資產波動對市場訊息反應不對稱之探討：NIC曲線之應用與外幣選擇權市場的證據

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

資產波動對市場訊息反應不對稱之探討：NIC 曲線之應用與

外幣選擇權市場的證據

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2416-H-004-029- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 95 年 02 月 28 日 執行單位： 國立政治大學財務管理學系 計畫主持人： 杜化宇 報告類型： 精簡報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 95 年 1 月 12 日

市場衝擊對外匯波動之不對稱影響與其

反轉特性：選擇權市場的證據與其意涵

杜化宇＊ 國立政治大學財管系 摘要 本文首先發現價格衝擊對於外匯波動度的影響存在不對稱與反轉的現象。當 價格變動幅度很大時，負向衝擊比起正向衝擊對波動度的影響要較大；但是當價 格變動幅度小時，影響程度會出現反轉(reversal)，即正向衝擊比負向衝擊對波動 度的影響較大。波動度不對稱的 GARCH 模型雖早已被普遍討論。但是，波動度 不對稱的反轉現象則晚至 Fornari and Mele(1997)於股價指數中發現證據以及由他 們提出的 VS-GARCH 模型所解釋。本文修正及延伸 VS-GARCH 模型於幾個方向。 首先，我們使用「事前」觀念的隱含波動度來取代 GARCH 中「事後」觀念的條 件波動度。由於衍生性商品市場更符合理論上的完美市場，因此使用隱含波動度 更能反映市場訊息的傳遞。其次，本文定義”訊息衝擊”(以別於以往的”價格”衝擊) 為由於選擇權交易活動的變動(如交易量)所造成的衝擊。實證結果發現此訊息衝擊 亦造成波動度不對稱效果及反轉的現象，與前述的價格衝擊效果是分別獨立存在 的。此結果符合 Easley, O’Hara and Srinivas(1998)的看法選擇權的交易活動含有未 來標的資產價格的足夠訊息。此結果亦支持了 Back(1993)的理論模型選擇權市場 並非多餘的，其交易活動提供了更廣泛且有別於標的現貨市場的訊息來源。 關鍵詞：波動度不對稱；波動度反轉；VS-GARCH；Threshold GARCH ＊ 聯絡作者：杜化宇，台北市文山區 116 指南路國立政治大學財管系。Tel：(02)29387423 Fax：(02)29393394 E-mail：[email protected]

Shocks, Volatility Asymmetries and

Reversals in Foreign Exchanges Market：

Evidence from the Currency Options

Anthony H. Tu

*

Abstract

The sign-and volatility-switching GARCH(VS-GARCH) model, originally developed by Fornari and Mele(1997), not only allows an asymmetric reaction of the conditional volatility to the arrival of news, but it also captures the “reversal” of the asymmetric reaction to news. As the news shock(price shock) is large, volatility is more responsive to negative than positive price changes (leverage effect). However, as the news shock is small, volatility is more responsive to positive than negative price changes. This article develops several extensions of VS-GARCH and finds empirical evidence supporting it in four foreign currencies: British Pound, ECU, Japanese Yen and Swiss Franc. First, implied volatility, as the proxy of the ex ante volatility, is used to replace the conditional volatility in the GARCH model.

Second, we define “information” shocks, which is one due to the movement pf option trading activities. Empirical result indicates that information shocks also separately induced asymmetric response of conditional volatility and reversals. This is consistent with the theoretical model by Back(1993) in which option introduction into the market can cause the volatility of the underlying asset to become stochastic, even when an option market would appear to be redundant.

Keywords：Volatility asymmetry；Volatility Reversal；VS-GARCH；Threshold GARCH

*

壹.緒論

早 期 研 究 波 動 度 的 模 型 始 於 Engle(1982) 的 自 我 相 關 條 件 異 質 變 異 模 型 (Autoregressive Conditionally Heteroscedastic, ARCH) ， 之 後 Bollerslev(1986) 將 ARCH模型一般化後得到的GARCH模型。雖然GARCH模型可以解釋波動度的大 部份變動行為，但是GARCH模型仍有幾個不合波動度實證之處。這其中尤其以波 動 性 不 對 稱 (Asymmetric) 的 現 象 最 為 實 證 研 究 者 所 重 視 (Black(1976) ， Christie(1982), Nelson(1991)，Campbell and Hentschel(1992)，Engle and Ng(1993))1。 後續的研究中，Rabemananjara and Zakoian(1993)， Zakoïan(1990)與Glosten， Jagannathan and Rundle(GJR)(1993) 修 正 了 GARCH 模 型 並 發 展 出 Threshold GARCH (TGARCH)模型，分離價格正向與負向變動對於波動度的不同影響。 Longin(1997)使用Kyle(1985)的訊息不對稱與差異模型來說明期望波動度的不對稱 現象，並建立一個TGARCH的一般化模型(詳見後述說明)。

但是這些 TGARCH 模型並未考慮到不對稱效果有反轉的現象。直到 Fornari and Mele (1997)提出 Sign- and volatility-switching ARCH model(VS-GARCH)，他們 認為影響波動度不對稱的因素除了價格變動方向外應還有前期波動度的影響。他 們發現當價格變動幅度大時，負向的價格變動比正向對波動度的影響要較大，但 當價格變動小時，影響程度便會出現反轉 (reversal)，即正向價格變動比負向價格 變動對波動度的影響要大。上述現象，我們稱為「波動度的反轉現象」，反轉現象 可說是不對稱效果(sign effect)與價格變動幅度(size)兩者的影響的交互作用而產生 的。他們且於 6 個國家的股價指數上找到支持的證據，有反轉的 VS-GARCH 模型 較傳統的 GARCH，GJR-GARCH 有較佳的資料解釋能力。 1 雖然波動度不對稱現象的解釋較分歧，傳統上以Black(1976)提出的”槓桿效果”以及Campbell and Hentschel(1992)所提出的”波動度回饋效果”最被接受。詳細內容見第貳部分的說明。

為了探討波動度的不對稱效果及反轉特性，本文修正及延伸Fornari and Mele(1997)的VS-GARCH模型於幾個方向。首先，一般的波動度模型均集中在標 的股票的探討，但由於衍生性商品市場交易成本低，交易限制少(無放空限制)，因 此 衍 生 性 商 品 價 格 比 標 的 資 產 價 格 對 市 場 訊 息 的 反 應 更 為 靈 敏 、 準 確 (Bates(1996))。換句話說，衍生性商品市場更符合理論上的完美市場(Figlewski and Webb(1993), Cassano(2001))，因此使用隱含的波動度更能反映市場訊息的傳遞 (Bailey(1988), Ederington and Lee(1996))，另一方面，隱含波動度為「事前」(ex ante) 波動度，與一般利用現貨得出的GARCH模型條件波動度不同(為「事後」(ex post) 波動度)，因此使用選擇權市場資料應比現貨市場更能夠反映真正的波動度的不對 稱效果及反轉2_{。過去使用隱含波動度探討波動度不對稱的研究甚少。Simon(1997)}

曾使用隱含波動度來探討公債期貨(Treasury Bond Futures)買權的波動度不對稱問 題。他使用類似Nelson(1991)與Glosten et. al. (1993) 的不對稱GARCH架構，並且 以觀察的隱含波動度替代GARCH公式中的條件變異數。其結果發現隱含波動度存 在明顯的不對稱現象。然而其研究並未探討波動度反轉的可能性。

因此，本研究的目的首先

1. 以 VS-GARCH 模型探討外匯選擇權的隱含波動度是否具有不對稱效果以 及不對稱效果是否會隨價格變動幅度產生反轉特性？

在市場訊息不對稱的架構下，Easley, O’Hara and Srinivas(1998)發現有訊息的交易

者(informed traders)會選擇在現貨市場或選擇權市場交易。因此，選擇權的交易活

動含有未來標的資產價格的足夠訊息。因此，本文第二目標在於

2. 定義”訊息”衝擊(有別於前述的”價格”衝擊)為由於選擇權的交易活動(交

2 使用銀行股的選擇權，Swidler and Wilcox (2002) 發現隱含波動度能較歷史波動度更正確的預測 未來實際的股價波動。他們發現隱含波動度包含銀行風險的資訊內涵。

易量，未平倉量等)的變動所造成的衝擊並探討此訊息衝擊是否也造成波 動度不對稱效果及反轉的現象。 Back(1993)提出一個理論模型來探討選擇權市場是否多餘的(Redundant)。他假定選 擇權可透過標的資產的動態交易來合成(多餘的)，但是他證明選擇權的交易仍會透 過訊息的傳遞來影響標的資產的價格。因此，Back(1993)結論選擇權市場並非多餘 的，它的交易活動提供了更廣泛且有別於標的現貨市場的訊息來源。因此，本文 的第三目標在於 3. 驗證 Back(1993)的假說是否成立？若成立，上述兩個衝擊的現象應為獨立 存在的。 本文第貳部分首先討論波動度不對稱與反轉之理論及回顧相關文獻。第參部 份描述資料來源與研究方法。第肆部份報告波動度不對稱與反轉的實證結果。第 伍部分則報告當加入交易量因素後的波動度不對稱與反轉的實證結果，並與第肆 部份的結果作比較。結論與建議則列在第陸部分。

貳.理論架構與研究模型

一、 早期的波動度不對稱理論

Black(1976)首先提出財務槓桿效果會造成波動度不對稱的現象。負向的衝擊 (壞消息)對於波動度的影響會大於正向衝擊(好消息)的影響。Christie(1982)與 Schwert(1989)則認為 Black(1976)利用財務槓桿解釋波動度不對稱現象的理由不夠 充份，槓桿效果並不能完全解釋不對稱現象。Campbell and Hentschel(1992)以波動 度”回饋效果”(volatility feedback effect)探討波動度不對稱的原因，在價格變動很大 而且為正向時，投資人預期未來市場上波動加劇，風險將增加，因此投資人會提 高要求報酬率進而使得價格下跌，這便是回饋效果。價格下跌抵消了原先價格上 漲的幅度，因此波動度便不如原先影響來得大。但若一開始價格變動為負向且幅 度很大時，投資人增加要求報酬率的結果仍使得價格下跌，兩種下跌力量加總， 因此造成波動度更為增加。 在後續的研究中，不對稱的 GARCH 模型不斷的被推出來描述波動度不對稱 的 現 象 。 這 主 要 的 模 型 包 括 Nelson(1991) 的 EGARCH ， Rabemananjara and Zakoïan(1991) 與 Zakoïan(1990) 的 Threshold ARCH ， Glosten ， Jagannathan and Runkle(1993)的 GJR-GARCH 以及 Longin(1997)提出的一般化 Threshold GARCH 模型。其後，Fornari and Mele(1997)提出 VS-GARCH 模型。此模型不但可描述波 動度不對稱的現象，而且允許不對稱存在反轉的特性。最後，Engle and Ng(1993) 所發展出的訊息影響曲線(News Impact Curve(簡稱 NIC))可方便協助我們區別上述 幾個模型的差異。下節將對相關 VS-GARCH 模型與 NIC 作詳盡說明。

二、 VS-GARCH 模型再探討與 NIC 曲線

本文所用的VS-GARCH模型首先由Fornari and Mele(1997)發展。它可算是 GJR-GARCH的延伸。因此，我們先介紹GJR-GARCH模型，表示如下3：

(

t

)

t t I −1 ~N 0,h ε 2 2 (1) I 1 1 1 1 0 + − + − + − − = t t t t t w h S h αε β φ ε 其中 t為 t 時的訊息集合；w ，0 α，β ，φ 為係數。St−1為虛擬變數：當εt−1 >0 0 ， 其值為 1；當ε_t−1< ，其值為-1；當ε_t−1 = 時，其值為零。 0

Fornari and Mele(1997)延伸 GJR-GARCH 模型而發展出 VS-GARCH 模型。其 表達如下： 2 (2) 1 t− 2 2 0 1 1 1 t t t t h =w +α ε₋ +βh₋ +S₋ V V_t ≡δ ε_{0 t} −δ₁h_t−1−δ 其中δ₀，δ₁與δ₂為係數，S_t−1與式(1)相同定義。上式(2)是過去模型的一般化 模型。當δ₁=δ₂=0 時，式(2)則成為 GJR-GARCH 模型。當δ₀=δ₁=δ₂=0 時，式(2) 簡化成一般的 GARCH 模型。

Fornari and Mele(1997)於 S&P 500(美國)，Topix(日本)，CAC40(法國)， FT-100(英國)，FAZ(德國)與 MIB(義大利)等六個股票指數中發現到波動度不對稱

3

為了與VS-GARCH作比較，此處表達方式已作轉換。詳細說明可見Fornari and Mele(1997)的附註 4。

有反轉的現象(德國除外)。而且，實證結果顯示 VS-GARCH 模型比 GJR-GARCH 模型有較佳的資料解釋能力。或許是因為其為計量經濟的文獻，Fornari and Mele(1997)對其發展的 VS-GARCH 模型所具有的經濟含義並未有詳細的闡述。下 文中，我們將其模型特性與其經濟含義作一詳盡的補充說明，並與相關的財務文 獻作一比較。 於式(2)中， 代表訊息反應函數。在 VS-GARCH 模型中， 是V_t V_t 2 t ε 與IV 的函t 數；亦即Vt = f

(

εt ,IV

)

。相對地，在 GJR-GARCH 模型中， 僅是 2 t 2 t V ε 的函數；在_t GARCH 模型中，V 則不存在。假如_t δ₁顯著不為零，表示V 對於訊息的反應依賴現 今觀察的 IV 水準，而非僅是衝擊的波動 t 2 t ε 而已。於式(2)中，假如 小於零，負 向衝擊要較正向衝擊對波動度的影響要大。假如V 1 t V₋ 1 t− 大於零，結果則反之。

假定在先前 Black(1976)，Campbell and Hentschel(1992)與 GJR 的結果成立的 假說下，負向衝擊要較正向衝擊對波動度的影響要大。我們須假定δ₀ < 。此時反0 轉發生的機率應為

(

)

(

)

2 1 1 1 1 0 0 0 t t t P reversal P V P ε δ IV δ2 δ δ − − − ⎛ ⎞ ≡ > = _⎜ < + ⎝ ⎠⎟ 2 (3) 上式表示ε_t−1是夠小時，反轉的現象應會發生。先前 GJR 模型假定δ1=δ2=0， 此時完全無法探討是否存在反轉現象的可能。因此，我們後面的實證結果若能得 到δ₁≠ ，0 δ₂ ≠ 且0

(

δ δ_{1 0}

)

IV_t+

(

δ₂ δ₀

)

2 為正值時，反轉現象存在。

於 式 (3) 中 ， Fornari and Mele(1997) 解 釋 當ε_t−1小 於 預 期 波 動 度 (expected volatility)時，反轉現象即可能產生。而預期波動度主要受到當時可觀察的波動度

水準(亦即

(

δ δ_{1 0}

)

IV_t)以及另一常數項

(

δ δ_{2 0}

)

所決定4_{。於是， 可認定為”錯誤更}

正函數”(error correction variable)。

t

V

VS-GARCH 模型發現反轉特性對於過去波動度不對稱理論發展的貢獻主要有 二。首先，此反轉特性修正了 Black(1976)與 Campbell and Hentschel(1992)的波動 度不對稱現象。如後 NIC 曲線所示，如果波動度超過預期，負面衝擊對於波動度 的影響會大於正面的衝擊(此處與先前相一致)。但是，如果波動度低於預期，負面 衝擊對於波動度的影響則會小於正面的衝擊。 VS-GARCH模型的另一貢獻則是將Longin(1997)的Threshold GARCH模型更 合理化。大約在相同的期間，Longin(1997)亦提出了另一個Threshold GARCH的模 型，其式表達如下5_： h_t =w₀+α ε_t2₋₁+βh_t−1+γ D_t−1

(

ε_t2₋₁−σ2

)

(4) 其中γ 為係數，D_t−1為 1，當 2 2 1 t ε₋ >σ ，否則為零。而σ 代表無條件變異數，2 是為一常數值6_。σ 在此代表門檻(Threshold)，是為定義衝擊為大小的比較值。若2 2 2 1 t ε₋ >σ ，則此衝擊定為”大的衝擊”(large shocks)。若 2 2 1 t ε₋ <σ ，則定義為”小的衝 4

此常數項所代表的含意於Fornari and Mele(1997)文中並未提及。我們認為此值應代表部分因素會 影響投資者的未來預值但無法反映在可觀察的現今波動度水準上。這些可能因素包括風險溢酬， 學習效果或過度(低度)反應等。 5 Longin(1997)亦提出一個GARCH模型的一般化表達方式。過去的GARCH或不對稱GARCH模型都 可納入其模型中。其一般化公式表達如下： h_t = w₀ + F(ε_t−₁)+ β ht−1 前文所提到的 GARCH 模型皆可以上式表達之(見下表的整理)。其他描述不對稱的 GARCH 模型 亦可用上式表達，詳細說明可見 Longin(1997) Table 1。 6 一般可使用整個樣本的變異數(sample variance)為其估計值。

擊”(small shocks)。 Longin(1997)發現大與小的衝擊對於波動度的影響是有差異的。大的衝擊對於 波動度影響的持續性(persistence)要較小的衝擊來得短。在上式(4)中，大的衝擊對 於波動度影響的持續性為α β γ+ + ，而小的衝擊對於波動度影響的持續性則為 α β+ 。其實證結果發現γ 為負值，因此得出上述結論。 上述結果亦可從 VS-GARCH 模型中推導求得。假定δ₀為負值(即波動度不對 稱效果存在)，式(2)可改寫成 2 ' 2 1 2 0 1 1 0 1 1 0 0 t t t t t t h w α ε βh δ S ε δ h δ δ δ − − − − ⎡ ⎛ ⎞⎤ = + + + _⎢ −_⎜ + _⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ 其中 ' 為 1，當 1 t S₋ ε_t2 >

(

δ δ_{1 0}

)

h_t−1+

(

δ δ_{2 0}

)

，否則為零。在此

(

δ δ_{1 0}

)

h_t−1+

(

δ₂ δ₀

)

代表門檻，是為定義衝擊為大小的比較值。 因此，當衝擊大時，波動度受影響的持續性為α β δ+ + 。然而，當衝擊小時，₀ 波動度受影響的持續性為α β+ 。由於δ₀ < ，我們得到與 Longin(1997)相同的結0 果。但是，此處 VS-GARCH 對於預期波動度的定義要比 Longin(1997)來得完整。 Longin(1997)模型假定預期波動度為一常數值(即樣本期間的無條件波動度)，而 VS-GARCH 模型的預期波動度則由當時波動度水準及投資者個人特質所決定。 VS-GARCH模型的預期波動度較合理。過去實證研究普遍發現投資人確實存 在有異質性(Heterogeneous)預期7_{，過度反應(或反應不足)}8_{與學習效果}9 (Learning effect)等。VS-GARCH的設計確實能允許這些投資者特性的存在。

7_{詳見Frechette and Weaver(2001)與Levy and Levy(1996)的說明。}

8_{詳見Daniel，Hirshleifer and Subrahmanyam(1998)與Hong，Lim and Stein(1999)} 9_{詳見Timmermann(1993)，Peruga(1996)與Lewellen and Shanken(2002)}

最後，類似於 Simon(1997)的做法，我們於式(2)中使用隱含波動度( _t t t t t t t t t V

δ ε

δ

IV

δ

− − − − ≡ − − 2 (5) IV = w₀ +

αε

₁+

β

IV ₁ + S ₁V ₁ 2 0 1 2 IV h 2 2 )來取 代條件變異數( )，可得到下式： _t 為了發展 VS-GARCH 模型的 NIC，我們改變原先虛擬變數的設定，並另外以 Indicator function 表示 sign regime，將(5)改寫成(6)，：

(5)與(6)的不同僅在於虛擬變數的設定不同，我們可以作如下係數轉換： 1 0 1 0 1 1 2 0 2 0 2 1 w w w w δ α α δ β β δ δ α α δ β β δ = + = + = + = − = − = − 作虛擬變數轉換的目的在於(6)方便建立 NIC 模型，因此根據(6)，NIC 模型如 下： 其中 為無條件變異數。其中h α α1> 2，w1+β1h<w2+β2h須成立。 NIC 的函數形式為不對稱二次方程式，其最小值落在εt =0，圖 1 為 GARCH

[

]

[

]

1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 ( ) 0 t t t t t t t w

α ε

β

IV

ε

− − − − − − + + + Ι > 2 ( )(1 0 ) (6) IV = w +

α ε

+

β

IV − Ι

ε

> + + < ⎪ = _{= ⎨} + + > ⎪⎩ 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 if 0 ( | ) (7) if 0 t t t t t t w IV NIC IV IV w IV

α ε

β

ε

ε

α ε

β

ε

− − ⎧

模型及考慮不對稱與反轉情況下的 VS-GARCH 模型的 NIC。GARCH 模型的 NIC 為對稱原點的曲線，但 VS-GARCH 模型則有不對稱及反轉效果，其不對稱程度可 由曲線上每點的斜率判斷，VS-GARCH 模型的 NIC 與其他模型不同的地方在於允 許波動度呈現跳躍(jump)的現象，也就是εt=0 的波動度可為不連續，跳躍幅度的 大小與前期波動度有關，當 VS-GARCH 的條件α α₁> ₂, w₁+β₁h<w₂+β₂h成立 時，小幅度的正向價格變動比小幅度的負向價格變動造成較大的波動度，但大幅 度的負向價格變動對波動度的影響卻比大幅度的正向價格變動大，這就是波動度 隨著訊息大小的不同而出現反轉的現象。 IV t =IV)

參.資料來源與實證結果

一、 資料來源

本 研 究 於 DataStream 資 料 庫 中 選 取 費 城 股 票 交 易 所 (Philadelphia Stock Exchange)英磅、歐元、日圓及瑞士法郎四種外匯選擇權作為研究標的。費城交易 所為美國最大的外匯選擇權交易所，外匯選擇權交易種類共達 100 多種，並且分 為 標 準 化 外 匯 選 擇 權 (standardized options) 以 及 客 製 化 選 擇 權 (customized options)，後者選擇權可依照客戶需求量身訂作，選擇需要的履約價、到期日、以 及權利金報價方式，而標準化選擇權則是按照交易所規定的契約交易，本篇的研 究標的即為此類。表 1 列出四種外匯選擇權的契約規格。 表 1 外匯選擇權契約規格與樣本研究期間 選擇權 英磅 歐元 日圓 瑞士法郎 契約規格 ￡31,250 €62,500 ￥6,250,000 SF62, 500 標的貨幣* (Underlying Currency) British Pound European Currency Unit Japanese

Yen Swiss Franc

樣本期間 2000/2/16 至 2003/3/31 2000/12/4 至 2003/3/31 2001/5/22 至 2003/3/31 2000/2/16 至 2003/3/31 樣本數(日) 814 606 485 814 ＊基準貨幣為美元

在選取不同到期日與履約日的標準方面，為了避免距到期日遠近以及不同履 約價的影響，我們採用連續價平的資料，選取每日最近月並且最接近現貨價的選 擇權為樣本，研究期間及樣本數如表 1 所示，研究期間為 DataStream 資料庫之起 迄日期。由於 GARCH 家族模型必須採用高頻率資料，因此選取連續價平選擇權 之每日隱含波動度。 二、

樣本特性敘述

我們首先以簡單的圖形了解資料的分布與特性。圖 2(a)至 2(d)為各個選擇權 隱含波動度與標的資產價格的關係，要注意的是圖形的表達均為隱含波動度與價 格(取自然對數)標準化後的結果，由於外匯選擇權隱含波動度均為 0.1 上下，標的 資產價格大都在百元上下，我們作標準化的調整使兩者的資料均以 0 為中心，使 可以清楚看出兩者資料在時間序列上的變動。 圖 2(a)為英磅選擇權，其隱含波動度的變動非常大且出現極端值，另外隱含 波動度也出現叢聚的現象，可看出波動度明顯地高低不均分布，而標的價格的變 動較隱含波動度小，分布也較波動度來得均勻，除了 2002 年 2 月後開始上升之外， 大致上而言沒有明顯的趨勢。而從圖形中我們也可以看出隱含波動度與標的價格 變動似乎有反向的關係，隱含波動度對負向的價格變動反映為上升趨勢，對正向 的價格變動則是相反，尤其在價格變動劇烈的時候，隱含波動度變動的幅度更是 明顯。

圖 2(a) 標準化後英磅選擇權隱含波動度與標的價格走勢圖 圖 2(b)為歐元選擇權，其隱含波動度行為有明顯的叢聚現象以及出現許多極 端值，因此隱含波動度分布極不平均。至於標的價格在 2001 年 2 月後下跌，在 2002 年 4 月開始有明顯的上漲趨勢。另外，從小範圍期間比較容易觀察到一些隱含波 動度與標的價格變動呈現反比，但大體而言從圖形中看不出來隱含波動度與標的 價格變動有明顯的反向關係，如 2002 年 2 月後標的價格開始有上漲趨勢，但隱含 波動度的走勢並不是呈現下跌的狀況。 圖 2(b) 標準化後歐元選擇權隱含波動度與標的價格走勢圖 圖 2(c)為日圓選擇權，日圓選擇權隱含波動度在 2002 年 5 月和 11 月各出現

極端值，除此之外隱含波動度變動不像前面英磅及歐元選擇權劇烈，在標的價格 方面，2001 年 11 月出現大幅下跌，但隱含波動度並沒有相對應的劇烈變動。此外 由於隱含波動度變動範圍不大，因此我們很難從圖形中看出隱含波動度與價格變 動的關係，還需進一步模型驗證。 圖 2(c) 標準化後日圓選擇權隱含波動度與標的價格走勢圖 圖 2(d)為瑞士法郎選擇權，從圖中也同樣可看出隱含波動度呈現非常高低不 勻度分布，即出現一般波動度都有的叢聚現象，而標的價格沒有出現較明顯的趨 勢，不過在 2002 年 3 月之後便開始上升，至於隱含波動度與標的價格變動的關係 同樣無法藉由圖形看出。

圖 2(d) 標準化後瑞士法郎選擇權隱含波動度與標的價格走勢圖 大致而言，外匯選擇權的隱含波動度均出現明顯的叢聚現象，標的價格變動 在 2002 年之後才有明顯的上升趨勢，其餘變動幅度不大；另外我們很難從圖形中 找到隱含波動度與標的價格變動的反比關係：由於標的價格多在盤整狀況，價格 變動的持續時間似乎不長。換句話說，大的價格變動之後跟著大的價格變動的時 間只維持幾天，因此在圖形上便無法清楚地表示出正向或負向變動，也因此無法 對照出相對應的隱含波動度大小。 三、

變數與模型建立

1. 變數定義 (1) 條件波動度 (conditional volatility) ：由於研究目的在於探討選擇權隱 含波動度的不對稱現象，因此 以隱含波動度直接代入，隱含波動度由 DataStream 資料庫提供。資料庫的計算方式為經由 B-S 模型反覆求解得之，先設定隱含波動 t h t h

度等於某一數值，比較計算出來的選擇權價格與市場上的價格高低，逐次逼近直 到兩者相等為止，此時代入的波動度即為隱含波動度。 (2) 價格衝擊ε_t：在一般波動度模型中ε_t 均由ARIMA模型或是報酬率迴歸式 得出，並同時令Var(εt |Ωt−1)=h ，但由於我們另外定義h 為隱含波動度，因此 取自然對數的價格變動加以標準化後定義為 t t t ε ，其假設為10_： 其中IV為隱含波動度11 以價格變動作為市場訊息替代變數的第一項理由在於市場參與者是透過價格 的報價來反映對市場的預期，因此正向的價格變動可表示市場隱含的市場訊息為 好消息，負向的價格變動為壞消息，當然，價格變動的過程不完全等同於市場訊 息過程，這涉及到市場訊息動機交易者數的多寡以及效率市場的問題，但以價格 變動作為市場訊息的替代變數仍為合理。 其次，一般現貨波動度模型的市場訊息 衝擊均為白噪音(white noise)，而自然對數的價格變動並非白噪音，因此我們作標 準化的調整，將自然對數的價格變動除以每日隱含波動度，由於從 DataStream 取 得的隱含波動度資料為 B-S 模型反推求得，其資料為年化，因此再作交易天數的 處理以求得每日隱含波動度。 由於考慮到前期波動度的大小也會影響市場對未來的預期，投資人在市場波 動劇烈時比市場穩定時更容易改變原先的預期，因此產生另一種ε_t 的定義，即直 (3a) Ω 10

見Simon(1997)的說明， 服從布朗運動(Brown Motion)，其分配為近似常態分配，即

~N( 0,每日估計波動度)。 log( )P_t ∆ 1 log( ) |P_{t t−} ∆ 11 此處對市場訊息衝擊的定義與Simon(1997)相同。 1 log( ) |_{t t} ~ (0, ) t P N IV P IV − − ∆ Ω ∆ 1 log( ) / 252 t t ε ≡

接將自然對數的價格變動取作替代變數，不再除以每日隱含波動度，這種未經標 準化的εt 的定義為： log( ) ~ (0,1) t Pt zt ht zt N ε ≡ ∆ ≡ ， (3b) 本文在選取價格衝擊的變數時，分別考慮上述標準化與未標準化的兩種情況。 (3) 狀態變數 (state variable) ：設虛擬變數的目的在於設定價格變動的 regime，因此我們得以區分正向與負向兩種不對稱情況。 表示價格變動為正向 或是負向的虛擬變數，令價格變動為正時， =1，價格變動為負時， = -1，其 餘狀況為 0。 t S S S S t = t t t 1, 0 0, 0 1, 0 t t t S ε ε ε > ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ − < ⎩ (4)

四.不對稱效果檢定結果

首先對ε_t 作初步檢定，一般 GARCH 模型的自我相關模型殘差項的分配具有

厚尾而且有叢聚的現象，表示出現極端值的機率較常態分配之下來得大且殘差項

呈現高低分布不均的情況。由於我們將價格變動ε_t 當作殘差項，因此推論其分配

也應該具有厚尾以及叢聚現象，所以接下來對εt 作偏態及峰態的計算，在檢定方

法上利用 t 檢定與 Jarque and Bera (JB)檢定，JB 檢定的虛無假設為資料來自常態分

配。另外檢查自我相關係數，若εt 有叢聚現象表示大的價格變動之後也會跟隨較 大的價格變動，因此自我相關係數應該顯著異於 0，其檢定方法利用 Ljung-Box Q 檢定之。 接著我們利用符號偏差檢定(SB)、負向規模偏差檢定(NSB)、正向規模偏差檢 定(PSB)、與聯合檢定以檢驗不對稱效果，其檢定迴歸式如下： 2 t 0 1 1 t wt

ε

=

ϕ ϕ

+ − +

ζ

(5) 其中當εt<0 時，St−1為 1，其餘為 0； − 1 t S 1 1 t S+₋ ≡ − −₋ ，分別對wt−1=St 1(SB)、 − − 1 t 1 1 t t w− =S−−ε₋ ( NSB)、wt 1 St 1εt 1 + − 0 − = − (PSB)迴歸並利用 t 檢定檢驗H：0 ϕ1= ，另外再作 聯合檢定對所有變數作迴歸，迴歸式如下，虛無假設為H：₀ ϕ₁ =ϕ₂ =ϕ₃=0 2 t ，其檢 定統計量為自由度為 3 的卡方檢定。 0 1 1 2 1 1 3 1 1 t

S

t

S

t t

S

t t

ε

ϕ ϕ

−

ϕ

−

ε

ϕ

+

ε

ζ

− − − − −

=

+

+

+

+

(6)

表 2 為ε_t 自我相關係數與常態檢定的結果12_，Q 8與Q16分別為落後至第 8 期與 16 期的Ljung-Box Q統計量，其中日圓與瑞士法郎的Q8達到顯著水準，其餘則無法 拒絕虛無假設，表示在Ljung-Box Q檢定法之下可能沒有存在自我相關。至於ε_t 的 偏態係數(Skewness)則全部大於 0，表示為右偏分配，以t統計量檢定偏態係數是否 異於 0，日圓與瑞士法郎均拒絕虛無假設，而峰態係數(Kurtosis)皆大於 0，因此ε_t 均為厚尾的高狹峰分配，符合一般GARCH的特性，並且以t統計量檢定均顯著異 於 0，而JB檢定用在ε_t 是否為常態分配，其統計量為自由度為 2 的卡方分配，檢 定結果均拒絕虛無假設。 表 2 ε_t 自我相關係數與常態檢定表 英磅 歐元 日圓 瑞士法郎 Q8 5.413 9.447 17.346** 16.113* Q16 14.451 21.499 23.616 25.820 Skewness 0.019 0.097 1.052** 0.249** Kurtosis 0.813** 0.738** 9.616** 1.892** JB test 22.48633** 19.741** 3282.898** 129.800** 註：1.*為 10%的顯著水準，**為 5%的顯著水準 2.RATS 統計軟體中設定常態分配 Skewness=0，Kurtosis=0。 表 3 是針對隱含波動度作各種不對稱現象的檢定結果，首先作符號偏差檢定， 四支選擇權的 p 值均十分不顯著，表示εt的正負號對隱含波動度的影響並不顯著， 而在負向規模偏差檢定方面，所有選擇權的 p 值都非常顯著，表示大且負向的ε_t比 12 此處為未標準化之定義。

小且負向的ε_t對波動度的影響較大；另外再來看正向規模偏差檢定，所有的選擇 權均拒絕虛無假設，表示大且正向的εt比小且正向的εt對波動度的影響比較大， 綜合負向及正向規模偏差檢定來看，size effect 顯著，表示大的訊息均較小訊息對 波動度造成較大影響；最後是利用 LM 統計量作聯合檢定，所有的選擇權均拒絕 虛無假設，表示至少其中一項解釋變數對波動度具有解釋能力。 表 3 不對稱效果檢定表 SB NSB PSB Joint test 選擇

權 t 值 P-value t 值 P-value t 值 P-value

2 χ P-value 英磅 1.362 0.173 -16.50** 0.000 17.353** 0.000 697.975** 0.000 歐元 -0.445 0.655 -10.670** 0.000 18.248** 0.000 522.997** 0.000 日圓 0.872 0.382 -48.862** 0.000 13.387** 0.000 773.576** 0.000 瑞士 法郎 -0.982 0.326 -12.330** 0.000 21.739** 0.000 661.470** 0.000 註：*為 10%的顯著水準，**為 5%的顯著水準 SB 檢定：

ε

_t2 =

ϕ ϕ

₀+ ₁w_t−1+

ζ

_t，w_t−1=S_t−₋₁ t NSB 檢定：

ε

_t2 =

ϕ ϕ

₀+ ₁w_t−1+

ζ

，w_t−1=S_t−₋₁ε_t−1 w PSB 檢定：

ε

_t2 =

ϕ ϕ

₀+ _{1 t−1}+

ζ

_t，w_t−1=S_t+₋₁ε_t−1 其中當ε_t<0 時，S_t−₋₁為 1，其餘為 0

伍.VS-GARCH 的實證結果

表 4(a)列出 VS-GARCH 模型估計係數結果，所採用的ε_t為未標準化定義，δ₀ 代表價格變動對波動度的不對稱影響，δ₁代表波動度的反轉效果，由表 4(a)可知δ0 係數均為正且顯著，δ₁係數也都很顯著，這種情況與一般股票市場的波動度不對 稱正好相反，小幅度的正向價格變動(外幣相對於美元升值)較負向價格變動(外幣 相對於美元貶值)對外匯波動影響較小，但是大幅度的正向價格變動較負向價格變 動對外匯波動的影響較大，這與匯率的計算單位有關。

圖 3(a)至 6(a)為四種外匯選擇權的 NIC 圖形，橫軸為未標準化定義之εt，當 t

ε >0，表示外幣相對於美元升值，當ε_t<0，表示外幣相對於美元貶值。從 NIC 可

看出在εt為小幅度變動時，外幣相對於美元升值比外幣相對於美元貶值時對外匯

波動影響要來得小，但在ε_t為大幅度變動時，對波動度的影響便出現反轉，即外

幣相對於美元升值比外幣相對於美元貶值時對外匯波動影響要來得大，這個結論 與 Kim and Kim (2003)用外匯期貨選擇權所得到的結論一致。從 NIC 也可看出反 轉效果在英磅及日圓選擇權最為明顯。

採用標準化定義的ε_t的實證結果，除了瑞士法郎選擇權的δ₁係數不顯著之

外，其它外幣選擇權的實證結果均與未標準化相同，圖 3(b)至 6(b)之 NIC，其橫

表 4(a) VS-GARCH 模型參數估計表(ε_t為未標準化) 英磅 歐元 日圓 瑞士法郎 0 w 0.049** (0.00) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 3.33e-03** (0.00) α 0.046** (0.00) 0.049** (0.00) 0.050** (0.00) 0.048** (0.00) β 0.049** (0.00) 0.044** (0.00) 0.052** (0.00) 0.048** (0.00) 0 δ 0. 042** (0.00) 0.011** (0.00) 0.045** (0.00) 3.33e-03 ** (0.00) 1 δ 0. 050** (0.00) 0.053** (0.00) 0.051** (0.00) -9.99e-03** (0.00) 2 δ 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 3.33e-03 ** (0.00) Log of likelihood 3793.35 4160.22 1792.17 2915.68 註：*為 10%的顯著水準，**為 5%的顯著水準，括弧內為 p-value，所採用的ε_t為未標準化定義。 模型為 2 0 1 1 1 1 2 0 1 2 t t t t t t t t IV w IV S v v IV αε β δ ε δ δ − − − − = + + + ≡ − −

表 4(b) VS-GARCH 模型參數估計表(ε_t為標準化) 英磅 歐元 日圓 瑞士法郎 0 w 3.33e-03** (0.00) 3.33e-03** (0.00) 3.33e-03** (0.00) 0.003 (0.68) α 0.048** (0.00) 0.048** (0.00) 0.050** (0.00) 0.049** (0.00) β 0.048** (0.00) 0.048** (0.00) 0.050** (0.00) 0.007 (0.99) 0 δ 3.33e-03** (0.00) 3.33e-03** (0.00) 3.33e-03** (0.00) 0.003** (0.00) 1 δ 3.33e-03** (0.00) 3.33e-03** (0.00) 3.33e-03** (0.00) 0.007 (0.99) 2 δ -0.010** (0.00) -9.99e-03** (0.00) -8.99e-03** (0.00) 0.003 (0.63) Log of likelihood 3227.90 2325.08 2857.90 4650.51 註：*為 10%的顯著水準，**為 5%的顯著水準，括弧內為 p-value，所採用的ε_t為標準化定義。 模型為 2 0 1 1 1 1 2 0 1 2 t t t t t t t t IV w IV S v v IV αε β δ ε δ δ − − − − = + + + ≡ − −

圖 3(a) 英磅選擇權之 NIC(未標準化)

圖 4(a) 歐元選擇權之 NIC(未標準化)

圖 5 (a) 日圓選擇權之 NIC(未標準化)

圖 6(a) 瑞士法郎選擇權之 NIC(未標準化))

陸.選擇權市場的訊息衝擊

Back(1993)提出一個理論模型假定選擇權市場是多餘的(Redundant)(可透過標 的資產的動態交易來合成)。但是他證明選擇權的交易仍會透過訊息的傳遞來影響 標的資產的價格。於是，當選擇權交易發生時，市場訊息發生變化，標的資產的 價格自然會發生波動。因此，Back(1993)結論選擇權市場並非多餘的，它的交易活 動的變動(例如交易量)提供了更廣泛且有別於標的現貨市場的訊息來源。

在市場訊息不對稱的架構下， Easley, O’Hara and Srinivas(1998)發現有私人訊 息的交易者(informed traders)會選擇在現貨市場或選擇權市場上交易13_{。因此，選} 擇權的交易含有未來標的資產價格變動的足夠訊息。 因此，在本文此節中，我們介紹”訊息衝擊”(information shocks)以別於前述的 價格衝擊。此處，訊息衝擊定義為由於選擇權的交易活動的變動(交易量)所造成的 衝擊。 在本節中，我們加入交易量變數到VS- GARCH模型14，其目的有三：首先， 我們探討交易量代表(訊息衝擊)是否如價格衝擊相同存在波動度不對稱現象與反 轉特性。其次，過去文獻普遍發現無論在現貨或衍生性商品市場，價格波動與交 易量存在交互(interactions)的效果15_{。我們期盼加入交易量變數的模型能反應上述} 交互的效果，應能對資料有較佳的解釋能力。最後，我們欲了解訊息衝擊(交易量) 與價格衝擊是否意含相同的內容。若是，我們應發現在下列模型下價格衝擊的不 13 與現貨市場相比，選擇權市場對於投資人而言具有槓桿擴充與無放空限制的優點。 14 在後面實證研究中，我們採用的交易量變數為log OI

( )

_t ， OI 為選擇權未平倉量。 t 15

例 如 Park ， Switzer and Bedrossian(1999) ， Bessembinder and Seguin(1993) 與 Admati and Pflerderer(1988)等。

對稱與反轉現象應消失而由訊息衝擊來取代之。我們的模型設定如下： 2 log( ) (7) IV = +w

αε

₁+

β

IV ₁+S v_{1 1, 1}+S ₁∆ OI ₁ v_{2, 1} 2 1, 0 1 2 2 2, 0 1 2 t t t t t t t t t t t t t t v IV v IV

δ ε

δ

δ

φ ε

φ

φ

− − − − − − − ≡ − − ≡ − − 與式(5)相比較，式(7)有二個訊息反應函數 與 。式(7)的右邊第二項為與 式(5)相同的訊息反應函數。式(7)中的最右邊一項反映價格波動與交易量存在交互 的效果。此處模型設計與Simon(1997)類似，代表交易量(訊息衝擊)對於波動度的 影響須透過其與波動度的交互效果 1,t V V_2,t 16 。 為了敘述方便，我們稱(7)為「VS-VOLUME-GARCH 模型」，與 VS-GARCH 不同之處在於多考慮了交易量與價格變動的交互影響。δ0與δ1係數代表價格衝擊 (價格變動)對波動度的不對稱效果及反轉效果，φ 0 及φ1 則代表訊息衝擊(交易量) 對波動度不對稱及反轉的影響。 VS-VOLUME-GARCH模型可說是Longin (1997)模型的延伸。模型中含有二個 threshold效果：第一個threshold的效果為價格變動，門檻為ε_t=0，反映了一般衝擊 的不對稱效果。第二個threshold的效果為交易量，門檻為前期交易量，反映了交易 量 ( 訊 息 衝 擊 ) 的 不 對 稱 效 果 。 因 此 ， 若 以 Longin(1997) 的 角 度 ， 此 VS-VOLUME-GARCH模型可視為double-threshold GARCH模型。17 VS-VOLUME-GARCH 模型之參數估計見表 5 (a)與(b)。當使用未標準化定義 的ε_t時，表 5(a)的結果顯示訊息衝擊存在波動度不對稱結果與反轉現象(φ₀與φ₁皆 16

此處模型的設計符合The Mixture of Distributions Hypothesis(詳見Tauchen and Pitts(1983)與 Richardson and Smith(1994))

17

Longin(1997) 曾 提 出 一 個 Multiple-Threshold GARCH 模 型 。 詳 細 內 容 可 見 於 Longin(1997) 的 Footnote3。

顯著不為零)(除了歐元不存在反轉現象)。同時地，原來價格衝擊的不對稱結果與 反轉現象仍然存在(δ₀與δ₁皆顯著不為零)(除了歐元反轉現象不存在)。當使用標準

化定義的ε_t時，表 5(b)的結果與前一致，除了不存在反轉現象的選擇權由歐元轉

為日幣而已。

上述的實證結果符合了 Easley, O’Hara and Srinivas(1998)的早期研究結果，選 擇權的交易意含有未來標的資產價格變動的訊息。此結果更支持 Back(1993)的理 論模型，選擇權市場的交易提供更廣泛，但不同於現貨市場上的訊息來源。選擇 權對於標的資產價格變動的影響是透過其交易活動所傳遞的訊息。 為了將 VS-GARCH 與 VS-VOLUME-GARCH 兩個模型作比較，我們作 0 0 1 2 H :φ = =φ φ = 的 LR 檢定，一般而言，除了標準化0 εt估計下的日圓選擇權之 外，其餘均明顯拒絕虛無假設，因此 VS-VOLUME-GARCH 模型比 VS-GARCH 模型要來得更有解釋能力。

表 5 (a) VS-VOLUME-GARCH 模型之係數估計表(ε_t為未標準化定義) 英磅 歐元 日幣 瑞士法郎 0 w 0.049** (0.00) 0.049 (0.17) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) α 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 0. 048** (0.00) β 0. 050** (0.00) 0.049 (0.97) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0 δ 0.049** (0.00) 0.049** (0.00) 0.051** (0.00) 0.049** (0.00) 1 δ 0.050** (0.00) 0.049 (0.98) 0.049** (0.00) 0.049** (0.00) 2 δ 0.049** (0.00) 0.049 (0.26) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 0 φ 6.35e-04** (0.00) 6.31e-04** (0.00) 6.17e-04** (0.00) 6.13e-04 ** (0.00) 1 φ -1.11e-04** (0.00) -1.11e-04 (0.93) -1.08e-04** (0.00) -1.08e-04** (0.00) 2 φ 8.68e-06** (0.00) 8.77e-06 (0.71) 8.82e-06 ** (0.00) 8.91e-06 ** (0.00) Log of Likelihood 3015.46 2893.89 1067.29 2713.76 2 2 χ (H :0 φ0 = =φ φ1 2 = )0 902.69** (0.00) 4723.24** (0.00) 51598.18** (0.00) 847.40** (0.00) 註：*為 10%的顯著水準，**為 5%的顯著水準，括弧內為 p-value。

表 5 (b) VS-VOLUME-GARCH 模型之係數估計表(ε_t為標準化定義) 英磅 歐元 日幣 瑞士法郎 0 w 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) α 0.048** (0.00) 0.048** (0.00) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) β 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0.048** (0.00) 0.048** (0.00) 0 δ 0.050** (0.00) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 1 δ 0.051** (0.00) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0.050** (0.00) 2 δ 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 0.048** (0.00) 0.049** (0.00) 0 φ 1.08e-04 ** (0.00) 1.07e-04 ** (0.00) 6.18e-05 ** (0.00) 1.02e-04** (0.00) 1 φ -7.02e-04 ** (0.00) -7.04e-04** (0.00) -1.68e-06 (0.63) -7.04e-04** (0.00) 2 φ 7.60e-05** (0.00) 7.69e-05** (0.0) 1.74e-07 (0.50) 7.86e-05** (0.00) Log of Likelihood 2683.44 2049.12 1478.03 2455.57 2 2 χ (H :0 φ0 = =φ φ1 2 = )0 82491.60** (0.00) 36000.92** (0.00) 0.66 (0.71) 120.08** (0.00) 註：*為 10%的顯著水準，**為 5%的顯著水準，括弧內為 p-value。

柒. 結論

一般研究外匯波動均以現貨市場的波動為主，但理論上衍生性金融商品由於 交易成本低、市場限制較少，並且其隱含波動度為「事前」波動度，隱含「預期」 的意涵，因此衍生性金融商品的波動應該比現貨市場的波動更能反映市場的訊 息，市場訊息透過市場參與者的投資策略反映在市場，將會造成市場上的波動， 且影響是不對稱和具有反轉現象的，基於以上推論，本研究以英磅、歐元、日圓 及瑞士法郎四種外匯選擇權作為研究標的，探討外匯波動是否具有不對稱效果以 及不對稱效果是否因價格變動幅度而有反轉現象，並且檢驗選擇權交易量所代表 的訊息衝擊是否亦造成類似的效果。主要研究結論綜合如下： 1. 本文利用選擇權市場的資料證實價格衝擊對於外匯波動確實具有不對稱及 反轉效果。 2. 本文定義”訊息”衝擊為由於選擇權的交易活動的變動(交易量)所造成的衝 擊。實證結果發現此訊息衝擊對於外匯波動亦存在不對稱與反轉現象。此結果與 上述價格衝擊的結果是同時存在的，此發現符合 Easley, O’Hara and Srinivas(1998) 的看法選擇權的交易活動含有未來標的資產價格的足夠訊息。此結果亦支持了 Back(1993)的結論選擇權市場並非多餘的，其交易活動提供了更廣泛且有別於標的 現貨市場的訊息來源。

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