二維雙偶極晶體的物理性質

國

立

交

通

大

學

物理研究所

碩

士

論

文

二維雙偶極晶體的物理性質

Static and Dynamical Properties of a Two-Dimensional Dipolar Crystal

研 究 生：溫智媛

指導教授：江進福 教授

程思誠 教授

二維雙偶極晶體的物理性質

Static and Dynamical Properties of a Two-Dimensional Dipolar Crystal

研 究 生：溫智媛 Student：Chih-Yuan Wen

指導教授：江進福 Advisor：Tsin-Fu Jiang

程思誠 Advisor：Szu-Cheng Cheng

國 立 交 通 大 學

物 理 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Physics College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Physics

January 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

二

維

雙

偶

極

晶

體

的

物

理

性

質

學生：溫智媛

指導教授

：

江進福

程思誠

國立交通大學物理研究所碩士班

摘

要

對於具備偶極-偶極交互作用的準二維玻色愛因斯坦凝體，本文以高斯波包作

為晶體相的試驗波函數。在高粒子密度的情形下，可將此波函數合理地當作偶極

晶格點上的波函數。考慮非正交波函數基底的疊加效應，修正 Hartree-Fock 平均

場近似，再透過數值計算找出晶體相的能量極小值。最後，經由聲子頻譜分析，

以及切變模數與壓縮模數恆為正值的結果，證實高粒子密度條件下系統呈現晶體

相的可能性。

Static and Dynamical Properties of a Two-Dimensional Dipolar Crystal

student：Chih-Yuan Wen

Advisors：Dr. Tsin-Fu Jiang

Dr. Szu-Cheng Cheng

Institute of Physics

National Chiao Tung University

ABSTRACT

The current work designs a Gassian trial wavefuntion for Bose-einstein

condensates (BEC) with dipole-dipole interaction. The wavefunction is reasonably

regarded as that of the dipole crystal under high particle density condition.

Hartree-Fock mean field approximation has been modified under the consideration of

the overlaping effect of non-orthogonal wavefunction.

The minimum energy of crystalline phase can therefore be found by numerical

computations and phonon spectrum evaluation. These shear and compression modulus

are shown to be definitely positive. Thus, it is concluded that quasi-2D dipolar crystal

is a stable state under high condensed density.

誌

謝

論文付梓，終於。

首先我要感謝我的指導教授程思誠博士，帶領我走過這些作研究的日子；無

論是老師對於問題關鍵處的精準掌握，抑或老師作研究的熱忱，在在都激勵我繼

續未竟的工作，謝謝老師。也感謝我的共同指導教授江進福博士，感謝老師平時

的指導與關心，並協助我完成論文口試。以及擔任論文口試委員的林貴林博士，

感謝教授對於我的論文提供了許多寶貴的意見與指教，提醒我不少當時被我擱置

的問題。謝謝老師。

感謝我的同學兼學長鄭世達達哥，感謝他在水深火熱的期末考週仍願意幫助

我完成口試的校稿，也感謝他願意不卑不亢的回答我許多研究上的奇怪問題，給

了我相當多犀利的提點，謝謝他。感謝徐煥鈞同學，在他畢業前也願意跟我進行

一些討論，相當程度的也帶給我不少裨益。感謝研究室的同學與學弟妹，陪我聊

天與玩耍，蹲研究室看棒球。感謝博士後的學長李漢傑博士，學長在我口試前夕

提供的一些指點相當受用。謝謝你們。

論文的撰寫過程中，縱然絞盡腦汁徒呼負負，但忽然之間，有這麼一絲絲的

體會葉慈(W.B. Yeats)何以說「a lonely impulse of delight」。這本論文的呈現也要

感謝我的父母，讓我活過四分之一世紀了仍然不愁吃穿，並給我很多打氣與鼓舞，

也感謝我的小弟一直以來的陪伴與勉勵，有你真好；更要感謝國家與諸位納稅人

提供機會讓我接受高等教育直到今天，謝謝，也祈望國家挹注在我身上的資源，

最終可以帶來一點點的美好。

目

錄

中文摘要

………

i

英文摘要

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ii

誌謝

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iii

目錄

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iv

表目錄

………

v

圖目錄

………

vi

一、

緒論………

1

二、

理論………

7

三、

計算與結果分析………

16

四、

結論………

26

參考文獻

………

27

附圖

………

28

表目錄

表 3-1

………

16

表 3-2

………

23

圖目錄

圖 1-1

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3

圖 1-2

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4

圖 1-3

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圖 1-4

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5

圖 2-1

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9

圖 2-2

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圖 3-1

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圖 3-2

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圖 3-3

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圖 3-4

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圖 3-6

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圖 3-7

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圖 3-8

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圖 3-10

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圖 3-11

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圖 3-12

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圖 3-14

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圖 3-15

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圖 3-16

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圖 3-18

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圖 3-19

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第一章

緒論

1.1 玻色愛因斯坦凝體

玻色愛因斯坦凝體(Bose-Einstein condasates, BEC)，出現在物質波長尺度達到粒 子平均距離的時候。此時，各粒子的德布洛依波長疊加，得以形成同調的(coherent) 巨觀波函數，因而這個巨觀波函數，可作為序參量(order paramter)，標誌著凝聚相的 出現。因此凝體的運動方程也與它有關，即Gross-Pitaevskii(GP)方程。由此可知，我 們討論的對象，BEC，是藉由量子力學的疊加效應給出的巨觀相。出現這個巨觀相的 物質，經歷了一個完全由海森堡不確定原理(Heisenberg’s uncertainty principle)所驅動 的相變：量子相變(quantum phase transition)。

有交互作用(interacting)超冷氣體(ultracold gases)的尺度參數為：溫度10~100nK， 密度1013 ~1014 cm-3 ，粒子數103 ~107，尺寸大小10𝜇m~1mm，生命週期10秒。大於或 小於上述尺度的交互作用與外界作用，系統將不受其影響，而處於上述尺度的物質特 性，將交付多體(many-body)效應定奪。實驗室必須透過雷射冷卻與囚禁(trap)，方可 觀察到BEC相。因為產生BEC的先決條件是：形成高密度的相空間。換句話說，首先 必須製造量子簡併氣體，即態密度大於(玻色子)或等於(費米子)一。為達成量子簡併， 物質必須低溫以避免熱漲落效應，低密度以避免量子漲落與三體複合作用，從而使凝 體粒子的交互作用以二體碰撞為主(故適用GP平均場方程)。由於粒子超冷，低能量散 射下只有S波碰撞的貢獻重要，因為粒子密度稀薄，粒子交互作用可表示為零距位勢 (zero-range potential)，其強度則以S波散射長度為表徵。此交互作用若引進一階微擾， 則可精準求出低能量散射長度，將二體散射等效為接觸位勢，作為粒子在系統中感受 到的平均場，並放入GP平均場方程作為Hatree近似場的角色。我們注意到，動量能量 守恆律的必然結果是二體的彈性碰撞無法使系統趨於平衡，顯然GP方程必定是近似 下的產物。 Hartree 近似的凝體(condensates)波函數，在無交互作用的情形下滿足(單粒子)時 變薛丁格方程，在有交互作用出現的時候，凝體粒子運動方程又該如何表示？超冷稀 薄氣體裡，粒子交互作用可表示為零距位勢(zero-range potential)，故低能量粒子散射 的情形下，對於滿足李普曼-史溫格方程(Lippmann-Schwinger equation)的散射矩陣， 我們可引進一階微擾近似(the first Born approximation)，致使三維的散射位勢透過 s

波散射長度𝑎𝑠表現為平均場耦合常數 𝑔3𝐷 = 4𝜋ℏ2𝑎𝑠 ，M 為單粒子等效質量。每𝑀

個粒子感受到一個猶如由其他粒子所形成的外加平均場，此 Hartree 自洽平均場 (self-consistent mean field)正比於局部區域的凝體粒子密度(local condensed-particle density)，若將此平均場加入薛丁格方程即為非線性薛丁格方程，稱之(時變)GP 方程： 𝑖 𝜕 𝜕𝑡Ψ 𝑟 , 𝑡 = −ℏ2 2𝑚 𝛻2+ 𝑉 𝑟 + 𝑔3𝐷 Ψ 𝑟 , 𝑡 2 Ψ 𝑟 , 𝑡 (1.1.1) 其中 Hatree 等效位能𝑉_𝐻 = 𝑔_3𝐷 Ψ 𝑟 , 𝑡 2_{，源自接觸膺位勢(pseudo-potential)：𝑔} 3𝐷𝛿 𝑟 ，

其中𝛿 𝑟 為狄拉克分布(Dirac-delta distribution)。當 S 波散射程度為正值對應於粒子交 互作用的互斥勢，負值則為吸引勢。在凝聚態(condensates)粒子數目龐大的條件下， 時變 GP 方程的時間演化將與化學勢𝜇有關： −ℏ2 2𝑚 𝛻2𝜓 𝑟 + 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟 + 𝑔3𝐷 𝜓 𝑟 2𝜓 𝑟 = 𝜇𝜓 𝑟 (1.1.2) 穩 態 (stationary state) 滿足的這一條不隨 時變 GP 方程， 亦可基於二階相變 (second-order phase transition)的金斯堡-藍道(Ginsburg-Landau)理論，改從序參量𝜓的 藍道自由能(Landau free energy)著手：

E 𝜓, 𝜓∗ _{= 𝑑}3_𝑟 ℏ2

2𝑚 𝛻𝜓 2+ 𝑉 − 𝜇 𝜓∗𝜓 + 𝑔_3𝐷

2 𝜓∗𝜓 2 (1.1.3) 其中，拉格朗日乘子(Lagrange multiplier)𝜇，源於巨正則系綜(grand canonical ensemble)的限制式：平均粒子數漲落為零 𝑑3_{𝑟 𝜓 𝑟} 2 _{= 𝑁} 0 (1.1.4) GP方程代表了當粒子平均距離遠大於s波散射長度(稀薄氣體)，也就是交互作用 微弱的區間內，我們將粒子間的多體交互作用等效為二體交互作用時，在粒子數龐大 的近似之下序參量(巨觀波函數)在Fock空間的運動方程，類比於古典場的方程。當然 GP方程絕非單顆裸粒子之運動方程，但正因為我們早已將巨觀波函數的存在作為首 要前提，凝體粒子們作為一個相同相位(phase)的同調性(coherent)的整體，所以GP方 程同時也代表了單粒子以準粒子(quasi-particle)的身份在等效平均場下運動之方程。 由於 GP 方程只與該位置的凝體密度，以及與該位置的粒子是否受接觸位勢作用 有關，顯然，GP 方程是條局域性(local)方程；彼此只透過單體密度矩陣(one-body density matrix)作交涉，故粒子之間的關聯性弱。(當然在這裡的意思並不是指 BEC 的 非對角長程有序性(off-diagonal long range order)。)除了經由維度的降低與費希巴哈共 振，還可以考慮凝體粒子之間發生的長程(long-range)偶極作用，增強粒子之間的關聯

性。我們了解到，某些原子本身具備強(磁)偶極矩特性，如52

Cr 原子，具有 6 波耳磁 子(Bohr magnetons)大小的磁矩，考慮偶極-偶極交互作用(dipole-dipole interaction)是合 理的；進而充分討論當它們形成 BEC 時，所存在的各種可能的相(phases)。由於長程 非等向性(anisotrpic)偶極交互作用所帶來的相變與晶體相，跟之前我們熟悉的情形： 透過等向性(isotrpic)膺位勢達成短程交互作用的原子玻色氣體，關聯性小。顯然地， 強偶極矩原子相較於以往的等效接觸勢原子，具備了不同的作用範圍(range)，與不同 的對稱性(symmetry)，由他們形成的 BEC 定然擁有嶄新面貌。 相較於傳統的短程、等向性的接觸位勢，長程偶極-偶極交互作用提供了玻色愛 因斯坦凝體更顯著的強關聯性，因而呈現更豐富的量子相與相變。一如電子的維格納 晶體(Wigner crystal)，強場禁錮下的準二維偶極簡併玻色氣體，在高密度的情況下也 顯現出晶體相。本文參照參考文獻[1]的方式，設計了一道試驗波函數。在高粒子密

場近似(本文縮寫HFA)，仿效參考文獻[2]，將非正交波函數基底的疊加效應納入，再 以數值計算方法找出晶體相的能量極小值。最後，經由聲子頻譜分析，與切變模數恆 為正值的結果，證實準二維偶極晶格乃高密度下的穩定基態。 1.2 偶極玻色愛因斯坦凝體的晶體相 由海森堡不確定原理已知，電子的維格納晶體(Wigner crystal)，僅當電子-電子(庫 侖)交互作用強過動能時，晶體相方可成為穩定基態。同樣的，偶極晶格的成因，勢 必與長程的偶極交互作用有關。因此，參考文獻[3]裡，改以偶極交互作用對動能的 強度比例參數，作為偶極晶體是否發生量子融化相變(quantum melting transition)的判 準。我們便奠基於這項判準，謀求高密度偶極晶體的穩定基態能量。 由於位能(接觸勢𝐸𝑐𝑜𝑛與偶極作用𝐸𝑑𝑑)與動能可分別作如下估計：𝐸𝑐𝑜𝑛 = 𝑔3𝐷𝑛 = 𝑔3𝐷 𝑎2，𝐸𝑑𝑑 = 𝑔𝑑 𝑎3，𝐸𝑘𝑖𝑛 = ℏ2 𝑚𝑎2，其中𝑎為粒子的平均距離，gd 為偶極作用強度。顯然， 局域(local)的接觸勢與零點動能的相對強度並不依賴於𝑎，這也符合了純接觸勢凝體 只存在超流相而無法出現晶體相的情形。故參考文獻[3]的判準參數為： 𝑟_𝑠 = 𝐸𝑑𝑑 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑔_𝑑 𝑚 ℏ2_𝑎 (1.2.1) 參 考 文獻[3]得出當 rs 等於 rQM 時，分 子 偶極晶 體始發生量 子相變，其中 𝑟𝑄𝑀 = 18 ± 4。我們基於參考文獻[3]的數值結果，分別取 rs = 30, 40，dz = 0.2, 0.6(關ℓ 於準二維系統厚度dz 值請見 2.1 節)的情形，求晶體相能量可能的極小值。 ℓ 圖 1-1、參考文獻[3]Fig.3：偶極系統溫度對 rs圖。本文 屬 於 零 溫 (T=0) 情 形 ， 其 量 子 融 化 (quantum melting)相變點為𝑟𝑄𝑀 = 18 ± 4，當 rs小於𝑟𝑄𝑀晶 體開始發生融化。 接下來透過參考文獻[4]，來檢驗我們設定參數的合理性。參考文獻[4]使用特徵

長度𝑟0 =C_4𝜋ℏdd𝑚2 = 𝑔𝑑𝑚 ℏ2 ，當二維粒子密度𝑛達到𝑛𝑟02 = 256以上，便開始出現晶體相。請 參照圖 1-2，橫座標軸應為參考文獻誤植。 圖 1-2、參考文獻[4]的 Fig.1：偶極系統粒子能量對𝑛𝑟₀2_關係圖， 當𝑛𝑟₀2 _{= 256以上可出現固體相(solid phase)。} 在此，我們得到𝑟0 = 1 (因為取長度單位gd = 1)，故rs =16，落在參考文獻[3]的要 求範圍內。故我們選用的參數亦符合參考文獻[4]的要求。 1.3 等效交互作用的調變：費希巴哈共振模式

超精細結構(hyperfine state)使得處於內部態(internal states)的原子(所有參與或不 參與碰撞過程的原子)，可藉由外場，如磁場，帶來的基曼效應(Zeeman effect)，使得 原子之間的交互作用，二體碰撞，透過外場耦合進而形成態相關位勢(state-dependent potential)。為求方便，我們標記了參與散射原子的超精細能階作為新的量子數：頻道 (channel)，以取代各原子的角動量量子數，同樣的，原子交互作用亦表現為頻道相關 位勢(channel-dependent potential)。 原子的低溫碰撞若加入磁場，便可透過基曼分裂(Zeeman splitting)調節，使閉鎖 通道(closed channel)的束縛態(bound state)達到開放通道(open channel)的無窮遠處漸 近能量，當然，這是基於兩個頻道均為系統允許態的前提之下。當調節至某一(共振) 外場值時，一旦經由開放通道入射發生二體碰撞的粒子動能總和，等於閉鎖通道束縛 態能量，兩頻道藉由超精細交互作用而相互耦合，此時入射原子的波函數可和(分子) 束縛態的波函數耦合而有共振行為，是為費希巴哈共振(Feshbach resonance)，特徵表 現為S波散射長度的發散。

圖1-3、費希巴哈共振模式涉及的原子間交互作用。碰 撞原子的位能與原子核間距之關係，以實線表 示。位能的漸近能量(asymptotic energy)則以虛 線表示，顯示兩頻道以兩者的超精細能階分裂 ∆E_HF隔開。水平線標示著閉鎖頻道的低能量束 縛態，它與開放頻道中具備漸近能量的自由態 (free state)近乎簡併，亦稱此自由態的能量為門 檻能量(threshold energy)。 圖1-4、接近費希巴哈共振模式的散射長度對磁場關係 圖。此為85 Rb，散射長度為負值時可具有等效 吸引勢，共振發生時的共振磁場約155高斯 (Gauss)。

在費米子的系統中，超過此一外場值，入射原子將形成費希巴哈分子(Feshbach molecule)，這也象徵著(等效)二體交互作用的變號，由相斥勢變為吸引勢，對應著物 質巨觀相可能發生的相變，就是著名的BEC-BCS crossover，也是實驗室製備超冷分 子(ultracold molecules)的方法之一。至於本文所描述的系統裡，三維冷原子碰撞觀察 到的強非彈性耗損，可經外場極化(與二維禁錮作結合)，而加以避免。 𝑎_𝑠 = 𝑎_𝑏𝑔 1 ± Δ𝐵 𝐵 − 𝐵_𝑟𝑒𝑠 (1.3.1) 其中𝐵_𝑟𝑒𝑠即為共振發生時的磁場值，𝑎_𝑏𝑔代表背景(background)散射長度，Δ𝐵則取決於 使得S波散射長度為零的磁場值，式子中正號或負號的選擇端看𝑎_𝑏𝑔為負號或正號。 這樣的低能量縛態其實被量子力學所保證，屬於普遍束縛態(universal bound state)： 𝐸_{𝑏𝑖𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} = − ℏ2 𝑚𝑎_𝑠2 (1.3.2) 理由如下：極低溫下的原子相對速度小，碰撞時間長，入射原子相對能量的不準 度能夠與束縛態的能量不準度相當，這才使得原子碰撞行為得以深究。一般而言，溫 度小於1mK時，原子便進入量子效應顯著的低溫碰撞區間，可透過量子力學裡針對球 對稱勢採用的分波法(partial wave)給出膺位勢(pseudopotential)。在此只需考慮前幾項 (低分波通道)的貢獻，因為高分波通道的能量太低，無法克服離心位能障。可預期當 BEC形成時s波將主宰超低溫原子碰撞，膺位勢的強度可透過s波(等向性)散射長度給 出，它同時也是玻恩(Born)一階近似下的精確解。我們可透過費希巴哈共振對接觸位 勢的抑制，進而使偶極作用的強度相對放大，讓低溫凝體系統達到強偶極作用之區 間。 本文結構如下：  第一章描述了BEC場域的相關概要，以及加入偶極作用後新量子相–晶體相–的出現， 並 簡 述 一 個 早 已 被 廣 泛 使 用 的 接 觸 勢 調 節 方 法 ： 費 希 巴 哈 共 振 模 式 (Feshbach resonance) ，透過它對接觸勢的抑制，可使得原子的偶極作用被相對放大。  第二章則為本文所引進的理論分析模型。包括穩定基態能量的HFA計算方法及其適用 的等效位勢、聲子激發態的理論依據；以及，透過短波長漸近行為分析而得出的數值 分析方法。  第三章是晶體相基態能量與聲子頻譜的計算，並對於數值計算結果進行討論。  第四章我們作了總結以及未來展望。

第二章

理論

承襲參考文獻[5]，提供等效的偶極交互作用之處理方法；其次，再以參考文獻[3] 所給出的條件：分子偶極晶體相僅出現在高粒子密度範疇(使得偶極作用在與動能之 間的競爭中勝出)，作為基礎；最後，取穩定基態能量最低的三角晶格，配合 HFA 變 分法，發展偶極晶體的穩定基態能量、聲子頻譜與切變模數計算。 2.1 偶極玻愛凝體的準二維等效勢 本文以參考文獻[5]的方法，將長程偶極作用納入凝體粒子的平均場位勢。首先， 為避免三維偶極交互作用在實空間(real space)出現的奇異點，參考文獻[5]將之作傅立 葉變換。由於偶極玻愛凝體氣體(Dipolar BEC gases)，在z軸囚禁位勢的強場禁錮下， 發生維度限縮(dimensional reduction)，而呈現準二維(quasi-2D case)之行為。於是，在 諧振子囚禁勢下，BEC作快速的零點振動(zero point oscillations)，透過對z軸的高斯波 函數作積分，可得出二維等效位勢。我們便由此等效位勢出發，進一步地使用Fock 近似，再配合非正交單粒子波函數修正，謀求晶體相(crysalline phase)的基態能量。 猶如三維的接觸位勢(contact potential)透過s波散射長度𝑎_𝑠 ，等效為接觸型粒子-粒子作用的平均場耦合常數 𝑔_3𝐷 = 4𝜋𝑎_𝑠，偶極作用的耦合亦表現為長度單位，在磁 偶極與電偶極系統中分別表示為 𝑔_𝑑 =μ0₃𝑑𝑚2 與 𝑔_𝑑 = _3ϵ𝑑𝑒2 0，其中，原子系統往往為磁 偶極作用，而擁有複雜能階結構的極性分子系統則多為電偶極交互作用系統。因為非 局域(non-local)偶極-偶極作用影響了短程局域(local)的散射過程，所以參考文獻[5]涉 及的 𝑔_3𝐷 均與(未屏蔽的)𝑔𝑔_{𝑑 𝑑}有關。 準二維偶極晶體的漢米爾頓量為 𝐻 = P i2 2𝑀+ M 2ωz2z2 + 1 2 i 𝑔_3𝐷δ 𝑟 _𝑖− 𝑟 _𝑗 + 𝑉_𝑑𝑑 𝑟 _𝑖 − 𝑟 _𝑗 (2.1.1) ij 𝑉_𝑑𝑑 𝑟 =3𝑔𝑑 4𝜋 1 − 3 cos2_𝜃 𝑟 3 (2.1.2) 準二維玻色愛因斯坦凝體的被侷限軸，z軸，將作零點振動，故粒子密度可變數 分離為 𝜌 𝑟 = 𝛹 𝑟 2 ₌ 1 𝜋𝑑_𝑧2𝑒𝑥𝑝 − 𝑧2 𝑑_𝑧2 𝑛 𝑥, 𝑦 (2.1.3) 其中𝑛 𝑥, 𝑦 為侷限平面(即x-y平面)之二維粒子密度，此粒子密度滿足總粒子數N的歸 一條件。作為準二維系統厚度的參數𝑑𝑧 = ℏ 𝑀𝜔𝑧，在52Cr系統約為微米級(𝜇𝑚)，相 對應的𝜔_𝑧約為2π100Hz至2π1000Hz，凝體尺寸(size)可達毫米級(mm)。在此亦適用於 原子單位( atomic unit)。

由給出的z方向高斯波包(Gaussian wavepacket)，對z軸積分，可得偶極作用項的能量 泛函為 𝐻_𝑑𝑑 =1 2 𝑑3𝑟 𝑑3𝑟 ′𝜌 𝑟 𝑉𝑑𝑑 𝑟 − 𝑟 ′ 𝜌 𝑟 ′ =1 2 1 2𝜋 3 𝑑3𝑘 𝜌 𝑘 𝑉 𝑑𝑑 𝑘 𝜌 −𝑘 (2.1.4) 由於三維偶極-偶極作用 Vdd 在實空間上有發生奇異點之虞，解決之道則是作傅立葉 變換以避免發散。偶極-偶極作用的傅立葉變換 𝑉 _𝑑𝑑 𝑘 = 𝑔_𝑑 3𝑘𝑧2 𝑘_𝑥2_{+ 𝑘} 𝑦2+ 𝑘𝑧2 − 1 (2.1.5) 發現傅立葉變換後的偶極作用不再出現奇異點。粒子密度的傅立葉變換 𝜌 𝑘 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑘𝑧2𝑑𝑧2 4 𝑛 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 (2.1.6) 則得出二維平面上 𝑘_𝑥, 𝑘𝑦 空間中等效的偶極-偶極作用 𝐻_𝑑𝑑 = 𝑔𝑑 2 1 2𝜋 2 𝑑2𝑘 𝑛 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 𝑛 −𝑘𝑥, −𝑘𝑦 × 2 2𝜋𝑑𝑧 −3 2𝑒𝑥𝑝 𝑘2_𝑑 𝑧2 2 𝑘 𝑒𝑟𝑓𝑐 𝑘𝑑_𝑧 2 (2.1.7) 其中令𝑘 = 𝑘𝑥2+ 𝑘𝑦2 = 𝑞，二維粒子密度取傅立葉變換為𝑛 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 。 同樣的我們取出能量泛函裡接觸位勢的部分，再度對z方向自由度的高斯波函數 積分。 在Hdd裡我們已獲得偶極-偶極作用在交互作用能中的貢獻，現在我們對總位能， 也就是合併了接觸位勢與偶極作用的交互作用能，再度進行傅立葉變換，可求出準二 維等效總位勢: 𝜐 𝑞 = _𝑑𝑔𝑑 𝑧 ℓ 𝜒ℓ 1 −3₂𝜒𝑞 𝑑𝑧 ℓ 𝑒 (𝑞_{2 )} 2 𝑑𝑧_ℓ 2 _{𝐸𝑟𝑓𝑐} 𝑞 2 𝑑𝑧 ℓ = 𝑔𝑑 𝑑𝑧 𝜒− 3 𝑔_𝑑 2 ℓ 𝑞𝑒 𝑞2 2 𝑑𝑧ℓ 2 𝐸𝑟𝑓𝑐 𝑞 2 𝑑𝑧 ℓ (2.1.8) 𝜒 = 𝜋 2 1 + 𝑔3𝐷 2 𝑔𝑑 (2.1.9) 其中，傅立葉變換下，偶極交互作用在動量空間中的等效強度為𝑔_𝑑。我們便以此作為 長度的基本單位ℓ ℓ = 𝑔𝑑𝑀 = 1 (2.1.10)

此外，已知參考文獻[5]描述的對象均為垂直於二維平面上的互斥偶極，可預期 動量空間上的準二維等效勢屬於等向性位勢，即 𝜐 𝑞 可覆寫為純量自變數的𝜐 𝑞 ，並 可經傅立葉變換 𝑉 𝑟 = 𝑑𝑞 𝜐 𝑞 𝑒𝒾𝑞 ∙𝑟 _(2.1.11) 套用至參考文獻[2]所給出的總能 E。 圖2-1、原子偶極-偶極示意圖。 θ代表偶極-偶極之間的 夾角。 在此先指出準二維偶極作用的特性。已知三維的偶極作用所具備的非等向性，導 致BEC呈現雪茄型或煎餅型，最終造成了系統的不穩定。本文將系統侷限在二維，導 致偶極交互作用呈現吸引勢的可能被充分排除，也就是偶極偏好以並排的排列方式彼 此互斥，頭尾相連的相吸偶極排列將不復存在，表現在組態空間(configuration space) 裡則相應於作用力為負值的區域呈指數減小。本文所討論的系統要求就更嚴苛了，我 們假定偶極完全垂直於侷限平面上(若系統改為費米粒子系統則一併保持了費米面而 不發生變形)，凍結偶極之間傾斜夾角θ的自由度帶來全為正值的偶極作用組態空間。 是以相較於三維的情形，準二維偶極凝體即使在偶極作用徹底主宰接觸位勢的情況下 仍是穩定的。 對於凝體粒子之間在平均場近似下的交互作用，欲描述兩者–偶極作用與接觸位 勢–相對的強度比例，可引進一無單位因次參數標誌之： ε𝑑𝑑 ≡ 𝑔_𝑑𝑚 4𝜋ℏ2_𝑎 𝑠 (2.1.12) 故ε_𝑑𝑑 = 𝑔𝑑 𝑔3𝐷。另外，也使得𝜒 = 𝜋 2 1+ _{2 ε𝑑𝑑}1 。 本文所描述的凝體系統，ε_𝑑𝑑範圍大致落在 0.5 左右，屬於強偶極作用區間，故 偶極作用不可忽略。相較於弱偶極系統例如87_Rb，其ε 𝑑𝑑則約為 0.007。強磁矩原子52Cr 的 s 波散射長度𝑎_𝑠約為奈米級(nm)，ε_𝑑𝑑約為 0.16，至少需要考慮偶極作用的微擾效

應(perturbative effect)，亦可透過費希巴哈共振(Feshbach resonance)再進一步達到強偶 極作用區。鹼金族元素也能藉由費希巴哈共振將 S 波散射長度調為零，微弱的原子磁 矩便能扮演交互作用的主要角色。

2.2 非正交基底的 Hartree-Fock 平均場理論 HFA 變分法尋求穩定基態能量，目標在於將穩定基態能量極小化，策略上則採 用對(單粒子)波函數的變分尋找極小值。因此，首要之務便在於，本文將試驗波函數 取為各晶格點上的高斯波包。 當玻愛凝體粒子透過長程偶極-偶極交互作用彼此聯繫，並且遭外場禁錮而形成 準二維系統時，我們知道，一旦系統維度降低，動能的自由度下降可導致動能下降； 但長程的非等向性偶極交互作用仍保持相同的自由度。這就導致了偶極交互作用被相 對放大，進而使準二維偶極玻愛凝體透露出新的量子相—晶體相—的可能性。 我們知道，HFA 只適用於單粒子的正交歸一基底，但選用的高斯波函數，雖可 滿足(無窮遠處)的歸一條件，卻互不正交。相較於一般性的正交基底問題，兩相對照 之下，可以想見：在多體交互作用中，考慮 HFA 平均場的情況裡，基底不正交的部 分，也就是各晶格點高斯波函數的疊加，將關鍵性的決定了系統能量之修正量。因此， 我們將高斯波包的寬度，1/ 𝛼，選作變分參數，從而完成了我們的第一步工作。 正因我們的單粒子試驗波函數不為正交基底，故以 HFA 近似前尚需考慮基底的 疊加(overlap)效應。除了從 Sturm-Liouville 理論中的 Gram-Schmidt 正交化方法得到 靈感，在參考文獻[2]提出的 LCAO 方法裡，已透過線性變換(linear transform)執行基 底的正交化，建構出一組新的正交歸一原子軌域(atomic orbitals, AO)基底，使漢米爾 頓量得以對角化。一旦完成了漢米爾頓量(Hamiltonian)的對角化程序，疊加積分影響 能量的效應，便已納入考慮。 𝑆_𝜇𝜈 = 𝜙𝜇∗𝜙𝜈 𝑑𝜏 − 𝛿𝜇𝜈 (2.2.1) 滿足𝑆_𝜇𝜇 = 0，𝜙_𝜈是單粒子波函數。因而波函數內積可表示成 𝑡_𝜇𝜈 = 𝜙𝜇∗𝜙𝜈𝑑𝜏 = 𝑆𝜇𝜈 + 𝛿𝜇𝜈 (2.2.2) 在我們的試驗高斯波函數裡 t 屬於實對稱矩陣，故為赫米(Hermitian)矩陣，並與漢米 爾頓量互為對易(commute)。 Hop是單粒子感受到的平均自洽場表現出來的等效漢米爾頓運算子 𝐻_𝜇𝜈 = 𝜙𝜇∗𝐻𝑜𝑝𝜙𝜈 𝑑𝜏 (2.2.3) 𝛹 = 1 𝑁! 12 𝑃_𝜇𝜈𝜙_𝜇 𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝𝑦 𝜇𝜈 𝜙_𝜈⋯ 𝜙_𝑁 (2.2.4) 交換運算子(permutation) P，在玻色系統中 P=1 滿足粒子交換對稱性，在此亦扮演了 各個基底波函數連乘積，佔多體波函數若干權重的係數角色。此時，多體系統能量的 期望值為 E = Ψ∗𝐻𝑜𝑝Ψ 𝑑Ω Ψ∗_{Ψ 𝑑Ω} (2.2.5)

漢米爾頓量的對角化，並作為單粒子態的新基底，將多體波函數改由這一組新的正交 歸一基底建構而成。我們發現兩組完備基底可透過疊加積分相互構成: φ = 𝑡−12𝜙。以 下是我們的分析: 已知新基底滿足正交歸一化條件： φ_𝜇 φ_𝜈 = 𝛿_𝜇𝜈，今設一線性變換ℒ，將波函數 𝜙轉為φ，將漢米爾頓量矩陣 H 轉為對角化矩陣𝐻 (假設對角化已完成。在此我們只 想找出該疊加效應下的線性變換，無涉數學的嚴格證明): φ = ℒ𝜙 (2.2.6) 𝐻 φ = εφ (2.2.7) 其中ε為相對應之能量本徵值。 接著，可以預期此線性變換必定與疊加積分 t 脫離不了干係，便在兩組新舊基底 的歸一化關係式中取巧。仿效 t，取ℒ為實對稱矩陣(赫米矩陣!)，可知ℒ與 t 互為對易， 並滿足 ℒ† _{= ℒ:} 𝛿𝜇𝜈 = φ𝜇 φ𝜈 = 𝜙𝜇 ℒ†ℒ 𝜙𝜈 = 𝜙𝜇 ℒℒ 𝜙𝜈 (2.2.8) 改寫成矩陣表示式，其中以 I 為單位矩陣(identity): I = ℒ𝑡ℒ = ℒℒ𝑡 (2.2.9) 找出線性變換ℒ = 𝑡−12。透過ℒ，可寫下𝐻_{𝑜𝑝在新舊基底下的矩陣元變換式:} 𝐻 _𝜇𝜈 = φ_𝜇 𝐻_𝑜𝑝 φ_𝜈 = 𝜙_𝜇 ℒ𝐻_𝑜𝑝ℒ 𝜙_𝜈 = ℒ𝐻_𝜇𝜈ℒ (2.2.10) 至此，漢米爾頓量矩陣的對角化已大功告成: 𝐻 → 𝐻 = 𝑡−12𝐻𝑡−12 = 𝑡−1𝐻 = 𝑇𝐻 (2.2.11) 其中T = 𝑡−1_{，在矩陣表示式裡為 t 的反矩陣，即為晶格點上高斯波函數的兩兩疊} 加積分。 由此可發現，基底正交化之前的本徵方程式: 𝑇𝐻𝜙 = ε𝜙 (2.2.12) 終於我們可以在試驗波函數的基礎上，進行修正後的 HFA 平均場能量計算。 Hartree-Fock 近似下將 E 寫成𝐻 裡的單體𝐻 ₁與二體𝐻 ₂作用(亦即忽略三體以上的多 體交互作用): E = 𝜇 𝐻 ₁ 𝜇 𝜇 + 𝜇𝜈 𝐻 ₂ 𝜇𝜈 + 𝜇𝜈 𝐻 ₂ 𝜈𝜇 𝜇𝜈 = 𝜇 𝑇𝐻₁ 𝜇 𝜇 + 𝜇𝜈 𝑇𝐻₂ 𝜇𝜈 + 𝜇𝜈 𝑇𝐻₂ 𝜈𝜇 𝜇𝜈 = 𝑇_𝜈𝜇 𝜇 𝐻₁ 𝜇 𝜇𝜈 + 𝑇_𝜅𝜇𝑇_λ𝜈 𝜇𝜈 𝐻₂ 𝜅λ + 𝑇_𝜅𝜈𝑇_λ𝜇 𝜇𝜈 𝐻₂ 𝜅λ 𝜇𝜈𝜅 λ

(2.2.13) 右 手 邊的 三個 項分 別為 單體 作用帶來 的動能 ， Hartree-direct 交互作用能與 Fock-exchange 交互作用能。其中 Fock 項加入總能中是為了滿足玻色子交換對稱性， 而被夾入的二體交互作用𝐻 2，則挪用參考文獻[5]在動量空間上的偶極(含接觸勢)交互 作用放入𝐻2，並與以上所討論的疊加效應修正 T 相乘，而作為𝐻 2 = 𝑇𝐻2。 2.3 晶體諧振的古典理論 得到了晶體相的能量極小值，問題還沒結束。我們無從得知，它是穩定的穩定 基態，或者只是某種半穩定的平衡態。除非，我們觀察系統對於微小擾動的反應，才 能判斷晶格究竟屬於何種平衡狀態。我們先談論兩項晶格諧振的假設，而它們既是假 設，也是微小擾動的必要條件。首先，粒子間的交互作用，只作用在粒子的瞬間位置 座 標 上 ， 忽 略 延 遲 效 應 (retardation effect) 。 此 即 為 瞬 時 粒 子 交 互 作 用 (instantly interparticle interaction)近似。再者，因為晶格振盪時，距平衡點的位移充分小，則作 為位移函數的位能U，將可對平衡點𝑅 作泰勒展開： U 𝑅 + 𝑢 = U 𝑅 + 𝑢 ∙ ∇U 𝑅 +1 2 𝑢 ∙ ∇ 2U 𝑅 + 1 3! 𝑢 ∙ ∇ 3 U 𝑅 + ⋯ (2.3.1) 其中𝑢 為位移量。在諧和近似(the harmonic approximation)之下，可取至二階項，即能 量對位移的變化為二階。此外，在多體問題裡，一般將平衡點取為各位置座標原點， 使泰勒展開改為麥克勞林展開。 由於恢復力在各個平衡點上都是零，故一次線性項為零。如此一來，導致僅存的 二階項，扮演了古典虎克定律(Hooke’s law)中的力常數角色。鑒於此，從力的觀點出 發，古典理論中描述晶格振盪的 3N 條古典運動方程式(N 是粒子總數)為： 𝑀𝑢 _𝜇 𝑅 = − ∂U ∂𝑢𝜇 𝑅 = − 𝐷_𝜇𝜈 𝑅 − 𝑅 ′ 𝑅 ′_𝜈 𝑢_𝜈 𝑅 ′ _(2.3.2) 其中 M 為粒子質量，並將二階微分項寫成如下形式： 𝐷_𝜇𝜈 𝑅 − 𝑅 ′ ₌ ∂2U ∂𝑢_𝜇 𝑅 ∂𝑢_𝜈 𝑅 ′ 𝑢 =0 (2.3.3) 其中𝜇表示自由度。發現若對各晶格點求和，將得出零。此乃肇因於固體晶格的平移 不變性(translational invariance)。 由於古典理論以簡正模(normal mode)描述小振幅的振盪(量子理論則進一步以各 簡正模中的線性諧振子表示之。兩者的相似，正是古典理論何以適用的原因)，故可 將波動解帶入運動方程。而這也顯示出晶格振動波屬於一種集體激發(collective excitation)的本質。

將此解取為𝑢 𝑅 , 𝑡 = 𝜖 𝑒𝑖 𝑘 ∙𝑅 −𝜔𝑡 _{，𝜖 表示偏振方向，帶回運動方程式。在週期性}

邊界條件下，可轉換為囿限於倒晶格動量空間中第一布里淵區(first Brillouin zone)的 久期方程(secular equation)： 𝑀𝜔2_{𝜖 = Φ 𝑘 𝜖 (2.3.4)} 其中，我們便將二階微分項的傅立葉級數，定義為動態矩陣(Dynamical matrix)： Φ 𝑘 = 𝐷 𝑅 𝑒−𝑖𝑘 ∙𝑅 𝑅 (2.3.5) 因此，透過振動運動方程式的解的代入，我們可將一個 3N(我們則是 2N)自由度 的問題，轉換成 3N 個單一自由度的問題。從此將各自由度的振動問題，視作 3N 個 獨立的諧振子，力常數𝑀𝜔2_{就是動態矩陣在動量空間上的本徵值。關於晶格彈性振動} 問題，對於原子的集體行為，在量子力學上可將這 N 個諧振子量子化為一種準粒子： 聲子(phonon)。這便使得漢米爾頓量可簡寫為： H = 𝑝 𝑙 2𝑚 𝑙 +1 2 𝑦 𝑙𝐷𝑙𝑙′𝑦 𝑙′ 𝑙𝑙′ (2.3.6) 𝑦 _l為各粒子座標 ，𝐷_ll′定 義請 參見(2.3.3) 。若取倒晶格向量𝐺 ，我們發現Φ 𝑘 = Φ 𝑘 + 𝐺 ，動態矩陣的週期性指向一個事實：晶格彈性波(聲子)也是運行於週期性位 勢的波(粒子)。當然聲子並不具有能帶結構(band structure)，因為聲子的自由度侷限在 第一布里淵區(FBZ)。 2.4 偶極晶格的聲子激發態 數值計算找出晶體相的能量極小值之後，我們便由此極值出發，探討偶極晶體的 聲子激發態。我們所處理的準二維偶極晶格，每一個波向量𝑘 具有2個正交本徵向量， 而晶格點上是沒有內在基元(basis)的，故能預期聲子激發態將呈現兩條聲頻聲子支 (acoustic branch)：一為縱向模式(longitudinal mode)，另一者為橫向模式(transverse mode)；表現為固體裡的聲音(sound)。此外，每一聲子支有N個模式，2N個自由度與 系統相空間一致。 最後，透過動態矩陣，我們檢驗此時的切變模數(shear modulus)，C66，是否為正 值。因為準二維偶極晶體相成為穩定基態的必要條件，即是切變模數不可小於或等於 零。至此我們便可充分了解，高粒子密度下的偶極玻愛凝體，除了一般的超流相以外， 是否具有進入晶體相的可能性。 2.5 數值方法：Fock 位能在短波長極限下的行為 經由參考文獻[5]的準二維偶極作用(含接觸勢)等效勢 𝜐 _𝑡𝑜𝑡2𝐷，即𝜐(𝑞 )的無窮遠處極 限性質，針對(3.1.17)棘手的 Fock 位能裡的無窮積分部分:

𝑑𝑞 𝑞 𝜐(𝑞 ) 𝑒[−_4𝛼𝑞2] ∞ 0 𝒥0 𝑞₂ 𝑅 − 𝑅𝑗 (2.5.1) 𝑚 本文發展了一個極限項的數值分析方法，使數值計算準確性提高。 由於接觸勢與偶極作用強度相等時(𝑔_3𝐷 = 𝑔_𝑑)，準二維等效勢的傅立葉變換可趨 於零(請參見圖2-2)，基於等效勢中與動量無關的項：𝑔_𝑑 𝑑_𝑧 𝜒 有HFA位能解析解的理 由，我們便取出與動量有關的項在無窮遠處極限值，發現這個一階項(first-order term) 如預期的也存在解析解！擷取這兩個可解析的項之後，只剩下等效勢在無窮遠處展開 的高階項(H.O.T, high-order term)被保留在數值積分中。透過這道程序，我們降低了數 值計算帶來的誤差，使得數值無窮積分更加準確。 圖2-2、準二維等效偶極(含接觸勢)交互作用位能的傅立葉 分析，以𝑔_𝑑 𝑑_𝑧 𝜒 (與動量無關的項，即接觸勢大小) 作為能量單位。實線(solid line)代表𝑔_3𝐷 = 2𝑔_𝑑 (即 𝜒 = 𝜋 2 2 ) 的 情 形 ， 點 線 (dotted line) 代 表 𝑔_3𝐷 = 𝑔_𝑑 (即 𝜒 = 2 𝜋 3 2 )的情形，描線(dashed line)代表 𝑔_3𝐷 𝑔_𝑑 → 0 (即 𝜒 = 𝜋₂ )由偶極作用支 配的情形。本文屬於實線所描述之系統。 針對(2.1.7)的準二維等效勢，首先針對與動量q無關的的接觸勢部分作解析處 理： 𝑉𝑐 = 𝑔_𝑑 𝑑_𝑧 𝜒 (2.5.2) 𝑑𝑞 𝑞 𝑉_𝑐 𝑒[−_4𝛼𝑞2] ∞ 0 𝒥₀ 𝑞₂ 𝑅 − 𝑅_𝑗 = _𝑚 𝑔𝑑 𝑑_𝑧 𝜒 2α 𝑒 −𝛼 4 𝑅𝑗 −𝑅𝑚 2 (2.5.3)

𝑉_𝑠 = −3 𝑔𝑑 2 ℓ 𝑞𝑒( 𝑞2 2 ) 𝑑𝑧ℓ 2 𝐸𝑟𝑓𝑐 𝑞 2 𝑑𝑧 ℓ (2.5.4) 提出無窮遠處極限值，列入一階項： 𝑉_𝑠𝐹𝑂 = − 3 𝑔𝑑 2𝜋𝑑𝑧 (2.5.5) 剩餘部份即為高階項(H.O.T)： 𝑉_𝑠𝐻𝑂 = 𝑉_𝑠− 𝑉_𝑠𝐹𝑂 = 3 𝑔𝑑 2𝜋𝑑𝑧 −3 𝑔𝑑 2 ℓ 𝑞𝑒 (𝑞_{2 )} 2 𝑑𝑧_ℓ 2 _{𝐸𝑟𝑓𝑐} 𝑞 2 𝑑𝑧 ℓ (2.5.6) 將一階項放入無窮積分，也能得到解析解： 𝑑𝑞 𝑞 𝑉_𝑠𝐹𝑂 𝑒[−_4𝛼𝑞2] ∞ 0 𝒥₀ 𝑞₂ 𝑅 − 𝑅_𝑗 = −_𝑚 3 𝑔𝑑 2𝜋𝑑𝑧 2α 𝑒 −𝛼4 𝑅𝑗 −𝑅𝑚 2 (2.5.7) 最終只剩高階項的位能留在數值積分中，精準度遠比準二維勢直接積分要來得大 為提高。接著，我們令𝜇 = 𝑞 2 𝑑𝑧 ℓ 作變數變換可以明顯發現： 𝑉𝑠𝐻𝑂 = − 3 𝑔_𝑑 2𝜋𝑑𝑧 𝜋 𝑒𝑥𝑝 𝜇2 _{𝐸𝑟𝑓𝑐 𝜇 − 1 (2.5.8)} 當𝜇趨近於無窮遠處，高階項的極限值為零，換句話說，當𝑞 → ∞時，等效為排 斥或吸引位勢將取決於Vc與VsFO間的競爭。(2.5.8)並指出高階項與一階項的比例關 係： 𝑟 = 𝑉𝑠𝐻𝑂 𝑉𝑠𝐹𝑂 = 𝜋 𝑒𝑥𝑝 𝜇 2 _{𝐸𝑟𝑓𝑐 𝜇 − 1 (2.5.9)} 事實上，高階項隨𝜇增加而遞減的幅度甚劇。以𝜇 = 5為例，比例r約為 -0.0189， 當𝜇 = 10時更只剩不到 -0.005，而這也是兩項解析解：Vc, VsFO的積分值，何以佔 據了大部分(90%以上)Fock位能的原因。 此外，在我們取用的參數𝑔3𝐷 = 2𝑔𝑑裡，使得𝜒 = 𝜋 2 2，導致Vc與VsFO的比 例關係為： 𝑉_𝑐 = 𝑔𝑑 𝑑𝑧 𝜒 = 𝑔_𝑑4 𝑑_𝑧 2𝜋 = − 4 3𝑉𝑠𝐹𝑂 (2.5.10) 故當𝑞 → ∞時，等效位勢為排斥或吸引勢的結果便明朗了： 𝑉_𝑐 + 𝑉_𝑠𝐹𝑂 = −1 3𝑉𝑠𝐹𝑂 > 0 (2.5.11) 除了符合準二維雙偶極交互作用的互斥事實，也能簡化兩解析解的計算程序。

第三章

計算與結果分析

3.1 晶體相穩定基態能量 我們首先參照參考文獻[1]的計算方法，謀求三角晶格的穩定基態能量計算公式， 再透過數值計算尋找可能的能量極小值。 由參考文獻[6]可知，三角晶格為晶體相最穩定的排列方式： 圖 3-1、晶體相的穩定排列方式。 我們所使用的晶格向量𝑎 ₁、a ₂與倒晶格向量𝑏 ₁、b ₂，符合表 3-1 的六角晶格 (Hexagonal)。 表 3-1、二維晶體的五種 Bravais 晶格。以 Hexagonal 亦即三角晶格的能量最穩定。

由參考文獻[1]可得知粒子密度𝑛與晶格長度 𝑎𝐿(即表 3-1 的 a0)的關係： 𝑛 = 1 3 2 𝑎𝐿2 (3.1.1) 由表 3-1 可知 𝑎0 𝑏0 = 4𝜋 3 = 2𝜋 cos 30𝑜，其中 𝑏0為倒晶格空間上最鄰近晶格點的 距離長度，符合倒晶格與晶格空間相互旋轉 30 度。在此，我們將試驗波函數取為晶 格點𝑅 上的高斯波函數： 𝑖 𝜙_{𝑅 𝑖} 𝑟 = 𝑟 𝑅 = _𝑖 2𝛼_𝜋 𝑒−𝛼 𝑟 −𝑅 𝑖 2 (3.1.2) 其中𝛼為變分參數(variational parameter)。可檢驗此非正交基底符合無窮遠處歸一條件： 𝜙 _𝑅𝑖 𝜙_{𝑅 𝑗} = 𝑅 𝑅_𝑖 = 𝑒_𝑗 −𝛼2 𝑅 −𝑅𝑖 𝑗 2 _(3.1.3) 根據晶格的平移不變性(Translational invariance)(參考文獻[1])，我們只需要計入 各晶格點對原點的疊加效應，乘上總粒子數 N 即為系統總能： 𝐸 = 𝐻 = 𝑇𝑗𝑖 𝑅 𝑖 𝑃2 2𝑀 𝑅 𝑗 𝑖𝑗 + 1 2𝐿2 𝜐 𝑞 𝑇𝑗𝑖𝑇𝑚𝑙 + 𝑇𝑗𝑙𝑇𝑚𝑖 𝑖𝑗𝑙𝑚 𝑞 𝑅 , 𝑅_𝑖 𝑒_𝑙 𝑖𝑞 ∙ 𝑟 1−𝑟 2 𝑅 𝑗 , 𝑅 _𝑚 = 𝑁 𝑇_𝑗0 𝑗 0 𝑃2 2𝑀 𝑗 +_2𝐿𝑁₂ 𝜐 𝑞 𝑇𝑗0𝑇𝑚0 0, 𝑙 𝑒𝑖𝑞 ∙ 𝑟 1−𝑟 2 𝑗, 𝑚 + 𝑙 𝑞 𝑗𝑙𝑚 + 𝑁 2𝐿2 𝜐 𝑞 𝑇𝑗0𝑇𝑚0 0, 𝑙 𝑒𝑖𝑞 ∙ 𝑟 1−𝑟 2 𝑗 + 𝑙, 𝑚 𝑞 𝑗𝑙𝑚 (3.1.4) 其中，承自(2.1.7)的𝜐 𝑞 與(2.2.12)的矩陣元𝑇_𝑗0。 針對單體或二體漢米爾頓量的區別，我們將單體動能項與二體位能項分開： 𝐸 𝑁 = 𝐾 𝑁+ 𝑉 𝑁 (3.1.5) 其中動能項部分為： 𝐾 𝑁 = 𝑇𝑗0 0 𝑃2 2𝑀 𝑗 𝑗

= 𝑇𝑗0 ℏ2 2𝑀 2𝛼 − 𝛼2𝑅𝑗2 𝑒− 𝛼 2𝑅𝑗2 𝑗 =ℏ2 𝑀 𝑇𝑗0 𝛼 1 − 𝛼 2𝑅𝑗2 𝑒− 𝛼 2𝑅𝑗2 𝑗 (3.1.6) 其中，尚未參入疊加積分效應的動能運算子，在單粒子態的內積為： 𝑅 _𝑖 𝑃2 2𝑀 𝑅 =𝑗 ℏ2 2𝑀 2𝛼 − 𝛼2 𝑅 − 𝑅𝑖 𝑗 2 𝑒−𝛼2 𝑅 −𝑅𝑖 𝑗 2 _(3.1.7) 接著，計算 HFA 位能的部分： 𝑉 𝑁= 1 2𝐿2 𝜐 𝑞 𝑇𝑗0 𝑗𝑙𝑚 𝑇𝑚0 00 𝑒𝑖𝑞 ∙ 𝑟 1−𝑟 −𝑅2 𝑙 𝑗, 𝑚 𝑞 + 1 2𝐿2 𝜐 𝑞 𝑞 𝑇_𝑗0 𝑗𝑙𝑚 𝑇_𝑚0 0𝑙 𝑒𝑖𝑞 ∙ 𝑟 1−𝑟 2 𝑗 + 𝑙, 𝑚 (3.1.8) 由於試驗波函數處在實空間，準二維等效勢則在倒晶格空間，我們首先處理傅立葉變 換帶來實空間上的內積： 𝑅 𝑒_𝑖 𝑖𝑞 ∙𝑟 _𝑅 𝑗 = 𝑒 −𝛼2 𝑅 −𝑅𝑖 𝑗 2−𝑞 2 8𝛼+2𝑞 ∙ 𝑅𝑖 +𝑅𝑖 𝑗 _(3.1.9)

已知，對所有晶格點向量𝑅 均滿足e_𝑖 𝒾𝐺 ∙𝑅 𝑖 = 1的集合𝐺，可形成倒晶格(reciprocal lattice)

向量；而晶格向量與倒晶格向量具有關係式如下： e𝒾𝑞 ∙𝑅 𝑖 𝑅𝑖 = N δ_{𝑞 𝐺} 𝐺 = 0, 若𝑞 ≠ 𝐺 N, 若𝑞 = 𝐺 (3.1.10) 將(3.1.9)與(3.1.10)套入 HFA 位能計算： 𝑉 𝑁 = 𝑛 2 𝜐(𝐺 ) 𝐺 𝑇_𝑗0𝑇_𝑚0𝑒 −𝛼2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 −𝐺2_4𝛼+₂𝑖𝐺 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 𝑗𝑚 +1 2 𝜐 𝑞 𝐿2 𝑞 𝑇_𝑗0𝑇_𝑚0𝑒 −𝛼2 𝑅 +𝑅𝑗 𝑙 2−𝛼2 𝑅 −𝑅𝑚 𝑙 2−𝑞24𝛼+2𝑞 ∙ 𝑅𝑗𝑖 −𝑅𝑚 𝑗𝑙𝑚 (3.1.11) 由於參考文獻[6]愛華德公式(Ewald’s generalized theta function transformation)說明了 離散實空間與離散動量空間的連結： 𝑒−𝑡 𝑟 −𝑅 𝑙 2+𝑖𝑞 ∙𝑅 𝑙 𝑙 = 𝜋 𝑎_𝑐𝑡 𝑒𝑖 𝐺 +𝑞 ∙𝑟 − 𝐺 +𝑞 2 4𝑡 𝐺 (3.1.12) 𝑎_𝑐代表單元晶胞(primitive cell)面積，等於 3₂ 𝑎_𝐿2。在我們的位能計算裡，則適用於

𝑒−𝑡 𝑟 −𝑅 𝑙 2 𝑙 = 𝜋 𝑎𝑐𝑡 𝑒 𝑖 𝐺 ∙𝑟 − 𝐺 2 4𝑡 𝐺 (3.1.13) 將各個變數帶入後可得： 𝑒−𝛼 𝑅 𝑚 −𝑅 𝑗 2 −𝑅 𝑙 2 𝑙 = 𝑛𝜋 𝛼 𝑒 𝑖 𝐺 ∙ 𝑅 𝑚₂−𝑅 𝑗 − 𝐺 2 4𝛼 𝐺 (3.1.14) 接著，可將 Fock 位能改寫成： 𝑉𝐹 =

𝑛𝜋

2𝛼

𝜐

𝑞

𝐿

2 𝑞

𝑇

_𝑗0

𝑇

_𝑚0

𝑒

−𝜶𝟒 𝑹 𝒋+𝑹 𝒎 𝟐 −𝑞2_4𝛼+_𝟐𝑞𝒊 ∙_{𝑹𝒋 −𝑹𝒎} 𝑗𝑚

𝑒

−𝐺24𝛼−2𝑖𝐺 ∙ 𝑅 𝑗−𝑅 𝑚 𝐺 =𝑛𝜋 2𝛼 𝑇𝑗0𝑇𝑚0𝑒 −𝜶_𝟒 𝑹 +𝑹𝒋 𝒎 𝟐 −𝐺2_4𝛼−_𝟐𝑮𝒊 ∙ 𝑹𝒋 −𝑹𝒎 𝑗𝑚 𝐺 1 2𝜋 2 𝑑𝑞 𝜐 𝑞 𝑒 −𝑞2_4𝛼+₂𝑖𝑞 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 (3.1.15) 由於零階貝索函數(Bessel function)𝒥₀ 𝑞 2 𝑅 − 𝑅𝑗 具有如下關係： 𝑚 𝒥₀ 𝑥 = 1 2𝜋 𝑑𝜃 𝑒𝒾𝑥 sin 𝜃 2𝜋 0 = 1 2𝜋 𝑑𝜃 𝑒𝒾𝑥 cos 𝜃 2𝜋 0 (3.1.16) 終於我們得出Hartree 項加上 Fock 項的總位能： 𝑉 𝑁 = 𝑛 2 𝜐 𝐺 𝐺 𝑇_𝑗0𝑇_𝑚0𝑒 −𝛼2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 −𝐺2_4𝛼+₂𝑖𝐺 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 𝑗𝑚 + 𝑛 4𝛼 𝑇𝑗0𝑇𝑚0𝑒[− 𝜶 𝟒 𝑹 +𝑹𝒋 𝒎 𝟐 −𝐺2_4𝛼−_𝟐𝑮𝒊 ∙ 𝑹𝒋 −𝑹𝒎 ] 𝑗𝑚 𝐺 𝑑𝑞 𝑞 𝜐(𝑞 ) 𝑒[−𝑞2_4𝛼] ∞ 0 𝒥₀ 𝑞₂ 𝑅 − 𝑅_{𝑗 𝑚} (3.1.17) 至此，便已進入數值計算的工作。我們選取 61 個晶格點進行數值模擬，分別計 算動能、位能，加總而得出穩定基態總能量。請見圖 3-3 至圖 3-10，與表 3-2。 3.2 激發態：聲子頻譜 假如找到了晶體相的能量極小值，我們便以此能量極值與其相對應的變分參數𝛼， 試探此時系統對於微擾的反應，看看這個晶體相是否確為系統的穩定基態。晶體總位 能 𝑉 ，取決於兩兩晶格點之間相對位能之總和。利用晶體的平移對稱性，可再進一 步改寫，變成各晶格點𝑅 與原點的相對位能，乘上晶格點總數 N： 𝑉 =1 2 𝑉 𝑅 − 𝑅𝑙 𝑖 𝑙𝑖 =𝑁 2 𝑉 𝑅 𝑅 ≠0 (3.2.1)

其中 N 是晶格點總數，亦為晶體中原始晶格晶胞(primitive unit cells)的總數。 但因聲子自由度受限於第一布里淵區(簡寫為 FBZ)內，故加總𝑞 = 𝐺 會變成對於 FBZ 內的𝑞 作加總。因此各晶格點𝑅 ，相對於原點的位能𝑉 𝑅 為： 𝑉 𝑅 = 1 𝐿2 𝜐 𝑞 𝑇𝑗0𝑇𝑚0𝑒 −𝛼₂ 𝑅_𝑗2+𝑅𝑚2 −4𝛼𝑞2+2𝑖𝑞 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 _𝑒 −𝑖𝑞 ∙𝑅 𝑗𝑚 𝑞 +_(2𝜋)1 ₂ 𝑑𝑞 𝜐 𝑞 𝑇_𝑗0𝑇𝑚0 𝑗𝑚 𝑒 −𝛼2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 −_4𝛼𝑞2+₂𝑖𝑞 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 _𝑒 −𝛼𝑅2−𝛼 𝑅 −𝑅𝑗 ∙𝑅 𝑚 (3.2.2) 其中，承自(2.1.7)的𝜐 𝑞 與(2.2.12)的矩陣元𝑇_𝑗0。令： 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 = 𝑇_𝑗0𝑇_𝑚0𝑒 −𝛼2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 −𝑞2_4𝛼+₂𝑖𝑞 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 _(3.2.3) 則： 𝜏 𝑞 = 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 𝑗𝑚 (3.2.4) 故可將位能改寫為： 𝑉 𝑅 = 1 𝐿2 𝜐 𝑞 𝜏 𝑞 𝑞 𝑒 −𝑖𝑞 ∙𝑅 + _2𝜋 1 ₂ 𝑑𝑞 𝑗𝑚 𝜐 𝑞 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 𝑒 −𝛼𝑅2−𝛼 𝑅 −𝑅𝑗 ∙𝑅 𝑚 (3.2.5) 對位能作一階、二階微分，以期寫下動態矩陣： 𝜕𝑉 𝑅 𝜕𝑅𝛼 = 1 𝐿2 𝜐 𝑞 𝜏 𝑞 −𝑖𝑞𝛼 𝑞 𝑒 −𝑖𝑞 ∙𝑅 + _2𝜋 1 ₂ 𝑑𝑞 𝑗𝑚 𝜐 𝑞 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 −2𝛼𝑅𝛼 _{− 𝛼𝑅} 𝑗𝛼+ 𝛼𝑅𝑚𝛼 𝑒 −𝛼𝑅 2_{−𝛼 𝑅} 𝑗 −𝑅 ∙𝑅 𝑚 (3.2.6) 𝜕2_{𝑉 𝑅} 𝜕𝑅𝛼_𝜕𝑅𝛽 = 1 𝐿2 𝜐 𝑞 𝜏 𝑞 −𝑞𝛼𝑞𝛽 𝑞 𝑒 −𝑖𝑞 ∙𝑅 − 1 2𝜋 2 𝑑𝑞 𝑗𝑚 𝜐 𝑞 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 𝑒 −𝛼𝑅2−𝛼 𝑅 +𝑅𝑗 ∙𝑅 𝑚 × 2𝛼𝛿𝛼𝛽 − 2𝛼𝑅 + 𝛼𝑅 − 𝛼𝑅𝑗 𝑚 𝛼 2𝛼𝑅 + 𝛼𝑅 − 𝛼𝑅𝑗 𝑚 𝛽

可得傅立葉變換下的動態矩陣： 𝛷𝛼𝛽 _𝓀 = 𝑒𝑥𝑝 𝒾 𝓀 ∙ 𝑅 𝑅 𝜕2_𝑉 𝜕𝑅𝛼_𝜕𝑅𝛽 = 𝑛 𝜐 𝓀 + 𝐺 𝜏 𝓀 + 𝐺 𝓀 + 𝐺 𝛼 𝓀 + 𝐺 𝛽 𝐺 − 𝑛 4𝜋𝛼 𝑑𝑞 𝐺 𝑗𝑚 𝜐 𝑞 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 × 𝑒 − 𝓀 +𝐺 2 4𝛼 +𝛼4 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 2−2𝑖 𝓀 +𝐺 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 𝓀 + 𝐺 𝛼 𝓀 + 𝐺 𝛽 (3.2.8) 上標α, β代表二維系統自由度，其中 𝑑𝑞 𝜐 𝑞 𝜏 𝑗, 𝑚, 𝑞 = 𝑇_𝑗0𝑇𝑚0𝑒 − 𝛼 2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 _{𝑑𝑞 𝜐 𝑞 𝑒} −𝑞2_4𝛼+₂𝑖𝑞 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 = 𝑇_𝑗0𝑇_𝑚0𝑒 −𝛼2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 _{2𝜋 𝑑𝑞 𝑞 𝜐 𝑞 𝑒} −𝑞2_4𝛼 ∞ 0 𝒥₀ 𝑞₂ 𝑅 − 𝑅_{𝑗 𝑚} = 2𝜋 𝑇_𝑗0𝑇_𝑚0 𝑒 −𝛼2 𝑅𝑗2+𝑅𝑚2 _{𝑈 𝑗, 𝑚 (3.2.9)} 並且令無窮積分為： 𝑈 𝑗, 𝑚 = 𝑑𝑞 𝑞 𝜐(𝑞) 𝑒[−𝑞2_4𝛼] ∞ 0 𝒥₀ 𝑞₂ 𝑅 − 𝑅_𝑗 (3.2.10) _𝑚 至此，動態矩陣可改寫為： 𝛷𝛼𝛽 _𝓀 = 𝑛 𝜐 𝓀 + 𝐺 𝜏 𝓀 + 𝐺 𝓀 + 𝐺 𝛼 𝓀 + 𝐺 𝛽 𝐺 + 𝑛 2𝛼 𝑇𝑗0𝑇𝑚0 𝐺 𝑗𝑚 𝑈 𝑗, 𝑚 𝑒 −𝛼4 𝑅 +𝑅𝑗 𝑚 2 𝑒 − 𝓀 +𝐺 2 4𝛼 −2𝑖 𝓀 +𝐺 ∙ 𝑅 −𝑅𝑗 𝑚 𝓀 + 𝐺 𝛼 𝓀 + 𝐺 𝛽 (3.2.11) 套入動態矩陣的本徵方程式(2.3.4)，以求得聲子頻譜： Φ11 M − ω2 Φ12 M Φ21 M Φ22 M − ω2 = 0 (3.2.12) 本徵值即為我們所預期的兩條聲頻聲子支：

2𝑀𝜔2 _{= 𝛷}11_{+ 𝛷}22 _{± 𝛷}11_{− 𝛷}22 2_{+ 4𝛷}12_𝛷21 _(3.2.13)

參照參考文獻[6]，沿著圖 3-2 的特殊方向：Γ、J、X、Γ，畫出聲子頻譜。

圖 3-2、二維 hexagonal 晶格的第一布里淵區(first Brillouin zone)，

座標軸 qx、qy即我們的 kx、ky。粗黑線的三角形區域為第 一布里淵區的不可化約單元(irreducible element)。 另外，我們利用二維晶體僅存的兩個獨立的彈性係數，來檢查晶體相的穩定性： 𝛷𝛼𝛽 _{𝓀 = 𝐶} 11 𝓀𝛼𝓀𝛽 − 𝐶66 𝓀𝛼𝓀𝛽 + 𝐶66 𝓀2𝛿𝛼𝛽 = 𝐶₁₁− 𝐶₆₆ 𝓀𝛼_𝓀𝛽 _{+ 𝐶} 66 𝓀2𝛿𝛼𝛽 (3.2.14) 壓縮模數(compression modulus)： 𝐶₁₁ = 1 2 𝑑2_𝛷𝑥𝑥 _𝓀 𝑥 𝑑𝓀_𝑥2 | 𝓀𝑦 =0 (3.2.15) 切變模數(shear modulus)： 𝐶66 = 1 2 𝑑2_𝛷𝑥𝑥 _𝓀 𝑦 𝑑𝓀𝑦2 | 𝓀𝑥 =0 (3.2.16) 數值計算之結果請參照圖 3-11 至圖 3-14，與表 3-3。 3.3 數值結果分析 在設定環境參數 gd=1、g3D=2 的情況下，取 61 個晶格點(sites)，分別在 rs=30, 40、 dz =0.2, 0.6 的情形下得出四組相關資料：能量極值、聲子激發譜、壓縮係數與切變ℓ

首先，就我們可成功得出能量極小值的事實，檢驗這個平衡態是否合於物理條件。 由於量子相屬於物質波動性發生疊加的結果，鑒於此，我們有一個簡單的判準：the Lindemann criterion of melting，可估計晶體是否發生量子融化。局域波函數寬度一旦 達到粒子平均距離的尺度，晶體相很可能開始變得不穩定。在我們所使用的參數裡， 對應的判別方式可寫成：_{1 𝛼}≥ 𝑎。由於我們使得調變參數𝑟𝑠 = 1 𝑎 ，導致二維粒子 密度𝑛 = 1 a2 _{= 𝑟} 𝑠2，也改寫了判別方式：n ≥ 𝛼。在我們選用的dz = 0.2, 0.6 範圍內，ℓ rs = 30, 40 的情況下，晶體相發生能量極小值的變分參數𝛼，數量級都在 102~103，由 此可知，至少在這個簡單判別式下，還稱得上吻合。 𝛼_𝑚𝑖𝑛 穩定基態能量 位能 動能 Hartree Fock rs=30, d_z =0.2 425 ℓ 7240.6 4531.5 2709.1 3590.6 940.88 rs=30, d_z =0.6 456 ℓ 4248.9 1524.2 2724.7 1196.9 327.24 rs=40, d_z =0.2 996 ℓ 12994.2 8067.1 4927.2 6385.6 1681.40 rs=40, d_z =0.6 793 ℓ 7544.3 2709.1 4835.2 2127.8 581.24 表 3-2、四個組合裡：rs=30, 40、d_z =0.2, 0.6，個別的αℓ _min之下所對應的穩定基

態能量、位能、動能、Hatree 位能與 Fock 位能。α_min表示在不同的 rs, d_z 組ℓ

合之下，發生能量極值的𝛼值(variational parameter)。 LA (J) TA (J) LA (X) TA (X) 聲頻範圍 C11 C66 rs=30, d_z =0.2 57056 57056 52696 4108.9 ℓ 60000 9277.53 84.25 rs=30, d_z =0.6 26844 26844 25523 2436.1 ℓ 30000 3168.12 47.56 rs=40, d_z =0.2 46898 46898 48122 7688.1 ℓ 50000 18287.12 865.24 rs=40, d_z =0.6 50839 50839 47900 4275.8 ℓ 60000 5597.28 71.10 表 3-3、四個組合裡：rs=30, 40、d_z =0.2, 0.6，LA 與 TA 分別在 J 點與 X 點的聲子ℓ 頻率、聲子頻譜範圍、壓縮模數 C11與切變模數 C66。J、X 點定義請見圖 3-2。 綜合分析(請參照附圖的部分)： (1) 相同d_z 之下，其密度愈高者，產生能量極值的𝛼ℓ _𝑚𝑖𝑛也愈大；顯示當粒子的平均距離 愈短，疊加的波包寬度必須更窄，避免晶體相融化成超流相。 (2) 相同 rs 者，動能相仿，僅取決於𝛼_𝑚𝑖𝑛值；由於(2.5.2)的 Vc 與(2.5.5)的 VsFO 反比於d_z ℓ， 故相同 rs 者，其 Hatree 位能、Fock 位能與總位能，與dz趨勢上大致上是成反比的。 (3) d_z =0.2 者位能大於動能，dℓ _z =0.6 者位能小於動能。暗示了愈趨於二維的系統(較ℓ 小的d_z 值)，穩定基態也許具有愈傾向晶體相的可能(位能大過動能)；但由於此時的ℓ

位能包括偶極作用與接觸勢，我們可藉由 Vc 的 Hartree 項與 Fock 項相等之事實，以 及(2.5.11)，大致地估算偶極作用與接觸勢的比例多寡。

(4) 聲子頻譜範圍均一致落在 10 的 4 次方數量級。在 rs=30, dz =0.6 情形下ℓ ，聲頻略低。

總體而言，我們的聲子頻譜與參考文獻[6]的 Fig. 2 在大致的走向上相符(請參照附圖 的圖 3-16)，應該具有相當的可靠度。

(5) 縱向聲子頻率(LA)對應於動態矩陣本徵方程中的 even mode，它在 k 趨近於零處的頻 率較高，橫向聲子頻率(TA)則為 odd mode。請參照參考文獻[6]。

(6) 長波長極限下，參考文獻[6]顯示(請參照附圖的圖 3-16)，波向量 k 趨近於零處，較高 頻率的 LA 以 𝑘趨於零，較低頻的 TA 則以 k 趨於零。我們的結果無從得出對 k 的精 確的冪次比例，但仍呈現了 LA 聲頻下降較 TA 迅速的傾向；合理表現出晶格破壞連 續平移對稱性，所帶來的 Goldstone 激發態。 (7) 由於 J 點的對稱性使得兩聲頻聲子支 LA、TA 於 J 點發生簡併；Φ𝑥𝑦_{趨於零，使得動} 態矩陣的本徵方程出現重根。X 點處則兩支(branches)頻率差距最大，若降為零則意 味著 C66出現負值，晶體以 X 的波向量振盪可能發生崩解。 (8) 二維的晶體若為穩定基態，切變模數 C66必定為正值。我們的四組模擬資料也顯示出 這個情形。並且 rs=40, dz =0.2 的 Cℓ 11與 C66數量級大於他者，合理地反應出系統愈 趨於二維，粒子密度愈高，將愈容易形成偶極晶格的傾向。請見圖 3-17 至圖 3-19。 (9) 穩定的二維晶體允許壓縮模數(compression modulus) ，C11，呈現負值。而我們四組 資料均顯示正值的 C11，這是因為我們的試驗波函數在設計時，就沒有考慮高斯波包 寬度的振動。(負值 C11的意義為，晶體相也許不為完美剛體(rigid)；偶極晶格可能也 具備類似於密度波(density wave)的激發模式，類比於電中性維格納晶格的電漿子 (plasmon)。存在此激發坐實了偶極交互作用作為一種長程力的本質；因為密度波 (density wave)乃玻色粒子群在它們共同作為一個整體的情況下，所產生的一種集體激 發(collective excitation)。局部波函數寬度的變化給出粒子密度振盪的平均頻率(在電子 的維格納晶體中則表現為電漿頻率)，故二維晶體的 C11未必恆為正值。) 此外，在我們的求解方法裡，接觸勢的Hartree項會等於其Fock項，也符合費米子 (我們是玻色系統)沒有s波散射，故不受接觸勢作用的結果，某種程度的檢驗了本文計 算方法的正確性。事實上低能散射裡，只限於角動量為奇數的分波(𝑙=1, 3, 5,…)，方 可出現在費米系統的散射矩陣中，玻色系統則作偶數角動量的分波散射(𝑙=0, 2, 4,…)。 因對稱性的緣故，使得散射振幅只取用奇數或偶數的散射矩陣元，也使得被取用的分 波散射截面積(cross-section)相較於全同粒子的情形，竟大了整整一倍。 我們發現，純接觸勢(g3D)的BEC雖然無法形成晶體相，一旦引進偶極作用形成偶 極晶格後，接觸勢在晶格裡竟扮演關鍵性角色。在g3D=0的例子中(保持gd=1)，我們 算出複數的聲子頻譜，故短波長極限下為吸引勢的系統(請見圖2-2)，可能仍為超流相。 純二維偶極晶格相關研究中，向來將位能的部分僅專注於偶極作用的貢獻；在此，我

有接觸勢(即g3D=0)的納入，甚至考慮了接觸勢卻小於偶極作用時(即g3D≤gd=1)，準二 維偶極晶格將回到超流相。請見圖3-17。

第四章

結論

當接觸勢大於等於偶極作用，準二維偶極玻愛凝體在高粒子密度情形下將出現晶 體相。 本文取長程偶極作用與動能的比例rs=30,40 (密度n=900, 1600)，厚度d_z =0.2, 0.6ℓ 時，透過本文所建構的高斯波函數，可經由Hartree-Fock平均場得出能量極值；再由 HFA位能的動態矩陣(dynamical matrix)分析聲子激發態，並從切變模數(與壓縮模數) 恆為正值的結果看來，晶體相應為高粒子密度下準二維玻愛凝體的穩定基態。我們發 現準二維與純二維晶體相不同之處在於，純二維晶體相可忽略接觸勢而僅考慮偶極作 用對位能的貢獻，但準二維接觸勢必須大於等於偶極作用(即g3D≥gd=1)，否則無法形 成準二維偶極晶格。 此外，參考文獻[3]談論的系統，為分子的偶極晶格，涉及分子複雜的內部能階。 我們採納參考文獻[3]的晶體相判準，卻凍結這些內部自由度，回歸原子系統。由於 分子偶極晶格波函數，可透過原子軌域線性組合 (LCAO)，或布洛赫理論(Bloch theorem)來構成，所以本文的計算方法仍有延伸至分子偶極凝體的可能。

參考文獻

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[2] P. 0. Lowdin, J. Ch em. Phys. 18, 365 (1950).

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98, 060405 (2007).

[5] U. R. Fischer, Phys. Rev. A 73, 031602(R) (2006).

附圖

圖 3-3 、 gd=1 ， g3D=2 ， rs=30 ，d_z =0.2 的 基 態 能 量 對 α 關 係 圖 。 ℓ 單位能量為ℏ2 _2Mℓ2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 圖 3-4、gd=1，g3D=2，rs=30，d_z =0.2 的基態能量(Total)、位能(PE)、動ℓ 能 KE)分別對α作圖(對應的曲線為上、中、下)。單位能量為 ℏ2 _2Mℓ2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 7200 7250 7300 7350 7400 7450 7500 7550 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 G ro u n d -s ta te E n erg y

rs=30, dz/L=0.2

2500 3500 4500 5500 6500 7500 0 500 1000 1500 En e rg y (variational parameter)

rs=30, dz/L=0.2

Total PE KE

圖 3-5 、 gd=1 ， g3D=2 ， rs=30 ，d_z =0.6 的 基 態 能 量 對 α 關 係 圖 。 ℓ 單位能量為ℏ2 _ℓM 2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 圖 3-6、gd=1，g3D=2，rs=30，d_z =0.6 的基態能量(Total)、位能(PE)、ℓ 動能(KE)分別對α作圖(對應的曲線為上、下、中)。單位能量為 ℏ2 _ℓM 2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 4200 4250 4300 4350 4400 4450 4500 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 G ro u n d -s ta te E n erg y (variational parameter)

rs=30, dz/L=0.6

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 En e rg y (variational parameter)

rs=30, dz/L=0.6

Total PE KE

圖 3-7 、 gd=1 ， g3D=2 ， rs=40 ，d_z =0.2 的 基 態 能 量 對 α 關 係 圖 。 ℓ 單位能量為ℏ2 _ℓM 2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 圖 3-8、gd=1，g3D=2，rs=40，d_z =0.2 的基態能量(Total)、位能(PE)、ℓ 動能(KE)分別對α作圖(對應的曲線為上、中、下)。單位能量為 ℏ2 _ℓM 2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 12900 13000 13100 13200 13300 13400 13500 13600 0 500 1000 1500 2000 2500 G ro u n d -s ta te E n erg y (variational parameter)

rs=40, dz/L=0.2

4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 0 500 1000 1500 2000 2500 En e rg y (variational parameter)

rs=40, dz/L=0.2

Total PE KE

圖 3-9 、 gd=1 ， g3D=2 ， rs=40 ，d_z =0.6 的 基 態 能 量 對 α 關 係 圖 。 ℓ 單位能量為ℏ2 _ℓM 2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 圖 3-10、gd=1，g3D=2，rs=40，d_z =0.6 的基態能量(Total)、位能(PE)、ℓ 動能(KE)分別對α作圖(對應的曲線為上、下、中)。單位能量為 ℏ2 _ℓM 2_{，α單位為1 ℓ 。} 2 7500 7550 7600 7650 7700 7750 7800 7850 7900 7950 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 G ro u n d -s ta te E n erg y (variational parameter)

rs=40, dz/L=0.6

2500 3500 4500 5500 6500 7500 500 700 900 1100 1300 En e rg y (variational parameter)

rs=40, dz/L=0.6

Total PE KE

圖 3-11、gd=1，g3D=2，rs=30，dz =0.2 的聲子頻譜。橫軸波向量單位為1 ℓℓ ，

縱軸頻率單位為ℏ M ℓ2_。

圖 3-12、gd=1，g3D=2，rs=30，d_z =0.6 的聲子頻譜。橫軸波向量單位為1 ℓℓ ，

圖 3-13、gd=1，g3D=2，rs=40，d_z =0.2 的聲子頻譜。橫軸波向量單位為1 ℓℓ ，

縱軸頻率單位為ℏ M ℓ2_。

圖 3-14、gd=1，g3D=2，rs=40，d_z =0.6 的聲子頻譜。橫軸波向量單位為1 ℓℓ ，

圖 3-15、52Cr 實例：ε_𝑑𝑑約為 0.16。當 rs=40, d_z =0.2 可得𝛼ℓ _𝑚𝑖𝑛=965,

總能 E=25779, C11=50807.67, C66=3646.97。橫軸波向量單位

為1 ℓ ，縱軸頻率單位為ℏ M ℓ2_{。彈性係數 C11與 C66單位}

亦為能量單位ℏ2 _ℓM 2_。

圖 3-17、切變模數(C66)與接觸勢強度(g3D)關係圖。C66 單位亦為能量單位 ℏ2 _ℓM 2_，g 3D單位為ℏ2ℓ M 。 圖 3-18、切變模數(C66)，對偶極作用與接觸勢相對強度(rs)之關係圖。 跳點(jump)恰發生於參考文獻[2]的相變點𝑟𝑄𝑀 = 18 ± 4處。 C66單位亦為能量單位ℏ2 ℓM 2，r_s為無單位量綱。 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 C66 g3D

ShearModulus - ContactStrength

0 500 1000 1500 2000 2500 0 10 20 30 40 50 60 70 C66 rs

ShearModulus -rs

圖 3-19、切變模數(C66)與準二維系統厚度(dz )關係圖。Cℓ 66 單位亦為能量單位 ℏ2 _ℓM 2_。 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 C66 dz/L

ShearModulus -d

_z

/L