數學素養相關指標之研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 數學素養相關指標之研究. 研究生：張珈華. 中華民國一零七年七月.

(2) 誌謝還記得兩年半前，剛踏進研究所的我，對於數學教育的一切都還懵懵懂懂，就像是一隻無頭蒼蠅一樣，不斷地在原地打轉，論文研究方向也一直無法確定下來，直到修了左台益教授的一門課，我才漸漸地有了明確的研究方向。首先，感謝左台益教授給了我一個研究方向，讓我有機會去學習平常學習不到的事情，並且在論文的撰寫、指標修改的建議、研究的啟發…等等，這些都給予我非常大的幫助。此外，也非常感謝左老師在我迷失研究方向時，不斷地給予鼓勵並分享寶貴的研究經驗，提升我的自信心。整個研究下來，集結了近 50 位的專家，這是非常難能可貴的。這成果並非我一人之力所能完成的，專家給予的意見回饋都是我平時不會注意到的，這讓我深深感受到專家們學術知識的淵博廣大，以及願意幫一位小小研究生做研究的寬大心胸，謝謝你們！感謝吳慧珉教授和楊凱琳教授擔任我的論文口試委員，也非常感謝她們對此論文給予非常寶貴的建議，使我的研究結果能更加豐富，而這些建議也都讓這篇論文更加地嚴謹與完整。感謝建恆學姊在我一路研究的過程中，無論是論文研究方向、指標建構的建議，還是與專家們的應對方式，總是在我不知所措的時候給予鼓勵與幫助。也感謝我的學長姊、同學與親朋好友們，提供問卷用詞、設計的寶貴意見，對我的幫助甚大。最後，一路陪伴著我的家人，謝謝你們總是支持我走自己想走的路，因為你們的諒解與包容，才讓我能努力不懈地走下去！. I.

(3) 摘要本研究旨在建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。為了達到研究目的，研究者以文獻探討法和團體焦點法作為指標建構的基礎，並以德懷術作為主要研究方法來進行研究。首先，探討相關文獻的探討以及進行三次專家焦點座談，瞭解數學素養的意涵，並歸納出數學素養在教學層面上的組成元素，以及建構初步的數學素養教學指標，並編製成「數學素養教學指標」之問卷初稿。藉由前德懷術問卷調查，根據專家的意見回饋做研究架構的修正，並形成第一回問卷。最後，以 32 位專家學者為研究對象，進行三回德懷術問卷調查，透過給予的意見回饋和數據資料的統計結果，分析並討論專家小組對本研究「數學素養相關指標」的意見是否達成共識性。本研究結果如下： 1. 數學素養相關指標包含「A.意涵」、「B-1.知識」、「B-2.運用」、「B3.觀感」、「B-4.學習」、「C1.教材」、「C-2.教學策略」、「C-3.評量」等八個面向，共 68 個指標。 2. 根據三回問卷的專家意見回饋內容，以及數據分析的結果，專家們的意見有逐漸收斂的傾向，且共識性也逐回提高，因此判定本研究數學素養教學指標的架構具有嚴謹性。關鍵詞：德懷術、指標建構、數學素養. II.

(4) 目錄. 誌謝 ...................................................................................................................... I 摘要 .................................................................................................................... II 目錄 ................................................................................................................... III 表目錄 ................................................................................................................ V 圖目錄 ............................................................................................................. VII 第一章緒論 .................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機 ............................................................................................... 1 第二節研究目的與問題 ............................................................................................... 5. 第二章. 文獻探討 .......................................................................................... 7. 第一節數學素養 ........................................................................................................... 7 壹、素養和數學素養的發展及定義 .......................................................................... 7 貳、數學素養的構成要素 .......................................................................................... 9 參、數學素養中的教學 ............................................................................................ 13 肆、數學素養指標分析架構 .................................................................................... 14 第二節德懷術 ............................................................................................................. 15 壹、德懷術（Delphi Method）的意義 .................................................................... 15 貳、德懷術的應用 .................................................................................................... 21. 第三章. 研究方法 ........................................................................................ 25. 第一節研究設計及流程 ............................................................................................. 25 第二節研究對象 ......................................................................................................... 27 壹、專家焦點座談 .................................................................................................... 27 貳、前德懷術問卷以及正式問卷之專家小組成員 ................................................ 27 第三節研究工具 ......................................................................................................... 30 壹、專家焦點座談 .................................................................................................... 30 貳、問卷編製及設計 ................................................................................................ 31 參、問卷設計的信效度 ............................................................................................ 34 肆、德懷術的實施 .................................................................................................... 35 第四節資料收集與分析方式 ..................................................................................... 37 壹、質性分析 ............................................................................................................ 37 貳、量化分析 ............................................................................................................ 38. 第四章. 研究結果與討論 ............................................................................ 43. 第一節面向分類及指標初步建構之內容 ................................................................. 44 壹、指標初步建構 .................................................................................................... 44 貳、面向分類 ............................................................................................................ 45 III.

(5) 第二節前德懷術問卷結果分析與回應 ..................................................................... 47 壹、維度一：定義 .................................................................................................... 47 貳、維度二：知識 .................................................................................................... 49 參、維度三：運用 .................................................................................................... 51 肆、維度四：觀感 .................................................................................................... 52 伍、維度五：學習 .................................................................................................... 55 陸、維度六-1：教與學─教材 .................................................................................. 56 柒、維度六-2：教與學─教學策略 .......................................................................... 57 捌、維度六-3：教學─評量 ...................................................................................... 59 第三節三回德懷術問卷結果分析與回應 ................................................................. 60 壹、第一回問卷結果分析與回應 ............................................................................ 60 貳、第二回問卷結果分析與回應 ............................................................................ 82 參、第三回問卷結果分析與回應 ............................................................................ 96 第四節綜合討論 ....................................................................................................... 105 壹、專家之意見數量的比較 .................................................................................. 106 貳、三回德懷術問卷之統計數據的比較 .............................................................. 109 參、問卷整體性之討論 .......................................................................................... 125. 第五章. 結論與建議 .................................................................................. 135. 第一節結論 ............................................................................................................... 135 壹、指標的相對重點程度 ...................................................................................... 135 貳、重點指標 .......................................................................................................... 139 第二節建議 ............................................................................................................... 142. 參考文獻 ......................................................................................................... 143 附錄一三次專家焦點座談名單（領域分布） .......................................... 147 附錄二三次專家焦點座談名單（領域分布） .......................................... 149 附錄三三次專家焦點座談名單（領域分布） .......................................... 151  第一次專家焦點座談.............................................................................................. 152  第二次專家焦點座談.............................................................................................. 166  第三次專家焦點座談.............................................................................................. 177. 附錄四前德懷術問卷................................................................................... 193 附錄五三次專家焦點座談名單（領域分布） .......................................... 205  第一回德懷術問卷.................................................................................................. 206  第二回德懷術問卷.................................................................................................. 217  第三回德懷術問卷.................................................................................................. 249. 附錄六指標初步項目（含資料來源） ...................................................... 273. IV.

(6) 表目錄表 3-1 各領域德懷術專家之比重 ................................................................ 28 表 3-2 德懷術專家小組成員之領域分布 .................................................... 29 表 3-3 德懷術問卷實施進度表 .................................................................... 35 表 4-1 前德懷術問卷之指標修正（定義） ................................................ 48 表 4-2 前德懷術問卷之指標修正（知識） ................................................ 50 表 4-3 前德懷術問卷之指標修正（運用） ................................................ 51 表 4-4 前德懷術問卷之指標修正（觀感） ................................................ 53 表 4-5 前德懷術問卷之指標修正（學習） ................................................ 55 表 4-6 前德懷術問卷之指標修正（教與學─教材） ................................ 57 表 4-7 前德懷術問卷之指標修正（教與學─教學策略） ........................ 58 表 4-8 前德懷術問卷數據資料的統計分析（教與學─評量） ................ 59 表 4-9 第一回德懷術問卷之指標修正（意涵） ........................................ 63 表 4-10 第一回德懷術問卷之指標修正（知識） ...................................... 66 表 4-11 第一回德懷術問卷之指標修正（運用） ...................................... 68 表 4-12 第一回德懷術問卷之指標修正（觀感） ...................................... 71 表 4-13 第一回德懷術問卷之指標修正（學習） ...................................... 74 表 4-14 第一回德懷術問卷之指標修正（教材） ...................................... 76 表 4-15 第一回德懷術問卷之指標修正（教學策略） .............................. 77 表 4-16 第一回德懷術問卷之指標修正（評量） ...................................... 79 表 4-17 第二回德懷術問卷之指標修正（意涵） ...................................... 83 表 4-18 第二回德懷術問卷之指標修正（知識） ...................................... 85 表 4-19 第二回德懷術問卷之指標修正（運用） ...................................... 87 表 4-20 第二回德懷術問卷之指標修正（觀感） ...................................... 88 表 4-21 第二回德懷術問卷之指標修正（學習） ...................................... 90 表 4-22 第二回德懷術問卷之指標修正（教材） ...................................... 91 表 4-23 第二回德懷術問卷之指標修正（教學策略） .............................. 93 表 4-24 第二回德懷術問卷之指標修正（評量） ...................................... 94 表 4-25 第三回德懷術問卷之指標修正（意涵） ...................................... 96 表 4-26 第三回德懷術問卷之指標修正（知識） ...................................... 97 表 4-27 第三回德懷術問卷之指標修正（運用） ...................................... 99 表 4-28 第三回德懷術問卷之指標修正（觀感） .................................... 100 表 4-29 第三回德懷術問卷之指標修正（學習） .................................... 101 表 4-30 第三回德懷術問卷之指標修正（教材） .................................... 102 表 4-31 第三回德懷術問卷之指標修正（教學策略） ............................ 103 表 4-32 第三回德懷術問卷之指標修正（評量） .................................... 104 表 4-33 三回問卷數據資料的統計分析（面向 A.意涵） ........................ 111 V.

(7) 表 4-34 表 4-35 表 4-36 表 4-37 表 4-38 表 4-39 表 4-40 表 4-41 表 4-42 表 4-43 表 4-44 表 4-45 表 4-46 表 4-47 表 4-48. 三回問卷數據資料的統計分析（面向 B-1.知識） ..................... 113 三回問卷數據資料的統計分析（面向 B-2.運用） ..................... 114 三回問卷數據資料的統計分析（面向 B-3.觀感） ..................... 116 三回問卷數據資料的統計分析（面向 B-4.學習） ..................... 118 三回問卷數據資料的統計分析（面向 C-1.教材） .................... 120 三回問卷數據資料的統計分析（面向 C-2.教學策略） ............ 122 三回問卷數據資料的統計分析（面向 C-3.評量） .................... 123 指標權重（面向 A.意涵） ........................................................... 126 指標權重（面向 B-1.知識） ........................................................ 127 指標權重（面向 B-2.運用） .......................................................... 127 指標權重（面向 B-3.觀感） ........................................................ 129 指標權重（面向 B-4.學習） ........................................................ 130 指標權重（面向 C-1.教材） ........................................................ 131 指標權重（面向 C-2.教學策略） ................................................ 132 指標權重（面向 C-3.評量） ........................................................ 133. VI.

(8) 圖目錄圖 2-1 圖 2-2 圖 3-1 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6 圖 4-7. A model of mathematical literacy in practice ............................ 12 數學素養的面向架構圖 .................................................................... 15 研究流程 ............................................................................................ 26 文獻探討與專家焦點座談之比重 .................................................... 44 數學素養初步的維度架構圖 ............................................................ 46 數學素養的面向架構圖 .................................................................... 46 三回問卷之意見數量比較圖 .......................................................... 106 指標概念之意見數量比較圖 .......................................................... 107 指標敘寫之意見數量比較圖 ............................................................ 108 指標涵義之意見數量比較圖 .......................................................... 109. VII.

(9) 第一章. 緒論. 本研究旨在建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。本章節共分為兩節，第一節為研究背景與動機、第二節為研究目的與問題。. 第一節. 研究背景與動機. 十二年國民基本教育，簡稱「十二年國教」，是以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」為願景，期望落實適性揚才之教育，並培養出具有終身學習力、社會關懷心及國際視野的現代優質國民（國家教育研究院，2014）。十二年國教之願景與目前我國國民實際在學校教育上之差異，目前臺灣的學校教育較注重學生的「學科知識」與「基本能力」，使得我國學生在「態度」情意價值方面上有所不足，可見我國國民欠缺現代國民社會生活所需的「素養」（蔡清田，2012）。我國和各國在進行課程設計時，都強調內容（contents）與能力（skills、competence、 literacy、pratice）兩大面向，但還能再從中細分出認識（understanding）、辨識（sensibility）與見識的較高層次認知，甚至包括賞識（appreciation）之情意面向（林福來、單維彰、李源順、鄭章華，2013，2018）。綜合上述，為了實踐素養導向之課程與教學，我們必須要去了解教科書的設計、課程發展、課程實務等的進行，因此須有具體且明確的指標來引導課程。教育部發行的十二年國民基本教育課程綱要有《總綱》、《數學領域（草案）》以及《數學領域─課程手冊》。在《總綱》中，提到期望培養以人為本的「終身學習者」，訂定出核心素養的三大面向：「自主行動」、「溝通互動」和「社會參與」，依據這三大面向並配合三個教育階段（國高中小學共五個學習階段），以啟發生命潛能、陶養生活知能、促進生涯發展和涵育公民責任作為總體課程的. 1.

(10) 目標，將核心素養細分成九大項目；而在《數學領域（草案）》中，呼應總綱的理念與願景，提到應提供每位學生有感的學習機會，培養學生正確使用工具的素養，為了實際落實這些理念與目標，課程發展以核心素養為主軸，並依據總綱的「各教育階段核心素養內涵」列出「數學領域核心素養的具體內涵」；最後，《數學領域─課程手冊》針對各學習階段的學習表現，列出並詳細舉例說明各教育階段的「學習內容」。綜合上述，《總綱》強調學習不宜以學科知識及技能為限，而應關注學習與生活的結合，透過實踐力行而彰顯學習者的全人發展；《數學領域（草案）》呼應《總綱》的理念與願景，以核心素養為主，提供優質的十二年基礎數學課程，學習對生涯有用的知識與能力；《數學領域─課程手冊》則是依據《數學領域（草案）》中所訂定的「學習表現」做更進一步的具體內涵說明。而本研究主要是想探究與數學素養相關的教育指標，並在數學素養的教學面向中，分成教材、教學策略和評量這三個方向，除了如前述的《總綱》、《數學領域（草案）》以及《數學領域─課程手冊》一樣，希望能提升且培養學生的數學素養外，也希望能探討那些能提升素養的因素，如教材的編排以及教師自身的數學素養等。教育指標（educational indicators）是一種統計測量、信號或指引，可了解並測量教育事務的質或量，其主要功能在陳述教育期望、管制教育評鑑的品質，提供教育決策資訊及提供教育消費者選擇所需資訊的功能（郭昭佑，2001）。也可用來了解教育發展現狀、診斷教育問題以及評估教育績效（北縣教育．中華民國九十七年 3 月．第 63 期）。甚至，有助於瞭解教育的發展狀況與變遷，以及提供決策或評鑑之參考應用（孫志麟，2000）。教育指標系統的目的類似於被用在監控經濟、刑事司法系統或其他社會的指標系統上，能分析趨勢和預測即將發生的變化，並用來判斷某個目標或標準的進展情況，對某些過去的基準，或者與來自其他一些機構或國家的數據進行比較（Shavelson Richard J.、Lorraine M. McDonnell、Jeannie Oakes，1991）。 2.

(11) 綜合上述的觀點，整理出教育指標具有以下的主要功能及特徵：（一）導引作用，使社會大眾了解教育的發展；（二）以客觀條件為主；（三）提供教育決策資訊；（四）為制定政策的基礎；（五）評鑑教育目標的進展情況；（六）預測及監控未來的變化。臺灣的教育改革可追朔到 1987 年臺灣解嚴和政治的轉型，民主社會的改革風氣逐漸盛行，而在教育方面也有諸多的改革訴求，直到目前，臺灣的教育改革仍持續的發展著。教育改革一定伴隨著期望與目標，為了提高教育品質與績效，教育指標的建構勢在必行，因此須有具體的衡量標準來評斷此教育制度是否達到教育發展的目標。孫志麟（2001）也提到，教育指標的建構可提供教育的相關訊息，並作為制定政策的基礎，同時也能有效地導引教育的發展。指標的建構方法是相當地多樣化，且選用上並無所謂最好，必須考量客觀條件與使用者需求而定（郭昭佑，2001）。在指標的建構考量上，期望一個良好的教育指標體系將能提供準確且精密的訊息，為教育帶來貢獻和改善的決策，因此預期指標將有助於決策者在制定學校目標與目標轉化為行動（Shavelson Richard J.、Lorraine M. McDonnell、Jeannie Oakes，1991）。近幾年開始，「素養」一詞逐漸在教育界擴散開來，臺灣以及國際間，「素養」成為了課程的核心理念，尤其是國民的「核心素養」，是培養能自我實現與社會健全發展的高素質國民與世界公民之基礎（蔡清田，2012）。「素養」可說是一種理念，是指個體為了發展成為一個健全的個體，必須因應生活情境需求所學習之不可或缺的知識、能力與態度（蔡清田，2010a，2010b，2010c）。在十二年國民基本教育中，也提到了「核心素養」的定義，是指一個人為適應現在生活及未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度（國家教育研究院，2014）。臺灣經歷諸多的教育改革，依據 2014 年發布的總綱，十二年國教之核心素養強調學習不宜以學科知識及技能為限，而應關注學習與生活的結合，透過實踐力行而彰顯. 3.

(12) 學習者的全人發展（國家教育研究院，2014）。由此可見，「素養」在進行課程的改革中，扮演了非常重要的角色，而「數學素養」也因此成為了數學課程中的重要一環。身為一位數學教育研究者外，同時也是一位剛踏入教育界的數學教師，面對五花八門的教學法以及教材的使用、選取，在思索並擇取適合自己的教學時，難免會思考怎樣的教材和教學，才能讓學生有能力以及意願，來面對未知的挑戰，而不是單單解決課堂上的數學問題，期望他們能從課堂中，習得在真實世界或者是未來的社會中所須之技能、知識。隨著以素養為導向的數學課程越來越廣泛，國際學生評量計畫（The Programme for International Student Assessment，PISA）更是以素養為主軸，除了評量國際間各地區十五歲青少年的評量其閱讀、數學和科學素養外，也檢驗其是否具備參與未來社會所需的基礎知識和技能，且 PISA 評量在 2018 年中將增加全球素養（global competence）的相關考題。PISA 評比已經是目前全球教育改革的指標，且其指標作用有越來越重要的趨勢，再加上目前數學素養的定義尚未統一，因此興起了想探究未來在數學教學上，那些以素養為導向的數學課程，教師該如何發展課程以及培養、評量學生的數學素養。教育指標的研究，主要是從計量科學角度，探討教育系統的發展狀況與趨勢，並藉由量化數據描述教育現象或分析教育問題（孫志麟，2000）。指標的建構方法有非常多種，本研究在進行指標建構時，嘗試以文獻探討法和焦點團體法為基礎，同時採用德懷術（Delphli Method）為主要研究方法，集結專家學者們的多元意見，並從中整理出一致性的看法，以期望能建構一套適用於教師在教學上以素養為導向的數學課程之指標參考。有關素養以及數學素養的相關文獻，至今已有非常多篇，因此將文獻探討法作為本研究在建構指標上的其中一種方式，但由於文獻探討法在指標建構上有一定的限制，難以作為初探式的指標建構方式，因此本研究嘗試再增加焦點團體法作為第二個指標建構的方式，透過同質性的團體討論，在專業上不但有一定的信度，更可透過焦點團體的探究歷程，取得較具體可 4.

(13) 行的指標，在學校層級建立指標時頗為適用（郭昭佑，2001），這是文獻探法法中所缺少的部分。德懷術通常用來探討較為新鮮、一般人認識不深，或爭議性較大、見解較為分歧的主題（周新富，2012），而在教育上的應用，德懷術用以預測可能實施的教育改革方案等（舘倖生，2012）。因此，本研究期望能建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。. 第二節. 研究目的與問題. 因應十二年國教以素養為導向的課綱發展，其理念在於「適性揚才，成就每一位孩子的學習」，著重培養學生的核心素養，適性開展潛能，進而能運用所學，成為自發主動的終身學習者（國家教育研究院，2013）。在未來新課綱之數學領域課程的實施與上路，除了呼應《總綱》的理念與願景：「自發」、「互動」以及「共好」，我們還身處在資訊科技蓬勃發展的時代，對有心推廣數學素養課程的教師們而言，在面對各式各樣以素養為導向的數學教學教材時，應該如何有效且適當地選取其教學需求的教材與資源呢？而這個選取的過程中，是否有具體的標準可以來幫助教師們？本研究採用德懷術（Delphi Method）作為主要研究方法，並進行研究調查，希望能建構一套與數學素養相關的指標，以作為發展教師在教學上的指標指引和教師評量學生數學素養之參考。又因為指標具有導引作用的特性，又能提供教育決策資訊，以及評鑑教育目標的進展情況，期望能根據這個指標體系，來探討在數學素養之下的各面向，其指標間的權重分布，以了解德懷術專家小組成員對於各項指標間層級上的看法。. 5.

(14) 根據上述的研究目的，本研究期望探討的問題如下：一、本研究採用德懷術研究法所建構出來的有哪些指標？而其指標的權重為何？. 6.

(15) 第二章. 文獻探討. 為了使本研究過程能進行順利，依據研究目的著手蒐集國內外與數學素養的相關文獻，並從文獻中發展出研究架構。本章節共分為兩節，第一節為數學素養，從中探討數學素養的發展、構成要素，以及在教學上的培養；第二節為德懷術，探討研究方法的應用，掌握整個流程步驟。. 第一節. 數學素養. 壹、素養和數學素養的發展及定義近幾年開始，「素養」一詞逐漸在教育界擴散開來，臺灣以及國際間，「素養」成為了課程的核心理念，尤其是國民的「核心素養」，是培養能自我實現與社會健全發展的高素質國民與世界公民之基礎（蔡清田，2012）。「素養」可說是一種理念，是指個體為了發展成為一個健全的個體，必須因應生活情境需求所學習之不可或缺的知識、能力與態度（蔡清田，2010a，2010b，2010c）。在十二年國教中，也提到了「核心素養」的定義，是指一個人為適應現在生活及未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度（國家教育研究院，2014）。由此可見，「素養」在進行課程的改革中，扮演了非常重要的角色，而「數學素養」也因此成為了數學課程中的重要一環。何謂數學素養？到目前為止，國際上還尚未有統一的定義，在閱讀數學素養相關文獻時，發現各國或各機構討論的數學素養之涵義或用詞都不盡相同。在英國常用的是 numeracy 一詞，是結合 numeracy 和 literacy 兩字而成的詞，其定義為：「我們不僅僅指量化推理的能力，也須理解科學方法，並對科學成就有些熟悉。（Crowther Report，1959）」，numeracy 包含兩個特徵，能以數學方式處理日常生活中的數據，以及理解數學型態所呈現的資訊（劉柏宏，2016），此用詞. 7.

(16) 除了常被用在英國外，在其過去的殖民地區也常被使用著，如澳洲和紐西蘭等地區（陸昱任、譚克平，2006；Doig et al.，2003）；在美國是常用 quantitative literacy 或 mathematical literacy 來表示數學素養，生活技能國際觀察報告（ The International Life Skills Survey，ILSS）針對 quantitative literacy 作了以下定義：「舉凡個人在日常生活與工作的量化情境中，必須有效處理事務所需具備的技能、知識、信念、傾向、心智習性、溝通能力和問題解決技巧。（Steen，2001）」（劉柏宏，2016），國際學生評量計畫（ The Programme for International Student Assessment，PISA）採用了類似的定義，將數學素養稱為 mathematical literacy，其定義為：「個體應能確認與瞭解數學在這個世界所扮演的角色、能做出有充分根據的判斷並且能使用及投入數學以符合作為積極的、參與的以及具反思之公民的需要。（OECD，1999）」；在歐洲則是常用 mathematical competence 來表示數學素養，其定義為：「數學素養指在各式各樣數學脈絡的內外部，和數學能發揮功能的情境中，去理解、判斷、從事、和使用數學的能力。（Niss，2003）」 Jan de Lange（2003）綜合上述數學素養的定義及其概念，將數學知識分為四個主題：數量（quantity）、空間與形狀（space and shape）、變化與關係（change and relationships）和不確定性（uncertainty），並連結上述數學素養的各詞彙，將數學素養定義為 mathematical literacy，同時也是 PISA 的數學素養概念，到目前已廣泛地被許多國家接受。經濟合作暨發展組織（Organization for Economic Cooperation and Development，OECD）在 2015 年所提出數學素養（Mathematical Literacy）的定義為：「在不同情境脈絡中，個人能辨識、做及運用數學的能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。」這些不同的英文名詞，雖因各地區發展的不同而有一些不同的數學素養概念，但都具有下列特徵：（一）強調數學的應用能力；（二）跨學科的連結；（三）. 8.

(17) 與真實世界的連結；（四）具有後設認知的能力；（五）人與人或社會文化之間的互動；（六）彰顯學習者的主體性；（七）價值觀。在臺灣方面，李國偉等人（2013）提出數學素養的核心內涵應指個人能力與態度，使其在學習、生活、社會、與職業的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題歷程中，能有效地他人溝通觀點。並提出了提升數學素養的願景為，有效學習數學的思維方式，以便靈活運用數學知識、技能與工具，解決生活中的問題，並成為具備理性反思能力的國民。. 貳、數學素養的構成要素綜合 Steen 等人（2001）提出的數學素養（quantitative literacy）十個構成要素：（一）對數學的信心；（二）文化欣賞；（三）資料解讀；（四）邏輯思考；（五）決策；（六）情境數學；（七）數感；（八）實用技能；（九）先備知識；（十）符號感知，David Pugalee 在 1999 年提出了數學素養雙迴圈動態模型（model of mathematical literacy），提出內迴圈包含溝通（communication）、科技（technology）與價值（values），外迴圈包含表徵（representing）、操作（manipulating）、推理（reasoning）和解題（problem solving），其中內外迴圈會形成交互作用。美國國家科學研究委員會（National Research Council，NRC）提出五股精進數學的能力，此五股素養能力為：（一）概念的理解；（二）程序的流暢性；（三）運用策略的能力；（四）適切的推理能力；（五）建設性的意向，其組成如同繩索般，將其越緊密的聯繫在一起，越能協助個體的數學學習（Kilpatrick 等人， 2001）。. 9.

(18) Niss 和 Højgaard 在 2011 年時提出數學素養（mathematical literacy）有八個構成要素：（一）數學式思考；（二）數學佈題與解題；（三）數學建模；（四）數學式推理；（五）數學表徵；（六）處理數學符號和形式；（七）數學溝通；（八）利用輔助工具，並將上述八個元件發展出 KOM 之花（KOM：Competencies and the Learning of Mathematics）的論點。 OECD 在 2015 年提出了，在 2018 年的 PISA 評量中將增加全球素養（Global Competence）的相關考題，其定義為：「從多個角度批判地分析全球和跨文化議題的能力理解差異是如何影響觀念、判斷，以及對自我和他人的認知的能力；在尊重人類尊嚴的基礎上，與不同背景的他人進行開放、適宜、有效的互動的能力。」，且將全球素養分成四個維度，分別為知識（knowledge）、技能（skills）、態度（atitudes）和價值觀（valus）。由林福來（2013）主持「十二年國民基本教育領域綱要內容前導研究」的研究報告中，提到十二年國教之數學課程架構，除了包含容（contents）與能力（skills、 competence、 literacy、practice）兩大向度之外，也應蘊含認知與態度，因此提出「知」、「行」、「識」來詮釋十二年國教數學課程的內涵。「知」指的是數學內容，數學素養強調數學內容的應用與實用，並分成四個主題：（一）改變與關係(change and relationships)；（二）空間與形狀(space and shape)；（三）數量(quantity)；（四）不確定性和資料(uncertainty and data)。「行」指的是學生所能展現出來的數學能力，包括程序執行、解題、溝通、論證等等現今數學教育主要的能力面向。「識」指的是對數學的內在認知與情意涵養，包括概念理解、推理、連結、後設認知、以及欣賞數學的美。雖然現在對數學素養的定義尚未統一，但根據目前文獻上探討數學素養的意涵以及構成要素中，整理出一些共同點，並參考左台益（未出版）主持「提升臺灣 K-12 學生數學素養之研究─總計畫（含子計畫四）：國中生數學素養數位教. 10.

(19) 材設計與實作」的研究報告，以及李建恆和左台益（未出版）發表的「素養導向之數學教材設計與發展」，本研究嘗試將數學素養的構成要素分成四個，分別為：（一）知識（Ｋnowledge）；（二）運用（Ａpplication）；（三）觀感（Disposition）；（四）學習（Learning）。一、知識 PISA 將數學知識分成四個主題（改變與關係、空間與形狀、數量，不確定性和資料），作為評量學生的數學素養，數學知識被視為發展數學素養的核心。因此本研究嘗試將知識給予操作型定義：「具備基本數學內容知識（含概念、事實、程序與思維），並能透過適當的數學符號、語言進行溝通。」二、運用為了瞭解學生是否能主動在某些情境脈絡中使用數學，PISA（2012）視學生為問題解決者，提出「數學建模」的概念，並分成三個層面：（1）「辨識」：在不同情境脈絡中能辨識出使用數學的機會，包括將情境中的問題數學化、列出數學式和根據問題提出相關的數學假設；（2）「做」：應用數學推理和數學程序推導出數學答案，包括使用數學觀念和演算法完成數學計算、使用代數列式、分析圖表資料以及利用數學工具解題；（3）「運用」：能夠在真實生活中主動並全面的使用數學，也就是能夠活用本身的數學能力、數學觀念、數學知識和數學技巧於真實生活中所遇到的各種挑戰。整合數學建模的概念，以及 PISA 在 2012 年對數學素養的意涵為個人使用數學和數學工具來解決問題，並經歷了一系列的階段；圖 2-1 顯示了該框架主要結構的概述，並指出了它們如何相互關聯。因此本研究嘗試將運用給予操作型定義：「能相互轉化情境和數學問題，並能運用數學思維或使用多元工具來解決這些問題。」. 11.

(20) 圖 2-1 A model of mathematical literacy in practice（OECD, 2013a）. 三、觀感林福來、單維彰、李源順、鄭章華（2013）提出的知、行、識中的「識」，強調對數學的內在認知與情意涵養，包括概念理解、推理、連結、後設認知、以及欣賞數學的美。因此本研究嘗試將觀感給予操作型定義：「賞析數學的本質，擁有評估結構與批判性思考等數學知能，以及正向的數學態度。」四、學習十二年國教強調應關注學習與生活的結合，透過實踐力行而彰顯學習者的全人發展（國家教育研究院，2014）。此外， Ruth Deakin Crick（2007）對於學習如何學習（learning how to learn）之議題，提出學習力的七大維度：（1）改變與學習（changing and learning）；（2）好奇心（critical curiosity）；（3）意義生成（meaning-making）；（4）創造力（creativity）；（5）學習抗壓力（dependence and fragility）；（6）策略意識（strategic awareness）；（7）學習連結（relationships）。學習者如果無法學會監控和調整自己的學習過程，知識基模將無法完整地建構，也無法將學習經驗轉化以幫助新知識的學習，影響正確學習方法的建立（李建恆、左台. 12.

(21) 益，未出版）。從培養數學素養的觀點來看，培養學生的自我挑戰、自我省思、經驗轉化等學習能力，是發展數學素養的重要內涵。因此本研究嘗試將學習給予操作型定義：「透過數學學習活動的參與、自我學習歷程的審視，讓經驗類化於學習新的數學或其他領域。」. 參、數學素養中的教學透過前述數學素養的相關文獻探討，發現可分成兩個方向：素養的意涵和構成要素，再加上本研究目的是建構教育指標，希望能提升且培養學生的數學素養，所以期望還能探討數學素養教學面向的相關指標。因此，本研究嘗試將數學素養分成三個面向來探討，為數學素養的「意涵」、「構成要素」和「教學」，數學素養的「意涵」偏向廣泛、整體性之看法，希望能釐清數學素養的功能與屬性；數學素養的「構成要素」可以拿來檢視一個個體是否有符合其中的素養元素，希望能培養個體的數學素養包括知識、運用、觀感與學習；第三個面向則是數學素養的「教學」，希望能有效地整合數學教材、教學策略與評量，並以支持終身學習為目標，以培養學生數學知識、觀感、學習與運用數學的能力。因此本研究嘗試將「教學」分成三個子面向：（一）教材；（二）教學策略；（三）評量。一、教材教材是實現教與學的重要工具及評鑑教學成效的內容依據，它是各個參與者（如：教師、學生、研究者等）之間持續不斷的對話、實踐和省思的動態變化過程（范信賢，2001；李建恆、左台益，未出版）。因此本研究嘗試給予操作型定義：「提供適當的教學資源(如：數位科技)，以活化教學模組，並提升學生探索與解決問題的能力與數學知識。」二、教學策略一個具有數學素養的人，應該具有多元的教學能力，在教學過程中能著重能力與態度的培養，並思考學生的學習成果，是否能夠適應目前的生 13.

(22) 活與未來的挑戰（鄭章華，2017）。因此本研究嘗試給予操作型定義：「透過系統化的教導，發展適性的學習空間與健康的學習態度。（於第一回德懷術問卷結果分析後，將「健康」一詞改成「正向」）」三、評量評定學生是否具有數學素養，「評量」是不可或缺的，國際學生能力評量計劃（PISA）更是藉由評量來評估國際間的學生是否具有數學素養的能力。為此本研究嘗試給予操作型定義：「以支持終身學習為目標，評估學生的學習表現，診斷自我知覺的能力並建立追蹤輔導機制(如：科技工具的輔助)。」. 肆、數學素養指標分析架構本研究旨在建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。本研究透過文獻探討、專家焦點座談之內容，從中嘗試將數學素分成三個面向來探討，分別是（一）意涵；（二）構成要素；（三）教學。第一個面向是數學素養的意涵，整合臺灣在數學素養方面之專家，對於數學素養廣泛和整體性的看法；第二個面向是數學素養的構成要素，可以拿來檢視一個個體是否具有數學素養，因此本研究嘗試將其元素分成「知識」、「運用」、「觀感」和「學習」等四個子面向；第三個面向則是數學素養的教學，希望能有效地整合數學教材、教學策略與評量，並以支持終身學習為目標，以培養學生數學知識、觀感、學習與運用數學的能力，藉此期望能提升或培養出個體的數學素養內涵。因此本研究嘗試將此面向再分成「教材」、「教學策略」、「評量」等三個子面向。圖 2-2 為本研究指標建構的數學素養面向架構圖。. 14.

(23) 圖 2-2. 數學素養的面向架構圖. 第二節. 德懷術. 壹、德懷術（Delphi Method）的意義 Delphi 一詞源自於古希臘太陽神阿波羅的神殿 Delphi，取其權威與信望的意義（鄧振源，2002）。Delphi 又稱 Delphi Consensus Process（德懷術共識決策程序）、Delphi. Method、Delphi Process、Delphi Panel（Richard Bowker，2009）。. Delphi 除了被譯名為德懷術，也有人譯名為大菲法、德爾慧術或大慧術等。早期的德懷術被來做「量」的評估，預測日期或未知的數值；近年來主要應用於管理決策領域，除了「量」的評估外，更可獲得參與者「質」的意見；擷取專家團體決策的優點，當成員皆為專精在該領域的專家時，其集思廣益下所產生的決策，品質尤佳（館倖生，2012）。德懷術是一種集體決策技術，可針對未來可能發生的事件或問題，集合專家多元性的知識和想像，經由特定的問卷調查而達成共識（周新富，2007）。德懷術除了利用問卷調查來達成共識，也被設計成是一個團體溝通的過程，匯集專業領域內的受訪者之數據，期望能進行詳細的特. 15.

(24) 定問題之考察和討論，旨在目標設定、政策調查或預測未來事件的發生（ChiaChien Hsu、Brian A. Sandford，2007）。本研究使用德懷術為主要研究方法，希望結合專家的知識和多元性的意見，並透過三次德懷術問卷調查來達成意見的共識，以期望能建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。一、德懷術的特性德懷術是一種被廣泛使用和接受的方法，常被用於各個研究領域中，如方案規劃、需求評估、政策確定和資源利用等，以開發全面的替代方案、探索或揭示潛在的假設，以及對涉及的主題進行判斷（Chia-Chien Hsu、Brian A. Sandford，2007）。在德懷術的問卷調查與傳統的問卷調查不同，傳統的問卷調查通常只要實施一次就算完成調查；而德懷術問卷則須進行一連串密集的調查，才能完成調查研究。透過多次意見回饋，德懷術可說是具有會議溝通的作用，但又不用跟會議一樣必須全體同時在一個時間共聚一堂，故德懷術可說是同時具有會議溝通與問卷調查兩個優點的一種研究法（周新富，2007）。綜合上述所提，德懷術具有以下的特性（游家政，1994；郭昭佑，2001；鄧振源，2002；周新富，2007；館倖生，2012；Harold A. Linstone、Murray Turoff，2002； Gregory J. Skulmoski、Francis T. Hartman、Jennifer Krahn，2007；Chia-Chien Hsu、Brian A. Sandford，2007）：（一）具有匿名性，參與者可盡情地發表意見或改變意見，不容易受他人的意見影響；（二）書面文字表達，參與者可提出明確且高品質的意見；（三）反覆進行，以求取專家學者們共識；（四）專家學者們有足夠的時間思考，能使其判斷更為縝密；（五）多元背景的專家學者們對某一議題提供專業意見；（六）意見的回饋，自第二回起的問卷. 16.

(25) 將會附上前次的問卷統計結果以及群體的意見反應，供專家小組成員參考。填答者可根據結果來思考其他人的想法或者是自己未注意到的地方再加以注意，進而調整或保留自己原先的意見。二、德懷術的實施步驟（一）傳統型德懷術一般標準型的德懷術可分成四個階段，以下將德懷術流程進行的描述（邱淑芬、蔡欣玲，1996；Chia-Chien Hsu、Brian A. Sandford，2007； Gregory J. Skulmoski、Francis T. Hartman、Jennifer Krahn，2007）：（1）第一回合德懷術在第一回問卷，傳統上是以開放式問卷為開端，專家將針對問卷中的研究問題給予意見，待問卷回收後，研究小組將進行內容分析。（2）第二回合根據第一回收集到的意見並分析後，形成第二回問卷。不同於第一回的開放式問卷，此回合採用量表評分法（Likert Scale）或是二分法，並請德懷術專家小組成員針對問卷內容給予文字上的意見，目的是為讓德懷術專家小組成員們能夠了解彼此間的想法，同時對於不同的意見尋求團體共識。待問卷回收後，研究小組將以眾數、平均數、標準差、四分位差等統計方法，分析德懷術專家小組的看法，並依其結果編製第三回合問卷。在這一回合中，共識將開始形成，實際結果可以從統計結果得知。. 17.

(26) （3）第三回合在此回合與第二回合類似，還會再給予德懷術專家小組成員第二回合的彙整結果，目的在讓專家們有機會進一步澄清資料和對項目的相對重要性之判斷。如上述之統計方法，編制第四回合問卷。而與上一回相比，預期的共識程度只有輕微的增長。（4）第四回合此回合進行的方式如同前一回合，主要目的是讓專家們能有再一次提出自己的意見，藉此來降低專家小組成員之間的差異，以期望獲得一致性的看法。（二）修正型德懷術由於德懷術的進行，問卷調查需要多次的往返，不但耗時耗力，也容易造成樣本的流失，因此發展出「修正型德懷術（Modified Delphi Method）」。修正型德懷術將擷取傳統型德懷術的精神與優點，將繁複的問卷進行過程簡化或刪減，以利研究能順利進行，而在教育上之實施常見的修正方式有以下兩種（邱淑芬、蔡欣玲，1996）：（1）省略第一回的開放式之意見徵詢在第一回合中不採用開放式問卷來徵詢專家們的意見，而是根據相關文獻中的內容或研究者的經驗來編製出半結構式問卷，希望藉由此修正方式來提高問卷的回收率。. 18.

(27) （2）合併第三回合與第四回合將整個研究過程縮成三個階段，也就是說只實施三回合的問卷調查，而合併原因為此兩回合之結果通常相差不大。其實德懷術的流程並無一定順序，通常是依據研究領域、對象等因素而有所差別（黃昭通，2005）。鑒於上述之優點以及考量本研究之研究目的，將嘗試以修正型德懷術為研究方法，以期望探究未來在數學教學上，那些以素養為導向的數學課程，教師該如何發展課程以及培養、評量學生的數學素養。（三）德懷術專家小組成員的挑選樣本數的挑選，原則上採取小樣本數，小組成員若為異質性，以 5 至 10 人為佳，若為同質性，則以 15 至 30 人為佳（Delbecq，1975；游家政，1996）；而當小組成員達 10 人以上時，可降低群體間的誤差，且群體間的可信度達最高（Dalkey，1969）。由於德懷術問卷需經歷三回的調查，問卷往返的期間有可能會造成樣本流失的問題，因此本研究在一開始邀請專家學者參與德懷術專家小組時，考量專家的領域數以及各領域的人數，決定邀請 43 位專家學者參與德懷術專家小組，避免扣掉未回應邀請以及之後問卷往返期間可能流失的樣本，而導致樣本數過少的情況。 Delbecq（1975）認為參與德懷術的專家小組成員應具備以下條件：（1）在討論的研究主題上具有背景或專長；（2）擁有豐富的資訊與他人分享；（3）被公認具有該研究主題之知識或技術；（4）具有參與德懷術問卷調查的熱誠。因此本研究邀請五個領域的專家學者，其領域包括（1）數學家，亦即為國內的數學系教授；（2）是數學系背景的數學. 19.

(28) 教育家；（3）非數學系背景的數學教育家；（4）國內數學課綱編輯者；（5）中小學之數學教師。三、優點與限制德懷術是結合會議溝通與問卷調查兩個優點的一種研究法，在實施上有以下優點及限制（游家政，1994；郭昭佑，2001；鄧振源，2002；周新富， 2007；館倖生，2012；Harold A. Linstone、Murray Turoff，2002；Gregory J. Skulmoski、Francis T. Hartman、Jennifer Krahn，2007；Chia-Chien Hsu、Brian A. Sandford，2007）：（一）優點 1.. 參與者能自在地提供意見，避免會議的從眾效應和向權勢屈服的缺點。. 2.. 以文字敘述回答問卷，參與者有充裕時間認真思考問題。. 3.. 能解決專家會議時空安排與經費支出的困難。. 4.. 運用多元背景專家共同判斷，能使研究結果更嚴謹且有價值。. 5.. 適合提供行政決策的參考。. 6.. 根據受試者的共識，可以切實來執行。. （二）限制 1.. 德懷術問卷調查過程繁複，所需時甚久。. 2.. 專家學者不易選擇。. 3.. 缺乏面對面的溝通，導致意見無法面對面澄清。. 20.

(29) 4.. 德懷術問卷不易填寫，義降低參與願意，以致第二、三回合的填寫問卷過程中容易有樣本流失。. 5.. 以少數專家學者作為研究對象，所獲得的結論具有高度同質性。. 6.. 專家學者彼此常有興左的意見，不容易客觀整合，研究小組處理分歧意見的能力常受質疑。. 貳、德懷術的應用德懷術的應用最早可追朔到西元 1950 年代，美國 Rand 公司為了國防需要，發展出一種藉由群體溝通的過程，對研究議題形成共識與預測的方法。在 1960 年代後，德懷術被廣泛的應用在科技、企管、工業、醫療等領域。而在教育領域中，德懷術經常用在有關教育目標、課程決策、發展或設計、評鑑、改革等方面（游家政，1996；葉重新，2004；周新富，2007）。指標的建構方法有非常多種，本研究在進行指標建構時，嘗試以文獻探討法和焦點團體法為基礎，並同時以德懷術為主要研究方法，集結專家學者們的多元意見，從中整理出一致性的看法，以期望能建構一套適用於教師在教學上以素養為導向的數學課程之指標參考。一、文獻探討法文獻探討法是指針對一個研究問題，藉由收集國內外與其相關文獻進行蒐集、評鑑、分析、歸納和統整後建構指標的方式（郭昭佑，2001；周新富， 2007），文獻資料的種類有很多種，有圖書、百科全書、學位論文、期刊。但文獻探討法在進行指標建構時有一些限制，探討的議題之指標至少須廣為研究並有相當的文獻可供收集，否則難以建構完整的指標（郭昭佑，2001），因此本研究嘗試增加第二個指標建構的方式：「焦點團體法」，期望能使指標建構更為完善，以達研究目的。 21.

(30) 二、焦點團體法焦點團體法是指一群同質性的成員會聚一堂，針對一個研究主題進行相關的討論，並激發出不同的看法或見解，是屬於探索性的研究。透過焦點團體的探索歷程，可取得較具體可行的指標，在學校層級建立指標時頗為適用（郭昭佑，2001）。成員間藉由表達個人意見互相交流與激盪，可發展多向度的意見溝通，使得結果也較為完整（郭辰嘉，2012）。本研究嘗試進行三次的專家焦點座談，由指導教授左台益教授作為主持人，邀請各領域在數學素養的專家學者們分批進行三次專家焦點座談，並進行以下八個議題的討論：（一）請談談用一句話來說明您認為的數學素養意義為何？（二）從中小學數學的教與學觀點，您是如何看數學素養的呢？而中小學生的數學素養具體表現為何？（三）請更進一步說說看，在中小學教與學的面向，組成數學素養的元素應該有哪些？（四）從教與學的面向，我們可以如何評估中小學生的數學素養？（五）我們可以如何培養不同階段學生的數學素養？（可分別從教與學兩個面向來討論）（六）要如何發展學生數學素養的學習工具（例如教科書、教具、教學活動… 等）？（七）我們要如何培育不同階段的教師，有關數學素養的教學內容知識（Pedagogical Content Knowledge，PCK）？. 22.

(31) （八）從教與學的面向，請說明您們心中數學素養的理論構念或教學架構？透過焦點團體法，其訪談資料結果較難分析與解釋，因此本研究嘗試增加第三個指標建構的方式：「德懷術」，期望能使指標建構更精緻化，使研究結果更為完善。三、德懷術德懷術通常用來探討較為新鮮、一般人認識不深，或爭議性較大、見解較為分歧的主題（周新富，2012），而在教育上的應用，德懷術用以預測可能實施的教育改革方案等（舘倖生，2012）。本研究旨在建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。孫志麟（2000）曾提過，教育指標的研究是探討教育系統的發展狀況與趨勢，並藉由量化數據描述教育現象或分析教育問題。由於文獻探討法在指標建構上有一定的限制，難以作為初探式的指標建構方式，因此本研究再增加焦點團體法作為第二個指標建構的方式，透過同質性的團體討論，在專業上不但有一定的信度，更可透過焦點團體的探究歷程，取得較具體可行的指標，在學校層級建立指標時頗為適用（郭昭佑，2001），這是文獻探法法中所缺少的部分。由上述兩種指標建構方式為基礎，再實施德懷術的問卷調查，期望能匯集各專家學者多元性的意見和專業領域的知識，將指標建構更為精緻化，以作為德懷術的基本問卷內容，最後透過三次德懷術問卷調查來達成共識，以期望達到研究目的。. 23.

(32) 24.

(33) 第三章. 研究方法. 本章共分為五節，第一節為研究設計及流程、第二節為研究對象、第三節為研究工具、第四節為資料收集與分析方式、第五節為研究限制。. 第一節. 研究設計及流程. 本研究採用德懷術為研究方法，期望透過蒐集專家學者們的意見達成共識，並發展數學素養教學的指標。研究問題想探究透過德懷術所建構出來的指標有哪些？研究工具：文獻探討法、專家焦點座談法、德懷術在進行德懷術結構式問卷前，先舉辦三次專家焦點座談會，邀請有數學系背景的數學家和數學教育家、課綱編輯者、非數學系背景的數學教育家、以及中學老師，全部共 50 位。鑒於須等候專家學者的回應之問題，故第一回問卷不採用開放式問卷（周新富，2007），經研究者與指導教授討論後，指標的建構除了德懷術，還結合文獻探討法與團體焦點法，作為問卷編撰的參考基準。圖 3-1 為本研究之研究流程：. 25.

(34) 研擬研究方向. 文獻探討法. 焦點團體法. 形成問卷初稿. 選定德懷術專家. 前德懷術問卷. 小組成員統計、分析以及修正問卷內容. 邀請德懷術專家小組成員. 完成第一回問卷內容. 確認德懷術專家小組成員. 進行三回合德懷術. 寄發問卷. 修正問卷內容. 德懷術問卷調查. 統計、分析問卷回覆內容. 否. 德懷術專家小組之意見達成共識. 撰寫研究結果圖 3-1 研究流程. 26. 是. 問卷.

(35) 第二節. 研究對象. 壹、專家焦點座談本研究旨在能建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及教師評量學生數學素養之參考。因此對於專家小組成員的選定標準為，須對數學素養有深度瞭解或有實際經驗者，為了能將結果集思廣益，故邀請五個領域的專家學者，其領域包括（一）數學家，亦即為國內的數學系教授；（二）是數學系背景的數學教育家；（三）非數學系背景的數學教育家；（四）國內數學課綱編輯者；（五）中小學之數學教師。而選擇這些領域的考量因素有（一）實際參與新課綱編輯的專家學者；（二）數學系的大學教授，有編輯教科書的經驗；（三）在數學素養領域上，有一定程度的影響力；（四）曾經或目前有參與 PISA 之評改，或有在研究、編輯相關數學素養之教材的教師；（五）所選擇的專家對於本研究之主題有高度的興趣，且願意花費時間填寫者。由於領域數目以及邀請之專家人數較多，為了能充分激發專家們多元性的意見，以及考量過多的人數容易造成訪談進行上的困難，故將依專家領域分成三群，並依此進行三次專家焦點座談，每次訪談人數皆介於 3 至 6 人，專家領域分布、人數、背景等詳細說明，可參考附錄一。. 貳、前德懷術問卷以及正式問卷之專家小組成員一、前德懷術問卷之德懷術專家小組成員根據相關文獻的探討以及三次專家焦點座談內容，研究者經過多次與指導教授研究成員的檢視及修改，初步編製成問卷初稿。為了之後的問卷調查能順利進行，故在進入正式三回的德懷術問卷調查之前，先進行一回前德懷術問卷，仿效之後德懷術問卷調查的流程，挑選 6 位專家學者做為樣本（非德懷術專家小組成員），而此 6 位專家學者的專長領域分布可參考附錄二。 27.

(36) 根據專家給予的意見，此問卷調查目的主要是為了修正指標的內容以及確認數學素養之面向的分類。二、正式問卷之德懷術專家小組成員本研究在德懷術專家小組成員的選定標準為對數學素養有深度瞭解或有實際經驗者且樣本必須能夠代表各種不同見解的人物，才能將結果集思廣益(周新富，2007)。由於需要經過多次的問卷調查，須找有意願且較有時間與耐心的專家學者配合，再加上有問卷流失的考量因素，故研究者經與指導教授討論後決定邀請 50 位專家學者，最後回覆願意的共有 35 位專家學者，問卷往返期間共流失 3 個樣本，因此最後完成三回問卷調查共有 32 位專家學者。表 3-1 為各領域德懷術專家之比重。表 3-1 各領域德懷術專家之比重領域. 之比重. 7. 6. 1. 5. 15.63%. 12. 8. 0. 8. 25%. 5. 4. 1. 3. 9.38%. 8. 6. 1. 5. 15.63%. 高中. 6. 3. 0. 3. 9.38%. 國中. 6. 4. 0. 4. 12.5%. 小學. 6. 4. 0. 4. 12.5%. 50. 35. 3. 32. 100%. （數學系背景）課綱編輯者數學教育家（非數學系背景）. 合計. 人數. 流失人數. 數學教育家. 學教師. 實際參與. 參與人數. 數學家. 中小學數. 實際參與. 邀請人數. 本研究在挑選德懷術專家小組成員之領域考量因素上，與上述所談的三次專家焦點座談，其專家領域之挑選原因是相同的，故在此將不再重複描述。表 3-2 為德懷術專家小組成員之領域分布。. 28.

(37) 表 3-2 德懷術專家小組成員之領域分布領域. 單位國立臺灣師範大學. 2人. 國立中興大學. 1人. 國立嘉義大學. 1人. 逢甲大學. 1人. 國立清華大學. 1人. 國立臺灣師範大學. 1人. 國立臺北教育大學. 1人. 國立臺中教育大學. 1人. 國立臺南大學. 1人. 國立嘉義大學. 1人. 國立勤益科技大學. 1人. 國立臺南護理專科學校. 1人. 國家教育研究院. 3人. 國立臺灣師範大學. 1人. 臺北市立大學. 1人. 中原大學. 1人. 臺南藝術科技大學. 1人. 慈濟學校財團法人. 1人. 建國中學. 1人. 成淵高中. 1人. 楊梅高中. 1人. 師大附中國中部. 1人. 永慶高中國中部. 1人. 新光國中. 1人. 景興國中. 1人. 教育研究發展暨網路中心. 1人. 梓官國小. 1人. 博愛國小. 1人. 社子國小. 1人. 數學家. 數學教育家（數學系背景）. 課綱編輯者. 數學教育家（非數學系背景）. 高中. 中小學數. 國中. 學教師. 小學. 人數. 合計. 5人. 8人. 3人. 5人. 3人. 4人. 4人. 綜合專家焦點座談以及德懷術專家小組，並比對其中的成員名單，重複的人數總計有 10 人，其中在「數學家」領域中重複 1 人；在「具有數學系背景之數學教育家」領域中重複 3 人；在「課綱編輯者」領域中重複 2 人；在「非數學系 29.

(38) 背景之數學教育家」領域中重複 2 人；在「中小學數學教師－國中」領域中重複 2 人。. 第三節. 研究工具. 壹、專家焦點座談為了建構量表，由指導教授左台益教授作為主持人，邀請各領域的專家學者分批進行三次專家焦點座談，其時間安排以及詳細訪談內容可參考附錄三。且為了能更容易集結專家學者的意見，初步建構八個問題來訪談專家學者，其八個議題如下：（一）請談談用一句話來說明您認為的數學素養意義為何？（二）從中小學數學的教與學觀點，您是如何看數學素養的呢？而中小學生的數學素養具體表現為何？（三）請更進一步說說看，在中小學教與學的面向，組成數學素養的元素應該有哪些？（四）從教與學的面向，我們可以如何評估中小學生的數學素養？（五）我們可以如何培養不同階段學生的數學素養？（可分別從教與學兩個面向來討論）（六）要如何發展學生數學素養的學習工具（例如教科書、教具、教學活動…等）？（七）我們要如何培育不同階段的教師，有關數學素養的教學內容知識（Pedagogical Content Knowledge，PCK）？. 30.

(39) （八）從教與學的面向，請說明您們心中數學素養的理論構念或教學架構？經過第一次的焦點座談，因邀請專家人數多，且題數也稍多，訪談起來稍有困難，考量之後還有兩次的焦點座談，故減少訪談人數。關於上述第二和三個議題，專家在回答上有高度的重疊性，因此決定合併此兩個議題，並在之後兩次的專家焦點座談中，將原先八個議題改為七個議題來進行。第一章時曾提到過，在教育部發行的十二年國民基本教育課程綱《總綱》、《數學領域（草案）》以及《數學領域─課程手冊》中，教育部根據核心素養的三大面向，發展出三個教育階段、五個學習階段的數學領域核心素養之具體內涵。此部分可呼應第五個議題在探究如何培養不同階段學生的數學素養。第六個議題重點是在發展工具，以及第七個議題重點是在培育不同階段教師的數學素養，而本研究的目的是在建構數學素養相關的指標，期望在數學素養的三大面向（意涵、構成要素、教學）之下，提升並培養學生的數學素養。因此決定將第一、二、三、四、八個議題作為本研究欲探討的重點。. 貳、問卷編製及設計指標的建構方法有非常多種，本研究在進行指標建構時，嘗試以文獻探討法和焦點團體法為基礎，並同時以德懷術為主要研究方法，集結專家學者們的多元意見，從中整理出一致性的看法，以期望能建構一套適用於教師在教學上以素養為導向的數學課程之指標參考。一、問卷初稿的形成本研究期望探究未來在數學教學上，以素養為導向的數學課程，教師該如何發展課程以及培養、評量學生的數學素養。嘗試建構一套適用於以素養為導向的數學課程之指標體系，並作為發展教師在教學上的指標指引，以及. 31.

(40) 教師評量學生數學素養之參考。考量到傳統型德懷術在實行上的一些限制，故嘗試以修正型德懷術為主要研究方法，採用文獻探討法以及焦點團體法，將其彙整的資料結果初步編製成問卷初稿，共有 65 條指標項目，並將這 65 條指標分成六個維度三個子維度：（一）定義；（二）知識；（三）運用；（四）觀感；（五）學習；（六-1）教與學─教材；（六-2）教與學─教學策略；（六-3）教與學─評量。本研究為了能使第一回德懷術問卷進行更為順利，在此之前將先進行一次前德懷術問卷調查，以達到專家效度審查的作用。同時，藉由前德懷術問卷之調查結果來省思研究架構尚需改善的地方，期望本研究架構能更為完善。其前德懷術問卷的詳細內容，可參考附錄四。二、三回德懷術問卷的編製經過三次的專家焦點座談、相關文獻以及課綱之能力指標的參考，研究者與其他研究成員以及指導教授，初步編制出六大維度以及 65 條指標。經過一次前德懷術問卷調查後，研究者與其他研究成員以及指導教授針對其意見回饋做指標內容的修訂或修改指標的分類，將指標項目調整成三個面向：（1）意涵；（2）構成要素；（3）教學；其中「構成要素」又分成：「知識」、「運用」、「觀感」、「學習」等四個子面向；「教學」又分成：「教材」、「教學策略」、「評量」等三個子面向。這其中的修改原因將在第四節中做詳細討論並說明。（一）問卷修改流程三回合的修改流程大致上一致，綜合統計結果以及所有專家們的意見，來判斷指標內容是否需要修正或者是刪除，而不同於第一回，第二、三回問卷中皆會附上前一回的統計分析結果、修正結果和其他專家的意. 32.

(41) 見，希望能讓專家小組成員了解其他成員不同的看法，並進一步做修正或提出自己的看法。（二）問卷架構設計為了能使專家們在填寫問卷時能清楚地瞭解本研究欲探討的主題、採用研究法的特性、研究的期望與目標等，在設計問卷的架構上，分成以下幾個部分：（1）問卷首頁；（2）問卷內容簡述；（3）問卷填答說明；（4）前一回問卷之修改說明；（5）填答內容；（6）前一回問卷之各專家意見總覽；（7）指標修正總表。為了能使專家們清楚明白本研究的研究架構，會在「問卷首頁」提出本研究的研究主題、研究目的和研究方法；在「問卷內容簡述」中，類似於目錄的作用，希望專家能迅速瞭解問卷內容涵蓋哪些部分；在「問卷填答說明」中，提出支撐本研究架構的數學素養架構圖，以及問卷需填答的部分並簡單說明之；在「前一回問卷之修改說明」中，讓專家們能迅速知道前後兩回的差異部分；在「填答內容」中，會將須填答的地方特別標誌，減少專家們漏填的頻率；在「前一回問卷之各專家意見總覽」和「指標修正總表」中，讓專家們能更清楚瞭解其他成員的看法以及指標修正結果。本研究之三回問卷的詳細內容，可參考附錄五。（三）問卷寄發形式有別於一般德懷術的問卷調查形式，本研究採用「線上問卷」，與專家們透過電子郵件來聯絡，不但節省郵件往來的時間和金錢成本，讓在國外出差的專家也能填答，以降低樣本的流失可能性，使整個研究流程更為順利。由於題數過多，需花費較長的時間，有些專家擔憂利用線上填答可能會因網路造成資料損失而白費功夫，故除了線上問卷形式，研究. 33.

(42) 者會在電子郵件上再附上問卷的電子檔，讓專家們能自行選擇填答的形式。. 參、問卷設計的信效度一、效度分析（一）專家效度審查根據相關文獻的探討以及三次專家焦點座談，研究者經過多次與指導教授研究成員的檢視及修改，初步編製成量表。為了檢測量表的效度，根據研究流程，應須邀請專家來做專家效度審查，但考量之後德懷術問卷調查的樣本，不能與其重疊，邀請的專家須慎重選擇。另外，為了之後的問卷調查能順利進行，故將之改成前德懷術問卷，仿效之後德懷術問卷調查的流程，挑選 6 位專家學者做為樣本（非德懷術專家小組成員）。根據專家給予的意見，此問卷調查目的主要是為了修正指標的內容以及確認數學素養之面向的分類，以確保指標的明確性，完成專家效度。（二）內在效度本研究的德懷術問卷調查不同於其他一般的問卷調查，因為德懷術是以問卷調查的方式來「討論」研究議題，以取得專家小組成員的共識（游家政，1994）。專家小組成員會針對不清楚的地方提出疑問或意見，之後研究者會與指導教授根據統計結果或參考其意見回饋，做出是否修改的決定。在往返三回問卷調查的過程中，問卷中模稜兩可、容易誤解的指標敘述，或一個指標包含多個概念，將會逐漸被修正，因此問卷的內在效度也會被逐漸提升。（三）外在效度 34.

(43) 外在效度是指一個研究之研究結果能補片推廣到母群或其他類似情境的程度，而本研究的調查對象並非以隨機抽樣的方式來決定，因此不需要考量外在效度的問題。二、信度分析 Dalkey（1969）提到，當專家小組成員人數有十人以上時，成員間的誤差會降至最低，也就是說其信度為最高。再加上，專家小組成員之間的同質性越高，成員的人數最好在 10 到 30 位；異質性越高，則成員的人數最好在 5 到 10 位。（Delbecq，1975；游家政，1996）. 肆、德懷術的實施一、德懷術問卷實施進度本研究共進行了一回前德懷術問卷以及三回德懷術問卷之調查，自 2017 年 12 月 19 日至 2018 年 05 月 24 日，共計費時了 5 個月又 5 天，整體實施過程如表 3-3。表 3-3 德懷術問卷實施進度表前德懷術. 第一回. 第二回. 第三回. 寄發日期. 2017.12.19. 2018.01.16. 2018.03.20. 2018.04.20. 預計回收日期. 2017.12.26. 2018.01.29. 2018.03.30. 2018.04.30. 實際回收日期. 2018.01.09. 2018.02.28. 2018.04.17. 2018.05.24. 寄出份數. 6. 35. 32. 32. 樣本流失數. 0. 3. 0. 0. 回收份數. 6. 32. 32. 32. 研究者每回合提供給專家學者的問卷填答時間為十到十四天（不含當日寄發），由於第一回合問卷寄發時間在寒假期間，考量部分專家學者須出國或有其他事務上的繁忙，再加上初次填寫，可能須花費較長的時間，故給予. 35.