 速率與速度速率與速度

(1)

課程名稱：速率與速度課程名稱：速率與速度

編授教師：

中興國中楊秉鈞

(2)

 速率與速度

(3)

速率與速度的意義

 速率與速度：

（ 1 ）意義：

 速率：

 與時間的比值＝速率

 只描述物體運動的快慢，不包括方向，非向量。

 速度：

 與時間的比值＝速度

 可描述物體運動的快慢及方向，為向量。

路徑

位移

t V L

 



 時間

速率路徑

t V X



 



 時間

速度位移

時間

運動的長度運動快慢 



(4)

速率與速度的單位

 速率與速度：

（ 2 ）單位：

 常見單位：

 單位換算：

 10 cm / s ＝ m / s 。  90 Km / h ＝ m / s

長度單位時間單位單位 :

 

 

 t

V X

hr ) Km

( 小時

公里公尺秒 ( ms ) ₎

cms ( 秒公分

0.1 25

m s s

m s

m 25

18 90 5

3600 90 1000

1hr 90 1Km

Km hr

90       

m s Km hr



^⁵ ¹⁸

18

5

(5)

速率與速度的方向性

 速率與速度：

（ 3 ）方向性：

 說明例：若物體運動，費時 t 秒：（ t2 － t1 ＝△ t ）

0 X_A X_B 甲乙

運動路徑甲 → 乙乙 →甲甲 → 乙 → 甲

路程（ m ）位移（ m ）

所花時間（ s ） t t t

速率（ m/s ）速度（ m/s ）

 方向性：速率無方向；速度的方向，與的方向相同

 速度＞ 0 ：表示朝向運動  速度＜ 0 ：表示朝向運動  速度＝ 0 ：。

位移為零正負

A

B X

X 

A

B X

X  ＞ 0

A

B X

X 

B

A X

X  _{＜ 0}

) (

2 X_B  X_A

A

A X

X  _{＝ 0}

t X X_B  _A

＞ 0

t X X_B  _A

t X X _A  _B

＜ 0

 

t X X_B  _A 2

t X X _A  _A

＝ 0 位移

起點

位移  X  X

終點

 X

(6)

速率與速度的比較

 速率與速度：

（ 3 ）速度的方向性：

 比較：

 二物體若速度相等，其速率必相等且運動方向必相同。

 二物體若速率相等，其速率必相等但運動方向不一定相同。

甲、乙兩車：

速度；速率。

丙、丁兩車：

速度；速率。

乙甲 Kmh

60

Kmh 60

丙 Kmh

60

丁

Kmh 60

相等相等不相等相等

方向相同

大小相等

(7)

範例解說

1. 小王和家人於大坑登山步道健行，他幫爸爸計時，測得爸爸上山

的速率為 2.0 公里／小時，下山的速率則為 3.0 公里／小時，則

：

 爸爸往返此登山步道一趟的平均速率為何？公里／小時。

 爸爸往返此登山步道一趟的平均速度為何？公里／小時。

Kmhr X

X X

X

X X

L 2.4

6 5 2 3

2 V t

 



 

  速率

t 0 0 t

V X



 



  度

速

假設山路 X Km

X X

2.4 0

bar V

read

V  :

(8)

範例解說

2. 如圖為一時鐘，秒針長 15cm ，則當秒針由 3 的位置走到 6 的位置期間：

 針尖的平均速率為何？

cm ／ s 。

 針尖的平均速度為何？

cm ／ s ，方向。

1.57

cm s L

57 . 15 1

15 3.14

0.5 15

r/4 2

15 V t

 

 



 





四分之一個圓周長速率

cm s 2

15 t

V X



 

  15 2 速度

2

(9)

 速度對時間圖

V －

t

(10)

 速度對時間圖 習慣以速度當，時間當。

（ 1 ）物體靜止時：

 X-t 圖形呈。

 V-t 圖形呈。  說明例：一物體的位置與時間關係如下表

位置 5 5 5 5 5 5

時間 0 1 2 3 4 5

靜止時的 V-t 圖特徵

Y 軸

X 軸

落在 t 軸的水平線

1 0 3

5 5 0

1 5

V 5  



 



 



 



 



 



  .... ....

3 4

1 2

n n

t X t

t

X X

t t

X X

t X

X 5

t t

V

0

水平線

(11)

 速度對時間圖：

（ 2 ）物體等速運動時：

 V-t 圖形呈。  說明例一：一物體的位置與時間關係如下表

位置 -1 0 1 2 3 4

時間 0 1 2 3 4 5

X

t

V

t

 X-t 圖是向右的斜直線時  V 是正值的等速運動

等速運動的 V-t 圖特徵

斜直線

 

ms t

X t

t

X X

t t

X X

t X

n

n 1

1 3

0 2 0

1

V 0  



 



 



 



 



 



  1 ...

....

3 4

1 2

水平線（但不落在 t 軸上）

(12)

 速度對時間圖：

（ 2 ）物體等速運動時：

 V-t 圖形呈。  說明例二：一物體的位置與時間關係如下表

等速運動的 V-t 圖特徵

斜直線

水平線（但不落在 t 軸上）

位置 0 － 2 － 4 － 6 － 8 － 10

時間 0 2 4 6 8 10

 X-t 圖是向左的斜直線時  V 是負值的等速運動

 

ms

t X t

t

X X

t t

X X

t X

n

n 1

2 8 0

V 2   



 



 



 



 



 



  2 0 8 2 ...

....

3 4

1 2

X

t

V

-1 t

(13)

 速度對時間圖：

（ 3 ）物體變速運動時： V-t 圖呈或。  其中 V-t 圖斜直線為運動

變速運動的 V-t 圖特徵

斜直線曲線（拋物

線 .. ）

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

等加速度

等加速度運動加速度運動

（變速）

V 漸增

V 由 0 漸增，再減少，

又增加 V 由

0 ，漸增

V 漸減

V 漸增 V 由 0 ，漸

V 漸減增

V 漸減至 0 ，再漸增 V 由 0 ，漸

增

等加速度運動

加速度運動

(14)

物體有折返的特徵

 速度對時間圖：

（ 4 ）物體折返的特徵：

 或的方向改變，即表示物體有折返情形  X-t 圖的折返特徵：呈。

 V-t 圖的折返特徵：呈。

位移速度

位移方向變號（轉折）

速度方向（或位移）變號時

X

t

V

t t’

t’

 在 t’ 時刻，折返  在 t’ 時刻，折返

＋－

－

＋

－

(15)

＋

 速度對時間圖：

（ 5 ） V-t 圖形與時間軸所夾的面積：面積的大小＝。  面積大小為正值時：表示位移 0 ，朝向運動  面積大小為負值時，表示位移 0 ，朝向運動  面積大小為零值時，表示位移 0 ，。

V-t 圖下的面積意義

＋

位移

＞正

＜負

＝無位移

k V

t t

-k V

t t

k V

t t

kt X  



－

kt X  



＋ k

V

t b

t

2 ) ( k b t

X  





 2

X   kt



(16)

 速度對時間圖的特徵：

（ 1 ）物體時：呈水平線且落於 t 軸（ 2 ）物體運動時：呈水平線

（ 3 ）物體運動時：呈斜直線或曲線  其中 V-t 圖斜直線為等加速度運動

（ 4 ）速度對時間圖的折返特徵：速度有時。

（ 5 ）速度對時間圖下的面積＝。（指與 t 軸所夾的面積）

（ 6 ）速度對時間圖的交點意義：表此時間下，二物體相同。

V-t 圖的特徵

靜止等速度

變速

變號位移

速度 V

（如：丙）

（如：甲、乙、丁）

（如：乙、丁）

(17)

t’ t’

t’

延伸討論 t’ 時間下的位移

X甲



X乙



X丙



X丁



(18)

圖（一）圖（二）

範例解說

1. 圖（一）是甲運動過程的 X-t 圖與圖（二）是乙運動過程的 V-t 圖，

則：

 甲在運動過程中折返次。

 乙在運動過程中折返次。

2. 元祐參加直線折返跑比賽，如圖是他比賽過程中速度與時間關係圖，則：

 （）在元祐比賽過程中，他跑步速度的方向總共改變幾次？

　（ A ） 3 　（ B ） 4 　（ C ） 5 　（ D ） 8 。  若起跑點與折返點相距 15 公尺，

則他在比賽過程中共跑了幾公尺？

公尺。

3 2

A

60

＋－＋－＋＋

－

(19)

 等速度運動

(20)

等速度運動

 等速度運動：

（ 1 ）同義詞：等速運動＝等速度運動＝等速度運動（ 2 ）意義：

是物體以的方式運動，是、相等的運動

 等速度運動的運動軌跡必為。

（ 3 ）比較：

 等速運動等速率運動

 等速率運動為等速度運動

等速度速率方向

必為不一定

直線

A

B

等速度運動等速率運動

直線

 等時距下，間距相同。 直線軌跡。

 方向不同

 等時距下，間距相同。

(21)

等速度運動

 等速度運動：

（ 4 ）常見關係圖：

 等速運動的平均速度瞬時速度，速度處處相等。

 位移＝ ×  。

＝

速度時間

X  Vt

X

t X

t

t V

t V X

 

t V X

  

0 t ....

- t

X -

X t

VX

1 2

1

2 





0 t ....

- t

X -

X t

VX

1 2

1

2 





(22)

1. 某物體作等速度直線運動，其位置與時間的關係圖如圖所示，則：

 此物體的速度為公尺／秒。

 圖中的時間軸之「？」值為若干秒？秒。

 此物體的位置（ x ）與時間（ t ）的關係式為何？

。

範例解說

m s 0 5

- 2

10 - 20 t

V X  



 

5

sec 5

0 5 - t

25 0

- t

10 - 35 t

V X







 

  t

t

5

   

10 5

5 20

2 10 10

0 20 , 2 10

, 0





























t X

a b

a

b b

a

b at

X

代入

X ＝ 5t ＋ 10

 速度＝平均速度

（ in any Δt ）

(23)

範例解說

2. 如附圖中沿直線運動的甲、乙二質點，其 X 與 t 的關係圖如下，則：  t ＝ 3 秒時，甲、乙相距若干公尺？公尺。

 乙車是否能追上甲車？。

m s 0 4

- 1

0 - 4 t

V X  



 

甲

m s 0 1

- 2

0 - 2 t

V X  



 

乙

m Vt

X

_甲

  4  3  12 m Vt

X

_乙

  1  3  3

12m

3m 9m

9 否

(24)

範例解說

3. 圖為甲乙兩車的位置與時間關係圖，則：

 甲車作運動，速度 m/s 。  乙車作運動，速度 m/s 。  請將 X-t 圖改畫成 V-t 圖。

 兩車出發後第 5 秒，兩車相距公尺。

m s 0 10

- 1

0 - 10 t

V X  



 

甲

m s 0 10

- 1

0 - 10 - t

V X   



 

乙

等速等速

10 -10

100

(25)

 平均速度

與瞬時速度

(26)

 平均速度與瞬時速率：

（ 1 ）平均速度：可表示物體在行進的過程當中的約略之快慢及方向。

 甲曲線為運動：其平均速度瞬時速度。

 乙直線為運動：其平均速度瞬時速度。

 當 Δt 為一段時間時， V 稱，其大小稱。

平均速度

1 2

t t

X X

t V X



 



 

1 3 ...

5 3 5 0

1 0

1  



 



 



  t V X

乙

＝

≠

X

t 甲乙

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2

4 6 8 10

變速等速

.5 1 2

2

3 1-2 5.5 



 



  t V X

甲

...

5 . 0 6 -

8 8

8 7

-

6 



 



  t V X

平均速率

(27)

 平均速度與瞬時速率：

（ 2 ）瞬時速度：指物體在行進的過程當中任一時刻的快慢及方向。

 當 Δt 為極小瞬間時， V 稱，其大小稱

。

 如何求出甲在 t₁ 時刻下的瞬時速度（簡稱）

瞬時速度

X

t

1

t

₂

X1

X2

甲

丙 2 1

1 2 2

1

t t

X X

t V X



 



  割線乙



1 1 t' 2

1

'

t t

X X

t V X



 



  切線丙



 當過 t₁ 的割線，逐漸使△ t 極小時，丙線成為過 t₁ 的切線

故甲在 t₁ 時刻下的瞬時速度，

等於丙切線的瞬時速度。

 X-t 圖任一點的切線斜率，可表

示為該時刻的瞬時速度速度

極小

瞬時速率

乙

Δt 趨近極小

(28)

瞬時速率與平均速率的比較

＝

瞬時速率

1 2

t - t

X - X t

V X 



 

0 t 



（ 3 ）瞬時速率與平均速率的比較：

 若 t 與 t1 重合，直線 L 的速率即表示物體在 t1 時刻的。

 曲線 AB 兩點間的平均速率直線 L₁ 的速率。

 曲線 AB₁ 兩點間的平均速率直線 L₂ 的速率。

(29)

瞬時速率示意圖

車子的里程錶

道路的速限交通標誌

(30)

起點終點

1000 公尺 0 公

尺 500 公尺

1. 龜兔賽跑，其 X-t 圖如圖：

 不計起點與終點，龜與兔中途相遇次。

 兔子總共休息次：第一次在，休息了分鐘。

第二次在，休息了分鐘。

範例解說

3

2 松樹下 20

草坪上 15

X-t 交點  相遇

300 m 1000 m

(31)

起點終點

1000 公尺 0 公

尺 500 公尺

 先到終點，用了分鐘走完全程，領先對手分鐘，

且

領先公尺。

 全程都作等速率運動的是誰？。平均速率＝ m/s 。

範例解說

烏龜 50 5

1200m 200

m s m t

V L

4 . 60 0

24 24 min 0

50 1200



 



 

烏龜 0.4

X-t 斜直線  等速

(32)

 求出兔子在下列時間的平均速率？

 0 ～ 5 分鐘的平均速率＝ m/s 。  25 ～ 35 分鐘的平均速率＝ m/s 。  50 ～ 55 分鐘的平均速率＝ m/s 。  0 ～ 25 分鐘的平均速率＝ m/s 。  20 ～ 50 分鐘的平均速率＝ m/s 。  0 ～ 55 分鐘的平均速率＝ m/s 。

範例解說

1

t V L

 

1.17 0.67 0.2

0.39 0.36

回家作業

(33)

2. 下圖為小尹沿一直線運動的速度和時間關係圖，則：

 她在 10 分鐘內的位移為多少公尺？ m 。  她在 10 分鐘內的路程為多少公尺？ m 。  0 ～ 6 分鐘的平均速率＝ m/min 。

 0 ～ 10 分鐘的平均速率＝ m/min 。  0 ～ 10 分鐘的平均速度＝ m/min 。

範例解說

1

28 44 6

4.4 2.8

36 m

－ 8 m

時間位移時間

路程

速度

速率

 V 

V ;

 X

  m X  36   8  28

 L  36  8  44 m

(34)

範例解說

3. 當沖天炮一飛沖天時，速度與時間關係圖如圖，若以向上的速度為正

：

 沖天炮何時開始下降？第秒。

 沖天炮最高飛到多高？ m 。  第八秒時，沖天炮是否已落在地面上？

。 5

m X 5 5 12 . 5

2 1

1

   



12.5

m X 3 5 7 . 5

2 1

2

     



否，正在下落中，在離距地面 5 m 高處。

7.5m 12.5m

X2

 X1



5 m V 變化

( 正轉負 )

＋

－

(35)

範例解說

4. 將以下 X-t 圖，轉換成 V-t 圖：

V

t 甲、乙

V

＋

t

－

(36)

範例解說

4. 將以下 X-t 圖，轉換成 V-t 圖：

V

t 甲

乙

＋

－

V

t

＋

－

2：1

1：1

s m

V 2 /

0 10

0 20

10

0





 



m s

V 1 /

20 40

20 0

40

20

 



 



(37)

課程結束

 速率與速度 速率與速度

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編授教師：

中興國中 楊秉鈞