高等应用数学（工科、经管类）（下册） - 万水书苑-出版资源网

(1)

第 8 章无穷级数

级数是研究函数和进行数值计算的工具，它是高等数学的一个重要组成部分．本章先介绍级数的概念与性质，然后讨论数项级数以及函数项级数中的幂级数和傅立叶级数．本章将提供给我们的是一种“函数逼近”的思想方法．

本章学习目标

z 了解级数收敛、发散的概念，级数收敛的必要条件与级数的基本性质． z 知道几何级数、调和级数、p–级数的敛散性． z 掌握正项级数的比较、比值、根值判别法． z 掌握交错级数的莱布尼兹判别法及绝对收敛与条件收敛的判别法． z 了解幂级数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域的求法． z 了解幂级数在其收敛区间的基本性质，会求和函数． z 会应用公式（间接法）求简单初等函数的幂级数． z 了解三角函数的正交性，会求傅立叶级数的系数．

§

8.1 常数项级数

一、无穷级数的概念设已给无穷数列u u₁, , , ,₂ un ，则式子 1 2 n u +u + +u + （8.1.1）称为无穷级数（简称级数），简记为 1 n n u ∞ =

∑

．其中，第 n 项u 称为级数的一般项．n 注意：式（8.1.1）仅仅是一种形式上的相加，可看做“无限项之和”，式（8.1.1）的末尾“+ ”不要漏掉，漏掉就变成有限项之和，就不是级数了．这种“无限项之和”的式子与有限项之和的式子的一些性质是不相同的，比如在“和”这个问题上就不相同，那么式（8.1.1）的“和”的确切意义又是什么呢？ 为此，我们引入级数前 n 项的和Sn= +u1 u2+ +un，称为前 n 项部分和，所有部分和 S1,S2,…,Sn,…构成一个数列{ }Sn 称为级数的部分和数列．定义 8.1.1 如果当 n → ∞ 时，部分和数列{ }Sn 的极限存在，即有 lim n n→∞S = （S 是有限常数） S 则称级数（8.1.1）收敛，并称 S 是它的和，并记为

(2)

1 2 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

如果当 n→ ∞ 时，部分和数列{ }Sn 没有极限，则称级数（8.1.1）发散或它没有和．注：由定义 8.1.1 可以看出“无限项之和”的式子不是都有“和”，而有限项之和的式子无论多少项，只要是有限项，它都有“和”，这就是有限项和与无限项和的根本区别．级数 1 n n u ∞ =

∑

是否有“和”是由它的部分和数列{ }Sn 是否有极限来决定的． 当级数收敛时，其和 S 与部分和 Sn的差R_n=S−S_n=u_n₊₁+u_n₊₂+u_n₊₃+… 称为级数的余项．它也是一个级数．注：级数只有收敛时才有和，记作 1 n n u ∞ =

∑

．一方面表示级数，另一方面当级数收敛时，也可表示其和. 用 Sn作为 S 的近似值所产生的误差就是余项的绝对值|Rn| |= −S Sn|．一般说来，n 越大， 所产生的误差越小. 例 8.1.1 无穷级数 1 2 1 0 n n n aq a aq aq aq ∞ − − = = + + + + +

∑

，称为几何级数（或等比级数），其中a≠ ， q 称为等比级数的公比，试讨论等比级数的收敛性. 0 解（1）设 q ≠1，由于 2 1 1 1 1 n n n n a aq a aq S a aq aq aq q q q − − = + + + + = = − − − − 如果q <1，则 lim 1 n n a S q →∞ = − 所以，当 q <1时，几何级数收敛 1 1 n n aq ∞ − =

∑

，其和为 1 a S q = − （即 1−公比q）如果q >1，则lim _n n→∞S = ∞ 所以，当 q > 时，几何级数1 1 1 n n aq ∞ − =

∑

发散．（2）如果q=1，则级数成为a+ + + +a a 由于S_n=na，则 lim _n n→∞S = ∞ 所以它发散．（3）如果q= −1，则级数成为 a− + − + + − +a a a a a 当 n 为偶数时，Sn= ；当 n 为奇数时，0 Sn= ． a 从而当 n→ ∞ 时，部分和数列{ }Sn 没有极限．所以它发散．综合上面的讨论得到：几何级数 1 1 n n aq ∞ − =

∑

(a≠ ) 0 首项

(3)

（1）当时 q <1收敛，其和为 1 a S q = − ．（2）当时 q ≥1发散．例 8.1.2 判定级数 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 2 3 3 4 ( 1) n n n n n ∞ = = + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

∑

的敛散性．分析观察该级数的通项u ，有_n 1 1 1 ( 1) 1 n u n n n n = = − + + 若a_n 1 n = ，就有u_n =a_n−a_n+₁ 这样通项u 就分裂成某个数列{ }_n an 前后两项之差，这就便于求出积分和S ．n 因为若u_n=a_n−a_n+₁，则 1 2 1 1 2 2 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n S u u u u a a a a a a a a = + + = = + + = − + − + + − = −

∑

并且数列{ }Sn 与{ }an 的收敛性相同. 这种方法在求某些级数的部分和时经常用到，简称为“裂项求和法”．解由于 1 1 1 ( 1) 1 n u n n n n = = − + + (n=1, 2, ) 得 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 1 n S n n n n n = + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −_⎜ _{⎟ ⎜}+ − _⎟+ +_⎜ − _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − + 因此lim lim 1 1 1 1 n n→∞S n→∞ _n ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟= + ⎝ ⎠ 所以级数收敛，其和为1，即 1 1 1 ( 1) n n n ∞ = = +

∑

．例 8.1.3 判定级数 1 1 2 3 4 1 ln ln ln ln ln 1 2 3 n n n n n ∞ = + + = + + + + +

∑

的敛散性．解由于 n ln 1 ln( 1) ln n u n n n + = = + − (n=1, 2,3 ) 从而 1 1 [ln( 1) ln ] (ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) [ln( 1) ln ] ln( 1) n n n n k n S u k k n n n − − = = + − = − − − + + + − = +

∑

(4)

因此 lim n lim ln( 1) n→∞S =n→∞ n+ = +∞ 所以级数发散．二、无穷级数的基本性质 一般说来，级数的前 n 项部分和的通式是难以写出的，因此，根据定义判断级数的收敛 性以及求收敛级数的和是困难的．而判定一个级数的收敛或发散，显然是级数中的一个重要问题．为了更深入地研究级数收敛性的判别问题，我们先介绍级数的基本性质．性质 8.1.1 如果级数 1 2 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

与级数 ₁ ₂ 1 n n v v v ∞ = = +

∑

+ + + 都收敛，vn 它们的和分别为 S 和 W，则级数 1 1 2 2 1 ( n n) ( ) ( ) ( n n) n u v u v u v u v ∞ = ± = ± + ± + + ± +

∑

也收敛，且其和为 S W± ．性质 8.1.2 如果级数 1 2 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

收敛，且其和为 S．则它的每项都乘以一 个不为零的常数 a 后，所得到的级数 1 2 1 n n n au au au au ∞ = = + + + +

∑

也收敛，且其和为 aS． 性质 8.1.3 在一个级数的前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（但其和可能会变）．性质 8.1.4 如果一个级数收敛，任意加括号后所成的新级数也收敛，且与原级数有相同的和．我们由性质8.1.4 容易知：如果加括号后所成的新级数发散，则原级数也必发散，但是，我们一定要注意：加括号后所成的新级数收敛，原级数未必收敛．因为发散级数加括号后有可能收敛．也可以换种说法：收敛级数去括号后未必收敛．例如，发散级数 ( 1)n a− + − + + −a a a a+ 相邻两项加括号，得 (a− +a) (a− + +a) (a− +a) = + + + +0 0 0 是收敛级数，且收敛于0．性质 8.1.5 （级数收敛的必要条件）如果级数 ₁ ₂ 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

收敛，则 lim n 0 x→∞u = ．注意：一般项趋于0 的级数不一定收敛．例如，级数 1 1 ln n n n ∞ = +

∑

，虽然满足条件 1

lim lim ln lim ln 1 ln1 0 1 n n n n n u n n →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ = ₊ = ⎜ + ⎟= = ⎝ ⎠ 但是，由例8.1.3 知，它是发散的级数．

(5)

三、数项级数的判别法 1．正项级数及其收敛性的判别法若级数 ₁ ₂ 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

满足条件u_n≥0(n=1, 2, )，就称为正项级数．显然，正项级数的部分和数列{ }Sn 是单调增加数列，即 1 2 n1 n S ≤S ≤ ≤S₋ ≤S ≤ 由数列的单调有界原理，即若一个数列，它单调增加且有上界（或单调递减且有下界），则该数列收敛（或有极限），知道：如果正项级数的部分和数列{ }Sn 有上界，则它收敛；否则，它发散．因此得到下面的定理．定理 8.1.1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{ }S_n 有上界．由于对正项级数任意加括号后所得的新级数的部分和数列是原级数的部分和数列的子列，故不会改变它的有上界性，因此，对正项级数任意加括号不改变其敛散性．综合上述，正项级数有两个显著的特点：（1）部分和数列{ }S_n 是单调增加数列，即S1≤S2≤ ≤Sn−1≤Sn≤ ．（2）任意加括号不改变其敛散性．根据定理8.1.1，可以建立判定正项级数敛散性常用的比较判别法．定理 8.1.2 （比较判别法）如果两个正项级数 1 2 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

（8.1.2）与 ₁ ₂ 1 n n n v v v v ∞ = = + + + +

∑

（8.1.3）满足关系式u_n≥cv_n（n=1, 2,3, ；c 是大于 0 的常数） 那么（1）当级数（8.1.3）收敛时，级数（8.1.2）也收敛．（2）当级数（8.1.2）发散时，级数（8.1.3）也发散．例 8.1.4 判定调和级数 1 1 1 1 1 1 2 3 n n n ∞ = = + + + + +

∑

的敛散性．解由于正项级数无论加括号或去括号都不影响它的敛散性，所以 1 1 ₁ 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 5 6 7 8 2 n n n ∞ = = + + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜_⎝ + ⎟ ⎜_{⎠ ⎝}+ + ⎟ ⎜+ + + + ⎟+ ⎠ ⎝ ⎠

∑

加括号后，级数的各项均大于级数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 8 8 8 8 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +_⎜ + _{⎟ ⎜}+ + + + _⎟+ + + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 的对应项，而后一个级数是发散的．所以，由比较判别法可知调和级数 1 1 1 1 1 1 2 3 n n n ∞ = = + + + + +

∑

发散．

(6)

例 8.1.5 判定级数 1 1 1 1 1 1 2 3 p p p p n n n ∞ = = + + + + +

∑

的敛散性．解当p ≤1时， 1 1 p _n n ≥ 由例8.1.4 知 1 1 n n ∞ =

∑

发散，所以级数 1 1 p n n ∞ =

∑

发散．当p>1时， 1 1 ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 15 p p p p p p p p p n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = +_⎜ + _{⎟ ⎜}+ + + + _{⎟ ⎜}+ + + _⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

它的各项均不大于级数 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 2 2 4 4 4 4 2 4 8 1 2 4 8 1 1 1 1 2 2 2 p p p p p p p p p p p p− p− p− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +_⎜ + _{⎟ ⎜}+ + + + _{⎟ ⎜}+ + + _⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + +_⎜ _⎟ +_⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 的对应项，而后一级数是几何级数，公比 1₁ 1 2p q= ₋ < ，所以收敛．因此，当p>1时，级数 1 1 p n n ∞ =

∑

收敛．注：级数 1 1 p n n ∞ =

∑

称为p−级数：（1）当p>1时，p−级数收敛．（2）当p≤1时，p−级数发散．请记住p₋级数的敛散性，其中 p 为常数． 例 8.1.6 判定级数 2 1 1 ( 1) n n n ∞ = +

∑

的敛散性．解由于 ₃ 2 2 1 1 ( 2) n n + _n ≤ ，而 3 2 p= 的p−级数 ₃ 1 2 1 n n ∞ =

∑

收敛，故 2 1 1 ( 1) n n n ∞ = +

∑

收敛．定理8.1.2 可按下面方式记忆：设u_n≤v_n，则“大”的收敛，“小”的也必收敛；“小”的发散，“大”的也必发散．应用定理8.1.2 时，要去寻找一个不等式．若要判断级数 1 n n u ∞ =

∑

收敛，必须寻找一个收敛的级数 1 n n v ∞ =

∑

，使有u_n≤v_n；若要判断级数 1 n n u ∞ =

∑

发散，必须寻找一个发散的 1 n n v ∞ =

∑

级数，使有 n n u ≥v ．我们常常寻找几何级数或级数进行比较．有时寻找这种不等式比较困难和繁琐，下面给出在应用上非常方便的比值判别法．定理 8.1.3（比值判别法）如果正项级数 ₁ ₂ 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

un>0,n=1, 2,3 ，满

(7)

足条件_lim n1 n n u l u + →∞ = ，则（1）当l<1时，级数 1 n n u ∞ =

∑

收敛．（2）当l> 时，级数1 1 n n u ∞ =

∑

发散．（3）当l=1时，此判别法失效．例 8.1.7 判定级数 1 ( 0) ∞ = >

∑

n n x x n 的敛散性. 解 1 1 1

lim lim lim

1 n n n n n n n x u _x n x x u x n n + + →∞ →∞ →∞ + = = = + 所以，级数当 0< < 时收敛，当时x 1 x> 时发散，当1 x= 时，级数变为调和级数，是发散1 的．综合上述得：级数当 0< < 时收敛，当x 1 x ≥ 时发散．1 例 8.1.8 判定级数 1 ! n n n n ∞ =

∑

的敛散性．解 1 ( 1)! 1 1 ( 1) 1

lim lim lim lim 1

! ( 1) 1 e 1 n n n n n n n n n n n u n n n n u n n _n + →∞ →∞ →∞ →∞ + + + = = = = < + _⎛ _⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 所以级数 1 ! n n n n ∞ =

∑

收敛． 最后，我们介绍一下对含有 n 次方的式子用的根式判别法． 定理 8.1.4（根式判别法）设 1 n n u ∞ =

∑

为正项级数，且 limn n n→∞ u = ，则 l （1）当l< 时，级数1 1 n n u ∞ =

∑

收敛．（2）当l> 时，级数1 1 n n u ∞ =

∑

发散．（3）当l= 时，此判别法失效． 1 例 8.1.9 判断下列级数的敛散性．（1） 1 n n a n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(a>0)；（2） 1 2 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠

∑

．解（1）由于 1 lim 0 n n n a a n n ∞ →∞ = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

，故 1 n n a n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(a>0)收敛．（2）由于 1 1 lim 1 2 1 2 2 1 n n n n n n n ∞ →∞ = ⎛ _{⎞ =} _{= <} ⎜ ₊ ⎟ ₊ ⎝ ⎠

∑

，故 1 2 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠

∑

收敛．

(8)

比值判别法与根值判别法都为我们提供了较简便的方法，但要注意它们仅适用于正项级 数．一般说来，级数通项中含有 n 次方的表达式往往采用根式判别法；而含有 n 阶乘的表达式 往往采用比值判别法． 2．交错级数及其收敛性判别法正负项相间的级数，称为交错级数．它可以用下面的形式给出 ( ) 1 1 2 3 4 2 1 2 1 1n n k k n u u u u u u u ∞ − − = = − + − + + − + −

∑

（8.1.4）其中u_n>0 (n=1, 2, ) 关于交错级数收敛性的判定，有下面的定理．定理 8.1.5（莱布尼兹判别法）如果交错级数（8.1.4）满足下列条件：（1）u_n≥u_n₊₁(n=1, 2, )，即数列{ }un 单调递减；（2）lim n 0 n→∞u = ，则交错级数（8.1.4）收敛，其和S≤u₁. 注：莱布尼兹定理的两个条件概括起来就是：{ }un 单调递减趋于0，满足莱布尼兹判别法的两个条件的交错级数也称为莱布尼兹型交错级数，它是收敛的级数．例 8.1.10 试判断交错级数 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 2 3 4 n n n n n ∞ − − = = − + + + + − + −

∑

的敛散性．解显然满足条件1 1 1 1 1 2 3 n n 1 > > > > > + 及 1 lim 0 n→∞_n= ，所以 ( ) 1 1 1 1n n n ∞ − = −

∑

收敛． 3．任意项级数及其判别法如果级数各项u_n可以取任意数，则称该级数为任意项级数．由任意项级数的各项绝对值组成的级数 ₁ ₂ 1 | n| | | | | | n| n u u u u ∞ = = + + + +

∑

为原级数的绝对值级数，显然，正项级数的绝对值级数是本身．绝对值级数和原级数的收敛性有如下关系：定理 8.1.6 如果绝对值级数 ₁ ₂ 1 | n| | | | | | n| n u u u u ∞ = = + + + +

∑

收敛，则原级数 1 2 1 n n n u u u u ∞ = = + + + +

∑

也收敛．如果级数的绝对值级数收敛，则称此级数绝对收敛；如果级数收敛，而它的绝对值级数发散，则称此级数条件收敛．例如，级数 1 1 1 ( 1)n n n ∞ − = −

∑

收敛，而它的绝对值级数 1 1 1 1 1 ( 1)n n n n n ∞ ∞ − = = = −

∑

发散，因此级数 1 1 1 ( 1)n n n ∞ − = −

∑

条件收敛．显然，级数 1 1 1 ( 1)n n n q ∞ − − = −

∑

(0< <q 1)绝对收敛. 由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，因此，一切判别正项级数敛散性的判别法都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.

(9)

例 8.1.11 讨论级数 1 1 ( 1) − ∞ = −

∑

n s n n 的收敛性（包括什么时候绝对收敛、条件收敛）．解记 _n = 1 s u n ，则 1 1 1 ( 1) − 1 ∞ ∞ = = − ₌

∑

n

∑

s s n n n n 当s>1时，级数 _n = 1 s u n 收敛，从而级数 1 1 ( 1)− ∞ = −

∑

n s n n 绝对收敛； 0<s≤1时，级数u_n= 1_s n 发散，从而 1 1 ( 1) − ∞ = −

∑

sn n n 级数非绝对收敛，但这时有 _n = 1 s u n 单调减少，且 1 lim lim 0 →∞ n = →∞ s = n u n _n ，故由莱布尼兹定理知 1 1 ( 1)− ∞ = −

∑

n s n n 收敛，从而 1 1 ( 1) ∞ − = −

∑

sn n n 条件收敛．综合上述得，s>1时， 1 1 ( 1) ∞ − = −

∑

sn n n 绝对收敛； 0< ≤ 时，s 1 1 1 ( 1) ∞ − = −

∑

sn n n 条件收敛．

习题

8.1

1．若lim _n 0 n→∞a = ，则级数 1 n n a ∞ =

∑

（）． A．一定收敛 B．一定发散 C．可能收敛，也可能发散 D．前项都不是 2．若级数 1 n n a ∞ =

∑

收敛，s_n是此级数的前 n 项部分和，则必有（）． A． 1 n n a ∞ =

∑

=lim _n n→∞a B．nlim→∞sn =0 C．s_n有极限 D．s_n是单调的 3．若（）成立，则级数 1 n n a ∞ =

∑

发散，其中s_n是此级数的前 n 项部分和． A．lim _n 0 n→∞s ≠ B．an是单调上升 C．lim _n 0 n→∞a = D．nlim→∞an不存在 4．若（）成立，则级数 1 ( n n) n a b ∞ = +

∑

一定发散． A． 1 n n a ∞ =

∑

发散且 1 n n b ∞ =

∑

收敛 B． 1 n n a ∞ =

∑

发散 C． 1 n n b ∞ =

∑

发散 D． 1 n n a ∞ =

∑

发散且 1 n n b ∞ =

∑

发散 5．若两个正项级数 1 n n a ∞ =

∑

和 1 n n b ∞ =

∑

满足a_n≤b_n（n=0,1, 2,3,…），则结论（）是正确的．

(10)

A． 1 n n a ∞ =

∑

发散，则 1 n n b ∞ =

∑

发散 B． 1 n n a ∞ =

∑

收敛，则 1 n n b ∞ =

∑

收敛 C． 1 n n a ∞ =

∑

发散，则 1 n n b ∞ =

∑

收敛 D． 1 n n a ∞ =

∑

收敛，则 1 n n b ∞ =

∑

发散 6．若正项级数 1 n n a ∞ =

∑

收敛，则（）收敛． A． 1 n n a ∞ =

∑

B． 2 1 n n a ∞ =

∑

C． 2 1 ( n ) n a c ∞ = +

∑

D． 1 ( n ) n a c ∞ = +

∑

7．下列命题正确的是（）． A．若 1 n n u ∞ =

∑

收敛，则 1 n n u ∞ =

∑

必定收敛 B．若 1 n n u ∞ =

∑

发散，则 1 n n u ∞ =

∑

必定发散 C．若 1 n n u ∞ =

∑

收敛，则 1 n n u ∞ =

∑

必定收敛 D．若 1 n n u ∞ =

∑

收敛，则 1 n n u ∞ =

∑

必定发散 8．级数 ₃ 4 1 1n n a n ∞ = −

∑

（）是（）（其中a≠ 常数）． 0 A．绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．收敛性和 a 有关 9 ．级数 1 n n u ∞ =

∑

与 1 n n v ∞ =

∑

均是正项级数，且 1 n n v ∞ =

∑

收敛，lim n n n u k v →∞ = （ k 是常数），则 1 n n u ∞ =

∑

________． 10．对正项级数 1 n n u ∞ =

∑

，有 1 lim n n n u u ρ →∞ + = 存在，当ρ<1时， 1 n n u ∞ =

∑

________；当ρ>1时， 1 = n n u ∞ =

∑

________． 11．若级数 1 n n u ∞ =

∑

条件收敛，则级数 1 n n u ∞ =

∑

必定________． 12．判断下列级数的敛散性：（1） 1 1 ( 1) n n n ∞ = +

∑

（2） 1 1 1 n n n ∞ = + +

∑

（3） 1 1 3 n n ∞ =

∑

（4） 1 2 1 2 n n n ∞ = −

∑

(11)

13．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：（1） ₂ 0 1 1 n n n ∞ = + +

∑

（2） 1 1 _{ln 1} 1 n n n ∞ = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

（3） 2 π tan 2n n ∞ =

∑

（4） 1 1 1 n n a ∞ = +

∑

(a>0) 14．用比值判别法判别下列级数的敛散性：（1） 2 13n n n ∞ =

∑

（2） ₁ 1 π tan 2n n n ∞ + =

∑

15．用根值判别法判别下列级数的敛散性：（1） 12n n n ∞ =

∑

（2） 2 1 1 2 n n n n n ∞ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

（3） 1 2 1 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠

∑

16．判别下列级数的敛散性，若收敛指出是条件收敛还是绝对收敛：（1） 1 1 ( 1)n n n + ∞ = −

∑

（2） ₂ 1 ( 1) (2 1) n n n ∞ = − −

∑

（3） 1 ( 1)n n n a ∞ = − +

∑

（a 为正整数） （4） 1 1 ln 1n n n n ∞ − = −

∑

（）

§

8.2 幂级数

一、幂级数的概念前面我们学过的级数 1 n n u ∞ =

∑

，其通项u_n为常数，因而也称为常数项级数．如果通项不是常数u_n，而是函数u x_n( )，这样的级数 1 ( ) n n u x ∞ =

∑

就称为函数项级数．对函数项级数 1 ( ) n n u x ∞ =

∑

，当x=x₀时，通项为u x_n( )₀ 是个数值，就转化为常数项级数 ₀ 1 ( ) n n u x ∞ =

∑

．若x=x₀使函数项级数收敛，就称x=x₀为收敛点，由收敛点组成的集合称为收敛域，若对每一x∈I，级数都收敛， 就称 I 为收敛区间．显然，函数项级数在其收敛域内定义了一个函数f x( )，称之为和函数，即如果函数项级数满足一定的条件，在收敛域内收敛于f x( )．下面介绍的幂级数是一种最简单的函数项级数． 1．幂级数和幂级数的收敛区间形如 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ = − = + − + − + + − +

∑

n … n … n n n a x x a a x x a x x a x x （8.2.1）

(12)

的级数，称为(x−x₀)的幂级数．其中a a a₀, , , , ,₁ ₂ a_n 均是常数，称为幂级数的系数．当x₀=0时，（8.2.1）式变为 … …+ + + + + =

∑

∞ = n n n n nx a ax a x a x a 0 1 2 2 0 （8.2.2） 称为 x 的幂级数，它的每一项都是的幂函数．将级数（8.2.1）中的(x−x0)换成 x，则级数（8.2.1） 就变为级数（8.2.2）．因此，下面主要讨论形如（8.2.2）的幂级数． 首先讨论幂级数的收敛域，即使幂级数收敛的 x 的全体．将级数（8.2.2）的各项取绝对值， 得正项级数 … …+ + + + + =

∑

∞ = n n n n nx a ax a x a x a 0 1 2 2 0 （8.2.3）如果设_lim n1 n n a l a + →∞ = ，则 1 1 1 lim lim | | n n n n n n n n u a x l x u a x + + + →∞ = →∞ = ．于是，由比式判别法可知：（1）如果l x| | 1< （l≠0），即| |x 1 R l < = ，则级数（8.2.2）绝对收敛；（2）如果l x| | 1> （l≠ ），即0 | |x 1 R l > = ，则级数（8.2.2）发散；（3）如果l x| | 1= （l≠0），即| |x 1 R l = = ，则比值法无效，需要另行判定；（4）如果l≠ ，则0 l x| | 1< ，这时级数（8.2.2）对任何 x 都收敛．由上面的分析可知，幂级数（8.2.2）的收敛域是一个以原点为中心从−1 到 1 的区间，叫做幂级数（8.2.2）的收敛区间，其中R 1 l = (l≠ )叫做幂级数的收敛半径． 0 如果幂级数（8.2.2）除点x=0外，对一切x≠0都发散，则规定r=0，此时幂级数（8.2.2）的收敛域为单点集合{0}．我们把上面的结论总结如下：定理 8.2.1 如果幂级数（8.2.2）的系数满足条件_lim n1 n n a l a + →∞ = ，则（1）当 0 l< < +∞ 时，R 1 l = ；（2）当l= 时，0 R= +∞；（3）当l= +∞时，R=0．例 8.2.1 判定级数 1 1 2 1 1 1 ( 1)n n 1 ( 1)n n n x x x x ∞ − − − − = − = − + − + − +

∑

的收敛区间．解由 1 1 ( 1)

lim lim lim1 1

( 1) n n n n n n n a a + − →∞ →∞ →∞ − = = = − 得收敛半径R=1．当x=1时，级数变为 1 1 1 1 1 ( 1) (1)n n ( 1)n n n ∞ ∞ − − − = = − = −

∑

发散；

(13)

当x= −1时，级数变为 1 1 1 1 ( 1) ( 1)n n 1 n n ∞ ∞ − − = = − − =

∑

发散．所以收敛区间为( 1,1)− ． 当 x 取收敛区间( 1,1)− 内的每一个值时，根据数项级数和的求法，有 1 1 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ∞ − − − − = ∞ − = − = − + − + − + = − = = − − +

∑

n n n n n n n x x x x x x x （8.2.4） 因此，当 x 取收敛区间( 1,1)− 内的每一个值时，级数（8.2.4）都有一个确定的和 1 1 x+ 与之对应．故在收敛区间( 1,1)− 内级数（8.2.4）的和是一个函数，这个函数称为级数（8.2.4）的和函数，记作S x( )．即级数（8.2.4）的和函数 ( ) 1 1 S x x = + x∈ −( 1,1)．更一般地，每一个幂级数 0 n n n a x ∞ =

∑

，对收敛区间 I 内的每一个 x，都有一个确定的和与之对 应，这样就得到一个定义在收敛区间 I 上的函数，称为该幂级数的和函数，记作S x( )．即 0 ( ) n n n a x S x x I ∞ = = ∈

∑

．例 8.2.2 判定级数 1 (2 1) ∞ = +

∑

n n x n 的收敛区间．分析虽然这个级数不是标准的幂级数 0 n n n a x ∞ =

∑

的形式，但可借助幂级数的解题方法．如果我们作一个变量替换y=2x+1，就转换成标准的幂级数形式

∑

∞ =1 n n n y _．解令y=2x+1，则原级数转化为

∑

∞ =1 n n n y 由 1 1 1

lim lim lim 1

1 1 n n n n n a _n n a n n + →∞ →∞ →∞ + = = = + 得到收敛半径R=1．当| | | 2y= x+ <1| 1，即− < <1 x 0时，原级数绝对收敛．当y=2x+ = −1 1，即x= −1时，原级数变为交错级数 1 ( 1) ∞ = −

∑

n n n ，它是莱布尼兹型级数，是收敛的；当y=2x+ =1 1，即x=0时，原级数变为调和级数

∑

∞ =1 1 n n ，是发散的．所以收敛区间为[ 1,0)− ．例 8.2.3 判定级数 2 1 ( 1) 2 n n n n n x ∞ = −

∑

的收敛区间．

(14)

分析该幂级数是缺项幂级数，缺 x 的奇次方项，也就是可看成a2n−1=0．这样极限_lim n1 n n a a + →∞ 中分母会为0，没有意义，因而要作适当的变换．令_y₌_x2_{，原级数转化为标准幂级数} 2 1 ( 1) 2 n n n n n x ∞ = −

∑

．解令 2 y=x ，原级数化为 2 1 ( 1) 2 n n n n n x ∞ = −

∑

，由 1 1 1 1 1 2

lim lim lim

2 2 2 n n n n n n n n a n n a n + + →∞ →∞ →∞ + + = = = 得收敛半径R=2．所以，当_{| | |} 2 _{| 2} y = x < 时，即− 2< <x 2时，原级数绝对收敛．当x= ± 2时，原级数都变为 1 ( 1)n n n ∞ = −

∑

，是发散的．所以收敛区间为(− 2, 2)． 2．幂级数的性质因为幂级数在其收敛域内有和函数，那么幂级数的和函数如何求呢？和函数的定义域、和函数具有哪些分析性质？如是否连续、可微、可积？下面给出幂级数的几个性质，但不予证明．性质 8.2.1 运算性质如果幂级数 0 n n n a x ∞ =

∑

和 0 n n n b x ∞ =

∑

的收敛半径分别为R₁、R₂，和分别为 f x( )、g x( )，则 0 ( ) n n n n a b x ∞ = ±

∑

的收敛半径R≥min{ , }R R₁ ₂ ，且 0 0 0 ( ) n n n ( ) ( ) n n n n n n n a b x a x b x f x g x ∞ ∞ ∞ = = = ± = ± = ±

∑

． 性质 8.2.2 逐项可积性质 如果幂级数 0 n n n a x ∞ =

∑

的收敛半径R>0，则和函数 0 ( ) n n n f x a x ∞ = =

∑

在其收敛区间(−R R, )内可 积，且可逐项积分，积分后所得的级数的收敛半径也是 R．即，对于任意x∈ −( R R, )，有 1 0 0 0 0 0 0 ( )d d d 1 x x x n n n n n n n n n a f t x a l t a l t x n ∞ ∞ ∞ + = = = ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ = = + ⎝

∑

⎠

∑

∫

．性质 8.2.3 逐项可导性质如果幂级数 0 n n n a x ∞ =

∑

的收敛半径R>0，则和函数 0 ( ) n n n f x a x ∞ = =

∑

在区间(−R R, )内可导，且 可逐项求导，求导后所得级数的收敛半径也是 R．即对于任意x∈ −( R R, )，有 1 0 0 0 ( ) n ( n) n n n n n n n f x a x a x na x ∞ ∞ ∞ − = = = ′ ⎛ ⎞ ′ =_⎜ _⎟ = ′= ⎝

∑

⎠

∑

．

(15)

例 8.2.4 求幂级数 1 1 n n x ∞ − =

∑

的收敛区间及和函数．解利用数项级数 1 1 n n q ∞ − =

∑

的性质得，幂级数 1 1 n n x ∞ − =

∑

的收敛区间为( 1,1)− ，和函数 1 1 1 ( ) ( 1,1) 1 n n S x x x x ∞ − = = = ∈ − −

∑

幂级数 1 1 n n x ∞ − =

∑

是最简单的幂级数，它的和函数很容易求出（即 1− 首项公比）．因此以后求幂级数的和函数，常常通过逐项积分或逐项求导转化为可利用幂级数 1 1 n n x ∞ − =

∑

来求出和函数．例 8.2.5 求幂级数 1 1 n n nx ∞ − =

∑

的收敛区间及和函数，并求级数 12 ∞ =

∑

n n n 的和． 分析与幂级数 1 1 n n x ∞ − =

∑

对比，发现该幂级数通项 n1 nx − 多了一个 n，应想办法去掉 n，结合 1_d n n nx − x=x +c

∫

，因此我们采用逐项积分的方法．解由_lim n1 _lim 1 ₁ n n n a n a n + →∞ →∞ + = = ，得到收敛半径R=1．当x=1时，级数变为 1 n n ∞ =

∑

，一般项不趋于0，因此它发散；同理当x= −1时，级数也发散．所以收敛区间为( 1,1)− ．设和函数为 1 2 1 1 ( ) n 1 2 3 n ( 1,1) n S x nx x x nx x ∞ − − = =

∑

= + + + + ∈ − 对任意的x∈ −( 1,1)，两边由0 到 x 积分，得 1 1 0 0 0 1 1 1 ( )d d d 1 ∞ ∞ ∞ − − = = = ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ = = = − ⎝

∑

⎠

∑

∫

x

∫

x

∫

x n n n n n n x S t t nt t nt t x x 两边对 x 求导，得 2 0 d 1 ( ) ( )d d 1 (1 ) ′ ⎛ ⎞ = =_⎜ _⎟ = − − ⎝ ⎠

∫

x _x S x S t t x x x 所以 1 2 1 1 ( ) ( 1,1) (1 ) ∞ − = = = ∈ − −

∑

n n S x nx x x 特别地取 1 2 x= ，则有 1 2 1 1 1 1 ₄ 2 2 ₁ 1 2 n n S n − ∞ = ⎛ ⎞₌ ⎛ ⎞ ₌ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

所以

(16)

1 1 _{4 2} 2 2n n n ∞ = = ⋅ =

∑

．例 8.2.6 求幂级数 1 n n x n ∞ =

∑

的和函数．分析与幂级数 1 n n x ∞ =

∑

对比，发现该幂级数通项 n x n 多了分母 n，应想办法去掉，由 1 n n x x n − ⎛ _{⎞ =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故我们采用逐项求导的方法．解由 1 1 1

lim lim lim 1

1 1 n n n n n a _n n a n n + →∞ →∞ →∞ + = = = + 有收敛半径R=1．将x= ± 代入幂级数，易得收敛域为[ 1,1)1 − ．设 1 ( ) [ 1,1) ∞ = =

∑

n ∈ − n x S x x n，，则 (0) 0S = ，且对任意的x∈ −( 1,1)有 1 1 1 1 ( ) 1 n n n n x S x x x n ∞ ∞ − = = ′ ⎛ ⎞ ′ = _⎜ _⎟ = = − ⎝ ⎠

∑

上式从0 到 x 积分，得 0 1 ( ) (0) ln(1 ) 1 x S x S dt x t − = = − − −

∫

因此 ( ) ln(1 ) ( 1,1) S x = − −x x∈ − 又由幂级数在x= − 处收敛知，和函数在左端点1 x= − 处左连续． 1 因此 1 1 ( 1) lim ( ) lim ln(1 ) ln 2 x x S S x x + + →− →− − = = − − = − 所以幂级数 1 n n x n ∞ =

∑

的和函数为S x( )= −ln(1−x) x∈ −[ 1,1)．

习题

8.2

1．级数 1 1 3 n n n x n ∞ =

∑

的收敛区间是（）． A． 1 1, 3 3 ⎡₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ B． 1 1 3 3 ⎡₋ ⎞ ⎟ ⎢ _⎠ ⎣ ， C． 1 1 3 3 ⎛₋ ⎤ ⎜ _⎥⎦ ⎝ ， D． 1 1 3 3 ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ，⎠ 2．幂级数 3 5 3 5 x x x− + −…的收敛区间是（）．

(17)

A．[ 1,1]− B．[ 1,1)− C． ( 1,1]− D．( 1,1)− 3．若幂级数 0 n n n a x ∞ =

∑

在x= −2处收敛，在x=3处发散，则该级数（）． A．必在x= −3处发散 B．必在x=2处收敛 C．必在| | 3x > 处发散 D．其收敛区间为[ 2,3]− 4．设幂级数 n n n n n a b x a b − +

∑

( 0 a b< < )，则所给幂级数的收敛半径 R 为（）． A． b B．1 a C．1 b D．R的值与a、b无关 5．幂级数 13 n n n x ∞ =

∑

的收敛半径R=________. 6．幂级数 1 5n n n x ∞ =

∑

的收敛半径R=________. 7．若幂级数 1 n n n a y ∞ =

∑

的收敛区间为( 9,9)− ，则幂级数 2 1 ( 3) n n n a x ∞ = −

∑

的收敛区间为________. 8．求下列幂级数的收敛半径和收敛区间：（1） 1 ( 1) n n n x n ∞ = −

∑

（2） 1 2n n n x ∞ =

∑

（3） 1(2 )! n n x n ∞ =

∑

（4） 1 ( 5)n n x n ∞ = −

∑

（5） 2 1 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n − ∞ − = − −

∑

（6） 1 !( 1)n n n x ∞ = −

∑

9．根据幂级数的性质求下列幂级数的和函数以及和函数的定义域：（1） 1 ∞ =

∑

n n x n （2） ₁ ( 1) ∞ = +

∑

n n n n x

§8.3 函数展成幂级数

前一节我们研究如何求幂级数的和函数，因为幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质，这就使我们反过来设想，能否把一个函数表示为幂级数来进行研究，要满足怎样的条件，一个函数才能够表示为一个幂级数呢？一、泰勒公式和泰勒级数定理 8.3.1（泰勒中值定理）如果函数f x( )在含有点x₀的某个邻域内有一阶直到n+1阶

(18)

的连续导数，则当 x 取点x0的某个邻域内的任何值时， f x( )可以按x−x0的方幂展开为 ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2! ! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n ′′ ′ = + − + − + + − + （8.3.1）其中 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1)! + + = − + n n n f R x x x n ξ （ξ 介于 x、x₀之间）（8.3.2）公式（8.3.1）称为函数 f x( )的泰勒公式，余项（8.3.2）称为拉格朗日型余项．在公式（8.3.1）中，当n=0时，得到f x( )= f x( )₀ + f′( )(ξ x−x₀)．这就是拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．特别地，当x₀=0时，公式（8.3.1）成为 ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) ( ) 2! ! n n n f f f x f f x x x R x n ′′ ′ = + + + + + （8.3.3）其中 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n n n f R x x n ξ − + = + （ξ 介于 0、x 之间），公式（8.3.3）称为马克劳林公式． 我们现在来讨论一个函数要满足怎样的条件，才能够表示为一个幂级数？定理 8.3.2 如果函数 f x( )在含有点x₀的区间( , )a b 内有无穷阶的连续导数，且泰勒公式（8.3.1）中的余项R xn( )满足： n→ ∞ 时,R xn( )→0，则有函数 f x( )可以展成的(x−x0)幂级数形式，而且展开式是唯一的，即 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x x x x I n ∞ = =

∑

− ∈ 我们称上式的右端为函数 f x( )的泰勒级数．二、某些初等函数的幂级数展开式由前面的讨论知道，一个函数 f x( )在点x₀是否可以展开成为一个幂级数，第一，取决于它的各阶导数在x=x₀点是否都存在；第二，取决于对收敛域 I 内每一个 x 当 n → ∞ 时，是否 均有R xn( )→0．如果这两个条件都成立，才有 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x x x x I n ∞ = =

∑

− ∈ 下面将一些初等函数展开为幂级数． 1．直接展开法利用泰勒公式或马克劳林公式，将函数 f x( )展开为幂级数. 将函数 f x( )展开为马克劳林幂级数的步骤如下：（1）求出 f x( )在x=0的各阶导数值 f( )n (0)，若函数f x( )在x=0的某阶导数不存在，则 ( ) f x 不能展为幂级数．（2）写出马克劳林幂级数 ( ) 0 0 ( ) ! n n n f x x n ∞ =

∑

，并求出其收敛区间 I． （3）考察在收敛区间 I 内每一点 x，余项R xn( )的极限，是否有

(19)

( 1) 1 ( ) lim 0 ( 1)! n n n f x x n θ + + →∞ + = 或 ( 1) 1 ( ) lim 0 ( 1)! n n n f x x n θ + + →∞ + = ．如为0，则有 ( ) 0 (0) ( ) ! n n n f f x x x I n ∞ = =

∑

∈ ．如不为0，虽然x∈I时， ( ) 0 0 ( ) ! n n n f x x n ∞ =

∑

收敛，但它的和函数不是 f x( )．例 8.3.1 将函数 _{f x}( ) e= x_{展开成 x 的幂级数（即展开成马克劳林级数）．} 解因为 _f( )n _{( ) e}_x ₌ x_{，所以对任意的 n，}_f( )n _{(0) 1}₌ _，则_f( )n _{( ) e}_x ₌ x_{马克劳林级数为} ( ) 0 0 (0) ! ! ∞ ∞ = = =

∑

n

∑

n n n n f x x n n 由前面知其收敛区间为(−∞ +∞, )，再由_{lim |} _{( ) | lim} e 1 ( 1)! x n n n R x n _n x θ + →∞ = →∞ + （其中0< <θ 1）．因为0< <θ 1，所以|θ ≤x| | |x ，从而−| |x≤θx≤| |x 所以由₀_≤_eθx_≤_e| |x_，有 1 | | 1 | | e _e ( 1)! ( 1)! n x x n x x n n θ + + + + ≤ 对(−∞ +∞, )内的每一点 x，_e| |x_{是有限数，} 1 | | ( 1)! n x n + + 是收敛级数 0 ! n n x n ∞ =

∑

的通项的绝对值，所以 1 | | lim 0 ( 1)! n n x n + →∞ + = ，故 1 e lim | ( ) | lim 0 ( 1)! x n n n R x n _n x θ + →∞ = →∞ + = 因此得到 0 e ! n x n x n ∞ = =

∑

(−∞ < + ∞x ) （8.3.4）例 8.3.2 将函数 f x( ) sin= x展开成 x 的幂级数． 解因为 ( )_{( ) sin} _π 2 n n f x = ⎛_⎜x+ ⎞_⎟ ⎝ ⎠，所以 (2 ) (2 1) (0) 0 (0) 1 (0) 0 (0) 1 (0) 0 (0) ( 1) k k k f f f f f f + ′ ′′ ′′′ = = = = − = = − ，，，，，，，得函数 f x( ) sin= x的马克劳林级数 ( ) 2 1 3 5 2 1 0 0 (0) _{( 1)} ! (2 1)! 3 5 (2 1)! n k k n k n n f x x x x x x n k k + + ∞ ∞ = = = = − + − + − + + +

∑

这是缺偶次项的幂级数，因为 1 (2 1)! 2 1 2

lim lim | | lim | | 0

(2 1)! 2 (2 1) k n n n k u k x x u k k k + →∞ →∞ →∞ − = = = + + 所以它的收敛区间为(−∞ +∞, )，又

(20)

2 3 2 2

2 3

lim | ( ) | lim sin π

(2 3)! 2 k k k k x k R x x k θ + + →∞ →∞ + ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟⋅ ₊ ⎝ ⎠ （其中0< <θ 1）对任一x∈ −∞ +∞( , )，因级数 0 ! n n x n ∞ =

∑

是收敛的，有 2 3 | | lim 0 (2 3)! k k x k + →∞ + = ，再由正弦函数的有界性，得到 2 3 2 2 | | lim | ( ) | lim 0 (2 3)! k k k k x R x k + + →∞ ≤ →∞ + = 故lim | ₂k ₂( ) | 0 k R ₊ x →∞ = x∈ −∞ +∞( , )，所以 2 1 2 1 0 0 sin ( 1) ( 1) (2 1)! (2 1)! k k k n k k x x x k k + + ∞ ∞ = = = − = − + +

∑

3 5 2 1 ( 1) ( , ) 3! 5! (2 1)! k n x x x x x k + = − + − + − + ∈ −∞ +∞ + （8.3.5）同理按相同步骤用直接展开法可得 2 0 cos ( 1) (2 )! n n n x x n ∞ = =

∑

− 2 4 2 1 ( 1) ( , ) 2! 4! (2 )! n n x x x x n = − + − + − + ∈ −∞ +∞ （8.3.6）从式（8.3.5）与（8.3.6）可以看出， sin x 是奇函数，它的马克劳林级数中只含奇次项， 而 cos x 是偶函数，它的马克劳林级数中只含偶次项．式（8.3.4）、（8.3.5）、（8.3.6）以及下面 给出的（8.3.7）都是比较常用的几个幂级数展开式，请读者记住． 2 ( 1) ( 1)( 2) ( 1) (1 ) 1 2! ! n n x ax x x n α α α− α α− α− α− + + = + + + + + 1 ( 1)( 2) ( 1) 1 ! n n n x n α α α α ∞ = − − − + = +

∑

(− < <1 x 1) （8.3.7） 2．间接展开法由于泰勒级数展开式唯一，函数 f x( )的泰勒级数展开方法一般采用间接展开.间接展开法是以一些函数的幂级数展开式为基础，利用幂级数的性质、变量变换等方法，求出函数的幂级数展开式．这样做既避免了计算 f x( )的各阶导数，又回避了验证余项R x_n( )是否趋于 0 的过程．对函数f x( )的泰勒级数展开式，一定要说明相应的展开区间，即收敛域． 例 8.3.3 将函数 cos x 展成 x 的幂级数． 解因为(sin )x′ =cosx，利用已有的展开式（8.3.5） 2 1 0 sin ( 1) ( , ) (2 1)! k n n x x x k + ∞ = = − ∈ −∞ +∞ +

∑

得 2 2 1 0 0 2 4 2 cos (sin ) ( 1) = (-1) (2 !) (2 1)! 1 + ( 1) ( , ) 2! 4! (2 !) n k n n n n n n x x x x n k x x x x n + ∞ ∞ = = ′ ⎡ ⎤ ′ = = _⎢ − _⎥ + ⎣ ⎦ = − − + − + ∈ −∞ +∞

∑

例 8.3.4 分别将函数_e 3 x − 展成 x 的幂级数．

(21)

解将展开式 0 e ! n x n x n ∞ = =

∑

(−∞ < < +∞x )中的 x 分别换成 3 −x ，得 3 0 0 1 2 0 1 1 e ( 1) ( 1) ( ) ! 3 3 ! 4 ( 1) ( , ) . 2 (2 )! ∞ ∞ − = = ∞ − = ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} = − −∞ < + ∞ ⎝ ⎠ = − ∈ −∞ +∞ ⋅

∑

n x n n n n n n n n n n x x x n n x x n 例 8.3.5 将函数 ( ) ₂ 2 x f x x x = − − 展开成 x 的幂级数. 解 ( ) ₂ ( 2)( 1) 2 = = − + − − x x f x x x x x 1 1 2 3 1 2 1 1 1 . 1 ₁ 3 2 x x x x ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟ + − ⎝ ⎠ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ = ₊ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 由公式（8.3.7）容易得到 0 0 1 _{( 1)} _{( 1} ₁₎ 1 1 _{( 1} ₁₎ 2 2 1 2 ∞ = ∞ = = − − < < + ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − < < ⎝ ⎠ −

∑

n n n n n x x x x x x 所以根据幂级数的性质有 0 0 0 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) 3 2 3 2 n n n n n n n n n n f x x x x ∞ ∞ ∞ = = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ − − _⎥= _⎢− − _⎥ ⎣ ⎦ ⎣

∑

⎦

∑

，收敛域为区间 ( 1,1)− 与 ( 2, 2)− 的交集 ( 1,1)− ．例 8.3.6 将 1 5 x− 展成为x− 的幂级数，并指出收敛域． 2 解由于是展成为x− 的幂级数，先作恒等变换 2 1 1 1 1 2 5 3 ( 2) _{3 1} 3 x x= x = ⋅ − − − − ₋ 由 0 1 _{( 1} ₁₎ 1 ∞ = = − < < −

∑

n n x x x 当 1 2 1 3 x− − < < 时 0 1 0 1 1 1 1 2 2 5 3 ₁ 3 3 3 1 ₍ ₂₎ 3 n n n n n x x x x ∞ = ∞ + = − ⎛ ⎞ = ⋅ = _⎜ _⎟ − − ₋ ⎝ ⎠ = −

∑

(22)

由 1 2 1 3 x− − < < ，得 1− < < ，所以收敛域为 ( 1,5)x 5 − ．我们还可以利用幂级数展开式求一些无理数的近似值．例 8.3.9 计算 ex_{的近似值．} 解取 ( ) ex f x = ，其展开式为 2 e 1 ( , ) 2! ! n x x x x x n = + + + + + ∈ −∞ +∞ 令x+ ，得 1 1 1 e 1 1 2! n! = + + + + + 取前n+ 项作 e 的近似值 1 1 1 e 1 1 2! n! = + + + + 则其误差为 2 2 1 1 1 ( 1)! ( 2)! ( 3)! 1 1 1 ₁ 2 ( 2)( 3) ( 1)! 1 1 1 ₁ 2 ( 2) ( 1)! 1 1 1 2 1 ( 1)! ₁ ( 1)! 1 2 1 2 1 1 1 ! ( 1) ! ! = + + + + + + ⎡ ₊ ₊ ₊ ⎤ = _⎢ _⎥ + + + + ⎣ ⎦ ⎡ ₊ ₊ ₊ ⎤ < _⎢ _⎥ + + + ⎣ ⎦ + = ⋅ = ⋅ + ₋ + + + + = ⋅ < ⋅ = + n R n n n n n x n n n n n n n n n n n n n n n n 取n= ，即取级数的前 7 1 87 + = 项作近似计算即可，则 1 1 1 1 1 1 e 1 1 2! 3! 4! 5! 6! 7! ≈ + + + + + + + 此时， e 2.71826≈ ，误差 ₇ 1 7!7 R < ．

习题

8.3

1．已知 0 1 ( ) 1 n n x x ∞ = = − +

∑

，| | 1x< ，则 2 1 1 x+ 的马克劳林展开式为（）． A．_{1 x}2 4 x + + + B． _{1 x}2 4 x − + − + C． _{1 x}2 4 x − − − − D．_{1 x}2 4 x − + −

(23)

2． 2x_{展开为 x 的幂级数是（）．} A． 0 ! n n x n ∞ =

∑

B． 0 1 ! n n n x n ∞ = −

∑

（） C． 0 ( ln 2) ! n n x n ∞ =

∑

D． 0 ( ln 2)n n x n ∞ =

∑

3．级数 2 0 1 (2 )! n n n x n ∞ = −

∑

（）的和函数是________． 4．已知 0 e ! n x n x n ∞ = =

∑

，则_xe−x ₌_{________．} 5．将下列函数展开成马克劳林级数：（1） ( ) 1 3 f x x = − （2）f x( ) arctan= x 6．将函数 ( ) 2 x f x x = + 展开成 x 的幂级数． 7．将 ( ) 1 2 f x x = + 展开成(x−2)的幂级数． 8．设 e 1 , 0 ( ) , 0 ⎧ − _≠ ⎪ = ⎨ ⎪ ₌ ⎩ t t t _t t λ ϕ λ ， 0 ( )=

∫

x ( )d f x ϕ t t，试将 f x 展开成( ) x 的幂级数，并指出收敛 区间．

§*8.4 傅立叶级数

一、三角函数系和三角级数函数列

1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,⋅⋅⋅ ,cos nx,sin nx,⋅⋅⋅ （8.4.1）称为三角函数系．2π 是三角函数系（8.4.1）中每个函数的周期．因此讨论三角函数系（8.4.1）只须在一个长为2π 的区间即可，我们通常选取区间 [ π, π]− ，根据定积分性质，在这个区间上三角函数系（8.4.1）有如下性质： π π− cos dnx x=0

∫

(n=1,2,⋅⋅⋅)， π π− sinnx xd =0

∫

(n=1,2,⋅⋅⋅)， π π− sinkxcos dnx x=0

∫

(k,n=1,2,⋅⋅⋅)， π π− sinkxsinnx xd =0

∫

(k,n=1,2,⋅⋅⋅,k≠n)，

(24)

π π− coskxcos dnx x=0

∫

(k,n=1,2,⋅⋅⋅,k≠n)． 还有性质：三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[−π,π]上的积分不等于零，即 π ₂ π− 1 dx=2π

∫

， π ₂ π− cos nx xd =π

∫

(n =1,2,⋅⋅⋅)， π ₂ π− sin d =π

∫

nx x (n =1,2,⋅⋅⋅)． 我们把三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间[−π,π]上的积分等于零这个性质称为三角函数系的正交性．因为三角函数系的这个性质有很大的优越性，我们通常用它来构建级数．以三角函数系为基础作成的级数 ₀ 1 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx ∞ = +

∑

+ 也称为三角级数，其中 a0， an，bn(n = 1,2, )都是常数. 二、傅立叶级数 问题：设 f (x)是周期为 2π 的周期函数，且能展开成三角级数 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 k k k a f x a kx b kx ∞ = = +

∑

+ 那么系数 a0,a1,b1, 与函数 f (x)之间存在着怎样的关系？ 假定三角级数可逐项积分，又因为三角函数系的正交性，则有 π π ₀ π π 0 π π π π 1 ( )d d [ cos d sin d ] π 2 n n k a f x x x a kx x b kx x a ∞ − = − +

∑

₌ − + − =

∫

π π π π π 0 π π π 1 ( ) cos d

cos d [ cos cos d sin cos d ] π

2 n n n k f x nx x a nx x a kx nx x b kx nx x a − ∞ − ₌ − − = + + =

∫

∑

∫

π π π π π 0 π π π 1 ( )sin d

sin d [ cos sin d sin sin d ] π

2 − ∞ − ₌ − − = + + =

∫

∑

∫

n

∫

n

∫

n k f x nx x a nx x a kx nx x b kx nx x b 容易得 π 0 _π 1 _{( )d} π − =

∫

a f x x ， π π 1 ( ) cos d π − =

∫

n a f x nx x ，(n =1,2,⋅⋅⋅)， π π 1 ( )sin d π n b f x nx x − =

∫

，(n =1,2,⋅⋅⋅)． 系数 a0,a1,b1,⋅⋅⋅ 叫做函数 f (x)的傅立叶系数．

(25)

三角级数 0 1 ( cos sin ) 2 n n n a a nx b nx ∞ = +

∑

+ 称为傅立叶级数，其中 a0,a1,b1,⋅⋅⋅是傅立叶系数．一个定义在(−∞,+∞)上周期为 2π 的函数 f (x)，如果它在一个周期上可积，则一定可以作出 f(x)的傅立叶级数．然而，函数 f(x)的傅立叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收 敛于函数 f (x)？一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的． 定理 8.4.1（收敛定理）设 f(x)是周期为 2π 的周期函数，如果它满足：在一个周期内连 续或只有有限个第一类间断点，在一个周期内至多只有有限个极值点，则 f(x)的傅立叶级数收 敛，并且（1）当 x 是 f(x)的连续点时，级数收敛于 f(x)；（2）当 x 是 f(x)的第一类间断点时，级数收敛于1[ ( 0) ( 0)] 2 f x− +f x+ （f x( −0)是 f(x)在 x 处的左极限， f x( +0)是 f(x)在 x 处的右极限）． 例 8.4.1 设 f（x）是周期为 2π 的周期函数，它在[−π,π)上的表达式为 1, π 0 ( ) 1, 0 π − − < ⎧ = ⎨ _< ⎩ x f x x ≤ ≤ 将 f (x)展开成傅立叶级数. 解所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x=kπ (k=0,±1,±2,⋅⋅⋅)处不连续，在其他点处连 续，从而由收敛定理知道 f (x)的傅立叶级数收敛，并且当 x = kπ 时，收敛于 1 1 [ ( 0) ( 0)] ( 1 1) 0 2 f x− + f x+ =2 − + = 当 x ≠ kπ 时，级数收敛于 f (x). 傅立叶系数计算如下 π 0 π π π 0 1 1 1

( ) cos d ( 1) cos d 1 cos d 0

π − π − π =

∫

=

∫

− +

∫

⋅ = n a f x nx x nx x nx x (n =0,1,2, )； π 0 π π π 0

1 _{( )sin d} 1 _{( 1)sin d} 1 _{1 sin d}

π π π n b f x nx x nx x nx x − − =

∫

=

∫

− +

∫

⋅ 0 π 0 π

1 cos 1_[ cos _] 1 _{[1 cos π cos π 1]}

π π π nx nx n n n n n − ⎡ ⎤ = _⎢ _⎥ + − = − − + ⎣ ⎦ 2 π n = [1−(−1)n _] 4 1, 3, 5, π 0 2, 4, 6, n n n ⎧ ₌ ⎪ = ⎨ ⎪ ₌ ⎩ 于是 f (x)的傅立叶级数展开式为 4 1 1

( ) sin sin 3 sin(2 1)

π 3 2 1 f x x x k x k ⎡ ⎤ = _⎢ + + + − + _⎥ − ⎣ ⎦ (−∞<x<+∞;x ≠0,±π,±2π, )．例 8.4.2 设 f (x)是周期为 2π 的周期函数，它在[ π, π)− 上的表达式为 , π 0 ( ) 0, 0 π − < ⎧ = ⎨ _< ⎩ x x f x x ≤ ≤ 将 f (x)展开成傅立叶级数. 解所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x=(2k+1)π (k=0,±1,±2, )处不连续，因此，f (x) 的傅立叶级数在 x=(2k+1)π 处收敛于

(26)

1 1 π [ ( 0) ( 0)] (0 π) 2 f x− +f x+ =2 − = −2 在连续点 x(x ≠(2k+1)π)处级数收敛于 f (x). 傅立叶系数计算如下 π 0 0 _π _π 1 _{( )d} 1 _d π π − π − 2 =

∫

=

∫

= − a f x x x x 0 π 0 2 2 π π π 2

1 _{( ) cos d} 1 _{cos d} 1 sin cos 1 _{(1 cos π)}

π π π π 2 , 1, 3, 5, π 0, 2, 4, 6, − − ₋ ⎡ ⎤ = = = _⎢ + _⎥ = − ⎣ ⎦ ⎧ ₌ ⎪ = ⎨ ⎪ ₌ ⎩

∫

n x nx nx a f x nx x x nx x n n n n n n n π 0 ₀ π 2 π π 1

1 1 1 cos sin cos π

( )sin d sin d [ ] π π π ( 1) ₍ _{1, 3, 5,} _{) .} − − − + = = = − + = − − = =

∫

n n x nx nx n b f x nx x x nx x n n n n n f (x)的傅立叶级数展开式为 2 π 2 1 2 1

( ) cos sin sin 2 cos 3 sin 3

4 π 2 3 π 3

f x = − +⎛_⎜ x+ x_⎟⎞− x+⎛_⎜ x+ x⎞_⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

1 2 1

sin 4 cos 5 sin 5

4 x 5 π x 5 x ⎛ ⎞ − +_⎜ + _⎟− ⎝ ⎠ (−∞<x<+∞;x ≠±π,±3π,⋅⋅⋅)． 周期延拓：设 f (x)只在[−π,π]上有定义，我们可以在[ π, π)− 或 ( π,π]− 外补充函数 f (x)的定义， 使它拓广成周期为2π 的周期函数 F(x)，在(−π,π)内，F(x)=f (x). 例 8.4.3 将函数 ( ) , π 0 , 0 π − − < ⎧ = ⎨ ⎩ x x f x x x ≤ ≤ ≤ 展开成傅立叶级数. 解所给函数在区间[−π,π]上满足收敛定理的条件，并且拓广为周期函数时，它在每一点 x 处都连续，因此拓广的周期函数的傅立叶级数在[−π,π]上收敛于 f (x). 傅立叶系数为 π 0 π 0 _π _π ₀ 1 1 1 ( )d ( )d d π π − π − π =

∫

=

∫

− +

∫

= a f x x x x x x π 0 π π π 0 2 2

1 _{( ) cos d} 1 ₍ _{) cos d} 1 _{cos d}

π π π 4 _, _{1, 3, 5,} 2 _{(cos π 1)} π π _0, _{2, 4, 6,} − − = = − + ⎧− = ⎪ = − = ⎨ ⎪ ₌ ⎩

∫

n a f x nx x x nx x x nx x n n n n n π 0 π π π 0

1 _{( )sin d} 1 ₍ _{)sin d} 1 _{sin d} ₀

π π π n b f x nx x x nx x x nx x − − =

∫

=

∫

− +

∫

= (n =1,2, )． 于是 f (x)的傅立叶级数展开式为 2 2 π 4 1 1

( ) cos cos 3 cos 5

2 π 3 5

f x = − ⎛_⎜ x+ x+ x+ ⎞_⎟

(27)

三、正弦级数和余弦级数 当 f (x)为奇函数时，f (x)cos nx 是奇函数，f (x)sin nx 是偶函数，故傅立叶系数为 an=0(n=0,1,2, )， π 0 2 ( )sin d π n b =

∫

f x nx x(n=1,2,3, )． 因此奇数函数的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数 1 sin n n b nx ∞ =

∑

. 当 f (x)为偶函数时，f (x)cos nx 是偶函数，f (x)sin nx 是奇函数，故傅立叶系数为 π 0 2 _{( ) cos d} π n a =

∫

f x nx x(n=0,1,2,3, )，bn=0 (n=1,2, )． 因此偶数函数的傅立叶级数是只含有余弦项的余弦级数 0 1 cos 2 n n a a nx ∞ = +

∑

. 例 8.4.4 设 f (x)是周期为 2π 的周期函数，它在[ π, π)− 上的表达式为 f (x)=x．将 f (x)展开 成傅立叶级数. 解首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点 x =(2k+1)π (k=0,±1,±2, )不连续，因此 f (x)的傅立叶级数在函数的连续点 x ≠(2k+1)π 收敛于 f (x)，在点 x =(2k+1)π (k=0,±1,±2, )收敛于 1 1 [ (π 0) ( π 0)] [π ( π)] 0 2 f − + f − − =2 + − = . 其次，若不计 x =(2k+1)π (k=0,±1,±2, )，则 f (x)是周期为 2π 的奇函数．于是 an=0(n=0,1,2, )， 而 π π 0 0 2 _{( )sin d} 2 _{sin d} π π n b =

∫

f x nx x=

∫

x nx x π 2 0 2 cos sin π x nx nx n n ⎡ ⎤ = _⎢− + _⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 cos_nx ( 1)n n n + = − = − (n=1,2,3, )． f (x)的傅立叶级数展开式为 1 1 1 1

( ) 2(sin sin 2 sin 3 ( 1) sin

2 3 n f x x x x nx n + = − + − + − + (−∞<x<+∞,x≠±π,±3π, )．例 8.4.5 将周期函数 ( ) sin1 2 u t =E t 展开成傅立叶级数，其中 E 是正的常数． 解所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此 u(t)的傅立叶级数处处收 敛于 u(t). 因为 u(t)是周期为 2π 的偶函数，所以 bn=0 (n=1,2, )，而 π π 0 0 2 2

( ) cos d sin cos d

π π 2 n t a =

∫

u t nt t=

∫

E nt t π 0 1 1 sin sin d π 2 2 E t t t n n ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ = _⎢ _⎜ + _⎟ − _⎜ − _⎟ _⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫

π 0 1 1 cos cos 2 2 1 1 π 2 2 t t n n E n n ⎡ ⎛ ₊ ⎞ ⎛ ₋ ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎥ = ⎢− + ⎥ ⎢ ₊ ₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

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第 8 章 无穷级数

本章学习目标

§

8.1 常数项级数

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第 8 章无穷级数