101學測(數學考科)A4

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101 學年度學科能力測驗試題

數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 7 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿

使用修正液

(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案

者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能

不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在

一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是

，而依題意計算出來的答案是

8 3

，則考生

必須分別在答案卡上的第 18 列的 與第 19 列的 畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

7 50 

時，則考生必須分別在答

_案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3 7  8 20 21 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

18

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

20

21

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   19 18

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 6 5 分 ）

一 、 單 選 題 （ 占 3 5 分 ）

說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在

答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一

個選項者，該題以零分計算。

1.

1

₂

1

₂

1

5



4



等於下列哪一個選項？ (1) 1.01 ( 2) 1.05 ( 3) 1.1 ( 4) 1.15 ( 5) 1.21 2. 將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如下圖所示，其中第 1 層（最下層）有 10 塊，第 2 層有 9 塊，  _{，依此類推。當堆疊完 10 層時，該階梯形立體的表面積（即該立體的} 前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？ (1) 75 平方公分 (2) 90 平方公分 (3) 110平方公分 (4) 130平方公分 (5) 150平方公分 3. 下表為常用對數表log N10

的一部分：

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755            20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201            30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 請問₁₀3.032_{最接近下列哪一個選項？} (1) 101 ( 2) 201 ( 3) 1007 (4) 1076 ( 5) 2012 4. 甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗，兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布，

其中甲校學生的平均分數為 60 分，標準差為 10 分；乙校學生的平均分數為 65 分，標準差為 5 分。若用粗線表示甲校學生成績分布曲線；細線表示乙校學生成績分布曲線，則下列哪一個 分布圖較為正確？ (1) (2) (3) (4) (5)

5. 若正實數x y, 滿足log₁₀ x2.8，log₁₀ y5.6，則log (₁₀ x2y)最接近下列哪一個選項的值？

(1) 2.8 ( 2) 5.6 ( 3) 5.9 ( 4) 8.4 ( 5) 11.2

6. 箱中有編號分別為0,1, 2, ,9 的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後，再隨機抽取一球。請問 這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？

(1) 0 (2) 1 (3) 4 (4) 5 (5) 9 7. 空間坐標中有一球面（半徑大於0）與平面3x4y0相切於原點，請問此球面與三個坐標 軸一共有多少個交點？ (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5

二 、 多 選 題 （ 占 3 0 分 ）

說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項

畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或

所有選項均未作答者，該題以零分計算。

8. 設 _{f x( )x}4_5x3_x2_{ax b 為實係數多項式，且知 f i( ) 0} _（其中i2 _{ 1）。請問下列哪} 些選項是多項式方程式 f x( ) 0 的根？ (1) i ( 2) 0 ( 3) 1 ( 4) 5 ( 5) 5 9. 三角形ABC是一個邊長為 3 的正三角形，如下圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中，各選 取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？ (1) 依此方法可能連成的三角形一共有 8 個 (2) 這些可能連成的三角形中，恰有 2 個是銳角三角形 (3) 這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是直角三角形 (4) 這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是鈍角三角形 (5) 這些可能連成的三角形中，恰有 1 個是正三角形 10. 設O為複數平面上的原點，並令點A B, 分別代表非零複數z w, 。若_AOB90_{，則下列哪些} 選項必為負實數？ (1)

z

w

A

B

C

(2) zw (3) (zw)2 (4) 2 2

z

w

(5) _(zw)2 _（其中 w為w的共軛複數） 11. 若實數a b c d, , , 使得聯立方程組

8

4

3

ax

y c

x

y







  



有解，且聯立方程組

3

4

3

x by d

x

y

 





  



無解，則下 列哪些選項一定正確？ (1)

a

 

2

(2)

c

 

6

(3)

b



12

(4)

d

 

9

(5) 聯立方程組

8

3

ax

y c

x by d







  



無解 12. 在坐標平面上，廣義角



的頂點為原點O，始邊為x軸的正向，且滿足

tan

2

3

 

。若



的終 邊上有一點P，其y坐標為4，則下列哪些選項一定正確？ (1) P的x坐標是6 (2) OP2 13 (3)

cos

3

13

 

(4) sin 2



0 (5)

cos

0

2



_

13. 平面上兩點F F₁, ₂滿足F F_{1 2} 4。設d為一實數，令



表示平面上滿足 PF₁PF₂ d的所有

P

點所成的圖形，又令C為平面上以F₁為圓心、6為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？ (1) 當d 0時，為直線 (2) 當d 1時，為雙曲線

(3) 當d 2時，



與圓C交於兩點 (4) 當d 4時，



與圓C交於四點 (5) 當d 8時，不存在

第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 3 5 分 ）

說明： 1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 (14–

33)。2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 若首項為a，公比為0.01的無窮等比級數和等於循環小數_1.2，則a

。

B. 設A(1,1),B(3,5),C(5,3),D(0, 7) ,E(2, 3) 及F(8, 6) 為坐標平面上的六個點。若直線

_L

分 別與三角形ABC及三角形_DEF各恰有一個交點，則

_L

的斜率之最小可能值為

。

C. 小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星： 由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離 的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐標為(9,8)及天樞的坐標為 ) 11 , 7 ( 。依上述資訊可以推得北極星的坐標為 (,)。 D. 設點A( 2, 2) 、B(4,8)為坐標平面上兩點，且點C在二次函數

1

2

2

y



x

的圖形上變動。當C點 的x坐標為時，內積 Com b i nComb i n 有最小值

。

E. 在邊長為13的正三角形ABC上各邊分別取一點P Q R, , ，使得APQR形成一平行四邊形，如 下圖所示： 5

-B

P

Q

C

R

A

若平行四邊形APQR的面積為_{20 3}，則線段_PR的長度為

。

F. 設m n, 為正實數，橢圓 2 2

1

x

y

m



n



的焦點分別為F1(0, 2)與F2(0, 2) 。若此橢圓上有一點P 使得PF F1 2為一正三角形，則m

，

n

。

G. 坐標空間中，在六個平面

14

13

x



,

1

13

x



, y1, y 1, z 1及_{z 4}所圍成的長方體上隨 機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，則選到兩個頂點的距離大於3之機率為。 （化成最簡分數）

參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式 _ax2_{bx c  的公式解：0} 2 4 2 b b ac x a     2. 平面上兩點P x y₁( , )_{1 1} ，P x y₂( , )_{2 2} 間 的 距 離 為_{P P x x y y} 1 2 2 1 2 2 1 2  (  ) (  ) 3. 通過( , )x y1 1 與( , )x y2 2 的 直 線 斜 率 2 1 2 1 y y m x x    , x2x1 4. 首項為a , 公差為 d 的等差數列前 n 項之和為1 1 1 ( ) (2 ( 1) ) 2 2 n n a a n a n d S     等 比 數 列 ark1 的 前 n 項之和 (1 ) , 1 1 n n a r S r r     5. 級數公式 ： 2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n k n n n k n         





6. 三角函數的和角公式： sin(A B ) sin cos A Bsin cosB A

7.ABC 的正弦定理： 2 sin sin sin

a b c

R

A B  C  ， R 為 ABC 的 外 接 圓 半 徑

ABC 的餘弦定理： _c2 _a2_b2_2abcosC

8. 棣美弗 定理: 設z r (cosisin ) ， 則_zn _rn(cos_n

_

_isin_n

_

)_{，n為 一 正 整 數}

9. 算術平均數： 1 2 1 1 1 ( ) ( _n) n _i i M X x x x x n n        



（ 樣 本 ） 標 準 差 ： 2 2 2 1 1 1 1 ( ) (( ) ) 1 1 n n i i i i S x X x nX n  n          10.95%信 心 水 準 下 的 信 賴 區 間 ：

p

ˆˆ 2

p

ˆˆˆˆ

(1

p

)

,

p

2

p

(1

p

)

n

n



_

_















11. 參考數值： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,     3.142 12.對數值：log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 5 0.6990, log 7 0.845110  10  10  10 