102學年度第二學期考試題目與解答

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北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 102學年度第二學期 招生筆試 2014年3月2日 考試時間:計三小時(13:30 – 16:30) 答案限用黑色或藍色筆書寫, 除了作圖請勿使用鉛筆作答。 不得使用電子計算器。 盡量避 免使用修正液(帶)修正。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 ∗考題若有疑問,請把握考試的前三十分鐘,舉手提交 「提問單」詢問。 之後不再接受詢問。 ∗∗ 15:30之後可以提前交卷。 1. 考慮 7 個相異的正整數, 他們都不超過 1706. 證明: 其中存在三個數 a, b, c 使得 a < b + c < 4a. 2. 試求所有質數p,使得存在相異的正整數a, b, c, d而滿足兩個等式: (i) a3+ b3 = c3+ d3; (ii) a + b + c + d = p5. 3. 平面上給任意10個點,其中沒有三點共線。 證明:存在某三個點,它們所形成的三角 形有一個內角小於18◦. 題目訂正: 平面上給任意10個點,其中沒有三點共線。 證明: 存在某三個點,它們所 形成的三角形有一個內角不大於18◦. 4. 已知∆ABC 其邊長AC 與BC 不相等。 令內切圓分別與邊 AC 與邊BC 相交於 點P 與Q. 令邊AC 一側的外切圓與直線AB相交於點M ;邊BC一側的外切圓 與直線AB相交於點N . 如果點M, N, P 與Q四點共圓,試求∠ACB 之度數。

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102學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 102學年度第二學期 招生筆試 參考解答 2014年3月2日 1. 考慮 7 個相異的正整數, 他們都不超過 1706. 證明: 其中存在三個數 a, b, c 使得 a < b + c < 4a. 解: 假設7正整數是 A1 < A2 < · · · < A7. 採取反證法,假設:「對於任意三個數a, b, c, 如果a < b + c則b + c ≥ 4a (或說c ≥ 4a − b).」 現在讓a = A2, b = A1, c = A3,因為A2 < A1+ A2(A1 至少是1)所以 A3 ≥ 4A2− A1 ≥ 4(A1+ 1) − A1 = 3A1+ 4. 接著依此類推如下: A4 ≥ 4A3− A1 ≥ 4(3A1+ 4) − A1 = 11A1+ 16; A5 ≥ 4A4− A1 ≥ 4(11A1+ 16) − A1 = 43A1+ 64; A6 ≥ 4A5− A1 ≥ 4(43A1+ 64) − A1 = 171A1+ 256; A7 ≥ 4A6− A1 ≥ 4(171A1+ 256) − A1 = 683A1+ 1024 ≥ 1707. 這與假設矛盾;所以,其中存在三個數a, b, c使得a < b + c < 4a.

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2. 試求所有質數p,使得存在相異的正整數a, b, c, d而滿足兩個等式: (i) a3+ b3 = c3+ d3; (ii) a + b + c + d = p5. 解: 首先,a3+ b3 c3+ d3 必須同奇偶。 若同奇,ab為一奇一偶,cd亦然。 若 同偶,則a與b也是同奇偶,c與d亦然。 以上得到結論 a + b + c + d為偶數;也立 即得到p = 2. 最後,還要證明這樣的a, b, c, d確實存在。 可以考慮一下13+ 122 = 93+ 103 1 + 12 + 9 + 10 = 32.

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3. 平面上給任意10個點,其中沒有三點共線。 證明:存在某三個點,它們所形成的三角 形有一個內角小於18◦. 題目訂正: 平面上給任意10個點,其中沒有三點共線。 證明: 存在某三個點,它們所 形成的三角形有一個內角不大於18◦. 解: 找某一點p使得通過這個點有一直線: 讓其他九個點都在線的同一側。 從點p望出 去看其他點,由左而右、 從線的一端轉180◦在到線的另一端;依序命名點p1, p2, . . . , p9。 注意: 九個點中,沒有兩點會在同一個望出去的方向。 考慮三角形 pp1p2, 如果 ∠pp1p2 ≤ 18◦ 或 ∠pp2p1 ≤ 18◦, 則即為所求; 否則 ∠p1pp2 ≤ 144◦. 然而,∠p1pp2 被點p2, . . . , p8 切割成8個部分,144◦/8 = 18◦, s所 以一定存在一個∠pkppk+1 ≤ 18◦. 這一題因為疏於校稿, 致使題目有誤, 在考是過程中未能即時發現, 我們要對所 有考生說抱歉! 但還是有同學依照以上的方法做題,得到≤ 18◦ 的結果, 所以是滿分。 也有幾位 舉出正10邊形做為反例,直接說明 「題目錯了」。 我們非常讚許這幾位同學,勇於發 現問題,也以真理說明,當然也是滿分7,甚至應該給他們7 plus.

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4. 已知∆ABC 其邊長AC 與BC 不相等。 令內切圓分別與邊 AC 與邊BC 相交於 點P 與Q. 令邊AC 一側的外切圓與直線AB相交於點M ;邊BC一側的外切圓 與直線AB相交於點N . 如果點M, N, P 與Q四點共圓,試求∠ACB 之度數。 解: 答案是:∠ACB = 90◦. 證明如下:

首先,令γ = ∠ACB,而a = BC, b = CA, c = AB 為三邊長, 再令p = a+b+c2 為 半周長。 所以CP = p − c. (很容易說明,自己練習!) 做邊 AB 之垂直平分線, 該線與外接圓的兩個交點之一命名為 D,而且使得 C 與D在直線AB 的不同側。 很明顯,CD 平分∠ACB;又因為 CP = CQ的切點 性質,所以CD垂直平分線段P Q. 可以證明 AM = CP 且BN = CQ. (容易, 但有點煩! 利用∆ABC的內切圓 和 在AC 一側的外切圓,考慮直線AB與 直線BC,他們是兩圓的同側切線,所以切 點所形成的兩線段一樣長,接著不再詳述。)所以AM = BN ,也所以AB之垂直平 分線 也會是M N 的垂直平分線。 這條垂直平分線與P Q的垂直平分線 交於D,而 題目又給定M, N, P 與Q四點共圓,所以D就是共圓之圓心。 (∗)這時DP = DM ,由此得 DP2 = DC2+ CP2− 2DC · CP cosγ 2, DM2 = DA2+ AM2− 2DA · AM cosγ 2, 得DC − DA = 2CP cosγ2 = 2(p − c) cosγ2. 另一方面,由Ptolemy定理得 DC = (a + b)DA c . 因DA = 2 cosc γ 2 ,得 DC = a + b 2 cosγ2, 且2(p − c) cos γ 2 = p − c 2 cosγ2. 上述得 cos2 γ 2 = 1 2, 即γ = 90 ◦. 註一: M, N, P 與Q四點共圓的充要條件為AC = BC 或∠ACB = 90. 註二:從(∗)之後,應該還有其他簡單的方法,留給同學去想。

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