盤狀刀具創成蝸桿與蝸輪之特性分析

國 立 交 通 大 學

機 械 工 程 學 系

碩 士 論 文

盤狀刀具創成蝸桿與蝸輪之特性分析

The Characteristic Analysis of the Worm Gear Set Generated by

Disc-Type Cutter

研 究 生： 黃健育

指 導 教 授： 徐瑞坤

教授

共同指導教授： 蔡忠杓

教授

盤狀刀具創成蝸桿與蝸輪之特性分析

The Characteristic Analysis of the Worm Gear Set Generated by

Disc-Type Cutter

研 究 生： 黃健育 Student： Jian-Yu Huang

徐瑞坤 Dr. Ray-Quen Hsu

指導教授：

蔡忠杓 Advisor： Dr. Chung-Biau Tasy

國 立 交 通 大 學

機 械 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

In

Mechanical Engineering June 2007

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

盤狀刀具創成蝸桿與蝸輪之特性分析

研究生：黃健育 指導教授：徐瑞坤 博士 共同指導教授：蔡忠杓 博士 國立交通大學機械工程學系 摘要 蝸桿蝸輪組可以克服一般傳統齒輪組在特定的模數下齒數太少時，齒 輪齒面會產生過切的現象，亦可以提供一般傳統正齒輪及螺旋齒輪無法達 成之大減速比效果，又蝸桿蝸輪組為多齒接觸，接觸比較高，因而可應用 在須較高負荷的場合。由於工業界對於定位精度與穩定度之要求日益升高 的情況下，高接觸比之蝸桿蝸輪組所帶來之效益也日益顯著。為提高蝸桿 蝸輪組之接觸比，可將蝸桿與蝸輪之軸交錯角設定為非 90°，以此種方式增 加了蝸桿蝸輪組之接觸比，使得機構的結構更為緊湊。 本研究將利用齒輪原理以及電腦輔助設計技術，針對盤狀刀具創成之 蝸桿蝸輪組，進行其齒面數學模式的建立並以程式語言建構所推導之蝸桿 蝸輪組齒面數學模式，並以電腦繪圖軟體建構並繪製模型。此外，本研究 亦將以程式語言模擬此機構運動中之運動狀況，針對蝸桿與蝸輪兩齒面間 的接觸情形進行模擬與分析研究，探討正常裝配狀況下與具有裝配誤差狀 況下蝸桿蝸輪組之傳動特性及接觸齒印大小、分佈位置與形狀的差異等， 此分析結果可供蝸桿蝸輪設計與製造者之重要參考。

The Characteristic Analysis of the Worm Gear Set Generated by

Disc-Type Cutter

Dr. Ray-Quen Hsu

Student: Jian-Yu Huang

Advisor:

Dr. Chung-Biau Tasy

Department of Mechanical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

Worm gear sets can conquer the tooth undercutting problem, which occurs due to the small number of teeth of conventional gear sets with some special modules. Therefore, worm gear sets can provide high gear ratio that spur and helical gear sets could not offer. Besides, the worm gear set has a larger contact ratio which enables its loading capability. In order to increase the contact ratio of a worm gear set, the worm gear set can be generated with a non-ninety-degree crossing angle. This kind of generating method not only increase the contact ratio of worm gear sets, but also make the transmission mechanism more compact.

In this research, the mathematical model of a worm gear set is developed based on the theory of gearing and the technique of computer aided design. The worm is generated by a disc-type grinding wheel and worm gear is generated by a fly-cutter. Based on the developed mathematical model, a computer graph of the worm gear set is presented. Besides, tooth contact analysis of the worm gear set is also performed to calculate the location of the contact points. Meanwhile, contact patterns and transmission errors of the worm gear set with assemble errors are also investigated. The analysis results are most helpful to the designers and manufacturers.

誌謝

本論文能順利完成，首先要感謝指導教授 蔡忠杓博士，在公事繁忙之 餘仍撥冗指導學生之論文研究，此外，老師認真耿直的待人處世態度，亦 讓學生受益匪淺。 同時也感謝指導教授 徐瑞坤博士以及劉家彰學長給予學生論文的指 正與建議，使本論文的立論與措辭均更趨於完備。亦感謝齒輪研究室的瑞 堂學長、冠宇學長、立碁學長不吝惜提供寶貴的意見，以及與威良學長、 偉旭學長、家誠同學、宗賢同學的意見交流，這些討論總是能激發新的想 法來解決研究上的困惑，著實助益不少，讓我能在研究室平穩和樂的氣氛 之中，順利的度過兩年的研究生活。 此外，也要感謝交通大學友聲合唱團志趣相投的朋友們，和你們相處 讓我忘卻課業上的壓力，能夠以嶄新的心態去面對下個挑戰。 最後要感謝我的父母以及兄長，有他們的栽培以及支持才能成就今日 的我。

目錄

中文摘要 ... i 英文摘要 ... ii 誌謝 ...iii 目錄 ... iv 圖目錄 ... v 表目錄 ... vi 符號表 ... ix 第一章 緒論 ... 1 1.1 前言 ... 1 1.2 文獻回顧 ... 2 1.3 研究方向 ... 2 第二章 ZK 型蝸桿之數學模式推導 ... 4 2.1 前言 ... 4 2.2 直邊磨輪刀具之數學模式 ... 6 2.3 蝸桿之嚙合方程式 ... 10 2.4 蝸桿之齒面數學模式 ... 14 2.5 ZK 型蝸桿之電腦輔助繪圖... 17 第三章 蝸輪數學模式之推導... 19 3.1 前言 ... 19 3.2 假想齒條刀之刀面數學模式... 19 3.3 蝸輪之嚙合方程式 ... 26 3.4 蝸輪之齒面數學模式 ... 28 3.5 蝸輪之電腦輔助繪圖 ... 29

4.1 前言 ... 31 4.2 蝸桿蝸輪組齒面接觸分析數學模式... 32 4.3 蝸桿蝸輪組接觸齒印分析之數學模式... 37 4.4 例題討論 ... 42 4.5 本章結論 ... 76 第五章 結論與未來展望... 77 5.1 結論 ... 77 5.2 未來展望 ... 78 參考文獻 ... 79

圖目錄

圖 2.1 單包絡蝸桿的種類[1] ... 5 圖 2.2 磨輪直邊刀具之法向剖面圖... 7 圖 2.3 磨輪直邊刀具之導角法向剖面放大圖... 9 圖 2.4 模擬直邊磨輪座標系S_c( )H 與S_a( )H 之關係... 9 圖 2.5 空間中兩嚙合曲面之運動關係示意圖... 12 圖 2.6 直邊磨輪創成蝸桿之座標示意圖... 15 圖 2.7 ZK 型蝸桿之電腦輔助繪圖 ... 18 圖 3.1 飛刀之法向剖面圖... 21 圖 3.2 飛刀法向剖面之導角放大圖... 21 圖 3.3 飛刀剖面形成具導程角之假想齒條刀的相對座標關係圖 ... 22 圖 3.4 齒條刀與蝸輪相對運動關係圖... 23 圖 3.5 蝸桿蝸輪組之軸交角關係示意圖... 25 圖 3.6 蝸輪之電腦繪圖... 30 圖 4.1 蝸桿蝸輪組具裝配誤差之座標系關係示意圖... 33

圖 4.2 兩嚙合齒面與切平面座標關係示意圖... 38 圖 4.3 固定一

θ

_t角時之r_t −Z_t截面圖... 38 圖 4.4 切平面座標系與其他座標系之關係示意圖... 40 圖 4.5 理想裝配之蝸桿蝸輪組接觸齒印比較圖(1) ... 46 圖 4.5 理想裝配之蝸桿蝸輪組接觸齒印比較圖(2) ... 47 圖 4.5 理想裝配之蝸桿蝸輪組接觸齒印比較圖(3) ... 48 圖 4.6 Case3 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(1) ... 59 圖 4.6 Case3 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(2) ... 60 圖 4.7 Case4 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(1) ... 61 圖 4.7 Case4 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(2) ... 62 圖 4.8 Case5 裝配在具有裝配誤差下之接觸齒印(1) ... 63 圖 4.8 Case5 裝配在具有裝配誤差下之接觸齒印(2) ... 64 圖 4.9 Case1 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(1) ... 71 圖 4.9 Case1 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(2) ... 72 圖 4.9 Case1 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(3) ... 73 圖 4.10 Case2 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(1) ... 74 圖 4.10 Case2 配對在具有裝配誤差下之接觸齒印(2) ... 75

表目錄

表 2.1 ZK 型蝸桿與直邊磨輪之設計參數 ... 17 表 3.1 蝸輪與飛刀之設計參數... 30 表 4.1 蝸桿蝸輪組之主要設計參數... 43 表 4.2 理想裝配狀況下 Case1 之配對嚙合接觸情形... 44 表 4.3 理想裝配狀況下 Case2 之配對嚙合之接觸情形... 44 表 4.4 理想裝配狀況下 Case3 之配對嚙合之接觸情形... 45

表 4.5 理想裝配狀況下 Case4 之配對嚙合之接觸情形... 45 表 4.6 理想裝配狀況下 Case5 之配對嚙合之接觸情形... 46 表 4.7 Case3 配對在具有中心距裝配誤差ΔS =−0.5mm之接觸情形... 50 表 4.8 Case3 配對在具有中心距裝配誤差ΔS =−1.0mm之接觸情形... 50 表 4.9 Case3 配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.2°之接觸情形 ... 51 表 4.10 Case3 配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.4°之接觸情形... 51 表4.11 Case3 配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.2°之接觸情形... 52 表4.12 Case3配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.4°之接觸情形... 52 表4.13 Case4配對在具有中心距誤差ΔS =−0.5mm之接觸情形... 53 表4.14 Case4配對在具有中心距誤差ΔS =−1.0mm之接觸情形... 53 表4.15 Case4配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.2°之接觸情形... 54 表4.16 Case4配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.4°之接觸情形... 54 表4.17 Case4配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.2°之接觸情形... 55 表4.18 Case4配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.4°之接觸情形... 55 表4.19 Case5配對在具有中心距誤差ΔS =−0.5mm之接觸情形... 56 表4.20 Case5配對在具有中心距誤差ΔS =−1.0mm之接觸情形... 56 表4.21 Case5配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.2°之接觸情形... 57 表4.22 Case5配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.4°之接觸情形... 57 表4.23 Case5配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.2°之接觸情形... 58 表4.24 Case5配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.4°之接觸情形... 58 表4.25 Case1配對在具有中心距裝配誤差ΔS =−0.5mm之接觸情形... 65 表4.26 Case1配對在具有中心距裝配誤差ΔS =−1.0mm之接觸情形... 66 表4.27 Case1配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.2°之接觸情形... 66 表4.28 Case1配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.4°之接觸情形... 67 表4.29 Case1配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.2°之接觸情形... 67

表4.30 Case1配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.4°之接觸情形... 68 表4.31 Case2配對在具有中心距裝配誤差ΔS =−0.5mm之接觸情形... 68 表4.32 Case2配對在具有中心距裝配誤差ΔS =−1.0mm之接觸情形... 69 表4.33 Case2配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.2°之接觸情形... 69 表4.34 Case2配對在具有水平軸向裝配誤差Δ

γ

_h =0.4°之接觸情形... 70 表4.35 Case2配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.2°之接觸情形... 70 表4.36 Case2配對在具有垂直軸向裝配誤差Δ

γ

_v =0.4°之接觸情形... 71

符號表

1 u 直邊磨輪刀具之刀面直邊參數(mm) 2 u 飛刀直邊刀刃之設計參數(mm) ( )H n

α

直邊磨輪之法向壓力角(度) ( )F n

α

飛刀直邊刀刃之法向壓力角(度) ( )H n m 直邊磨輪刀具之法向模數(mm/齒) ( )F n m 飛刀之法向模數(mm/齒) c r 直邊磨輪刀具面之節圓半徑(mm) l R 飛刀圓形刀盤之半徑(mm) H a 直邊磨輪刀具之齒冠高(mm) H h 直邊磨輪刀具之齒根高(mm) F a 假想齒條刀之齒冠高(mm) F h 假想齒條刀之齒根高(mm) H b 直邊磨輪刀具之刀面設計參數(mm) F b 齒條刀法向節距的四分之一(mm) Hr

ρ

直邊磨輪導角之圓弧半徑(mm) Hr

θ

直邊磨輪導角之圓弧參數(度) Hr f 直邊磨輪導角圓弧半徑相關之參數(mm) Fr

ρ

飛刀法向剖面導角之圓弧半徑(mm) Fr

θ

飛刀法向剖面導角之圓弧參數(度) Fr f 飛刀法向剖面導角圓弧半徑相關之參數(mm) D 直邊磨輪導角之圓心 C 飛刀法向剖面導角之圓心 H

λ

磨輪導程角(度) F

λ

假想齒條刀之導程角(度) H

θ

磨輪的外形設計參數(度) F

θ

飛刀法向剖面之位置參數(度)

W 假想齒條刀之齒寬(mm) 1 r 蝸桿節圓半徑(mm) 2 r 蝸輪之節圓半徑(mm) c A 蝸桿與磨輪之中心距(mm) p 蝸桿單位角度之導程(mm/rad)

γ

蝸桿蝸輪之交錯角(度) 1

φ

蝸桿創成時之旋轉角(度) 2

φ

蝸輪創成時之旋轉角(度) ' 1

φ

蝸桿實際嚙合時的旋轉角(度) ' 2

φ

蝸輪實際嚙合時的旋轉角(度) S 齒輪座標系S₁及S₂之中心距(mm) S Δ 垂直軸向中心距誤差(mm) h

γ

Δ 水平軸向裝配誤差(度) v

γ

Δ 垂直軸向裝配誤差(度)

δ

Z 軸與_m Z 軸之夾角_n (度)

ε

Z 軸與_n Z 軸之夾角_t (度) ( )H M₀ 磨輪剖面之直邊固定點 ( )H M 在磨輪剖面之直邊上移動的動點 ( )F M₀ 飛刀法向直邊之起點 ( )F M 在飛刀法向直邊上移動的動點 ( )i j S

(

( ) ( ) ( )i

)

j i j i j ,Y ,Z X 座標系S_j( )i (i= H,F， j =a,ar,c,cr,h, f',b,br,b',F) i S

(

X_i,Y_i,Z_i

)

座標系S (_i i= f, f2, fh, fv,1,2,t,m,n,t) ( )i j O 座標系S 之原點 _j( )i i O 座標系S 之原點 _i ( )i j R 表示在座標系 ( )i j S 之位置向量 (i= H,F， j=a,ar,c,cr,h, f',b,br,b',F,1,2) ( )i j n 表示在座標系 ( )i j S 之單位法向量 (i= H,F， j=a,ar,c,cr,h, f',b,br,b',F,1,2)

( )i j ω 表示在座標系S 之角速度(_j( )i i= H,F， j = f',2) ( )i jk M 齊次座標轉換矩陣，表座標系S 轉換至座標系_k( )i ( )i j S ( )i jk L 法向量轉換矩陣，表座標系S 轉換至座標系_k( )i ( )i j S ( )ij k V 物體i 相對於物體 j 之速度，表示在S 座標系上 _k ( )i j V 物體i 表示於S 座標系上之速度 _j 1 Σ 蝸桿齒面 2 Σ 蝸輪齒面 T Σ Σ₁與Σ₂之共同切平面 t P 座標系S 上之動點 _t 1 d 動點P 至齒面_t Σ 距離 ₁ 2 d 動點P_t至齒面Σ₂距離 t

θ

切平面Σ 上之角度(度) _T t r 切平面Σ 上之位置向量 _T t R O_t點至動點P_t點之距離

第一章

緒論

1.1 前言 蝸桿蝸輪組為空間交錯軸(Crossed Axes)之動力傳動元件，通常運用在 交錯軸傳動或是需高減速比的場合。一般的齒輪在設計上是以其節圓(Pitch Circle)或是節圓面(Axode)為假想圓或假想面，在節點(Pitch Point)或節線 (Pitch Line)處以純滾動的方式傳遞動力，此一節圓的半徑取決於齒輪齒數與 模 數 。 然 而 齒 輪 在 特 定 模 數 下 當 齒 數 太 少 時 ， 齒 輪 會 產 生 齒 面 過 切 (Undercutting)現象，故傳統正齒輪以及螺旋齒輪無法提供大減速比，而必 須藉由多級之減速機構才能達到此一效果，但此類多級之減速機構也會佔 據較大的空間，應用上相當不便。以蝸桿蝸輪而言，蝸桿節圓半徑在設計 上與蝸桿齒數並無直接關聯，使得蝸桿蝸輪組之傳動具有較大的單級傳動 減速比(一般約為 8 到 100 之間)，因單級之蝸桿蝸輪組具備此一高減速比之 特性，可取代一般多級齒輪減速機構所能達到的傳動比，達成減少齒輪對 之數目以及簡化傳動機構的效果，同時，當蝸桿導程角小於蝸輪組之摩擦 角時，可使蝸桿蝸輪組在傳動時具備有自鎖(Self Locking)特性，可承受一定 程度之振動與衝擊，也具有安全上的優點。 一般齒輪組傳遞動力之齒面接觸位置多落在靠近節圓附近並以滾動為 主，而蝸桿蝸輪組在傳遞動力上則是以滑動為主。蝸桿蝸輪組之平均接觸 比在 2 以上(含)，為高接觸比之齒輪組。一般而言，當齒輪組作為減速機構 時，高速運轉中的主動齒輪會因為齒隙而產生振盪或顫振，因而在與從動 齒輪相互作用時會產生振動與噪音。然而具備高接觸比之蝸桿蝸輪組在運 轉時，由於其每一瞬間齒輪組嚙合工作的齒數較多，可以降低齒輪組接觸 齒面之平均負載，因此，在高速運轉時具備有較高的齒面承載能力，且可

由於蝸桿蝸輪組具備以上優點，因而廣泛地應用於汽車的轉向機構、連續 分度機構、高樓電梯之減速機構等，需具備有較大傳動減速比的場合。近 年來，工業產品對定位精度要求較高者，如大型天文望遠鏡之赤道儀，以 及精密工具機工作台之定位機構等，也多採用雙導程蝸桿蝸輪機構。

1.2 文獻回顧

Zheng[2,3]等人於 1989 年，利用一條動線(Generating Line)在空間中運 動所產生之軌跡面，用以表示蝸桿之齒面，並討論其製造加工程序。 Janninck[4]則於 1988 年提出齒面外形法(Surface Topology Method)，來模擬 利用增徑滾刀(Over Size Hob Cutter)滾削蝸輪時其創成齒面之接觸情形。 Bair 和 Tsay[5]於 1998 年則探討了 ZK 型蝸桿蝸輪組之接觸齒數、接觸比和 運動誤差。Fang 和 Tsay[6]於 2000 年推導出 ZN 型蝸桿蝸輪組之齒面數學模 式，並研究利用增徑滾刀來滾削 ZN 型蝸輪及探討此蝸桿蝸輪組之接觸分析 (Tooth Contact Analysis)，除計算蝸桿蝸輪組之接觸點及其接觸齒印(Contact Pattern)的大小與形狀，並探討其嚙合接觸路徑(Contact Path)。陳嘉宏[7]於 2003 年進行非 90∘交錯角之 ZK 型蝸桿，與利用飛刀(Fly Cutter)配合軌跡 法建立之蝸輪齒面模式推導，並進行蝸桿蝸輪組之接觸分析。2004 年廖健 雄[8]則進行非 90∘交錯角之 ZN 型蝸輪與 ZK 型蝸桿之接觸分析與齒印分 析。 1.3 研究方向 本研究將利用 Litvin[9,10]所發展之齒輪原理並配合電腦輔助設計，針 對不同交錯角之蝸桿蝸輪組，進行齒面數學模式推導與接觸特性分析。本 研究主要有以下四個主題： 一、利用直邊磨輪機構，以創成法求得 ZK 型蝸桿之齒面數學模式。 二、將飛刀裝置在盤狀刀具上，利用飛刀法向截面沿盤狀迴旋之路徑，模

擬出假想齒條刀之外形，再依據齒輪創成原理以推導蝸輪齒面之數學 模式。

三、針對此蝸桿蝸輪組齒面之接觸情形進行齒面嚙合分析與研究，探討具 裝配誤差情況下，蝸桿蝸輪組之傳動特性、接觸比以及接觸齒印大小。 四、針對此一蝸桿蝸輪組，提出未來之工作重點。

第二章

ZK 型蝸桿之數學模式推導

2.1 前言

蝸桿蝸輪組依照其外形輪廓可區分為兩大類：(1)單包絡蝸桿與蝸輪(圓 柱型蝸桿)；(2)雙包絡蝸桿與蝸輪(Hourglass 蝸桿)。如圖 2.1 所示，單包絡 蝸桿蝸輪又可分為：阿基米德蝸桿(Archimedean Worm)，即 ZA 型蝸桿；漸 開線蝸桿(Involute Shaped Worm)，即 ZI 型或 ZE 型蝸桿；法向直廓蝸桿 (Straight-Sided Normal Worm)，即 ZN 型蝸桿；盤狀錐面包絡圓柱蝸桿(Milled Helicoid Worm)，即 ZK 型蝸桿和 Flender 蝸桿，亦稱 ZH 型蝸桿。雙包絡蝸 桿蝸輪可分為：Hinley 蝸桿、螺旋齒輪及其包絡蝸桿、Lorentz 蝸桿、平齒 面蝸輪及其包絡蝸桿。 蝸 桿 其 製 造 方 式 主 要 可 分 為 軌 跡 法 (Locus Method) 以 及 創 成 法 (Generation Method)。軌跡法所切削之蝸桿是在加工蝸桿齒面時，由一母線 (即刀刃)沿著蝸桿(工件)軸線作相對螺旋運動，便可切削出蝸桿之齒面，以 這種加工方法所切削之齒面稱為軌跡曲面，一般是在車床上以直邊刀刃的 車刀切削出來。根據車刀安裝位置之不同，其所切削出來的蝸桿齒面之齒 廓剖面曲線形狀也不同，如上述之 ZA、ZN 與 ZE 蝸桿。創成法所製造之蝸 桿是在銑床或磨床上用端銑刀或盤狀環面刀具加工出來，用這種方法加工 的蝸桿齒面為刀具面的包絡面(Envelope)，故以此種加工方法所產生之齒面 稱為包絡曲面，如：ZK 型蝸桿。 本研究之蝸桿類型屬於單包絡 ZK 型蝸桿，係利用直邊磨輪所創成，並 求得其磨削過程中磨輪之包絡面。在推導蝸桿蝸輪之數學模式過程中，須 假設：(1)切削中之刀具以及工件均視為剛體，亦即不考慮兩者之彈性變形； (2)不考慮動態情形與溫度之效應；(3)無任何機器設定誤差與間隙之影響。

圖 2.1 單包絡蝸桿的種類[1] b R :基圓半徑 (a)ZA 型蝸桿 (b)ZN 型蝸桿 (c)ZK 型蝸桿 (d)ZE 型蝸桿 直邊 漸開線 b R 2 阿基米德曲線

由於本研究所創成之 ZK 型蝸桿的齒面是直邊磨輪的包絡面，且 ZK 型 蝸桿之齒面與磨輪刀具間之接觸恆保持相切的情形，因此在推導 ZK 型蝸桿 之齒面數學方程式時，除了須求得直邊磨輪刀具表示在被創成蝸桿齒面上 之 軌 跡 方 程 式 外 ， 尚 須 求 得 直 邊 磨 輪 刀 具 與 蝸 桿 齒 面 之 嚙 合 方 程 式 (Equation of Meshing)，才得以推導出蝸桿之齒面數學方程式。 2.2 直邊磨輪刀具之數學模式 假設蝸桿齒面為Σ₁，Σ_H為創成蝸桿齒面之磨輪刀具。如圖 2.2 所示為 直邊磨輪刀具之法向剖面圖(Normal Cross Section)，其左右刀面為對稱，直 邊磨輪法向外形之刀面方程式可表示於S_a( )H

(

X_a( )H ,Y_a( )H ,Z_a( )H

)

座標系如下 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ± = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin 0 cos 1 1 1 H n H H n H a H a H a u b u Z Y X

α

α

H a R (2.1) (2.1)式之正負號上方的符號代表直邊磨輪之右刀具面的刀刃，此刀具 面係用以創成蝸桿之左側齒面；正負號下方的符號則代表直邊磨輪之左刀 具面的刀刃，此刀具面用以創成蝸桿之右側齒面。

α

_n( )H 為直邊磨輪之法向 壓力角(Normal Pressure Angel)；u 為構成直邊磨輪刀具之刀面的其中一個₁ 設計參數，表示由磨輪剖面之直邊固定點M₀( )H (如圖 2.2)，沿此剖面之直邊 移 動 到 任 一 動 點 _M( )H _{之 距 離 ， 亦 即} ( )H ( )H M M u₁ = ₀ ， 其 範 圍 定 義 為

(

)

( )

(

)

( )H n H c H n H c h u r a r − /cosα ≤ 1 ≤ + /cosα 。此外，bH亦可由圖 2.2 所示之幾何關 係求出： ( ) ( )H n c H n H r m b

π

tan

α

4 + = ，其中m_n( )H 為直邊磨輪刀具之法向模數 (Normal Module)；r_c為直邊磨輪刀具面之節圓半徑；a_H與h_H分別為齒冠高 與齒根高，在本研究中兩者均設定為m_n( )H 。

圖 2.2 磨輪直邊刀具之法向剖面圖 ( )H n

α

H

a

H

h

H

b

c

r

( )H

M

₀ ( )H

M

( )H a

O

( )H a

X

( )H a

Z

( )

4

H n

m

π

1

u

( )H ( )H

M

M

u

₁

=

₀ ( )H

M

₁

D

圖2.3則為圖 2.2直邊磨輪刀具之導角放大圖，此導角之方程式可表示 於S_a( )H

(

X_a( )H ,Y_a( )H ,Z_a( )H

)

座標系如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

( )

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ± + + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 cos cos tan 4 0 sin sin 1 Hr H n Hr H n H H n H c H n Hr Hr H ar H ar H ar a m a r Z Y X θ α ρ α π α θ ρ H ar R (2.2) 其中

ρ

_Hr為直邊磨輪導角之圓弧半徑；

θ

_Hr為導角之圓弧參數，其範圍定義為 ( ) 2

π

θ

α

H ≤ _Hr ≤ n ；fHr係與圓弧半徑相關之參數，於本研究中設定為 ( )H n m 25 . 0 。 圖 2.2 所示之磨輪刀具法向剖面的Z_a( )H 軸即為磨輪在創成蝸桿時之旋 轉軸，因此，若將此磨輪刀具法向剖面沿著Z_a( )H 軸旋轉，即可形成完整的 磨輪外形。如圖 2.4 所示，S_a( )H

(

( ) ( ) ( )H

)

a H a H a ,Y ,Z X 座標系之Z_a( )H 軸若與磨輪座 標系S_c( )H

(

( ) ( ) ( )H

)

c H c H c ,Y ,Z X 之旋轉軸Z_c( )H 重合，並以此Z_c( )H 軸旋轉

θ

_H角，此 處0≤

θ

_H ≤360°，即構成一完整的磨輪外形。因此，磨輪刀具面之法向剖面

位置向量可利用齊次座標轉換(Homogeneous Coordinate Transformation)矩 陣方程式，由磨輪之刀面法向座標系S_a( )H

(

( ) ( ) ( )H

)

a H a H a ,Y ,Z X 轉換至磨輪座標 系S_c( )H

(

( ) ( ) ( )H

)

c H c H c ,Y ,Z X 如下： 磨輪直邊刀面方程式為 ( ) ( ) ( )H a H ca H c M R R = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ± = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin sin cos cos cos 1 1 1 1 H n H H H n H H n H c H c H c u b θ u θ u Z Y X

α

α

α

(2.3) 磨輪之圓弧導角刀面方程式為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 H cr H cr H cr Z Y X H ar H ca H cr M R R

圖 2.3 磨輪直邊刀具之導角法向剖面放大圖 圖 2.4 模擬直邊磨輪座標系S_c( )H 與S_a( )H 之關係 ( ) ( )H a H c

O

O

,

( ) ( )H a H c

Z

Z

,

( )H a

Y

( )H c

Y

H

θ

( )H a

X

( )H c

X

D

( )H

M

₁ ( )H n

α

Hr

ρ

_θ

_Hr Hr

f

( )

(

)

(

)

[

]

( )

(

)

(

)

[

]

( ) ( )

(

( )

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ± + + − + + − = 1 cos cos tan 4 sin sin sin cos sin sin Hr H n Hr H n H H n H H c H n Hr Hr H H c H n Hr Hr a m a r a r

θ

α

ρ

α

π

θ

α

θ

ρ

θ

α

θ

ρ

(2.4) 其中 ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos H H H H θ θ θ θ H ca M (2.5) H

θ

為磨輪的外形設計參數，(2.3)與(2.4)式即為直邊磨輪刀具之數學模式。 2.3 蝸桿之嚙合方程式 兩相互嚙合齒輪之嚙合方程式是表示這兩個齒輪之齒面參數與其運動 參數之間的關係式。由於兩齒面於嚙合時之接觸狀態應為連續，如圖 2.5 所 示，O 點為兩嚙合齒面或曲面_T ∑ 與₁ ∑ 於空間相切時之共切點(Common 2 Tangent Point)，同時亦為兩曲面之瞬時接觸點，因此兩曲面在O 點具有共_T 同法向量N ，_{V 表示曲面}( )12 1 ∑ 與∑ 在2 O 點之相對速度。 T 由於兩曲面在嚙合的過程中為連續接觸之狀態，既不會發生一曲面撞 入另一曲面，也不會有兩曲面分離的情形，因此，不論是點接觸或線接觸 的狀態，在兩曲面之共同法向量方向不應存在兩曲面之相對速度_{V ，又}( )12 因兩曲面存在嚙合之運動關係，故兩曲面必存在一相對速度且與其共同法 向量垂直，亦即此相對速度必落在兩曲面之共同切平面∑ (Common Tangent _T Plane)上。因此兩曲面進行嚙合運動時，其共同法向量 N 與其相對速度V( )12 在共切點O_T處必互相垂直，亦即兩者之內積為零。此一現象可以下列式子 表示之： ( ) 0 = •_V12 N (2.6)

此一關係式即為兩共軛運動曲面之嚙合方程式。 根據齒輪原理[9]，被創成之齒輪外形可由刀具在被創成之齒輪座標系 上的軌跡方程式與嚙合方程式聯立而得。由齒輪基本理論得知，要推導磨 輪與被創成之蝸桿的嚙合方程式，須先將直邊磨輪齒面與蝸桿齒面之接觸 點相對速度_V( )H1 _{，與直邊磨輪之法向量N 表示在同一座標系。由於相對}( )H 速度與法向量在其共同接觸線上係呈現相互垂直之關係，若將此一關係表 示在S_f'( )H 座標系，則嚙合方程式可表示為： ( ) ( ) 0 = ⋅ H1 f' H f' V N (2.7) 由於直邊磨輪刀具之左右刀面是由

θ

_H與u 決定之規則曲面，因此將直₁ 邊磨輪刀具外形之數學模式對

θ

_H與u₁取偏微分之外積，即可求得磨輪刀具 之直邊左右刀面之法向量： ( ) ( ) ( ) H u ∂

θ

∂ × ∂ ∂ = H c H c H c R R N 1 (2.8) 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∂ ∂ H n H H n H H n θ θ u

α

α

α

sin sin cos cos cos 1 m H c R (2.9) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ∂ ∂ 0 cos cos sin cos 1 1 H H n H H n H θ u θ u

α

α

θ

H c R (2.10) 將方程式(2.9)以及(2.10)代入方程式(2.8)，化簡可得： ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± ± = H n H n n H n n u u u

α

θ

α

α

θ

α

α

2 1 1 1 cos sin cos sin cos cos sin H c N (2.11) (2.11)式正負號上方符號代表直邊磨輪之右刀面之法向量，下方符號則代表 左刀面之法向量，而單位法向量可由下列式子求得：

圖 2.5 空間中兩嚙合曲面之運動關係示意圖

N

( )12

V

T

O

T

∑

2

∑

1

∑

( ) ( ) ( )H c H c H c N N n = (2.12) 由(2.11)及(2.12)式可求得直邊磨輪刀具面之單位法向量為： ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± ± = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n H n H n H cz H cy H cx n n n

α

θ

α

θ

α

cos sin sin cos sin H c n (2.13) 如前所述，正負號上方符號代表直邊磨輪之右刀面之單位法向量，下方符 號則為左刀面之單位法向量。同理亦可求得磨輪刀具之導角左右刀面單位 法向量如下： ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± ± = Hr H Hr H Hr

θ

θ

θ

θ

θ

cos sin sin cos sin H cr n (2.14) 直邊磨輪刀具面與被創成之蝸桿齒面之相對速度，可由圖2.6 之相對關 係圖看出。假設直邊磨輪刀具固定在S_f'( )H 座標系上，即直邊磨輪刀具在 ( )H f S _' 座標系上之速度V_f'( )H =0。將被切製之蝸桿與直邊磨輪刀具之相對應接 觸點速度表示在S_f'( )H 座標系上： ( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )t1 f' H h H f' 1 f' ω R V V = × + ' + 1 f h O O ( )

(

( )

)

( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = p A θ u u b θ u c H H n H H n H H H H n cos cos sin sin cos sin cos 1 1 1 1

α

λ

α

λ

α

ω

m (2.15) 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 H h H h H h Z Y X H c H hc H h M R R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = 1 cos sin sin cos H H c H H c H H c H H c H c Z Y Z Y X

λ

λ

λ

λ

(2.16)

( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 ω H f' ω ， ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 pω t1 f' V ， ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 1 ' 1

φ

p A O O c f h ( )H h R 為表示於S_h( )H

(

X_h( )H ,Y_h( )H ,Z_h( )H

)

座標系中之磨輪刀具面位置向量；ω_f'( )H 為表示在S_f'( )H 座標系上之蝸桿角速度；V_f'( )t1 為表示在S_f'( )H 座標系上之蝸桿 切線速度； ( )' 1 f h O O 為表示在S_f'( )H 座標系上之O₁至O_h( )H 的相對位置向量。 磨輪刀具面之單位法向量亦可由S_c( )H

(

( ) ( ) ( )H

)

c H c H c ,Y ,Z X 座標系轉換至 ( )H f S _'

(

( ) ( ) ( )H

)

f H f H f ,Y ,Z X _{' ' '} 座標系如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = H H cz H H cy H H cz H H cy H cx H z f H y f H x f n n n n n n n n

λ

λ

λ

λ

cos sin sin cos ' ' ' H c H f'c H f' L n n (2.17) 將方程式(2.15)以及方程式(2.17)代入(2.7)式可得嚙合方程式：

(

)

( ) ( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )

(

( )

)

0 , , 1 1 1 = ⋅ = ⋅ − = ⋅ − = 1 f' H f' 1 f' H f' H f' H1 f' H f' V n V V n V n

φ

θ

u f 化簡整理後可得蝸桿與磨輪刀具之嚙合方程式如下：

(

)

( ) ( )

(

( )

)

( ) ( ) 0 , , =−Y_h H n_f'xH + X_h H − A_c n_f'y H + pn_f'z H = u f_{1 1}

θ

φ

₁ (2.18) 2.4 蝸桿之齒面數學模式 根據齒輪原理[9]，欲求得被創成齒輪的齒面方程式，除了嚙合方程式 之外，尚須求得刀具表示在被創成齒輪座標系之軌跡方程式。如圖 2.6 所 示，直邊磨輪刀具在蝸桿座標系所形成的軌跡方程式，可利用齊次座標轉 換矩陣方程式，將直邊磨輪刀具在S_h( )H 座標系上的位置向量R_h( )H 轉換至蝸 桿座標系S₁，以求得其位置向量R₁，此座標轉換矩陣方程式可表示如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H h H 1h H h H h f' H 1f' 1 M M R M R R = = (2.19)

圖 2.6 直邊磨輪創成蝸桿之座標示意圖 ( )H c

Y

( )H h

Y

( )H h

Z

( )H c

Z

( ) ( ) ( )H c H h H f

X

X

X

'

,

,

( ) ( )H c H h

O

O

,

H

λ

1

φ

p

c

A

( )H f

Y

_' 1

Y

1

X

1

φ

( )H f

Z

Z

₁

,

_' ( )H f

O

_' 1

O

其中 ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 1 1 1 1 1

φ

φ

φ

φ

φ

p H 1f' M ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 A_c H h f' M ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 0 1 0 0 sin 0 cos sin cos 0 sin cos 1 1 1 1 1 1 1

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

p A A c c H 1h M 將(2.16)式代入(2.19)式即可求得直邊磨輪刀具表示在蝸桿座標系S 上之軌₁ 跡方程式如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin cos sin cos sin cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

p Z A Y X A Y X Z Y X H h c H h H h c H h H h H H H 1 R (2.20) 同理，亦可得直邊磨輪刀具表示在蝸桿座標系S₁上之單位法向量如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = H H cz H H cy H H cz H H cy H cx H z H y H x n n n n n n n n

λ

λ

λ

λ

cos sin sin cos 1 1 1 1 n (2.21) 因方程式(2.20)表示直邊磨輪刀具左右齒面在蝸桿座標系S₁上之軌跡 方程式，若將軌跡方程式(2.20)與嚙合方程式(2.18)聯立，即可得到蝸桿之齒 面數學方程式。

2.5 ZK 型蝸桿之電腦輔助繪圖 依據 2.4 節所建立之蝸桿齒面數學模式，並利用電腦輔助繪圖軟體即可 繪製出蝸桿外形，在此選定 ZK 型蝸桿及磨輪之主要設計參數如表 2.1 所 示，經繪製出磨輪所創成的蝸桿齒面外形如圖 2.7 所示。 表 2.1 ZK 型蝸桿與直邊磨輪之設計參數 名稱 代號 關係 數值 蝸桿旋向 右旋 蝸桿齒數 T1 3 磨輪法向壓力角

α

_n( )H = 蝸桿法向壓力角 20° 磨輪導程角

λ

_H = 蝸桿導程角 30° 磨輪法向模數 m_n( )H = 蝸桿法向模數 4.0 mm/tooth 磨輪齒根高 h_H = m_n( )H 4.0 mm 磨輪齒冠高 aH = ( )H n m 4.0 mm 磨輪刀具面節圓半徑 r_c 100.0 mm 蝸桿與磨輪之中心距 Ac = rc+r1 112.0 mm 蝸桿節圓半徑 r1 = ( ) H H n T m

λ

sin 2 1 12.0 mm 蝸桿單位角度之導程 p ₌ ( ) H H n T m

λ

cos 2 1 6.93mm/rad 導角半徑相關參數 f_Hr = 0.25m_n( )H 1.00 mm 導角圓弧半徑

ρ

Hr =

(

( )H

)

n Hr f

α

sin 1− 1.52 mm

圖 2.7 ZK 型蝸桿之電腦輔助繪圖

mm

40

0

1

Z

1

X

第三章

蝸輪數學模式之推導

3.1 前言 蝸輪在製造上主要有兩種方式，一是以飛刀切削，另一種方式是利用 滾刀滾削。一般而言，飛刀切削的優點是可以小量生產時成本較低以及齒 形的精度較高；然而滾刀之切削效率較高，適合大量生產。因此，在試切 蝸輪或生產少量樣本時，適合以飛刀作為切製蝸輪之工具，而工業上量產 規格穩定之蝸輪時，則多以滾刀來滾削蝸輪。在本文中所探討之蝸輪齒面， 係將飛刀掛載於刀盤上以模擬飛刀切製過程，所以在建立蝸輪齒面數學模 式之前，須先建立齒條刀的刀面外形數學模式，並利用齊次座標轉換及微 分幾何的原理，找出接觸點或接觸線的位置，以及其在接觸面上的共同法 向量，並推導嚙合方程式，以建構出蝸輪齒面之數學模式。 3.2 假想齒條刀之刀面數學模式 假設蝸輪齒面為Σ ，而2 Σ 則為創成蝸輪齒面之齒條刀。圖 3.1 所示為F 飛刀之法向剖面圖，飛刀之法向剖面呈左右對稱形狀，飛刀法向外形之直 邊刀面方程式可表示於S_b( )F

(

( ) ( ) ( )F

)

b F b F b ,Y ,Z X 座標系如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − ± − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin tan 0 cos 1 2 2 F n F n F F F F n F b F b F b u a b a u Z Y X

α

α

α

F b R (3.1) (3.1)式之正負號上方的符號代表飛刀之右刀具面的刀刃，係用以創成蝸輪 之左側齒面；正負號下方的符號則代表飛刀之左刀具面的刀刃，用以創成 蝸輪之右側齒面。

α

_n( )F 為法向壓力角；u₂為飛刀直邊刀刃之設計參數，表 示由直邊之起點M₀( )F 沿著齒刀面之直邊移動至任一動點_M ( )F _{之距離，亦即}

( )F ( )F M M u₂ = ₀ ，其範圍定義為0≤u2 ≤

(

h_F +a_F

)

/cos

α

_n( )H ；aF為齒條刀之齒 冠高，於本文中設定為m_n( )F ，m_n( )F 為飛刀之法向模數；h 為齒條刀之齒根_F 高，於本文中設定為m_n( )F ；2b_F為齒條刀法向節距的一半，也等於齒厚，亦 即2b_F =

π

m_n( )F /2。 圖 3.2 為圖 3.1 飛刀法向剖面之導角放大圖，其方程式可表示於 ( )F b S

(

( ) ( ) ( )F

)

b F b F b ,Y ,Z X 座標系如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( )

(

( )

)

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ± − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 cos cos tan 0 sin sin 1 Fr F n Fr F n F F F Fr F n Fr F br F br F br a b a Z Y X θ α ρ α θ α ρ F br R (3.2) 其中

ρ

_Fr為飛刀法向剖面導角之圓弧半徑；

θ

_Fr為導角之圓弧參數，其範圍定 義為 ( ) 2

π

θ

α

F ≤ _Fr ≤ n ； f 係與圓弧半徑相關之參數，於本研究中設定為Fr ( )F n m 25 . 0 。 欲模擬具導程角(Lead Angle)

λ

_F之齒條刀外形時，則圖 3.1 所示之飛刀 正交剖面應依圖 3.3 所示之圓弧路徑運動，才可形成此一齒條刀外形且與飛 刀切削蝸輪路徑一致。其中座標系S_c( )F

(

( ) ( ) ( )F

)

c F c F c ,Y ,Z X 為齒條刀之固定座標 系， Y_c( )F −Z_c( )F 平面為齒條刀之基準節面(Axode)與被切製之蝸輪節圓所在 的 平 面 相 切 ， 如 圖 3.3 及 圖 3.4 所 示 。 飛 刀 法 向 剖 面 座 標 系 ( )F b S

(

( ) ( ) ( )F

)

b F b F b ,Y ,Z X 係以O 為圓心及_l R 為旋轉半徑，沿著飛刀刀盤圓弧路_l 徑O_b( )F O_b'( )F 運動，而在齒條刀之固定座標系S_c( )F

(

( ) ( ) ( )F

)

c F c F c ,Y ,Z X 模擬形成假 想齒條刀，而Z_c( )F 軸與Z_b'( )F 軸間的夾角則為假想齒條刀之導程角

λ

_F。利用 齊次座標轉換矩陣方程式可將飛刀刀具面Σ_F表示在S_c( )F

(

( ) ( ) ( )F

)

c F c F c ,Y ,Z X 座 標系如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F b F cb F b F b b' F cb' c M M R M R R F = =

圖 3.1 飛刀之法向剖面圖 F

a

F

h

F

b

( )F n

α

( )F b

O

( )F b

X

( )F b

Z

( )F

M

₀ ( )F

M

2

u

( )F

_M

_{( )}F

M

u

₂

=

₀

C

C

( )F n

α

Fr

θ

Fr

f

( )F

M

₀ Fr

ρ

圖 3.3 飛刀剖面形成具導程角之假想齒條刀的相對座標關係圖 ( )F b Y ( )F c Y ( )F b Z ( )F c Z ( ) ( )F b F c X X , ' ( )F b O ( ) ( )F c F b O O _' , F λ

(

)

F l R 1−cos

θ

( )F b X F l R sin

θ

W l O l R F θ ( )F b Y_' ( )F b Z _'

圖 3.4 齒條刀與蝸輪相對運動關係圖 ( ) 2

,O

O

_f F ( )F c

Y

( )F c

X

( )F c

O

2 2

φ

r

2

r

( )F f

X

( )F f

Y

2

Y

2

X

2

φ

2

ω

I

I

蝸輪之瞬軸面 齒條刀之節面 ( )F c

Z

( ) 2

, Z

Z

_f F

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos 1 cos 1 F F l F F b F F F b F F l F F b F F F b F l F F b F c F c F c θ R Z X θ R Z X θ R X Z Y X

λ

λ

θ

λ

λ

λ

θ

λ

θ

(3.3) 其中 ( )

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 0 0 0 1 0 0 sin 0 cos sin cos 1 0 sin cos F l F F F l F F θ R θ θ θ R θ θ F b b' M ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 F F F F

λ

λ

λ

λ

F cb' M ( )

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 0 0 0 sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos 1 0 sin cos F F l F F F F F F F l F F F F F F l F F θ R θ θ θ R θ θ θ R θ θ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

F cb M 上式中R 為飛刀圓形刀盤之半徑；_l

θ

_F為飛刀法向剖面之位置參數，用以決 定飛刀在刀盤上的位置，其範圍為− − ≤ _F ≤ F l θ R W

λ

cos 2 sin 1 1 sin− F l R W

λ

cos 2 ， W 表示齒寬；

λ

_F則為假想齒條刀之導程角，即被創成蝸輪之導程角，如圖 3.5 蝸桿蝸輪組之軸交角關係示意圖所示，其值為

λ

_H +

γ

；

γ

為蝸桿蝸輪組 裝 時 之 交 錯 角 ， 表 示 蝸 桿 之Z 軸 與 蝸 輪 之₁ Z 軸 所 夾 角 度 ， 其 範 圍 為₂ 2 0≤

γ

≤

π

。同理可得飛刀導角表示在假想齒條刀S_c( )F

(

( ) ( ) ( )F

)

c F c F c ,Y ,Z X 座標 系之方程式如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + − − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos 1 cos 1 F F l F F br F F F br F F l F F br F F F br F l F F br F cr F cr F cr F cr θ R Z X θ R Z X θ R X Z Y X R

λ

λ

θ

λ

λ

λ

θ

λ

θ

(3.4)

圖 3.5 蝸桿蝸輪組之軸交角關係示意圖 2

Z

1

Z

γ

γ

H

λ

F

λ

蝸輪(左旋) 蝸桿(右旋) 1 Z 軸與Z 軸為旋轉軸 ₂

3.3 蝸輪之嚙合方程式 根據齒輪原理[9]，被創成之齒輪外形可由刀具表示在被創成之齒輪座 標系的軌跡方程式與兩者之嚙合方程式聯立而得。由齒輪基本理論得知， 須先將 3.2 節所推導之假想齒條刀齒面與蝸輪齒面之接觸點相對速度 ( )F2 V ，與假想齒條刀之刀面法向量_{N 表示在同一座標系。依據(2.6)公式，}( )F 由於相對速度與法向量在其共同接觸線上係呈現相互垂直之關係，若將此 一關係表示在S_f( )F 座標系，則假想齒條刀與被創成之蝸輪的嚙合方程式可 表示為： ( ) ( ) 0 = • F2 f F f V N (3.5) 由於假想齒條刀之齒面是由

θ

_F與u 這兩個參數所建構之規則曲面，因2 此，若假想齒條刀刀面之數學模式對

θ

_F與u₂取偏微分之外積，即可求得假 想齒條刀左右刀面之法向量： ( ) ( ) ( ) F u ∂

θ

∂ × ∂ ∂ = F c 2 F c F c R R N (3.6) 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± ± − = ∂ ∂ F F n F F F n F F n F F F n F F n u

λ

α

θ

λ

α

λ

α

θ

λ

α

θ

α

cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos 2 F c R (3.7) ( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ∂ ∂ F F l F b F F l F b F l F b F _{X R θ} θ R X θ R X cos sin cos cos sin

λ

λ

θ

F c R (3.8) 將方程式(3.7)與(3.8)代入方程式(3.6)，經化簡後可得假想齒條刀左右刀面之 法向量如下： ( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

( ) ( )

)

( )

(

)

(

( ) ( )

)

_⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± − − − − − ± = F F F n F F n l F b F F F n F F n l F b F F n l F b θ R X θ R X θ R X sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin

λ

α

λ

α

λ

α

λ

α

α

N F c m (3.9)

假想齒條刀之齒面單位法向量則可由下式求得： ( ) ( ) ( )F c F c F c N N n = (3.10) 將(3.9)式代入(3.10)式，即可求得假想齒條刀刀面之單位法向量為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± − − ± = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = F F F n F F n F F F n F F n F F n F cz F cy F cx θ θ θ n n n sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin

λ

α

λ

α

λ

α

λ

α

α

m F c n (3.11) 同理亦可求得假想齒條刀導角之單位法向量為： ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = F F Fr F Fr F F Fr F Fr F Fr F crz F cry F crx θ θ θ n n n sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin

λ

θ

λ

θ

λ

θ

λ

θ

θ

m m F cr n (3.12) 至於假想齒條刀與被創成之蝸輪間的相對速度，可依據圖 3.4 所示之相 對關係圖求得。假想齒條刀在蝸輪瞬軸面上方由右向左平移，假想齒條刀 刀面與蝸輪之接觸點速度表示在S_f( )F 為： ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 2 2ω r F f V (3.13) 將被創成之蝸輪齒面與假想齒條刀相對應之接觸點的速度表示於S_f( )F 座標 系為： ( ) ( )

(

( ) ( )

)

( )

(

)

( )

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = + × = 0 2 2 2 2 2 2 X r ω r Y O O F c F c f c R ω V F c F f 2 f

ω

φ

(3.14) 其中

( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 2 2 2 2 r

φ

r O O f c (3.15) 將方程式(3.13)與(3.14)相減，即可求得假想齒條刀左右齒面與被創成之 蝸輪在創成過程時之相對速度： ( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− − = − = 0 2 2 2 2

ω

ω

φ

F c F c X r Y V V V_f F2 _f F _f 2 (3.16) (3.11)式之假想齒條刀刀面之單位法向量亦可經由下列之座標轉換矩陣方程 式，由S_c( )F 座標系轉換至S_f( )F 座標系： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F c F c fc F f L n n n = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = F fz F fy F fx n n n (3.17) 由於假想齒條刀在創成蝸輪的瞬間，也會有共同切平面產生，此共同切平 面與假想齒條刀和蝸輪之相對速度相互垂直，所以嚙合方程式(3.5)式可由 方程式(3.16)和(3.17)求得如下：

(

)

( ) ( )

(

( )

)

( ) ( ) ( ) 0 , , _{2 2 2} 2 2 = ⋅ =− − + = F fy F c F fx F c F Y r n X n u f n V F2 f F f

φ

φ

θ

(3.18) 此嚙合方程式經過整理後亦可簡化成下列關係式： ( ) ( ) ( ) ( )F fx F fy F c F c n r n X r Y 2 2 2 = −

φ

(3.19) 3.4 蝸輪之齒面數學模式 根據齒輪原理[9]，欲求得被創成齒輪的齒面方程式，除了嚙合方程式 之外，尚須求得刀具表示在被創成齒輪座標系之軌跡方程式。假想齒條刀 刀具面在蝸輪座標系所形成的軌跡方程式，可利用齊次座標轉換矩陣方程 式，將假想齒條刀由原來表示在S_c( )F 座標系上的位置向量R_c( )F 轉換至蝸輪

座標系S₂，並以位置向量R₂表示之，此其次座標轉換矩陣方程式可表示如 下： ( ) ( )F c F 2c 2 M R R = (3.20) 其中 ( )

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = 1 0 0 0 0 1 0 0 cos sin 0 cos sin sin cos 0 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

r r F 2c M (3.21) 將(3.3)式代入(3.20)及(3.21)可得假想齒條刀之刀具面表示在蝸輪座標系S₂ 之軌跡方程式如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) ( )

₍

₎

( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 cos sin cos sin sin cos sin cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 F c F c F c F c F c F F F Z r Y X r Y X Z Y X

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

2 R (3.22) 同理亦可求得假想齒條刀之刀具面表示在蝸輪座標系S 之單位法向量為： ₂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = F cz F cy F cx F cy F cx F z F y F x n n n n n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 n

φ

φ

φ

φ

cos sin sin cos (3.23) 因方程式(3.22)表示假想齒條刀之左右齒面表示在蝸輪座標系S 之軌2 跡方程式，若將軌跡方程式(3.22)與嚙合方程式(3.19)聯立，即可得到蝸輪之 齒面數學方程式。 3.5 蝸輪之電腦輔助繪圖 依據 3.4 節所建立之蝸輪齒面數學模式配合電腦輔助繪圖軟體，即可繪 製出蝸輪之外形，在此選定飛刀和蝸輪之主要設計參數如表 3.1 所示，以驗 證本章所推導之蝸輪齒面模式。所繪製出的蝸輪齒面外形如圖 3.6 所示

表 3.1 蝸輪與飛刀之設計參數 名稱 代號 關係式 數值 蝸輪旋向 右旋 蝸輪齒數 T ₂ 30 飛刀法向壓力角 ( )F n

α

= 蝸輪法向壓力角 20° 飛刀導程角

λ

_F = 蝸輪導程角 30°(右旋) 飛刀法向模數 ( )F n m = 蝸輪法向模數 _{4.0 mm/tooth} 飛刀與蝸輪之交錯角 γ = 蝸桿蝸輪之交錯角 90° 飛刀齒頂高 a _F = m_n( )F 4.0 mm 飛刀齒根高 h_F = m_n( )F 4.0 mm 飛刀圓形刀盤半徑 R _l 100.0 mm 蝸輪節圓半徑 2 r ₌ ( ) F F n T m

λ

sin 2 2 62.0 mm 導角半徑相關參數 f Fr = ( )F n m 25 . 0 1.0 mm 導角圓弧半徑

ρ

_Fr =

(

( )F

)

n Fr f

α

sin 1− 1.5 mm 圖 3.6 蝸輪之電腦繪圖 2

X

2

Y

2

Z

0

40

mm

第四章

蝸桿蝸輪之接觸與齒印分析

4.1 前言 齒輪組在進行嚙合運動時，齒輪之齒形以及其裝配誤差是影響齒輪組 傳動之重要因素。齒形誤差包括靜態精度誤差，即單一齒形誤差、連續累 積齒形誤差、壓力角誤差、導程角誤差等，以及齒輪組在裝配的過程中， 水平軸向裝配誤差、垂直軸向裝配誤差以及中心距裝配誤差等所造成的運 動誤差。本研究依據 Litvin[9,10,11]所提出之齒輪接觸分析(Tooth Contact Analysis)方法，並配合前述章節所建立之蝸桿蝸輪齒面數學模式，利用本研 究所建構之電腦輔助齒輪接觸模擬分析程式，進行蝸桿蝸輪組在嚙合時所 產生的運動誤差分析，由分析之結果可以作為改變齒形設計參數之依據， 而可設計出傳動特性更佳的蝸桿蝸輪組。此一理論之齒輪接處分析需包括 以下假設條件： 一、假設齒面為剛體(Rigid Body)。 二、不考慮齒輪製造上的誤差。 三、不考慮齒輪溫度以及潤滑狀態所造成之影響。 四、蝸桿蝸輪組之裝配狀態穩定，誤差呈現週期性變化。 齒輪之接觸齒印模擬分析乃是於齒輪接觸分析中，進一步模擬齒輪因 齒面受力所造成之彈性變形，而使得接觸點成為一接觸區域。剛體齒印分 析有曲率分析法[9,10,11]以及齒面外形法(Surface Topology Method)[4]，而 具負載之齒印分析則使用有限元素法(Finite Element Method)來進行模擬分 析。本研究所使用的齒面外形法，其原理是仿照齒輪之齒印試驗[6]，於兩 嚙合齒面接觸點附近，齒面原先塗覆之紅丹顆粒會因齒面接觸而刮除，因 此，依照接觸分析所得之接觸點週遭，其齒面分離量若符合紅丹顆粒大小 條件之範圍，即可視為接觸區域。此一分析之目的主要是讓齒輪之接觸分