Unit 2 數線與絕對值

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(1)

Unit 2 數線與絕對值 能力指標:◎(N-3-08)能以「正、負」表徵生活中相對的量,並認識負數是性 質(方向、盈虧)的相反。 ◎(N-3-09)能在數線上操作簡單的描點,如-3、(-2) + 5、(-4)×2 等, 並介紹兩點在數線上的間隔。 ◎(N-3-10)能運算絕對值並熟練其應用。 能力一:正數與負數 一、數(正數與負數) 1.在國中所學的「數」皆包含在「實數系」中。請同學參考下圖。 2.正數:凡是大於 0 的數,稱為「正數」,以「+」(可省略)表示。 3.負數:凡是小於 0 的數,稱為「負數」,以「-」表示。 Ex:+12 稱為正整數(簡稱正數),-33 稱為負整數(簡稱負數),0.38 稱 為正小數(簡稱正數),- 5 4 稱為負分數(簡稱負數),0 不是正數也非負數。 二、數與量 1.簡而言之”數”與”量”的判別,在於有無「單位」,有「單位」的數稱為「量」; 反之則稱為「數」。不同的”數”可以任意比較大小。 2.”量”的類別又分為長度、重量、時間…等不同的單位,非同類的”量”不可以 比較大小。 Ex:63(公斤)

”量”;63

”數”。

63(公斤)>53(公斤);1(公斤)=0.6(台斤); 63>53。

63(公斤)>23(公分);30(分鐘)>20(毫升)。 三、運算與性質符號 1.「+」、「-」用來表示加、減運算時稱為「運算符號」。 2.「+」、「-」用來表示正、負相對時稱為「性質符號」。 Ex:(-3)-4+(-5)-(-2)讀作:負三「減」四「加」負五「減」負二。 1, 2, 3, … -1, -2, -3, …

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【正負數的概念】 講解 1: NBA 教練團選秀的標準以身高 180 公分為標準,俠客歐尼爾身高 216 公分記為 +6,請回答下列各題: (1)姚明身高是 228 公分,應記為 +8 。 (2)賈奈特身高記為+5,則其身高應為 210 公分。 (3)麥格雷迪、布萊恩、詹姆斯等三人的平均身高記為+4,則三人平均身高 204 公分。 (4)若布萊恩身高記為+2、詹姆斯身高 204 公分,麥格雷迪身高應記為 +6 。 練習 1: 狄士尼兒童樂園中,以米老鼠的體重 36 公斤為標準,唐老鴨的體重 30 公斤記為 -3,請回答下列問題: (1)米妮體重是 28 公斤,應記為 -4 。 (2)古菲狗體重記為+6,則其體重應為 48 公斤。 (3)史努比、維尼小熊、凱蒂貓等三隻動物的平均體重記為+8,則三隻動物平 均體重為 52 公斤。 (4)若史努比體重記為+2、維尼小熊體重 60 公斤,凱蒂貓的體重應記為 +10 。 【數與量的概念】 講解 2: 利威廉到 101 超級市場去買 0.5 公斤牛肉準備回家作牛排給心愛的女朋友吃,市 場 1 台斤牛肉賣 360 元,請問他要花多少錢才能買到 0.5 公斤的牛肉呢?(1 台 斤=0.6 公斤) 解: 台斤 公斤 又 公斤 台斤 公斤 台斤 台斤 6 5 5 . 0 3 5 5 . 0 3 5 1 5 3 1 = =  =  =  台斤牛肉賣 元 台斤牛肉賣 300元 6 5 360 6 5 ; 360 1   =  Ans:0.5 公斤牛肉賣 300 元。 練習 2: 明道和利威廉兩人一起喝葡萄酒,明道喝了 5 罐 500 毫升的葡萄酒,利威廉喝了 4 罐 0.8 公升的葡萄酒,請問哪一個人喝的多呢?(1 公升=1000 毫升) 解: 公升 公升 公升 罐 公升 公升 毫升 罐 2 . 3 8 . 0 4 8 0. 4 5 2. 5 . 0 5 500 5 =  = =  = Ans:利威廉喝了 3.2 公升的葡萄酒比較多。

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十分鐘即時練習: (1) CASIO 電子錶若以成本 300 元賣出則賠 100 元,以-10 表示,若以定價 360 元賣出,應記為 +6 ,若以定價減 20 元賣出,應記為 +4 。 (2) 老師說:「以穿堂中的時鐘 12 點為準,上午 7 時以+5 表示」,則上午 10 點應以 +2 表示,下午 4 點放學應以 -4 表示。 (3) 小鍾 1 分鐘走 90 公尺,小馬 30 秒走 50 公尺,小賢 1 小時走 7 公里,請 問三人走的速度快慢為何?小賢>小馬>小鍾。 (4) 若以中午十二十為準,下午記為”+4”,則上午八時記為 -4 。 (5) 假設以昆勳的體重 45 公斤為準,柏超的體重 48 公斤記為”+3”,請回答下 列問題: 宇倫的體重 37 公斤,應記為 -8 。 育茹體重 53 公斤,記為+8。 宇倫、育茹、櫻怡、良宜平均體重為 44 公斤,記為 “-1”。 良宜的體重為 38 公斤,記為 -7 。 能力二:數線與相反數 一、數線 1.數線的三大要素:(1)原點、(2)方向、(3)單位長。 2.在原點左邊為負數,在原點右邊為正數。 3.在數線上「右方的數」>「左方的數」。

4.數線上 A、B 兩點分別是 a、b,且 a>b,則 AB 的距離

b a b a AB= − (大-小)= − ; 2 b a AB中點座標= + 。 5.坐標變換:新坐標=(原數-新原點坐標)÷新單位長。 二、相反數 1.相反數:在原點的左、右兩邊且與原點距離相等的兩數,稱為相反數。

性質:(1)每一個數都有一個相反數。 (2)正數的相反數為負數,負數的相反數為正數,0 的相反數是 0。 (3)相反數的和為 0。 2.相反數的求法:只要將一個數加上”負號”就可以了。 Ex:7 的相反數

-(7); (-7)的相反數

-(-7)=+7 3.數線上兩點的距離:距離都是大於 0 的數,最小距離為 0。 【數線上點的位置與大小】 講解 1:

(4)

數線上有 A、B、C 三點表的數分別是 56、45、27。若有一 D 點在 C 點的右邊, 而且AB =CD,則 D 點所代表的數是多少呢? 解:    = + =  = = − =  = 27 11 38 11 11 45 56 B DCD A CD AB  Ans:D 點的值為 38。 練習 1: R、S、T 是數線上的三點,其坐標分別是 r、s、t,若a= rs ,b= st ,c= tr , 求 r、s、t 的值為何又 a、b、c 大小應為何? 解:(1) 5 3 1 , 4 3 , 3 1 4 =− = − = s t r (2)a= rs =RS , b= st =ST , c= tr =TR b a c ST RS TR     由圖可知 Ans:(1) 5 3 1 , 4 3 , 3 1 4 =− = − = s t r ;(2) c>a>b。 【數線上點的距離與相反數】 講解 2: 若數線上有相異四點,A(-8)、B(-2)、C(2)、D(6)。(1)求AB=?(2)若單 位長為 2,AD分成幾等分?(3)B 點的相反數是哪一點? 解:(1)AB=(−2)−(−8)=6(2) 7 2 ) 8 ( 6− − = = = 單位長 等分數 AD (3)B 點的數=(-2),相反數-(-2)=2;B 點的相反數是 C 點。 練習 2: 在數線上有 A(-7)、B(-1)、C 三點,(1)若3AB=2AC,求AC =?(2)求 C 點座標?(3)若單位長為 3,AC可分成幾等分? 解:(1)AB=(−1)−(−7)=6, 36=2AC , AC=182=9

(5)

(2)C 點座標為

( )

−7 +9=2 (3) 3 3 9 3 = = AC 【數線上點的位置變動關係】 講解 3: 數線上 A(-3)、B(2)、C(8),若改以 B 點為新原點,並且以原單位長的 2 1 為新單 位長,則 C 點、A 點的新座標為何?新AC的距離為何?新AC中點 M 的座標為 何? 解:(1)新坐標=(原數-新原點坐標)÷新單位長 Cnew=(8-2)÷ 2 1 =12 ; Anew=

( )

10 2 1 2 3 −  =− − (2)AC=12−(−10)=22 ; 1 2 ) 10 ( 12 M= + − = 的中點 AC 。 練習 3: 有一隻兔子在有數線的跑道上,座標為-4 的 A 點開始向右跳,每次跳躍的距離 都相等,而且方向不變,跳第三次時,在座標為 8 的 B 點,若跳第二十次,會 到 C 點,(1)則 C 點座標為何?(2)若兔子改以 B 點為起點向右跳,以原單位 長的 2 1 為新單位長,則新 C 點座標為何? 解:(1)AB=8−

( )

−4 =12 ; 單位長=12÷3=4 ; C 點=(20×4)-4=76。 (2)BC =76−8=68; 新 C 點 68÷ 2 1 =136。 【相反數的概念】 講解 4: (1)請寫出-6.4、-(-3)、- 8 3 、0 的相反數? (2)若

(

a+13

)

的相反數是 8,請問 a=? (3)數線上 A、B 兩點分別是 4、8,此兩點須向左移動多少單位之後,會與原 點的距離相等?移動後兩點所表示的數為何? 解:(1)-6.4

6.4;-(-3)

(-3);- 8 3

8 3 ;0

0

(2)

(

a+13

)

=-8;a=-8-13=-21。 (3)原來的和=4+8=12;兩數同減 12,和會變為 0。因此,12÷2=6;兩數同

(6)

時向左移動 6 個單位。 移動後 A 點=4-6=-2,B 點=8-6=2。 練習 4: (1)請寫出 6.3、-(4)、-(+3.5)、-(-2.3)的相反數? (2)若-9 的相反數是 A,A 的倒數是 B,請問 B=? (3)數線上 A、B 兩點分別是-6、-2,此兩點須向右移動多少單位之後,會 與原點的距離相等?移動後兩點所表示的數為何? 解:(1)6.3-6.3;-(4) 4、-(+3.5) 3.5、-(-2.3) -2.3 (2)A=9,B= 9 1 。 (3)(-6)+(-2)=(-8); (-8)+8=0。 8÷2=4,兩數同時向右移動 4 個單位。 移動後 A 點=(-6)+4=(-2),B 點=(-2)+4=2。 十分鐘即時練習: (1)數線上有點 A、B、C、D、E 五點,其坐標分別為 ,0 , 0.5 , 2 3 1 1 , 3 − − 則 哪一條線段最長 AE;最短 CD。 (2)有一條標示數線的電纜線上站了一隻麻雀,麻雀從 A 電桿出發,向右走 8 個單位,再向左走 5 個單位,又向右走 11 個單位到達 B 電桿,已知 B 電桿 的座標為 5,則 A 電桿的座標應該為 -9 。 (3)數線上 A、B、C 三點各表示的數為-3、1、6,今若以 C 點為新原點,而 新單位長是原單位長的 3 1 ,則 A 點新座標為 -27 ;B 點新座標為 - 15 ;新AB的距離為 12 ;新AB中點座標 M 為 -21 。 (4)已知 A、B 兩數互為相反數,且 A、B 兩數在數線上所對應點的距離為 42, 若 A>B,求 A、B 兩數為何? 解:A=21;B=(-21)。

(5)數線上有 A(-4)、B(16)兩點,今 A、B 兩點應同時向左或向右移動幾 個單位長,方能使得新的兩點互為相反數呢? 解:向左移動 10 個單位長。 能力三:絕對值與數的大小 一、絕對值的概念 1.數線上任一點與原點的距離,稱為該數的「絕對值」。故絕對值必大於等於 0,因為距離沒有負的。絕對值以符號 ” ”表示。

(7)

Ex:88 =88 , −66 =66 , 0 =0。 二、絕對值的值 1.

(

)

    −  = 0 0 到原點的距離 表示 當 當 x x x x x x x   2. x =a ,且a0,則x=a ,當a0,則x不存在。 Ex:若 8 =8,則x=8 , 若 x =−8 , 則x不存在,或稱無解。 三、數的比較大小 1.三一律:A、B 兩數的大小關係可能有: A>B、A=B、A<B,等三種情形,其中僅有一種關係會成立。 2.遞移律:若有三個數 A、B、C 三個數,則下列關係必成立。 (1)若 A>B,且 B>C,則 A>C。 (2)若 A=B,且 B=C,則 A=C。 (3)若 A<B,且 B<C,則 A<C。 3.數線上「左方的數」<「右方的數」。 Ex:-8<-6; -2<0 ; 1.2<3 。 【絕對值的概念】 講解 1: 請寫出-2、11、-0.37、7.8、 5 3 2 − 各數的絕對值,並比較其大小。 解:(1)−2 =2;11 =11;−0.37 =0.37;7.8 =7.8; 5 3 2 5 3 2 = − 。 (2) 2 0.37 5 3 2 8 . 7 11   −  −  − 。 練習 1: 請寫出-3、4.3、-6.5、0、            − − − 4 3 1 各數的絕對值,並比較其大小。 解:(1)−3 =3;4.3 =4.3;−6.5 =6.5; 0 =0; 4 3 1 4 3 1  =           − − − 。 叮嚀:若 A>C,且 B>C,就無法 比較 A、B 兩數大小。

(8)

(2) 0 4 3 1 3 3 . 4 5 . 6             − − −  −   − 。 【絕對值與整數的個數】 講解 2: (1)絕對值小於 4 的整數、正整數、負整數、分數有哪些? (2)絕對值小於 4 且大於等於 1 的整數有哪些? 解:(1)絕對值小於 4 的整數:-3、-2、-1、0、1、2、3 絕對值小於 4 的正整數:1、2、3 絕對值小於 4 的負整數:-3、-2、-1 絕對值小於 4 的分數:無限多 (2)絕對值小於 4 且大於等於 1 的整數:-3、-2、-1、0、1 練習 2: (1)若 A 數為整數,且絕對值小於 A 數的整數共有 7 個,求 A 數為何? (2)若 B 數為整數,且絕對值小於 B 數的負整數共有 5 個,求 B 數為何? (3)若 C 數為整數,且絕對值不大於 C 數的整數共有 8 個,求 C 數為何? 解:(1) (7-1)÷2=3 ;A 數=3+1=4。 (2) 絕對值小於 B 數的最大整數為 5,則 B 數為 6。 (3) 絕對值不大於 C 數的最大整數為 (8-1)÷2=4;C 數=4。 【絕對值的運算】 講解 3: (1)4+

( )

−7 與 4 + −7的大小關係? (2)若 A− −5 =8,則 A 數為何? (3)若4−A+ B+5 =0,求 A、B 兩數為何? (4)−9+4 4+

( )

−9 +10=? 解: (1)4+

( )

−7 = 4−7 = −3 =3; 4 + −7 =4+7=11 ; 4+

( )

−7  4 + −7 叮嚀:(1)小於、大於該數,皆不包含該數。 (2)小於等於、大於等於該數,皆包含該數。 (3)0 是整數,但不是正、負整數。

(9)

(2) A− −5 =8; A =8+ −5 =8+5=13 ;A=13。 (3)4−A+ B+5 =0 因為絕對值皆為正數,正數與正數相加不可能為 0,因 此只有一種可能,就是 0+0=0。 5 , 0 5 , 0 5 4 , 0 4 , 0 4 − = = + = + = = − = − B B B A A A 令 (4)−9+4 4+

( )

−9 +10= −5−5 =55=25 練習 3: (1)

( ) ( )

−4 + −6 與 −4 + −6 的大小關係? (2)16 A =4 與 B 3−5=3 ; A、B 應為多少? (3)若 A、B 兩整數,且 A + B =16,求 A 的最大值與最小值? (4)若 A−2 = A−3 , 則A值為何? 解: (1) 10 = 10 ;

( ) ( )

−4 + −6  −4 + −6 (2)16 A =4 ; A =164=4 ;A=4 B 3−5=3 ; B =

(

3+5

)

3 ; B =24 ;B=24 (3)當B=0時; A =16 ,則A=16;因此 A 有最大值 16,最小值-16。 (4) A−2 = A−3 ;代表 A 到 2、3 的距離相等,因此 A 是數線上 2 與 3 的中 點。 2 1 2 2 5 2 3 2+ = = = A十分鐘即時練習: (1)對於所有的實數 A 與 B,定義AB= A−B ,則下列敘述何者不正確? ○C ○A對於所有實數 A 與 B,AB=BA。○B對於所有實數 A 與 B,

(

A B

) ( ) ( )

2A 2B 2  =  。○C對於所有實數 A,A0= A。○D對於所有實數 A,

(10)

0 = A A 。○E若AB,AB0。 (2)設 A、B 為有理數,已知 A + B =5,則 A 絕對不會是下列哪一個數?○A ○A – 6○B – 3 ○C 0 ○D 4。 (3)已知 A、B、C 三實數, A  B  C ,下列敘述何者正確?○B ○AC<0 ○BB-C>0 ○CA-B>0 ○DA-C>0。 (4)假設 x 為整數,若 x−5+ x+5 =0,則 x 的值為何?○D ○A 0 ○B -5 ○C 5 ○D不存在。解:沒有一個數可以同時等於 5 和-5。 (5)若 a=6,b=-10,則下列何式的值會最小呢?○C ○A a +b B a −b C a −b D a + b能力四:整數的加、減法運算 一、加、減法運算的概念 1.正整數的加、減法運算(設有 a>0,b>0 二數): (1)a>b,a+b 與 a-b 皆不變號(性質符號不變)。 (2)a<b,a+b 不變號,但 a-b=-(b-a)(性質符號改變,為負數)。 Ex: (1)15>13 ;15+13=28 ;15-13= 2 (2)13<15 ;13+15=28 ;13-15=-(15-13)=-2 2.負整數的加、減法運算(設有 a<0,b<0 二數): (1)a>b 或 a<b,a+b 用【去括號法】(口訣:正負得負)。 亦可用【分配律法】,提出兩數的負號到刮號外再做運算。 (2)a>b 或 a<b,a-b 用去括號法(口訣:負負得正)。 亦可用【分配律法】,提出兩數的負號到刮號外再做運算。 Ex: (1)因為

( ) ( )

−9  −11 , 所以

( ) ( ) ( )

-9 + −11 = −9 −11=−20。【去刮號法】 因為

( ) ( )

−11  −9 , 所以

( ) ( ) (

−11 + −9 =−11+9

)

=−20。【分配律法】 (2)因為

( ) (

−8  −10

)

, 所以

( ) (

-8 − −10

) ( )

= −8 +10=2。【去刮號法】 因為

(

−10

) ( )

 −8 , 所以

(

−10

) ( ) (

− −8 =−10−8

)

=−2。【分配律法】 二、加、減法運算的規律 口訣:大-小=○+ ;小-大=○

(11)

-(1)減法就是加法的反運算 若有 a、b 兩數,ab=a+

( )

b ,即 a 減去 b,等於 a 加上 b 的相反數。 (2)加法的規律性 加法具有【交換律】與【結合律】,但減法則無。 交換律:若有 a、b 二數,則a+b=b+a。 結合律:若有 a、b、c 三數,則

(

a+b

)

+c=a+

(

b+c

)

。 (3)分配律應用在加、減法的運算 分配律是乘法對加、減法的運算法則,假設將刮號外的性質符號當作被乘 數,則括號內的運算符號則為乘數,再應用【去刮號法則】進行運算。 Ex:

(

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

   + − = − − − − − = − + − = −  − =  − b a b a b a b a b a b a (4)在數線上或直角座標上,某數【減去】上一個正數 = 某數【加上】一個負 數 = 某數向【左或下】移動。 在數線上或直角座標上,某數【加上】上一個正數 = 某數【減去】一個負 數 = 某數向【右或上】移動。 【整數的加、減法運算】 講解 1: (1)156+

(

−137

) (

+ −156

)

=? (2)9+

( ) ( ) ( )

−8 − −7 + −6 =? (3)−

(

5−9

)

(

−14

)

+27

+

−14+

(

−18

)

−23

−14

=? (4)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

− − +

( )

− + = − − − − − + − 8 3 8 3 8 3 8 3 ? 解: (1)原式=156−156−137=−137 (2)原式=9−8+7−6=2 (3)原式=−

( ) ( )

−4 − 41 +41=4−41+41=4 (4)原式= 1 16 16 5 11 5 11 = = + − − 練習 1: (1)

( )

−5 +7+

( ) ( )

−6 + −8 =? (2)

(

−12345679

)

+899931

+

(

−899930

)

=? (3)1−2+3−4+5−6+ +49−50+51=? (4)設是一個新的運算符號,其定義為ab= ab,求5 4

( )

− =? 解:

(12)

(1)原式=−

(

5+6+8

)

+7=

(

−19

)

+7=−12 (2)原式=

(

−12345679

)

+

899931+

(

−899930

)

=

(

−12345679

)

+1=−12345678 (3)原式=

(

1−2

) (

+ 3−4

) (

+ 5−6

)

+ +

(

49−50

)

+51 =

( ) ( ) ( )

−1 + −1 + −1 + +

( )

−1 +51=

(

−25

)

+51=26 (4)ab= ab,5

( )

−4 = 5 −

( )

−4 =5+4=9 【整數加、減法運算的應用】 講解 2: 下表是一年 18 班八位同學的體重與全班平均體重相差數的一覽表: 姓 名 珮羚 芳妤 亭昀 莉婷 羿嘉 昱帆 育茹 吟青 體重與平均體重 的差(公斤) -7 12 -2 -6 0 8 -1 4 如果莉婷的體重是 34 公斤,則全班的平均體重為多少公斤? 亭昀比育茹重或輕幾公斤? 吟青比珮羚重或輕幾公斤? 芳妤重多少公斤? 羿嘉重多少公斤? 解:平均體重=34+6=40(公斤);

( ) ( ) ( )

−2 − −1 = −2 +1=−1 ; 輕1(公斤); 4−

( )

−7 =11;重11(公斤);40+12=52(公斤);40+0=40(公斤)。 練習 2: 通常我們以(+)代表溫度上升,(-)代表溫度下降。昱綸同學感冒,假設腋溫 超過 37℃是發燒,早上 10:00 的體溫是 38℃她一天的體溫與平均體溫的差如下 表,請回答下列問題: 昱綸的體溫表 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 體溫與平均體溫 的差(℃) -1 1 0 2 -1 請問她的平均體溫是多少? 他在哪一個時間區間體溫下降或升高最多? 請問中午吃飯時的體溫是多少? 請問下午 14:00 的體溫是多少? 哪些時間沒有發燒呢? 解:平均體溫=38−1=37℃;2−

( )

−1 =2+1=3 ;下降3℃,下午 14:00~16: 00 ;37+0=37℃;37+2=39℃;37−1=36<37,早上 8:00 及下 午 16:00 沒發燒。

(13)

十分鐘即時練習: (1)在生物實驗室裡有一隻蝸牛在溫度計的 0℃上,第一天牠向上爬行了 2℃, 第二天轉向下爬行了 3℃,蝸牛依此規律持續爬行,則爬到第六天結束時, 這隻蝸牛應該在溫度計上的 -3 ℃,又這隻蝸牛總共爬了 15 ℃。 (2)假設A+9=B−7=C+6,則 A、B、C 三數中最小者為 A 。 (3)下列四個式子 A+(-6)=-18,B+(-14)=0,(-14)-C=3,D-9=-11,則 A、B、C、 D 何者最大呢? B 。 (4)福利社舉辦母親節感恩回饋大拍賣,將每罐成本 10 元的優酪乳以 8 元售出, 但原價為 15 元,請問原價與售價的價差為 7 元,請問賣一罐優酪乳是 賠或賺多少元呢? 一罐賠 2 元。 (5)−

−5+

(

−13

)

−5

−8= 15 。 (6)7−

( )

−2 +5

= 0 。 (7)1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+…+2003= 1002 。 解:原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)+2003=(-1001)+2003=1002 (8)假設 -(-8)、(-9)、6、 12 ,的相反數分別為 a、b、c、d,試問 a-b+c-d 的值 為何呢? -11 。 (9)已知有兩個負整數甲、乙,其中甲+乙=-49,則(甲-乙)的值為何呢? 47 。 解:已知最大負整數為(-1),(-1)+乙=-49,乙=-48,(甲-乙)=(-1)-(-48)=47。 (10)有四個數(-5)、(-3)、(-1)、8,任意選擇三個數 a、b、c,計算(a-b)+c 的最 大值為何? 12 。解:令 a、c 為最大的兩數,b 為最小的數。 【基本觀念題】 ( C )1.數線上 A、B、C 三點各表示的數為 , 4 3 1 , 3 − ,若以 C 點為新的原點, 而單位長不變,則 A 點所表示的數為何?○A -5 ○B -6 ○C -7 ○D-8。 ( A )2.絕對值大於 19,但不大於 38 的整數一共有多少個呢?○A 38 ○B 28 ○C 19 ○D14。 ( C )3.數線上有三點 A、B、C,其坐標分別為 3、5、8,若將AB十等分, 假設其中第三個等分點為 P,將BC五等分,第二個等分點為 Q,則 PQ 的長度為何?○A 3 16 ○B 4 15 ○C 5 13 ○D 7 12 。 ( B )4.數線上 A、B、C 三點所表示的數分別為 3、-1、4,則AB +BC為何? ○A 2 或 12 ○B 4 或 14 ○C 2 ○D 14。

(14)

( D )5.已知 a=6,b=-8,c=14,則ab + bc + ca 的值為何?○A 11 ○B 22 ○C 33 ○D 44。 ( A )6.請計算 2 5 3− − 的值為何?○A 1 ○B -1 ○C 2 ○D -2。 ( C )7.假設有兩數分別為-9 及 25,同時減去下列哪一個數之後,會成為相反 數呢?○A 10 ○B -10 ○C 8 ○D -8。 ( C )8.所有絕對值小於 3 19 的整數和為多少呢?○A 2 ○B 1 ○C 0 ○D -1。 ( D )9.下列四個等式何者不成立呢? ○A

(

23+7

)

9=23+

(

79

)

○B

(

6622

)

13=66

(

22+13

)

○C

(

56

)

+

(

66

)

=

(

66

)

+

(

56

)

○D

(

138

)

+73=73

(

138

)

。 ( B )10.下列敘述何者正確呢? ○A 13+ −13 =0,所以 13 與 13− 互為相反數。 ○B 0 的相反數為 0。 ○C 數線上,A、B 兩數與 5 的距離相同,所以 A、B 兩數互為相反數。 ○D 3 2 3 與 2 3 3 − 互為相反數。 【溫故歷屆基測試題】 ( C )1.在右圖的方格中,填入適當的數字,使得每行、每列以及對角線上的 數字和是相同的,則的值為何?【93.基測二】○A 9 ○B 10 ○C 11 ○D 13。 ( C )2.若有一隻甲蟲在數線上由原點 O 向右行 4 公分,我門 將它的位置記為+2,則由原點 O 向左行 6 公分,我們應 該將甲蟲的位置記為多少呢?【94.參考題本】○A -6 ○B -4 ○C -3 ○D +3。 ( D )3.已知第一次段考成績甲班平均成績為 60 分,乙班平均成績為 62 分, 若丙班平均成績高於甲班平均成績,但不會低於乙班平均成績,則丙班 平均成績可能為下列哪一個分數?【90.參考題本】○A 58 分 ○B 60 分 ○C 61 分 ○D 62 分。 ( B )4.關於絕對值的計算,下列哪一個選項是正確的?【90.參考題本】 ○A −9 + −8 =1 ○B −9 − +8 =1C −6 + −8 =−14 ○D −68 =2 16 14  15 12

(15)

( C )5.媽媽到市場買布與米,經詢價得知布每公尺的售價為 150 元,米每台 斤的售價為 20 元,那麼媽媽買布 2 公尺與買米 15 台斤的價錢相比較, 哪一個較多?【90.參考題本】○A 布 ○B 米 ○C 一樣多 ○D 無法比較。 解:2 公尺的布售價為 150×2=300(元),15 台斤的米售價為 20×15=300(元) ( A )6.在下圖的數線上,O 為原點,數線上的點 P、Q、R、S 所表示的數分 別為 a、b、c、d。請問下列哪一個大小關係是不正確的?【92.基測一】 ○A a  d B b = c C a  b D 0b

( C)7.數線上,O 為原點,A 點的坐標為 a,B 點的坐標為 b。利用下列三個 已知條件,判斷 A、B、O 三點在數線上的位置關係。已知條件: (1)a+b<0 (2)a-b>0 (3)ab>0,下列圖形何者正確?【92.基測二】 【模擬學力基測試題】 ( D )1.設 a、b 均為有理數,已知a + b =3,則 a 絕對不會是下列哪一個數? ○A -2 ○B 0 ○C 2 ○D 4。解: a0, b0, a3, 3a3 ( C )2.假設 x=3、y=4、z=5,則 xy + yzzx的值為何?○A -2 ○B -1 ○C 0 ○D 1。 ( A )3.如果你想將坐標為-3.25 的點標示在數線上,至少要將-3 與-4 之間的部 分分成幾等分?○A 4 ○B 25 ○C 50 ○D 100 等份。 ( D )4.在一數線上有由左而右依序排列的五點,其坐標值依序為 a、b、c、d、 e,如果相鄰兩點的距離都相同,而且 b、d 互為相反數,則下列敘述何 者正確?○A a、c 互為對稱點 ○B a+b=d +eC a + e = b + d D 0 2 = + d b 。 ( C )5.假設 9 與-19 這兩個數同時加上下列哪一個數後會成為相反數?○A 2 ○B -2 ○C 5 ○D -5 等份。 解:ab0 a與b同號,且a+b0 a0,b0, 又 a-b>0 , a>b a 在 b 的右邊。

(16)

5 2 5 2 , 4 1 4 1 , 3 1 3 1 , 2 1 2 1 = = = = − ( D )6.設 a 為整數,則滿足−4 a 4的值多少個?○A 4 ○B 5 ○C 6 ○D 7 個。 解:−4 a 4的意思等於0 a 4, a的值可以是-3到3的範圍。 ( A )7.甲、乙二人分別在數線上表示-15、105 的位置上,且同時相向而行。 若甲的速率是乙的速率的 2 倍,則相遇位置在數線上所表示的數為何? ○A 65 ○B 55 ○C 45 ○D 35 個。 解:因為甲的速率是乙的速率的 2 倍,所以甲的距離是乙的距離的 2 倍。 距離比為甲:乙=2:1。

(

15

)

120, 120

(

2 1

)

40, 105 40 65 105− − = 每一等份=  + = 相遇處為 − =  。 ( C )8.數線上 A、B 兩點分別代表-3 與 10,則下列哪一個等式不能計算出AB 呢?○A 10

( )

3 B

( )

3 −10C −3 − −10 D 10

( )

3 。 ( B )9.如圖所示,若每一直排、橫排與對角線中各三張牌的總和均相等,請 問 a+b-c+d=?○A -6 ○B 6 ○C -8 ○D 8。 解:

( ) ( )

( )

(

)

(

)

( )

( ) ( )

-12 -10 6 -4 0 d c -b a 0 4 3 -1 a , -12 9 4 -1 c , -10 9 2 -1 d , 4 5 -2 -1 b , 1 9 5 3 = + + = + +  = + = = + = = + = = + =  = + − + −  ( D )10.莉婷與如花兩人相差 13 歲,若莉婷前年 x 歲,則如花今年幾歲?○A x-11 ○B x+11 ○C x-15 ○D x+15。 解:莉婷現年:(x+2)歲,如花現年:x+2+13=x+15(歲)。 【進階練習題】 ( C )1.所有的數中,其倒數等於它自己本身的數有幾個?○A 0 ○B 1 ○C 2 ○D 無限多。解:有1,共 2 個。 ( C )2.下列四個數分別為 2 1 − , 3 1 − , 4 1 , 5 2 何者的絕對值最接近 0?○A 2 1 − ○B 3 1 − ○C 4 1 ○D 5 2 。 解: 。 ( A )3.若有一 A 數小於它自己的相反數,則 A 數為何?○A A<0 ○B A=0 ○C A>0 ○D A>-A。 解:負數的相反數是正數。 ( B )4.下列何者正確? ○A │-0.1│>0.1 ○B -(-3)>-(-(-3))○C 0.001<-0.01 ○D 以上全部正確。 ( D )5.假設甲數是整數且 9<│甲│<13,則甲有多少個?○A 3 ○B 4 ○C 5 ○D 6。 解:甲=±10、±11、±12,共 6 個。 -3 a b 1 -5 c 2 d 9

(17)

( C )6.假設 a<0,b<0,c<0,│a│<│b│<│c│,哪一個數位置在數線的 最左邊?○A a ○B b ○C c ○D 無法判別。 解:負數越小越左 邊。 ( C )7.數線上 A 點座標為 12,若改變原數線的單位長為原來的 4 3 倍,則 A 點座標會改成何數?○A 9 ○B -9 ○C 16 ○D -16。 解:12 ÷ 4 3 =16。 ( B )8.數線上有兩點 A(3)、B(12),若以 A 點為數線上新的原點,則 B 點 座標為何?○A -9 ○B 9 ○C 7.5 ○D -7.5。 解:12-3=9。 ( D )9.小華老師在高速公路上開車,從台中到台北再到中壢,台中的公里數 為 177,往北走到台北,走了 171 公里,再往南走到中壢,走了 35 公 里,請問中壢的公里數牌子顯示多少呢?○A 313 ○B 64 ○C 53 ○D 41。 ( D)10.請計算下列式子(-15)+(-2)-〔-(-(-9))〕=? ○A 8 ○B -18 ○C -20 ○D -22。 解:原式=-15-2+9=8。 ( B)11.假設 17,-23,-(-15),20 的相反數分別是 a、b、c、d,則 a -b+c-d=? ○A -35 ○B 35 ○C -41 ○D 41。 解:a-b +c-d=-17-23+(-15)-(-20)=-17-23-15+20=35。 ( D)12.請計算下列式子│-26│+〔(-4)+3〕+(-4)-(-8)=? ○A -23 ○B 23 ○C -29 ○D 29。 ( A)13.假設 63 與 33 同時減去 x 則互為相反數,則 x=?○A -48 ○B 48 ○C -15 ○D 15。 解:(63+33)÷2=48。 ( B)14.在數線上 A( 4 1 3 − )先右移 9 單位再左移 13 單位到達 B,則 A、B 兩點的中點是 C,求 C 點的坐標為何?○A-5.25 ○B -10.25 ○C 5.25 ○D 10.25。 解: 4 1 3 − +9-13= 4 1 7 − ……B 點 ,〔( 4 1 3 − )+ ( 4 1 7 − )〕÷2=-5.25。 ( B)15.自然實驗室中有一量筒,水位升高用正數表示,水位下降用負數表示。 若第一次水位改變-10 公分,第二次改變+10 公分,請問兩次水位的 總改變量是多少? ○A -20 公分 ○B 0 公分 ○C 10 公分 ○D 20 公分。

數據

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參考文獻

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