1030003 103學測考情最前線數學科

(1)

大考風向球

數學科

陳清風／桃園高中

2 戰地記者龍騰報導

　　近幾年來，學測儼然已成為升上大學的主要管道，尤以今年的名額更是創下新高因而，學測試題更受到多方關注。　　今年試題是採用 99 課綱的第二年，整體而言，題目靈活、題意清晰、計算簡要；符合大考中心的測驗目標，在「概念性」、「程序性」、「解題能力」三方面都兼具，是一份有鑑別度的試題。只要學生靈活應用基本概念、培養閱讀題目的耐心、加強問題與教材連結的能力，必可取得高分。

(2)

前言　　以學測成績為主要依據的大學甄選入學，今年的名額創新高，占大學總招生名額的 52%，成為主要的升學管道。因此，學測試題愈來愈受到多方的關注。　　99 課綱將數學課程的內容簡化，去年首次採用此課綱命題，一般預測會比往年簡單，但卻是出乎大家意料之外的難。而今年第二次採用，則是將難易度調回來了，是一份難易適中的試題。　　現就個人見解，針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。題型分配　　今年試題的題型與往年無異，仍然包含單選題、多選題及選填題三大題，各大題的題數、總題數及配分（每題 5 分）則與去年相同，如下表所示：題型年度單選題多選題選填題總題數 101 年 7 6 7 20 102 年 6 6 8 20 103 年 6 6 8 20

103 學測命題特色

(3)

大考風向球試題分布　　近兩年試題的分布如下表（單元名稱劃分依據 99 課綱）：冊章單元名稱 102 年 103 年配分小計配分小計一 1 數與式 5 25 10 25 2 多項式函數 10 10 3 指數、對數函數 10 5 二 1 數列與級數 5 25 5 25 2 排列、組合 10 10 3 機率 5 5 4 數據分析 5 5 三 1 三角 10 32 10 35 2 直線與圓 8 15 3 平面向量 14 10 四 1 空間向量 0 18 5 15 2 空間中的平面與直線 5 5 3 矩陣 5 5 4 二次曲線 8 0 觀察上表，針對今年考題有以下三點看法： 1. 若以年級來分類，配分相當平均，高一、高二各占一半 50 分。 2. 若以冊來分類，配分雖還算平均，但略偏重第三冊。 3. 若以章來分類，往年試題分布都涵蓋每一單元，應是命題原則了。可是今年卻有一個單元沒出，而且還是普遍被認為必考單元的二次曲線，這恐怕跌破很多老師的眼鏡。試題評析　　底下針對今年部分試題作評析： 1. 第 1 題：簡單的對數運算，放第 1 題不錯！ 2. 第 2 題：除先假設 P 點坐標，再硬算外，也可以將 5 個選項逐一代入檢查判定。 3. 第 4 題：此題利用兩邊平方去絕對值後，再解二次不等式，即可解出。 4. 第 5 題：由選項的設計得知，此題就是要考教材中的二項式定理，不希望考生採用平方後，再平方得 4 次方，最後相乘得 6 次方的計算方法，可見命題者的用心。

(4)

7. 第 10 題：將二次函數的圖形與勘根定理結合成一題是不錯的設計。 8. 第 12 題：很生活化的統計題目，只要讀懂題目及具有平均數的概念就能解出。但有點可惜的是，教材中的一些統計量（如標準差）沒考到。 9. 第 B 題：在四冊教材中，並無二次函數圖形與直線的相交狀況，且課綱也明確規定不談論二次曲線的切線，而切線就僅討論圓的切線。也就是說，學生只學過求圓的切線，沒有求過其他曲線的切線。又求圓的切線時，若利用圓的特性使用幾何觀點，則計算較為簡潔；若使用一般化的代數觀點，則計算會繁雜許多。因此教學現場上，皆重幾何觀點，而輕代數觀點（甚至忽略）。雖然課綱不惜將「點到直線的距離公式」移到「直線與圓」後，但仍避免不掉這現象。或許此題是想減輕這樣的現象，並凸顯課綱設計的精神而出現，但考二次函數圖形的切線仍是有討論的空間。 10. 第 C 題：簡單的三角測量題，僅利用畢氏定理便可解出，解題概念與第 A 題相近。如果修改成須使用到其他定理或性質（如餘弦定理），不但可增加整份試題的廣度，也較不會與第 A 題重複。 11. 第 F 題：此題應是此份試題最難的一題，也是高分群分出高下的一題，關鍵在於能否將排法分類，或有秩序的排，否則僅靠硬排恐會困在此題。 12. 有國中題：有數次的學測，曾出現只要國中程度便能解出的題目，這情形在今年出現了三題（如第 8、A、C 題）。 13. 有「概念題」：往年都有那種「筆在手中轉轉就可答對的題目」，今年也出現了數題（如第 1、3 題）。 14. 計算量小：除最後一題（第 H 題）外，沒有多步驟計算的題目。 15. 由淺至深：題目的難度由淺至深排列，符合組卷原則。 16. 無二次曲線：二次曲線是指考一顆星的單元（數甲、乙都是），也就是說，若學測沒考，就意味著這屆學生大考不會考到了。也許是這樣的考量，往年學測此單元至少考一題，可是今年沒出（僅在第 7 題的第 3 選項出現拋物線的方程式），應是學測舉辦以來的首例。結語　　整體而言，題目靈活，題意表達清楚且易讀、易懂，沒有需要很複雜計算的題目，只要掌握基本概念即可作答，是一份有鑑別度的試題。此份試題不但比學校模擬考簡單很多，更出現好幾題不錯的題目（如第 3、6、9、B、F 題），應可作為將來命題的重要參考，是一份讓學生的努力可直接反應在得分上的試卷。

(5)

大考風向球　　大考中心所列數學考科的測驗目標，為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」等三方面的知識與能力。學測應以評量前兩項為主，較偏向概念性知識與程序性知識。今年的試題這三方面知能各約占三分之一，符合學測的測驗目標。　　在 99 課綱的框架內，對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法： 1. 基本概念：著重基本概念的靈活應用，一直是學測命題的中心想法，加強基本概念的練習是必做的基本功夫。 2. 情境題：生活化的試題年年都有，也是必然的命題趨勢，由於這類試題往往會比一般的題目長，所以應培養仔細閱讀題目的耐心，及加強將問題與教材連結的能力。 3. 新單元：由於課綱的改變，往年指考才有的單元學測也會出現（今年就出了不少題），例如：條件機率、矩陣等。由於這些單元考生在練習歷屆考古題時都不會練習到，因此，準備學測時要多留意這一塊。 4. 熱門單元：在新單元中，有幾個預期會考的單元沒出現，反而是成為明年的大熱門，值得注意。例如：二次曲線、迴歸直線、餘弦定理等。 5. 三顆星以下的單元：指考對標示三顆星以下的單元是不直接命題的，這些單元往往會出在學測，例如今年的第 5 題考二項式定理（二星），第 11 題考數列與級數（二星），第 4 題考數與式（二星）等。 6. 跨章節題：學測從 14 個單元中命 20 題，必然會有幾題是涵蓋兩個單元以上的題目，也藉此提高試題的鑑別度。因此，加強單元與單元之間的連結能力，多練習跨章節的題目，才能在眾多考生中勝出。　　以上提出個人淺見供大家參考，尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

(6)

第壹部分：選擇題（占

60 分）

說明：第1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1

對數的運算請問下列哪一個選項等於log 2

 

 35 ﹖

(1)5log 2 　(2) 3 5log 2

 

3  　(3) 5log 2 log3 　(4)5 log 2 log3







　(5)_{3 log 2}5 _﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數﹑對數函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 3 單元指數﹑對數函數解題觀念：能知道對數的運算性質﹐就可解出﹒ 答　　案：(5) 解　　析：利用公式 log t log ar t ar﹐得  

 

₃5 5 log 2 3 log 2_﹒ 故選(5)﹒

一、單選題（占

30 分）

(7)

試題大剖析

2

空間坐標系令A



5,0,12



﹐B



5,0,12



為坐標空間中之兩點﹐且令P 為 xy 平面上滿足PA PB 13的點﹒請問下列哪一個選項中的點可能為P ﹖ (1)



5,0,0 　(2)





5,5,0 　(3)





0,12,0 　(4)





0,0,0 　(5)





0,0,24



_﹒ 出　　處：龍騰版《數學 4》第 1 章空間向量《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 11 單元空間向量 解題觀念：能知道 xy 平面上的點 z 坐標為 0 ﹐及兩點距離的公式﹐就可解出﹒ 答　　案：(4) 解　　析：設P x y



, ,0



﹒因為_{PA PB}_ _₁₃﹐所以





2 ₂





2 ₂ 5 144 5 144 13 x y   x  y   ﹐ 即









2 2 2 ₂ 5 25 5 25 x y x y           ﹒ 兩式相減﹐得



_x_₅

 

2_ _x_₅



2__x2_₁₀_x_₂₅__x2_₁₀_x_₂₅_{  ﹐}_x ₀ 代入原式得y ﹐即0 P



0,0,0



﹒ 故選(4)﹒

3

圓的標準式在坐標平面上 ﹐ 以

 

1,1 ﹐



1,1



﹐



  及1, 1





1, 1 等四個點為頂點的正方形 ﹐ 與圓



2 2 ₂ ₂ _{1 0} x  y  x y  有幾個交點﹖　(1)1個　(2) 2 個　(3) 3 個　(4) 4 個　(5) 0 個﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元直線與圓解題觀念：能將圓的一般式改寫為標準式﹐並畫出圖形﹐就可解出﹒ 答　　案：(2) 解　　析：將圓改寫成標準式﹐得



 

2



2 1 1 1 x  y  ﹐ 得知其圓心為



  ﹐半徑為1﹒1, 1



由右圖得知此圓與正方形共有2 個交點﹒ 故選(2)﹒

(8)

4

含有絕對值的一次不等式請問滿足絕對值不等式 4x12 2x的實數 x 所形成的區間﹐其長度為下列哪一個選項﹖ (1)1　(2) 2 　(3) 3 　(4) 4 　(5) 6﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 1 章數與式《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 1 單元數與式解題觀念：能分x 與3 x 兩段討論﹐就可解出﹒3 答　　案：(4) 解　　析：分兩段討論如下﹕ 當x 時﹐原式為 43 x12 2 x﹐得x ﹐即 36   ﹒x 6 當x 時﹐原式為3 



4x12



2x﹐得x ﹐即 22   ﹒x 3 綜合上述﹐得 2  ﹐此區間長度為 6 2 4x 6   ﹒ 故選(4)﹒

5

二項式定理設



1 2



6 a b 2﹐其中 a ﹐b 為整數﹒請問 b 等於下列哪一個選項﹖ (1) 6 6 2 6 3 6 0 2 2 2 4 2 6 C  C  C  C 　 (2) 6 6 2 6 1 2 3 2 5 C  C  C 　 (3) 6 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 C  C  C  C  C  C  C (4) 6 2 6 3 6 1 3 5 2C 2 C 2 C 　(5) 6 2 6 4 6 6 6 0 2 2 2 4 2 6 C  C  C  C _﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列﹑組合《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 5 單元排列﹑組合解題觀念：了解二項式定理就可解出﹒ 答　　案：(2) 解　　析：利用二項式定理﹐得





6 ₆ ₆

   

₆ 2 ₆

 

3 ₆

 

4 ₆

 

5 ₆

 

6 0 1 2 3 4 5 6 1 2 C C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2



6 6 2 6 3 6

 

6 6 2 6



0 2 2 2 4 2 6 1 2 3 2 5 2 C C C C C C C        _﹐ 即 6 6 2 6 1 2 3 2 5 b C  C  C ﹒ 故選(2)﹒

(9)

試題大剖析

6

條件機率某疾病可分為兩種類型﹕第一類占 70%﹐可藉由藥物 A 治療﹐其每一次療程的成功率為 70%﹐ 且每一次療程的成功與否互相獨立﹔其餘為第二類﹐藥物 A 治療方式完全無效﹒在不知道患者所患此疾病的類型﹐且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下﹐進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項﹖　(1) 0.25 　(2) 0.3 　(3) 0.35 　(4) 0.4 　(5) 0.45﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 6 單元機率解題觀念：能依題意畫出樹狀圖﹐再利用條件機率的定義﹐就可解出﹒ 答　　案：(2) 解　　析：依題意得下圖﹕ 根據條件機率的定義﹐得



|



P 第二次成功第一次失敗  P



第一次失敗第二次成功_P

_



_



第一次失敗 70% 30% 70% 70% 30% 30% 100%       49 170  0.288  _﹒ 故選(2)﹒

(10)

說明：第7 題至第12題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7

格子點 設坐標平面上﹐ x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為格子點﹒請選出圖形上有格子點的選項﹕ (1)_{y x}_ 2_{(2) 3}_y₉_x 　(3)₁ _y2 _{   　(4)}_x ₂ _x2__y2_{ 　(5)}₃ 9 1 log 2 y x ﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元直線與圓解題觀念：能由方程式找出一個格子點﹐或利用整數的性質判定出圖形無格子點﹒ 答　　案：(1)(3)(5) 解　　析：(1)有格子點

 

1,1 ﹒ (2)若 x ﹐ y 為整數﹐則 3y 是 3 的倍數﹐但 9x 不是 3 的倍數﹐得知圖形無格子點﹒1 (3)有格子點



3,1



﹒ (4)兩非負整數的和為 3 之情形﹐有 0 3 與1 2 兩種﹐但因為 2 ﹐ 3 皆非完全平方數﹐ 所以圖形無格子點﹒ (5)有格子點

 

3,1 ﹒ 故選(1)(3)(5)﹒

8

無理數的近似值關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹕ (1) 13 3.5 　(2) 13 3.6 　(3) 13 3 10　(4) 13 3 16　(5) 1 0.6 13 3 ﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 1 章數與式《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 1 單元數與式解題觀念：了解十分逼近法﹐及知道將根式平方後來觀察﹐就能解出﹒ 答　　案：(1)(4)

二、多選題（占

30 分）

(11)

試題大剖析解　　析：(1)因為_3.52 __{12.25 13}_ _{﹐所以 13 3.5}_ _﹒ (2)因為_3.62__{12.96 13}_ _{﹐所以 13 3.6}_ _﹒ (3)因為



3 10



213 2 30 13  ﹐所以 3 10 13﹐即 13 3 10﹒ (4)因為



13 3



2 16 2 39 16  ﹐所以 13 3 16﹒ (5) 1 13 3 3.7 1.8 6 0.6 10 10 10 13 3        ﹒ 故選(1)(4)﹒

9

平面向量一物體由坐標平面中的點



3,6



_{出發﹐沿著向量 v}



所指的方向持續前進﹐可以進入第一象限﹒請選出正確的選項﹕ (1)



_v _



_{1, 2}_



　(2)



_v _



_{1, 1}_



　(3)



_v _



_0.001,0



　(4)



_v _



_0.001,1



　(5)



_v _{ }



_0.001,1



﹒ 出　　處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 10 單元平面向量 解題觀念：先計算經過原點時的向量﹐再確定出「若 x 增加1﹐ y 的變化量須大於 2 才會進入第一象　　　　　限」的原則﹐就能解出﹒ 答　　案：(2)(3)(4) 解　　析：如圖﹐因為_AO



_



_{3, 6 // 1, 2}_

 

_



﹐ 所以自A 點出發﹐沿著



_v _



_{1, 2}_



所指的方向持續前進﹐ 會經原點 O ﹐進入第四象限﹒ 因此﹐當前進方向為



_v _

 

_1,_k 時﹐ 「若k 2﹐則持續前進會進入第一象限」﹒ 各選項的k值如下﹕ (1)k 2﹒ (2)k 1﹒ (3)因為



_v _



_{0.001,0 // 1,0}

  

﹐所以k ﹒0 (4)因為



_v _



_{0.001,1 // 1,1000}

 



﹐所以k1000﹒ (5)因為



_v _{ }



_{0.001,1 // 1, 1000}

 

_



﹐所以k 1000﹒

(12)

10

多項式函數設 f x 為實係數二次多項式 ﹐ 且已知

 

f

 

1  ﹐0 f

 

2  ﹐0 f

 

3  ﹒ 令0

 

  

2

 

3



g x  f x  x x ﹐請選出正確的選項﹕ (1)y f x

 

的圖形是開口向下的拋物線 (2)y g x

 

的圖形是開口向下的拋物線 (3)g

 

1  f

 

1 (4)g x

 

 在1與 2 之間恰有一個實根0 (5)若 為 f x

 

 的最大實根﹐則0 g

 

  ﹒0 出　　處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元多項式函數解題觀念：能依題意將y f x

 

的略圖畫出﹐及了解勘根定理的幾何意涵﹐就能解出﹒ 答　　案：(3)(4) 解　　析：依題意可得y f x

 

的略圖如下﹕ (1)由上圖得知﹐y f x

 

是開口向上的拋物線﹒ (2)由(1)知f x 是二次項係數為正的二次多項式﹐因此

 

g x 也是二次項係數為正的二次

 

多項式﹐即y g x

 

的圖形是開口向上的拋物線﹒ (3)g

 

1  f

  

1  1 2 1 3

 

 



f

 

1  2 f

 

1 _﹒ (4)g

 

1 _﹐g

 

2 _﹐g

 

3 的正負情形如下﹕

 

1 1 2 0 2 2 0 0 3 3 0 0 g f g f g f           _ _{ }  ﹐ 利用勘根定理推得﹐二次方程式g x

 

 在區間0

 

1,2 及

 

2,3 各恰有一實根﹒ (5)由y f x

 

的略圖得知2  ﹒又因為 3 f

 

  ﹐所以0

 

  

2

 

3

 

2

 

3



0 g   f       _{  ﹒}

(13)

試題大剖析

11

等差數列設a1 且1 a ﹐1 a ﹐2 a ﹐…為等差數列﹒請選出正確的選項﹕3 (1)若a100  ﹐則0 a1000 0 (2)若a100 ﹐則0 a10000 (3)若a1000  ﹐則0 a1000 (4)若a1000 ﹐則0 a1000 (5)a1000a10 10



a100a1



﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 1 章數列與級數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 4 單元數列與級數解題觀念：能利用等差數列的一般項公式﹐就能解出﹒ 答　　案：(2)(3)(5) 解　　析：設公差為d﹒利用公式an a1



n1



d ﹐得 100 1 99 a   d_﹐a₁₀₀₀  1 999d_﹒ (1)反例﹕當d 0.01時﹐a100 1 0.99 0.01 0  ﹐但a1000 1 9.99 8.99 0 ﹒ (2)若a100 1 99d ﹐即0 1 99 d  ﹐所以 ₁₀₀₀ 1 999 1 999 0 99 a   d   ﹒ (3)若a1000 1 999d ﹐即0 1 999 d  ﹐所以 ₁₀₀ 1 99 1 99 0 999 a   d    ﹒ (4)反例﹕當d 0.01時﹐則a1000  1 9.99 8.99 0 ﹐但a100  1 0.99 0.01 0  ﹒ (5)因為



 



1000 10 1 999 1 9 990 a a   d   d  d_﹐



100 1







10 a a 10 1 99 d 1 990d_﹐ 所以a1000a1010



a100a1



﹒ 故選(2)(3)(5)﹒

(14)

12

一維數據分析所謂某個年齡範圍的失業率﹐是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比﹐以百分數表達（進行統計分析時﹐所有年齡以整數表示）﹒下表為去年某國四個年齡範圍的失業率﹐其中的年齡範圍有所重疊﹒ 年齡範圍（歲） 35～44 35～39 40～44 45～49 失業率（%） 12.66 9.80 13.17 7.08 請根據上表選出正確的選項﹕ (1)在上述四個年齡範圍中﹐以 40～44 歲的失業率為最高 (2)40～44 歲勞動力人數多於 45～49 歲勞動力人數 (3)40～49 歲的失業率等於 13.17 7.08 % 2        (4)35～39 歲勞動力人數少於 40～44 歲勞動力人數 (5)如果 40～44 歲的失業率降低﹐則 45～49 歲的失業率會升高﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 4 章數據分析《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 7 單元數據分析解題觀念：看懂題意﹐及了解失業率的計算公式﹐就能解出﹒ 答　　案：(1)(4) 解　　析：設各範圍的勞動人數如下﹕ 年齡範圍（歲） 35～39 40～44 45～49 勞動人數（人） a b c (1)在失業率中﹐以 13.17%最大﹒ (2)僅由題意﹐不能確定 b c ﹒ (3)40～49 歲的失業率為b 13.17% c 7.08% b c     ﹐不一定等於 13.17 7.08 % 2        ﹒ (4)因為a 9.80% b 13.17% 12.66% a b    _  ﹐即





9.80a13.17b12.66 a b 2.86a0.51b_﹐ 所以a b ﹒ (5)僅由題意﹐不能推得此結論﹒ 故選(1)(4)﹒

(15)

試題大剖析

第貳部分：選填題（占

40 分）

說明：1. 第 A 至 H 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（ 13～ 36）。 2. 每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

圓的切線 設圓 O 之半徑為24 ﹐OC26﹐ OC 交圓 O 於 A 點 ﹐ CD 切圓 O 於 D 點﹐B 為 A 點到 OD 的垂足﹐如右圖﹐則 AB  ﹒（化為最簡分數）出　　處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 9 單元直線與圓解題觀念：知道切點與圓心的連線垂直切線﹐再利用相似三角形的對應邊成比例﹐就能解出﹒ 答　　案：120 13 解　　析：因為兩直角三角形 OAB 與 OCD 相似﹐且_CD_ ₂₆2_₂₄2 _₁₀_﹐所以 26 24 240 120 10 26 13 OC OA _AB CD  AB  AB    ﹒

B

二次函數 坐標平面上﹐若直線 y ax b  （其中 a ﹐ b 為實數）與二次函數_{y x}_{ 的圖形恰交於一點﹐亦}2 與二次函數y



x2



212的圖形恰交於一點﹐則 a  　　　﹐b 　　　　﹒ 出　　處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 2 單元多項式函數解題觀念：藉由聯立方程式所得出的二次方程式的判別式﹐利用判別式等於 0 ﹐二次方程式有兩相等　　　　　實根﹐此時直線與二次函數的圖形恰交於一點﹐解出 a ﹐b 的值﹒ 答　　案：a ﹐6 b 9

(16)

解　　析：由聯立方程式 y ax b₂ y x     _  ﹐得 2 ₀ x ax b  ﹐ 其判別式為

 

__a 2_{    }_{4 1}

 

_b _a2_₄_b_﹒ 因為兩圖形恰交於一點﹐所以判別式為 0 ﹐即_a2_₄_b_{ ﹒}₀ 再由聯立方程式





2 2 12 y ax b y x         ﹐得





2 ₂









2 12 0 4 16 0 x  ax b  x   a x b  ﹐ 其判別式為



_{ }₄ _a



2_{  }_{4 1 16}



__b



__a2_₈_a_₄_b_₄₈_﹒ 因為兩圖形亦恰交於一點﹐所以判別式為 0 ﹐即_a2_₈_a_₄_b__{48 0}_{ ﹒} 解 2 2 4 0 8 4 48 0 a b a a b           ﹐得a ﹐6 b  ﹒9

C

三角測量 小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里﹐並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里﹒今欲在此道路上蓋一家超級 市場使其與 A﹑B 等距﹐則此超級市場與 A 的距離須為　　　　　公里﹒（化為最簡根式） 出　　處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元三角解題觀念：能依題意畫出圖形﹐再利用畢氏定理﹐就可解出﹒ 答　　案： 4 3 解　　析：設超級市場蓋在P 點﹐且 PA PB x  ﹐如右圖所示﹒ 利用畢氏定理﹐得_HB_ ₁₂2_₆2 __{6 3}_﹐則_HP__{6 3}_{ ﹒}_x 再利用畢氏定理﹐得　　　_x2 _₆2_



_{6 3}__x



2__x2__{36 108 12 3}_ _ _{x x}_ 2_﹐ 解得 144 12 4 3 12 3 3 x   ﹐即超市與A 的距離為 4 3 公里﹒

(17)

試題大剖析

D

直線的參數式坐標空間中有四點A



2,0,0



﹐B



3,4,2



﹐C



2,4,0



與D



1,3,1



﹒若點P 在直線 CD 上變動﹐ 則內積 PA PB

 

 之最小可能值為 ﹒（化為最簡分數）出　　處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 12 單元空間中的平面與直線解題觀念：利用直線的參數式假設直線上的點坐標﹐再利用配方法求得內積的最小值﹒ 答　　案：5 4 解　　析：利用直線參數式 CD



﹕ 0 2 4 , z t x t y t t              ﹐設點P



 2 t,4t t,



﹒因為



4 , 4 ,

 

5 , ,2



PA PB

 

       t t t t t t



4 t

 

5 t

 

4 t t

   

t 2 t



         2 3t 15t 20    2 5 5 3 2 4 t    _  _    ﹒ 所以當 5 2 t_{ 時﹐ PA PB}

 

_ 有最小值5 4﹒

E

平面向量 設 u



﹐ v



為兩個長度皆為_{1的向量﹒若 u}

 

_ _v _{與 u}



_{的夾角為 75 ﹐則 u}



_{與 v}



的內積為 ﹒（化為最簡根式）出　　處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 10 單元平面向量解題觀念：利用向量加法的幾何表示畫出圖形﹐再利用內積的定義解出﹒ 答　　案： 3 2  解　　析：依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得右圖﹒ 推得 u



與 v



的夾角為150 ﹒

 

(18)

F

計數原理一個房間的地面是由 12 個正方形所組成﹐如右圖﹒今想用長方形瓷磚鋪滿地面﹐已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形﹐ 即或 ﹐則用 6 塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有　　　　種﹒ 出　　處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列﹑組合《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 5 單元排列﹑組合解題觀念：看出原圖形是由兩個 2 3 矩形所組成﹐再分類討論﹐並利用加法原理與乘法原理解出﹒ 答　　案：11 解　　析：原圖形是由兩個 2 3 矩形所組成﹐分兩類討論﹕  排出兩個 2 3 矩形﹕ 排出一個2 3 矩形有底下 3 種方法﹒ 利用乘法原理得﹐排出兩個2 3 矩形有 3 3 9  種方法﹒  沒有排出 2 3 矩形﹕ 排法有底下2 種﹒ 故共 9 2 11  種方法﹒

G

轉移矩陣已知 a b c d      是一個轉移矩陣﹐並且其行列式（值）為 5 8﹐則a d  ﹒（化為最簡分數）出　　處：龍騰版《數學 4》第 3 章矩陣《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 13 單元矩陣解題觀念：知道轉移矩陣的定義﹐及行列式的定義﹐就能解出﹒

(19)

試題大剖析解　　析：因為是轉移矩陣﹐所以c  ﹐1 a b 1 d ﹒ 利用行列式的定義﹐得 1 5 1 8 a d a d   



1

 

1



5 8 ad a d     



1



5 8 ad a d ad       1 5 8 a d      13 8 a d    _﹒

H

正弦定理如圖﹐正rABC 的邊長為1﹐並且 1       ﹒已知2 3 15 sin15 6 2 4    ﹐ 則正rDEF的邊長為  ﹒（化為最簡根式）出　　處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角《稱霸高中數學 1～4 冊總複習講義》第 8 單元三角解題觀念：利用正弦定理就能解出﹒ 答　　案： 6 2 2  2 解　　析：在rABE中﹐ 60 15 45 ABE        ﹐AEB180     15 45 120 ﹐ 利用正弦定理﹐得 1 sin15 sin 45 sin120

BE _ AE _   ﹐ 即 6 2 sin15 ₄ 6 2 sin120 3 2 3 2 BE        ﹐ 2 sin 45 ₂ 2 sin120 3 3 2 AE     ﹒ 又因為rABE與rCAD_{全等﹐所以 AD BE}_ ﹒ 故正rDEF的邊長為 DE AE AD  AE BE 2 6 2 3 2 3    3 2 6 2 3   3 6 3 2 6   6 2 2 2   ﹒

(20)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為d的等差數列前 n 項之和為



2



1



2 n a n d S   ﹔ 首項為 a ﹐公比為 r （r ）的等比數列前 n 項之和為1



1



1 n a r S r    ﹒ 2. 三角函數的和角公式﹕sin



A B



sin cosA Bcos sinA B﹐

　　　　　　cos



A B



cos cosA Bsin sinA B﹐ 　　　　　　tan





tan tan

1 tan tan A B A B A B     ﹒ 3. rABC的正弦定理﹕ 2 sin sin sin

a b c _R A B C （ R 為rABC 外接圓半徑）﹔ ABC r 的餘弦定理﹕_c2__a2__b2_₂_ab_cos_C_﹒ 4. 一維數據 X ﹕x ﹐1 x ﹐…﹐2 x ﹐n 算術平均數



1 2



1 1 1 n X n i i x x x x n n      _ 



﹐ 標準差





2 1 1 n X i X i x n    



 2 2 1 1 n i X i x n n       __ _ _   



﹒ 5. 二維數據



X Y ﹕,





x y ﹐₁, ₁





x y ﹐…﹐₂, ₂





x y ﹐_n, _n



相關係數 1



 



, n i X i Y i X Y X Y x y r n        



﹐ 迴歸直線（最適合直線）方程式 Y X Y, Y



X



X y  r  x      ﹒ 6. 參考數值﹕ 2 1.414 ﹐ 3 1.732 ﹐ 5 2.236 ﹐ 6 2.449 ﹐ 3.142﹒ 7. 對數值﹕log 2 0.301010  ﹐log 3 0.477110  ﹐log 5 0.699010  ﹐log 7 0.845110  ﹒