圍道積分的例子

(1)

∫

_∞

0

v

a

−1

1 + v

dv =

π

sin πa

bee

*

107.12.16 ∼ 107.12.16

上面的積分適用於

0 < a < 1。

1. 轉換

如果設 v = ex_{，可得 dv = e}x_dx_{，因此可得} ∫ _∞ 0 va−1 1 + vdv = ∫ _∞ −∞ (ex₎a−1 1 + ex e x_{dx =} ∫ _∞ −∞ eax 1 + exdx (1)

2. 圍道積分 contour integration

取 f (z) = e az 1 + ez。考慮底下的積分路徑 γR： 圖 1 因為 1 + ez _{在 z = πi 時其值為 0，所以我們只要計算 f =} eaz 1 + ez 在 z = πi 時的 residu 即可。因此考慮 (z− πi)f(z) = eazz− πi 1 + ez = e az z− πi −(−1) + ez = e az z− πi −(eπi_{) + e}z = e az 1 ez_−eπi z−πi *_{bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee} 1

(2)

然後我們取其分母的極限： lim x→πi ez_{− e}πi z− πi = dez dz z=πi = eπi =−1 即可得

resπif = −eaπi

於是可得 ∫ γR f =−2πieaπi (2) 接下來我們考慮長方形的四個邊的線積分。首先設 IR= ∫ R −R f (x)dx (3) 然後讓 R→ ∞，I(∞) = ∫ _∞ −∞ eax 1 + exdx，這是在長方形底邊的線積分。接著看長方形頂邊的線積分是 ∫ _−R R ea(x+2πi) 1 + ex+2πid(x + 2πi) = e 2πia ( − ∫ _−R R eax 1 + ex· e2πidx ) =−e2πia ∫ _−R R eax 1 + ex· 1dx =−e2πiaIR 最後看長方形兩邊的線積分：考慮右邊 AR={R + it|0 ≤ t ≤ 2π}，可得 ∫_A R f ≤ ∫ 2π 0 _{1 + e}ea(R+it)R+it dt ≤ Ce(a−1)R = C e(1−a)R 如果我們讓 a < 1，則當 R_{→ ∞ 時，可得} ∫ AR f = 0，當然，左邊的積分值也是 0，於是我們有

I− e2πiaI =−2πieaπi

(3)

整理一下可得 I =−2πi e aπi 1− e2πia = 2πi eπia− e−πia = π sin πa (4)

3. 胡搞瞎搞一下

設 I(a) = ∫ _∞ 0 va−1 1 + vdv = ∫ _∞ −∞ eax 1 + exdx = π sin πa (5) 則當 a = 1 2 時， I(1 2) = ∫ _∞ 0 v−12 1 + vdv = ∫ _∞ 0 1 √ v(1 + v)dv = ∫ _∞ −∞ ex2 1 + exdx = π sinπ₂ = π 圖 2 當然，a 有很多種選擇，這裡我們就不再代數字進去看。

4. 參考資料

Stein & Shakarchi 的 Complex analysis 的 p79∼ p81。 3