第三十四屆國際物理奧林匹亞競賽理論競賽

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第三十四屆國際物理奧林匹E競賽理論競賽

林明瑞

國立臺灣師範大學物理系

請先讀下文:

1.本理論題共三大題，考試時間 Ii 小時。這三大題的配分如下第一題 12 分，第二題 10 分，第三題 8 分。 2. 只能用背袋中所提供的筆書寫。 3 只能在所給紙張的正面作平等。有×號的主[I →面，不准使用。 4 每-大題開始作答時，必須另起新頁。 5. 每-大題除了有 4些「空內頁 J(blank

sheet)

供你書寫外，另有一份「答案紙(Answer

Sheet) J

'你必須將該大題的結果摘要寫在上面。數值結果必須以與已知數據相稱的最多位數的有效數字表示:不要忘了寫上單位。 6.在「空白頁 J

(blank

sheet)上寫出任何有]I認為是回答問題時所必需、且希望被評閱納入計分的資料，們的(必須以使用方程式、數字、符號、和圓形為[::，文字的說明盡可能少用。 7.在每一張用過的紙的上方處，的:絕對必須在“ Country" 格內寫上你的國有，在

“

Student

No." 格內寫上你的學生編號。另外，在每→題所使用的「空白頁J

(blank

sheet)上，你應該在“Question No." 格內寫上該題號碼，在 "Page No." 格內寫仁頁

碼，在“Total

No. of

Pages" 格寫上你所使

用過、並希望被計分的空白頁的總頁數。

- 65

向往旬小題時，在起始!是宜寫出該小題的編號。在你不在i 唔被評分的答案紙 t_

'

畫上 4 個大 'XJ 符號，且不要編頁碼。 8. 當你作答完畢時，將每一題所布的紙張，按下列順序安排: r 答案紙 J J首先，然後是「用過的紙(按照頁碼順序)J '接著是「不要被評分的紙 J '最後是「未曾使用的紙」與印有題目的「試題卷」。把屬於每一題的紙張，依照題號及頁數順序放置，以人斗會提供的長尾夾于夾好，並將所有的東西留在桌 f 上。任何紙張一律不准帶出室外。理論第一題「一個連有落體的擺」 -架高之水平圓柱!削體，其橫截面的半律為 R 0 女LJU穹] la 所示，將質量為 m 的擺鈕，以一條長度為 L() 、質量可忽略的細繩，懸吊於圓柱體頂端的 A 點。最初拉住擺鈕，使細繩張緊，其懸空部分成為水平，然後放開擺揖，使其由靜止狀態開始掉落。細繩的任何伸縮，均可忽略。假設擺鍾可視為質點，且只在垂直於圓柱體中心軸的平面內擺動。因此，擺鍾有時亦逕以「質點」稱之。重力加速度為 g 0 如圖 la 所示，以 O 為坐標原點。當質點位於 P 點時，細繩與圓柱體表面相切於繩離開表面的 Q 點，由 Q 到 P 的線段長度，以

(2)

s 表示。在 Q 點處治切線方向的單位向量為，而治半徑方向的單位向量為。取治 OA 鉛直向上的直線為 x 軸，當 OA ~台逆時鐘方向轉至 OQ 時，其角位移 q 為正值。當時，線段長 s 等於 L' 而質點的重力

L

位能 U 設為零 O 由於質點的運動 'q 與對時間的瞬時變化率分別為與除非另外標明，以下問題中所討論的速率與速度都是相對於固定點 0 0

x

t

A

因間

QMfl

J

JO

P

m

A 部分在 A 部分中，只考慮細繩處於張緊狀態下的質點運動。試利用以上所給之量，求出: (a)θ 與 d 間的關係 [0.5 分] (b)Q 相對於 O 的速度。 [0.5 分] (c)在 P 點時，質點相對於 Q 的速度。 [0.7 分] (d)在 P 點時，質點相對於 O 的速度。 [0.7 分] (e)在 P 點時，質點相對於 O 的加速度在方向的分量。 [0.7 分] 仍在 P 點時，質點的重力位能 U a [0.5 分] (g)質點在軌跡線最低點時的速率 [0.7 分] B 部分在 B 部分中 'L 與 R 的比值如下: FAU GO HXO LU

--「斗 z 、J 司、 J 司、 J

+

札『司、 d z 、 ν 司、 J 一一

主

M山

4 ,.• 。尸LV

2-3

+

何一

8

一一

L-nk

(h) 由 Q 到 P 的連線為直線，且長度為最短時，質點的速率為何? (以 g 與 R 表示) [2 .4分] (i)質點擺動到圓柱體的另一側、且到達最高點時，其速率為何? (以 g 與 R 表示) [1. 9 分] C 部分在 C 部分中，質量為 m 的擺鍾並非懸吊於 A 點，而是以細繩繞過圓柱體的頂端，在另假日與一個質量為 M 的較重物體相連，如圖 lb 所示。此重物亦可視為質點。最初，拉住擺鍾使其保持靜止，高度與 A 點相同，另端之重物較 O 點為低，細繩呈張緊狀態，其水平部分之長度為 La 然後放開擺鈕，使其自靜止開始落下 C 假設擺鈕，直是在同一鉛直面內，且擺動到另一側時，能通

66

(3)

過垂直下降之重物或細繩，而不致互相碰觸。細繩與圓柱體表面問之動摩擦力可以忽略。但除最初擺鍾與 A 點同高時之外，可假第三十四屆國際物理奧林匹亞競賽理論競賽設重物的速度 A 且變為零後，靜摩擦力足夠大能使其維持不動。 X

卡---王一---叫A

圖 lb

M

位1 u)假設重物在落下距離 D 後，速度變為零，且。若質點的擺盪'足可繞過圓柱體上方，到達，且懸空的細繩部分都→直保持軍直，則 D 與 L 的比例不能小於-臨界值 αCO 請以質量比 M/m 來估計臨界值 αC' 在此忽略 R/L 的一次方或更高次方項。 [3 .4分] [答案紙] 「一個連有落體的擺」 (a)θ 與 d 間的關係為 (d) 在 P 點時，質點相對於 O 的速度石為

Iv 三|

(e)在 P 點時，質點相對於 O 的加速度在 t 方向的分量為理論第一題的在 P 點時，質點的重力位能 U 為

上

(b)Q 相對於 0 的速度均為

卅一

(c)在 P 點時，質點相對於 Q 的速度石，為

|石'=

I

(g)質點在軌跡線最低點時的速率 V

_m

_為 ν=_m (h) 由 Q 到 P 的連線為直線，且長度為最短時，質點的速率 V

_s

_{為(以 g}_與_{R 表示)}

I

v

s=

I

67 一

(4)

(2)

.JYi五

(i)質點擺動到圓柱體的男一側、且到達最高在以下問題中，假設阻尼(Damping) 及損耗( Dissipation) 的效應皆可忽略。 A 部分力學性質點時，其速率νH 為(以 g 與 R 表示)

|νH=

I

0)以質量比 M/m 來估計 D/L 的臨界值 αc

|αc=

I

一根由 x=o 延伸至 x= ∞的均勻長棒，密度為 ρ ，最初靜止，且不受應力。在一很理論第二題交流電壓下的壓電晶體共振器短的時段 f 內，以活塞對 x=o 的左端表面(見圖 2b) ，施加大小固定的壓力，使產生壓力 j皮，以 U 的波速，向右傳遞。

p

•;,

1 F←拉;一n-n~e-nb于→「

~-刁---7至，-7

無應力

圖 2a

•

α3 圖 2b 圖 2a 所示為一根自然長度為 E 、截面積為 A 的均句長棒，當其兩端表面，治著法線 (a)若在時段 !it 內，左端表面以等速度 v 運動方向這到大小相等、方向相反的縱向作用力 F (圖 2b) ，則在棒左端之應變 S 與壓力 p 各時，其長度的變化量為 Dt 。依據定義，此兩 [1. 6 分] 為何?答案只能以 ρ， U， V 表示。端表面所受的應力 T' 即為 F/A' 而此長棒的 (b)考慮在此棒內治 x 方向行進之縱波。以 x 應變 S' 則為長度變化量與自然長度的比即表示棒內一橫截面無應力下的平衡位置無應力波動 (圖 2c)

,

Dt沌。虎克定律可表示為

F

T T

.1£

T=YS 或一 =Y 一

_A

_-

_£

fE

l

、，/ 、

x

上式中的比例常數 Y 稱為該長棒材料的楊氏係數。注意:壓縮性的應力會使棒的長

p

度縮短，其所對應的縱向作用力為負值(即 F< 國 2c

l <

0)

，故壓

0)

，長度的變化量也為負值(即縮性的應力 T 與壓力 p 的關係為 p=-T 。以 ~x， t)代表Itt橫截面在時刻 t 之位移。若對密度為 ρ 的均勻長棒而言，治其長軸

(3)

上式中 (0 及 k 為常數，試求出速度 vex，

~(x， t)=~osink(x-ut)

,

傳遞的縱波(即聲波) ，其波速 U 可由公式(2) 一 68 一求得:

(5)

t) 、應變 Sex， t)及壓力 p狀， t)隨 x 與 t 變化的函數。 [2 .4分] B 部分電力性質(包括壓電效應) 考慮一塊均句的石英晶體薄板，其長度為 b' 寬度為 W' 厚度為 h' 如圖 2d 所示。取此板之長度治 x 軸，厚度治 z 軸。薄板的上、下板面各蒸鍍有一層金屬薄膜，作為電極，焊接至電極中心點的兩條引線(見圖 2e)

,

除可用來與電路連接外，還可提供此石英晶體所需之支撐。對 18 x 軸的縱向振動而言，此二電極中心點可假設為固定不動。此石英晶體之密度 ρ 為

2.65 x 10

3

kg /

m

3

，楊氏係數 Y 為

7.87 x

10

10 N /

m

2 ，薄板的長度 b 為1.00

em' 而寬度 w 與厚度 h 則有 h«w 與 w«b Z

K

x

d

qL

/圖

-vJ b 一 (e) 就此石英晶體薄板的縱波駐波，決定 Eq.(4b) 中常數 B} 及冉的值。[1. 2 分] (d) 此石英晶體薄板的縱渡駐波中，最低的兩個頻率為何? [1. 2 分] 第三十四屆國際物理奧林匹亞競賽理論競賽的關係 f 假設開關 K 未接通，且薄板上受激發後僅能出現只有 x 軸方向的縱波駐波振動。對於頻率為 f= ω/2 Tr的駐波，在時間為 t ' 平衡位置為 x 的截面，其位移 ax， t)可以表示為

~(x ， t)

=

2~og(x)cos ωIt (0 三 x 三 b)

(4a)

此處 C。為一正常數，且位置函數gω可表示為下列形式:

g(x)

=

B

1

sin

k(x -

~)

+

B

2

cos

k(x -

~)

2ι

(4b)

g(x)的最大值為 l' k= ω /u 。請記住電極的中心是靜止的，薄板的左面與右面是自由的，且應力(或壓力)為零。

-卡竺----叫+-史---叫

石英

hτ

之

圖 2e 「壓電效應」是石英晶體的一種特性。晶體被壓縮或伸張時，分居此晶體兩側的表面之間會出現電壓;反之，若晶體兩側的表面，受到外加電壓，則依據電壓的極性為正或負，此晶體會收縮或伸張。 -69 一

(6)

為了說明壓電效應，假設當上、下電極板上的表面電荷密度分別為 σ 與十σ時，石英晶體薄板會受到治著 z 方向的電場 £0 以 S 與 T 分別表示薄板的縱向 o.m x 方向)應變與應力，則此石英的壓電效應，可用下列一組關係式表示:

S

=

(l

I Y)T

+

d pE '

(5a)

σ=dpT+ε r

E

(5b)

其吽l dp=225 × lo 一 12 m/V 為壓電常

數， IIY= 1. 27xl0-

11

_m

2

_{別為定電場下之}

彈性順度(即楊氏係數 Y 的倒數 ) ，而

εT

=4.06xl0-

11

F/m 則為定應力下之電

容率。將圖 2d 中的開關 K 接通，使兩電極間的電壓為 v (t)= 只n COSω t ' 而電場是均勻的並治 Z 方向:

E

(t)

=

V(t) 巾，則最後會達到穩定態，石英晶體薄板會出現 X 方向，角頻率為 ω 的縱波駐波振動。當電場 E 為均勻時，縱波駐波的波長 A 與頻率/的關係依然為 λ =ulj 'u 是由 Eg. (2)給定。但是正如 Eq.(5的所示， T=YS 不再成立，雖然應力與應變的定義不變，薄板兩端表面維持零應力。

(e)考慮、 Eg. (5a)及 (5b) ，下方電極板上的表面

電荷密度.隨 xWt 變化的函數為

I

T"> _ _ _

, (

b

I

, T">

I

v

(t)

帥， t)

=

I

D1

COS

kl

X - ; )

+

D

2

I'

~.

/

在上式中 k= ω /

u

0 找出 D\ ， D

₂

的表示式。 [2.2 分] 的 F 方電極板上的表面總電荷 Q(t) 與電壓 v(t) 的關係為勻 2

kb

Q

(t)

=

[1

+αL(--;=;-tan .~~

-1)]C

“

v

(t)

kb

2 υ

試求出常數 Co 的表示式以及α2 的表示

式與其數值。 [1.4 分] [答案紙] 理論第二題交流電壓下的壓電晶體共振器當題日要求時，答案先寫符號表示式，再接著寫數值和單位。

例如:一個圓的面積A

=

Trr2

=

1.

23 m

2

(a)在棒左端之應變 S 與壓力 p 為(以 ρ， u， v 表

ι

(b)速度 vex， t) 、應變 S仰， t)及壓力 p仰， t)隨 X 與 t 變化的函數為 vex

,

t)= Sex

,

t)

=

[P

(x

,

t) 三 (c)常數 Bj 'B

₂

的值為

E

為一

率一

頻一

間凹一

兩一

的一

低一

回取一

波

-E

一

駐日取

AU 可_\l

(7)

恆生

(e)D1 與 D2 的表示式

怯

的常數 α2 (表示式與數值)及常數 Co (表示

叮巨

理論第三題

A 部分微中子質量與中子衰變

一個質量為 m

_n

的自由中子，在靜 Jr_時衰變成三個無交互作用的粒子:一個質子、個電子、和→個反微中子。假設反微中于的靜 [C 質量 mν 不為零，日較電子的靜[[-質量 me 小很多，而質 F 的靜止質量為 mp o 真空中的光速以 c 表示。下列為所測得的質量:

m

_n

= 939.56563 恥1eV/e2 , m

_p

三_{938.27231 恥1eV/e}2 _,

m

_e

=

0.5109907 MeV/e

2 以下所有能量與速度都是以實驗室坐標系為參考坐標。令衰變產生的電子所擁有的能量為 Eo (a) 求 E 所可能的最大值 E

_max

' 及當

E

=

E

_max

時反微中予的速率

_vm

o兩個答案都必須以粒子的靜止質量和光速表示。

已知

m

_v

< 7.3

eV/e

2

，

試計算

E

max 和

V

m

Ie

的數值至三位有效數字。 [4.0 第三十四屆國際物理奧林匹亞競賽理論競賽分

l

B

部分光浮 -半徑為 R 、質量為 m 的透明玻璃半球，其折射率為 n 。一束平行雷射光，均勻且垂直入射於此半球之平面的正中央部份，如圖 3a 所示。在此圖中重力加速度

_t

為垂直向下。此雷射光的圓截面半徑 d 遠小於 Ro玻璃半球和雷射光的對稱軸皆為 Z軸。

z

玻璃半球

n

R/

雷射光束

卡

_-1

國 3a 此玻璃球對雷射光不產生吸收。玻璃球表面已經過光學塗料的處理，因此入射光及出射光在平面及球面的反射可以忽囂不計，且，雷射光在光學塗料中的光程也可忽略。

(b)

若忽略

(6/

R)3

_{及更高次方的項，求能抵}

消玻璃半球的重量而使浮於空中所需的雷射功率 P為何? [4.0 分] 提示:當角度 _θ_遠小於 l 時，

cos

θ~1

一

θ2/2

一71 一

(8)

當題日要求時，答案先寫符號表示式，再接著寫數值和單位。例如: 公個圓的問積當 E 三 Emax 時，反微中于的速率與光速 C 的比值為(表示式和數值)

世二

A

=

nr

2

=

1.

23 m

2

微中子質量與中子衰變

(a)(以粒 f 的 i靜 II-.質量和光速 C 表 ;I~) 電子的最大能量為(表示式和I數個)

IE

rnax= 光浮 (b)能抵消玻璃半球星量而使浮於空中所需耍的雷射功率為

t

(上承第 64 頁) 附表第 34 屑 IPhO 金牌獎名單名次關別 _性別 _姓名美國男