中學生通訊解題第七期
問題編號 89701 某銀行有千禧龍年的銀幣 2000 枚，欲分裝成 n 袋(n>2)，使得每一袋內銀幣 的〝枚數〞正好形成連續的正整數。試問該如何分裝？（盡量寫出一切可能的分裝 法） 參考解答： 設第一袋裝 a 枚，第二袋裝 a+1 枚，第三袋裝 a+2 枚，…，第n
袋裝 a+(n1)枚，則 a(a1)(a2)(an1)2000
2000 2 1 2 a n n n(2an1) 4000 2553 ---(1) 因 2a 為偶數，故 n 與 2a+n1 為一奇數，一偶數，並且 2a+n1 顯然比 n 大 (2a1>0)， 所以由(1)式及上面的說明可列出下面三種方程組： (A) 2a n153 (B) 2a n1525 (C) 2a n15225 n25 n52 n5 由(A)解出 n=32 堆： 47,48,49,……,78 (a=47) 由(B)解出 n=25 堆： 68,69,70,……,92 (a=68) 由(C)解出 n=5 堆： 398,399,400,401,402 (a=398) 解題重點： （1）能將整數作適當的分解。 （2）能利用奇偶性及大小關係，簡化討論分類。 問題編號 89702三角錐 O-ABC 如右圖，每一雙相對的稜長分別為 , a BC OA a, AC b,OB b, AB c, OC c, 試問：以 a+a/，b+b/，c+c/為邊長能否作成一個三角形？ 請說明理由。 參考解答： 首先觀察四面體可分解出
ABC,OBC,OAB,OAC 四個三角形， 利用此四邊形〝兩邊之和大於第三邊〞 我們得到底下幾個數學不等式： abc ---(1) abc ---(2) 由(1)+(2)得 aa(bb)(cc) --- (3) 同理可得 bb(aa)(cc) --- (4) cc(aa)(bb) --- (5) 所以aa, bb, cc三數可為一個三角形的三邊邊長。 解題重點： （1）利用三角形兩邊和大於第三邊 （2）利用不等式性質解題。 問題編號 89703 在長 260 公分、寬 150 公分的撞球台（如圖） 由 A 洞沿 45 度角將球擊出，若球會無限制地 以 45 度角反彈，試問最後球會落入哪個球袋內？ 參考解答： （1） 這個題目可以利用下圖來分析：圖中每一小格的長為 150 公分，寬為球 台長邊的一半（130 公分），球由 A 點以45角射出，遇台邊彈回的路線 O A B C A B C G F P E D A D B E B' A' C F C/ E' B'' E'' F' D'' A'' D' P G G/ P' P//
可以用 DEF 為軸，將球台〝鏡射〞為DEF ABC，以P G 代替PG ， 再鏡射為FEDCBA，以GP代替GP……以此類推 如此第一個遇到的格點就是進入的袋。 （2） 因為 130 與 150 之最小公倍數為 1950，故要達到格點，必然是在長的方 向為 150 的倍數，在寬的方向為 130 的倍數（如圖）。 （3） 13 為一個奇數表示落袋時的邊為(D,E,F)，15 為一個被 4 除餘 3 的數，表 示球落袋時為(B,E)，今同時發生，即球將落入 E 袋。 問題編號 89704 由
n
n
個點所形成的方形點陣（n3），是否能用 2n2 條線段一筆劃（筆尖不 離紙面）完成？ 例如：n=3 時 由左圖知用 4 條線段一筆畫連成。 4=232=2n2 AXYZ 為一個正方形 13 150 AX 15 130 AZ 1950 1950 A X Z Y參考解答： 先將以 n=3，4，5 代入，動手操作，檢驗命題是否為真。 如下圖(一)所示： （1） 當 n=3 時，由 33 個點所形成的方形點陣，可用 232=4 條線段( 4 3 2 1 l l l l )畫連成。 （2） 當n4時，由4 個點所形成的方形點陣，可用4 2426條線段， 由l4畫向上延伸一點，接l5l6一筆畫連成。 （3） 當n5時，由55個點所形成的方形點陣，可用2528條線段， 由l6畫向下延伸一點，接l7 l8一筆畫連成。 由上述的事實，我們猜測命題： 〝由 nn 個點所形成的方形點陣，可用 2n2 條線段一筆畫連成。〞 以下，利用數學歸納法加以證明命題為真： （i） 當 n=3 時，以驗證得命題為真。 （ii） 假設，當nk (k 3)時，命題為真，如圖（二）所示。 即由 kk個點所形成的方形點陣，可用(2k2)條線段一筆畫連成，且 收筆在左上角（或右下角），收筆線為 l2k2。 則當 n=k+1 時， 圖一 l5 l8 l4 l1 l 2 l3 l 6 l7 k 個 l2k2 l2k3 k 個 l2k2 l2k3 或 l2k3 l2k2 k 個 k 個 圖二
即由kk的方形點陣的上方和右邊各自加一排點形成(k1)(k 1)的方形 點陣，（或由下方和左邊各自加一排點），如圖三。 此時，只要由收筆線 l2k2向上延伸一點，接 ) ( ) ( (2 1) (2 2 2) 2 1 2 2 ) 1 2 2 ( k l k l k l k l k l ，即可 2(k+1)2 條線段一筆畫 連成。 這就是說，當 n=k+1 時，命題也成立。 由（i）（ii）知，命題對任何正整數 n 都成立。 解題重點： （1）先將以 3，4，5 代入操作測試，檢驗命題是否為真。 （2）再以數學歸納法證明命題為真。 l (2k-2) l2k l(2k-1) K 個 （ K+1 ）個 K 個 （ K+1 ）個 l (2k-2) l 2k l(2k-1) （ K+1 ）個 K 個 （ K+1 ）個 K 個 圖三
問題編號 89705 今有 2000 堆石塊，每堆石塊的數目依次是 1,2,3,…..,2000 塊。每一輪允許從中 任意挑出若干堆來，並從這些堆中每堆扔掉相同數目的石塊。試問，最少需要 多少輪，就可以扔掉全部石塊？ 參考解答： 〈解法一〉 每一輪之後，都把那些具有相同數目石塊的堆視為一組。空了的堆也視為一組 假定在某個時刻共有 n 組。如果在下一輪時，又從某些堆中各扔掉相同數目的石 塊，而這些堆原屬於 k 個不同的組，則在扔後他們仍分屬於 k 個不同的組，此因 不同組的堆在扔後所剩石塊數目仍不相同。其餘的堆則至少分屬 nk 個不同的組。 因此，總的組數不會少於 max{k，nk}。 這樣一來，便可知道，在每一輪之後，組數至多減少到原來的一半，具體到問題 本身，知其下降的速度不會快於如下數列： 1000， 500，250，125，63，32，16，8，4，2，1 亦即需要經過 11 輪。另一方面，確實存在通過 11 輪即可拋盡所有石塊的可能性： 第一輪，先自塊數不少於 1000 的各堆中各扔出 1000 塊，於是，各堆中的石塊數 目只剩下如下各種情況： 1000,999，…，3，2，1，0 (*) 第二輪，再自塊數不少於 500 的各堆中各扔出 500 塊，於是各堆中的石塊數目只 剩下如下各情況： 500,499，…，3，2，1，0 如此下去。一般地，令 n 依次取遍(*)中各項，每次自塊數不少於 n 塊數各堆中扔 出 n 塊，使剩下的各堆中的石塊數目只有如下各種情況： n1，n2，…，1，0 於是只需 11 輪即可扔盡所有的石塊。 〈解法二〉 假設有 n 堆石塊，每堆石塊的數目依次是 1,2,3,…..,n 塊 (a)設 n=2k+1，k 為非負整數，每堆石塊的數目依次是 1,2,3,…..,2k+1 塊 如果每輪挑出 x 堆，每堆扔掉 y 個石塊，共扔掉了 xy 個石塊。想要最少輪，則 xy 要有最大值，且 x+y(2k+1)+1。
，等號成立 x=y=k+1 即 1,2,3...,k,k+1,...,2k+1 中挑出 k+1,k+2,...,2k+1 這 k+1 堆，每一堆扔掉 k+1 個石塊， 變成 1,2,3...,k,0,1,2,...,k。 (b)設 n=2k，k 為正整數，每堆石塊的數目依次是 1,2,3,…..,2k 塊 如果每輪挑出 x 堆，每堆扔掉 y 個石塊，共扔掉了 xy 個石塊。想要最少輪，則 xy 要有最大值，且 x+y2k+1。
等號成立 x=y= ，xy 會有最大值，但 x,y 為正整數， 故取 x=k+1，y=k 或 x=k，y=k+1，xy 有最大值。 當取 x=k+1，y=k 即 1,2,3...,k1,k,k+1,...,2k 中挑出 k,k+1,k+2,...,2k 這 k+1 堆，每一堆扔掉 k 個石塊， 變成 1,2,3...,k1,0,1,2,...,k。 當取 x=k，y=k+1 即 1,2,3...,k1,k,k+1,...,2k 中挑出,k+1,k+2,...,2k 這 k 堆，每一堆扔掉 k+1 個石塊， 變成 1,2,3...,k1,k,0,1,2,...,k1。 (c)由(a)(b)之討論可知利用這樣的方法，前一輪是 2k+1 或 2k 堆時，在每一輪之後， 最多的那一堆石塊數為 k 個。因為這種取法每次扔掉的石塊數均為最多，所以只 要每次維持這種方法，則扔石塊的次數必為最小。(d)本題一開始 n=2000，利用此法每次最多那堆石塊數依次為： 1000，500，250，125，62，31，15，8，7，3，1
故最少須 11 輪才可以扔掉全部的石塊。 解題重點：
