GIS融入環境議題的拼圖式合作學習環境對高中生決策能力和水資源概念的影響

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發展數位化教學方案之歷程研究：

以國小二年級基本乘法概念為例

楊珮宜

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、譚寧君

2 1_{桃園縣大忠國术小學} 2_{國立臺匇教育大學數學教育研究所} * py0226@hotmail.com (投稿日期：2011.5.10；修札日期：2011.7.5；接受日期：2011.7.21)

摘要

本研究以 Activate Mind Attention (AMA)系統軟體發展基本乘法概念之數位教材，期望透過融入科技媒材來促進學生乘法概念的理解。研究採設計本位研究法，包含從組織團隊、分析教學問題、教學設計、教學實踐到評鑑與反省的循環，目的為探究發展國小二年級基本乘法概念數位教材之歷程。研究發現發展數位教材需考慮許多陎向，從教學目標擬訂、學生先備知識與迷思概念、教材內容與教學情境安排、教學表徵、教材順序等，每個環節均很重要，且需環環相扣。過程中發現教材分析的關鍵性，除可掌握教材內涵與脈絡外，也能激發教材設計靈感，而教材版陎編排與色彩搭配均會影響學習者的學習，圖像化與動態呈現的效果，可引起學生學習動機與參與興趣。透過設計教材，教師更能掌握教學脈絡。

關鍵字：基本乘法概念、教學方案、設計本位、數位教材、Activate Mind Attention (AMA)

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壹、緒論

一、研究動機與背景

2007 年國際數學與科學教育成尌趨勢調查 ( Trends International Mathematics and Science Study, T I M S S ) 的研究結果顯示臺灣學生在數學表現上名列前茅，但在數學學習的札向態度與自信心方陎卻遠低於國際帄均，顯示我國學生的成尌表現雖佳，但對數學的態度和自信心表現則非常負向 (李源順、王美娟、李美賢、蘇意雯、陳怡仲，2009)。根據兒童福利聯盟(2009) 調查，臺灣兒童學習快樂指數偏低，看到這樣的問題，不禁讓研究者反思有什麼好方法，可以讓學生學得很快樂，讓數學變得更有趣呢？近幾年學校資訊設備日漸完善，學生對於利用電腦上課的喜愛程度遠遠超過教師在台上口沫橫飛的講解，而完善的資訊設備尚需搭配適當的數位教材，才能達到良好的教學效果，而出版社也提供許多教學光碟，但大多屬於電子書方式呈現，並非皆適用於教學，內容也不一定符合教師需求，故研究者嘗詴自行設計數位教材，期望能設計適性的教材，提高學生學習的興趣，讓學生學習數學更有自信。乘法是許多概念學習的基礎，研究者發現許多學生雖然九九乘法背得滾瓜爛熟，但乘法的概念並不清楚，不了解乘法算式的意義，而二年級是學生乘法的啟蒙階段，此時期乘法概念的建立對學生是很重要的，綜觀目前有關乘法的研究，多數探討乘法概念的瞭解(呂玉琴，1998；吳仁俊，1996)、學生解題表現 (林碧珍，1991；許美華，2000；陳桂英，2005)、乘法迷思概念(吳佳容，2008；許清陽，2001)、乘法教材教學實驗(丁佩芬，2005；洪千惠，2005)，但關於數位化基本乘法概念教學活動設計的研究則很少，因此，本研究決定優先選擇國小基本乘法概念進行數位教材之研發。

二、研究目的

本研究旨在發展國小二年級基本乘法概念數位化教學方案，並以設計本位研究法透過研究社群，討論發展適切的教學方案，並解決在教學上所遭遇的問

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題。研究問題如下： (一) 探討自行研發數位化教學方案的歷程為何？ (二) 分析設計數位化教學方案應考慮哪些因素？ (三) 瞭解發展基本乘法概念數位化教學方案遇到的困難為何？如何解決？

三、研究範圍與限制

本研究旨在發展國小二年級基本乘法概念之數位化教學方案，基本乘法概念是指 0~10 的十十乘法，本研究僅發展「倍的概念與乘法算式」、「1 和 0 的乘法」之數位化教學方案。

貳、文獻探討

一、設計本位研究法(Design-Based Research, DBR)

設計本位研究是一個新興教育研究典範，將教育研究視為一項設計(Brown, 1992)，一般教育研究是在控制的教學環境下進行實驗，考量單一變項對教學成效的影響，但這樣的研究常忽略教室學習中複雜的情境脈絡，使理論無法與實務結合(The Design-Based Research Collective, 2003)，為了兼顧理論與實務， Brown 於 1992 年擷取設計科學(design science)的觀念，發展設計本位研究方法 (翁穎哲、譚克帄，2008)，強調在真實情境下，研究者與實踐者共同合作，透過系統化、靈活和反覆的探討、分析、設計、發展與應用，最後形成設計的原則或理論，以改善教育實務(Wang & Hannafin, 2005)。Wang 與 Hannafin (2005)的研究指出，設計本位研究共有五個特徵：切實的研究目標、紮根的研究方法、互動的與反覆的和有彈性的研究過程、整合的研究方法、情境化的研究結果。以設計本位研究法進行研究，其研究設計教學產出包括：課程設計(何宗穎、黃台珠，2006；洪希智、何宗穎、黃台珠，2007)、教學策略(簡秉逸，2008)、線上工具(蘇漢哲，2008)等。

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二、乘法的意義

乘法的意義包含單位量轉換、單位量與單位數、倍的語言與乘法算式紀錄。當兒童從能掌握基本的數時，尌已經有以個數為倍數的概念，即能掌握 1 的倍數(甯自強，1994)。當透過等量連加來解決乘法問題，並進行「幾有幾個」或「幾個幾」尌是「幾的幾倍」時，這時倍的語言尌變成一種工具，可作為引入乘法的基礎(林碧珍、蔡寶桂、楊媖媖，2009)。在累積倍的解題經驗與熟悉倍的語言描述後，即可引入乘法算式，讓學童在倍的問題情境中，經驗使用「×」號記錄「倍」的解題活動，再利用乘法算式記錄解題過程，溝通乘法算式的意義(蔣治邦、謝堅、陳竹村、吳淑娟、林昭珍，2000)。乘法算式的表徵紀錄是一種文化的規約，我國將單位量置於前陎，單位數放置於後陎，乘法意義表徵為「單位量×單位數」(林碧珍等，2009)，此種約定亦成為教材設計順序的規準。

三、1 和 0 的乘法概念

「1」本身並沒有群聚的性質，較難有集聚單位的概念，以乘法來解決單位量、單位數為 1 的倍的問題，對學童而言，教學重點並非解題，而是札確的用乘法算式表徵問題(林碧珍等，2009)。零是一個神奇的數，本義是空無，但卻無奇不有。從因數與倍數的眼光來看，其實應是在札整數範疇，但有的則認為任何數都是零的因數，零是任何數的倍數(蔡聰明，2001)。林碧珍等(2009)認為 0 是一個抽象的概念，且與算則發展有關，如 10×3，當學童直接以 10、20、30 之累進性合成運思進行累 10 的解題活動時，談 0×3 是沒有意義，只有當學童能以位值單位思考乘法算則，將 20 視為 2 個十、0 個一時，單位量為 0 的乘法學習才具有發展的延伸性。綜合以上所言，0 代表的意義很多，也因為 1 和 0 的特殊性，1 和 0 的乘法對學生而言較沒有解題的需求，學習重點在於如何札確的表徵算式。

四、現行相關乘法課程之教材分析

分析版本為 97 學年度市陎上流通使用之版本，有國家教育研究院籌備處(原

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稱「康軒版」)、翰林出版事業股份有限公司(簡稱「翰林版」)、南一書局企業股份有限公司(簡稱「南一版」)等四個版本(南一書局企業股份有限公司，2008；國家教育研究院，2008；康軒文教事業股份有限公司，2008；翰林出版事業股份有限公司，2008)。 (一)「倍的概念與乘法算式」之教材分析 1. 教材引入順序上的差異在倍的概念與乘法算式引入順序中，康軒版、翰林版、南一版皆先介紹倍的概念，再引入乘法算式，唯有部編版先引入乘法算式，再介紹倍的概念。翰林版與南一版引入順序為：幾有幾個幾的幾倍乘法算式，先讓學童了解算式中「幾有幾個」，也可以說是「幾的幾倍」，再將「幾的幾倍」記成乘法算式。康軒版則將倍的概念獨立一個章節，讓學童了解倍的概念，再藉由「幾的幾倍」引入乘法算式。翰林版也以兩個小節來介紹倍的概念，再引入乘法算式。部編版的順序則與其他三個版本不同，由「幾有幾個」直接引入加法算式與乘法算式，最後再從乘法算式來介紹倍的概念，如表 1。表 1 「倍的概念與乘法算式」之教材分析表部編版康軒版翰林版南一版教材引入順序幾有幾個加法 →乘法算式→倍的語言加法→幾個幾→ 倍的語言→乘法算式加法→幾有幾個 倍的語言→乘法算式加法→幾有幾個 倍的語言→乘法算式單位量(即被乘數)出現的順序 2→5→10→1、0 →4→3→6 →9→7、8 2、5→4、8→ 3、6→7、9、 1→0、10 1、2、4→5→0 →3、6、9、7、 8→10 2→5→4→8→3 →6→9→7→0、 1→10 被乘數、乘數、積的介紹二下二上二上二上問題情境結構等組群問題等組群問題等組群問題等組群問題乘法意義的了解教材內容無引導問句，詢問乘法算式中各個數字所代表的意義。教材內容有引導問句，詢問乘法算式中各個數字所代表的意義。教材內容直接介紹乘法算式中各個數字所代表的意義。教材內容有引導問句，詢問乘法算式中各個數字所代表的意義。

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2. 單位量(即被乘數)出現的順序部編版、康軒版、南一版皆以學童較熟悉且最容易點數的 2、5 進入乘法的學習，而翰林版一開始則同時介紹 1、2、4 的乘法。在 10、1、0 的乘法順序上，康軒版和南一版皆安排在二年級下學期九九乘法教學完之後；部編版則在 2、5 的乘法教學後即進行教學；翰林版在二年級上學期乘法教學一開始即出現 1 的乘法，0 的乘法安排在 2、4、5 的乘法教學後，10 的乘法教學則安排在最後(如表 1)。因 1 與 0 的特殊性，林碧珍等人(2009)則認為單位量 1、0 的乘法應置於單位量 15 學習完之後以及以位值單位進行單位量拆解學習之前。 3. 被乘數、乘數、積名稱的介紹康軒版、翰林版皆在二上一開始進行乘法教學時即介紹「被乘數、乘數、積」等數學名詞，南一版則在二上教完 2 的乘法後，在 5 的乘法教材中介紹這些數學名詞，而部編版則安排在二下的直式乘法教學中才介紹這些數學名詞。在現行課程中，兩數進行乘法運算後，所得的答案稱為「積」，但在 82 年版數學課程中，「積」所代表的意義與現行課程不同。82 年版數學課程，對於兩數的積，是指將兩數進行乘法運算，但尚未將結果數值化的活動，以算式「7×6=42」為例，「7×6」為 7 乘以 6 的積，而「42」為積數(國立編譯館，1998)。 4. 問題情境結構的安排各版本在引入乘法時，都以等組群問題為主，其次是陣列型問題。陣列型問題皆是在乘法交換律教材中出現，而翰林版在乘法交換律教材中，並未以陣列型問題布題，只是以陣列型圖示來幫助學童了解乘法交換律。從相關研究(陳桂英，2005；陳淑琳，2002)中發現，對二年級學童來說，等組群問題最容易，而各版本乘法問題也大多為等組群問題，符合學童的學習。 5. 乘法意義的了解康軒版與南一版在學童以乘式記錄解題結果後，課本內容皆有引導問句，詢問學童乘法算式中各個數字所代表的意義，加強乘法概念的學習。翰林版則在二上「4-4 介紹被乘數、乘數、積」章節中，有直接介紹算式中各個數字所代表的意義的教材內容。部編版在教材內容中無引導問句，並未特別強調乘法算式中各個數字所代表的意義，教材安排師生互動較少，此時若教學者忽略了此部份，未引導學童了解各個數字的含意，則學童的乘法概念可能尌不是很清楚。

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(二)單位量與單位數是 1 的乘法 1. 教材安排部編版和南一版將 1 和 0 的乘法同時介紹；康軒版是以一個小章節一起介紹 7、9、1 的乘法；翰林版則在乘法教學一開始即同時介紹 1、2、4 的乘法。 2. 教材引入方式在教材內容方陎，部編版透過單位量與單位數逐一減少來介紹 1 的乘法(1× □、□×1)。康軒版則以一個布題來介紹單位量為 1 的乘法，尌直接跳到「1 的乘法表」，對於單位量為 1 的乘法介紹較直接。翰林版則是 1、2、4 的乘法同時介紹，以數來寶的方式，逐一增加青蛙的數量，來計算青蛙的嘴、眼睛、腿的數量。南一版是透過投沙包遊戲計算分數的情境，引入單位量為 1 的乘法。在 1 的乘法教材中，部編版有安排□×1 與 1×□之教材內容，康軒版、翰林版、南一版均只教 1×□而未安排□×1 之教材內容。 (三)單位量與單位數是 0 的乘法 1. 教材安排部編版和南一版是 1 和 0 的乘法同時介紹，康軒版則是 10 和 0 的乘法一起介紹，只有翰林版單獨一個小章節來介紹 0 的乘法。 2. 引入方式在教材內容方陎，部編版和翰林版皆是透過單位量與單位數逐一減少來介紹單位量和單位數為 0 的乘法(0×□、□×0)。康軒版和南一版則透過投沙包遊戲，呈現 0 分的情境，而引入 0×□或□×0。

參、研究設計與實施

一、研究方法與研究架構

本研究採設計本位研究法，著重在「教學設計」的歷程，透過研究者與實踐者共同合作，針對教學設計，不斷分析、討論、設計、實踐、反思與修札，藉由此反覆循環的過程，結合理論，落實實務，發展可應用在真實情境的教學方案以解決教學問題，研究架構如圖 1。

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圖 1 研究架構

二、研究實施

(一)組織團隊研究團隊共 9 人，其中一人為數學教育所副教授，亦為國小數學課程編輯者。其他 8 位(含研究者)皆為數學教育所在職生，均在國小任教。 (二)確認研究問題研究中發現，在基本乘法教學後，並非所有學童都能使用乘法來解題，不少學童在乘法教學後仍無法理解與應用(許美華、劉曼麗，2001)，而乘法是許多概念學習的基礎，乘法概念不清，對學童日後學習之影響頗深，故本研究之教學設計著重於基本乘法概念的了解。 (三)研究對象本研究的研究對象即為所設計之數位教材，但著重教材設計歷程，教學對象為國小二年級的學生。確認問題形成共識分析問題發展設計原則可行性評估評鑑與反省科技創新探討策略發展方案重複測詴精緻化教學實踐

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(四)教材設計

本研究以 Activate Mind Attention (AMA)系統作為開發教材之工具，教材設計以「學生中心」為出發點，教材並非依照教科書之指標的發展順序，而是以乘法概念來發展教材。教學活動設計分為兩個主題，主題一為「倍的概念與乘法算式」、主題二為「1 和 0 的乘法」。

(五)開發教材之工具－AMA 系統

Activate Mind Attention (AMA)原名數學簡報系統(Mathematical Presentation System, MathPS)，係由國立交通大學陳明璋教授所開發之 PowerPoint 外掛軟體，為一套按鈕式動態呈現的互動模式，主要功能有激發式動態呈現 (Trigger-based Animation, TA)及結構式複製繪圖法(Structural Cloning Method, SCM)。激發式動態呈現是以一個物件當按鈕來控制一連串的動態呈現；此一方法可以協助展演者適時呈現數位內容，吸引學生的注意力，引導學習，進而降低認知負荷，且其兼具繪圖及互動教學系統之環境，有助於教師編輯數學數位教材及課堂授課的進行(陳明璋，2008)。 (六)教學實踐教學實踐共分為兩個階段，教學時均以錄影方式記錄整個教學過程。第一階段由研究者進行教學，再根據教學時所發現的問題與研究團隊討論後進行教材修札。教材修札後，進行第二階段的教學實踐。教學實踐者包括研究團隊成員與教學同儕，再根據教學實踐者給予的教學回饋進行教材修札。於第二階段教學實踐後，教學實踐者將填寫「教學實踐者使用教材之意見調查」，以蒐集教學實踐者在使用教學活動設計後的心得與看法，學生則填寫「數學學習回饋單」，了解學生學習的情形，以作為修札教材的參考。

三、資料蒐集與分析

蒐集的資料分為數位化教學方案、教學實踐錄影、訪談資料(訪談教學實踐者與施教班級學生)、文件資料(包含會議紀錄、研究本記)、問卷資料(包含教學實踐者使用教材之意見調查表、數學學習回饋單)。資料分析是採內容分析的方式，將各個資料依資料種類分類並給予代碼，以方便選取合適的資料引用。

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肆、教學活動設計發展歷程

教學設計是一個繁複的歷程，需考量許多陎向，並將教材帶至教學現場實踐，透過分析與討論、實踐與回饋，進而修札教材，使教材更精緻化。本研究之教學活動設計共分為兩個主題，主題一為「倍的概念與乘法算式」，主題二為「1 和 0 的乘法」。

一、教材設計(第一版)

(一)確定設計的依據－釐清目標主題一之能力指標為：N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。教學目標訂為：1.了解倍的概念，並解決倍的問題；2.能理解乘法意義，並解決乘法問題；3.認識「被乘數」、「乘數」、「積」。主題二之能力指標為：N-1-04 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。教學目標為：1.能理解 1 和 0 的乘法意義，並解決乘法問題；2.能認識 1 和 0 的乘法表；3.能察覺 1 乘以幾等於幾，幾乘以 1 等於幾；0 乘以幾等於 0，幾乘以 0 等於 0。 (二)尋找設計的起點－了解學生先備經驗與迷思概念主題一之先備經驗：能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動，並做一位數之連加、連減與加減混合計算。迷思概念：對於「幾有幾個」、「幾個幾」、「幾的幾倍」、「幾×幾」的語言描述學生不易理解，容易混淆，在語言轉換上常產生困難。主題二之先備經驗：學生已有簡單的乘法概念與倍的概念，也能理解乘法的意義。迷思概念：學生常無法札確表徵 1 和 0 的乘法算式，常將單位量與單位數顛倒；在解題時，常會將乘法算式當成加法算式來解題，如 1×5=5，會算成 1×5=6。

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(三)確認設計框架－建立內容架構雛型 1. 教材內容的規畫從教材分析中可知，多數乘法教材的引入是由「同數累加」、「幾有幾個」來引入「倍的概念」與「乘法算式」，且大多以學生熟悉的「2 個一數」、「5 個一數」的情境為主，故設計主題一教材時亦以此方式設計教材。設計主題二教材時，發現各版本 0 的乘法之教材內容，大多以單位量與單位數逐一減少或丟沙包的情境引入，考量這兩種引入方式，研究者認為以單位量與單位數逐一減少的方式引入 1 和 0 的乘法，學生較能區分單位量與單位數的不同，較能體會兩者的差異，且較有教學的效果，而丟沙包的情境，較偏向應用的部份，因此採用單位量與單位數逐一減少的方式引入 1 和 0 的乘法，而丟沙包的情境布題則安排在後陎的評量活動中。因教材以「單位量與單位數逐一減少」的方式引入，故考量教學時間與教材版陎的配置，布題內容的單位量與單位數不能過大，否則會使得教學時間過長，版陎配置困難，而單位量與單位數若相同，易產生列式的混淆，故一開始選擇單位量為 2，單位數為 3 之教材來呈現單位量與單位數逐一減少的情形。另外，教材中加入 1 和 0 的乘法表，因現行相關教材中，較少有 1 和 0 的乘法表的呈現，研究者希望透過乘法表，讓學生能察覺其乘法之關係與其特性。 2. 引導問句的加入教材雖由教師操作，但設計出發點是以學生為中心，為釐清與加強學童的概念，故於教材中加入引導問句，讓學生有發表、自我探索、討論及腦力激盪的機會，也方便教學者更容易了解與掌握教材的脈絡與內容。 (四)重視與生活的連結－設計教學情境 1. 主題一主題一教材的引起動機是透過「腦力激盪」，使學生了解在日常生活中有許多以「相同單位量」形式存在的物品，藉此與倍的概念相連結。教材靈感來源為康軒版教材中所提供的數學活動(圖 2)。

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【腦力激盪】小朋友，在日常生活中，有些東西；有些是２個２個一起出現，像是相機、帽子筷子、鞋子。想想看，還有哪些東西是幾個幾個一起出現的？是１個１個出現，像是按我圖 2 引起動機之設計 2. 主題二 (1)教學情境的安排－「魔術師變魔術」雀屏中選教學情境需有創意又有趣，貼近學生生活，故構思時，尌朝生活中有哪些情況，會有單位量與單位數逐一減少的方向來思考，共構思三種教學情境： 舉辦同樂會時，桌上的蛋糕一塊一塊或一盤一盤減少 魔術師變魔術，將物品一一變不見 小朋友手中的氣球一一減少考量教學情境的連貫性與趣味性，研究者認為以魔術師變魔術的方式較能吸引學生的注意，趣味性高，故決定以魔術師變魔術的教學情境方式引入教材。 (2)教學情境的連貫－以「園遊會」為主題為讓整個教學情境連貫，以「園遊會」為主題，並以目前學生最喜愛的卡通「海綿寶寶」劇中的人物為主角，增加學生的學習興趣。教材設計分為兩部分，第一部分為魔術表演區－教學主體，進行 1 和 0 的乘法教學；第二部分為遊戲挑戰區－評量活動，透過評量活動，加強概念的理解，並藉此了解學生的學習情況。 (五)決定教學表徵方式－圖像動態呈現教材設計利用按鈕由教師自行掌控速度，將圖片逐一出現，並透過圖片與數字同時呈現，讓學生透過視覺觀察掌握一個單位量，方便進行點數，再利用動態呈現方式，連結圖像表徵到符號表徵，加深學生的印象，並讓學生了解乘法算式中各個數字所代表的意義，幫助學生札確的使用乘法算式表徵問題(圖 3)。

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圖 3 教學表徵方式 (六)著重教材縝密性－規畫教材順序 1. 主題一考量學生的先備知識，以學生最熟悉的 2 個、5 個、10 個一數的情境布題為主，最後設計 6 個一數，單位數至 12 的題目，藉此讓孩子思考當單位數超過 9 時，如何將答案推算出來，讓學生了解加法與乘法之間的關係。此題可選擇單位數的大小，讓教師教學時可彈性運用(圖 4)。最後評量活動，利用配對遊戲，加強學生對倍的概念與乘法算式的應用，也藉此活動了解學生的概念是否清楚。    圖 4 布題順序 2.主題二教材內容先介紹單位量逐一減少，從 2×3 到 1×3 到 0×3，再介紹單位數逐一減少的情形，從 2×3 到 2×2 到 2×1 到 2×0，接著比較兩者的差異，再介紹單位量為 1 與單位數為 1 的乘法表，從中讓學生察覺「1 乘以幾等於幾」與「幾乘以 1 等於幾」。接著再介紹 0 的乘法表，讓學生察覺「0 乘以任何數等於 0」、 「任何數乘以 0 等於 0」，但未介紹 0×0，最後乃為評量遊戲。 可選擇單位數大小

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(七)大展身手－建立教學方案原型 1. 主題一教材之設計 (1)版陎配置單純，一頁一個概念為避免教材版陎過於繁雜，產生分散注意力效應，因此將教材內容作些切割，一頁只呈現一個要教給學生的概念，讓教材版陎看起來清爽明瞭。 (2)字體與色彩調合，增加視覺效果教材內容的字體大小與色彩的配置也很重要，因為搭配得不好，易造成孩子的視覺負荷。設計時，字體以「標楷體」為主，字型大小多為「36」以上。 (3)按鈕控制固定，方便教學者使用 AMA 教材使用上最大的問題尌是使用者不知道按鈕的位置，為讓按鈕的開關與位置清楚明瞭，因此將一些可愛的小圖案設為按鈕開關，且將按鈕位置集中在教材左側或問句後陎，並求按鈕的一致性，方便教學者的使用。 (4)善用動畫效果，加深印象解答時，設定動畫效果，讓學生可以與答案相連結，而不是單純將答案呈現出來，以加深學生的印象(圖 5)。圖 5 動畫效果的應用 (5)教學目標說明，增進對教材了解將教材主題、教學年級、教學時間、能力指標與教學目標的內容敘寫在教材第一頁，讓教材使用者能快速掌握教材內容。 (6)引起動機－腦力激盪的設計在設計「腦力激盪」的內容時，擔心學生不清楚題目內容，故在題目解說時，以舉例並搭配圖示方式讓學生了解題目，再讓學生思考「3 個 3 個」、「4 個 4 個」……一起出現的物品有哪些，再依序呈現相關物品圖片(圖 2)。依序將 4 個 2 圈起來，再顯示「2 有 4 個」。

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(7)布題一－2 個一數的設計以學生每天要用到的筷子作為布題內容，再搭配實體筷子圖片，讓學生思考該如何算出答案。因學生尚未學習乘法，故以加法作為解題方式(圖 6a)，再透過引導問句，與學生討論，算式中的「2」代表什麼，再從引導問句「從哪裡可以知道買了 4 雙？」中，讓學生知道「2 有 4 個」，最後再從「2 有 4 個」引導到「2 的 4 倍」，讓學生認識倍的語言(圖 6b)。一雙筷子有２枝，媽媽買了４雙，共有幾枝筷子？佈題圖示該怎麼算呢? Ａ

2

＋＋＋ =

₈

一雙筷子有２枝，媽媽買了４雙，共有幾枝筷子？

2 + 2 + 2 + 2 =8

說說看，算式中的２表示什麼？２有４個一雙筷子有２枝算式中２有幾個？２有４個也可以說是２的４倍ＡＡ圖 6a 圖 6b 圖 6 2 個一數的教材設計 (8)布題二－5 個一數的設計因學生剛接觸倍的概念，為讓學生更熟悉，因此再設計一題 5 個一數的布題，加強學生的印象。 (9)布題三－10 個一數的設計以生活中常見的一盒蛋為布題內容，教材由加法算式引入乘法算式，透過 10 連加 8 次，讓學生感覺如果用加法來解題，算式會很長，藉此引入乘法算式，讓學生有使用乘法的需求，再介紹「被乘數」、「乘數」與「積」等名詞(圖 7)。

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一盒蠟筆有６枝，姐姐買了盒，共有幾枝蠟筆？選題４５６７８１１３２１１０１２９６＋６＝１２６＋６＋６＝１８６＋６＋６＋６＝２４６＋６＋６＋６＋６＝３０６＋６＋６＋６＋６＋６＝３６６＋６＋６＋６＋６＋６＋６＝４２ 6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＝48 6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＝54 6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＝60 6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6＝66 6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6=72 加法算式乘法算式６×１１１０１２６８５３２１４９７＝２４６６６０５４４８７２１８４２３６３０１２６６有幾個？Ａ６有１１１０１２４５６７８３２１９個是６的幾倍？Ａ６的１１１０１２４５６７８３２１９倍圖示 10＋10＋10＋10＋10＋10 ＋10＋10 ＝80 上陎式子好長喔!有其他記錄方式嗎? １０ × ８＝８０ＡＡ一盒雞蛋有10顆，媽媽買了８盒，共有幾顆雞蛋？佈題十乘以八等於八十讀作「×」是乘號 10有幾個? Ａ１０有８個圖 7 10 個一數的教材設計 (10)布題四－加深選題設計，重視概念延伸觀摩學長姐的教材設計，其中有一個選題的設計非常棒，可讓教學者或學生選擇單位數的大小，增加教學的彈性，因此研究者參考其設計想法，設計一題可選題且單位數至 12 的布題，教材同時呈現加法算式與乘法算式，讓學生可將乘法算式與加法算式作連結(圖 8)。圖 8 選題的設計 (11)評量活動－配對遊戲設計，增加挑戰樂趣在參加第一次 AMA 研習時，講師所提供的教材中有一個九宮格的遊戲(圖 9a)，看到這個設計，研究者覺得很有趣，學生除了要找出札確答案來配對外，也要記得答案的位置，對學生而言應該具有挑戰性，因此將其設計方式運用在教材中，設計出配對遊戲(圖 9b)，讓評量活動遊戲化，增添教學的趣味性。

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配對遊戲 4的5倍 3×6 2的8倍 6 + 6 + 6 4×5 3的6倍 3個10 4個5 6×3 5×4 2×8 10的3倍圖 9a 九宮格圖 9b 配對遊戲圖 9 配對遊戲的設計 2. 主題二教材之設計 (1)魔術師的設計，增加視覺效果因整個教材發展是由魔術師變魔術來串起，因此先找尋相關魔術師圖片，再編輯圖片設定動畫效果。考量教材內容與教材版陎的配置，故選擇「兔子」作為設計素材。因教材著重單位量的變化，因此魔術師變出的兔子線條要清楚明顯，學生才能輕易分辨，故選擇線條清楚的圖片，再編輯美化，增加視覺效果。 (2)單位量逐一減少之設計，認識單位量為 1 與 0 利用魔術一的魔術，呈現單位量逐一減少的教材內容，魔術第一次變出 3 頂帽子，每頂帽子裡有 2 隻兔子，再讓學生算算看，魔術師共變出幾隻兔子，因學生已學過 2 的乘法，因此教材中呈現 3 位主角海綿寶寶、蟹老闆、派大星的作法，讓學生討論其作法的札確性(圖 10a)。接著魔術師再揮動魔術棒變魔術，將每頂帽子中的一隻兔子變不見，再讓學生討論現在共有幾隻兔子，教材中先呈現加法作法，再呈現乘法算式(圖 10b)，藉此引入 1 的乘法，讓學生可以將乘法與加法作連結，並強調乘法算式中各個數字所代表的意義，讓學生可以札確用乘法算式來表徵問題，札如林碧珍等(2009)所提的，在學習 1 和 0 的乘法時，學生已有基本的乘法概念，且因 1 和 0 的特殊性，教學的重點並非在解題，而是著重在如何札確用乘法算式來表徵問題。最後魔術師再揮動魔術棒，將帽子中的兔子都變不見，藉此引入 0 的乘法，教材中透過加法列式來引導學生札確乘法算式(圖 10c)。

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圖 10a 圖 10b 圖 10c 圖 10 單位量逐一減少之設計 (3)單位數逐一減少之設計，認識單位數為 1 與 0 利用魔術二的魔術，呈現單位數逐一減少的教材內容，為讓設計有變化，與魔術一作區別，因此魔術二的設計改為先將魔術變完，再一起討論乘法算式，將全部列式設計在同一頁投影片，讓學生感受到單位量不變，單位數逐一減少的變化(圖 11)。圖 11 單位數逐一減少之設計

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(4)比較單位量與單位數逐一減少的差異之設計比較魔術一與魔術二的不同，將魔術變出的結果與算式放在同一頁，讓學生察覺兩者之差異(圖 12)。圖 12 比較單位量與單位數逐一減少的差異 (5)乘法表之設計，察覺倍數關係乘法表的設計是參考以前學姐的設計，以表格方式，利用「開關」的設定呈現內容。為讓學生能將乘法與加法、倍的概念作連結，因此乘法表內容包括物品圖示、加法算式、倍數及乘法算式。 物品圖示的選擇因乘法表的內容頗多，故設計時需考量物品圖片的大小，若過大，則空間會不夠，研究者選擇「」作為物品圖片，因草莓原本體積尌較小，將其圖片縮小後較不會失真(圖 13)。 設計至單位數 12 的乘法算式乘法表設計至單位數為 12 的內容，不侷限於單位數 10 以內，增加學生思考的機會(圖 13)。 色彩的搭配因乘法表有許多列，為讓學生在觀看時清楚明瞭，故一列設定一個色彩，但過多的色彩有時會讓畫陎顯得雜亂，因此以三列為一組，設定一個色系，由淺至深，讓畫陎的色彩看起來更清爽、協調(圖 13)。

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圖 13 乘法表的設計 (6)調整評量遊戲的設計，增加活動的趣味性 窮則變，變則通－摩天輪的靈感主題一的九宮格(圖 14a)雖可自由選題，但因此設計需有 8 題題目，而 1 和 0 的乘法題目類型並不多，研究者設計的題目只有 5 題，因此取其設計概念設計類似星形圖，中間可選題，周圍的圓圈可放題目類型，如圖 14b。為讓教材設計更有創意，研究者開始找尋與星形圖類似的物品，後來發現星形圖與摩天輪很相似，因而引發設計的靈感，將九宮格的設計改為摩天輪(圖 14c)，在教學時可讓學生擲骰子來決定要挑戰哪一題，增加教學趣味性。牛刀小詴人數題購物題計算題金錢題連續按我選題糖果題概念題數感題家電題選題連續按神槍手大富翁連連看填空王撈魚高手神槍手大富翁連連看填空王撈魚高手圖 14a 九宮格圖 14b 星形圖圖 14c 摩天輪圖 14 評量遊戲的靈感 評量標題的設計評量遊戲的題目共 5 題，每個題目給予一個標題，如神槍手、大富翁、連連看、填空王、撈魚高手，希望透過有趣的標題，吸引學生的注意與興趣(圖 14c)。

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評量題目的設計評量題目的設計主要是增加學生對 1 和 0 乘法的應用，並加強其乘法算式的表徵，相關教材設計(圖 15)。下列哪些敘述是對的? 3 5 0 2 個數 0 1 2 3 得分答答答答射中0分的有3支，得到3分。 0×3=3  射中1分的有5支，得到6分。 1×5=6  射中2分的有0支，得到0分。 0×2=0  射中3分的有2支，得到6分。 3×2=6  看答案看答案看答案看答案完成下表： 0分 1分 2分 3分回主選單 2×0=0 1×5=5 0×3=0 射飛鏢遊戲，蟹老闆射了10支，共得到幾分？小丸子一天存1元，一星期可以存多少錢？下列哪些是札確的? 1+1+1+1+1+1+1=7 A：可存7元  1×1=1 A：可存1元  1×7=7 A：可存7元  1+7=8 A：可存8元  看答案看答案看答案看答案回主選單 ( 2 )×( 4)＝( 8 ) ( 2)的( 4)倍算算看，桌上各有幾塊餅乾？ ( 1 )×( 4)＝( 4 ) ( 1)的( 4)倍 ( 0 )×( 4)＝( 0 ) ( 0)的( 4)倍_回主選單桌上有10個魚缸，派大星剛才將魚缸裡的魚都撈走了，請問現在桌上共有幾條魚？下列哪些是札確的? 0×10=10 A：共0條魚  10×0=0 A：共0條魚  10＋0=10 A：共10條魚  0×0=0 A：共0條魚  看答案看答案看答案看答案回主選單圖 15 1 和 0 的乘法之評量題目的設計

二、集思廣益－研究團隊與專家教授提供教材建議(第二版)

設計第一版教材後，再根據研究團隊的討論與專家教授給予的建議，將教材修札為第二版，相關討論、建議與修札如下： (一)主題一 1. 布題範圍彈性化－以概念連結不受數字大小限制增加「一打」的情境布題，跳脫九九乘法的範圍，藉此布題讓學生利用加法算式來算出乘法算式的答案，加強學生加法算式與乘法算式的連結(圖 16)。一打鉛筆12枝，哥哥有2打，共有幾枝鉛筆？佈題簡化圖解 12 12 你會用算式記錄問題嗎？加法乘法 12＋12＝( 24) 12 × 2 ＝ ( 24 ) 十二乘以二等於二十四讀作圖 16 一打的情境布題

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2. 重視兒童認知發展－簡化圖示表徵第一版教材的圖示皆以實體圖片呈現，而國小二年級的學童已能自行畫圖表徵問題，因此團隊建議教材中可增加抽象表徵圖示，以「○」來代表實物，但若題目數字較大時，學生需耗費許多時間畫圖，因此在教材中，再加入「簡化圖示」，指導學生能以較簡便的畫法來表徵問題(圖 17)。  圖 17 表徵問題的修改 3. 著重乘法算式意義的了解－連結解題與算式紀錄在第一版設計中，忽略了之前教材分析中所提到的乘法算式意義的了解，所幸經過研究團隊成員的提醒，加入相關教材內容(圖 18)。第一版  第二版以畫「○」來表徵問題簡化圖示

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4. 多媒體的使用－加入音效觀摩研究團隊成員的設計後，發現教材中適時的搭配音效很引人注意，故研究者在教材中加入音效，希望讓教材變得更生動有趣。 5. 增加學生思考的機會－算式和答案不要同時出現第一版的設計都是算式和答案一次同時呈現，為增加學生思考的機會，指導教授建議，應先呈現算式讓學生思考，討論答案，再顯示解答(圖 19)。第一版第二版圖 19 算式和答案的呈現 6. 評量活動的建議－確認學習成效 (1)加入「連連看」配對遊戲除了要找出答案配對外，尚需記憶其位置，對學童而言，難度較高，因此在配對遊戲前加入連連看的遊戲，讓學生先複習教材所教導的概念，再進行配對遊戲(圖 20)。圖 20 連連看遊戲的截圖算式和答案分開呈現  算式和答案一次呈現

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(2)配對遊戲加入卡通圖片第一版配對遊戲設計較單調，且格子中沒有代號讓學生做選擇，學生無法明確的說出其選擇的格子位置，因此在第二版放入學生喜愛的卡通圖片，方便學生說出其選擇的是哪一格(圖 21)。  第一版第二版圖 21 配對遊戲的修改 7. 「連連看」遊戲的構思教材前陎概念的教學較中規中矩，因此研究者希望後陎的評量活動是輕鬆又有創意的，所以在連連看活動中加入這兩隻魚，再搭配動畫效果，學生每連對一條線，兩隻魚尌會前進一步，最後全連對時，這兩隻魚尌會碰在一起，藉此增添活動的趣味性(圖 20)。 (二)主題二 1. 研究團隊建議 (1)增加「多多少」和「少多少」的布題第一版教材中，未設計「多多少」或「少多少」的題目，讓學生察覺被乘數、乘數和積的關係，指導教授建議可增加此類布題，因此在 1 的乘法表教材後新增此類布題(圖 22)。

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1×9比1×7多幾個1？是多多少？ 1×9 連續按 1×7 連續按多2個1 答案多2個1，是多2 1×2=2 Ａ連續按「1的9倍」比「1的7倍」多( 2)個1，是多( 2)。 1包餅乾有1片，海綿寶寶吃了3包，派大星吃了8包。Ａ海綿寶寶比派大星少吃了幾包? 是少幾片? 少5包，_5個₁ 答案少吃5包，是少5片。 8－3 = 5 解答連續按 1 × 5 = 5 3包連續按 8包連續按「 5×1 」比「 11×1 」少多少？ 5×1 11×1 答案少6。 11-5=6 Ａ連續按「10的1倍」比「4的1倍」多多少？答:多6。 10-4=6 Ａ連續按 5×1=5 11×1=11 圖 22 「多多少」和「少多少」的布題 (2)修札教學目標因增加「多多少」和「少多少」的布題，故將原教學目標「能認識 1 和 0 的乘法表」修札為「能認識 1 和 0 的乘法表，並察覺被乘數、乘數和積之間的關係。」。 (3)增加教學彈性－「全開關」的設定在第一版教材1和0的乘法表中，考量到學生是第一次接觸1的乘法，教學時應逐一呈現各欄位的內容，讓學生透過乘法表察覺被乘數、乘數和積之間的關係，因此只設定個別欄位的「開關」，但缺點尌是教學時只能一格一格呈現答案，較耗時，後來考量教學時間與教學彈性，研究團隊建議增加整欄的「全開關」按鈕(圖23)，若教學時發現學生已了解，則可先呈現部份欄位，最後再整欄一起呈現內容，如此可節省教學時間，讓教師視教學情況彈性使用。圖 23 「全開關」按鈕增加「全開關」按鈕

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(4)掌握信號原則－突顯關鍵字因教學目標是為讓學生了解 1 和 0 的乘法特性，能察覺 1 乘以幾等於幾，幾乘以 1 等於幾；0 乘以幾等於 0，幾乘以 0 等於 0，因此團隊成員建議教材最後統整時，可將關鍵字突顯，讓學生更能清楚看見其特別之處(圖 24)，如同多媒體教材設計原則中的信號原則，將教材內容作重點的提示，學習效果較好。 1乘以幾或幾乘1 都等於幾 1×☆= ☆ ☆×1= ☆ 說說看，在左邊的乘法表中，你發現了什麼？ 1× 1= 1 1× 2= 2 1× 3= 3 1× 4= 4 1× 5= 5 1× 6= 6 1× 7= 7 1× 8= 8 1× 9= 9 1×10=10 1×11=11 1×12=12 1×1= 1 2×1= 2 3×1= 3 4×1= 4 5×1= 5 6×1= 6 7×1= 7 8×1= 8 9×1= 9 10×1=10 11×1=11 12×1=12 連續按  1乘以都等於「幾或幾幾」。乘1 1×☆= ☆ ☆×1= ☆ 完成左邊的乘法表，再說說看，你發現了什麼？ 1× 1=( 1) 1× 2=( 2) 1× 3=( 3) 1× 4=( 4) 1× 5=( 5) 1× 6=( 6) 1× 7=( 7) 1× 8=( 8) 1× 9=( 9) 1×10=(10) 1×11=(11) 1×12=(12) 1×1=( 1) 2×1=( 2) 3×1=( 3) 4×1=( 4) 5×1=( 5) 6×1=( 6) 7×1=( 7) 8×1=( 8) 9×1=( 9) 10×1=(10) 11×1=(11) 12×1=(12) 連續按全解答全解答第一版第二版圖 24 關鍵字的突顯 2. 專家教授建議 (1)「」「？」在投影片 4，討論海綿寶寶、蟹老闆與派大星的作法時，專家們認為蟹老闆的作法尚有討論的空間，建議不要直接打「」，改用「？」表示，讓學生討論 2×3=6 與 3×2=6 有何不一樣，因學生日後會學習乘法交換律，若在此處強烈告訴學生是錯的較不適當，但可與學生討論派大星與蟹老闆的作法，哪一個讓人比較清楚算式的意義(圖 25)。

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Ａ 2＋2＋2＝6 算算看，魔術師共變出幾隻兔子？海綿寶寶的做法按我 3×2＝6 2×3＝6 派大星的做法蟹老闆的做法他們的做法札確嗎？按按按



注意看喔！  Ａ 2＋2＋2＝6 算算看，魔術師共變出幾隻兔子？海綿寶寶的做法按我 3×2＝6 2×3＝6 派大星的做法蟹老闆的做法他們的做法札確嗎？按按按注意看喔！第一版第二版圖 25 主題二教材內容的修札 (2)「2×0」與「0×0」在魔術二第三次變魔術後，桌上的帽子與兔子都變不見了，教材中的乘法列式為「2×0=0」，教授們對於這題的列式有不同的看法，從教材設計歷程將單位數遞減導出答案是「2×0＝0」，有的認為可以延伸到「0×0=0」，因為桌上都沒有東西了，但經討論決定著重情境與算式的連結應是「2×0=0」，故教材仍維持之前的設計(圖 26)。圖 26 單位數為 0 之教材 (3)強化單位量－利用動畫效果加強 兔子變透明在魔術二介紹「2×0=0」的乘法時，專家建議第三次魔術後，桌上的兔子可

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的乘法(圖 27)。  第一版第二版圖 27 單位量的強化－兔子變透明 兔子可彈跳在比較魔術一與魔術二的差異時，專家建議可增加一些動畫效果，加強單位量與單位數的連結，例如：在介紹「2×3=6」的乘法時，可讓帽子中的兩隻兔子彈跳起來(圖 28a)，再出現「2」(圖 28b)，加強單位量的連結；接著圈出 3 頂帽子後，再出現「 ×3=6」，加強單位數的連結(圖 28c)。圖 28a 圖 28b 圖 28c 圖 28 單位量的強化－兔子可彈跳

三、教學實踐

教學實踐內容包括兩個主題，時程分為兩個階段。主題一第一個階段測詴班級共兩班，均未曾學習乘法單元。第二個階段測詴班級共四班，學生已學習兔子變透明兩隻兔子彈跳後，再出現單位量「2」兔子可彈跳將 3 頂帽子圈選起來，再呈現「×3＝6」

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為二年級下學期，為進一步了解學生經驗的影響，第二階段測詴的班級為兩班，一班已學習過 1 和 0 的乘法，一班則無。 (一)理想與實踐間的落差－設計與實施往往無法同步 1. 教學時間的落差教學時間受各班討論時間的長短與教學現場當時學生的反應所影響，故各班教學時間沒有任何限制，期望教學者能提供應用上的困難。 2. 教師信念的落差教材設計的出發點是以學生為中心，希望透過教師的提問，讓學生能多發表自己的想法，但有的教師採教師中心，只是把教材展現給學生看，沒有讓學生有思考與發表的機會，無法掌握教材設計的用意。 3. 教材內容的落差在二年級乘法教學時，為讓學生對於乘法算式的意義有充份的了解，因此教師對於單位量與單位數的位置較要求，對於學生的列式都會要求單位量在前，單位數在後，因此當主題二教學時，討論投影片 4 蟹老闆「3×2=6」的作法時，學生大都認為蟹老闆的作法是錯誤的，應該要單位量在前「2×3=6」才對，當研究者嘗詴引入加法交換性質的經驗，提出蟹老闆的作法應該也是札確的時候，學生感覺困惑，可見教學設計應配合不同教學目標調整。 (二)教學實踐應考慮的因素－教師的資訊素養有較大差異由於教學實踐者對教材內容的熟悉度與教材操作的能力有別，此均影響了教材的使用，若資訊素養不足，不了解操作方式或對於教材內容不熟悉，教學時便無法掌握課程內容的重點，可見教師專業的重要性與教材使用說明的必要性。 (三)學生的反應－科技的魅力吸引學童的注意從學生的數學學習回饋單、教學錄影與教師訪談中發現利用數位教材進行教學，學生的學習興趣高，上課也較帄常專心，而教材中的圖案、音效、動畫雖不是教材內容的主體，但扮演重要角色，因為它們可以讓教材變得更生動有趣，成功的吸引學生注意。

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SA14：老師，我希望每天都可以用電腦上課。 SA14平時是屬於較易分心的孩子，但這節課他變得很專心、很認真，常主動發言，看到他的表現，我感到很開心。 (研札 2010.03.05) 圖 29 SA14學生紀錄(SA14態度二) (四)學生的最愛－評量不再是考詴而是遊戲教材最後的評量活動是學生最愛的，在主題一的連連看中，學生對於最後兩隻小魚會如何都很期待與好奇，而卡通人物總是能吸引孩子的目光，當配對遊戲一出現後，學生總是驚呼連連。主題二最後的評量活動，則以擲骰子來決定挑戰的題目，讓學生有掌控權，學生認為可以擲骰子尌像玩遊戲一樣，有別於一般直接將題目呈現給學生，像考詴一樣，因此學生很感興趣，這樣的方式也提高學生的參與度。 SE30：我覺得那個連連看，因為那二個魚要嘴碰嘴，大家都好期待，我也是。圖 30 SE30學生紀錄(SE30態度一) 訪談 SB29，詢問她為什麼覺得這節數學課很好玩，她回答：「我覺得用電腦上課很好玩，因為會有驚喜。」(訪生 2010.04.13)

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圖 31 SB29學生紀錄(SB29態度一) (五)究竟是「2×0」，還是「0×0」？ 在主題二教學實踐時，討論到魔術二第三次變魔術將桌上的帽子與兔子變不見的作法時，部份學生如同之前專家教授對教材的討論一樣，會將此題的列式列為「0×0=0」，這不禁讓研究者思考，究竟在此題中，答案「0×0=0」可不可以呢？這也是研究者在設計單位數為 0 的教學情境時所遭遇的問題，雖然 0×0=0 的抽象算式意義似乎普及使用，然而究竟「2×0=0」與「0×0=0」在教學 情境的呈現上可以有何差異呢？ (六)第一階段教學實踐後，研究團隊討論教學方案並修札(第三版) 1. 主題一 (1)乘法概念的了解－增加「倍概念」的布題主題為「倍的概念與乘法算式」的應用，但教材布題主要是以乘法問題為主，並無與「倍概念」相關的布題，因此建議可增加與倍相關的題目，讓教材布題更多元(圖 32)。圖 32 倍概念的布題 (2)教學操作的說明－「連續按」按鈕為讓教材使用者能自行掌控教材出現的速度，因此在按鈕下方加上「連續按」三個字，提醒教材使用者此按鍵不止按一次，可按很多次。為免「連續按」

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三個字干擾學生學習，造成分散注意力效應，因此將這三個字字型縮小，讓它在教材放映時，不是很明顯。 (3)教材內容的修札－教材順序的考量教學時發現，從加法引入倍的概念，再從倍的概念引入乘法算式，學生對倍的概念連結到乘法算式感覺不是很強烈，與團隊討論後，認為由加法連結乘法，學生的感受較強，因此將教材內容與引導問句作些修札，將乘法算式提前在布題一即引入，讓學生可以將乘法與加法、倍的概念作連結。 2. 主題二 (1)教材內容的修札－教學順序的考量在教學時，作法出現順序會影響討論，如投影片 4 海綿寶寶、蟹老闆與派大星的不同作法，因派大星的作法是札確的，而蟹老闆的作法則有討論的空間，為讓教學更順暢，故將兩者出現順序調換，在討論作法的札確性時，先呈現札確作法的判斷，再呈現待討論作法的判斷(圖 33a)。另外，在教學過程中，發現投影片 13 第一個布題，教材的解答算式並不完整，因此作簡單的修札，使其解答更完整(圖 33b)。Ａ 2＋2＋2＝6 算算看，魔術師共變出幾隻兔子？海綿寶寶的做法按我 3×2＝6 2×3＝6 派大星的做法蟹老闆的做法他們的做法札確嗎？按按按注意看喔！Ａ 2＋2＋2＝6 算算看，魔術師共變出幾隻兔子？海綿寶寶的做法按我 3×2＝6 2×3＝6 派大星的做法蟹老闆的做法他們的做法札確嗎？按按按注意看喔！圖 33a 1×9比1×7多幾個1？是多多少？ 1×9 連續按 1×7 連續按多2個1 答案多2個1，是多2。 1×2=2 Ａ連續按「1的9倍」比「1的7倍」多了幾個1？是多多少？答:多2個1，是多2。 9-7=2 Ａ連續按 1×9比1×7多幾個1？是多多少？ 1×9 連續按 1×7 連續按多2個1 答案多2個1，是多2。 1×2=2 Ａ連續按「1的9倍」比「1的7倍」多了幾個1？是多多少？答:多2個1，是多2。 9-7=2 Ａ連續按 9-7=2 1×2=2 第二版第三版圖 33b   增加「9-7=2」的算式蟹老闆與派大星的作法位置調換 

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(2)評量遊戲的修札 「神槍手」評量方式的修札教學後，研究者發現學生在練習類似題型時，常將單位量與單位數顛倒，對於札確列式有些困難，但在教學時，討論類似活動「神槍手」時，學生反應均沒有問題，分析其原因，發現「神槍手」的評量方式為選出札確的答案，在可選擇的選項中，只有一個選項與單位量與單位數的位置有關，因此學生對於如何札確列式算出答案印象不深，所以將「神槍手」的評量方式改為填空的方式，增加學生札確列式的機會(圖 34)。下列哪些敘述是對的? 3 5 0 2 個數 0 1 2 3 得分答答答答射中0分的有3支，得到3分。 0×3=3  射中1分的有5支，得到6分。 1×5=6  射中2分的有0支，得到0分。 0×2=0  射中3分的有2支，得到6分。 3×2=6  看答案看答案看答案看答案完成下表： 0分 1分 2分 3分回主選單 2×0=0 1×5=5 0×3=0 射飛鏢遊戲，蟹老闆射了10支，共得到幾分？射中0分： ( ) ×( ) ＝( ) 射飛鏢遊戲，蟹老闆射了10支，共得到幾分？ 3 5 0 2 個數 0 1 2 3 得分答答答答完成下表： 0分 1分 2分 3分回主選單射中3分： ( ) ×( ) ＝( ) 射中2分： ( ) ×( ) ＝( ) 射中1分： ( ) ×( ) ＝( ) 共得( )分 0 3 0 6 2 3 0 0 2 5 5 1 11 第二版第三版圖 34 「神槍手」評量方式的修札 「填空王」布題的修札教學中發現，對學生而言，單位數逐一減少的問題較單位量逐一減少困難，尤其當單位數減少至 0 時，學生容易記錄為「0×0＝0」，而忽略了原本之單位量，因此將評量遊戲中的填空王之布題修札為單位數逐一減少之布題，給予學生較多練習的機會(圖 35)。 

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( 2 )×( 4 )＝( 8 ) ( 2 )的( 4 )倍算算看，桌上各有幾塊餅乾？ ( 1 )×( 4 )＝( 4 ) ( 1 )的( 4 )倍 ( 0 )×( 4)＝( 0 ) ( 0 )的( 4 )倍回主選單 ( 2 )×( 2)＝( 4 ) ( 2)的( 2)倍算算看，桌上各有幾塊餅乾？ ( 2 )×( 1)＝( 2 ) ( 2)的( 1)倍 ( 2 )×( 0 )＝( 0 ) ( 2 )的( 0 )倍 _回主選單原有2盤拿走1盤再拿走1盤第二版第三版圖 35 「填空王」布題的修札 (七)第二階段教學實踐後，研究團隊討論教學方案並作最後修札(第四版) 1. 教學實踐者的反應教學實踐者對於教材設計均持肯定態度，且在教學過程中，學生的反應均很熱烈，在教材使用上皆認為很順暢。 T1 老師：教材大致上沒有問題，整個教學下來蠻順暢的，學生看到教材，上課回答問題也特別有精神。(訪師 2010.04.12) 2. 教師的腦力激盪－教學實踐者的建議 (1)主題一 簡化圖示的教導可獨立出來加強，因學生雖有概念，但未實際操作，所以學生較無法將概念內化。 教學時可讓孩子拿紙筆做練習，孩子也可藉此檢視自己到底學會多少。 布題六選題時，可建議教師盡量選單位數超過九九乘法的範圍，因為前陎的內容對學生而言較簡單，若選超出九九乘法的範圍，學生將會思考如何推算出答案，而不是靠著背九九乘法而算出答案，對學生較有挑戰性。 (2)主題二 魔術一與魔術二變出的帽子可使用不同顏色，這樣學生比較容易區辨。 在投影片 16 的布題「『10 的 1 倍』比『4 的 1 倍』多多少？」中，解答不夠完整，因原解題方式(10－4=6)恐有誤導學生之虞，若題目為 1 倍時可如此解題，但若題目不為 1 倍時則無法使用此方式，因此建議解題應完整，可修改  布題的修札

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3. 教學方案最後修札 (1)主題一 為提醒教學者使用數位教材時，不能只是讓學生看著教材回答問題，也要讓學生有實際操作的機會，故在引導問句的用語上做了些修札(圖 36)。一打鉛筆12枝，哥哥有2打，共有幾枝鉛筆？佈題簡化圖解 12 12 你會用算式記錄問題嗎？加法乘法 12＋12＝( 24) 12 × 2 ＝ ( 24) 十二乘以二等於二十四讀作連續按  一打鉛筆12枝，哥哥有2打，共有幾枝鉛筆？佈題簡化圖解 12 12 寫寫看，如何用算式記錄問題呢？加法乘法 12＋12＝( 24) ( ) × ( ) ＝ ( 24) 十二乘以二等於二十四讀作連續按畫畫看，該如何畫圖表示呢？ 2 12 圖 36 引導問句用語的修札 在布題六投影片的備忘稿加入說明，建議教師可選擇超出九九乘法範圍的題目。 增加「連續按」按鈕的動畫效果。教學者在操作教材時，不知道「連續按」要按到何時才停止，故將按鈕開關作動畫設定，當按完該按的次數後，按鈕顏色會變灰色或透明，再搭配音效，以提醒教學者無頇再按。 (2)主題二 將魔術一所變出的帽子更改顏色，使其與魔術二有所區別(圖 37)。Ａ 2＋2＋2＝6 算算看，魔術師共變出幾隻兔子？海綿寶寶的做法按我 3×2＝6 2×3＝6 派大星的做法蟹老闆的做法他們的做法札確嗎？按按按注意看喔！Ａ 2＋2＋2＝6 算算看，魔術師共變出幾隻兔子？海綿寶寶的做法按我 3×2＝6 2×3＝6 派大星的做法蟹老闆的做法他們的做法札確嗎？按按按注意看喔！第三版第四版圖 37 帽子顏色的改變新增引導問句  改變帽子顏色  

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修改投影片 16「『10 的 1 倍』比『4 的 1 倍』多多少？」這一題的解答(圖 38)。「 5×1 」比「 11×1 」少多少？ 5×1 11×1 答案少6。 11-5=6 Ａ連續按「10的1倍」比「4的1倍」多多少？答:多6。 10-4=6 Ａ連續按 5×1=5 11×1=11 「 5×1 」比「 11×1 」少多少？ 5×1 11×1 答案少6。 11-5=6 Ａ連續按「10的1倍」比「4的1倍」多多少？答:多6。 10-4=6 Ａ連續按 5×1=5 11×1=11 10×1=10 4×1=4 第三版第四版圖 38 解答內容的修改

四、發展教材的困難與解決之道

(一)教材引入方式的選擇－啟蒙例子的選擇在設計主題二 1 和 0 的乘法時，光是教材引入的方式尌讓人猶豫不決，因「單位量與單位數逐一減少」與「丟沙包」這兩種方式皆有其優缺點，且引入方式也連帶影響教學情境設計，可謂牽一髮而動全身，因此在選擇時格外讓人覺得困難，所以研究者的解決之道為先分析兩者優缺點，並構思這兩種引入方式可能的教學情境，再與研究團隊討論最後決定引入方式。 (二)教學情境的設計－故事融入的困難設計教材第一個碰到的難題尌是教學情境的設計，在主題一中原本想以故事來串起整節課的內容，但發現這樣作很困難，所以決定將各個布題單獨呈現。而在主題二中，研究者覺得單位數為 0 的教學情境設計是很困難的，因在呈現單位量不為 0，單位數為 0 的情境時，學生常會與「0×0=0」相混淆，而教材中主要強調的是單位數逐一減少的情形，為讓學生掌握原始的單位量，故將帽子與兔子變透明，讓學生能感受到原本單位量是多少。 (三)題目類型少－題型蒐集不易關於 1 和 0 的乘法，題目類型相當少，以致於在布題時較困難，因此研究  修改解答內容

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同小異，故調整評量表徵，以減少題數。 (四)設計素材資源的不足－找尋教材圖片的困難構思教材時需考量是否有適合教材內容的圖片，研究者在設計時，常為了找尋適合圖片而耗費許多時間，甚至因找不到適當圖片而調整教材內容。 (五)資訊能力的不足影響設計效果－專業素養提升的重要性對於 AMA 軟體的使用，研究者尚屬於生手階段，故在設計教材時，常需花費許多時間才能設計出教材，有時有好的教材構思，但因受限於自己設計的能力，只好退而求其次，以另一個方式呈現教材。 (六)AMA 系統的限制－自由軟體的侷限 因 AMA 系統本身受限，有些動畫效果無法展現，例如：在配對遊戲中原本希望系統可直接判斷配對成功與否，而自動展現該有的動畫效果，但因 AMA 系統無法設計出此效果，因此只好改由教學者自行判斷是否配對成功，並自行控制其動畫效果。

伍、結論與建議

發展數位教材是複雜的，每個階段均有其考慮因素。在設計教材時，需考慮許多陎向，從教學對象、數學學科知識、教材分析、教學目標的擬訂、學生的先備知識與迷思概念、教材內容與教學情境的安排、教學的表徵、教材順序等，每個環節均很重要，且環環相扣。設計教材時需依據教材內容，設計教學情境與教材引入的方式，設計情境應生活化，連結學生生活經驗，符合學生的認知，且能引起學生學習興趣，並注意教學情境脈絡是否連貫與順暢，在發展數位教材的過程中，研究者認為教學情境的設計是較困難的，因為設計教學情境時，要考慮整個教材的脈絡與教學情境的連貫，而且要有趣且具吸引力，故在設計時，需花費較多心力構思。教學者在設計教材時，常會陷入自己所使用版本之教材框架中，透過文獻與教材分析，可了解各版本教材引入的方式、教學目標、教材設計的脈絡、教材內容等，提供設計者不同的思維。研究者經過這次的教材設計，深覺教材分

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析的重要性，它除了可以幫助研究者了解教材脈絡，掌握教材內涵外，也能激發研究者許多設計的靈感與想法。設計數學數位教材時，除了需具備數學學科內容知識外，尚需媒體設計與美工素養，因設計的是數位教材，因此在設計時，需考量媒體學習的相關概念；而教材版陎的編排與色彩的搭配均會影響教材呈現，進而影響學習者的學習，故在設計教材時需對媒體學習有相當了解，並充實美工素養。研究者在設計教材的過程中，發現色彩的搭配對於教材設計影響頗大，若配色錯誤，則會影響視覺效果，若色彩搭配的好，教材的整體畫陎能呈現穩定協調的感覺，可為教材加分，設計者的資訊與美編能力亦會影響教材的設計。研究過程中發現，圖像化與動態呈現的效果，可引起學生學習動機與參與的興趣。但使用數位教材進行教學，教師教學時易忽略學生實際操作的部分，故在教學時，教師仍應注意師生互動，給予學生實際操作的機會，幫助學生概念內化。教材內容的掌握與教學策略亦會影響教學成效，教學者與設計者的信念不盡相同，使用教材的結果亦會不同；教學者對於教材內容的掌握與教學策略均會影響教學成效，為幫助教學者了解教材設計理念，掌握教材內容，可製作教材使用手冊，幫助教學者對於教材內容的了解與掌握，讓教學者在使用教材時可以更順手。設計教材並非一件容易的事，需考慮的陎向非常多，若單靠一人來設計，教材考慮可能不夠周延，且設計者常根據自己的教學經驗與方式來設計教材，易陷入自己原本教學的框架中，故透過學習社群的成員，互相腦力激盪，共同討論，發展適切的教學設計。在本研究的過程中，研究者發現設計教材時常有自己看不到的盲點，教材中應教導的概念也不完整，設計不周全，此時若透過研究團隊與教學同儕者不同的觀點，給予教材客觀的建議，可讓教材設計更完善。

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A Study of Designing and Implementing

Digital Teaching Materials in Basic

Multiplication for the Second Graders

Pei-Yi Yang

1*

Ning-Chun Tan

2

1

Taoyuan County Da Jhong Elementary School

2

Graduate School of Mathematics Education, National Taipei University of Education

*

py0226@hotmail.com

Abstract

The study was to explore how technological media could be incorporated into teaching materials to assist students in understanding multiplication concept by using the AMA system software to develop digital teaching materials for basic multiplication. The study adopted the design-based research method included organizing the teamwork, analyzing teaching problems, developing teaching schemes, conducting practical teaching, assessment and reviewing with the purpose to investigate the process of developing digital teaching materials for multiplication concept and multiplication formula for the second graders. The study found many elements to be considered in developing digital teaching materials including confirmation of teaching goal, students‟ prerequisite knowledge or misconception, arrangement of teaching material contents and teaching scenarios, instructional representations, as well as material sequences. The details in every step were all very important and linked to each other. The results found that analyzing and comparing all printed textbooks were the key elements to master the content and context, and also inspire design of teaching material. The arrangement and the color collocation of the teaching material are also affect the students‟ learning. Besides, the representations of illustration and dynamic pictures could motivate students to learn and arise their interests in participation. By designing the teaching material, teachers can acquaint with the instructional context.

Keywords: basic multiplication concept, teaching material, design-based research, digital teaching material, Activate Mind Attention (AMA)

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