九年級學生的機率思維發展

國 立 中 央 大 學

數 學 系 碩 士 論 文

從自由擬題探究

九年級學生的機率思維發展

A Study on Probability of Thinking

Development of Ninth Grade Students from Free Problem-Posing

研 究 生：張 吉 逸 指導教授：單 維 彰

中 華 民 國 106 年 6 月

i

國立中央大學圖書館 碩博士論文電子檔授權書

(104 年 5 月最新修正版)

本授權書授權本人撰寫之碩/博士學位論文全文電子檔(不包含紙本、詳備註 1 說 明)，在「國立中央大學圖書館博碩士論文系統」。(以下請擇一勾選)

(  )同意 (立即開放)

( )同意 (請於西元 年 月 日開放) ( )不同意，原因是：

在國家圖書館「臺灣博碩士論文知識加值系統」

(  )同意 (立即開放)

( )同意 (請於西元 年 月 日開放) ( )不同意，原因是：

以非專屬、無償授權國立中央大學、台灣聯合大學系統圖書館與國家圖書館，基 於推動「資源共享、互惠合作」之理念，於回饋社會與學術研究之目的，得不限 地域、時間與次數，以紙本、微縮、光碟及其它各種方法將上列論文收錄、重製、

與利用，並得將數位化之上列論文與論文電子檔以上載網路方式，提供讀者基於 個人非營利性質之線上檢索、閱覽、下載或列印。

研究生簽名: 張吉逸 學號： 103221024 論文名稱: 從自由擬題探究九年級學生的機率思維發展 指導教授姓名： 單維彰

系所 ： 數學 所 博士班 碩士班 填單日期：______民國 106 年 7 月 26 日__________

備註：

1. 本授權書之授權範圍僅限電子檔，紙本論文部分依著作權法第 15 條第 3 款之規定，採推 定原則即預設同意圖書館得公開上架閱覽，如您有申請專利或投稿等考量，不同意紙本上 架陳列，須另行加填申請書，詳細說明與紙本申請書下載請至本館數位博碩論文網頁。

2. 本授權書請填寫並親筆簽名後，裝訂於各紙本論文封面後之次頁（全文電子檔內之授權書

簽名，可用電腦打字代替）。

3. 讀者基於個人非營利性質之線上檢索、閱覽、下載或列印上列論文，應遵守著作權法規定。

ii

從自由擬題活動探究九年級學生機率思維的發展

摘要

1980 年起，擬題活動逐漸受到國際間的重視。想出一個數學題目出來，即 為數學擬題，而其中自由擬題的出題有著強烈的生活連結。針對近年來台灣學生 數學學習成就高而興致低迷的情況，擬題活動可能作為改善學生態度的一種教學 方法。另一方面，機率作為處理不確定性事件的數學基礎，也特別容易與生活連 結產生。

本研究目的在以自由擬題為學習活動，提升學生學習數學的興趣，並了解機 率概念的發展。因此，本研究將探討：1 )學生所擬的題目有何進展？2 )機率思 維有何發展？3)面對超過國中範圍之問題，解題的能力為何？

本研究對台北市一所國中，兩個九年級班級共 62 名學生，進行自由擬題學 習活動。在為期 3 個月，共 10 節課的活動歷程裡，讓學生進行機率方向的擬題。

蒐集資料的工具有機率裸測試題、學生擬題單及擂台賽答題單三種。本研究方法 採用內容分析法，以「機率自由擬題評量規準」為研究工具，量化學生擬題各向 度表現，並使用成對樣本 t 檢定來分析擬題版本之間的變化。

根據研究結果顯示，第一，學生的擬題品質在可解性、可讀性、精緻性與機 率概念層次有所進展，但生活性可能從一開始就具備良好的品質，所以沒有明顯 的進步數據。第二，學生的機率思維，也可藉由一題多磨的擬題歷程得到提升與 發展。第三，學生有能力解決超過國中課程的問題。最後再根據研究結果於自由 擬題活動、未來機率課程提出若干建議。

關鍵字：數學、機率、擬題、自由擬題、九年級

iii

A Study on Probability of Thinking Development of Ninth Grade Students from Free Problem-Posing

Abstract

Since 1980, the problem-posing activities have gradually received international attention. Think of a math problem, which is the mathematical problem-posing, and particularly the free problem-posing has strong life link. In recent years, Taiwan students have high achievements and low attitudes for mathematics learning, the problem-posing activities may serve as a teaching method to improve students' attitudes. On the other hand, Probability as the mathematical basis for dealing with uncertainty events. It is especially easy to link with life.

The purpose of this thesis in the free problem-posing, enhance students' interest in learning mathematics, and understand the development of the concept of

probability. Therefore, the two research questions are: 1) To what extend do student’s problem-posing improve? 2) What is the development of probability thinking? 3) When facing the problems exceeds the junior high school level, what is the ability to solve the problem?

The research is conducted to 62 ninth grade students from two classes of junior high school of Taipei City. In a period of 3 months, a total of 10 lessons in the course of activities, so that students in the direction of the probaility problem-posing. The following data are collected : the probability of naked test questions, problems

between versions and answers of the probability challenge. The results were analyzed

iv

in a content analysis, evaluate the quality of the problems by posers, And use the paired sample t test to analyze the problem between versions.

The results show that: 1) The student-posed problems made significant progress throughout the three-version process of “solvability”, “readability”, “Exquisite”,

“Probability level”. 2) The probability of students thinking can enhance and develop by the process of problem-posing of “one problem, many revised versions”. 3) Students have the ability to solve problems beyond the course of the junior high school.

Finally, the researcher offers some suggestions related to the free problem-posing, probability course in the future.

Key words : mathematicals, probability, problem-posing, free problem-posing, ninth grade students

v

致謝

完成論文之際，代表三年的研究生生活結束，即將卸下學生的身分。回想在 中央大學的時光裡，過程中雖然有些辛苦，但也為最具豐富與多彩的生活。

首先要感謝我的指導教授－單維彰教授，感謝您在這段時間的耐心指導，以 及給予各方面寶貴的建議。平時您公務忙碌，時常需靠著行事曆來掌握老師您的 身影，也因如此，時刻提醒自己要把穩做事，專心向前。不僅是在每次的瞇聽時 間，於教材教法課程當中，都能得到關於您對數學現場教育的總總樣貌之談吐，

以及對於各方面的態度與思想，都是非常珍貴的學習經驗。謝謝您，老師。

接著感謝我的口試委員－陳斐卿教授，老師您是我進入中央大學教育學程的 面試官，也是我在教程裡的第一位老師，一切都是那麼的有緣。從研究活動、資 料分析至撰寫論文期間，每次的瞇聽時間，無不是相當紮實的學習，給予我多方 的意見，讓我順利完成論文，且在口試時給予許多的建議與想法；感謝我的另一 位口試委員－袁媛教授，非常細心地抓住我口試及論文的每一個細節，給予我鼓 勵及寶貴的想法。

再來，特別感謝學習所的學長許哲毓，從無到有的研究過程當中，扮演著相 當重要的角色，給予我各方面的協助，以如期完成論文，順利畢業。

還有，感謝數學研究所及教育學程裡同學們的支持與鼓勵，尤其是那群從母 校台東大學，一同到中央大學就讀研究所可愛的學弟妹們。

最後，我要感謝我的家人們，有你們在背後的關心與支持，才能讓我順利地 完成研究生的生活，正式走進社會，找尋未來的路。謝謝家人們!!

張吉逸 謹誌 民國 106 年 7 月 26 日

vi

目錄

第一章 緒論 ... 1

第一節 研究動機與背景... 1

第二節 研究目的... 3

第三節 研究問題... 4

第四節 名詞釋意... 4

第二章 文獻探討 ... 7

第一節 數學擬題... 7

第二節 機率概念研究... 14

第三章 研究方法 ... 21

第一節 研究對象... 21

第二節 研究活動設計... 21

第三節 研究工具... 26

第四節 擬題題目範例解說... 30

第五節 資料收集... 35

第六節 資料分析... 38

第四章 研究結果 ... 41

第一節 機率擬題品質的進展... 41

第二節 有修改題幹者擬題品質分析... 61

第三節 機率概念層次... 67

第四節 結果討論... 80

第五章 結論與建議 ... 85

第一節 結論... 85

第二節 建議... 86

參考文獻 ... 89

一、中文部分... 89

vii

二、英文部分... 90 附錄一、單維彰老師主編---機率擬題學習單 20151021 ... 93

viii

表次

表 1 Reitman 題目結構表………..………11

表 2 機率自由擬題品質評分規準表……….……...….29

表 3 機率擂台賽區位分類表……….37

表 4 評分者一致性向度評分……….40

表 5 成對樣本 T 檢定－機率擬題品質……….…41

表 6 高中低分組－機率擬題字數平均……….46

表 7 高中低分組－可讀性……….47

表 8 機率概念層次評分人數情況……….…..…..57

表 9 擬題品質成對樣本 T 檢定(有修改) ……….………62

表 10 擂台賽達題參與題數表……….67

表 11 A-28-V3－答題統計描述………..75

ix

圖次

圖 1 機率自由擬題活動設計流程……….………22

圖 2 OO 國中擬題達人……….……….……...24

圖 3 擬題單 A-27-V3………...….30

圖 3-1 擬題單 A-27-V1……….33

圖 4 2016 OO 機率擂台賽(以 A-06-V3 為例)……….36

圖 5 高中低分組－機率擬題字數………..……….………….……….46

圖 6-1 擬題單第一版(A-13-V1)………..…….………..……48

圖 6-2 擬題單第二版(A-13-V2) ………....……48

圖 6-3 擬題單第三版(A-13-V3)………..……...48

圖 7-1 擬題單第一版(A-19-V1)………...….….50

圖 7-2 擬題單第二版(A-19-V2) ………..……..50

圖 7-3 擬題單第三版(A-19-V3) ………..………..50

圖 8-1 擬題單第一版(A-35-V1) ………..….….51

圖 8-3 擬題單第二版(A-35-V3) ……….………..……….52

圖 8-2 擬題單第三版(A-35-V2) ………. ……….………….52

圖 9-1 擬題單第一版(B-34-V1) ………..……….………….53

圖 9-3 擬題單第二版(B-34-V3) ……….………..……….53

圖 9-2 擬題單第三版(B-34-V2) ……….………..…….53

圖 10 可讀性 －「V1 對 V3」資料散布圖………..59

圖 11-1 擬題單第一版(B-27-V1)...……….……….64

圖 11-2 擬題單第二版(B-27-V2) ………..……….……….64

圖 11-3 擬題單第三版(B-27-V3) ………...……….64

圖 12 擬題區 B2-40-V3……….….68

圖 13 新手區 A-17-V3………...…….69

圖 14 新手區 B-41-V3……….69

圖 15 高手區 A-29-V3………...…….70

圖 16 複合事件 A-02-V3………..….….71

圖 17 複合事件 A-28-V3………..….….71

圖 18 複合事件 B-13-V3……….………..….73

圖 19 獨立事件 A-28-V3……….………..……….75

圖 20 A-29-V3 答題折線圖……….76

圖 21 獨立事件(樹狀圖 1) ……….77

圖 22 獨立事件(樹狀圖 2) ……….77

圖 23 獨立事件(機率連乘 1) ………..….78

圖 24 獨立事件(機率連乘 2) ………..……….78

1

第一章 緒論

第一節 研究動機與背景

而根據國際數學與科學教育成就調查( Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱 TIMSS) 2015 年的研究報告指出 (Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Foy, P., & Hooper, M. , 2016)，在總共 57 個國家裡，台灣八年級的學生在 數學成就排名上為第三名，僅次於第一名的新加坡與第二名的南韓。但是，TIMSS 對學生學習參與態度的調查，發現四年級與八年級的學生，對於數學的喜歡及自 信，分別排名為倒數第二名及倒數第四名。換句話說，台灣的數學教學對學生的 學習具有相當地效果，但對數學感到興致缺缺，態度低迷，顯然已成為一項台灣 數學教育該重視的問題，有待於改善與研究的投入。

美國數學教師協會 (National Council of Teacher of Mathematics，簡稱 NCTM) 提出「數學連結」的重要性，指出教學應將數學概念進一步地連結與應用於生活 情境當中 (NCTM, 1989)。而「數學連結」在九年一貫數學課程能力指標，提到 能將其再分為「內部連結」與「外部連結」兩種。其中內部連結強調能力指標的 貫穿，而外部連結強調學習內容對生活與其他領域的察覺、轉化、解題、溝通、

評析能力之培養 (教育部，2008)。在今日的十二年國民基本教育，於數學基本 理念之中，提及「數學是一種語言」的導入學習，強調生活經驗與數學概念之間 相互關係的發掘 (教育部，2014)。此外，數學課程領綱以素養導向之數學教材 為進路，除了能力的培養，也應注重數學與現實生活的連結，從生活、經驗、文 化等其他情景中，概念與連結之間有達「識」的見解 (鄭章華、單維彰，2015)。

所以，數學概念與情境的連結逐漸成為數學學習的關注方向。在傳統的數學課堂

2

中，授課模式往往以升學為目標，作為學科知識的傳輸，長久下來，學生的學習 在教師的佈題與解題之間，來回形成模仿與操作，如此被動的知識接收，不是我 們數學教學的目的。因此對比於台灣大部分課堂的授課現況，上述「數學連結」

的信念實踐，成為我們應該檢視與反思的課題。

1980 年起，國內外數學擬題活動有不少的研究活動，而且數學擬題活動能 改善學生對數學學習的情況 (Silver, 1994)，數學擬題是由學生藉著自身的生活、

情境與經驗來創造出數學題目 (Silver, 1996)，因此，可看出數學擬題活動既有的 特徵為對生活所產生的外部連結，而擬題過程中的學習，可望產生興趣與動機 (梁淑坤，1994)。進一步說，數學擬題活動能激發數學與生活的連結，成為數學 教學新的應用樣貌，透過興趣與經驗的投入，成為為一項教學活動的管道，期望 解決台灣目前數學教學裡，學生參與態度低迷的現象。因此，改善學生態度與加 強生活連結的教學方法之一，是所謂的「擬題活動」。

擬題情境可分為 1.結構擬題、2.半結構擬題、3.自由擬題三種類型(Stoyanova, 1996)。結構擬題 (structured problem-posing) 主張設計原則應「相似」或「改變」

原有的題目結構，而半結構擬題 (semi-structured problem-posing) 則為擬題者運 用已具備的數學概念，探索其問題結構，擬出新的題目。前兩者擬題的設計，擬 題者易受限於條件的給定，而影響思考的彈性，以及解決真實生活經驗問題，並 不易於產生外部連結。然而陳斐卿、江家瑋、張鐵懷、黃佩岑與單維彰 (2015) 指 出，自由擬題(free problem-posing) 雖較少為研究者使用，但它卻是最符合學生 興趣與情境連結的擬題活動，不僅外部連結性強，更有學生主動積極學習態度與 學習環境的熱絡。

擬題活動不限學科內容，而本研究將關注機率概念的學習內容。機率概念常

3

做為討論不確定性事件的考量，此課題常在日常生活裡看見，如天氣預測、風險 評估等。換句話說，做為「外部連結」的應用，機率概念的學習扮演著數學跨領 域之間舉足輕重的腳色。在台灣，根據課綱的課程單元編排，機率學習單元被安 排至九年級下學期的時程。事實上，Bognar 與 Nemetz (1977) 指出學童在不同年 齡的階段，可進行一些機率概念的教學。換句話說，學童在未接受正式機率的教 學前，已有機率概念的存在。然而一些國內學者認為，學習機率與認知發展、經 驗累積有關，不宜提早，尚宜於學生成熟後再教 (翁秉仁，2016)。但 1975 年 Piaget 和 Inhelder 提出的機率認知發展理論，兒童機率的理解與其認知發展可分為三個 階段，代表著學童在不同年齡階段，有充足的認知概念可以學習機率。接著再以 TIMSS 機率與統計的調查指出，台灣八年級學生雖然沒有機率課程，對機率卻 有一定程度的認識，具有機率概念的存在 (TIMSS, 2016)。因此，學童於國中階 段的機率思維發展，值得細探與研究。

綜合上述，自由擬題與不確定性概念都有強烈的外部連結於日常生活當中。

循著這樣的想法，研究者期盼藉由以機率為主題的自由擬題活動，提供一場不一 樣且新穎的學習活動，透過活動過程找回學生對學習數學的興趣與熱情。另外，

透過活動的歷程，讓學生發現機率存在於彼此的生活經驗裡，藉此學生對外部連 結產生的自發性概念，探究其機率思維的進展。

第二節 研究目的

本研究希望藉以自由擬題為學習活動，提升學童學習數學興趣的投入，並了 解數學概念的發展。因此，根據上述的研究動機與背景，本研究的具體目的為藉 由學生對自由擬題活動的參與及投入，探究九年級學生的機率思維發展。

4

第三節 研究問題

因此，本研究根據研究目的，並透過自由擬題活動的執行，探究：

1. 在機率擬題活動歷程中，學生所擬的題目的品質進展表現為何？

2. 透過自由擬題之機率的發想，學生的機率思維有何進展？

3. 學生面對超過國中範圍的問題解題，興趣與能力為何？

第四節 名詞釋意

為了使本研究討論的範圍與主題更加明確，本研究所涉及的相關重要名詞，

界定如下。

一. 自由擬題

自由擬題 (free posing) 是指從一個被給定的、人為的、自然的情境下擬出 題目 (Stoyanova, 1996)。在本研究中的自由擬題活動，雖然限制住學生的思考情 境為「機率」，但本擬題活動所指的「自由」為不限定學生的出題型式與類型，

即為在一個「機率」的情境之下，學生自由發揮想像來出題。

二. 擬題品質

研究者根據國內學者陳斐卿等人所發展出的一套自由擬題評量工具「數學自 由擬題品質評分規準表」(江家瑋，2014；陳斐卿等人，2015)，將學生擬題的作 品分為五大向度作為評量，分別為「可解性」、「可讀性」、「生活性」、「精緻性」

與「年級層次」。希望藉由五種向度的評分，充分呈現學生擬題的數學性及自由 擬題之特質，而其中本研究將評量內容的修改有「精緻性」與「年級層次」兩種。

5

第一，「精緻性」的部分，為了呈現出機率題目的完整性，因此針對評分依據的 條件設計進行修改。第二，「年級層次」整合機率類型與概念層次相關文獻修改 出「機率概念層次」向度，其中評分依據包含「沒有機率」、「主觀機率」、「客觀 機率」、「機率推論」與「期望值」五種。

三. 機率思維

本研究將透過自由擬題活動探究學生在未經過正式的機率課程教學之前，機 率的概念思維將分布在何種層次，且運用評量規準中的「機率概念層次」進行分 類。

7

第二章 文獻探討

本章依研究主題進行相關文獻之探討，以作為相關理論基礎。本研究的 主要目的為探究學生透過機率自由擬題活動的參與及投入，九年級學生的機 率思維發展，因此從活動歷程中探討學生擬題作品之品質與機率思維的變化。

另外，從機率擂台賽中探討九年級學生對機率解題的興趣與能力。本章共分 二節，第一節探討數學擬題的定義、重要性、特徵、型式與時間點，第二節 探討機率的類型、概念與台灣機率課程發展之研究。

第一節 數學擬題

1980 年起，美國數學教育開始逐漸重視擬題 (Problem-Posing) 教學活 動，並建議能夠作為學校課程改革的重點方向 (Silver & Cai, 1996)。擬題活 動扮演著數學教學與學習之間的重要連結。對數學核心的學習，教師應給予 學生機會從經驗中認識數學，或是自己能建構出數學問題 (NCTM, 1989；

2000)。而數學擬題導入的教學活動，具有減少學生因課程、解題所造成的 數學思維發展之潛力與價值 (Stovanova & Ellerton, 1996)。

回到國內的數學教育現場，因長期受到「升學主義」的影響，注重於計 算與解題的能力已成為一種意識形態。長期下來，注重能力而漠視學習動機，

將導致教學內容的凝滯，造成學生在數學思維發展上的限制，進而影響其學 習態度。為了平衡此一教學現場風氣，國內有些學者紛紛提出以擬題作為教 學活動的建議 (梁淑坤，1994；陳斐卿等人，2015)。

8

一. 擬題的定義

國內學者梁淑坤 (1994) 對數學擬題下的定義：「自己想出一個數學題 目」。擬題過程中，結合生活經驗、情境、數字、圖形等關係，組織出一個 數學題目。國外學者 Silver (1994) 指出，擬題的產生不但是從情境中探索，

且能從給定的題目中，透過解題的過程，建構與再形成新的問題。Stovanova 和 Ellerton (1996) 表示，學生以過去學習數學知識的經驗為基礎，對具體 的情境及思想創作上，作出個人的闡述，而產生有意義的數學題目。

由以上學者對數學擬題的定義，可知擬題最重要的元素為建構題目的方 式，其有兩種：一為本身既有的數學知識；二為學生的生活經驗。Silver 與 其他兩位學者見解的不同之處，在擬題與解題的歷程之中，再形成問題的重 構與組織能力，需要更多的思考投入其中，打破題目結構的形式轉換，成了 擬題建構的限制存在。然而，本研究以自由擬題 (Free Problem-Posing) 為 主題，根據定義，題目的生產無給定題目的模仿，無情境、主題、時間等限 制存在。如 Ellerton (1986) 引進數學創作與寫作的教學活動，要求學生建構 出一個數學問題，並再要求有一定的難度給予學生作答。自由擬題也為擬題 的一種形式，因此綜合以上觀點，本研究將數學擬題定義為：「運用已知的 數學知識與生活經驗，對周遭情境、數字、圖形等關係加以探索與組織，進 而擬出一個數學題目。」

二. 擬題的重要性

學生對擬題活動的練習參與，能鍛鍊其思考的靈活性與多變化，提高對 數學問題的解決，並擴大與鞏固數學的概念思考 (Brown & Walter, 1993；

English, 1996)。提供機會給予學生擬出問題，能增強其對問題的推理與反思 (Cunningham, 2004)。當問題不再是由老師制定，而是學生。可以培養學生 對知識上的擁有感 (The sense of ownership)，擁有感能使學生有更多的熱情、

9

好奇與參與感在數學的學習歷程中 (Lavy & Shriki, 2007)。

Silver (1994) 提出數學擬題的重要性，有以下四種觀點：

1. 擬題有一種探索式教學的面向特徵 (inquiry-oriented instruction) 2. 能作為改善學生解題能力的方法

3. 能作為教師對學生數學理解能力的窗口

4. 能提升學生對學習數學的動機與傾向 (disposition toward mathematics)

擬題能連帶對解題能力的提升，增加思考與分析的機會 (Cifarelli &

Sheet, 2009)。在大部分的教學現場裡，學生的解題方式，多來自教師於教科 書裡的題目提出，經過教師的引導與練習，很快地就能熟練解題技巧。如此 的解題能力，限制住數學的思維發展，缺乏思考的靈活性。所以，如果由學 生擬題後再進行解題，能因為素材熟悉的關係，容易產生理解之外，在擬題 與解題之間產生強烈的連結，使數學學習的產生更具意義 (Writz &

Kahn,1982)。

擬題教學活動有助於減少因大部分教學僵化的現況，其有著強烈的連結 性，助於改善學生於課堂之中，對學習數學的不適與低迷態度提升學習動機 與興趣。接著，除了擁有感的提升之外，擬題活動將學習的主導權留給學生 能提供表達的機會，發表對其感興趣或學習所關心的現象(Schlomemer, 1994；

English, 1997)。如此鼓勵的方式，培養學生主動學習、建構知識的能力，從 自我充實的精神存在，無形提升學生自學與自省的意念產生。

10

三. 擬題的特徵

國內學者梁淑坤 (1994) 提出擬題行為的特徵，有以下四點：

1. 組織方法個人化 (idiosyncratic) 2. 猜想與可信推理 (plausible reasoning)

3. 可以發生在解題前，解題中，以及解題後 (before, during, and after problem solving)

4. 題目粗糙性 (Primitive)

首先，個人化的組織能顯現出題目差異性的特徵，擬題者的組織素 材會根據過去自己的生活經驗、背景…等因素來設計題目。也因學生之 間為不同的個體，學生的思考能呈現不同的差異性，所以能透過不同的 題目看出每一位學生的興趣與喜好，展現題目的獨特性。梁淑坤問了兩 位擬題者：「你可以用一個正方形想出一些數學題目來問小朋友嗎？」

得到兩位不同的個人看法，第一位注重正方形的幾何特徵、面積與特徵，

第二位注重正方形的形狀。

第二，擬題過程會帶著學生的猜想與可信推理。一些的猜想可形成 對題目所提供的條件與假設，在還不知道題目的可行之下，接著學生會 對內容條件、敘述、與解答等題目構成之元素，進行題目可信度的評估 及衡量，並反問自己如「假如是…」或「假如不是…」。

第三，擬題情況的發生有很多種，有可能出現在解題前，是因情境 產生的聯想而擬題；有在擬題過程中，藉由題目的整合以及組織的策畫，

從中發現與思考進行擬題；也有在解題後，經由檢驗答案而產生新的問 題關係而產生題目。

11

最後，由於擬題者為初學者，在想法與經驗上尚且不足，無法如教 師能深思熟慮般地思考及布題。因此擬出的題目顯為粗糙、不完整或不 可行之題目，甚至是類似於課本習題的題目出現。

四. 擬題的型式

Reitman 將題目的結構分類為結構題 (structured problem) 與非結構題 (ill-structured problem)，分別有下表 1 四種情況(引自梁淑坤，1994)：

表 1

Reitman 題目結構表

類別 已知 目標 1   2   3   4  

：已定義清楚

：未定義清楚

第一類稱為結構題，常見於一般教室裡課本與習作的題目，學生可根據 題上的資訊，運用解題方法將目標求得出來。其他三類(2,3,4) 稱為非結構 題，然而非結構題可利用其他方法來加以組織成結構題，這樣的現象即為擬 題。

Silver (1993,1995) 分類出兩種擬題活動：第一是「從情境或經驗中創造 出新的問題」，第二是「給定問題再重新產生(Reformulation) 新的問題」。以

12

時間點來區分，擬題可發生在解題前、中、後三個時間點，解題前為在問題 解決前所發生的問題，可能來自於一個特定的或自然的情況；解題中為在解 決問題的過程中，可能故意改變一些問題的條件或目標來達成擬題；解題後 為在問題解決之後所產生的新問題，新的問題會根據已知的數學基礎，通過 解決一系列或特定的題目來從中獲得經驗。

Stovanova 和 Ellerton (1996) 提出擬題三種情境：第一為半結構擬題 (semi- structured)，指在一個開放的情境下，邀請學生運用自身的數學知識、

技能、概念及以往對數學經驗的關係，探索問題的結構並完成擬題。如 Hart (1981) 要求學生修改數學問題，讓其能夠得到適合的計算，主要目的在探 究學生如何用具體情況的描述來表達數學關係式。第二為結構擬題

(structured) 則以某一個特定的問題為基礎進行擬題。如 Hashimoto (1987) 在 研究中，使用特定的題目讓學習者探索其數學關係的表現存在，進而模仿修 題。第三為自由擬題 (free-posing)，從一個被給定的、人為的、自然的情境 下擬出題目。

根據上述學者們的分類說明，能清楚知道擬題即為將非結構題轉換成結 構題的歷程。以 Stovanova 為例，半結構擬題可對照表 1 中的第二類，而自 由擬題為結構表中的第四類。然而，題目建構歷程中，形式內容轉換勢必將 考慮其他限制因素存在，如從原先給定題目做相仿。而這些因素將可能主導 著擬題者思想的開放與封閉性，而為期望還原學生的個人經驗與生活應用，

下段更進一步進行結構題與非結構題的討論。

回到 Reitman 的結構分類來看，第一，結構題類別如同對照 Stovanova 的結構擬題，擬出相似於原來給定的題目，形成模仿的動作。結構擬題的活

13

動對教師而言，能更方便地檢驗學生能力的成效。然而在教師的引導作用之 下，容易忽略學生的個別經驗，而無法顧及學生的興趣與能力。

第二，非結構題可根據「已知」與「目標」兩者條件的不同，而對照於

「半結構擬題」及「自由擬題」。非結構擬題可視為學生對於抽象概念意義 化的過程，期望從相似題目或開放的情境中獲得數學概念。Bush 和 Fiala (1986) 指出，「半結構擬題」使學生對數學抽象概念產生有意義的想像，並 能從擬題的書寫中，學習整合數學概念與跨科目領域，並發展「創作性」的 寫作技巧。

第三，Stovanova (1996) 說明「自由擬題」能鼓勵學生反思以前具體的 生活經驗、體驗。因此綜合前述，比較於結構題，非結構題更重視學生個別 的學習經驗、學習歷程與學習結果。從創作與反思上的得到認知，符合學生 學習動機的來源，也因所受限制較少，所以題目呈現完整生活面機會較大。

五. 擬題的時間點

有了題目結構的分類，接著再以擬題時間點來考慮，從 Silver 的時間 點作為區分，研究者重新將解題前、中、後再做新的詮釋。解題前可視為學 生的創作發想；解題中可視為過程中的修改；解題後可視為問題的再造。學 習經驗與外在環境有關，這三者時間點皆能用情境、經驗等關係，重疊與交 互作用，使得題目能夠更接近個人獨特性。

然而，若要在題目內容看出貼近興趣與能力，擬題就得展現出「創作性」

與「反思性」的思考。從「解題中」與「解題後」兩者觀點來看，其較易受 到題目形式得侷限所在。在抽象概念化的過程中，皆存在著潛在的引導功能，

若比較於「解題前」的發想，後者的引導方向更來得小。因此，「解題前」

14

對擬題活動來說有更大的自由度存在，而自由度愈大愈能反映學生的經驗與 興趣。所以「自由擬題」的形式，更能說明研究者一開始所期望的「如何顧 及學生的興趣與能力」。儘管本研究限定了「機率」的大方向，但不限定學 生任何的條件設計，以及數學內容的呈現。研究者認為只要學生循者擬題精 神的學習與挑戰，盡情地發揮，能找出學習的熱誠所在，以及期望與機率概 念思維的連結發現。

第二節 機率概念研究

本節分為三個部分探討，第一部分為探討機率類型，第二部分為兒童機 率概念的思考，第三為台灣機率課程的發展。內容範圍主要涵蓋學齡階段的 機率思維與課程設計，從中建立出探討學生能力及興趣的研究分析。

一. 機率類型

機率是一個探討或然性(probable)發生的可能，或然性是指對一種 現象的發生或變化皆純屬機會的出現，事件之間不存在必然(necessary) 的關係 (劉秋木，1996)。而機率類型的討論，本研究採驗 Shaughnessy (1992) 統整各家之言 (Konold , 1991； Hawlins & Kapapia, 1984)，並引 自丁村成 (2008)的統整，大致分類出四種機率類型如下：

(一) 主觀機率(subjective probability)

主觀機率為近代 20 世紀發展的概念，是一種以直觀思維猜測 機率的表現，其機率值的測量會隨者個人信仰及經驗有關，例如因 為前兩天都有下午後雷陣雨，因此猜測今天有午後雷陣雨的機率為 90%。主觀機率數值的評定，是帶著個人意識、觀點的複雜性及如 何理性的形成改變其信念等因素改變(Borovcnik et al., 1991;

15

Konold, 1991 )，亦即會因為資訊的獲得改變而修正機率的數值。

(二)頻率機率(frequentist probability)

頻率機率的機率值為一個隨機試驗的觀察，經過多次的重複試 驗或實驗調查之相對次數而來的，又稱為實驗機率(experimental probability)。依此觀點，一個事件的機率值 P(A) =

lim

n， 亦即在 n 次的試驗中，事件 A 出現的次數為 𝒏_𝑨，當是試驗次數越 接近無限多次時，相對次數 ^𝒏𝑨

𝒏 越趨近於實數P(A)。

(三)古典機率(classical probability)

古典機率是根據理論假設及推理的規則計算而來的機率值，最 早為法國數學家拉普拉斯(Laplace) 於 1812 年在其機率的分析理論 中所定義。假設有一個隨機性試驗，其樣本空間 S 中的每一個樣本 點出現可能結果機會均等，則事件 A 在樣本空間 S 中的機率 P(A) = n(A)

n(S)

，

古典機率亦稱為理論機率或先驗機率。

(四) 形式機率(formal probability)

形式機率是利用公理的法則來定義機率，最早由俄國數學家 Andrey Kolmogorov (1903-87) 提出，其假設有一試驗的樣本空間 為 S，對於 S 中的每一事件 A 指定一個值 P (A)，並規定 P (•)滿 足下列三個公設 ： (引自丁村成，2008)

1. 對任一事件 A 恆有 P (A) ≥ 0 2. 樣本空間 S 之機率 P (S) = 1

3. 任二事件互斥時有 P (𝐴₁∪𝐴₂∪· · · ) = ∑^∞_𝑖=1𝑃(𝐴_𝑖)，我們 稱 P (•)為一機率測度，並記 P (A )為事件 A 之機率。

16

二. 兒童機率概念的思考

Piaget 和 Inhelder 提出學童認知發展理論，並以「機率」為主題，

提出以下機率認知發展三階段 ： (引自劉秋木，1991 )

1. 運思前期：此階段兒童沒有明確的因果觀念，無法區分事件的 必然性與或然性，因此無法形成機會的概念。此時期的兒童也 沒有隨機概念，他們不知道用手在不見內部情況的袋子裡拿東 西，拿到的彈珠是靠機會的，他們會以為會拿到自己喜歡的顏 色的彈珠。

2. 具體運思期：此階段兒童能分辨因果律以及純粹機會的事件。

此時期的兒童對於不太複雜的機率問題可以算出成功事件與 失敗事件的相對勝算誰屬。而若要算出一個實驗之所有可能結 果很複雜時，因兒童沒有一系列的數學概念想法，所以無法掌 握住複雜狀況的發生。

3. 形式運思期：此階段兒童能列舉依實驗的所有可結果，能有機 率概念。比起前期，此階段的兒童更有能力列舉實驗的可能結 果，以及了解相對次數的極限存在，即為大數法則。也由於他 們具有比例概念，能以一個分數來代表成功事件的機率，已有 機率概念的存在發生。

Bognar 和 Nemetz (1977) 列出兒童在不同年齡階段可進行的機率 概念教學，其認為機率的教學應兒童的年齡而得到適當的教導，有四個 階段如下：

1. 七至八歲的兒童， 可以教導簡單的概念， 像確定事(certain events)、不可能事件(impossible events) 及互斥事件(mutually exclusive events)。

17

2. 九至十歲的兒童， 可依據可能發生的事情教導較可能事件 (more likely events)、較不可能事件(less likely events)及次序事 件(orderevents)。

3. 十一至十二歲的兒童，可以教導相對次數(relative frequencies) 及畫出可表示機率事件的圖表(diagrams)，如樹枝圖。

4. 十三至十四歲的兒童，可以教導獨立(independent)和相關 (correlated)的實驗及事件。

Jones, Thornton, Langrall 和 Tarr 等人在 1999 年提出機率思考架構 理論。他們企圖發展一項架構來描述，兒童在一個不確定的情況下會是 如何思考，並訂出了學童在樣本空間、機率事件、機率比較、條件機率 等方面的機率思考層次。而後又增添以預測和實驗為主的實驗機率和由 條件機率引伸出來的獨立事件。除了上述每一個機率結構上，學童的概 念發展層次皆包含了四個層次：

1. 層次一：主觀思考期。在此層次的兒童多以個人的主觀意識或 喜好來處理機率問題。

2. 層次二：過渡期。在此層次的兒童思考介於主觀和質樸的量化 思考之間， 但其思考結果最後往往又會回到主觀的想法。

3. 層次三：非形式量化期。在此層次的兒童已能做量化思考，但 尚未具備足夠的數量概念。

4. 層次四：量化推理期。此為發展的最高層次，兒童可完全使用 生產性策略來描述結果， 並能用數字完整的表現出數量的推 理。

18

三. 機率課程發展研究(引自單維彰、陳斐卿、許哲毓，2017)

台灣的數學教育，自民國 50 年以來，經歷過五次重要的變革。呂 溪木 (2007) 指出，第一次改革為民國 53 年至民國 57 年，第二次改革 為民國 60 年至民國 61 年，以及第三次改革為民國 64 年至民國 72 年。

上述三者的差別在前二者為先修訂高中，再至國中小的修訂，其為由上 到下的變革；後第三者則為相反，其為下到上的變革，而在民國 74 年 再進行國中課程標準的微調。第四次改革為民國 82 年至民國 84 年。先 修訂國小課程標準，再至國高中的修訂，為下到上的變革。民國 82 年 公布的國小課程標準，其數學教育目標揭示了「建構」一詞，成為新課 程較具爭議的課題 (周祝瑛，2003a)。第五次變革為民國 89 年公布「國 民中小學九年一貫課程暫行綱要」，並在民國 92 年公布「國民中小學九 年一貫課程暫行綱要數學學習領域」及民國 97 年再次微調。

台灣數學機率的主題於民國 53 年進入高中數學課程 (教育部，

1964)，而同時期的國中小並沒有機率課程。在當時的學生不管是自然 組或社會組，學習機率的內容之教材皆為相同。在課程上的編排，等同 於學完 Jones 等人 (1999) 提出的機率思考層次，內容從「樣本空間」

至「條件機率」與「獨立事件」。注意的是，民國 53 年的高中機率課程 有兩項特點影響至今，一為以嚴謹的「集合」形式來處理樣本空間與事 件，二為將機率作為排列組合的後續課題。

民國 60 年，這段時期的高中數學課程 (教育部，1971) 將機率安 排在高三，除了延續民國 53 年的全部課程內容外，在機率概念上增加 了貝氏定理，在機率類型上涵蓋了古典、頻率與形式機率(以隨機變數 的形式呈現)。在當時市面上流通的教科書共有數理本、實驗本與東華

19

本三種，而范傳坡教授主編的數理本、黃武雄教授主編的實驗本，都講 解了主觀機率類型(稱為直觀的機率)。同時期的國中數學課程不含機率，

反而是國民小學的數學課程在民國 64 年加入了「簡單的機率」 (教育 部，1975)，安排於六年級學習，涵蓋頻率與古典兩種類型，而概念層 次皆為單一事件。另外，第二次改革的主要重點為減少教材中「集合論」

的份量，以凸顯對數學知識「質」與「方法」的重視 (陳玟樺，2017)。

民國 64 年，「國民小學數學課程標準」完成修訂，而為銜接民國 64 年版國小課程的國中和高中數學課程標準，於民國 72 年完成國中數 學課程標準修訂並頒布，由民國 73 學年度起開始實施 (呂溪木，1986)。

同時，民國 74 年版的國中數學課程，在國三選修數學加入了機率主題，

包含頻率機率與古典機率兩種，其中古典機率特別強調不涉及樣本空間 與排列組合，並且首次引進樹狀圖作為計算機率的工具。

民國 80 年代為第四次的課程變革年代，民國 82 年的國小課程標準 裡，機率的課程以「機率的初步概念」認識為主，包含「部分與全體的 關係」以及「大數法則」。另外注意的是，國小課程標準的數學目標揭 示「建構」一詞，關注於希望老師能引導學生有不同的解題思考方向，

進而培養出解決問題的建構能力。因建構主義教學需較多的時間讓學生 自行探究，導致部分學習內容需刪減或延後，但在機率課程內容上的影 響差異不大。接著在民國 92 年及 97 年的數學領域課程綱要中，沒有了 小學機率的課程，使得機率課程全落於九年一貫的九年級第二學期實施。

但九年一貫公布的機率課程「能力指標」為「能在具體情境中認識機率 的概念」，又在細目裡提到「由於機率概念的掌握並不容易，因此應先 從最清楚、易學習的機率觀─古典機率開始學習」(教育部，2008)。然

20

而實際考察各版本的教科書，對於其他類型的機率很少詮釋，而是專注 在古典機率類型的教學。

回顧台灣的機率課程，主觀機率於民國 60 年代的短暫出現，民國 70 與 80 年代頻率機率的出現，兩者機率類型皆在近幾年課程上開始消 失。談及機率的教學，主觀機率是一個很好的出發點，透過自我經驗與 機率理論的連結，可培養良好的直覺。教師應鼓勵學生做合理的猜錯，

學習每個人都有可能猜錯的產生 (Li, 2000；丁村成，2008 )。而頻率機 率能將概念性機率與統計做出連結，在教學上從實驗中歸納出法則，在 從古典理論的比較中，形成學生心中的對比。最後，從我國近年來的機 率課程，都九年級下學期才開始實施。在機率類型上談及古典機率最多，

而在概念層次上，以單一事件為主，且主要的技術工具為樹狀圖的使用，

窮舉可能性與初步認識獨立性。

綜合以上機率概念研究相關文獻，學童對於機率概念的學習，在不 同的年齡層，都有被教導與思考的適切性存在，如最早兒童是以主觀意 識與喜好來處理機率問題。隨著兒童的年齡增加，處理機率問題的思考 層次也不一樣，因此教師能夠針對學生的機率思考架構，了解學生的機 率推理，給予適當的課程教導。然而台灣機率課程的發展，隨著數學課 程的改革，過去課綱內容有的機率概念，如今至現在則無，逐漸忽略學 生基本的機率思考層次，進而影響教師於課堂中，機率教學的正確脈絡 性。因此，本研究將藉由機率概念的相關研究，對學生機率擬題、答題 之間的思考層次，配合課程發展的研究，架構出基本的理論基礎。

21

第三章 研究方法

本章將針對本研究之研究對象、研究活動設計、研究工具、擬題範例解說、

資料蒐集與資料分析，詳細說明如下。

第一節 研究對象

本研究之田野學校為台北市一所中型的國中，全校共計 24 個班級。因「自 由擬題」教學活動的主題為「機率」單元，課程單元對應到課綱上的時程安排為 九年級下學期，又根據研究問題之探究，並考量九年級下學期即能驗收機率課程 之成果，所以研究時程選擇九年級上學期。研究對象選取九年級兩個班級的學生 作為機率自由擬題活動之對象，且兩班皆未接受正式的機率課程教學，其中 A 班 32 人，B 班 30 人，共 62 人。

第二節 研究活動設計

本研究為科技部研究計畫(NSC-104-2511-S-008-002-MY2)的延續，擬題活動 設計採取「自由擬題」結構方式，針對「一題多磨」進行長時間題目的醞釀琢磨，

時間與投入的拉長，思考與互動也隨之增加 (江家瑋，2014)，並融入目前尚未 學習之新概念「機率」，讓學生從活動中挑戰未知，勇於創新。活動歷程裡，兩 個班級各歷時 10 節課，前後約莫歷經 3 個月的時間。下圖 1 為機率自由擬題活 動設計流程：

22

圖 1 機率自由擬題活動設計流程

一. 擬題活動介紹

研究者考量學生對出題經驗的陌生，因此在活動開始前的第一節課，由 兩個班級之教師進行擬題活動說明。引導學生在擬題素材上的選擇，可以朝 著自身生活周遭經驗作連結與提取，強調不拘題目的任何形式。期望學生的 擬題類型能跳脫課本題型之框架，刺激學生對擬題的理解與思考。此外，除 了針對題目的文字書寫，活動希望學生能多設計圖形、表格來表達題目內 容。

擬題活動介紹

機率裸測

擂台賽題庫 第一版本(V1)

第二版本(V2)

第三版本(V3) 學生建議(第一次)

學生建議(第二次)

專家指導(第一次)

專家指導(第二次)

機率擂台賽

23

二. 機率裸測

在擬題活動的前，本研究設計了一份機率測驗題目作為裸測使用。裸測 目的並非測試學生的機率能力，而是期望能從中分析，這些未接受過正式機 率教育的學生，從生活經驗產生的自發性機率知識 (許哲毓，陳斐卿、單維 彰，修訂中)。本研究選擇裸測作為學生於活動中，起始能力之判定，以切 合研究目的擬題進展之要件。因此，將會藉由裸測的分數進行高中低分組，

從中分析擬題題目之特徵為何？

三. 擬題版本(V1、V2 及 V3)

本活動的擬題出題單如下圖 X－OO 國中擬題達人。在第一次版本(V1)，

研究者先讓學生約有二十分鐘可以先行思考並試著擬題，之後再開放時間讓 學生自由地去找同儕尋求協助出題，並要求協助者所給予的建議指示記錄下 來，並且鼓勵學生將自己的題目寫出解答與列出解題過程。為了刺激學生對 生活周遭或情境的連結，研究者鼓勵學生攜帶助於數學思考之物品，作為擬 題的輔助，如課本、作品或其他文化物品等。而之後的第二(V2)與第三版本 (V3)裡，學生可根據前幾次版本學生之建議活動，加以促成或修改新版本的 題目內容，呈現題目更完整性的樣貌。

24

圖 2 OO 國中擬題達人

25

四. 專家指導

研究者為期望學生的思維能走在正確的方向上，因此專家的計入有其必 要性，分別為研究者指導教授及田野學校 A、B 班兩位導師，兩位皆為數學 科教師。其中兩次專家指導的介入時間分別在對第一版本 (V1) 及第二版本 (V2) 的修改前。在對第一版本的修改前，專家提供機率概念的指導課程與 學習單，參考附錄一單維彰老師主編---機率擬題學習單 20151021。由研究 者指導教授主講，針對機率的數學性質、機率概念類型做講解，並列出在第 一次版本中與上述具相關、類似的學生題目，供為學生參考與修改。在對第 二次版本的修改前，由兩班級的導師進行指導，以課堂方式呈現，其主要授 課內容以回憶前次擬題活動與例子為主。因此，除了第一版本是未經任何教 學或提示下所擬出的題目外，其餘兩版皆有經歷概念的指導或同儕的交流。

最後而為確保學生的心思在擬題活動裡，在每一次活動中皆提醒學生，

這些擬出來的題目，將列入機率擂台賽之題目，並展示於全校作為全九年級 機率擂臺賽之考題。

五. 學生建議

在擬題活動設計上，學生有兩次版本的修改，同時也有兩次同儕的建議。

在建議的設計上，活動將兩個班級擬出的題目卷進行兩班互換，如 A 班學 生所擬之題目交由 B 班學生進行建議活動，B 班題目則交由 A 班。兩班級 的學生可根據另一班出題者所擬的題目內容與解答過程給與建議，例如題目 敘述的合理性、條件與性質的完整性等。而為提升建議的品質性，研究者鼓 勵學生勇於說出自己對題目的想法及有何不同之處，以及不拘任何形式的書 寫，以讓學生感到安心思考於其中。

26

六. 機率擂台賽

本研究將學生擬題的第三版本作為擂台賽題庫之素材，並於機率擂台賽 當日展示於全九年級的學生。擂台賽活動時程選定九年級下學期的期末且會 考之後至田野學校舉辦，流程時間共 3 小時。除了鼓勵擬題者在這半學期的 用心與努力外，希望能將這份成果分享於全九年級的學生，一同挑戰擬題的 學習活動。題庫裡的題目將依照難易度由易至難分類為擬題區、新手區及高 手區，學生可以個人或小組方式進行題目的解答。活動結束後的隔一個禮拜，

研究者將依照參賽者答題最多、答對最多...等，及擬題者被選取最多次作答 的人氣獎，共 8 個獎項回到學校進行頒獎。

第三節 研究工具

本研究擬題內容之分析，修改沿自陳斐卿等人研究團隊開發的擬題評量規準 (江家瑋，2014；陳斐卿等人，2015)。除了可解性、可讀性與生活性繼續沿用，

在精緻性方面，為更能夠完全呈現機率在數學上的性質樣貌，在條件設計上做出 事件、試驗與樣本空間的評定，期望在敘述上有完整的陳述。另一方面，數學概 念層次將發展成機率概念層次，本規準機率概念類型採用 Shaughnessy (1992) 所 彙整之觀點，以及 Jones 等人 (1999) 所提出之架構，作為主要依據與基礎，再 依課綱之順序安排，調整以符合台灣機率課程之特徵，共彙整出沒有機率、主觀 機率、客觀機率、複合事件、獨立事件、條件機率、期望值七種評分依據。然而 本研究為了探究學生的機率思維及評分方便，將前三者機率類型與後四者概念層 次，合併成一個序列為「機率概念層次」，且規定取最高的概念層次為評分依據。

27

一. 機率自由擬題品質評量規準

此評量規準乃基於數學與自由擬題之特質，並且整合機率概念層次，發展沿 用全新的機率評量規準。規準包含了五個向度，其分述如下：

1. 可解性：

主要評量題目是否完結、是否為數學問題、條件與訊息是否充足、是否可解、

題意是否清晰。

2. 可讀性：

用字明確、合理程度。主要評量是否有文字累贅、訊息多餘、漏掉內文連接、

關鍵字詞的情況。以及是否有不合乎常理、邏輯的數字與敘述。

3. 生活性：

題目題材的特殊性及與生活的連結程度。主要評量題目是否具有情境、是否 深入真實生活以及是否新奇、稀罕、跳脫課本形式。

4. 精緻性：

在「精緻性」的部分與江家瑋 (2014) 於國小五年級學童擬題研究比較，國小

「精緻性」的評分依據，多為數學的運算式子上精心設計的程度。然而，本 研究為國中九年級學生的機率擬題，為了能呈現出一道完整的機率題目樣貌，

除了保留國小基本的數學運算外，更增加專為機率題目所構成之要素：條件 上的設計，其中包含樣本空間、事件等描述。所以，如下表 2 中的「精緻性」，

國小與國中兩者的相同之處為保留基本之數學運算，有 1.題目需運算的數字 有經過設計、2. 有陷阱安排的設計、3.概念轉換、4.有運算上的設計、7.利用 圖示或表格輔助題目敘述、8.題目具有至少 2 步驟。相異之處為 5.條件上的設 計(事件、試驗設計等…)、6.樣本空間中有限集合的呈現。

5. 機率概念層次：

題目的數學概念之機率概念層次。主要評量題目所涉及的機率概念程度及對 機率的解釋。

28

(1) 沒有機率

(2) 主觀機率 (subjective probability)：主觀機率是指一個事件發生的機率是由 人的生活經驗、心理狀態或相信程度所決定的。Ex:某運動選手在比賽前 自我評估的勝算。

(3) 客觀機率(單一事件的古典機率或頻率機率)

i. 古典機率 (classical probability)：假設樣本空間 S 中的每一個樣本出現 機會均等，則

事件 A 在樣本空間 S 中的機率 P(A) = ^n(A)

n(S)，其中 n(A)為事件 A 的樣 本個數，n(S)為事件 S 的樣本個數。Ex：投擲一骰子兩次，出現點數 和為 3 的機率為何？

ii. 頻率機率 (frequentist probability)：由觀察重複試驗之相對次數而來，

根據實驗設計之觀察結果來決定事件發生的可能大小，所以也被稱為 實驗機率。

(4) 機率推論：

i. 複合事件：交集、聯集(互斥)、餘事件

ii. 獨立事件 (independent events)：說明兩事件的獨立性，在直覺上為指 一個試驗中的一個事件發生，不會影響到另一個事件發生的結果。

而對機率的定義如下：

「兩個事件 A 和 B 是獨立的，則若且唯若 P(A∩B) = P(A) P(B)」

iii. 條件機率 (conditional probability)：即事件 A 在另外一個事件 B 已經 發生條件下發生的機率。條件機率表示為 P(A｜B)，讀作「在 B 條 件下 A 發生的機率」。

(5) 期望值 (expected value)：對一個隨機試驗，將其可能發生的(數值)結果乘 上其對應機率的總和。

29

表 2 機率自由擬題品質評分規準表

修改自「數學自由擬題品質評分規準表」(江家瑋，2014；陳斐卿等人，2015)

向度 評分依據 評分規準

配分 規準

可解性 (可解性)

題目是否完結、是否為數學問題。

條件與訊息是否充足、是否可解。

題意是否清晰、前後文有無矛盾。

6 分 是明確可解的數學問題。

4 分 題目完結。條件皆充足，

但是因題意不清楚，或前 後文矛盾導致每個人對 題目可能有不同的理解 而有多種可能的答案。

2 分 題目大致完結。但條件有 所遺漏，導致無法求解。

0 分 題目未完結、沒有擬出題 目、非數學問題因而無法 求解。

用字明確、

合理程度 (可讀性)

1. 沒有文字累贅、訊息多餘的情形。

2. 沒有漏掉內文關鍵字、詞的情況。

3. 沒有不合乎常理、邏輯的數字與敘述。

6 分 三項皆符合。

4 分 三項中有其中兩項符合。

2 分 三項中有其中一項符合。

0 分 三項皆不符合。

題目題材的 特殊性及與 生活之連結 程度 (生活性)

1. 題目是否具有情境或故事性。

2. 題目是否貼近真實生活。

3. 題目是否新奇或具稀罕性。

6 分 三項皆符合。

4 分 三項中有其中兩項符合。

2 分 三項中有其中一項符合。

0 分 三項皆不符合。

題目的精心 設計程度 (精緻性)

1. 題目需運算的數字有經過設計。

2. 有陷阱安排的設計，例如敘述中有 具備陷阱性質的多餘條件

3. 概念轉換，例如勝率與失敗率 4. 有運算上的設計，例如：

①不需運算的數學題目。

②含加、減、乘、除中，兩項以上(含) 兩項的運算。

5. 條件上的設計：

①清楚地描述母體與事件的發生。

(例：母體的數字、資訊、線索) ②事件的設計，含兩次以上。

③試驗的設計，含兩次以上。

6. 樣本空間中有限集合的呈現，例如 試圖將牽涉到的連續量，以有限量方式 呈現，如分割時間量。

7. 利用圖示或表格輔助題目敘述。

8. 題目具有至少 2 步驟。

6 分 八項中有三項以上符合。

4 分 2 分

八項中有其中二項符合。

八項中有其中一項符合。

0 分 八項皆不符合。

題目的數學 概念之機率 概念層次 (機率概念 層次)

題目中使用到的機率概念。

1. 沒有機率 2. 主觀機率

3. 客觀機率(單一事件的古典機率或 頻率機率)

4. 機率推論

i. 複合事件：交集、聯集(互斥)、

餘事件。

ii. 獨立事件 iii. 條件機率 5. 期望值

6 分 5 分

期望值

機率推論：條件機率 4 分 機率推論：獨立事件 3 分 機率推論：複合事件 2 分 客觀機率（單一事件的古

典機率或頻率機率) 1 分 主觀機率

0 分 沒有機率

取最高的概念層次作為評分。

30

第四節 擬題題目範例解說

以下舉一例說明品質規準的評分方式：

圖 3 擬題單 A-27-V3

「可解性」部分，研究者先確認提問是否可形成機率問題後，再回頭檢查條 件與訊息是否充足。我們可以看到出題者對爸爸、媽媽及小明三者的準時與賴床 之數字設定上，確切且合理的。而值得注意的是出題者使用了「平均」一詞，更 帶出數據資料的真實性參考。接著，「全家共三人，只要賴床就不算是準時出門」

及「每個禮拜它們的賴床和準時次數都一樣」兩者訊息是構成古典機率問題，機 會均等原理的必要條件之特徵。因此這是一道明確可解的機率問題，故而得到 6 分。

接下來，為了談「精緻性」與「機率概念層次」的評量使用方式，研究者必 須透過解題方式，從過程中來幫助思考與評定。因此要解出此題，我們可考慮兩 個步驟，第一步驟，先考慮母體樣本空間為「平均一星期七天」，再來假設爸爸、

31

媽媽、和小明準時出門為事件發生的可能，因此透過古典機率的定義可得到爸爸、

媽媽及小明準時出門的機率分別為 ⁴

7 、 ⁵

7 與 ³

7。第二步驟，針對題問「全家一 起準時出門的機率」為 ⁴

7 × ⁵

7 × ³

7 = ⁶⁰

343。

從「機率概念層次」的部分，研究者以「題目敘述」與「解題歷程」兩種方 式做為考量。首先，在這裡的「解題歷程」並非指學生的解題過程，而是研究者 親自下去解答的過程。因此，我們能發現此題出現了二種機率層次在裏頭，分別 為 1.客觀機率－古典機率、2.機率推論－獨立事件。再來從「題目敘述」來考慮，

能發現在內容敘述上，獨立性的概念較為凸顯。譬如學生對爸爸、媽媽及小明三 位準時出門天數的設定。所以最後綜合兩者的觀點考量，研究者選擇機率推論－

獨立事件作為分數評量，故得到 4 分。

在「精緻性」的部分，研究者對本題給予滿分 6 分，其中包含的評分依據為

「5.條件上的設計」、「6.樣本空間中有限集合的呈現」及「8.題目具至少兩步驟」

三者，其餘五種皆為我們刪去，而詳細說明如下：

1. 題目需運算的數字有經過有意義的設計

何謂對數字有意義的設計？研究者期望學生在經歷過國小至國中階段 後，對數字的洗禮有更多的覺察。而不再是數字大為難的既定印象，是需要 更多的巧思在數字裡頭。譬如說能否對外部文化做連結，數字前後是否有達 巧妙地呼應等。因此本題對此以一星期有七天來說為基本概念，但並無巧妙 之處，所以無法得到依據上的判定。

2. 有陷阱安排的設計

題目直述的方式，簡潔又清楚，並無看見學生有設計多於條件的訊息來 混淆讀者，因此無法得到依據上的判定。

32

3. 概念轉換

「概念轉換」主要以學生是否能將其想法延伸至其他的數學概念，甚至是相 關的經驗。藉以來沿用或轉換至自己的訊息條件設計，譬如說小學階段所談 的邊長與周長，再至對機率能說的勝率與失敗率。所以根據題目敘述的結果，

此題無法得到依據上的判定。

4. 運算上的設計

根據解題歷程，明確可知在運算上沒有繁雜的數字計算、操作執行。因 此本題無法得到依據上的判定。

5. 條件上的設計

我們透過解題歷程的想法，可輕易看出滿足依據中的細項「①清楚地描 述母體與事件的發生」及「②事件的設計，含兩次以上。」兩者對條件上的 設計，所以已符合依據上的判定。

6. 樣本空間中有限集合的呈現

我們已知時間是具有連續性的，因此學生在內容敘述「平均一星期…」

中，使用「平均」一詞，除了能凸顯生活的真實性外，也能說明正在對以時 間為樣本空間的集合做出一星期的分割。因此根據上述，本題已符合此項依 據上的判定。

7. 利用圖示或表格輔助題目敘述

明顯可知本題並無利用圖示或表格方式，作為題目敘述的輔助，因此本 題無法得到依據上的判定。

8. 題目具有至少 2 步驟

根據我們在「解題歷程」中所考慮的兩個步驟，說明古典機率與獨立事 件的想法要轉換至運算的同時，可分門考量為兩個程序正在執行。因此根據 這樣的想法，本題已符合此項依據上的判定。

33

第四「可讀性」部分，本題的敘述內容，前後並無不合理之處，因此得到依 據上的 6 分。

而為比較可讀性之間的差異，研究者再舉同一位學生於第一版本(V1)時的擬 題單比較，如下圖 3-1：

圖 3-1 擬題單 A-27-V1

相較之下，可看出在內容書寫上就較為生疏簡陋，以及條件訊息設想得並不 周到。第一版本的另一問題為題末「但是還不知道什麼時候出國」與一開始所說 的「要在上午 9：00 登機」形成了不合理或矛盾的現象。因此無法實得可讀性依 據上的第 3 點「沒有不合乎常理、邏輯的數字與敘述。」因此本題皆滿足可讀性 依據上的二項要點，所以得 4 分。

最後，「生活性」部分，研究者考量賴床與準時貼近平時日常生活上的情境 之一，再加上以一家三口的賴床情況，以及詢問全家準時出門之機率形成強烈的

34

對比，頗為新奇且有趣。因此本題皆滿足生活性依據上的三項要點「題目是否具 有情境或故事性」、「題目是否貼近真實生活」與「題目是否新奇或具稀罕性」，

所以得分 6 分。

35

第五節 資料收集

一. 機率裸測題目卷

首先，本研究活動實施的機率裸測，其實施時間為擬題活動前一周(九 月中)，且 A、B 兩班共全員皆參與測驗，共回收 62 份試卷。測驗裸測題目 皆來自近年基測、會考或課本例題，所以試題品質受到國家考試驗證，或經 由教科書審查通過。若題目類型以大考中選出，則以國中機率中頻率機率與 古典機率為主，但若從課本選出，則包含主觀機率與獨立性概念。測驗題目 共計 15 題，前 4 題為是非題，後 11 題為計算題，每題 1 分，滿分為 15 分，

測驗時間為 45 分鐘，而計算題須寫出計算過程

二. 擬題出題單

本研究活動設計之擬題出題單，皆在三次版本裡作利用，在內容上包含 所攜帶物品、協助出題者簽名與建議、擬題內容與詳細解答過程，參考圖 2

－OO 國中擬題達人。本活動的擬題出題單回收份數如下，第一版本 59 份，

第二版本 60 份，第三版本 61 份，共計回收 180 份。

三. 擂台賽答題單

研究活動以學生擬題的第三版本，作為擂臺賽題庫資料，而題庫再以評 量規準裡的向度「機率概念層次」做出五大分類，其依序為 1.沒有機率、2.

主觀機率、3.客觀機率、4.機率推論及 5.期望值。其中，本次機率擂臺賽活 動共計回收 1528 份學生答題單。擂台賽答題單的設計如下圖 4－2016 OO 機率擂台賽(以 A-06-V3 為例)，其內容包含出題者班級、題目內容、分數與 解答過程。

36

圖 4 2016 OO 機率擂台賽(以 A-06-V3 為例)

然而，在機率擂臺賽的活動中，為方便活動流程的進行，我們將題庫資