Unit 2 數線與絕對值

Unit 2 數線與絕對值 能力指標：◎（N-3-08）能以「正、負」表徵生活中相對的量，並認識負數是性 質（方向、盈虧）的相反。 ◎（N-3-09）能在數線上操作簡單的描點，如-3、(-2) + 5、(-4)×2 等， 並介紹兩點在數線上的間隔。 ◎（N-3-10）能運算絕對值並熟練其應用。 能力一：正數與負數 一、數（正數與負數） 1.在國中所學的「數」皆包含在「實數系」中。請同學參考下圖。 2.正數：凡是大於 0 的數，稱為「正數」，以「＋」（可省略）表示。 3.負數：凡是小於 0 的數，稱為「負數」，以「－」表示。 Ex：＋12 稱為正整數（簡稱正數），－33 稱為負整數（簡稱負數），0.38 稱 為正小數（簡稱正數），－ 5 4 稱為負分數（簡稱負數），0 不是正數也非負數。 二、數與量 1.簡而言之”數”與”量”的判別，在於有無「單位」，有「單位」的數稱為「量」； 反之則稱為「數」。不同的”數”可以任意比較大小。 2.”量”的類別又分為長度、重量、時間…等不同的單位，非同類的”量”不可以 比較大小。 Ex：63（公斤）



”量”；63



”數”。



63（公斤）＞53（公斤）；1（公斤）＝0.6（台斤）； 63＞53。



63（公斤）＞23（公分）；30（分鐘）＞20（毫升）。 三、運算與性質符號 1.「＋」、「－」用來表示加、減運算時稱為「運算符號」。 2.「＋」、「－」用來表示正、負相對時稱為「性質符號」。 Ex：（-3）－4＋（-5）－（-2）讀作：負三「減」四「加」負五「減」負二。 1, 2, 3, … －1, －2, －3, …

【正負數的概念】 講解 1： NBA 教練團選秀的標準以身高 180 公分為標準，俠客歐尼爾身高 216 公分記為 ＋6，請回答下列各題： （1）姚明身高是 228 公分，應記為 ＋8 。 （2）賈奈特身高記為＋5，則其身高應為 210 公分。 （3）麥格雷迪、布萊恩、詹姆斯等三人的平均身高記為＋4，則三人平均身高 204 公分。 （4）若布萊恩身高記為＋2、詹姆斯身高 204 公分，麥格雷迪身高應記為 ＋6 。 練習 1： 狄士尼兒童樂園中，以米老鼠的體重 36 公斤為標準，唐老鴨的體重 30 公斤記為 －3，請回答下列問題： （1）米妮體重是 28 公斤，應記為 －4 。 （2）古菲狗體重記為＋6，則其體重應為 48 公斤。 （3）史努比、維尼小熊、凱蒂貓等三隻動物的平均體重記為＋8，則三隻動物平 均體重為 52 公斤。 （4）若史努比體重記為＋2、維尼小熊體重 60 公斤，凱蒂貓的體重應記為 ＋10 。 【數與量的概念】 講解 2： 利威廉到 101 超級市場去買 0.5 公斤牛肉準備回家作牛排給心愛的女朋友吃，市 場 1 台斤牛肉賣 360 元，請問他要花多少錢才能買到 0.5 公斤的牛肉呢？（1 台 斤=0.6 公斤） 解： 台斤 公斤 又 公斤 台斤 公斤 台斤 台斤 6 5 5 . 0 3 5 5 . 0 3 5 1 5 3 1 = =  =  =  台斤牛肉賣 元 台斤牛肉賣 300元 6 5 360 6 5 ; 360 1   =  Ans：0.5 公斤牛肉賣 300 元。 練習 2： 明道和利威廉兩人一起喝葡萄酒，明道喝了 5 罐 500 毫升的葡萄酒，利威廉喝了 4 罐 0.8 公升的葡萄酒，請問哪一個人喝的多呢？（1 公升=1000 毫升） 解： 公升 公升 公升 罐 公升 公升 毫升 罐 2 . 3 8 . 0 4 8 0. 4 5 2. 5 . 0 5 500 5 =  = =  = Ans：利威廉喝了 3.2 公升的葡萄酒比較多。

十分鐘即時練習： （1） CASIO 電子錶若以成本 300 元賣出則賠 100 元，以－10 表示，若以定價 360 元賣出，應記為 ＋6 ，若以定價減 20 元賣出，應記為 ＋4 。 （2） 老師說：「以穿堂中的時鐘 12 點為準，上午 7 時以＋5 表示」，則上午 10 點應以 ＋2 表示，下午 4 點放學應以 －4 表示。 （3） 小鍾 1 分鐘走 90 公尺，小馬 30 秒走 50 公尺，小賢 1 小時走 7 公里，請 問三人走的速度快慢為何？小賢＞小馬＞小鍾。 （4） 若以中午十二十為準，下午記為”+4”，則上午八時記為 -4 。 （5） 假設以昆勳的體重 45 公斤為準，柏超的體重 48 公斤記為”+3”，請回答下 列問題： 宇倫的體重 37 公斤，應記為 -8 。 育茹體重 53 公斤，記為+8。 宇倫、育茹、櫻怡、良宜平均體重為 44 公斤，記為 “-1”。 良宜的體重為 38 公斤，記為 -7 。 能力二：數線與相反數 一、數線 1.數線的三大要素：(1)原點、(2)方向、(3)單位長。 2.在原點左邊為負數，在原點右邊為正數。 3.在數線上「右方的數」＞「左方的數」。

4.數線上 A、B 兩點分別是 a、b，且 a＞b，則 AB 的距離

b a b a AB= − (大-小)= − ； 2 b a AB中點座標= + 。 5.坐標變換：新坐標＝(原數－新原點坐標)÷新單位長。 二、相反數 1.相反數：在原點的左、右兩邊且與原點距離相等的兩數，稱為相反數。



性質：(1)每一個數都有一個相反數。 (2)正數的相反數為負數，負數的相反數為正數，0 的相反數是 0。 (3)相反數的和為 0。 2.相反數的求法：只要將一個數加上”負號”就可以了。 Ex：7 的相反數



－(7)； (－7)的相反數



－(－7)=＋7 3.數線上兩點的距離：距離都是大於 0 的數，最小距離為 0。 【數線上點的位置與大小】 講解 1：

數線上有 A、B、C 三點表的數分別是 56、45、27。若有一 D 點在 C 點的右邊， 而且AB =CD，則 D 點所代表的數是多少呢？ 解：    = + =  = = − =  = 27 11 38 11 11 45 56 B D點 CD A CD AB  Ans：D 點的值為 38。 練習 1： R、S、T 是數線上的三點，其坐標分別是 r、s、t，若a= r−s ,b= s−t ,c= t−r ， 求 r、s、t 的值為何又 a、b、c 大小應為何？ 解：（1） 5 3 1 , 4 3 , 3 1 4 =− = − = s t r （2）a= r−s =RS , b= s−t =ST , c= t−r =TR b a c ST RS TR     由圖可知 Ans：（1） 5 3 1 , 4 3 , 3 1 4 =− = − = s t r ；（2） c>a>b。 【數線上點的距離與相反數】 講解 2： 若數線上有相異四點，A(－8)、B(－2)、C(2)、D(6)。（1）求AB＝？（2）若單 位長為 2，AD分成幾等分？（3）B 點的相反數是哪一點？ 解：（1）AB=(−2)−(−8)=6（2） 7 2 ) 8 ( 6− − ₌ = = 單位長 等分數 AD （3）B 點的數=(－2)，相反數－(－2)=2；B 點的相反數是 C 點。 練習 2： 在數線上有 A(－7)、B(－1)、C 三點，（1）若3AB=2AC，求AC =？（2）求 C 點座標？（3）若單位長為 3，AC可分成幾等分？ 解：（1）AB=(−1)−(−7)=6, 36=2AC , AC=182=9

（2）C 點座標為

( )

−7 +9=2 （3） 3 3 9 3 = = AC 【數線上點的位置變動關係】 講解 3： 數線上 A(－3)、B(2)、C(8)，若改以 B 點為新原點，並且以原單位長的 2 1 為新單 位長，則 C 點、A 點的新座標為何？新AC的距離為何？新AC中點 M 的座標為 何？ 解：（1）新坐標＝(原數－新原點坐標)÷新單位長 Cnew=(8-2)÷ 2 1 =12 ； Anew=



( )



10 2 1 2 3 −  =− − （2）AC=12−(−10)=22 ； 1 2 ) 10 ( 12 M= + − = 的中點 AC 。 練習 3： 有一隻兔子在有數線的跑道上，座標為－4 的 A 點開始向右跳，每次跳躍的距離 都相等，而且方向不變，跳第三次時，在座標為 8 的 B 點，若跳第二十次，會 到 C 點，（1）則 C 點座標為何？（2）若兔子改以 B 點為起點向右跳，以原單位 長的 2 1 為新單位長，則新 C 點座標為何？ 解：（1）AB=8−

( )

−4 =12 ； 單位長=12÷3=4 ； C 點=(20×4)－4=76。 （2）BC =76−8=68； 新 C 點 68÷ 2 1 =136。 【相反數的概念】 講解 4： （1）請寫出－6.4、－(－3)、－ 8 3 、0 的相反數？ （2）若

(

a+13

)

的相反數是 8，請問 a＝？ （3）數線上 A、B 兩點分別是 4、8，此兩點須向左移動多少單位之後，會與原 點的距離相等？移動後兩點所表示的數為何？ 解：（1）－6.4



6.4；－(－3)



(－3)；－ 8 3

_

8 3 ；0



0

。

（2）

(

a+13

)

=－8；a=－8－13=－21。 （3）原來的和=4+8=12；兩數同減 12，和會變為 0。因此，12÷2=6；兩數同

時向左移動 6 個單位。 移動後 A 點=4－6=－2，B 點=8－6=2。 練習 4： （1）請寫出 6.3、－(4)、－(+3.5)、－(－2.3)的相反數？ （2）若－9 的相反數是 A，A 的倒數是 B，請問 B＝？ （3）數線上 A、B 兩點分別是－6、－2，此兩點須向右移動多少單位之後，會 與原點的距離相等？移動後兩點所表示的數為何？ 解：（1）6.3－6.3；－(4) 4、－(+3.5) 3.5、－(－2.3) －2.3 （2）A=9，B= 9 1 。 （3）(－6)+(－2)=(－8)； (－8)+8=0。 8÷2=4，兩數同時向右移動 4 個單位。 移動後 A 點=(－6)+4=(－2)，B 點=(－2)+4=2。 十分鐘即時練習： （1）數線上有點 A、B、C、D、E 五點，其坐標分別為 ,0 , 0.5 , 2 3 1 1 , 3 − − 則 哪一條線段最長 AE；最短 CD。 （2）有一條標示數線的電纜線上站了一隻麻雀，麻雀從 A 電桿出發，向右走 8 個單位，再向左走 5 個單位，又向右走 11 個單位到達 B 電桿，已知 B 電桿 的座標為 5，則 A 電桿的座標應該為 －9 。 （3）數線上 A、B、C 三點各表示的數為－3、1、6，今若以 C 點為新原點，而 新單位長是原單位長的 3 1 ，則 A 點新座標為 －27 ；B 點新座標為 － 15 ；新AB的距離為 12 ；新AB中點座標 M 為 －21 。 （4）已知 A、B 兩數互為相反數，且 A、B 兩數在數線上所對應點的距離為 42， 若 A＞B，求 A、B 兩數為何？ 解：A=21；B=(－21)。

（5）數線上有 A(－4)、B（16）兩點，今 A、B 兩點應同時向左或向右移動幾 個單位長，方能使得新的兩點互為相反數呢？ 解：向左移動 10 個單位長。 能力三：絕對值與數的大小 一、絕對值的概念 1.數線上任一點與原點的距離，稱為該數的「絕對值」。故絕對值必大於等於 0，因為距離沒有負的。絕對值以符號 ” ”表示。

Ex：88 =88 , −66 =66 , 0 =0。 二、絕對值的值 1.

(

)

    −  = 0 0 到原點的距離 表示 當 當 x x x x x x x   2. x =a ,且a0,則x=a ,當a0,則x不存在。 Ex：若 8 =8,則x=8 , 若 x =−8 , 則x不存在,或稱無解。 三、數的比較大小 1.三一律：A、B 兩數的大小關係可能有： A＞B、A＝B、A＜B，等三種情形，其中僅有一種關係會成立。 2.遞移律：若有三個數 A、B、C 三個數，則下列關係必成立。 (1)若 A＞B，且 B＞C，則 A＞C。 (2)若 A＝B，且 B＝C，則 A＝C。 (3)若 A＜B，且 B＜C，則 A＜C。 3.數線上「左方的數」＜「右方的數」。 Ex：－8＜－6； －2＜0 ； 1.2＜3 。 【絕對值的概念】 講解 1： 請寫出－2、11、－0.37、7.8、 5 3 2 − 各數的絕對值，並比較其大小。 解：(1)−2 =2；11 =11；−0.37 =0.37；7.8 =7.8； 5 3 2 5 3 2 = − 。 (2) 2 0.37 5 3 2 8 . 7 11   −  −  − 。 練習 1： 請寫出－3、4.3、－6.5、0、 _           − − − 4 3 1 各數的絕對值，並比較其大小。 解：(1)−3 =3；4.3 =4.3；−6.5 =6.5； 0 =0； 4 3 1 4 3 1 _ =           − − − 。 叮嚀：若 A＞C，且 B＞C，就無法 比較 A、B 兩數大小。

(2) 0 4 3 1 3 3 . 4 5 . 6 _            − − −  −   − 。 【絕對值與整數的個數】 講解 2： (1)絕對值小於 4 的整數、正整數、負整數、分數有哪些？ (2)絕對值小於 4 且大於等於 1 的整數有哪些？ 解：(1)絕對值小於 4 的整數：－3、－2、－1、0、1、2、3 絕對值小於 4 的正整數：1、2、3 絕對值小於 4 的負整數：－3、－2、－1 絕對值小於 4 的分數：無限多 (2)絕對值小於 4 且大於等於 1 的整數：－3、－2、－1、0、1 練習 2： (1)若 A 數為整數，且絕對值小於 A 數的整數共有 7 個，求 A 數為何？ (2)若 B 數為整數，且絕對值小於 B 數的負整數共有 5 個，求 B 數為何？ (3)若 C 數為整數，且絕對值不大於 C 數的整數共有 8 個，求 C 數為何？ 解：(1) (7－1)÷2=3 ；A 數=3+1=4。 (2) 絕對值小於 B 數的最大整數為 5，則 B 數為 6。 (3) 絕對值不大於 C 數的最大整數為 (8－1)÷2=4；C 數=4。 【絕對值的運算】 講解 3： （1）4+

( )

−7 與 4 + −7的大小關係？ （2）若 A− −5 =8，則 A 數為何？ （3）若4−A+ B+5 =0，求 A、B 兩數為何？ （4）−9+4 4+

( )

−9 +10=？ 解： （1）4+

( )

−7 = 4−7 = −3 =3； 4 + −7 =4+7=11 ； 4+

( )

−7  4 + −7 叮嚀：(1)小於、大於該數，皆不包含該數。 (2)小於等於、大於等於該數，皆包含該數。 (3)0 是整數，但不是正、負整數。

（2） A− −5 =8； A =8+ −5 =8+5=13 ；A=13。 （3）4−A+ B+5 =0 因為絕對值皆為正數，正數與正數相加不可能為 0，因 此只有一種可能，就是 0+0=0。 5 , 0 5 , 0 5 4 , 0 4 , 0 4 − = = + = + = = − = − B B B A A A 令 （4）−9+4 4+

( )

−9 +10= −5−5 =55=25 練習 3： （1）

( ) ( )

−4 + −6 與 −4 + −6 的大小關係？ （2）16 A =4 與 B 3−5=3 ； A、B 應為多少？ （3）若 A、B 兩整數，且 A + B =16，求 A 的最大值與最小值？ （4）若 A−2 = A−3 , 則A值為何？ 解： （1） 10 = 10 ；

( ) ( )

−4 + −6  −4 + −6 （2）16 A =4 ； A =164=4 ；A=4 B 3−5=3 ； B =

(

3+5

)

3 ； B =24 ；B=24 （3）當B=0時； A =16 ,則A=16；因此 A 有最大值 16，最小值-16。 （4） A−2 = A−3 ；代表 A 到 2、3 的距離相等，因此 A 是數線上 2 與 3 的中 點。 2 1 2 2 5 2 3 2+ _{= =} = A 。 十分鐘即時練習： （1）對於所有的實數 A 與 B，定義AB= A−B ,則下列敘述何者不正確？ ○C ○A對於所有實數 A 與 B，_A_B=_B_A。○B對於所有實數 A 與 B，

(

A B

) ( ) ( )

2A 2B 2  =  。○C對於所有實數 A，_A0= _A。○D對於所有實數 A，

0 = A A 。○E若_A _B,A_B₀。 （2）設 A、B 為有理數，已知 A + B =5，則 A 絕對不會是下列哪一個數？○A ○A _{– 6○}B _{– 3 ○}C _{0 ○}D _4。 （3）已知 A、B、C 三實數， A  B  C ，下列敘述何者正確？○B ○A_{C<0 ○}B_{B-C>0 ○}C_{A-B>0 ○}D_A-C>0。 （4）假設 x 為整數，若 x−5+ x+5 =0，則 x 的值為何？○D ○A _{0 ○}B _{-5 ○}C _{5 ○}D不存在。解：沒有一個數可以同時等於 5 和-5。 （5）若 a=6，b=-10，則下列何式的值會最小呢？○C ○A _{a +b ○}B _{a −b ○}C _{a −b ○}D _{a + b}。 能力四：整數的加、減法運算 一、加、減法運算的概念 1.正整數的加、減法運算（設有 a>0，b>0 二數）： （1）a>b，a+b 與 a-b 皆不變號（性質符號不變）。 （2）a<b，a+b 不變號，但 a-b=－(b-a)（性質符號改變，為負數）。 Ex： （1）15>13 ；15+13=28 ；15-13= 2 （2）13<15 ；13+15=28 ；13-15=－(15-13)=－2 2.負整數的加、減法運算（設有 a<0，b<0 二數）： （1）a>b 或 a<b，a+b 用【去括號法】（口訣：正負得負）。 亦可用【分配律法】，提出兩數的負號到刮號外再做運算。 （2）a>b 或 a<b，a-b 用去括號法（口訣：負負得正）。 亦可用【分配律法】，提出兩數的負號到刮號外再做運算。 Ex： （1）因為

( ) ( )

−9  −11 , 所以

( ) ( ) ( )

-9 + −11 = −9 −11=−20。【去刮號法】 因為

( ) ( )

−11  −9 , 所以

( ) ( ) (

−11 + −9 =−11+9

)

=−20。【分配律法】 （2）因為

( ) (

−8  −10

)

, 所以

( ) (

-8 − −10

) ( )

= −8 +10=2。【去刮號法】 因為

(

−10

) ( )

 −8 , 所以

(

−10

) ( ) (

− −8 =−10−8

)

=−2。【分配律法】 二、加、減法運算的規律 口訣：大－小=○+ _{；小－大=○}

-（1）減法就是加法的反運算 若有 a、b 兩數，a−b=a+

( )

−b ，即 a 減去 b，等於 a 加上 b 的相反數。 （2）加法的規律性 加法具有【交換律】與【結合律】，但減法則無。 交換律：若有 a、b 二數，則a+b=b+a。 結合律：若有 a、b、c 三數，則

(

a+b

)

+c=a+

(

b+c

)

。 （3）分配律應用在加、減法的運算 分配律是乘法對加、減法的運算法則，假設將刮號外的性質符號當作被乘 數，則括號內的運算符號則為乘數，再應用【去刮號法則】進行運算。 Ex：

(

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

_{( ) ( ) ( )}

   + − = − − − − − = − + − = −  − =  − b a b a b a b a b a b a （4）在數線上或直角座標上，某數【減去】上一個正數 = 某數【加上】一個負 數 ＝ 某數向【左或下】移動。 在數線上或直角座標上，某數【加上】上一個正數 = 某數【減去】一個負 數 ＝ 某數向【右或上】移動。 【整數的加、減法運算】 講解 1： （1）156+

(

−137

) (

+ −156

)

=？ （2）9+

( ) ( ) ( )

−8 − −7 + −6 =？ （3）−

(

5−9

)

−



−

(

−14

)

+27



+



−



−14+

(

−18

)

−23



−14



=？ （4）

( ) ( ) ( ) ( )

( )

− − +

( )

− + = − − − − − + − 8 3 8 3 8 3 8 3 ？ 解： （1）原式=156−156−137=−137 （2）原式=9−8+7−6=2 （3）原式=−

( ) ( )

−4 − 41 +41=4−41+41=4 （4）原式= 1 16 16 5 11 5 11 = = + − − 練習 1： （1）

( )

−5 +7+

( ) ( )

−6 + −8 =？ （2）



(

−12345679

)

+899931



+

(

−899930

)

=？ （3）1−2+3−4+5−6+ +49−50+51=？ （4）設是一個新的運算符號，其定義為ab= a −b，求5 4

( )

− =？ 解：

（1）原式=−

(

5+6+8

)

+7=

(

−19

)

+7=−12 （2）原式=

(

−12345679

)

+



899931+

(

−899930

)



=

(

−12345679

)

+1=−12345678 （3）原式=

(

1−2

) (

+ 3−4

) (

+ 5−6

)

+ +

(

49−50

)

+51 =

( ) ( ) ( )

−1 + −1 + −1 + +

( )

−1 +51=

(

−25

)

+51=26 （4）ab= a −b，5

( )

−4 = 5 −

( )

−4 =5+4=9 【整數加、減法運算的應用】 講解 2： 下表是一年 18 班八位同學的體重與全班平均體重相差數的一覽表： 姓 名 珮羚 芳妤 亭昀 莉婷 羿嘉 昱帆 育茹 吟青 體重與平均體重 的差（公斤） -7 12 -2 -6 0 8 -1 4 如果莉婷的體重是 34 公斤，則全班的平均體重為多少公斤？ 亭昀比育茹重或輕幾公斤？ 吟青比珮羚重或輕幾公斤？ 芳妤重多少公斤？ 羿嘉重多少公斤？ 解：平均體重=34+6=40(公斤)；

( ) ( ) ( )

−2 − −1 = −2 +1=−1 ; 輕1(公斤)； 4−

( )

−7 =11;重11(公斤)；40+12=52(公斤)；40+0=40(公斤)。 練習 2： 通常我們以（+）代表溫度上升，（-）代表溫度下降。昱綸同學感冒，假設腋溫 超過 37℃是發燒，早上 10：00 的體溫是 38℃她一天的體溫與平均體溫的差如下 表，請回答下列問題： 昱綸的體溫表 8：00 10：00 12：00 14：00 16：00 體溫與平均體溫 的差（℃） -1 1 0 2 -1 請問她的平均體溫是多少？ 他在哪一個時間區間體溫下降或升高最多？ 請問中午吃飯時的體溫是多少？ 請問下午 14：00 的體溫是多少？ 哪些時間沒有發燒呢？ 解：平均體溫=38−1=37℃；2−

( )

−1 =2+1=3 ;下降3℃，下午 14：00~16： 00 ；37+0=37℃；37+2=39℃；37−1=36<37，早上 8：00 及下 午 16：00 沒發燒。

十分鐘即時練習： （1）在生物實驗室裡有一隻蝸牛在溫度計的 0℃上，第一天牠向上爬行了 2℃， 第二天轉向下爬行了 3℃，蝸牛依此規律持續爬行，則爬到第六天結束時， 這隻蝸牛應該在溫度計上的 －3 ℃，又這隻蝸牛總共爬了 15 ℃。 （2）假設A+9=B−7=C+6，則 A、B、C 三數中最小者為 A 。 （3）下列四個式子 A+(-6)=-18，B+(-14)=0，(-14)-C=3，D-9=-11，則 A、B、C、 D 何者最大呢？ B 。 （4）福利社舉辦母親節感恩回饋大拍賣，將每罐成本 10 元的優酪乳以 8 元售出， 但原價為 15 元，請問原價與售價的價差為 7 元，請問賣一罐優酪乳是 賠或賺多少元呢？ 一罐賠 2 元。 （5）−



−5+

(

−13

)

−5



−8= 15 。 （6）7−



−

( )

−2 +5



= 0 。 （7）1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+…+2003= 1002 。 解：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)+2003=(-1001)+2003=1002 （8）假設 -(-8)、(-9)、6、 12 ，的相反數分別為 a、b、c、d，試問 a-b+c-d 的值 為何呢？ -11 。 （9）已知有兩個負整數甲、乙，其中甲+乙=-49，則(甲-乙)的值為何呢？ 47 。 解：已知最大負整數為(-1)，(-1)+乙=-49，乙=-48，（甲-乙）=(-1)-(-48)=47。 （10）有四個數(-5)、(-3)、(-1)、8，任意選擇三個數 a、b、c，計算(a-b)+c 的最 大值為何？ 12 。解：令 a、c 為最大的兩數，b 為最小的數。 【基本觀念題】 （ C ）1.數線上 A、B、C 三點各表示的數為 , 4 3 1 , 3 − ，若以 C 點為新的原點， 而單位長不變，則 A 點所表示的數為何？○A _{-5 ○}B _{-6 ○}C _{-7 ○}D_-8。 （ A ）2.絕對值大於 19，但不大於 38 的整數一共有多少個呢？○A _{38 ○}B _{28 ○}C 19 ○D_14。 （ C ）3.數線上有三點 A、B、C，其坐標分別為 3、5、8，若將AB十等分， 假設其中第三個等分點為 P，將BC五等分，第二個等分點為 Q，則 PQ 的長度為何？○A 3 16 ○B 4 15 ○C 5 13 ○D 7 12 。 （ B ）4.數線上 A、B、C 三點所表示的數分別為 3、-1、4，則AB +BC為何？ ○A _{2 或 12 ○}B _{4 或 14 ○}C _{2 ○}D _14。

（ D ）5.已知 a=6，b=-8，c=14，則a−b + b−c + c−a 的值為何？○A _{11 ○}B ₂₂ ○C _{33 ○}D _44。 （ A ）6.請計算 2 5 3− − 的值為何？○A _{1 ○}B _{-1 ○}C _{2 ○}D _-2。 （ C ）7.假設有兩數分別為-9 及 25，同時減去下列哪一個數之後，會成為相反 數呢？○A _{10 ○}B _{-10 ○}C _{8 ○}D _-8。 （ C ）8.所有絕對值小於 3 19 的整數和為多少呢？○A _{2 ○}B _{1 ○}C _{0 ○}D _-1。 （ D ）9.下列四個等式何者不成立呢？ ○A

(

₂₃+₇

)

−₉=₂₃+

(

₇−₉

)

○B

(

₆₆−₂₂

)

−₁₃=₆₆−

(

₂₂+₁₃

)

○C

(

−₅₆

)

+



−

(

−₆₆

)



=



−

(

−₆₆

)



+

(

−₅₆

)

○D

(

−₁₃₈

)

+₇₃=₇₃−

(

−₁₃₈

)

。 （ B ）10.下列敘述何者正確呢？ ○A ₁₃+ −₁₃ =₀，所以 13 與 13− 互為相反數。 ○B _{0 的相反數為 0。} ○C _{數線上，A、B 兩數與 5 的距離相同，所以 A、B 兩數互為相反數。} ○D 3 2 3 與 2 3 3 − 互為相反數。 【溫故歷屆基測試題】 （ C ）1.在右圖的方格中，填入適當的數字，使得每行、每列以及對角線上的 數字和是相同的，則的值為何？【93.基測二】○A _{9 ○}B _{10 ○}C _{11 ○}D 13。 （ C ）2.若有一隻甲蟲在數線上由原點 O 向右行 4 公分，我門 將它的位置記為+2，則由原點 O 向左行 6 公分，我們應 該將甲蟲的位置記為多少呢？【94.參考題本】○A _{-6 ○}B -4 ○C _{-3 ○}D _+3。 （ D ）3.已知第一次段考成績甲班平均成績為 60 分，乙班平均成績為 62 分， 若丙班平均成績高於甲班平均成績，但不會低於乙班平均成績，則丙班 平均成績可能為下列哪一個分數？【90.參考題本】○A _{58 分 ○}B _{60 分 ○}C 61 分 ○D _{62 分。} （ B ）4.關於絕對值的計算，下列哪一個選項是正確的？【90.參考題本】 ○A −₉ + −₈ =₁ ○B −₉ − +₈ =_{1 ○}C −₆ + −₈ =−₁₄ ○D −₆ − ₈ =₂ 16 14  15 12

（ C ）5.媽媽到市場買布與米，經詢價得知布每公尺的售價為 150 元，米每台 斤的售價為 20 元，那麼媽媽買布 2 公尺與買米 15 台斤的價錢相比較， 哪一個較多？【90.參考題本】○A _{布 ○}B _{米 ○}C _{一樣多 ○}D _{無法比較。} 解：2 公尺的布售價為 150×2=300(元)，15 台斤的米售價為 20×15=300(元) （ A ）6.在下圖的數線上，O 為原點，數線上的點 P、Q、R、S 所表示的數分 別為 a、b、c、d。請問下列哪一個大小關係是不正確的？【92.基測一】 ○A _{a  d ○}B _{b = c ○}C _{a  b ○}D ₀  _b 。

（ C）7.數線上，O 為原點，A 點的坐標為 a，B 點的坐標為 b。利用下列三個 已知條件，判斷 A、B、O 三點在數線上的位置關係。已知條件： (1)a+b<0 (2)a-b>0 (3)ab>0，下列圖形何者正確？【92.基測二】 【模擬學力基測試題】 （ D ）1.設 a、b 均為有理數，已知a + b =3，則 a 絕對不會是下列哪一個數？ ○A _{-2 ○}B _{0 ○}C _{2 ○}D _4。解： _a _{0, b} _0,  _a _3, −₃_a₃。 （ C ）2.假設 x=3、y=4、z=5，則 x−y + y−z − z−x的值為何？○A _{-2 ○}B _-1 ○C _{0 ○}D _1。 （ A ）3.如果你想將坐標為-3.25 的點標示在數線上，至少要將-3 與-4 之間的部 分分成幾等分？○A _{4 ○}B _{25 ○}C _{50 ○}D _{100 等份。} （ D ）4.在一數線上有由左而右依序排列的五點，其坐標值依序為 a、b、c、d、 e，如果相鄰兩點的距離都相同，而且 b、d 互為相反數，則下列敘述何 者正確？○A _{a、c 互為對稱點 ○}B _a+_b=_d +_{e ○}C _a + _e = _b + _{d ○}D 0 2 = + d b 。 （ C ）5.假設 9 與-19 這兩個數同時加上下列哪一個數後會成為相反數？○A ₂ ○B _{-2 ○}C _{5 ○}D _{-5 等份。} 解：ab0 a與b同號,且a+b0 a0,b0, 又 a-b>0 , a>b a 在 b 的右邊。

5 2 5 2 , 4 1 4 1 , 3 1 3 1 , 2 1 2 1 _{= − = = =} − （ D ）6.設 a 為整數，則滿足−4 a 4的值多少個？○A _{4 ○}B _{5 ○}C _{6 ○}D ₇ 個。 解：−4 a 4的意思等於0 a 4, a的值可以是-3到3的範圍。 （ A ）7.甲、乙二人分別在數線上表示-15、105 的位置上，且同時相向而行。 若甲的速率是乙的速率的 2 倍，則相遇位置在數線上所表示的數為何？ ○A _{65 ○}B _{55 ○}C _{45 ○}D _{35 個。} 解：因為甲的速率是乙的速率的 2 倍，所以甲的距離是乙的距離的 2 倍。 距離比為甲：乙=2：1。

(

15

)

120, 120

(

2 1

)

40, 105 40 65 105− − = 每一等份=  + = 相遇處為 − =  。 （ C ）8.數線上 A、B 兩點分別代表-3 與 10，則下列哪一個等式不能計算出AB 呢？○A ₁₀−

( )

−_{3 ○}B

( )

−_{3 −10 ○}C −₃ − −_{10 ○}D ₁₀−

( )

−₃ 。 （ B ）9.如圖所示，若每一直排、橫排與對角線中各三張牌的總和均相等，請 問 a+b-c+d=？○A _{-6 ○}B _{6 ○}C _{-8 ○}D _8。 解：

( ) ( )



( )



(

)

(

)



( )



( ) ( )

-12 -10 6 -4 0 d c -b a 0 4 3 -1 a , -12 9 4 -1 c , -10 9 2 -1 d , 4 5 -2 -1 b , 1 9 5 3 = + + = + +  = + = = + = = + = = + =  = + − + −  （ D ）10.莉婷與如花兩人相差 13 歲，若莉婷前年 x 歲，則如花今年幾歲？○A x-11 ○B _{x+11 ○}C _{x-15 ○}D _x+15。 解：莉婷現年：（x＋2）歲，如花現年：x＋2＋13＝x＋15（歲）。 【進階練習題】 （ C ）1.所有的數中，其倒數等於它自己本身的數有幾個？○A _{0 ○}B _{1 ○}C _{2 ○}D 無限多。解：有1，共 2 個。 （ C ）2.下列四個數分別為 2 1 − ， 3 1 − ， 4 1 ， 5 2 何者的絕對值最接近 0？○A 2 1 − ○B 3 1 − ○C 4 1 ○D 5 2 。 解： 。 （ A ）3.若有一 A 數小於它自己的相反數，則 A 數為何？○A _{A<0 ○}B _{A=0 ○}C A>0 ○D _A>－A。 解：負數的相反數是正數。 （ B ）4.下列何者正確？ ○A _{│－0.1│＞0.1 ○}B _{－（－3）＞－(－(－3))○}C _－ 0.001＜－0.01 ○D _{以上全部正確。} （ D ）5.假設甲數是整數且 9＜│甲│＜13，則甲有多少個？○A 3 ○B _{4 ○}C 5 ○D _6。 解：甲＝±10、±11、±12，共 6 個。 -3 a b 1 -5 c 2 d 9

（ C ）6.假設 a＜0，b＜0，c＜0，│a│<│b│<│c│，哪一個數位置在數線的 最左邊？○A a ○B _{b ○}C _{c ○}D _{無法判別。 解：負數越小越左} 邊。 （ C ）7.數線上 A 點座標為 12，若改變原數線的單位長為原來的 4 3 倍，則 A 點座標會改成何數？○A 9 ○B _{－9 ○}C _{16 ○}D _－16。 解：12 ÷ 4 3 ＝16。 （ B ）8.數線上有兩點 A（3）、B（12），若以 A 點為數線上新的原點，則 B 點 座標為何？○A _{－9 ○}B _{9 ○}C _{7.5 ○}D _－7.5。 解：12－3＝9。 （ D ）9.小華老師在高速公路上開車，從台中到台北再到中壢，台中的公里數 為 177，往北走到台北，走了 171 公里，再往南走到中壢，走了 35 公 里，請問中壢的公里數牌子顯示多少呢？○A _{313 ○}B _{64 ○}C _{53 ○}D 41。 （ D）10.請計算下列式子（－15）＋（－2）－〔－（－（－9））〕＝？ ○A ₈ ○B _{－18 ○}C _{－20 ○}D _{－22。 解：原式＝－15－2＋9＝8。} （ B）11.假設 17，－23，－(－15)，20 的相反數分別是 a、b、c、d，則 a －b＋c－d＝？ ○A _{－35 ○}B _{35 ○}C _{－41 ○}D _41。 解：a－b ＋c－d＝－17－23+(－15)－（－20）＝－17－23－15＋20＝35。 （ D）12.請計算下列式子│－26│＋〔(－4）＋3〕＋（－4）－（－8）＝？ ○A －23 ○B _{23 ○}C _{－29 ○}D _29。 （ A）13.假設 63 與 33 同時減去 x 則互為相反數，則 x＝？○A _{－48 ○}B _{48 ○}C －15 ○D _15。 解：（63＋33）÷2＝48。 （ B）14.在數線上 A（ 4 1 3 − ）先右移 9 單位再左移 13 單位到達 B，則 A、B 兩點的中點是 C，求 C 點的坐標為何？○A－5.25 ○B _{－10.25 ○}C 5.25 ○D _10.25。 解： 4 1 3 − ＋9－13＝ 4 1 7 − ……B 點 ，〔（ 4 1 3 − ）＋ （ 4 1 7 − ）〕÷2＝－5.25。 （ B）15.自然實驗室中有一量筒，水位升高用正數表示，水位下降用負數表示。 若第一次水位改變－10 公分，第二次改變＋10 公分，請問兩次水位的 總改變量是多少？ ○A _{-20 公分 ○}B _{0 公分 ○}C _{10 公分 ○}D _{20 公分。}