2-3-2機率-機率的定義與性質

全文

(1)3-2 機率的定義與性質【目標】能了解某個隨機試驗中的事件 E 發生的機率的意涵，以及機率函數的三個基本條件；再者，能了解古典機率的定義，並能藉著古典機率的定義推算某些隨機試驗中事件的機率；進而能理解一般機率的基本性質，並應用之。【起源】機率理論的起源，可追溯到十四世紀左右，義大利與荷蘭海運發達之後，保險業海運保險的問題，涉及到推測發生事故可能性大小的問題。另一方面，十四世紀至十六世紀間，歐洲文藝復興之際，所激發的追求之試探所運動，強調觀測與實驗的重要性，而觀測過程中所產生的誤差估計問題與觀測值的計算方法，也刺激了機率論的發展。機率概念的發展與機率理論的建立有很長的歷史，其中有些有趣的記載， 1654 年，有一位賭徒請教巴斯卡一個關於分布賭金的問題，後來數學家巴斯卡與費馬利用排列組合的方法共同討論，曾著手研究賭博中各種事件發生的機會大小，又由於經濟型態的改變而刺激了系統性的機率理論的萌芽和生根。【公設】 1933 年蘇聯數學家柯莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)提出機率論公設化結構，他認為機率論應該像幾何學一樣，從公設出發，再予以邏輯推論，為建立嚴格的機率理論提供了一個堅實的基礎。. 5.

(2) 【定義】 1. 機率：事件 E 發生的機率以 P ( E ) 表示，滿足下列基本條件： (1) 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 ，即任意事件的機率必在 0 與 1 之間。。 (2) P ( S ) = 1 ( S 是樣本空間)，即樣本空間的機率為 1。。 (3) E1 ∩ E2 = φ 時， P( E1 ∪ E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) ，即互斥事件的和事件的機率為兩事件的機率和。註：擲一骰子所得點數是一個隨機試驗，樣本空間為 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ，其中點數小於 3 的事件 A = {1, 2} ，事件 A 可能發生，也可能不發生；又點數為 6 的事件 B = {6} ，事件 B 可能發生，也可能不發生。但直觀而言，由於事件 A 中的樣本點較多，事件 A 發生的可能性應大於事件 B 發生的可能性。於是，我們有需要將各事件發生可能性的大小予以量化。由於可能性的大小是相對的﹐ 我們就以從 0 到 1 之間的實數來量度一個事件 E 發生的可能性﹐稱為事件 E 發生的機率，記為 P( E ) 。在一隨機試驗中，全事件 S 必然發生，就規定 P( S ) = 1 。在上述擲骰子的問題中，事件 A = {1, 2} ，事件 B = {6} ， A 與 B 互. 斥( A ∩ B = ∅ )，因此和事件 A ∪ B 發生的機率 P( A ∪ B) = P( A) + P( B) ﹐這就像兩個不重疊區域的總面積等於各自面積的和一樣。一般而言，在一隨機試驗中﹐若樣本空間是 S ，且 E 表任意事件，則機率 P( E ) 是實數，且滿足下列基本條件： (1) 0 ≤ P( E ) ≤ 1 。 (2) P( S ) = 1 。 (3) E1 與 E2 互斥時， P ( E1 ∪ E2 ) = P ( E1 ) + P ( E2 ) 。(機率的加法原理) 註： (1) 此條件可延伸到 n 個事件的情況： n 個事件 E1 , E2 , E3 , L , En ，若 E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ L ∩ En = ∅ ，則 P ( E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ L ∪ En ) = P ( E1 ) + P ( E2 ) + P ( E3 ) + L + P ( En ) 。. 6.

(3) 2.. 古典機率：假設有限樣本空間 S 中每一元素所分配的機率相同，事件 E 發生的機率為 |E| P( E ) = 。 |S| 註： (1) 此即蘊含著基本事件的機率均等之意。 (2) E1 與 E2 互斥時，由加法原理 | E1 ∪ E2 | = | E1 | + | E2 | ， | E1 ∪ E2 | | E1 | + | E2 | | E1 | | E2 | = = + = P ( E1 ) + P ( E2 ) 。 |S| |S| |S| |S| (3) 在討論擲骰子的機率問題時，我們通常假設 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 之中每個點. 故 P ( E1 ∪ E2 ) =. 數出現的機率相同，這樣的骰子稱為公正的骰子或均勻的骰子，如果是擲硬幣，則常假設正反兩面出現的機會均等，稱之為公正(均勻)的硬幣。 (4) 當袋中有若干個球，我們從中取一球時﹐通常假設袋中每一球被取到的機率相同。為了簡便，可以說從中任意取出一球，任意的意思就是各球被取到的機率相同。除了取球，舉凡從若干張籤條中任意抽出一張､從一疊卡片中任意取出一張､從一群人中任意推出一人，都蘊含著機率均等的意義。 (5) 擲硬幣 n 次：擲硬幣以 1表正面，以 0 表反面。若為公正硬幣，則一枚投擲 n 次或一次投擲 n 枚，都可以取樣本空間 S = An ，其中 A = {1,0} ，假設各次(枚)互不影響，就適用古典機率，此時 | S |=| An |=| A |n = 2 n 。一般而言，如果有一隨機試驗的樣本空間為 T ， | T | = m ，且其中各元素出現的機率相同，當此隨機試驗重複 n 次，各次結果互不影響，則重複 n 次的樣本空間 S = T n ，且 | S | = | T n | = | T |n = m n ，這 m n 個元素所分配的機率相同，適用古典機率。 (6) 取後不放回：有時考慮取後不放回，但仍然假設每次取球時，袋中所剩各球被取到的機率都相同。如果袋中原有 n 個球，從中每次任意取一，則樣本空間有 Pkn = 球，取後不放回，取 k 次（ 1 ≤ k ≤ n ）. n! 個元素， (n − k ) !. 機率都相同，適用古典機率。 (7) 取球：從 n 個球中，任一取出 k 個球 (0 ≤ k ≤ n) ，共有 Ckn =. n! 個 (n − k ) ! k !. 取法，假設這 Ckn 個取法機率相同，即適用古典機率。 3. 幾何機率：設一試驗其樣本空間 S 對應某個幾何圖形，則事件 E 的幾何機率為事件 E 的 m( E ) 幾何度量與樣本空間 S 的幾何度量的比，以 P (E ) 表示，即 P ( E ) = ， m( S ) 其中 m( E ), m( S ) 分別表示 E 與 S 的幾何度量。. 7.

(4) 【性質】 1. 機率的基本性質： (1) P (φ ) = 0 。 (2) A ⊂ B 時， P ( A) ≤ P ( B ) 。 (3) P ( A' ) = 1 − P ( A) 。 (4) P ( A − B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) 。 (5) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) 。（機率的取捨原理） (6) P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( A ∩ B) − P( B ∩ C ) − P (C ∩ A) + P ( A ∩ B ∩ C ) 。註： P ( A − B ) 與 P ( B' ) 是不一樣的。當樣本空間為 S 時， P ( B' ) 就是 P( S − B) 。證明： (1) S ∪ ∅ = S ，且 S ∩ ∅ = ∅ ，由加法原理， P ( S ) = P ( S ∪ ∅) = P ( S ) + P (∅) ， 1 = 1 + P (∅) ， P (∅) = 0 。 (2) A ⊂ B 時， B = A ∪ ( B − A) ， A ∩ ( B − A) = ∅ ，參閱下圖。由加法原理， P ( B ) = P ( A) + P ( B − A) ，又 P ( B − A) ≥ 0 ，故 P ( A) ≤ P ( B ) 。. (3) S = A ∪ A′ ，且 A ∩ A′ = ∅ ，由加法原理， P ( S ) = P ( A) + P ( A′) ， 1 = P ( A) + P ( A′) ， P ( A′) = 1 − P ( A) 。 (4) A = ( A − B) ∪ ( A ∩ B) ，且 ( A − B) ∩ ( A ∩ B) = ∅ ，參閱下圖。由加法原理， P ( A) = P ( A − B ) + P( A ∩ B) ， P ( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) 。. (5) A ∪ B = ( A − B) ∪ B ，且 ( A − B) ∩ B = ∅ ，參閱下圖。由加法原理， P ( A ∪ B ) = P ( A − B ) + P( B) = P( A) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) = P( A) + P ( B) − P ( A ∩ B ) 。. 2.. 機率的取捨原理： n 個事件 A1 , A2 ,L, An 的和事件 A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An 發生的機率等於個別事件的機率和（取），減兩兩事件交集的機率和（捨），...，一加（取）一減（捨）直到 n 個事件交集的機率為止。. 8.

(5) 【問題】 1. 樣本空間一定有限個？ 2. 試列出擲一硬幣直到出現正面為止的樣本空間？ 3. 試列出擲兩硬幣，出現正反面的樣本空間？ 4. 試列出擲一硬幣兩次，出現正反面的樣本空間？ 5. 試列出擲兩骰子，點數的樣本空間？ 6. 試列出擲一骰子兩次，點數的樣本空間？ 7. 樣本空間內的元素，機率是否相同？何種樣本空間較佳？ 8. 丟一硬幣 3 次的實驗裡，共有多少個不同的事件？ 9. 一個袋中有編號 1,2,3,4,5 的 5 個球，小明從袋中抽球 2 次，每次抽出一球，且每次取球後放回或不放回，分別寫出此實驗的樣本空間。 10. 一個袋中有編號 1,2,3,4,5 的 5 個球，小明從袋中同時抽出兩球，寫出此實驗的樣本空間。 11. P ( A) = 1 ⇒ A = U ？ P ( A) = 0 ⇒ A = φ ？ 12. 袋中有 n 張籤條，其中 r 張有獎 (1 ≤ r ≤ n) ，今自袋中一次抽一張，求下列事件機率？(分放回及不放回討論) (1)取一次，第一球中籤的機率？ (2)取兩次，第二球中籤的機率？ (3)取 k 次，第 k 球中籤的機率？【說明】研究隨機現象，不僅要知道可能出現哪些事件，還要知道各個事件出現的可能性大小，我們希望有一個刻畫事件發生可能性大小的數量指標，這是本節的課題。一個事件 A 發生的可能性大小，即事件 A 發生的機率，以 P( A) 表示，下面簡述三個目前常討論的機率的定義： 1. 古典機率：對有限樣本空間 S ，我們以「等可能性」的觀點來規定事件 A 發生的機率，也就是 S 中的每個元素出現的機會相等，因此定義 P ( A) = 2.. | A| ，本書中的有 |S|. 限樣本空間的機率問題，就以這種最簡單､最直觀的方式討論之。統計機率：設一隨機試驗中， A 是其中的一事件，在同樣條件下，把此試驗獨立地重複試驗 n 次，如果 n 次中事件 A 出現了 m 次，則比值 f n ( A) =. m ，稱為事件 A 出 n. 現的頻率。如果做大量的重複試驗，事件 A 出現的頻率呈現某種穩定性，即事件 A 出現的頻率總是在某個固定的常數附近擺動，我們就以這個常數作為機率 P( A) 的近似值。在處理實際問題時，就以此常數為事件 A 的統計機率。 3. 公設化機率：請參看機率測度。. 9.

(6) 【定義】 1. 機率測度：西元 1933 年蘇聯數學家柯摩哥洛夫（A.N.Kolmogorov）提出機率論公設化結構，他認為機率論也應該像幾何學一樣，從公設出發﹐再予以邏輯推論，為建立嚴格的機率理論提供了一個堅實的基礎。下面我們就說明公設化機率的定義：設 F 表示樣本空間 S 的所有事件所成的集合，若定義在 F 上的函數P滿足下列三個條件： (1)對每個 A∈ F ，有一實數 P( A) 使 0 ≤ P( A) ≤ 1 。 (2) P( S ) = 1 。 (3)對有限個或無限多數互斥事件， A1 , A2 , A3 , L ，其中當 i ≠ j 時， ∞. ∞. Ai ∩ Aj = ∅ ，有 P (∪ Ai ) = ∑ P ( Ai ) ，或 P (∪ Ai ) = ∑ P ( Ai ) ， i =1. i =1. i =1. i =1. 則稱函數 P 為一機率測度，且稱 P( A) 為事件 A 的機率。 2. 幾何機率：當隨機試驗的所有可能出現的結果無限多，且可用幾何圖形，如：線段或平面上的某區域或者空間中的一個區域來表示時﹐我們可以利用這些圖形的幾何度量，來定義隨機試驗中，某事件的機率來處理相關的機率問題。例如： a 4. 將一條長為 a 的繩子任意剪成兩段，求兩段中較短的一段長小於的可能性有多大？像這樣的問題，將長為 a 的繩子剪成兩段的方法有無窮多，處理這個問題的機率就不能用事件內元素個數與樣本空間內元素個數的比來處理。下面我們先介紹幾何機率的定義，再來處理它。 3. 定義（幾何機率）：設一試驗其樣本空間 S 對應某個幾何圖形，則事件 A 的幾何機率為事件 A 的幾何度量與樣本空間 S 的幾何度量的比，以環境教育表之，即 P( A) = 其中 m ( A) ， m(S ) 分別表示 A 與 S 的幾何度量。. 10. m( A) ， m( S ).

(7)