數學科學能力競賽初試試題

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 七 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第一階段】數學科試題

_{P. 0 1}

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2008/09/ 一、填充題（每題 8 分，共計 15 題 120 分） 班級 座號 姓名  1. 在∠A 的兩邊分別有B B B1, 2, , ,3  B2008與C C C1, 2, 3, , C2008，滿足B B1 2 B B2 3B B3 4 B2007B2008且 1 2 2 3 3 4 2007 2008 C C C C C C _C C 。若四邊形B C C B1 1 2 2的面積為 4，四邊形B C C B2 2 3 3的面積為 7，求四邊形 2007 2007 2008 2008 B C C B 的面積為 。 2. 化簡 _{4 4}2 ₄ 125 2 25 3 5 4    。 3. 求 1 2 1 ( 1) ( 2) k k k k k    _    



。 4. 如圖，L、M、N 為三條平行線，且知 L 和 M 的距離為 4，M 和 N 的距離為 1。現 在在三線上各取一點，使得這三點構成正三角形的三個頂點，求這個正三角 形的邊長為 。 5. 令A1(0,0) ,A2(1,0) , A3(0,1)，當n4時，An為A A An1 n2 n3的重心，求lim_nAn  。 6. 已知 _tan 1 5 12  _  _，設 1 1 2008 2008 (cos ) (sec ) a    ，求 2 2008 4 ( ) 2 a a  _{之值 。} 7. 一拋物線_:y2 _{4x，在同一平面上的點 P，若從 P 作 Γ 的兩條切線所夾銳角為 45∘，求 P 的軌跡方程式為 。} 8. 若某正整數的各位數碼僅由 0 與 1 構成，且為 23 的倍數，求滿足條件最小的數 。 L N M

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九 十 七 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第一階段】數學科試題

_{P. 0 2}

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2008/09/ 9. 已知 a, b, p 為正整數，且 p 為質數，若 a, b, ab 除以 p 的商分別為 9, 10, 2008, 求 p 之值為 。 10. 已知 為銳角，且 2 4 3 4 18

sin  cos   ，求 cot = 。

11. 有 4 位女生與 10 位男生圍成一圓圈，則女生不相鄰的機率為 。

12. 如右圖，圓上兩弦AC、_BD互相垂直且交於點 E，_DF為此圓切線段且點 F 在直線AC

上。已知_{AE EC} = 9，CD= 6，求CF= 。

13. 平行四邊形 ABCD 中，AB= 4，AD= 3，ABC = 120，而點 E、F 分別在BC、CD上，滿足EC=DF= 1，且AE交_BF 於 G，求四邊形 GECF 面積為 。 14. 將 97 個人，依次編號 1~97，並發給每人 97 顆糖果，接著由編號 1 的人，分給編號為他倍數的人各 1 顆糖果，再由編 號 2 的人，分給編號為他倍數的人各 1 顆糖果，……，以此類推直到編號 97 的人為止。問最後有最多糖果的人，編號 最大的是 。 15. 已知對於任何非零實數 x，均有 ( ) ( 1 ) 1 x f x f x x     ，求函數 f x( )= 。 B D F E A C

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九 十 七 學 年 度

高中科學實驗能力競賽【第一階段】數學科答案卷

P. 03

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期 2007/09/ 一、填充題（每題 8 分，共計 15 題 120 分） 班級 座號 姓名  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

參考答案 1 2 3 4 5 6022 4 5_1 4 5 7 2 ) 2 1 , 3 1 ( 6 7 8 9 10 12 13 0 1 6 2 2 _{y  x } x 110101 19 2 11 12 13 14 15 42 143 4 19 12 96 1 x