92年國中盃數學能力競賽第二節

臺北市九十二學年度國中盃數學能力競賽

第一階段 筆試（二）試題 92 年 11 月 22 日

說明：（１）本節考試時間為 100 分鐘（10 時 30 分至 12 時 10 分）。

（２）本節共有 4 道題，每題 10 分，共計 40 分。

（３）每道題須寫出解題過程，否則不予計分。

（４）請將所有答案依題號順序寫在答案卷上，否則不予計分。

１.如圖（一），在坐標平面上，此拋物線為二次函數y =ax2 +bx+c的圖形，其對稱軸為x=−1。試判斷 下列５個代數式的正負，並說明理由。

○

1 abc ，

○

2 a+b+c，

○

3 3a−b，

○

4 a−2b+4c，

○

5 9a+6b+4c。 圖（一） ２.設 n 、 m 、 k 皆為正整數，函數 f(n)的值定義為 n 可寫成兩個正整數相乘積的方法數； 例如：4＝1×4＝4×1＝2×2，所以 f(4)=3；15＝1×15＝15×1＝3×5＝5×3，所以 f(15)=4。 函數g(m)的值定義為 m 的每位數字中為偶數的數字和，若 m 的每位數字都是奇數時，則g(m)=0； 例如：g(14320) =4+2+0=6，g(1131) =0。 令a_k = f(101×3k)，求g(a₁)+g(a₂)+L+g(a₁₀₁)的和為多少？ ３.設 x 、y、z皆為正整數且x > y> z。 試證： x y z y z z x x y z y x z y x2 2 2 > + + + _。 ４.已知：四邊形ＡＢＣＤ及ＡＤ邊上一點Ｐ，如圖（二）。 求作：過Ｐ點的直線Ｌ，使直線Ｌ將四邊形ＡＢＣＤ分割成面積比為１：２的兩塊區域。

? 必須保留作圖痕跡並寫出作法? 但不必證明? ?

圖（二）