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 速率與速度 速率與速度

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Academic year: 2022

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全文

(1)

課程名稱:速率與速度 課程名稱:速率與速度

編授教師:

中興國中 楊秉鈞

(2)

 速率與速度

(3)

速率與速度的意義

 速率與速度:

( 1 )意義:

 速率:

 與時間的比值=速率

 只描述物體運動的快慢,不包括方向,非向量。

 速度:

 與時間的比值=速度

 可描述物體運動的快慢及方向,為向量。

路徑

位移

t V L

 

 時間

速率 路徑

t V X

 

 時間

速度 位移

時間

運動的長度 運動快慢 

(4)

速率與速度的單位

 速率與速度:

( 2 )單位:

 常見單位:

 單位換算:

 10 cm / s = m / s 。  90 Km / h = m / s

長度單位時間單位 單位 :

 

 

 t

V X

hr ) Km

( 小時

公里 公尺秒 ( ms ) )

cms ( 公分

0.1 25

m s s

m s

m 25

18 90 5

3600 90 1000

1hr 90 1Km

Km hr

90       

m s Km hr

5 18

18

5

(5)

速率與速度的方向性

 速率與速度:

( 3 )方向性:

 說明例:若物體運動,費時 t 秒:( t2 - t1 =△ t )

0 XA XB

運動路徑 甲 → 乙 乙 →甲 甲 → 乙 → 甲

路程( m ) 位移( m )

所花時間( s ) t t t

速率( m/s ) 速度( m/s )

 方向性:速率無方向;速度的方向,與 的方向相 同

 速度> 0 :表示朝 向運動  速度< 0 :表示朝 向運動  速度= 0 : 。

位移為零 正 負

A

B X

X

A

B X

X > 0

A

B X

X

B

A X

X < 0

) (

2 XB XA

A

A X

X = 0

t X XB A

t X XB A

> 0

t X XB A

t X X A B

< 0

 

t X XB A 2

t X X A A

= 0 位移

起點

位移  XX

終點

X

(6)

速率與速度的比較

 速率與速度:

( 3 )速度的方向性:

 比較:

 二物體若速度相等,其速率必相等且運動方向必相同。

 二物體若速率相等,其速率必相等但運動方向不一定相同。

甲、乙兩車:

速度 ;速率 。

丙、丁兩車:

速度 ;速率 。

乙 甲 Kmh

60

Kmh 60

Kmh

60

Kmh 60

相等 相等 不相等 相等

方向相同

大小相等

(7)

範例解說

1. 小王和家人於大坑登山步道健行,他幫爸爸計時,測得爸爸上山

的速率為 2.0 公里/小時,下山的速率則為 3.0 公里/小時,則

 爸爸往返此登山步道一趟的平均速率為何? 公里/小時。

 爸爸往返此登山步道一趟的平均速度為何? 公里/小時。

Kmhr X

X X

X

X X

L 2.4

6 5 2 3

2 V t

 

 

  速率

t 0 0 t

V X

 

  度

假設山路 X Km

X X

2.4 0

bar V

read

V  :

(8)

範例解說

2. 如圖為一時鐘,秒針長 15cm ,則當秒針由 3 的位置走到 6 的位置期 間:

 針尖的平均速率為何?

cm / s 。

 針尖的平均速度為何?

cm / s ,方向 。

1.57

cm s L

57 . 15 1

15 3.14

0.5 15

r/4 2

15 V t

 

 

 

四分之一個圓周長 速率

cm s 2

15 t

V X

 

  15 2 速度

2

(9)

 速度對時間圖

V -

t

(10)

 速度對時間圖 習慣以速度當 ,時間當 。

( 1 )物體靜止時:

 X-t 圖形呈 。

 V-t 圖形呈 。  說明例:一物體的位置與時間關係如下表

位置 5 5 5 5 5 5

時間 0 1 2 3 4 5

靜止時的 V-t 圖特徵

Y 軸

X 軸

落在 t 軸的水平線

1 0 3

5 5 0

1 5

V 5  

 

 

 

 

 

  .... ....

3 4

3 4

1 2

1 2

n n

t X t

t

X X

t t

X X

t X

X 5

t t

V

0

水平線

(11)

 速度對時間圖:

( 2 )物體等速運動時:

 X-t 圖形呈 。

 V-t 圖形呈 。  說明例一:一物體的位置與時間關係如下表

位置 -1 0 1 2 3 4

時間 0 1 2 3 4 5

X

t

V

t

 X-t 圖是向右的斜直線時  V 是正值的等速運動

等速運動的 V-t 圖特徵

斜直線

 

ms t

X t

t

X X

t t

X X

t X

n

n 1

1 3

0 2 0

1

V 0  

 

 

 

 

 

  1 ...

....

3 4

3 4

1 2

1 2

水平線(但不落在 t 軸上)

(12)

 速度對時間圖:

( 2 )物體等速運動時:

 X-t 圖形呈 。

 V-t 圖形呈 。  說明例二:一物體的位置與時間關係如下表

等速運動的 V-t 圖特徵

斜直線

水平線(但不落在 t 軸上)

位置 0 - 2 - 4 - 6 - 8 - 10

時間 0 2 4 6 8 10

 X-t 圖是向左的斜直線時  V 是負值的等速運動

 

ms

t X t

t

X X

t t

X X

t X

n

n 1

2 8 0

V 2   

 

 

 

 

 

  2 0 8 2 ...

....

3 4

3 4

1 2

1 2

X

t

V

-1 t

(13)

 速度對時間圖:

( 3 )物體變速運動時: V-t 圖呈 或 。  其中 V-t 圖 斜直線為 運動

變速運動的 V-t 圖特徵

斜直線 曲線(拋物

線 .. )

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

V

t

等加速度

等加速度運動 加速度運動

(變速)

V 漸增

V 由 0 漸 增,再減少,

又增加 V 由

0 , 漸 增

V 漸減

V 漸增 V 由 0 ,漸

V 漸減 增

V 漸減至 0 ,再漸增 V 由 0 ,漸

等加速度運動

加速度運動

(14)

物體有折返的特徵

 速度對時間圖:

( 4 )物體折返的特徵:

 或 的方向改變,即表示物體有折返情形  X-t 圖的折返特徵:呈 。

 V-t 圖的折返特徵:呈 。

位移 速度

位移方向變號(轉折)

速度方向(或位移)變號時

X

t

V

t t’

t’

 在 t’ 時刻,折返  在 t’ 時刻,折返

+ -

(15)

 速度對時間圖:

( 5 ) V-t 圖形與時間軸所夾的面積:面積的大小= 。  面積大小為正值時:表示位移 0 ,朝 向運動  面積大小為負值時,表示位移 0 ,朝 向運動  面積大小為零值時,表示位移 0 , 。

V-t 圖下的面積意義

位移

> 正

< 負

= 無位移

k V

t t

-k V

t t

k V

t t

kt X  

kt X  

+ k

V

t b

t

2 ) ( k b t

X  

 2

X   kt

(16)

 速度對時間圖的特徵:

( 1 )物體 時 :呈水平線且落於 t 軸 ( 2 )物體 運動時:呈水平線

( 3 )物體 運動時:呈斜直線或曲線  其中 V-t 圖 斜直線為等加速度運動

( 4 )速度對時間圖的折返特徵:速度有 時。

( 5 )速度對時間圖下的面積= 。(指與 t 軸所夾的面積)

( 6 )速度對時間圖的交點意義:表此時間下,二物體 相同。

V-t 圖的特徵

靜止 等速度

變速

變號 位移

速度 V

(如:丙)

(如:甲、乙、丁)

(如:乙、丁)

(17)

t’ t’

t’

t’

延伸討論 t’ 時間下的位移

X

X

X

X

(18)

圖(一) 圖(二)

範例解說

1. 圖(一)是甲運動過程的 X-t 圖與圖(二)是乙運動過程的 V-t 圖,

則:

 甲在運動過程中折返 次。

 乙在運動過程中折返 次。

2. 元祐參加直線折返跑比賽,如圖是他比賽過程中速度與時間關係圖,則:

 ( )在元祐比賽過程中,他跑步速度的方向總共改變幾次?

 ( A ) 3  ( B ) 4  ( C ) 5  ( D ) 8 。  若起跑點與折返點相距 15 公尺,

則他在比賽過程中共跑了幾公尺?

公尺。

3 2

A

60

+ - + - + +

(19)

 等速度運動

(20)

等速度運動

 等速度運動:

( 1 )同義詞:等速運動=等速度運動=等速度 運動 ( 2 )意義:

是物體以 的方式運動,是 、 相等的運 動

 等速度運動的運動軌跡必為 。

( 3 )比較:

 等速運動 等速率運動

 等速率運動 為等速度運動

等速度 速率 方向

必為 不一定

直線

A

B

等速度運動 等速率運動

直線

 等時距下,間距相同。 直線軌跡。

 方向不同

 等時距下,間距相同。

(21)

等速度運動

 等速度運動:

( 4 )常見關係圖:

 等速運動的平均速度 瞬時速度,速度處處相等。

 位移= ×  。

速度 時間

XVt

X

t X

t

t V

t V

t V X

 

t V X

  

0 t ....

- t

X -

X t

VX

1 2

1

2

0 t ....

- t

X -

X t

VX

1 2

1

2

(22)

1. 某物體作等速度直線運動,其位置與時間的關係圖如圖所示,則:

 此物體的速度為 公尺/秒。

 圖中的時間軸之「?」值為若干秒? 秒。

 此物體的位置( x )與時間( t )的關係式為何?

範例解說

m s 0 5

- 2

10 - 20 t

V X  

 

5

sec 5

0 5 - t

25 0

- t

10 - 35 t

V X

 

  t

t

5

   

10 5

5 20

2

10 10

0

20 , 2 10

, 0

t X

a b

a

b b

a

b at

X

代入

X = 5t + 10

 速度=平均速度

( in any Δt )

(23)

範例解說

2. 如附圖中沿直線運動的甲、乙二質點,其 X 與 t 的關係圖如下,則 :  t = 3 秒時,甲、乙相距若干公尺? 公尺。

 乙車是否能追上甲車? 。

m s 0 4

- 1

0 - 4 t

V X  

 

m s 0 1

- 2

0 - 2 t

V X  

 

m Vt

X

  4  3  12 m Vt

X

  1  3  3

12m

3m 9m

9 否

(24)

範例解說

3. 圖為甲乙兩車的位置與時間關係圖,則:

 甲車作 運動,速度 m/s 。  乙車作 運動,速度 m/s 。  請將 X-t 圖改畫成 V-t 圖。

 兩車出發後第 5 秒,兩車相距 公尺。

m s 0 10

- 1

0 - 10 t

V X  

 

m s 0 10

- 1

0 - 10 - t

V X   

 

等速 等速

10 -10

100

(25)

 平均速度

與瞬時速度

(26)

 平均速度與瞬時速率:

( 1 )平均速度:可表示物體在行進的過程當中的約略之快慢及方向。

 甲曲線為 運動:其平均速度 瞬時速度。

 乙直線為 運動:其平均速度 瞬時速度。

 當 Δt 為一段時間時, V 稱 ,其大小稱 。

平均速度

平均速度

1 2

1 2

t t

X X

t V X

 

 

1 3 ...

5 3 5 0

1 0

1  

 

 

  t V X

X

t 甲 乙

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2

4 6 8 10

變速 等速

.5 1 2

2

3 1-2 5.5 

 

  t V X

...

5 . 0 6 -

8 8

8 7

-

6

 

  t V X

平均速率

(27)

 平均速度與瞬時速率:

( 2 )瞬時速度:指物體在行進的過程當中任一時刻的快慢及方向。

 當 Δt 為極小瞬間時, V 稱 ,其大小稱

 如何求出甲在 t1 時刻下的瞬時速度(簡稱 )

瞬時速度

瞬時速度

X

t

t

1

t

2

X1

X2

2 1

1 2 2

1

t t

X X

t V X

 

  割線乙

1 1 t' 2

1

'

t t

X X

t V X

 

  切線丙

 當過 t1 的割線,逐漸使△ t 極小時,丙線成為過 t1 的切 線

故甲在 t1 時刻下的瞬時速 度,

等於丙切線的瞬時速度。

 X-t 圖任一點的切線斜率,可 表

示為該時刻的瞬時速度 速度

極小

瞬時速率

Δt 趨近極小

(28)

瞬時速率與平均速率的比較

瞬時速率

1 2

1 2

t - t

X - X t

V X 

 

0 t 

( 3 )瞬時速率與平均速率的比較:

 若 t 與 t1 重合,直線 L 的速率即表示物體在 t1 時刻的 。

 曲線 AB 兩點間的平均速率 直線 L1 的速率。

 曲線 AB1 兩點間的平均速率 直線 L2 的速率。

(29)

瞬時速率示意圖

車子的里程錶

道路的速限交通標誌

(30)

起點 終點

1000 公尺 0

500 公尺

1. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 不計起點與終點,龜與兔中途相遇 次。

 兔子總共休息 次:第一次在 ,休息了 分鐘。

第二次在 ,休息了 分鐘。

範例解說

3

2 松樹下 20

草坪上 15

X-t 交點  相遇

300 m 1000 m

(31)

起點 終點

1000 公尺 0

500 公尺

1. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 先到終點,用了 分鐘走完全程,領先對手 分鐘,

領先 公尺。

 全程都作等速率運動的是誰? 。平均速率= m/s 。

範例解說

烏龜 50 5

1200m 200

m s m t

V L

4 . 60 0

24

24 min 0

50 1200

 

 

烏龜 0.4

X-t 斜直線  等速

(32)

1. 龜兔賽跑,其 X-t 圖如圖:

 求出兔子在下列時間的平均速率?

 0 ~ 5 分鐘的平均速率= m/s 。  25 ~ 35 分鐘的平均速率= m/s 。  50 ~ 55 分鐘的平均速率= m/s 。  0 ~ 25 分鐘的平均速率= m/s 。  20 ~ 50 分鐘的平均速率= m/s 。  0 ~ 55 分鐘的平均速率= m/s 。

範例解說

1

t V L

 

1.17 0.67 0.2

0.39 0.36

回家作業

(33)

2. 下圖為小尹沿一直線運動的速度和時間關係圖,則:

 她在 10 分鐘內的位移為多少公尺? m 。  她在 10 分鐘內的路程為多少公尺? m 。  0 ~ 6 分鐘的平均速率= m/min 。

 0 ~ 10 分鐘的平均速率= m/min 。  0 ~ 10 分鐘的平均速度= m/min 。

範例解說

1

28 44 6

4.4 2.8

36 m

36 m

- 8 m

- 8 m

時間 位移 時間

路程

速度

速率

V

V ;

X

  m X  36   8  28

L  36  8  44 m

(34)

範例解說

3. 當沖天炮一飛沖天時,速度與時間關係圖如圖,若以向上的速度為正

 沖天炮何時開始下降?第 秒。

 沖天炮最高飛到多高? m 。  第八秒時,沖天炮是否已落在地面上?

。 5

m X 5 5 12 . 5

2 1

1

   

12.5

m X 3 5 7 . 5

2 1

2

     

否,正在下落中,在離距地面 5 m 高處。

7.5m 12.5m

X2

X1

5 m V 變化

( 正轉負 )

(35)

範例解說

4. 將以下 X-t 圖,轉換成 V-t 圖:

V

t 甲、乙

V

t

(36)

範例解說

4. 將以下 X-t 圖,轉換成 V-t 圖:

V

t 甲

V

t

21

11

s m

V 2 /

0 10

0 20

10

0

 

m s

V 1 /

20 40

20 0

40

20

 

 

(37)

課程結束

參考文獻