絕對不等式

1

絕對不等式

例題 1

設 a，b，c



3 ^≧（ a²＋b²＋c²

3 ）²，且只有在 a²＝b²＝c² 時，上式等號才成立‧

解析：∵［（a²）²＋（b²）²＋（c²）²］（1²＋1²＋1²）≧（a²＋b²＋c²）² 3（a⁴＋b⁴＋c⁴）≧（a²＋b²＋c²）²

a⁴＋b⁴＋c⁴

3 ≧（ a²＋b²＋c² 3 ）² 等號在 a²

1 ＝ b² 1 ＝ c²

1 時成立，亦即等號在 a²＝b²＝c² 時成立 例題 2

設 x，y



( )1 當數對（x，y）＝ 時，3x－4y 有最大值為 ‧ ( )2 當數對（x，y）＝ 時，3x－4y 有最小值為 ‧ 解析：［（3x）²＋（2y）²］［1²＋（－2）²］≧（3x－4y）²

45×5≧（3x－4y）²

－15≦3x－4y≦15 ( )1 當 3x

1 ＝ 2y

－2 且 3x－4y＝15

亦即數對（x，y）＝（1，－3）時，3x－4y 有最大值為 15 ( )2 當 3x

1 ＝ 2y

－2 且 3x－4y＝－15

亦即數對（x，y）＝（－1，3）時，3x－4y 有最小值為－15 例題 3

設 x，y，z



解析：［（2x－2）²＋（y＋2）²＋（z－3）²］［1²＋（－1）²＋2²］≧（2x－2－y－2＋2z－6）² 1×6≧（2x－y＋2z－10）²

2

－ 6 ≦2x－y＋2z－10≦ 6 10－ 6 ≦2x－y＋2z≦10＋ 6 例題 4

設 x，y，z



x²＋y²＋z²－2x＋4y＋3 有最小值為 ‧

解析：x²＋y²＋z²－2x＋4y＋3＝（x－1）²＋（y＋2）²＋z²－2

［（x－1）²＋（y＋2）²＋z²］［1²＋1²＋（－2）²］≧（x－1＋y＋2－2z）²

［（x－1）²＋（y＋2）²＋z²］×6≧（4－1＋2）²

（x－1）²＋（y＋2）²＋z²≧ 25

6 （x－1）²＋（y＋2）²＋z²－2≧ 13 6 等號在 x－1

1 ＝ y＋2 1 ＝ z

－2 ＝t 且 x＋y－2z＝4 時成立 x＝t＋1，y＝t－2，z＝－2t 代入 x＋y－2z＝4 中

（t＋1）＋（t－2）－2（－2t）＝4 6t＝5 t＝ 5 6 x＝ 11

6 ，y＝－ 7

6 ，z＝－ 5 3 故當序組（x，y，z）＝（ 11

6 ，－ 7

6 ，－ 5 3）時 x²＋y²＋z²－2x＋4y＋3 有最小值為 13

6 例題 5

設 x，y，z



x²＋y²＋z² 之最大值為 ，最小值為 ‧ 解析：（x²＋y²＋z²）［2²＋（－1）²＋3²］≧（2x－y＋3z）²

（x²＋y²＋z²）×14≧（2x－y＋3z）²

（2x－y＋3z）² x²＋y²＋z² ≦14

｜2x－y＋3z｜

x²＋y²＋z² ≦ 14

－ 14 ≦ 2x－y＋3z

x²＋y²＋z² ≦ 14

3 故得最大值為 14 ，最小值為－ 14

例題 6

設 x，y，z



16×（k ²＋2）≧（x＋y＋kz）²

－4 k ²＋2 ≦x＋y＋kz≦4 k ²＋2 又 x＋y＋kz 之最大值為 4 k ²＋2 ＝8 3

k ²＋2 ＝2 3 ＝ 12 k ²＋2＝12 k＝± 10

例題 7

設 a，b，c 為正數，且 a＋2b＋3c＝8‧試利用算幾不等式證明：ab²c≦ 16

3 ，且只有在 a＝b＝3c＝2 時，上式等號才成立‧

解析：由算幾不等式知 a＋b＋b＋3c

4 ≧⁴ a．b．b．3c 8

4 ≧⁴3ab²c 3ab²c≦16 ab²c≦ 16 3 等號在 a＝b＝3c ＝t 且 a＋2b＋3c＝8 時成立 解之得 a＝2，b＝2，c＝ 2

3，故在 a＝b＝3c＝2 時，等號成立

例題 8

設 x，y 均為正數，且 x＋2y＝12，則：

( )1 當數對（x，y）＝ 時，xy 有最大值為 ‧ ( )2 當數對（x，y）＝ 時，xy² 有最大值為 ‧ 解析： ( )1 x＋2y

2 ≧ 2xy 2xy ≦6 2xy≦36 xy≦18

等號在 x＝2y＝t 且 x＋2y＝12 時成立，解之得 x＝6，y＝3 故當數對（x，y）＝（6，3）時，xy 有最大值為 18 ( )2 x＋y＋y

3 ≧³xy^{2 3}xy² ≦4 xy²≦64

等號在 x＝y＝t 且 x＋2y＝12 時成立，解之得 x＝4，y＝4 故當數對（x，y）＝（4，4）時，xy² 有最大值為 64

4 例題 9

設 x，y 均為正數，且 xy²＝54，則當數對（x，y）＝ 時，2x＋y 有最小值為 ‧ 解析： 2x＋ 1

2 y＋ 1 2 y

3 ≧ ³ （2x）×（ 1

2 y）×（ 1 2 y）

2x＋y

3 ≧ ³ 1 2 xy² ≧

3 1

2×54 ＝3 2x＋y≧9

等號在 2x＝ 1

2 y＝t 且 xy²＝54 時成立，解之得 x＝ 3

2 ，y＝6 故當數對（x，y）＝（ 3

2 ，6）時，2x＋y 有最小值為 9 例題 10

設 x，y，z 均為正數，且 x＋2y＋3z＝12，則當序組（x，y，z）＝ 時，xy²z 有最大值為 ‧

解析： x＋y＋y＋3z

4 ≧⁴ xy²（3z）＝⁴3xy²z 12

4 ≧⁴3xy²z 3xy²z≦81 xy²z≦27

等號在 x＝y＝3z＝t 且 x＋2y＋3z＝12 時成立，解之得 x＝3，y＝3，z＝1 故當序組（x，y，z）＝（3，3，1）時，xy²z 有最大值為 27

例題 11

若 a 為正數，則當 a＝ 時，a＋2＋ 36

a＋4 有最小值為 ‧ 解析：∵a＞0 ∴a＋4＞0

（a＋4）＋ 36 a＋4

2 ≧ （a＋4）× 36

a＋4 ＝ 36 ＝6 a＋4＋ 36

a＋4 ≧12 a＋2＋ 36

a＋4 ≧10 等號在 a＋4＝ 36

a＋4 時成立 （a＋4）²＝36 a＋4＝6 或－6 a＝2 或－10（不合）

故當 a＝2 時，a＋2＋ 36

a＋4 有最小值為 10

5 例題 12

已知一長方體的體積為 64 立方公尺，則其表面積之最小值為 平方公尺‧

解析：設長為 x 公尺，寬為 y 公尺，高為 z 公尺，則 xyz＝64

又 xy＋yz＋zx

3 ≧³（xy）（yz）（zx）＝³（xyz）² ＝³64² ＝16 xy＋yz＋zx≧48

2（xy＋yz＋zx）≧96

等號在 xy＝yz＝zx＝t 且 xyz＝64 時成立，解之得 x＝y＝z＝4 故當長、寬、高均為 4 公尺時，其表面積有最小值為 96 平方公尺

1︱2

2 ︱

1

3 ︱

2

二次不等式與高次不等式

1. 二次函數的恆正與恆負

f（x）＝ax²＋bx＋c，a，b，c



( )1 ○^１ 若 f（x）＞0 恆成立（恆在 x 軸上方） a＞0，D＜0‧

○^２ 若 f（x）≧0 恆成立 a＞0，D≦0‧

( )2 ○^１ 若 f（x）＜0 恆成立（恆在 x 軸下方） a＜0，D＜0‧

○２ 若 f（x）≦0 恆成立 a＜0，D≦0‧

2. 一元高次不等式之解法：

( )1 先因式分解為一次因式或二次因式的乘積‧

( )2 再分別討論各因式之正、負情形即得其解‧

條件不等式

例題 1 聯立不等式



 x²－3x－4＜0

x³＋x²－8x－12＞0 之解為 ‧

■解：x²－3x－4＜0 （x－4）（x＋1）＜0

－1＜x＜4………○^１

x³＋x²－8x－12＞0 （x＋2）（x²－x－6）＞0

（x＋2）（x－3）（x＋2）＞0 （x＋2）²（x－3）＞0 x＞3 ………○^２

由○^１、○^２知 3＜x＜4

例題 2

不等式 x²－2x＋｜x－1｜＜1 之解為 ‧

■解： ( )1 當 x≧1 時，原式 x²－2x＋（x－1）＜1 x²－x－2＜0 （x－2）（x＋1）＜0

－1＜x＜2，又 x≧1 1≦x＜2

( )2 當 x＜1 時，原式 x²－2x－（x－1）＜1 x²－2x－x＋1＜1 x²－3x＜0

x（x－3）＜0 0＜x＜3，又 x＜1 0＜x＜1 由 ( )1 、 ( )2 知不等式 x²－2x＋｜x－1｜＜1 之解為 0＜x＜2

1︱2

2 ︱

1

3 ︱

2

二元一次不等式之幾何意義

設 L：ax＋by＋c＝0 表平面上一直線，而 a＞0，則：

( )1 ax＋by＋c＜0，表 L 左方但不包含 L 之半平面‧

( )2 ax＋by＋c＞0，表 L 右方但不包含 L 之半平面‧

( )3 ax＋by＋c≦0，表 L 左半平面與 L 之聯集，如圖 ( )^一‧ ( )4 ax＋by＋c≧0，表 L 右半平面與 L 之聯集，如圖 ( )^二‧

圖 ( )一 圖 ( )二

■註：若等號不成立，則以虛線表示‧

例題 3

若對任何實數 x，不等式 2x²＋ax＋2

x²－x＋1 ^≦3 恆成立，則實數 a 之範圍為 ‧

■解：

∵x²－x＋1＝（x－ 1 2）²＋ 3

4 恆正 故 2x²＋ax＋2

x²－x＋1 ≦3

2x²＋ax＋2≦3x²－3x＋3（同乘 x²－x＋1）

x²－（a＋3）x＋1≧0

∵對於任何實數 x 恆成立

∴D＝（a＋3）²－4≦0 a²＋6a＋5≦0

（a＋1）（a＋5）≦0

－5≦a≦－1

1︱2

2 ︱

1

3 ︱

2

例題 4

試作下列各不等式之圖形：

( )1 x＋3y＞3‧ ( )2 x－2y≦4‧ ( )3 y＜－3‧

■^解： ( )1 ( )2 ( )3

例題 5

試作下列各聯立不等式的圖形：

( )1



 ^{x－y－2≦0} x＋2y－8≧0

y≦4 ‧ ( )2 6－3x≦y－2≦x≦5‧ ( )3 （x＋y－4）（x－2y＋4）≦0‧

■^解： ( )1

( )2 6－3x≦y－2≦x≦5

即



 ^{6－3x≦y－2} y－2≦x

x≦5 

 ^3x＋y≧8 x－y≧－2 x≦5 ( )3

1︱2

2 ︱

1

3 ︱

2

例題 6

設 A（5，6），B（－3，0），C（2，－3）為坐標平面上的三個點，

( )1 試以聯立不等式表示△ABC 的內部（不含邊界）‧

( )2 若點 P（k，2k－1）為△ABC 內部任一點，則實數 k 的範圍為 ‧

■解：

( )1 ∵m^←→_AB＝ 6－0

5－（－3）＝ 6 8＝ 3

4

∴ ←→

AB 之方程式為 3x－4y＝－9

∵m^←→_BC＝ －3－0

2－（－3）＝－3 5

∴ ←→

BC 之方程式為 3x＋5y＝－9

∵m^←→_AC＝ 6－（－3）

5－2 ＝ 9 3＝3

∴ ←→

AC 之方程式為 3x－y＝9 故以



 ^{3x－4y＞－9} 3x＋5y＞－9 3x－y＜9

表△ ABC 之內部 ( )2 ∵P（k，2k－1）為△ ABC 內部任一點

∴3k－4（2k－1）＞－9

－5k＞－13，即 k＜ 13

5 ………○^１ 3k＋5（2k－1）＞－9

13k＞－4，即 k＞－ 4

13 ………○^２ 3k－（2k－1）＜9，即 k＜8………○^３ 由○^１、○^２、○^３知 k 之範圍為－ 4

13 ＜k＜ 13 5

1︱2

2 ︱

1

3 ︱ 2

二次函數的極值

設 a，b，c 為實數，a≠0，對給定的二次函數 f（x）＝ax²＋bx＋c＝a（x＋ b

2a ）²－ b²－4ac 4a ( )1 若 a＞0 時，則當 x＝－ b

2a ，f（x）有最小值為－ b²－4ac 4a ‧ ( )2 若 a＜0 時，則當 x＝－ b

2a ，f（x）有最大值為－ b²－4ac 4a ‧ 例題 7

在二元一次聯立不等式

 



的可行解區域中，有 個格子點‧

■解：

 



，x，y



以上不等式組作圖如右 故（x，y）的非負整數解為

y 1 2 3 4

x 7 5，6，7 4，5，6 3，4，5

（x，y）共有 1＋3＋3＋3＝10 組解 故有 10 個格子點

例題 8

設函數 f（x）＝4－ x²－2x＋5 ，則當 x＝ 時，f（x）有最大值為 ‧

■^解：f（x）＝4－ x²－2x＋5

＝4－ （x－1）²＋4

當 x＝1 時，f（x）有最大值為 4－ 0²＋4 ＝4－2＝2

1︱2

2 ︱

1

3 ︱

2

例題 9

設 f（x）＝（x²－2x＋3）（x²－2x＋4）＋x²－2x＋5，則當 x＝ 時，f（x）有最 小值為 ‧

■解：令 t＝x²－2x＝（x－1）²－1≧－1

∴g（t）＝f（x）

＝（x²－2x＋3）（x²－2x＋4）＋x²－2x＋5

＝（t＋3）（t＋4）＋t＋5

＝t ²＋7t＋12＋t＋5

＝t ²＋8t＋17

＝（t＋4）²＋1，又 t≧－1

當 t＝－1，g（t）＝f（x）有最小值為 10，此時 x²－2x＝－1 x＝1 故當 x＝1 時，f（x）有最小值為 10

例題 10

設 x²＋4y²＝4，則 2x＋4y²＋5 之最大值為 ，最小值為 ‧

■解：∵x²＋4y²＝4 4y²＝4－x²≧0 x²≦4

－2≦x≦2

2x＋4y²＋5＝2x＋（4－x²）＋5

＝－x²＋2x＋9

＝－（x－1）²＋10，又－2≦x≦2 故當 x＝1 時，2x＋4y²＋5 有最大值為 10

當 x＝－2 時，2x＋4y²＋5 有最小值為 1

1︱2

2 ︱

1

3 ︱

2

例題 11

如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 12 公分，動點 P，Q，R 分別 在 ̅AB，̅BC，̅CD 上，且 ̅AP＝̅BQ＝ 1

2 ̅CR，設 ̅AP＝x，則：

( )1 △PQR 之面積為 ‧（以 x 表示）

( )2 當 x＝ 公分時，△PQR 有最小面積為 平方公分‧

■解： ( )1 由右圖知

△PQR 之面積

＝正方形面積－△BPQ 面積－△CQR 面積

－梯形 APRD 面積

＝12×12－ 1

2×x×（12－x）－ 1

2×2x×（12－x）－ 1

2（x＋12－2x）×12

＝144－6x＋ 1

2 x²－12x＋x²－72＋6x

＝ 3

2 x²－12x＋72 ( )2 由 ( )1 知△PQR＝ 3

2 x²－12x＋72＝ 3

2（x²－8x＋16）＋48＝ 3

2（x－4）²＋48 故當 x＝4 公分時，△PQR 面積有最小值為 48 平方公分

例題 12

拋物線Γ：y²＝9x 上一點與直線 L：3x－4y＋24＝0 距離最短之坐標為 ，又最 短距離為 ‧

■解：設 P（t ²，3t）為拋物線 y²＝9x 上一點 則 P 點到直線 L 之距離為 ｜3t²－12t＋24｜

3²＋（－4）² ＝｜3（t－2）²＋12｜

5 當 t＝2 時，距離有最小值 12

5 故當 P（4，6）時，有最短距離為 12

5

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

線性規劃

1. 線性規劃：若一個應用問題涉及兩個變數 x，y，且 x，y 受到幾個二元一次不等式 的限制，又 P 是一個 x 與 y 的一次函數，則求 P 的最大值或最小值的問題就稱為 線性規劃‧其中 x，y 稱為決策變數，聯立不等式組稱為限制條件，滿足聯立不等 式組的圖形稱為可行解區域，而函數 P 稱為目標函數‧

2. 線性規劃問題的解題步驟

( )1 依題意，將所予條件列出 x，y 之不等式或不等式組‧

( )2 將不等式組以圖示之：

○^１ 若求最大值，則圖形為封閉的凸多邊形區域‧

○^２ 若求最小值，則圖形經常是開放區域‧

( )3 令欲求之式為 k：

○^１ 若求最大值，則必存在於凸多邊形的頂點‧

○^２ 若求最小值，則考慮其幾何意義‧

線性規劃

例題 1

試在聯立不等式

 



的條件下，求 4x＋12y 之最大值為 ‧

■解：

由 （x，y） 4x＋12y

（0，0）

（5，0）

（3，8）

（0，10）

0 20 108

120……最大 故 4x＋12y 之最大值為 120

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

例題 2

試在聯立不等式

 



2x＋7y≧20 x≧0

y≧0

的條件下，求 x＋2y 之最小值為 ‧

■解：不等式之圖形如右所示

由 （x，y） （0，8） （1，4） （3，2） （10，0）

x＋2y 16 9 7 10

知 x＋2y 之最小值為 7

例題 3

若（x，y）為聯立不等式



 3x＋y^≧9 x－2y≦－4 x＋5y≦31

所表示圖形上的任一點，且 P＝kx＋y 在

（1，6）有極小值時，則 k 的範圍為 ‧

■解：

聯立不等式



 ^3x＋y≧9 x－2y≦－4 x＋5y≦31

之圖形如右圖三角形的區域 其頂點為（1，6），（2，3），（6，5）

（x，y） （1，6） （2，3） （6，5）

P＝kx＋y k＋6 2k＋3 6k＋5

∵P＝kx＋y 在（1，6）有極小值

∴  k＋6≦2k＋3

k＋6≦6k＋5  ^k≧3 k≧ 1

5，故 k≧3

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

應用問題

有關線性規劃的應用問題的解法可按下列步驟進行：

( )1 列表‧

( )2 求出不等式組與目標函數‧

( )3 作出可行解區域，求出頂點坐標‧

( )4 將頂點代入目標函數‧

例題 4

在一個牽涉到兩個未知量 x，y 的線性規劃作業中，有三個限制條件‧坐標平面上符 合這三個限制條件的區域是一個三角形區域‧假設目標函數 ax＋by（a，b 是常數）在 此三角形的一個頂點（19，12）上取得最大值 31，而在另一個頂點（13，10）取得最 小值 23‧現因業務需要，加入第四個限制條件，結果符合所有限制條件的區域變成一 個四邊形區域，頂點少了（19，12），新增了（17，13）和（16，11）‧在這四個限制 條件下，請選出正確的選項‧

( )A ax＋by 的最大值發生在（17，13） ^{( ) B} ax＋by 的最小值發生在（16，11）

( )C ax＋by 的最大值是 30 ( )D ax＋by 的最小值是 27‧ 【92.指考甲】

■解：設目標函數 f（x，y）＝ax＋by 則 f（19，12）＝19a＋12b＝31

f（13，10）＝13a＋10b＝23

∴a＝b＝1，亦即 f（x，y）＝x＋y 又 f（17，13）＝17＋13＝30

f（16，11）＝16＋11＝27

∴後來的最大值為 30，最小值為 23 故選 ( )A ( )C

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

例題 5

南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤，該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草 藥，每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品‧中草藥每公斤可獲利 5000 元，健康食品每 公斤可獲利 100 元；根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤，健康食品最大 需求量為 1800 公斤‧如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤，並製成健康食品 y 公 斤，設 P 為其可獲利潤‧

( )1 試以 x，y 表示 P‧

( )2 如果想獲得最大利潤，則 x，y 的值為何？說明理由‧ 【93.指考乙】

■解： ( )1 由題意得 P＝5000x＋100y

( )2 因



 ^0≦x≦30 0≦y≦1800 200x＋5y≦10000

，即 

 ^0≦x≦30 0≦y≦1800 40x＋y≦2000 其圖形如右，頂點是

（0，1800），（0，0），（30，0），（30，800），

（5，1800），又

（x，y） P＝5000x＋100y

（0，1800） 180,000

（0，0） 0

（30，0） 150,000

（30，800） 230,000……最大

（5，1800） 205,000

故當 x＝30，y＝800 時，可獲得最大利潤 230,000 元

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

例題 6

為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A，

至少 72 單位的營養素 B 和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群‧這三種營養素可由兩 種飼料中獲得，且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位的營養素 A，3 單位的營 養素 B 與 3 單位的營養素 C；第二種飼料每公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A，6 單位的營養素 B 與 2 單位的營養素 C‧

( )1 若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料就能符合營養師吩 咐，則除了 x^≧0，y^≧0 兩個條件外，寫下 x，y 必須滿足的不等式組‧

( )2 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求，則 x，y 的值為何？最少

的飼料成本又是多少？ 【95.指考乙】

■解： ( )1 依題意，整理資料如下：

營養素

飼料 A B C 售價 第一種飼料（x） 7 3 3 5（元／公斤）

第二種飼料（y） 2 6 2 4（元／公斤）

由以上可知

 



x≧0，y≧0

  

（0，42） （6，21） （18，3） （24，0）

5x＋4y 168 114 102

最小 120 當 x＝18，y＝3 時，5x＋4y 有最小值 102

故使用第一種飼料 18 公斤，使用第二種飼料 3 公斤可得最少的飼料成本 102 元

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

例題 7

某歌唱訓練班根據以往的經驗得知：每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提 升歌手的形象指數 5 點，知名度指數 10 點；反之，若是在電台上，同樣花 10 萬元替 歌手打廣告，則可以提升歌手的形象指數 6 點，知名度指數 4 點‧根據市場調查發現 成為名歌星的形象指數至少 160 點，知名度指數亦至少 160 點，而且綜合指數（形象 指數與知名度指數的和）至少 360 點‧試問：歌唱訓練班要讓一位新歌手（假設其形 象指數與知名度指數皆為 0）成為名歌星至少應該花多少廣告費？這些廣告費報章雜 誌與電台應各分配多少，效果最好‧（請在坐標平面上畫圖求解） 【91.指考乙】

■解：設需花費報章雜誌費 10x 萬元，電台費 10y 萬元

則

 



10x＋4y≧160

15x＋10y≧360

  

5x＋2y≧80 3x＋2y≧72 欲求目標函數 f（x，y）＝x＋y 之最小值 作不等式組之圖形如右

（x，y） f（x，y）＝x＋y

（32，0） 32

（14，15） 29 →最小值

（4，30） 34

（0，40） 40

∴廣告費應分配報章雜誌 140 萬元，電台 150 萬元，

可得最小花費為 290 萬元

1︱3

2 ︱

1

3 ︱

3

例題 8

某公司所生產的產品存放在甲、乙兩倉庫分別有 50 單位，40 單位，現在市場 A，市場 B 分別的需求量 是 20 單位，30 單位，右表是各倉庫運輸到各市場的 每單位運輸成本‧在滿足 A，B 市場的需求下，最節

省的運輸成本為 元‧ 【92.指考乙】

■解：設甲倉庫運送 x 單位至市場 A 運送 y 單位至市場 B

則乙倉庫運送（20－x）單位至市場 A 運送（30－y）單位至市場 B

 



0≦y≦30

 



目標函數 f（x，y）＝500x＋450y＋400（20－x）＋300（30－y）

＝100x＋150y＋17000

由 （x，y） （10，0） （20，0） （20，30） （0，30） （0，10）

100x＋150y＋17000 18000 19000 23500 21500 18500

∴當 x＝10，y＝0 時，最小運輸成本為 18000 元

市場 A 市場 B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 300 元

第 3章綜合

練習

2 ︱

1

3

1. 設 x，y，z 均為正數，且 x＋y＋z＝9，則當序組（x，y，z）＝ 時，

4 x＋ 9

y＋ 1

z 有最小值為 ‧

■解：

［（ x ）²＋（ y ）²＋（ z ）²］［（ 2

x ）²＋（ 3

y ）²＋（ 1

z ）²］≧（2＋3＋1）²

（x＋y＋z）（ 4 x＋ 9

y＋ 1

z）≧36 9×（ 4

x＋ 9 y＋ 1

z）≧36 4 x＋ 9

y＋ 1 z≧4 等號在 x

2 x

＝ y 3 y

＝ z 1 z

x 2 ＝y

3 ＝z

1 且 x＋y＋z＝9 時成立

解之得 x＝3，y＝ 9

2 ，z＝ 3 2 故當序組（x，y，z）＝（3， 9

2 ， 3

2）時， 4 x＋ 9

y＋ 1

z 有最小值 4

2. 設 a，b



■解：令 c＝1－2a－3b 2a＋3b＋c＝1

原題可改為已知 2a＋3b＋c＝1，求 a²＋b²＋c² 之最小值

（a²＋b²＋c²）（2²＋3²＋1²）≧（2a＋3b＋c）²

（a²＋b²＋c²）×14≧1 a²＋b²＋c²≧ 1 14 等號在 a

2 ＝b 3 ＝c

1 ＝t 且 2a＋3b＋c＝1 時成立 令 a＝2t，b＝3t，c＝t 代入得 4t＋9t＋t＝1

t＝ 1

14 a＝ 1

7 ，b＝ 3

14 ，c＝ 1 14 故當數對（a，b）＝（ 1

7 ， 3

14 ）時，a²＋b²＋（1－2a－3b）² 有最小值為 1 14

第 3章綜合

練習

2 ︱

1

3. 設△ABC 三邊長為 a＝̅BC＝4，b＝̅CA＝3，c＝̅AB＝5‧若 P 為三角形內部任一點，

且 P 到 ̅AB，̅BC，̅AC 之垂直距離依次為 x，y，z‧試求 xyz 之最大值為 ， 又此時序組（x，y，z）＝ ‧

■解：

∵△ ABC 之面積＝ 1

2×4×3＝6 又設 ̅PD＝x，̅PE＝y，̅PF ＝z 則△ ABC 之面積為

1

2×5×x＋ 1

2×4×y＋ 1

2×3×z＝6 5x＋4y＋3z＝12 由算術平均數≧幾何平均數知 5x＋4y＋3z

3 ≧³ 5x．4y．3z 60xyz≦（ 12

3 ）³＝64 xyz≦16 15

等號在 5x＝4y＝3z 且 5x＋4y＋3z＝12 時成立 解之得 x＝ 4

5 ，y＝1，z＝ 4 3 故當序組（x，y，z）＝（ 4

5 ，1， 4

3）時，xyz 之最大值為 16 15

4. 二次不等式 ax²－2ax＋2a－5＜0 的解為－1＜x＜3，則 a＝ ‧

■解：以－1＜x＜3 之解的不等式為（x＋1）（x－3）＜0，即 x²－2x－3＜0

∵ax²－2ax＋（2a－5）＜0 的解也為－1＜x＜3

∴ax²－2ax＋（2a－5）＜0 與 x²－2x－3＜0 為同義不等式 故 a

1 ＝－2a

－2＝ 2a－5

－3 且 a＞0，交叉相乘得

－3a＝2a－5 a＝1

第 3章綜合

練習

2 ︱

1

5. 不等式｜2x－3｜＜5－x² 之解為 ‧

■解：

( )1 當 x≧ 3

2 時，｜2x－3｜＜5－x² 2x－3＜5－x² x²＋2x－8＜0 （x＋4）（x－2）＜0

－4＜x＜2，但 x≧ 3

2 ∴ 3

2≦x＜2 ( )2 當 x＜ 3

2 時，｜2x－3｜＜5－x² －2x＋3＜5－x² x²－2x－2＜0 1－ 3 ＜x＜1＋ 3 ，但 x＜ 3

2 ∴1－ 3 ＜x＜ 3 2 取 ( )1 、 ( )2 之聯集得 1－ 3 ＜x＜2

6. 滿足 x＋y

2 ＝ y＋z

3 ＝ z＋x

7 之實數 x，y，z 恆能使不等式

x²＋y²＋z²＋a（x＋y＋z）＞－26 成立，則實數 a 的範圍為 ‧

■解：令 x＋y

2 ＝ y＋z

3 ＝ z＋x 7 ＝k

則



 ^x＋y＝2k y＋z＝3k z＋x＝7k 

 ^x＝3k y＝－k z＝4k

代入原式得

9k ²＋k ²＋16k ²＋a（3k－k＋4k）＞－26 恆成立 26k ²＋6ak＋26＞0 恆成立

∴D＝（6a）²－4×26×26＜0 9a²＜26×26

－ 26

3 ＜a＜ 26 3

第 3章綜合

練習

2 ︱

1

7. 如右圖，可用下列哪一組不等式表示？

( )A



 ^x－y＞0

2x－5y－10＜0 x＋y－3＞0

( ) B



 ^x－y＞0

2x－5y－10＞0 x＋y－3＜0

( )C



 ^x－y＜0

2x－5y－10＜0 x＋y－3＜0

( )D



 ^x－y＞0

2x－5y－10＜0 x＋y－3＜0

( )E



 ^x－y＞0

2x－5y－10＞0 x＋y－3＞0

■解：斜線部分在 x－y＝0 之右半平面 在 2x－5y－10＝0 之左半平面 在 x＋y－3＝0 之左半平面 故選 ( )D

8. 若 4x－y－7≦0，3x－4y＋11^≧0，x＋3y－5^≧0，則：

( )1 x－y 之最大值為 ，最小值為 ‧ ( )2 x²＋y² 之最大值為 ，最小值為 ‧ ( )3 x

y 之最大值為 ，最小值為 ‧

■解： ( )1 （x，y） x－y

（3，5） －2

（－1，2） －3……最小值

（2，1） 1……最大值 故最大值為 1，最小值為－3 ( )2 x²＋y²＝［ （x－0）²＋（y－0）² ］²

最大值為［ （3－0）²＋（5－0）² ］²＝34 最小值為［d（O，←→

BC ）］²＝（｜0＋0－5｜

10 ）²＝ 5 2 ( )3 設 x

y＝m，y＝ 1

m x 1 m ≧ 1

2 或 1

m ≦－2

∴－ 1

2≦m≦2

∴ x

y 的最大值為 2，最小值為－ 1 2

第 3章綜合

練習

2 ︱

1

9. 欲製造一容積至少 108π 立方公尺的圓柱形無蓋容器，已知底半徑比高多 3 公尺，

則半徑至少為 公尺‧

■解：設底半徑為 x 公尺，則高為（x－3）公尺 則容積為π×x²×（x－3）≧108π

x³－3x²－108≧0

（x－6）（x²＋3x＋18）≧0 但 x²＋3x＋18 恆正

∴x－6≧0 x≧6 故半徑至少為 6 公尺

10. 某進出口公司有甲、乙兩座儲倉，儲存某種原料，甲倉 有原料 48 公噸，乙倉有原料 60 公噸，今公司接到 A，

B 兩地訂購原料，分別是訂購 A 地 36 公噸，B 地 44 公 噸，進出口公司洽商送貨公司得知運費如右表，單位 為元／公噸，問應如何運送，才能使運費最少？

■^解：設甲倉運 x 公噸至 A 地，y 公噸至 B 地

乙倉運（36－x）公噸至 A 地，（44－y）公噸至 B 地

由題意知

 



x＋y≦48

（36－x）＋（44－y）≦60

  

x＋y≦48 x＋y≧20

，且 x，y 為整數

欲求 500x＋600y＋（36－x）．650＋700．（44－y）

＝－150x－100y＋54200 之最小值

∵ （x，y） －150x－100y＋54200

（0，20） 52200

（20，0） 51200

（36，0） 48800

（36，12） 47600……最小值

（4，44） 49200

（0，44） 49800

亦即甲倉運 36 公噸至 A 地，運 12 公噸至 B 地；乙倉運 0 公噸至 A 地，運 32 公 噸至 B 地，可使運費最少為 47600 元

A 地 B 地 甲倉 500 元 600 元 乙倉 650 元 700 元