5-1-1機率與統計(II)-條件機率與獨立事件

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(1)選修數學(I)1-1 機率與統計（II）-條件機率與獨立事件【問題】 1. 一事件在不同條件之下，所求得的機率是否會相同呢？ 2. 在甲抽中籤的情形之下，乙抽中籤的機會是否有受到影響呢？是提高？是降低？是不變？ 3. 公益彩券第一獎已經被刮出的情形下，甲去買一張彩券能刮中第一獎的機會是否受到影響？ 4. 袋中有 1 紅球 3 藍球，甲抽中紅球放回跟不放回的情形下，乙抽中紅球的機率是否受到影響？【定義】一般機率與條件機率： 1. P (B ) ：事件 B 發生的機率。 2. P ( B | A) ： A, B 為兩事件，且 P ( A) > 0，則在事件 A 發 A B 生的情況下，事件 B 發生的條件機率 P( A ∩ B) P ( B | A) = 。在已知事件 A 發生 A∩B ∩B P( A) 的情況下，事件 B 發生的條件機率，有時用”已知…時，求…的機率”來描述。註： (1) 條件機率的意義就是在條件限制下的樣本空間，處理某事件發生的機率。 (2) P ( A) > 0 不能寫成 A 非空集合。【性質】 1. 統計是依照獲得的不同資訊作不同的決策而得到不同的結論。 2. 一般求的機率是以 S 為樣本空間，即 P ( A) = P ( A | S ) 。 3. A ∩ B 在 A 中所占的比例，即以 A 當樣本空間來看，而且分母不為零。 4. 若樣本空間內各元素發生的機率相等，且樣本空間是有限集合，則條件機率 | A∩ B| | A∩ B| P( A ∩ B) |S| ，其中 P ( A) > 0 。 P ( B | A) = = = | A| | A| P ( A) |S| 【性質】條件機率的性質：設 P ( A) ≠ 0 ，則 1. P (φ | A) = 0 。 2. P ( A | A) = 1 。 3. 0 ≤ P ( B | A) ≤ 1 。 4. P ( B ' | A) = 1 − P ( B | A) 。 5. P ( B ∪ C | A) = P ( B | A) + P (C | A) − P ( B ∩ C | A) 。 6. 若 B ⊂ C ，則 P ( B | A) ≤ P (C | A) 。. 1.

(2) 【定理】 1. 兩個事件的乘法法則：設 A, B 為兩事件，且 P ( A) > 0 ，則 P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) 。設 A, B 為兩事件，且 P ( B ) > 0 ，則 P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A | B ) 。 2. 三個事件的乘法法則： P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A) P ( B | A) P (C | A ∩ B ) ，其中 P ( A) > 0, P ( A ∩ B ) > 0 。 3. n 個事件的乘法法則： P( A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 ∩ A2 )L P ( An | A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An −1 ) ，其中 P( A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An −1 ) > 0 。註：可用數學歸納法證明。【問題】 1. 若 A ⊂ B ，則 P ( B | A) = ？(解： 1) 2. 若 A ∩ B = φ ，則 P ( B | A) = ？(解： 0 ) 3. P (B ) 有可能大於 P ( B | A) ？等於 P ( B | A) ？小於 P ( B | A) ？ 4. 何種條件之下， P (B ) 與 P ( B | A) 會相等？【問題】 1. 一袋中有 n 支籤，其中 r 支有獎，甲、乙、丙三人依序每人抽一支籤， (1)若抽出後放回，則三人抽中有獎籤的機率相等？(解：相等) (2)若出後不放回，則三人抽中有獎籤的機率相等？(解：相等) 2. (1)抽出球後放回，若不知道第一個抽中球的顏色時,則是否 P (第一個紅)與 P (第二個紅)相同?(解：同) (2)抽出球後放回，若知道第一個抽中球的顏色時, 則是否 P (第一個紅)與 P (第二個紅)相同?(解：不同) 3. (1)抽出球後不放回，若不知道第一個抽中球的顏色時,則是否 P (第一個紅)與 P (第二個紅)相同?(解：同) (2)抽出球後不放回，若知道第一個抽中球的顏色時, 則是否 P (第一個紅)與 P (第二個紅)相同?(解：不同) 4. (1)從袋中 3 紅 2 藍抽出一球，甲抽完紀錄顏色後放回，乙再抽，則乙抽中紅 3 色之機率為何？(解： ) 5 (2)從袋中 3 紅 2 藍抽出一球，甲抽完紀錄顏色後不放回，乙再抽，則乙抽中 3 2 2 3 3 紅色之機率為何？(解： × + × = ) 5 4 5 4 5 【原理】 1. 抽籤原理：在 N 位學生中抽出 n 位學生當樣本，若每一次抽樣中每一位學生被抽中的機會均等，則每一樣本被抽中的機會均等。註：共有 CnN 個樣本。. 2.

(3) 【定義】 1. 分割：設 B1 , B2 ,L , Bn 為樣本空間 S 的 n 個互斥事件，且 S = B1 ∪ B2 ∪ L ∪ Bn ，則稱 B1 , B2 ,L , Bn 為 S 的一個分割。【性質】 1. 事件的分割：設 B1 , B2 ,L , Bn 為樣本空間 S 的一個分割，則對任意一事件 A ，恆有 A = S ∩ A = ( B1 ∪ B2 ∪ L ∪ Bn ) ∩ A = ( B1 ∩ A) ∪ ( B2 ∩ A) ∪ L ∪ ( Bn ∩ A) 。 2. 事件的機率：設 B1 , B2 ,L , Bn 為樣本空間 S 的一個分割，且 P( B1 ), P( B2 ),L, P( Bn ) 都不為 0 ，則對任意一事件 A ，恆有 P ( A) = P( B1 ∩ A) + P( B2 ∩ A) + L + P ( Bn ∩ A) = P( B1 ) P( A | B1 ) + P( B2 ) P( A | B2 ) + L + P( Bn ) P( A | Bn ) 。【定理】 1. 貝氏定理： P( A ∩ B) P( A ∩ B) P( A) P( A | B) P( B | A) = = = ， P( A) P( A ∩ B) + P( A ∩ B' ) P( B) P( A | B) + P( B' ) P( A | B' ) 其中 P ( A) > 0, P ( B ) > 0, P ( B ' ) > 0 。 2. 一般的貝氏定理：設 B1 , B2 ,L , Bn 為樣本空間 S 的一個分割，且 P( Bi ) ≠ 0, i = 1,2,L, n，若 A 是 S 的任一事件，且 P ( A) > 0 ，則對每個正整數 i,1 ≤ i ≤ n ，恆有 P ( A ∩ Bi ) P( Bi ) P ( A | Bi ) 。 P( Bi | A) = = n P ( A) ∑ P( Bk ) P( A | Bk ) k =1. 註： (1) 西元 1763 年在貝士(Thomas Bayes 十八世紀英國牧師)的遺著中所發現。 (2) 貝氏定理是統計學上統計推論的基礎，在定理中的 P( Bi ), i = 1,2,L, n ，稱為事前機率，必須是已知，在這個基礎下，才能推算事後機率 P( Bi | A) 。通常 P( Bi ) 的值是以過去的經驗為基礎，亦即有事件發生前的資訊為依據，才能推算事後的機率。 (3) 對某事件估計其發生的機率，即 P (B ) ，也就是事前機率（驗前機率）。經由抽樣，研究報告，或產品測試等資料的蒐集，重新對某事件估計其發生的機率，此更新後的機率即事後機率（驗後機率），貝氏定理就是提供計算這種機率的方法。 (4) 研究步驟即事前機率→新的資訊→貝氏定理→事後機率。【定義】 1. 互斥事件： A ∩ B = φ 時，稱 A, B 為互斥事件。 2. 相關事件：事前機率與事後機率不相等時，稱此兩事件有相關(相依)，即 P ( B ) ≠ P ( B | A) 。也就是事件 A 會影響事件 B 的機率，表示提供的資訊是有意義的。. 3.

(4) 【方法】表示條件機率各種情形之方法：常用有畫文氏圖、樹狀圖或列交叉分析表，三者其實是互通的。 1. 文氏圖：. A. B A∩B. 2.. 表格： B 集合 A P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) A' P ( A'∩ B ) = P ( A' ) P ( B | A' ) P(B) 計個數 A A' 計. 3.. B 21 18 39. B' 679 282 961. B' P ( A ∩ B ' ) = P ( A) P ( B ' | A) P ( A'∩ B ' ) = P ( A' ) P ( B ' | A' ) P (B' ). 計 700 300 1000. 機率 A A' 計. B 0.021 0.018 0.039. B' 0.679 0.282 0.961. 計 P( A) P ( A' ) S 計 0.7 0.3 1. 樹狀(形)圖：. B. P( A ∩ B) = P( A) P( B | A). B'. P( A ∩ B' ) = P( A) P( B'| A). B. P( A'∩ B) = P( A' ) P( B | A' ). B'. P ( A'∩ B ' ) = P( A' ) P( B'| A' ). 0.03. B. 0.021 = 0.7 × 0.03. 0.97. B'. 0.679 = 0.7 × 0.97. 0.06. B. 0.018 = 0.3 × 0.06. 0.94. B'. 0.028 = 0.3 × 0.94. P( B | A) A P ( B'| A). P( A) S. P( A' ) A'. P( B | A' ) P( B'| A' ). A 0.7 S. 0.3 A'. 4.

(5) 【定義】 1. 獨立事件與相關事件：設 A, B 為兩事件，若 P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) ，則稱 A, B 為獨立事件(或稱 A, B 互不相關)，否則稱兩事件相關（相依）。即事件 A 發生的機率不受事件 B 是否發生影響，同樣的事件 B 發生的機率不受事件 A 是否發生影響。若 A, B 兩事件不獨立時，稱 A, B 兩事件相關。註：上述兩事件獨立的定義中， P ( A), P ( B ) 都可以是 0 ；當 P ( A) 與 P (B ) 中有一個為 0 時， A, B 為獨立事件。( A 為空集合 ⇒ P ( A) = 0 ，但反向不成立。) 【性質】 1. 當 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 時，下列互為充要條件： (1) P ( A | B ) = P ( A) 。 (2) P ( B | A) = P ( B ) 。 (3) P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) 。 2. 獨立事件的性質：若 A, B 為獨立事件，則 (1) A, B ' 為獨立事件。(2) A' , B 為獨立事件。(3) A' , B ' 為獨立事件。證明： (1) P ( A ∩ B ' ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A) P ( B ) = P ( A)(1 − P ( B )) = P ( A) P ( B ' ) (2) P ( A'∩ B ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) = P ( B ) − P ( A) P ( B ) = P ( B )(1 − P ( A)) = P ( A' ) P ( B ) (3) P ( A'∩ B ' ) = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A) − P ( B ) + P ( A ∩ B ) = 1 − P ( A) − P ( B ) + P ( A) P ( B ) = (1 − P ( A))(1 − P ( B )) = P ( A' ) P ( B ' ) 【問題】 1. 若 P ( A | B ) = P ( B ) ，則事件 A, B 是否為獨立事件？(解：否) 2. (1)任意非空事件 A 與空事件是否為獨立事件？ (2)任意非空事件 A 與全事件是否為獨立事件？(解：(1)是(2)是) 3. 獨立事件與互斥事件有何差異？ 4. (1)設 A, B 為互斥事件，則 A, B 為獨立事件？ (2)設 A, B 為獨立事件，則 A, B 為互斥事件？(解：(1)否(2)否) 5. (1)當 A, B 為兩非空事件，且 A, B 為相關事件，則 A, B 是否為互斥事件？ (2)當 A, B 為兩非空事件，且 A, B 為互斥事件，則 A, B 是否為相關事件？ (解：(1)否(2)是) 6. 設 0 < P ( A) < 1，若 A, B 兩事件滿足 P ( B | A) = P ( B | A' )，則 A, B 為獨立事件？ (解：是) 【結論】 1. 設 A, B 為兩非空事件，若 A, B 為獨立事件，則 A, B 不為互斥事件。 (解： P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) ≠ 0 ⇒ A ∩ B ≠ φ ) 2. 設 A, B 為兩非空事件，若 A, B 為互斥事件，則 A, B 為相關事件。 (解： P ( A ∩ B ) = 0 但 P ( A) P ( B ) ≠ 0 ，故 A, B 為相關事件) 3. 當兩事件為獨立且互斥時，則兩事件中至少有一事件機率為零。 (解： P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 0 ⇒ P ( A) = 0 或 P ( B ) = 0 ) 5.

(6) 【定義】 1. 三個事件獨立：若事件 A, B, C 滿足下列條件 (1) P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) 。 (2) P ( B ∩ C ) = P ( B ) P (C ) 。 (3) P (C ∩ A) = P (C ) P ( A) 。 (4) P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A) P ( B ) P (C ) 。則稱 A, B, C 三事件獨立。註： (1) 若只滿足前三個條件，稱 A, B, C 兩兩獨立，此時 A, B, C 不一定是獨立事件，即前三個條件不保證第四個條件成立。例如：擲一硬幣兩次， A 表第一次正面、 B 表第二次正面、 C 表一正面一反面，則 A, B, C 兩兩獨立，但 P ( A ∩ B ∩ C ) ≠ P ( A) P ( B ) P (C ) 。 (2) 第四個條件不保證前三個條件成立。例如：擲骰子一次， A = {1,2,3} 、 B = {2,3,4} 、 C = {1,2,4,5} ，則 , 但、 P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A ∩ B ) ≠ P ( A) P ( B ) P ( B ∩ C ) ≠ P ( B ) P (C ) 、 P (C ∩ A) ≠ P (C ) P ( A) 。 2. n 個事件獨立：當事件 A1 ,L , An 滿足 P ( Ai1 ∩ L ∩ Aik ) = P ( Ai1 ) L P ( Aik ) 時，對任意 2 ≤ k ≤ n 時，其中 Ai1 ,L , Aik 為任取的 k 個不同事件，稱事件 A1 ,L , An 是獨立的。註： n 個事件獨立共需要滿足 C 2n + C 3n + L + C nn = 2 n − C0n − C1n = 2 n − 1 − n 個條件。【性質】 1. 設事件 A1 ,L , An 是獨立事件，則 P( A1 '∪ A2 '∪L ∪ An ' ) = 1 − P( A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An ) = 1 − P( A1 ) P ( A2 ) L P ( An ) 2. 若 A, B, C 為獨立事件，則 (1) A' , B, C 為獨立事件。 (2) A' , B ' , C 為獨立事件。 (3) A' , B ' , C ' 為獨立事件。 (4) A ∪ B ' 和 C 為獨立事件。證明： (3) A' , B ' , C ' 為獨立事件，則 A' , B ' 及 B ' , C ' 及 C ' , A' 皆為獨立事件，又 P ( A'∩ B '∩C ' ) = 1 − P ( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P ( A) − P ( B ) − P (C ) + P ( A ∩ B ) + P ( B ∩ C ) + P (C ∩ A) − P ( A ∩ B ∩ C ) = (1 − P ( A))(1 − P ( B ))(1 − P (C )) = P ( A' ) P ( B ' ) P (C ' ) 。【問題】 1. 若 A, B, C 兩兩為獨立事件，則 A, B, C 為獨立事件？(解：否) 2. 若事件 A, B, C 三事件獨立，則 A, B, C 是否兩兩獨立？(解：是). 6.

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