臺中區國立高中103學年度第一次學測聯合模擬考

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臺中區國立高中

103 學年度第一次學測聯合模擬考

第壹部分：選擇題（佔60 分）一、單選題（佔30 分） 1. 下列哪個方程式恰有一實數解？ (1) ₂x 2 x  (2) 2x _log₂_x₍₃₎ ₄x _{ (4)}_x4 ₂x ₂ x  (5) 1 2 1 log 2 x x        2. 某生物實驗室對一個地區進行果蠅繁殖的生態調查，他們對該地區的果蠅密度用一種數列 dn 來呈現，其中d 代表第 n 週後調查所得到的密度。生物學家發現該地區果蠅密度_n d 符合以下規_n 則： 1 1 1 1 1 1 , 0 2 2 1 2 2 , 1 2 n n n n n d d d d d      _ _ _         。如果該地區第一週後的果蠅密度 ₁ 1 10 d  ，則52 週後(一年後)的密度值為： (1) 1 5 (2) 2 5 (3) 3 5 (4) 4 5 (5) 7 10 3. 在 xy 平面上，若二直線L x: 3 4y23和 : 12 1 3 x t M y at        (t 為實數)交角之正弦值為 4 5，則a？ (1) 7 2  (2) 3 (3) 3 (4) 7 2 (5) 5 2 4. 在 xy 平面上，設直線L: 4x3y  與圓5 0 _{C x}_: 2__y2_₂_tx_₆_y__{10 0}_{ 相切，} 則t 值在下列哪一個區間範圍內？ (1)



 4, 3



(2)



 2, 1



(3)

 

0,1 (4)

 

2,3 (5)

 

4,5 5. 下列哪一個選項無法找到實數 a，使得選項中所有的數都滿足五次不等式



₁₀₃_x_₂₀₁₄





_{  }_x2 _x ₁



__x2_



_a_₃



_x_₃_a__₀   (1) 103, 2014 (2) 10, 20, 40, 80, 160 (3) 1, 11, 21, 31, 41 (4) 0, 20, 40, 60, 80, 100, …… (5)       , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 , 6. 設



1 2



7  a b 2，其中a、b 為整數，請問_a2_₂_b2_{等於下列哪一個選項？} (1) –1 (2) 0 (3) 1 (4) 2 (5) 3

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二、多選題（佔30 分）

7. 已知 p、q、n 為正整數，且方程式_x3__px2__qx_₂n _{ 有一虛根為1}₀ _ _{15 i}_{，則下列哪些選項是}

正確的？

(1) 1 15 i必為該方程式之一根 (2) 此方程式必有一正實根 (3) p 2 (4) p q 10 (5) n 為質數

8. 若正實數 x、y 滿足log₃x1.7，log₃ y5.1，則下列哪些選項是正確的？

(1) _{x 為 9 位數 (2)}10 _{x 個位數字為 9 (3)}10



3



3 log x 2y 6.1 (4) _x3_₂_y_{的最高位數字為}_{9 (5)} _x10__y3_為_{9 位數} 9. 已知 a、b、c 為相異三實數，且

                

1 a 1 b 1 c f x x b x c x c x a x a x b a b a c b c b a c a c b                   ，則下列哪些選項是正確的？ (1) y f x

 

有最小值 (2) y f x

 

有最大值 (3)



0.9

 

1.1







0.5 1.1 0.9 log 5 f  f  f (4) 10

  



1 1 330 k f k f k   



(5) 對於任何一組數對



a b c, ,



必可找到唯一一組實數對



A B C, ,



，使得 f x

 

A x a x b







 



B x b



 



C 10. 已知大雄和靜香兩人同班，且知班上有男生 20 人，女生 10 人，今使用簡單隨機抽樣，選出3 人出公差，則下列哪些選項是正確的？ (1) 已知選出的 3 人中有男有女，則大雄被抽中的機率大於靜香被抽中的機率 (2) 已知選出的三人同性別，則大雄被抽中的機率大於靜香被抽中的機率 (3) 抽樣的做法中，不管一次抽取 3 人或每次抽取一人逐次抽取，大雄和靜香兩人同時被抽中的機率相等 (4) 大雄和靜香兩人同時被抽中的機率大於 1 100 (5) 在大雄被抽中的條件下，靜香也被抽中的機率大於 1 10 11. 矩形 OABC，其中O

 

0,0 ，A

 

2,1 ，B 在 y 軸的正向，設P x y



,



為矩形邊上的動點，則下列哪些選項是正確的？ (1) B 點坐標為

 

0,5 (2) OC2OA (3) 3x2y在A 點產生最大值 (4) 1 y x 在B 點產生最大值 (5) 滿足 2 2 x y 為正整數值的點P x y



,



共有9 個

(3)

12. 甲、乙、丙、丁四人為參加高三第一次模擬考，週末在家溫書，下面列出他們四人週末在家各科的溫書時間(小時)和成績(分)結果，甲社會國文自然英文數學溫書時間 2 4 5 3 1 成績 100 70 80 60 50 乙社會國文自然英文數學溫書時間 2 3 3.5 2.5 1.5 成績 90 60 70 50 40 丙社會國文自然英文數學溫書時間 1 3 4 2 0 成績 80 56 64 48 40 丁社會國文自然英文數學溫書時間 5 0 3 1 2 成績 90 40 70 50 60 如表所示。則下列哪些選項是正確的？ (1) 四人成績標準差σ_甲、σ_乙、σ_丙、σ_丁的大小關係為：σ_甲＞σ_乙＝σ_丁＞σ_丙 (2) 四人的成績與溫書時間均為正相關 (3) 甲乙丙三人的成績與溫書時間之相關係數全相等 (4) 丁的成績與溫書時間之相關係數為 1 (5) 甲乙丙三人成績對溫書時間的迴歸直線中最陡者為乙第貳部分：選填題（佔40 分） A. 若實係數二次函數

 

2 f x x ax b 在  3 x 5的範圍內，存在兩個相異的x 值使f x

 

有相同最大值3，則數對

 

a b, __________。 B. 紅綠建設公司在臺中打算建造 10 層樓高的總部大樓，為了突顯公司的特色，決定每層樓只能用紅色或綠色的油漆來粉刷，每層樓只用一個顏色，而且不能有連續兩層是紅色的，則他們有 _______種可能的粉刷方式。 C. 衛生單位長期針對甲、乙、丙三家食品工廠檢測是否含 A、B 兩種毒素，發現任何一家檢測出任一種毒素的機率皆為1 2，且甲、乙、丙三家食品對於檢測結果互不影響，若檢測出至少含一種毒素的工廠就算不合格。在某次檢測中，已知這三家工廠皆不合格，則恰兩家工廠皆驗出兩種毒素的機率為_________。

(4)

D. 小胖、小美、小恩、小賢四人暑假去參加臺東熱氣球嘉年華活動，小胖、小美、小恩於鹿野高臺 (視為一水平地面)相異三處，同時以仰角60看到小賢搭熱氣球在空中向其他三人招手(不計三人身高)，若當時三人彼此之距離為 90 公尺、150 公尺、210 公尺，試問此時小賢所搭熱氣球離鹿野高臺場地之高度為________公尺。 E. 已知ABC中，BC2，點D 在AC上且AD 、1 CD2。若BDC 2 A，則sin A____。 F. ABC內部有一點P，使得2

  

PA PB PC  0，若PB5、PC7、PA ，則4 ABC之面積為 _________。 G. 設 x、y 為正數且9x4y100，則 xy x y 的最大值為_____。 H. 維維分別在甲、乙兩家銀行各存 10 萬元。已知甲銀行年利率 13.4%，乙銀行年利率 5%，若每年複利計算一次，則最快_____＿＿年後(取整數年)由甲銀行得到的本利和至少為從乙銀行得到本利和的2 倍。

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103 學年度第一次學測聯合模擬考參考解答

第壹部分：選擇題（佔60 分） 1. 5 2. 2 3. 4 4. 5 5. 3 6. 1 7. 134 8. 135 9. 245 10. 23 11. 125 12. 2345 第貳部分：選填題（佔40 分） A.



 2, 12



B. 144 C. 2 9 D. 210 E. 6 4 F. 20 3 G. 4 H. 10 如有題目或答案打字錯誤，或後續更正，歡迎email 至 weiye@pure.pro (瑋岳)提醒修改。感謝。

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