正負數的概念及其加減運算(續)

正負數的概念及其加減運算（續）

林保平

臺北市立師範學院 數資系

減法 的運 算規 則

在 作 減 法 運 算 時 ， 若 從 數 線 模 式 的 溫 度 來 看 ， 我 們 可 以 比 較 同 一 地 點 的 溫 度 ， 看 其 溫 度 的 變 化 ， 因 此 就 會 有 原 來 溫 度 及 最 後 溫 度 兩 個 位 置 量 ， 溫 度 的 變 化 的 減 法 規 則 ：「 溫 度 的 變 化 ＝ 最 後 溫 度- 原 來 溫 度 」，可 以 建 立 在 學 生 的 舊 經 驗 上，例 如 ， 原 來 氣 溫 20 度 ， 最 後氣 溫 25 度 ， 氣 溫 上 升 25-20 。 若 要 透 過 兩 地 氣 溫 高 低 的 比 較，來 看 溫 度 相 差 多 少，此 時，就 要 用「 甲 地 氣 溫-乙 地 氣 溫」來 看 甲 地 比 乙 地氣 溫 高 多 少 度 。 但 這 種 引 入 若 數 值 不 好 ， 會 有 像 甲 地 乙 地 氣 溫 高 -5 度 的 描 述 方 式 ， 較 不 自 然 ， 但 邏 輯 上 是 說 得 通 的 。 對 初 學 的 學 生 不 宜 ， 不 過 學 生 對 正 負 有 了 較 深 的 認 識 之 後，這 種 抽 象 推 理 的 學 習 應 是 必 要 的（ 參 看 本 文 p5)。 通 常 課 本 處 理 減 法 運 算 都 是 透 過 將 減 法 看 成 加 法 後 再 運 算 ， 並 未 獨 立 建 立 減 法 的 運 算 規 則 。 其 實 減 法 也 有 類 似 於 加 法 的 運 算 規 則 ， 我 們 建 議 教 師 可 考 量 ， 在 課 本 或 學 生 習 作 中 ， 提 供 學 生 仿 照 加 法 運 算 規 則 建 立 的 方 式 ， 自 行 歸 納 建 立 減 法 運 算 規 則（ 但 不 強 調 減 法 規 則 的 記 憶 ），這 對 學 生 而 言 ， 應 是 不 錯 的 思 考 訓 練 。 減 法 的 運 算 規 則 如 下 ： 若 大 數 減 小 數 ， 結 果 取 正 號 ， 若 為 小 數 減 大 數 ， 結 果 取 負 號 。 同 號 數 相 減 ， 將 兩 數 的 絕 對 值 相 減 （ 大 的 減 小 的 ）， 再 將 符 號 加 入 。 異 號 數 相 減 ， 將 兩 數 的 絕 對 值 相 加 ， 再 將 符 號 加 入 。 規 則 的 建 立 也 可 以 仿 照 前 述 加 法 規 則 建 立 的 步 驟 ， 請 看 下 例 ： 例 、 某 冷 凍 庫 ， 第 一 天 將 溫 度 調 至 5 度 ， 第 二 天 進 貨 之 後，將 溫 度 調 到 零 下 20 度 ， 請 問 這 個 冷 凍 庫 第 一 天 到 第 二 天 溫 度 的 變 化 是 多 少 度 ？ 1.冷 凍 庫 溫 度的 變 化 ， 列 成 算 式 為： - A：(-20)-(+5) 或 (-20)-5 （ 註 ：「 最 後 溫 度-原 來 溫 度 」 應 就 兩 溫 度 均 為 正 數 時 ， 先 討 論 ， 此 處 即 可 類 推 ） 2. 兩 刻 度 異 號 ， 溫 度 的 變 化 是 調 升 或 調 降 ？ 調 降 降 幾 度 ？ 列 式 說 明 如 何 算 的 ？ A： 調 降 25 度, 20+5 （ 註 ：20 +5 是 兩 數 絕 對 值 相 加 ） 3. 溫 度 的 變 化 是 度 （ 用 正 負 數 表 示 ） A：-25 4.將 1、2 及 3 列 算 式 為 – ＝ - ( + )= A：(-20)-(+5)= -(20+5)= -25

利 用 如 圖 七 所 示 的 溫 度 計 圖 形 ， 可 幫 助 學 生 看 出 「 異 號 數 相 減 時 ， 兩 數 絕 對 值 相 加 」，「 同 號 數 相 減 ， 兩 數 絕 對 值 相 減 」 的 意 義 。 圖 七 溫度 變 化 的 有 向 線 段 圖 示

減法 運算 看成 加 法運 算

大 部 分 課 本 ， 處 理 正 負 數 的 減 法 ， 都 用 「 減 法 可 以 看 成 加 法 」 來 處 理 ， 但 對 於 為 什 麼 會 想 到 減 法 可 以 看 成 加 法 ， 並 未 有 引 導 的 過 程 ， 大 部 分 的 課 本 均 馬 虎 帶 過 ， 以 告 知 或 比 較 的 方 式 處 理 。 例 如 ， 知 道 列 出 （-2）-（-3）並 透 過 操 作 或 數 算數 線 間 格 得 知(-2)-(-3) = +1 之 後，用 與 (-2)+(+3) = +1 比 較 的 方 式 ， 看 出 (-2)-(-3)= (-2)+(+3)， 最 後 歸 納 得 「 減 去 一 個 數 ， 就 是 加 上 該 數 的 相 反 數 。 其 實 用 電 荷 相 消 模 式 ， 計 算 (-2) - (-8)時，（ 參 看 本 文 p10）， 可 以 不 管 原 來 有 幾 個 負 電 荷 ， 先 補 入 要 拿 走 的 負 電 荷 數 量 8 負 8 正，（ 其 實 此 處 只 要 補 6 負 6 正即 可 ， 好 像 比 較 笨 ， 但卻 可 以 得 到 不 錯 的 結 論，「 要 減 幾 個 就 補 幾 對 」是 正 數 減 負 數 或 負 數 減 正 數 時 的 方 法 ），再 拿 走 8 個 負 電荷 ， 剩 下 原 有 的 2 負 電 荷及 加 入 的8 正電 荷 ， 嚴 格 地 列 式 可 記 為 (-2) - (-8) ＝ (-2)+[(+8)+(-8)]-(-8) = (-2)＋ （ ＋8） 這 樣 的 處 理 方 式 正 好 展 現 並 說 明 了 「 減 一 個 數 就 是 加 上 這 個 數 的 相 反 數 」，指 出 減 法 與 加 法 的 關 係 。 其 實 透 過 撲 克 牌 ， 紅 黑 點 計 分 問 題 也 可 以 讓 學 生 討 論 減 法 看 成 加 法 ， 減 一 個 數 就 是 加 上 它 的 相 反 數 。 下 例 為 引 導 學 生 思 考 的 活 動 。 例 、 撲 克 牌 中 的 紅 心 和 方 塊 點 數 代 表 得 分 (每一 點 代 表 得 1 分)， 黑 桃 和 梅 花點 數 代 表 失 分(每 一 點 代 表 失 1 分)。 計 算 總 分 時 ， 得 失 分 相 抵 銷 ， 若 最 後 得 5 分，總 分記 為 ＋5，若 為 失 5 分，總 分 記 為 －5 分。（ A 表 示 一 點，J 表 示 11 點 ，Q 表 示 12 點 ，K 表 示 13 點 ） 1.世 軒 有 兩 張 牌 ， 一 張 是 紅 心 K， 另 一 張 是 黑 桃 7。這 2 張 牌合 起 來 ， 是得 分 或 失 分 ？ 總 分 是 多 少 ？ A：(+13)+(-7)=+6， 得 分 ， 總 分 ＋6 2.現 在 輪 到 世 軒 ， 他 可 以 抽 牌 或 丟 牌 。 在 他 抽 牌 或 丟 牌 後 ， 總 分 紀 錄 是-7。 說 說 看 ， 他 此 次 可 能 是 抽 牌 或 丟 牌 ？ 或 兩 者 都 有 可 能 ？ 抽 牌 或 丟 出 的 牌 ， 可 能 的 花 色 及 點 數 是 什 麼 ？ A：丟出 紅 心 13，或 抽 得 黑 桃 13，或 抽 得 黑 梅 13

3.用 分 數 來 描 述 撲 克 牌 ， 他 要 丟 幾 分 ， 或 抽 幾 分 就 會 使 總 分 變 成-7 分？ A： 丟+13 分或 抽-13 分 都 可 以 [註 ： 此 處 可 強 調 丟 +13 分 ， 與 抽 -13 分 結 果 相 同 ] 4.原 來 分 數 是 -6 分,，丟 13 分，用 算 式 計 算 總 分 時 記 為(-6) - (-13) = -7 抽-13 分 時 ， 用 算 式 計 算 總 分 時 記為 -6 + (+13) = -7 5.比 較 4 中兩 個 加 減 的 式 子 ， 你 有什 麼 結 論 ？ A： 一 個 數減 -13， 和 加 ＋13 是 一 樣 的 。 在 圖 八 的 幫 助 下 ， 與 學 生 的 討 論 應 更 容 易 。 總 共 ＋6 分 拿 走 ＋13 分 總 共 ＋6 分 加入 -13 分 圖 八 撲 克牌 對 「 減 一 餓 數 就 是 加 上它 的 相 反 數 」 的 圖 示 透 過 算 式 填 充 題 也 可 以 引 導 學 生 建 立 減 法 算 式 ， 下 例 利 用 水 位 變 化 來 處 理 。 例 2.水 庫 兩次 合 起 來 是 下 降 了 13 公 分 ， 第 二 次 水 位 下 降 5 公 分 ， 問 第 一 次水 位 是 上 升 或 下 降 多 少 公 分 ？ 回 答 下 列 問 題 。 1.兩 次 合 起 來的 水 位 變 化 是 公 分（ 用 正 負 數 表 示 ） 第 二 次 水 位 變 化 是 公 分（ 用正 負 數 表 示 ） 2.用 算 式 填 充， 可 將 算 式 列 成 A：（ ） ＋ （-5） ＝-13 仿 照 國 小 的 方 法，上 式 可 以 列 成 （ ） = - 。 A: （ ）= -13 – (- 5) 3. 看 水 位 圖 ， 若 將 第 二 次 的 水 位 變 化 還 原 ， 第 一 次 水 位 可 以 用 算 式 記 為 ＋ A：-13 + (+5) 4.比 較 2,3 可 知 - ＝ + 討 論 本 題 前 ， 應 先 處 理 合 於 國 小 算 式 填 充 題 互 逆 或 還 原 求 解 之 問 題 ， 改 變 上 題 的 數 字 及 方 向 ， 可 以 協 助 學 生 歸 納 「 減 掉 一 個 數 就 是 加 上 它 的 相 反 數 」。圖 九 展 示 利 用 動 態 程 式 ， 透 過 相 反 數 的 有 向 線 段 圖 示 ， 可 協 助 學 生 理 解 將 第 二 次 下 降 的 量 還 原 ， 就 是 將 總 變 化 量 加 上 第 二 次 水 變 化 量 的 相 反 數 。 6 -（＋13 ）= -7 6 ＋ （-13 ）= -7

圖 九 將 第二 次 水 位 還 原 的 圖 示 ， 此時 ， 總 變 化 加 上 還 原 量 就 是 第 一 次 水 位 變 化 。

兩數 差的 絕對 值 之幾 何意 義

由 於 正 負 數 的 減 法 已 經 討 論 （ 兩 刻 度 量 的 差 或 兩 變 化 量 的 差 ）， 亦 即 a-b 的 數 值 意 義 已 經 獲 得 ， 若 透 過 與b-a 之 比 較 ， 數 線 上 兩 點 間 的 距 離 是 兩 坐 標 差 的 絕 對 值，應 可 繼 續 討 論，由 於 牽 涉 到 ｜a-b｜ 的 符 號 表 示 會 較 困 難 ， 初 學 之 時 只 建 立 數 值 之 意 義 就 夠 了 之 探 討 。

分數 的加 減運 算

在 數 的 概 念 及 數 線 的 教 學 時 ， 許 多 課 本，將 正 負 分 數 的 加 減 運 算（ 或 乘 除 運 算 ） 與 整 數 分 開 為 兩 個 不 同 的 單 元 ， 事 實 上 正 負 小 數 及 分 數 ， 從 運 算 規 則 來 看 ， 其 實 與 整 數 的 運 算 是 一 樣 的 。 運 算 規 則 的 建 立 在 較 小 的 整 數 狀 況 下 ， 透 過 數 線 間 格 的 數 算 ， 或 黑 白 旗 子 的 數 算 ， 有 時 直 觀 便 可 知 其 結 果 ， 沒 有 必 要 運 算 過 程 ， 規 則 建 立 的 必 要 性 並 不 存 在 。 但 對 於 直 觀 無 法 直 接 處 理 的 分 數 運 算 ， 則 需 要 列 式 及 運 算 過 程 ， 例 如 5 4 8 7 ₋   ₊        = 35 32 56 56 ₋  ₊         = 35 32 56 56   −_ − _   = 3 56 − ，此 時，學 生 仍 只 是 使 用 小 學 的 通 分 技 能 ， 但 卻 可 看 出 異 號 數 相 加 時 規 則 的 重 要 性 ， 透 過 運 算 規 則 ， 含 負 數 的 運 算 ， 都 可 簡 化 為 不 含 負 號 的 運 算 。 規 則 建 立 的 過 程 當 然 是 事 先 討 論 整 數 ， 方 便 引 出 規 則 ， 再 推 廣 到 分 數 及 小 數 （ 在 數 線 模 式 下 ， 水 位 升 降 之 量 以 整 數 、 分 數 或 小 數 表 示 意 義 上 並 無 太 大 不 同 ）。而 分 數 的 比 較 大 小 也 應 在 含 在 正 負 數 的 大 小 比 較 單 元 ， 學 生 對 正 負 分 數 或 小 數 的 運 算 較 有 問 題 ， 其 實 是 由 於 分 數 及 小 數 本 身 的 複 雜 性 ， 而 非 正 負 概 念 的 問 題 。 因 此 ， 我 們 建 議 ， 在 加 減 規 則 建 立 之 後 ， 可 直 接 討 論 分 數 的 運 算 ， 做 為 規 則 的 應 用 。 事 實 上 分 數 的 加 減 運 算 ， 其 處 理 除 上 述 方 式 之 外 ， 另 一 處 理 的 方 法 是 擴 充 分 數 的 意 義 及 內 容 ， 使 其 分 子 分 母 都 可 以 是 負 整 數 ， 並 將 正 分 數 的 運 算 法 則 ， 擴 充 為 分 母 分 子 含 負 號 的 運 算 法 則 （ 更 基 本 的 說 法 是 擴 充 等 價 分 數 至 分 母 及 分 子 可 以 有 負 整 數 ）， 例 如 ， 有 理 數 的 加 減 法 則 ， 定 義 為

bd

bc

ad

bd

bc

bd

ad

d

c

b

a

_±

₌

_±

₌

±

_{，其 中 a,b,c,d 為} 整 數 ， 此 時 ， 正 有 理 數 的 加 減 法 就 擴 充 為 有 理 數 的 加 減 法 ， 上 例 即 可 處 理 為 5 4 5 4 ( 5) 7 8 4 35 32 ( ) 8 7 8 7 8 7 8 7 56 56 − − × × − − + = + = + = + × ×

35 32 3 3 56 56 56 − + − = = =− 。 這 種 方 式 的 運 算 ， 學 生 都 能 理 解 ， 才 算 理 解 有 理 數 的 運 算 ， 但 是 後 者 的 處 理 ， 相 當 麻 煩 ， 大 部 分 的 課 本 都 沒 有 詳 細 處 理 ， 是 屬 於 代 數 的 運 算 規 則 ， 由 於 純 代 數 的 規 則 使 用 於 純 數 字 的 的 運 算 ， 並 無 熟 練 之 必 要 ， 因 此 我 們 建 議 教 學 中 不 必 過 度 強 調 ， 能 套 用 就 好 ， 不 必 對 其 運 算 規 則 作 詳 細 的 引 導 ， 學 生 有 此 認 識 就 夠 了 。

分子 或分 母為 負 數之 分數

在 前 述 第 二 種 分 數 運 算 處 理 過 程 中 ， 牽 涉 到 分 數 的 分 子 或 分 母 有 負 號 的 問 題（ 如

2 2

,

,

2

3

3

3

−

−

− −

），此 時 分 數 的 意 義 是 什 麼 ？ 這 樣 的 分 數 是 如 何 形 成 的 呢 ？ 有 些 課 本 企 圖 以 數 線 及 分 割 的 方 法 討 論 ， 解 釋 時 將0 到-2 的 線 段分 割 成 3 等分，認 為 這 就 是

2

3

−

_{，但 事 實 上，圖 形 呈 現 的 仍 然 是}

2

3

， 因 為 這 仍 然 是 一 個 長 為 2 的線 段 平 分 為 3 等 分 （ 雖 然 此 線 段 在 原 點 的 右 邊 ）， 不 是

2

3

−

_{。看 不 出 這 種 處 理 解 決 了 任 何 問 題。事} 實 上 ， 像

2 2

,

,

2

3

3

3

−

−

− −

的 出 現 ， 無 法 透 過 分 數 出 現 的 原 始 意 義 來 解 釋 ， 應 由 分 數 意 義 的 擴 充 來 處 理 。 由 整 數 乘 除 的 運 算 法 則 ， 我 們 知 道

( 8) 2

− ÷ = − ÷

(8 2)

， 非 整 除 的 運 算 也 可 以 以 同 樣 的 想 法 處 理 ， 例 如 ，

8

( 8) 3

(8 3)

3

− ÷ = − ÷ = −

， 但 在 國 小 時 學 生 已 經 知 道 兩 數 相 除 可 以 寫 成 分 數 ， 前 式 若 依 照 舊 經 驗 處 理 寫 成 分 數 ， 就 變 成

8

( 8) 3

3

−

− ÷ =

， 但 這 個 數 是 學 生 不 知 其 意 義 的 數 ， 為 賦 于 意 義 ， 比 較 兩 式 就 應 規 定

8

8

3

3

− = −

較 為 合 理，透 過 這 樣 的 處 理，

8

3

−

的 意 義 就 建 立 出 來 ， 同 時 也 形 成 了

8

8

3

3

− = −

的 運 算 法 則 ， 同 樣 的 ，

3

,

3

8

8

−

− −

的 意 義 及 其 與 負 分 數 的 關 係 也 可 以 依 這 個 方 式 建 立 。 這 種 建 立 分 子 分 母 含 負 號 的 數 的 意 義 的 處 理 方 式 ， 雷 同 於 負 指 數 意 義 之 賦 于 及 擴 充 的 方 式 ， 例 如 30_,3-2 _{對 未 學 過 0} 指 數 或 負 指 數 的 學 生 來 說 是 無 意 義 的 ， 因 為 根 據 指 數 的 原 始 意 義 （ 幾 個 相 同 的 數 相 乘 的 簡 記 ）來 看，「0 個 3 或 -2 個 3 相 乘 」 並 無 意 義 ， 但 由 指 數 的 運 算 ， 學 生 應 能 發 現 類 似 5 5 3 2 3

3

3

3

3

−

=

=

利 用 指 數 相 減 的 原 理，若 將 此 原 理，運 用 如 下， 5 5 5 0 5

3

3

3

3

−

=

=

， 3 3 5 2 5

3

3

3

3

− −

=

=

就 形 成 正 指 數 意 義 無 法 解 釋 的 0 指 數 及 負 指 數 （ 嚴 格 地 說 ，31_{＝3 也} 是 規 定 的，因 1 個 3 相 乘 也 是 說 不通 的 ）， 若 要 探 明 或 建 立 負 指 數 或 0 指 數 的意 義 ， 回 頭 檢 視 5 5

3

1

3

=

及 3 5 2

3

1

3

=

3

， 就 可 確 定 3 0_＝ 1， 2 2

1

3

3

−

₌

_{之 規 定 的 合 理 性 了 ， 因 此 教 學} 時 ， 由 無 意 義 變 成 有 意 義 ， 其 實 是 一 種 規

約 ， 但 規 約 有 時 是 不 能 隨 便 規 定 的 ， 它 必 須 維 持 原 有 的 規 則 ， 不 與 原 有 的 規 則 矛 盾 。 在 數 學 上 意 義 的 擴 充 有 時 也 行 不 通 ， 例 如3÷0 不論 從 等 分 除 或 包 含 除 來看 都 是 無 意 義 的 （ 例 如 ，「3 個 糖 果 平 分給 0 個 人 ， 每 人 分 幾 個 ？ 」 或 「3 個 糖 果 ，每 人 分0 個 ， 可分 給 幾 個 人 ？ 」）， 但 我們 無 法 擴 充 其 意 義，因 為 不 論 規 定 3÷0 為 任 何 一 數 均 會 導 致 與 「 乘 除 互 逆 」 規 則 的 矛 盾 （

3 0

÷ =

x

⇒

3 0

= ×

x

⇒

3 0

=

）， 因 此 ，0 不 能 當 除 數 。

交換 律與 結合 律

國 小 學 生 對 正 數 的 加 法 與 乘 法 的 交 換 律 及 結 合 律 已 經 有 初 步 的 概 念 ， 牽 涉 有 負 數 的 加 法 的 算 式 中 ， 各 數 是 否 可 交 換 或 結 合 其 實 不 難 理 解 ， 許 多 課 本 ， 以 多 個 實 例 計 算 比 較 a+b 及 b+a ， 或 (a+b)+c 及 a+(b+c)之結 果 後，再 宣 告 兩 律 成立，是 建 立 兩 規 律 於 「 計 算 結 果 」 的 「 相 等 」 上 ， 此 法 對 未 曾 計 算 過 的 式 子 ， 並 無 類 推 的 作 用 ， 我 們 認 為 交 換 律 可 透 過 實 例 情 境 的 類 推 、 比 較 、 及 討 論 ， 引 導 學 生 自 行 建 立 ， 計 算 則 可 當 作 檢 驗 的 例 子 。 下 例 為 討 論 交 換 律 的 問 題 實 例 （ 此 處 採 4 卡 並 列 ， 因 2 卡 並 列 似 乎 太 過 簡 單,）。 例 、 撲 克 牌 中 ， 每 點 表 示 一 分 ， 紅 牌 表 示 得 分 ， 黑 牌 表 示 失 分 ， 得 分 用 正 數 表 示 ， 失 分 用 負 數 表 示 ， 計 算 總 分 時 ， 得 失 相 抵 銷 ， 試 比 較 下 列 三 組 撲 克 牌 的 總 分 ， 然 後 列 出 並 比 較 這 三 個 算 式 ， 說 說 看 你 有 什 麼 結 論 ？ (a) (b) (c) 結 合 律 則 可 利 用 簡 化 如 [（ -23456） ＋ （ ＋76543） ]＋ （ -76543） 的 計 算 方 式 予 以 討 論 。

加減 的混 合運 算

對 於 含 正 負 數 的 加 減 混 合 運 算 ， 有 許 多 不 同 的 方 法 ， 大 部 分 的 課 本 討 論 時 都 是 將 所 有 的 減 法 運 算 化 為 加 法 ， 然 後 依 序 或 運 用 加 法 的 交 換 律 或 結 合 律 對 該 加 法 式 子 作 簡 化 的 運 算 。 但 卻 遺 漏 了 一 個 重 要 的 算 法 ， 那 就 是 「 省 略 正 號 」 並 利 用 「 符 號 法 則 」 將 所 有 的 括 號 去 除 （ 因 此 式 子 中 只 有 運 算 符 號 ），然 後 將 要 加 的 數 及 要 減 的 數 分 別 加 起 來 ， 兩 者 再 相 減 ， 這 是 一 般 處 理 時 的 方 法 ， 我 們 建 議 教 學 中 必 需 有 這 種 方 法 的 討 論 。

五、 以電 腦程 式 呈現 的教 學模 型

電 腦 及 網 路 科 技 的 日 新 夜 異 ， 使 得 使 用 電 腦 協 助 教 學 成 為 未 來 的 必 然 趨 勢 ， 底 下 簡 介 紹 幾 個 我 們 發 展 的 程 式 ， 供 讀 者 上 網 參 考 使 用 。

一、 數線 簡介

本 程 式 展 示 數 線 形 成 的 過 程 ， 教 師 可 按 「 展 示 」 按 鈕 ， 由 電 腦 自 動 清 畫 面 並 展 示 數 線 的 形 成 過 程 ， 也 可 先 按 鈕 「 清 畫 面 」，再 依 序 按「 直 線 」、「 原 點 」、「 單 位 點 」、 「 手 動 」 等 按 鈕 後 ， 以 滑 鼠 向 左 及 右 方 拖 曳 ， 形 成 正 向 及 負 向 的 數 線 。 也 可 以 按 鈕 「 旋 轉 點 」 呈 現 旋 轉 點 ， 以 滑 鼠 拖 曳 使 數 線 以 非 水 平 線 的 方 式 呈 現 ， 程 式 也 提 供 選 擇 分 割 任 一 單 位 為 2-10 等 分 的 功能，方 便 討 論 數 與 點 間 的 對 應 關 係。選 擇 A、B、C 或 D 可 以 呈 現 把 手，移 動 其 位 置，可 以 就 位 置 與 學 生 問 答 討 論 其 坐 標 ， 也 可 以 按 「S」及「H」以 顯 示 或 隱 藏 其 坐標 值，如 圖 十 所 示 。 圖 十 數線 簡 介 程 式 起 始 畫 面

二、 數線 與蛙 跳

本 程 式 展 示 青 蛙 的 跳 躍 ， 呈 現 跳 躍 的 軌 跡 ， 可 輸 入 跳 躍 的 數 值 （ 正 負 數 ， 正 向 前，負 向 後，），可 以 固 定 跳 一 個 輸 入 的 量 （ 有 理 數 ）， 隨 機 跳 一 個 量（1-7 單 位，整 數 ）， 也 可 以 跳 至 規 定 的 位 置 （ 有 理 數 ）， 青 蛙 也 可 以 轉 變 方 向 ， 可 供 教 師 討 論 位 置 量 與 變 化 量 ， 瞭 解 在 數 線 上 量 呈 現 的 方 式 。 變 化 量 也 可 以 用 有 向 線 段 呈 現 ， 對 相 反 數 的 意 義 ， 也 可 有 探 討 （ 圖 十 一 ）。 圖 十 一 數 線 與 蛙 跳 程 式 呈 現 的 畫面

三、 正負 數的 加 減運 算

1.電 荷 相 消 模 模 型 （ 或 紅 黑 球 相 消 模 型 ） 本 程 式 可 展 示 電 荷 相 消 模 式 的 加 減 運 算 過 程 ， 可 選 加 、 減 、 乘 、 除 運 算 （ 乘 除 只 展 示 數 值 計 算 過 程 ），可 分 別 輸 入 兩 個 正 負 數 （ 輸 入 完 成 要 按 Enter 鍵 ， 使 用 的 正 負 電 荷 數（ 或 紅 黑 球 數 ），每 種 都 不 得 超 過40 個 ， 否 則 只 呈 現數 值 計 算 過程 ）， 再 按 「 操 作 」、「 繼 續 」、「 繼 續 」 … 至 該 鈕 再 出 現 「 操 作 」 為 止 ， 程 式 會 依 序 自 動 取 出 或 拿 走 正 負 電 荷 ， 並 呈 現 相 對 應 的 算 式 。 可 供 教 師 與 學 生 討 論 操 作 正 負 電 荷 數 量 之 方 法 及 意 義 。 圖 十 二 正 負 電 荷 相 消 模 式 型 呈 現的 畫 面 2.水 位 變 化 模 型 本 程 式 呈 現 一 個 或 兩 個 水 杯 （ 相 同 的 ），並 以 水 位 上 升 下 降 呈 現 正 負 數 的 加 減 法 ， 呈 現 水 位 升 降 的 過 程 ， 並 配 以 相 應 的 算 式 。 兩 個 水 杯 是 比 較 不 同 水 庫 水 位 時 使 用（ 減 法 ），例 如 某 日 兩 水 庫 原 來 水 位 一 樣 高 ， 一 個 月 後 ， 甲 水 庫 水 位 水 下 降 13 公 分 ， 乙 水 庫 水 位 上 升8 公 分 ， 此 時， 甲 水 庫 比 乙 水 庫 水 位 高 （ 或 低 ） 幾 公 分 ？ 幾 公 分 ？ 圖 十 三 為 原 題 列 式 為 「 甲 水 庫 水 位 變 化-乙 水 庫 水 位 變 化 」 時 的 圖 示 。 圖 十 三 水 位 變 化 模 呈 現 的 減 法 過程 3.滑 尺 操 作 模 型 本 程 式 提 供 可 滑 動 的 兩 條 直 尺 ， 兩 數 相 加 時，按「

±

」鈕 使 其 呈 現 “ ＋ ” 號（ 預 定 的 符 號 ）；兩 數 相 減 時，先 按「

±

」鈕 使 其 呈 現 ” -“ 號，此 時 上 方 直 尺 的刻 度 會 自 動 轉 向 ， 負 刻 度 在 右 方 ， 正 刻 度 在 左 方 （ 好 像 將 直 尺 轉 向 一 樣 ），找 出 和 或 差 的 步 驟 如 下 ： a.確 定 被 加 （ 減 ） 數下 方 直 尺 的 位置 b.將 上 方 直 尺的 原 點 ， 滑 往 該 位 置， c.看 加（ 減）數 在 上 方直 尺 的 位 置在 哪 裡 ， 對 照 下 方 直 尺 刻 度 ， 就 是 兩 數 之 和 （ 差 ）。 本 程 式 除 提 供 操 作 的 按 鈕 外 ， 直 尺 滑 動 時 ， 也 會 展 示 有 向 線 段 的 加 減 表 示 法 。 若 供 學 生 操 作 求 和 及 差 ， 對 年 紀 較 小 的 學 生 也 是 不 錯 的 活 動 ， 如 圖 十 四 。

圖 十 四 直 尺 操 作 模 型 呈 現 12-(-20) ＝ 32 的 畫 面 4.汽 車 行 進 模 型 本 程 式 類 似 滑 尺 加 減 ， 以 汽 車 面 向 為 準 ， 前 進 為 正 ， 後 退 為 負 （ 通 常 汽 車 開 始 時 均 面 朝 正 向 ），汽 車 行 進 時，會 將 對 應 的 有 向 線 段 畫 出 來 。 其 操 作 步 驟 如 下 ： a.輸 入 兩 數 ， 並 決 定要 作 加 法 還 是減 法 b.按 鈕「 開 始 」─ 程 式 會 清 除 畫面，汽 車 面 向 正 方 向 ， 並 依 第 一 數 的 大 小 及 方 向 行 進 之 後 ， 按 鈕 名 稱 會 變 為 「 繼 續 」。 c.再 按「 繼續 」─ 汽 車 會 依 第 二 數的 方 向 及 大 小 行 進 （ 若 是 作 減 法 ， 汽 車 會 先 轉 向 再 行 進，如 圖 十 五 所 示 ），按 鈕 名 稱 仍 為 「 繼 續 」。 d.再 按 一 次「 繼 續」，程 式 會 呈 現 兩量 相 加 或 相 減 的 結 果 （ 也 會 畫 出 與 結 果 相 應 的 有 向 線 段 ）， 按 鈕 名 稱 回 覆 為 「 操 作 」。 也 可 以 自 行 依 序 按 「 第 一 數 」、「 加 」 （ 或 「 減 」）「 第 二 數 」、「 結 果 」 等 鈕 ， 來 觀 察 汽 車 的 行 進 。 圖 十 五 汽 車 模 型 呈 現 減 法 時 ， 汽車 會 先 轉 向 再 依 輸 入 的 第二 數 行 進 （ 第 二 圖 ） 5.溫 度 計 模 型 本 程 式 呈 現 溫 度 計 （ 圖 十 六 ）， 可 以 手 動 或 輸 入 原 來 溫 度 及 最 後 溫 度 ， 並 按 鈕 「 圖 示 差 」 呈 現 溫 度 的 變 化 ， 可 作 為 討 論 減 法 規 則 的 模 型 ， 溫 度 計 也 可 以 水 平 或 鉛 直 呈 現 。

圖 十 六 溫 度 計 模 型 呈 現 的 畫 面 6.撲 克 牌 程 式 本 程 式 提 供 一 套 撲 克 牌 ， 及 兩 張 蓋 牌 ， 方 便 教 師 使 用 撲 克 牌 教 學 ， 可 鍵 入 相 關 指 令，移 動 撲 克 牌（ 至 相 應 的 坐 標 位 置， 以 撲 克 牌 的 左 下 角 定 位 置 ），可 供 教 師 上 課 時 ， 作 撲 克 牌 相 關 活 動 時 作 呈 現 之 用 。 圖 十 七 呈 現 一 些 撲 克 牌，問 題「 圖 中 第 二 列， 若 左 邊 兩 牌 點 數 之 和 與 右 邊 點 數 相 等 ， 問 蓋 牌 可 以 是 哪 一 張 牌 ？ 」 就 可 讓 學 生 討 論 加 法 的 算 式 填 充 題 。 圖 十 七 撲 克 牌 程 式 呈 現 的 畫 面

六、 結語

本 文 首 先 介 紹 了 正 負 數 及 其 加 減 運 算 ， 在 古 代 中 國 使 用 的 狀 況 ， 並 列 出 我 們 認 為 正 負 數 及 其 加 減 運 算 在 國 中 教 學 時 ， 所 應 完 成 的 能 力 指 標 ， 並 就 相 關 概 念 及 議 題 ， 提 出 討 論 ， 最 後 舉 例 列 出 我 們 所 發 展 的 與 正 負 數 教 學 有 關 的 電 腦 教 學 模 型 ， 供 國 中 教 師 教 學 之 參 考 ， 這 些 程 式 可 上 網 http://dynamath.idv.tw 或 http://動 態 數 學 網.tw 察 看 使用，希 望 對 國 中 教 師有 幫 助。

參考 書目

1.李 嚴 、 杜 石 然 （ 民 81） 中 國 古 代 數 學 簡 史 （4 版 ）。 九章 出 版 社 。 2.李 繼 閔 （ 民 81） 九 章 算 術 及 其劉 徽 注 研 究 。 九 章 出 版 社 。 3.郭 書 春 （ 民 84） 古 代 世 界 數 學 泰 斗 ─ 劉 徽 。 明 文 出 版 社 。

4.Bennett, A. B. & Musser, G.(1981). A concrete approach to integer addition and subtraction. In Kennethe E. Easterday & Loren l. Henry (Ed.) Activities for Junior

High School and Middle School Mathematics – Readings from the Arithmetic Teacher & Mathematics Teacher. Reston, VA: National Council

of Teachers of Mathematics.

5.Cajori, F. (1928, 1929) . A History of

Mathematical Notations. 2 volumes.

Lasalle, Illinois: The Open Court Publishing Co.

6.Duncan, R. K., & Saunders, W. J. (1980). Introduction to integers. Instructor, 90(3), pp.152-154.

7.Human, P., & Murray, H. (1987). Non-concrete approaches to integer arithmetic. In J. C. Bergeron, N. Herscovics, & C. Kieran (Eds.),

Proceedings of the Eleventh International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol. III, pp.

437-443). Montreal: Universite de Montreal.

8.Kohn, J. B. (1978). A physical model for operations with integers.

Mathematics Teacher, 71(9), pp. 734-736.

9.Smith, David Eugene (1860-1944). History of Mathematics, vol. I. New York: Dover Publications, Inc., 1958.

10.Smith, David Eugene. History of

Mathematics, vol. II. Boston: Ginn and

Co., 1925.

11.Thompson, F. M. (1988). Algebraic instruction for the younger child. In A. F. Coxford (Ed.), The ideas of algebra, K-12 (1988 Yearbook, pp.69-77). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.