遞迴函數的求解技巧

(1)

遞迴函數的求解技巧

許介彥

大業大學

通訊與計算機工程學系

惡 i 雷

{路走我們問張三地最大的女兒今年幾歲，借告訴我們 I 我最大的女兒比我的第

二錯女且大五歲，我的第二個女兒又比我唯

一的兒子大三麓，話我兒子今年 11 載。 j 雖

然張玉沒有車接屈答我們的問題，各p 給了我們足夠的資訊來推算出他最大的女兒令牢是 19 歲。

也許讀者覺得上面的攬子本大臣然，另1)

麼蹲著下面這咱可能發生在日常生活中的例子: f臨走我們想要去動物醋，不曉得立的位護而求助於路人李詞，他告訴我們 I 裡往前走約一宿公尺會在路口者至IJ 一間警察局，在那甜路口在轉，往前走對第三個紅轉燈會在路口讀到一闊郵品，在那個路口在轉帶走終關百公尺說到了。 J 雖然亭的沒有直接告訴說們動物齒的地址，各p 提拱了足鶴的資訊讓我們可;其到達目的啦。讀者不難盤上盟兩個例子看出筆者想要表達的觀念:雖然張三和李四沒有直接臨答我們的問題，從{也們的回霧中我們還是是可以獲取想要的資訊。第一個例子中，我們透過算出張三萃的子女的年驗來求得甜的大灰兒

的年齡;第攝制于中，我們先到達其他的

增點(警察品和郵品)以便到達真正想去的增點;這幫個 f椅子中，張三和李的回答問是麗的方式都用 3哭了數學上…{帽稱歡遭遇的概念。

什j盤是「灑迺 J

?

「還週 J(

recurrence)

，或稱「選過關報」

( recurrence relation)

，是指將一個函數在某個點(通常只話論整數點)的函數值以壯麗i 數其他點的臨數值來表示的方式，儕如: f(訂)且 f(nI2) 今 1 ， f(n) 早 f(n-l)+

f(n

…

2)

f(的 =

3f(

.,Jn

)+2

n \ • • .. •

~ ..埠。

我們以上甜的第…{圖式子為鶴說明。了討論方便，儷設我們聽制第一個式子中的 n 立的正聲數;J(方(以便讓 2 可聽蜍 n) ，則

根據 ltt 式，臨數 f 在 n

=

8 峙的的數偉等投 n

=4 姆的話l 數擅再加 1 '前 n 口 4 時的函數笛又等於 n=2 峙的鷗數值再加 1 0 當然，

的函數定義並不完整 '~l 為式予中只表明了 f

( n

)與 f(n/2) 兩幅函數悔之醋的關{菜，我們無法得知品數在任何一點的的數值是多少， rzg .ú:七如果要將某輔臣;數以違章迪的方式明確地定義，定義中品讀飽含該函數在至少… 緝點的函數笛，以便讓我們可以自駐巴知的函數{露出發，推出該區;歡在其他點的{直;

ltt

知的鷗數{護;接常稱最「猩界條件 J

(boundary condition

)。上面的研i予中，如果

我們加上一姆邊界條件: 員 IJ 36 一

(例口只仰川叫

n叫叫仙/几均

2幻)

f(咀1)

=

1 f(

1)

=

1

(2)

f(2) =f

(1

)+1

2 f(4)

=

f(2)+

1 =

3 f(8)

口 f(4)+1

=4

只要 n ，設立的某餾非負整數次方，

f( n

) 即可求得。由上酷的幾個不闊的 n 及對膺的話!數值，我們不難「猜」出?說乎有 f(2k₎ _{k 抖的} 黯{系， i這可串數學歸納法予以証實:

Basis step:

f(2

0)

0+1=1 與記知的j邊界篠件摺符。

Inductive step:

瑕設對某f胃非負聽數主， f(2

k

)=k+l 成立，

則

f(2

k +l)

=

f(2

k

)+I( 被據遞過關係〉

=

(k

+

1)

+

l( 根據假設〉

思!lt根據數學歸納法得體:對用手:r

k

:2:

0 '

f(2

k₎ _{k 抖，宙就是當 n 1i站立的任意負整數} 次方，的數f(n)的…鞍式為 f(n)

=

log

₂n 抖。通常，我們稱建叫個用蠶題轉係表示的函數的…檻式為此遭迫i鵲 f系的 f 解 J(

solution

)。

=>

nn

n

sT 、宜， J λ 『 ', a'-n J2 、司_JrIM 勻，心勻 iM rill--3 、一一、‘， J

n

， 4. 、、 r'J

of(

n) 的一般式。解:在的闊的餅子中，我們楚臨終= 1 時的國

數{畫 f( 川開始，由小哥大地推導出 n 口 2，是，

8 時的函數偕並設法副其中觀察出 n 與 f(n) 遞迪函數的求解技巧的關係;在議聽許多遞盤問題詩，以由大而小的謂反方向來推導也常常是一個不錯的方，也就是由 f(n) 出發:

f(n)

=

2f(n/

4)

+

n

= 2(2f(nI4

2 )+ n/

4)+

n

整理按可得

f(n)=2

2 f(n/4

2 )+n/2+n

再將 i屢遭輯{系應用到 f(n/4

2

_{) :}

f(n)

=

2

2 (2f(n/

4

3)

+

n/

4

2)

+

n/2

+

n

整理?最可得

f(n)

=

2

3

f(n/

4

3)

+n/2

2 +

n/2

1

+n/ 立。

至5混個地步，我們大概可以「猜 i 古以下的規

則:

f(n) 對立 k J(nI4k) 今 nl2H

_{+nI2k-2 +...+nI2}

1

_+n

_l2

o

於

n 是毒的非為整數次芳，買主此當雌導至

n/4 k

=1

(即 n

=4k

) 時， f(n/4

k

)=27 為己

生日:

f(n)

口 2

k

f(1) +n(l /2

k斗十

1I 2

k戶

2 +...+1120)

27x2k

+n(2-1/2卜1)

=27

J;z

+n(2 2/

J;z)

=2州 25而，

得此結果後再仿照上憫，以數學歸訥法加以証實。辦題二:假設 n~是任意非歡聽數立 AHVAV => nHH F

+

、_Bzy

--',

'，‘、、 ζJFJ fizz4EEE 皂、一一、書，' "H JS ‘、 rzJ 求 f(n) 的一艘式。解:傍飼聽一將 n{藍白大海品推導的做法:

f(n)

=

f(n 一 l)+n

f(n

…

2) +

(n 1) +n

f(n-3)+(n-2)+(n 一 1)

+n

f(n-k)+ (n -k

+ 1) +

(n-k

+ 2)

+...

+n

=f(n-n)+1+2+3+

.

..+n

37

(3)

科學教嘗月刊第 238 期中華民劉九十年四月

=5+n(n+l)/2

f( 川的…撥式為，f(n)

5 +

n (n

+

1) /2

;同樣的，這可宿數握實歸納法予以誼會。

倒體三:假說 n

2

2 '

(k

~是任意非負聽數〉且

f(n)

=

{~(fn)+3

n=2

n>2

求 f (n) 的一鹼式。解:許多發似攪雜的還晶揖題常可透過變數的代換或豎立主義新的函數泥散轉換成較辛苦農處理的問題。以這個題回來說，之爵的做法還是可行，另一個做法則是令 m=log2

n

，則

i1

:> m 峭的句、 J

+

、盈， J 弓 rw "H 勻，耐 J' 皂、 1 ••. _勵，手 J azz' , 23 < Ezaazk 一一

)

胡作， h JSZK

',

J 如果我1f~Æ讓一鵲新的齒數 g(m)

=

f(2勻，則

11 m=1

g(m)

=

i

,

，~， ~

[g(mI2)+3 m

>

1

還餾函數與竄來的最i 數 f (n) 相比很明顯容易躍理多了， {方照葫盟的例題，很容器可解 j專制m)=31og

₂

m+l ，自Jtt

f(2

m)

=31og 2 m+l

持 f(n)

_{= 31og 21og2}

n

+ 1

Jtt即為 f (n) 的一般式(五百由數學鶴納法予以另解:定義一體幸存的的數斜的=

f(2

2 " ) ，與

山{~(fn)+3 叫

司斜的 =!gMH3n〉。

仿照前面的教法:

g(n)

=

g(n-l)+3

g(n

2) 十 2x3

g(n-3)+3x3

= g(n-k)+kx3

= g(n-n)+nx3

因此

g(n) 3n+l

=牟 f(2

2

_{") =3n+l}

持 f(的泣 31og

₂

log

_{2 n}

+ 1

得到與前一個做法相同的結果。

劉攝四:骰設 n 那 2

2

_{' (k 是任意非負聲數〉立}

12 n=2

烈的 =i品(fn) 什n

n>2

求 f (n) 的…般式。

解:當 n> 立時， f(的 =..Jn.f( ..Jn.)+ 知，

號間接向時除 .r:J

n '

f.尋

f(的

f(fn) 勻

n

f n '

-如果我們走巍一詞新的函數 g(的 = f(n) 侃，與自

排(;(4)+3:;;

這繡函數我軒在例題三三已經處理過，問此，

g(n) :::::

_31og2log2

n+

1

:今 f(n)

_{= 3nlog21og2}

n+ n

此即為 f (n) 一般式(可自數學歸納法予i丘吉証實) 接下來我們將嘗試用較…酸性的陳則來處理某一黨盟的議遇問題。假設某議迴屁!數以如下的方式定義:

If

(1)

n

1

f(n) 如 i

[g(n)f(n

1)+

h(n) n>

1

其中， f (l)海常數 'g 和 h 都是 n 的臨數，且

g

(n) 在 n

>

1 持不起 o c 首先，我們試著將 f

38

(4)

(的仿照前面的{辭去推導幾步看看:

f(n) =g(n)f(n-l)+h(n)

= g(n)g(n-l)f(n-2)+ g(n)h(n-l)+h(n)

g(的 g(n

-1)g(n

…

2)f(n

…

3)

+ g(n)g(n l)h(n - 2)

+

g(n)h(n

…

1)

+h(n)

的頭數萬來組多且越聚攏摟雜，間搗蛋震發至1 起來組多的盈數 g 的聶榮，也許議者會想:如果能想聽辦法將用有的 g 消除該有多好! 其實正是解蠶的興擠，因為最數 8 萬的可以還議定義新的函數諾完全被消除! 我們注意到如果上闊的控導持讀下去，最接發商為碰到邊界臻俘問中止'1ft f(n) 且 g(n)g

(n -l)g(n -

2)...

g(3)g(2)f

(1)

+...

i巍迴函數的求解技巧

10 f(n)=~

n+l

+t~_1\

L

2(n 一 1)

i 一一 f(n-l)+

一一-n

n

求烈的的一般武。解:對熙以上說明，得知

n

>

1

叫一紹

一一、、'， J

n

fz 電、、

'n

定義新函數 fl(的﹒主。

f(n)

fsz1、

F(

兮的 ll fh 川

jj

、

..

ZFLF 口

3-2

啥×

3(4…

3

0 。×

D

×!

內斗一月叫

“

vn

…

n

M

×

l-1

…n 一一叭叮

n-n/iy

d

叭×瓜

、 zy--… gEA … 你 +-n+ 一 2 OAMn-n 一一一一一一一此詩

2(n

…

1).. 2

4(n -1)

--__A 一一-8 你)g(n … 1)...g(2)

n

n+l

n(n+l)

聞此如果我們定義…{區新的話i 數 λ (n)

:

因此、‘‘'， F 勻& Jae. 、 oA 。口、，/ 勻 3 Ja. 、

0g

命、注， J 令， ι甜

n

/'‘‘、

OAU

、‘，'， ti 已， fa 也 1 、 oh 口、‘'，紗， JS 盔、。。一一、‘塾， J

n

'，‘大 J 八部種當 n>

1 '

f(n)

=

g(n)f(n

-1)

+

h(n)

:今 g(n)g(n

-1)g(n -

2)...

g(2)圳的

g(n)g(n

…

l)g(n -

2)... g(2

)j

j

(n

-1)

+

h(n)

=今 fj(的:= fl(n … 1)+ 一 g(的 g(n

-1)...

g(2)

式中，舔了等號右邊的鑼後一項較複雜外，齒數 λ 的推導過程將因為它在等號在邊的係數為 1 萬讀大大地關化:事實上，不難看出，對照有 n 注 1

'

活嗎

h(i)

fl(n)

fl (1)+).…一← f 1 空-;

g(i)g

(i

-1)...

g(2) 丸

，三(…)施。 γ

後，我們舉一個例題明這個做 ?去 D 教j題五: fl院設 n 楚任意正聽數且一…+

n-n

A 『 -n

+

HH Je 章、、

orh

rtees-IIJ 《_BZZZ$882 、

指出

神看

人難

不

n

=

1 n

>

1 fl (n)

=

45 ,

， i，二L

Z 育 i (i

+

1)

的此

f(n)

=

n

~

1 fl

(的 =tlxd上L

對 í(i

+

1)

2(n+ l)t~二L

佇 i(i

+

1)

3個Ñ，çj當i帥'>j -D

f

(n) 的…搬式，如果遺體、時簡化，可利用部分分式的技巧:

忌、 i …1

品、(2

1ì

f(n)

2仰 +1)) ';一一一 =2(n十 1)) j 一了一~I

育i(i+1) 原 i+l

i)

經過一番整理與先醬，同樣的，還可自數學歸納法予以証實。

- 39

(5)

科學教育丹刊第 238 期中華民關九十年四月

最高語

用遞過的方式定義的在海數在計算機廣算

法的設計與分析上指潰了重要的角

與i腫瘤程式 (recursive programs) 有著密切的鞠係;另外，在某盤計數 (counting) 中，還遁關{系也聽…項有力的工具，荷大大。本文限於繡蝠， 1單就少數幾餾類型的還迴懈係作了簡單的介紹，將來有機會將為讀審介紹其他想裂的 i慶油羈係求解的技巧。叮當)

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