學生數學認識信念：一個值得關注的領域

學生數學認識信念：一個值得關注的領域

唐劍嵐 廣西師範大學數科院

摘 要

基於最近西方關於學生數學認識信念的研究成果，探討了學生數學認識信念對數 學學習的情感體驗、行為參與、認知過程以及數學學業成績的影響。分析了社會文 化傳統、學校教學環境以及學生自身的數學實踐活動的經驗等因素對學生數學認識 信念形成与发展的影響。研究指出，研究學生數學認識信念是認識與理解學生數學 學習過程的關鍵成分之一。這是一個值得關注的領域。 關鍵字: 數學；認識信念；領域

壹、引言

當我們碰到學生有“我不是學數學的料，花時間學，也是白搭，還不如學別 的＂、“數學對將來的生活或職業沒有什麼用＂、“在數學上獲得好成績就得做大 量練習題＂、“學校裏學習的數學主要是為了考試，與日常生活沒有多大的聯繫＂ 等想法時，如何解釋學生的這些想法，以及如何解決這些想法帶來的學習問題呢？ 這在認知領域或情感領域是難以找到答案的。這是屬於認識論或認識信念的問題。 學生的這些對知識和知識認識過程的素樸看法或信念，深刻地影響了學生數學學習 過程；同時，學生的數學學習過程反過來又影響了其認識信念的形成與發展。本文 試探學生數學認識信念與數學學習的關係，指出研究學生數學認識信念是認識與理 解學生數學學習過程的關鍵成分之一，這是一個值得關注的領域。

貳、認識信念與數學認識信念的內涵與結構

學生認識信念的研究是屬於個體認識論（personal epistemology）研究範疇。 個體認識論研究致力於回答兩個基本問題：個體對知識(knowledge)本質的認識是怎

樣的？個體對知識是如何獲得的認識，即認識過程（knowing）的認識是怎樣的（Hofer & Pintrich,1997 ） ？ 界 定 學 生 的 數 學 認 識 信 念 （ epistemic beliefs about mathematics）,見仁見智。教育心理學領域裏的研究者主要基於量的研究方法，透 過操作化（operationalization）定義，研究學生認識信念系統的多維結構。最有 代表性的如 Schommer（2004）的嵌入系統模型（embedded systemic model）。Schommer 認為學生認識信念系統包括兩大子系統：關於知識的信念系統和關於學習的信念系 統，而且各個子系統具有多個維度，各個信念維度或多或少是相互獨立的。關於知 識的信念系統包括知識的來源維度（從知識來自權威、課本或教師到知識來自自己 的經驗和推理）、知識的確定性維度（從知識是永遠不變的到知識是不斷發展變化 的）、知識的結構性維度（從知識是孤立的、片斷性的事實、概念等到知識與其他 知識和生活實際沒有內在聯繫）、知識的判斷維度（從憑主觀觀察、憑感覺或基於 權威的判斷到運用一定探究規律或專門知識的評價進行判斷）。學習的信念系統主 要包括學習能力維度（從先天註定的到後天可以改善的）、學習速度維度（從學習 是很快就完成的到學習是循序漸進的）。 數學教育研究者主要基於質的研究方法，探討了學生數學認識信念的概念化 （conceptualization）定義以及成分。研究者主要運用數學信念（mathematical 或 mathematics belief ） 的 名 稱 來 涵 蓋 學 生 的 數 學 認 識 信 念 。 最 典 型 的 代 表 是 Schoenfeld（1989）的研究。Schoenfeld 認為學生的數學認識信念是指學生對數學 以及數學任務採用何種方法解決的認識。學生數學認識信念成分由情感與認知相互 交叉部分組成，主要包括三部分：⑴學生對自我與數學學習、問題解決關係的看法， 譬如普通學生要想理解數學沒指望，他們最多只能背些數學知識，而不是理解它們， 同時他們只能機械地運用自己學過的數學知識；⑵學生對數學本質、數學學習、問 題解決的看法，譬如數學問題只有一個正確答案；⑶學生對數學活動中的社會情境 的看法，譬如學校學的數學與現實世界沒有或很少有聯繫。Muis（2004）綜述了教 育心理學和數學教育領域關於數學認識信念的研究，指出人們討論數學認識信念的 成分基本上對學生學習是無效的，即數學認識信念阻礙了學生的數學學習。事實上， 信念可能促進了學生的數學學習，也就是說學生的認識信念是一個從無效到有效的

連續體，所以當談及學生數學認識信念時，主要指影響學生數學學習過程和結果的 數學認識信念系統。這個信念系統的成分包括學生對數學知識本質、數學知識確認 和數學知識來源的信念以及對數學學習的信念。 教育心理學領域裏關於數學認識信念的界定這為研究學生數學認識信念系統提 供可操作性的思路，數學教育領域的研究揭示了學生數學認識信念系統的實質性內 容。因為研究學生信念系統的目的不僅在於揭示學生信念的成分及其內在結構，厘 清該成分和結構中各種維度的發展規律，另一個更重要的目的是要探索學生信念系 統與其他心理因素的關係，譬如與情感領域、認知領域的關係。所以各種理論與方 法相互滲透、共同支撐，才能真正建構學生認識信念的理論體系，從而真正彰顯其 教育功能。

參、學生數學認識信念對數學學習的影響

學生數學認識信念深藏在他們的行為表現、認知過程、情感體驗的背後，像一隻 無形的手，指引著學生數學學習過程，深刻影響著數學學習結果。歸納學生數學認 識信念對其數學學習的影響主要有四個方面：對數學學習情感體驗、行為參與、認 知過程以及數學學業成績的影響。 一、學生數學認識信念對數學學習情感體驗的影響 情感貫穿於學習過程的始終，每個學生學習總帶著自己的某種情感進行學習， 在學習過程中又伴隨著情感體驗。學生數學學習的情感體驗是一個連續體，常常表 現從為積極的情感到遵守規範的情感再到消極的情感。積極情感主要表現在數學學 習的興趣感、快樂感、成就感等。遵守規範的情感主要表現在數學學習的順從感等。 消極的情感主要表現在數學學習的厭倦感、焦慮感、挫敗感等。學生的數學認識信 念對學生的數學情感體驗的各個方面都有一定的影響。相信“學習數學可以使人們 變得更聰明＂的學生可能對數學學習充滿強烈的愛好和興趣，他們經常在解答數學 題中體驗快樂感與成就感。相信“數學知識來自權威、課本或教師＂的學生，即使 他們對某個數學問題解決的方法對了，還是傾向於順從或接受成績好的學生或老師

或課本上的方法，而不相信自己的“真理性＂。認為“數學在日常生活中沒有多大 價值，學習數學是為了考試＂的學生，他們可能願意多做書本的數學問題或考試試 題，而不願付出努力去關心生活中的數學問題。相信“數學學習的能力是後天可以 改善的，透過努力是可以在數學上獲得好成績＂的學生對數學學習可能滿懷信心， 而正確對待數學學習過程出現的焦慮感、挫敗感。 當然，學生的信念與情感不總是有“因果關係＂，但總會有一定的相關關係， 而且主要是一種相互作用與相互影響，以至對學生數學學習產生影響。Eccles 等人 （1993）研究表明，小學生剛開始上學時，認為學習數學是很重要的事情，對數字 和數學是很感興趣的，對學好數學充滿信心和樂趣。但到了小學結束與中學開始時， 很多學生已經改變對數學的這種看法。他們屢屢感到數學學習的挫敗，從而逐漸產 生了一種害怕數學的情感，而且這種情感可能會持續一生。也有很多學生認為學好 數學是很重要的，然而他們不明白為什麼。他們看不到或很少看到數學的用處，感 覺學數學好像是一種“高風險＂的投資，從而逐漸形成一種“數學焦慮＂，這導致 他們對學業失去信心，不願付出努力。同樣，Schommer 等人（2005）研究指出，如 果中學生持有數學對他們將來的生活或職業沒有用的信念，他們是不願努力和花時 間去學習數學的。 二、學生數學認識信念對數學學習的行為參與的影響 學生數學學習的行為參與主要指學生在數學學習過程的外現行為，譬如堅持學 習、逃避學習、參加討論、高度集中、選擇挑戰性問題、努力程度強且持續性高、 鑽研、付出時間等。學生的數學認識信念非常強烈地影響其在數學學習活動中的行 為參與。Schoenfeld（1989）研究指出，有效的信念通常自覺或不自覺地影響學生 數學活動的行為參與，但無效信念對學生數學學習活動的行為參與具有強有力的並 且通常產生消極影響，不利於他面對新的和富有挑戰性的問題時採用多種視角去思 考並堅持到底。譬如，相信“學習數學是個人獨立學習＂的學生，他們在數學合作 學習中是很勉強地參與討論的；認為“學好數學需要做大量練習題＂的學生，他們 會花大量時間做大量的練習題。如果學生相信數學問題解決是快速完成的事情，他 們很少有對數學問題解決進行諸如“檢查、省思＂的後設認知行為；如果學生相信

知識來自課本和教師的學生，他們很少發生具有建構意義的學習行為（Muis,2004）。 信念與行為也似乎不是誰左右誰的事情，更多的是相互影響，相互作用。良好的、 有效的行為極大的促進無效信念的轉變。有時人們寧願“相信自己做的事情＂而不 去“做自己相信的事情＂，這意味著信念不是固定不變的，也經常基於行為而改變。 譬如，經常省思自己的數學學習的學生，會認為“學好數學需要不斷省思＂是一個 真理。這事實上，也可歸為後設認知活動的結果。經歷社會調查、存款等社會性實 踐活動的學生，也許會產生“數學不只是課本上的符號，而與社會生活息息相關＂ 的信念。 三、學生數學認識信念對數學學習的認知過程的影響 數學學習中認知過程包括感知、記憶、思維、問題解決、運用學習策略方法等。 Muis（2004）的研究表明，學生的數學認識信念直接或間接地影響了數學認知的理 解、問題解決過程、遷移以及學習策略方法的選擇。比較成熟或有效的數學認識信 念指引學生有效的數學認知，不成熟或無效的數學認識信念卻妨礙學生的數學認知 過程。Hiebert 等人（1992）研究指出，如果學生持有“數學是一個由多種表徵組 成，且各種表徵是相互聯繫的有機體＂的信念，他們就會採用多種表徵（如符號、 圖形、語言）來增進數學理解，當然這種理解反過來促進學生更加認為數學內部與 外部是相互聯繫的整體。Muis（2004）綜述指出，學生越是持有“知識是孤立的、 片斷性的事實、概念＂等信念，那他們在數學問題解決時，就越可能不發生遷移， 因為遷移是一種相互聯繫的心理過程。學生越是持有“知識是永遠不變的＂信念， 他們就越可能認為數學問題解決只有唯一的正確答案。學生越是持有“學習是快速 完成的＂信念，他們就可能在數學問題解決時付出越少的時間和努力。學生越是持 有“後天的努力可以改善解決問題能力＂的信念，當他們面對困難時，他們就越可 能運用多種學習策略去克服，而不是簡單放棄。Lerch（2004）研究指出，如果學生 持有“某類問題的解答依賴於相應的策略＂的信念，當他們碰上陌生問題時，他們 傾向持續運用不成功的策略解決問題，而不能監控自己走出誤區。 比較對其他認知過程，學生的數學認識信念對學生如何學習數學，即學習策略方 法的選擇有更深遠的影響。一般的，學生的學習策略方法分為為淺層次、深層次和

依賴策略三個變數。淺層次策略主要指依靠記憶、多練習、多測驗的等比較機械的 方法。相信“數學知識是孤立的、片斷性的事實、概念、公式等堆積物＂的學生， 經常持有“背出基本的公式和方法是最重要的，對於數學學習來說最重要的是練 習，只有反復練習才能學好數學，沒有練習就沒有數學＂等信念。Schommer 等人 （1992）研究顯示，學生越是具有“數學知識是孤立的、片斷性的事實、概念＂的 信念，就越可能採用與此一致的策略，他們就越可能集中注意力來記住這些事實， 當他們能夠背誦這些事實後，就可能認為自己懂了，事實上，他們並沒有理解數學。 深層次策略主要指依靠有意義的理解學習和進行具有後設認知意義的學習，譬如對 學習內容進行歸納、總結與省思，對問題解決進行一題多解和多題一解，採用“概 念圖＂學習與記憶等。相信數學知識是相互聯繫的，相信自己能夠學好數學的學生， 大都選擇深層次的學習策略與方法。依賴的策略主要指學習數學依賴家長、老師和 課本的方法，經常表現為“學生一有問題，就找家長；老師怎麼教，我怎麼學＂等。 相信“知識來自課本和教師＂的學生，他們大都選擇依賴的策略。當然，在課堂教 學的情境下，選擇依賴策略學習的學生主要體現為依賴教師，如果教師在課堂中注 意學習策略方法的教學，這種學生的學習策略方法也許會得到改善。 四、學生數學認識信念對數學學習成績的影響 關於學生的數學認識信念對數學學習成績的影響，多數研究者認為這是一種間接 的影響，主要透過影響學生的情感體驗、行為參與和認知過程等而影響了學習成績 （Muis,2004）。Mason（2003）的研究表明，關於數學學習能力的信念和關於數學 學習速度的信念能夠預測學生的學業成績。譬如，如果學生越持有“只要努力，就 會提高數學能力＂的信念，他們的數學成績就越好[14]_{。Muis（2004）綜述研究顯示，} 學生的數學認識信念對數學學習成績有顯著的預測效應。譬如，如果學生越是持有 “知識是孤立的、片斷性的事實、概念＂和“知識是永遠不變的＂信念，他們的數 學成績就越糟。如果學生持有“數學知識相對論或建構觀＂的信念，他們的數學成 績比較那些持有“數學知識二元論或接受觀＂信念的學生成績要好。

肆、影響學生數學認識信念形成與發展的因素

從上可以發現，學生的數學認識信念對學習主要產生消極影響，即學生所持有的 信念對促進學習是無效的。為什麼會出現這種情況，影響學生認識信念的形成與發 展究竟有哪些因素？學生的數學認識信念不是與生俱來的，形成和發展為成熟而有 效的認識信念不是自發的。歸納起來，影響學生數學認識信念的形成和發展主要有 三個因素，即社會文化傳統、學校教學環境以及學生自身的數學實踐活動的經驗。 一、社會文化傳統對學生數學認識信念形成與發展的影響 一定時間和地域內積澱的社會文化傳統必然烙印學生的數學認識信念。這在很大 程度上應被看成是一種文化繼承行為。Schoenfeld（1992）研究指出，東方社會(特 別是中、日等國)對於數學學習普遍的高期望；而相對立，美國公眾普遍認為，數學 學習方面成績的差異主要應歸結於先天的能力，而非後天的努力或是否有學習機 會。譬如，美國家長比日本人更相信這個觀點。那些相信“要麼你能行，要麼你不 行＂的家長與那些“如果你努力去嘗試，你就能成功＂的家長相比，前者更鼓勵自 己的孩子去努力學習數學。這些文化深刻烙印學生的數學認識信念，中國的學生認 為數學學習必須刻苦，而美國學生卻不以為然。這些深深紮根於學生頭腦的文化信 念的“基因＂，如果數學教師在教學中不加以糾正或強化，而聽任由之，對學生形 成有效的數學認識信念是沒有幫助的。 二、學校教學環境對學生數學認識信念形成與發展的影響 對 學 生 數 學 認 識 信 念 影 響 最 深 遠 的 莫 過 於 教 師 與 學 生 共 處 的 教 學 環 境 （Muis,2004）。首先，教師自身的數學認識信念潛移默化地感染了學生。因為教師 自身的數學認識信念決定了他所創設的教學環境的性質，這一環境反過來影響了學 生對數學的認識，而且教師所持有的信念往往會影響到幾代教師，於是在很大程度 上，便形成了教學認識上的“惡性循環＂。譬如，教師如果持有“命題的正確性是 人們早已知道的，因此，證明僅用於驗證已知為真的知識，數學證明與數學發現的 過程毫無關係＂的信念，那麼他也許在教數學證明的過程中只關注證明的演繹，而

忽視證明過程的猜想、模擬等合情推理。這種教學不僅會使學生形成“數學證明只 不過是用來檢驗教師或課本提出的命題＂的信念，甚至對證明產生厭倦等情感 （Schoenfeld,1992）。其次，教師的教學過程、方法等深刻了影響了學生數學認識 信念。如果教師經常基於建構主義的教學方法進行教學，學生對數學的信念主要表 現為：數學知識不是簡單事實堆積的，而是相互之間存在密切聯繫的；生活中數學 無處不在；基於同伴的合作學習數學是有效的方法等（Muis,2004）。很多研究表明， 如果在數學課堂鼓勵學習共同體的社會協商、對話、小組合作學習，與傳統教學環 境相比，這種教學環境不僅促進了學生信念轉變得有效，發展了學生的信念，而且 學生信念對數學常規題和非常規題的解答以及數學學習成績的影響變得更加有效 （Muis,2004，Francisco,2005）。但有時，教師的教學行為與自己的信念存在潛意 識的不一致，教師覺得自己的教學策略方法是一種更建構性的，但實際情況可能事 與願違。Schoenfeld（1998）研究表明，在高中數學課上，有一些教師願望很好， 要求學生去理解和思考數學，但實際的課堂教學方法卻強化和鼓勵了記憶，不但沒 有促進學生有效信念的形成，反而強化了無效的數學信念，譬如機械記憶問題解決 的方法步驟，而不去理解和運用解決問題的方法。這進一步說明教學環境對學生信 念形成與發展的影響。 三、學生自身的數學實踐活動對其信念形成與發展的影響 “實踐出真知＂。學生自身的數學實踐活動的經驗對自身的數學認識活動具有 直接的影響，從而產生自認為真正的、可靠的“信念＂。學生個人的經驗常常使學 生產生“數學是一門學科，而非一門科學＂的信念（Schoenfeld,1992）。很多學生 相信“學習數學需要做大量的練習題，因為熟能生巧＂，這不僅僅受古訓的影響， 更多的是自己親歷了做大量的數學題而體驗得出的結果。那麼為什麼很少人相信 “熟能生笨＂呢？因為自身的數學學習活動中難以體驗到“熟能生笨＂的結果。學 生自身的數學實踐活動主要有三大類，即行為性實踐、認知性實踐、社會性實踐。 行為性實踐主要是學生自己運用觀察、操作、實驗等行為完成數學活動的實踐。學 生可能會透過行為性實踐，而獲得具有直接經驗意義的數學認識信念。譬如，經常 運用「動態幾何繪圖板」學習數學的學生，也許會認為“數學與物理、化學一樣，

也是可以透過做實驗來學習的＂的信念。認知性實踐主要是學生運用記憶、感知、 思維、問題解決等完成數學活動的實踐。無疑，學生進行認知性實踐時也捲入了自 身的認知活動，透過認知性實踐，學生可能會獲得大量直接體驗的認識信念。譬如， 試圖透過記憶數學方式學習數學的學生，會感慨數學知識是難以機械記憶的，從而 形成數學需要理解和做題的信念。經常省思自己的數學學習的學生，會認為“學好 數學需要不斷省思＂是一個真理，這事實上，也可歸為後設認知活動的結果。在課 堂上，積極主動地進行建構性學習的學生很少認為數學是孤立、片段的事實 （Muis,2004）。參與社會性實踐是一種綜合性實踐活動，這裏主要指學生在社會實 踐中的數學應用活動。學生透過社會調查、銀行存款等社會性實踐，也許會產生“數 學不只是課本上的符號，而與社會生活息息相關＂的信念。

伍、 結語

在數學教育研究領域裏，隨著對數學學習的影響因素研究的深入，研究者一致認 為：如果要加強對數學學習本質的理解，我們即要去研究認知因素，又要深入地去 探索學生的情感、信念、價值觀等。這些因素常常以一種“隱喻＂的形式對學生的 認知過程及其數學學習行為產生引導和調節（Leder & Forgasz,2002）。如果簡單的 說，認知領域解決學生“知與不知＂的問題，情感領域解決學生“願與不願＂的問 題，而認識信念或認識論領域則解決學生“信與不信＂的問題。從以上看出，這三 個領域都相互關聯和相互影響，如果要全面認識和理解學生的學習問題，“信與不 信＂的問題也應該是一個十分關鍵的問題。如果不能解決好學生“信與不信＂的問 題，這將深刻影響“願與不願＂和“知與不知＂的問題的解決，反過來亦然。這足 以可見學生認識信念研究的意義與價值。 自從美國的《學校數學課程標準》建議將學生的數學信念的評估作為學生數學知 識評估的關鍵成分之一後，美國的教育心理學和數學教育領域對學生認識信念進行 了以上廣泛的研究（Muis,2004）。其他西方國家，譬如義大利、法國等也相應做了 較多研究。而在中國大陸以及港、奧、臺灣，這方面的重視和研究顯得十分單薄。

當然，學生信念問題的研究畢竟是“舶來品＂，有適合它的文化土壤。跨文化研 究永遠是科學心理學發展的一條途徑，只有跨文化的比較研究，才能探索人類心理 的共性 (林崇德,2005)。從前面所述可知，學生所處的文化背景深深關聯著學生的 認識信念，再譬如，基於西方文化背景下 Schommer 的認識信念系統及各個維度，在 儒家文化圈中卻可能會有一定的變異(Chan & Elliot,2003)。所以，在借鑒非本土 文化的研究成果時，特別要關注文化的特殊性和文化的普遍性。

陸、參考文獻

林崇德(2005)。 試論發展心理學與教育心理學研究中的十大關係。心理發展與教 育，1，1–6.

Chan K, Elliot R G.(2003). Exploratory study of Hong Kong teacher education students' epistemological beliefs: Cultural perspectives and implications on beliefs research..

Contemporary Educational Psychology, 27(3), 392–415.

Francisco, J. M.( 2005) .Students’ reflections on their learning experiences: lessons from a longitudinal study on the development of mathematical ideas and reasoning.

Journal of Mathematical Behavior , 24(1),51–71.

Hofer, B., Pintrich, P. R. (1997). The development of epistemological theories: Beliefs about knowledge and knowing and their relation to learning. Review of Educational

Research, 67(1),88–140.

Hiebert, J., Carpenter, T.P.(1992). Learning and teaching with understanding. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, pp.65–97,New York: Macmillan.

Lerch, C. M.(2004). Control decisions and personal beliefs: their effect on solving mathematical problems. Journal of Mathematical Behavior, 23,21–36.

Leder, G.,Forgasz, H.(2002) Measuring mathematical beliefs and their impact on the learning of mathematics: a new approach, Beliefs: A hidden variable in mathematics education?, pp.95–113, Kluwer,The Netherlands.

Muis, K.R.(2004). Personal Epistemology and Mathematics: A Critical Review and Synthesis of Research. Review of Educational Research, 74(3),317–380.

Mason, L.(2003). High school students' beliefs about math, mathematical problem solving, and their achievement in math: A cross-sectional study. Educational

Psychology, 23,73–85.

Schommer, M.( 2004). Explaining the epistemological belief system:Introducing the embedded systemic model and coordinated research approach. Educational

Psychologist, 39(1), 19–29.

Schoenfeld, A. H.(1989). Exploration of students' mathematical beliefs and behavior.

Journal for Research in Mathematics Education, 20,338–355.

Schommer, M., Duell,O., Hutter,R.(2005). Epistemological Beliefs, Mathematical Problem–Solving Beliefs, and Academic Performance of Middle School Students.

The Elementary School Journal, 105(3),289–304.

Schommer,M.,Grouse,A., Rhodes, N.(1992). Epistemological beliefs and mathematical text comprehension: Believing it is simple does not make it so. Journal of

Educational Psychology, 84(4), 435–443.

Schoenfeld, A. H.(1992). Learning to think mathematically: Problem solving,

metacognition and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, pp.334–370,New York:

Macmillan.

Schoenfeld, A. H.(1988). When good teaching leads to bad results: The disasters of "well-taught" mathematics classes. Educational Psychologist, 23(2),145–166. 通 訊 作 者 ： 唐 劍 嵐 ， 廣 西 師 範 大 學 數 科 院 ， 中 國 大 陸 廣 西 桂 林 ， 541004 ， tjlwxt@126.com