾 初 步 設 計 一 些 教 材 教 導 學 生 應 用 上 述 七 種 摺 紙 動 作 ， 事 後 並 對 整 個 過 程 進 行 檢 討 。 分 析 相 關 資 料 後 ， 發 現 上 述 動 作 4 有 再 思 考 的 必 要 。 由 於 動 作4 需 要 摺 疊紙 張 兩 次 ， 將 造 成 學 生 認 為 連 續 進 行 兩 個 摺 紙 動 作 時 ， 可 在 第 一 個 動 作 完 成 但 末 攤 開 紙 張 的 情 況 下 ， 即 進 行 第 二 個 摺 紙 動 作 ， 如 此 將 產 生 非 預 期 的 摺 痕 ， 對 學 習 者 很 容 易 會 造 成 辨 識 上 的 困 難 。 除 此 以 外 ， 在 利 用 動 作 7 進 行 摺疊 的 過 程 中(參 圖 七 )， 學 生 直 觀 上 可 以「 看 見 」AB=A’B，然 而 攤開 紙 張 後，卻 只 會 看 到 所 產 生 的 摺 痕 M，但 仍 然 未 能 確 定A’點 的 位 置 。 因 此 我 們 建 議 將 摺 紙 動 作 修 改 為 如 下 的版本，首先刪除動作4，即刪除摺疊再摺 疊的動作，減少學習者對摺痕可能心生的疑 惑。另外建議更動動作7，使之容許學生用 筆取點的方式，亦即在搬動一點到一線上， 但要求摺線要過一給定點時，容許學習者使 用筆點出A’位置，如圖八所示。陳宥良(2009) 的研究曾證明，這個權宜的做法並不會影響 到摺紙動作與尺規作圖的對應性，原則上用 筆取點可視為是等價於一組摺紙動作，藉此 可以減少一些摺紙的摺痕，縮短摺紙作圖的 時間，對學習者相當有利。 最 後 ， 考 量 到 教 學 順 序 安 排 的 緣 故 ， 我 們 將 餘 下 的 六 個 摺 紙 動 作 重 新 編 號 ， 並 將 這 些 新 舊 動 作 的 對 照 整 理 如 表 一 所 示 ， 方 便 讀 者 參 考 。 圖 八 A B L A(A’) B L A B L M A’ A B L A(A’) B L A B L M A’表 一 、 新 舊 摺 紙 動 作 編 號 與 尺 規 作 圖 動 作 的 對 照 表 新 摺 紙 動 作 的 編 號 對 應 的 尺 規 作 圖 動 作 圖 示 尺 規 作 圖 動 作 1. 摺 出通 過 兩 點的 直 線 (舊 編號 動 作 1) 利 用 直 尺 畫 線 2. 線 上一 點 作 垂線 (舊 編號 動 作 6) 線 上 一 點 作 垂 線 3. 線 外一 點 作 垂線 (舊 編號 動 作 5) 線 外 一 點 作 垂 線 4. 一 點到 一 線 ， 摺 線 過 一 點 (舊 編號 動 作 7) 利 用 圓 規 複 製 線 段
A
B
M
A B L A’ M A L M L A5. 兩 點重 合 (舊 編號 動 作 2) 中 垂 線 作 圖 6. 兩 線重 合 (舊 編號 動 作 3) 角 平 分 線 作 圖 綜 合 來 說 ， 修 改 過 後 的 版 本 可 以 精 簡 為 6 個 動 作 ， 每個 摺 紙 動 作均 可 轉 換 成尺 規 作 圖 的 動 作 ， 而 且 上 述 之 教 學 實 驗 在 正 式 進 行 時 ， 亦 改 用 這 六 個 摺 紙 動 作 。 該 六 個 摺 紙 動 作 等 價 於Huzita 所 提 出 六 個 摺紙 動 作 中 的 前 五 個 ， 而 按 照 相 關 文 獻 的 證 明 ，Huzita 前 五個 摺 紙 動 作可 解 決 所 有尺 規 作 圖 問 題 。 陳 宥 良(2009)教 學 實 驗 進 行 的 形 式 ， 是 從 在 自 編 之 尺 規 作 圖 測 驗 中 表 現 處 於 後 四 分 之 一 的 學 生 中 ， 挑 選 三 位 學 生 進 行 小 型 的 補 救 教 學 ， 藉 由 四 節 課 各 一 個 半 小 時 的 教 學 ， 將 上 述 摺 紙 動 作 為 他 們 做 系 統 性 的 介 紹 。 至 於 摺 紙 動 作 轉 換 成 尺 規 作 圖 的 方 法 ， 教 學 時 並 沒 有 直 接 告 知 學 生 每 一 個 動 作 的 尺 規 對 應 作 法 ， 而 是 引 導 學 生 將 摺 紙 動 作 所 產 生 的 摺 痕 視 為 是 等 腰 三 角 形 的 對 稱 軸，並 結 合 兩 個 幾 何 性 質：「 任 意 兩 個 共 底 邊 的 等 腰 三 角 形 擁 有 相 同 的 對 稱 軸 」 與 「 任 意 兩 個 共 底 邊 的 等 腰 三 角 形 的 頂 角 頂 點 必 在 其 對 稱 軸 上 」，讓 他 們 透 過 實 作 從 而 理 解 作 圖 步 驟 所 代 表 的 意 義 。 關 於 內 容 安 排 方 面 ， 教 學 實 驗 中 每 當 介 紹 完 一 個 新 的 摺 紙 動 作 後 ， 便 會 安 排 2 至 3 題 可 利用 摺 紙 動 作 解 決 的 作 圖 問 題 讓 學 生 思 考 ， 接 著 是 讓 學 生 揣 摩 摺 紙 動 作 轉 換 為 尺 規 作 圖 的 方 法 ， 最 後 是 讓 他 們 利 用 尺 規 作 圖 解 決 之 前 思 考 過 的 作 圖 問 題 。 至 於 教 學 實 驗 的 效 果 方 面 ， 資 料 顯 示 三 位 參 與 教 學 實 驗 的 學 生 不 單 只 在 學 科 知 識 的 表 現 上 有 進 步 ， 在 情 意 方 面 亦 相 當 肯 定 從 摺 紙 過 渡 至 尺 規 作 圖 的 解 題 方 法 ， 因 篇 幅 所 限 ， 對 於 教 學 過 程 及 學 習 效 果 有 興 趣 的 讀 者 ， 煩 請 直 接 參 考 該 論 文 的 報 導 。 A B M M L1 L2
柒、摺紙教學應留意的事項
關 於 摺 紙 教 學 ， 建 議 應 留 意 以 下 四 個 事 項 。 第 一 ， 很 明 顯 的 是 ， 上 述 有 些 摺 紙 動 作 在 一 般 常 見 的 日 常 用 紙 上 並 不 容 易 進 行 ， 使 用 日 常 用 紙 會 造 成 某 些 摺 紙 動 作 無 法 精 準 操 作 ， 將 產 生 較 大 的 誤 差 ， 例 如 並 不 容 易 將 位 於 紙 張 較 內 部 的 兩 點 重 合 ， 讓 活 動 難 以 為 繼 。 第 二 ， 摺 紙 活 動 快 速 留 下 很 多 摺 痕 ， 摺 痕 增 加 後 就 會 很 難 辨 識 ， 徒 添 解 題 的 困 難 度 ， 因 此 建 議 教 師 安 排 摺 紙 教 學 時 ， 宜 小 心 安 排 活 動 的 困 難 度 以 及 所 需 摺 紙 動 作 的 步 驟 數 ， 儘 可 能 要 求 學 生 每 一 次 摺 疊 動 作 之 後 就 要 攤 開 紙 張 ， 然 後 才 再 執 行 下 一 個 摺 疊 動 作 。 至 於 學 習 者 則 宜 多 準 備 紙 張 ， 以 方 便 摺 紙 活 動 的 進 行 。 第 三 ， 摺 紙 動 作 雖 然 可 以 解 決 與 圓 有 關 的 尺 規 作 圖 問 題 ， 但 因 為 這 方 面 的 問 題 比 較 抽 象 ， 建 議 暫 時 不 宜 讓 初 學 者 處 理 此 類 問 題 。 如 果 確 實 有 需 要 處 理 這 類 問 題 ， 例 如 要 找 出 圓 的 切 線 ， 建 議 可 以 先 用 圓 規 畫 出 一 個 圓 形 之 後，再 進 行 摺 紙 動 作 比 較 適 合。 至 於 第 四 點 最 為 重 要 ， 必 須 留 意 的 是 摺 紙 動 作 只 能 留 下 摺 痕 ， 而 摺 痕 本 質 上 是 一 條 摺 線 ， 不 是 一 個 點 ， 要 得 到 一 個 點 的 話 ， 則 需 要 兩 條 摺 痕 相 交 才 能 夠 產 生 一 個 點 。 因 此 要 提 醒 學 習 者 的 是 ， 摺 紙 過 程 所 看 見 的 「 結 果 」 不 是 一 定 存 在 的 。 我 們 不 妨 再 舉 一 個 例 子 說 明 ， 假 設 學 習 者 想 要 透 過 摺 紙 摺 出 一 個 正 三 角 形 ， 圖 九 呈 現 了 部 份 的 摺 紙 過 程 ， 左 邊 的 圖 是 代 表 先 將 正 方 形 紙 對 摺 ， 得 EF 的 摺 痕 線， 中 間 的 圖是 將 右 上 角 的 D 點摺 向 EF 的 摺 痕線 上 ，直 觀 上 或 許 會 認 為 得 到 了 G 點 ， 而 且 因 為 AD 與 AG 重 疊，利 用 EF 摺 痕 線是 對 稱軸 的 性 質 ， 可 推 知 三 角 形 AGD 即 為 所 求。 可 是 這 只 是 表 面 上 的 錯 覺 ， 因 為 當 我 們 將 重 疊 的 部 份 張 開 ， 如 圖 九 右 圖 所 示 ， 我 們 可 以 清 楚 看 到 該 G 點 並 不 存 在 。 也 就 是 說 ， 正 三 角 形 還 沒 有 被 摺 出 ， 所 以 還 需 要 其 它 摺 疊 步 驟 使 之 完 成 。 圖九C
E B D F A C E G B D A L C E B D F A L捌、討論
本 文 介 紹 了 六 個 基 本 摺 紙 動 作 ， 並 且 介 紹 了 這 些 動 作 與 尺 規 作 圖 之 間 的 關 係 。 此 外 ， 亦 討 論 了 教 導 這 些 摺 紙 動 作 應 該 留 意 的 事 項 ， 以 增 加 其 學 習 的 效 果 。 讓 學 生 透 過 學 習 摺 紙 動 作 作 為 過 渡 到 學 習 解 尺 規 作 圖 問 題 的 橋 樑 ， 是 十 分 值 得 考 量 的 方 式 ， 它 起 碼 可 以 讓 學 習 者 在 解 尺 規 作 圖 題 目 時 多 了 一 個 思 路 方 向 的 選 擇 ， 而 且 即 便 是 對 於 較 為 後 段 的 學 生 ， 由 於 相 較 於 尺 規 作 圖 而 言 ， 摺 紙 動 作 既 直 觀 且 有 趣 ， 所 以 仍 不 失 為 很 可 以 被 接 受 的 學 習 方 式 。 另 外 還 有 一 個 問 題 需 要 處 理 ， 透 過 摺 紙 學 習 尺 規 作 圖 時 ， 似 乎 需 要 比 一 般 學 習 方 式 多 記 憶 一 些 摺 紙 動 作 的 轉 換 ， 這 是 否 會 增 加 學 生 的 認 知 負 荷 ， 從 而 造 成 學 習 上 的 困 難 ？ 陳 宥 良(2009) 的 研 究 中 曾 直 接 調 查 學 習 者 的 意 見 ， 他 們 認 為 將 摺 紙 動 作 轉 換 成 尺 規 作 圖 並 不 困 難 ， 並 不 需 要 刻 意 記 憶 摺 紙 動 作 轉 換 的 作 圖 步 驟 。 不 過 參 與 陳 宥 良 研 究 學 生 的 人 數 並 不 多 ， 還 需 要 更 深 入 的 研 究 探 討 此 一 議 題 。 我 們 在 陳 宥 良 等 人(2009) 的 文 章 中 ， 曾 報 導 兩 道 透 過 摺 紙 解 決 尺 規 作 圖 的 題 目 ， 其 中 可 以 看 出 摺 紙 作 圖 可 以 既 靈 活 且 有 創 意 解 題 的 影 子 。 基 於 摺 紙 作 圖 的 直 觀 性 ， 它 非 常 可 以 鼓 勵 一 題 多 解 ， 初 步 的 資 料 亦 顯 示 其 有 效 性 ， 因 此 推 薦 數 學 教 師 們 參 考 ， 將 它 應 用 在 尺 規 作 圖 課 堂 上 配 合 教 學 。參考文獻
陳 宥 良、譚 克 平、趙 君 培 (2009)。「 摺摺 」 稱 奇 — 從 摺 紙 遊 戲 學 習 尺 規 作 圖。科 學 研 習 月 刊，48-1 期，33-44 頁 。 該 文 的 堪 誤 表 置 於 http://www.ntsec.gov.tw/m1.aspx?s No=0001805&key=&ex=%20&ic=& cd=。 陳 宥 良 (2009)。探 討 國 中 三年 級 學 生 透過 摺 紙 活 動 進 行 尺 規 作 圖 補 救 教 學 之 成 效 。 國 立 臺 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 碩 士 論 文 ， 未 出 版 。 Auckly, D., & Cleveland, J. (1995). Totallyreal origami and impossible paper folding. The American Mathematical
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