數學科 陳清風/桃園高中

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命中率分析

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數學科

陳清風/桃園高中

2

1070770

4 8

戰地記者龍騰報導

近幾年來,學測儼然成為升上大學的主要管道,今年試題是採用99 課綱的第七 年,整體而言,今年的試題難度中偏易,題目靈活,文字閱讀量及計算量適中,只要 掌握基本觀念就能作答,出現好幾題不錯的題目(如第4、6、11、13、C、D、F 題),

是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將是今年甄選入學的關鍵科目。

108 年 2 月 15 日

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命中率分析

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命中率分析

3

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大考風向球

前言

受少子化現象影響,學測報考人數逐年減少,今年約有13 萬 8 千多人報考,大學入學競爭仍是激 烈。今年為減輕考生壓力,首度改採「選考」,不用5 科全考,大學招生最多只能參採 4 科,並可將部 分科目合為一個組合,作為分發比序(繁星推薦)、倍率篩選(個人申請)的項目。然而根據大考中心 統計,報考數學的考生有13 萬 6 千多人,幾乎人人報考。

甄選入學仍是升大學的主流,今年「繁星推薦入學」共有66 所大學、1784 校系參加,提供 1 萬 6371 個招生名額。而「個人申請入學」則有 68 所大學、2092 個學系參加,提供 5 萬 4978 個招生名額。

兩個管道總計招生名額超過7 萬個,使得這份學測試題受到多方的關注。

99 課綱將數學課程的內容簡化,採用此課綱的學測已七年,整體的難易度如下:

102 年第一次採用,出乎大家意料的難;

103 年第二次採用,將難易度調回來了,是一份難易適中的試題;

104 年第三次採用,又是意外的難;

105 年第四次採用,調回難易適中;

106 年第五次採用,再回到難的一方;

107 年第六次採用,又調回難易適中;

108 年第七次採用,七年來最簡單,會讓放棄數學的人很後悔。

現就個人見解,針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。

108 學測命題特色

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大考風向球

5 歷年題型分配

今年試題的題型沒有改變,仍然包含單選題、多選題及選填題三大題,各大題的題數略有更動,

但總題數(20 題)及配分(每題 5 分)則維持不變。

題型

年度 單選題 多選題 選填題 總題數

102 年 6 6 8 20

103 年 6 6 8 20

104 年 4 6 10 20

105 年 6 7 7 20

106 年 7 6 7 20

107 年 7 5 8 20

108 年 6 7 7 20

108學測試題分布

今年試題的分布如下表(單元名稱的劃分是依據99 課綱):

冊 章 單元名稱 題號 配分 小計

1 數與式 8 5

25 2 多項式函數 2﹐12 10

3 指數﹑對數函數 3﹐5 10

1 數列與級數 7 5

2 排列﹑組合 4 5 25

3 機率 9﹐11 10

4 數據分析 6 5

1 三角 10﹐E 10

25 2 直線與圓 1﹐C 10

3 平面向量 G 5

1 空間向量 F 5

2 空間中的平面與直線 13﹐D 10 25

3 矩陣 A 5

4 二次曲線 B 5

觀察上表後,有以下看法:

1. 若以冊來分類,配分相當平均,各冊均占 25 分。

2. 若以章來分類,每一章都至少出一題,這應是學測的命題原則。

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試題評析

底下針對今年數學考題作評析:

1. 第 1 題:只考距離的概念,不須計算,這個難度很適合放第 1 題,但需注意 A 點不算在內。

2. 第 2 題:根據方程式解的定義,或利用因式分解,兩種方法都可解出。

3. 第 3 題:一開始使用指數律化簡是顯然的,但接著求正整數解時,就必須有分類的概念,有鑑別度。

4. 第 4 題:題意明確、生活化,是比往年簡單的排列組合題目。

5. 第 5 題:了解對數的定義,及指數函數y10x是遞增函數,就可解出。

6. 第 6 題:結合相關係數的意義及直線斜率的定義,題目新穎,是不錯的素養題,樂見這種考題。

7. 第 7 題:等差數列是學生很熟悉的數列,此題用一個等差數列的項來定義一數列,再問此數列的大 小順序,及是否仍為等差數列,不會太困難。

8. 第 8 題:很簡單的數線問題,答對率應該很高。

9. 第 9 題:了解機率的定義便可解出。但若能將「任取兩數」改為「任取相異兩數」,則題意較明確。

10. 第 10 題:三角形三個內角都是銳角且大小順序很容易排出,在此前提下,選項只問它們的三角比 大小,很佛心。

11. 第 11 題:題目敘述有點長,數據有點多,但只要根據題意,再利用機率的定義,就可解出。

12. 第 12 題:這麼多數學符號,狀似嚇人,其實只要了解多項式的除法定理,就可解出,而且還算是 常見的題目。

13. 第 13 題:「求過不共線三點的平面方程式」是教學的重點,且根據課程內容設計選項,可見出題者 的用心。

14. 第 A 題:結合矩陣的乘法及解二元聯立方程式設計的題目,難度低,放選填題的第一題很適合。

15. 第 B 題:考二次曲線的標準式,符合課綱。但若能加上「a 」的條件,則更理想。 0 16. 第 C 題:學測常會出現不需用到高中數學就可解出的題目,此題就是。

17. 第 D 題:讀懂題目,再用文氏圖表達,最後解三元一次聯立方程式。是一道結合時事與課程的素 養題。

18. 第 E 題:依題意求出各個角度,就可發現大三角形內有一個正三角形及一個等腰三角形,再利用 餘弦定理求出另一個三角形的一邊長。

19. 第 F 題:簡單有創意的空間概念題。

20. 第 G 題:放在試卷的最後一題應是命題者認為最難的一題,這題與往年的最後一題比較,難度中 下,不僅如此,它還有多種解法,足見命題者設定這份考題的難度不高。

21. 有「概念題」:今年有考單一概念的題目,如第 2 題。

22. 數據美化:數據的設計可看出命題者的用心,如第 11 題。

23. 選項細膩:答案與選項相同的設計可避免考生誤答,如第 1 題。

24. 計算量適當,符合學測精神。

25. 跨章節的題目量適當。

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大考風向球

7 結語

整體而言,題目靈活,文字閱讀量及計算量適中,只要掌握基本觀念就能作答,難度中偏易,出 現好幾題不錯的題目(如第4、6、11、13、C、D、F 題),是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學 將是今年甄選入學的關鍵科目。

大考中心所列數學考科的測驗目標,為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」

等三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主,較偏向概念性知識與程序性知識。往年這三方面 知能的試題各約占三分之一,今年應符合這個組題原則。相信大考中心會審慎檢視這份試卷,讓來年 的試題都符合學測評量的目標。

在99 課綱的框架內,對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法:

1. 基本概念:著重基本概念的靈活應用,一直是學測命題的中心想法。因此,加強基本概念的練習是 必做的功課。

2. 素養題:這必然是將來的命題趨勢。因為這類試題的敘述往往會比一般的題目長,所以應培養仔細 閱讀題目的耐性,及加強將問題與教材連結的能力。

3. 熱門單元:有幾個預期會考的單元沒出現,反而可能會成為明年的大熱門,值得注意。例如:線性 規劃、算幾不等式、轉移矩陣、標準差等。

4. 三星以下的單元:指考對標示三星以下的單元是不直接命題的,這些單元往往會出在學測,例如:

二次曲線(一星),數列與級數(二星),數與式(二星)等。

5. 跨章節題:學測從 14 個單元中命 20 題,必然會有幾題涵蓋兩個單元以上,也藉此提高試題的鑑別 度。因此,加強單元與單元之間的連結能力,多練習跨章節的題目,才能在眾多考生中勝出。

以上提出個人淺見供大家參考,尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

(8)

試題大剖析

第壹部分﹕選擇題(占 65 分)

(此份試卷解題係依據大學考試中心於 108 年 1 月 27 日所公告之答案為主)

說明﹕第1 題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案 卡之「選擇(填)題答案區」﹒各題答對者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項 者﹐該題以零分計算﹒

1

直線與圓

A

 

1,0 在單位圓x2y21上﹒試問﹕ 上除了 A點以外﹐還有幾個點到直線L y: 2x的距 離﹐等於A點到 L 的距離﹖

(1)1個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念:點到直線的距離﹑兩平行直線的距離﹒

答 案:(3)

解 析:如右圖﹐過 A點作直線L 平行直線 L 交圓1  於 B 點﹔

在直線L 的另一側﹐再作一直線L ﹐ 2

使得三平行直線L ﹐ L ﹐1 L 等距離﹐並交圓2  於 C ﹐ D 兩點﹒

因此﹐圓 上除了 A點外﹐還有 B ﹐ C ﹐ D 三點到直線 L 的距離﹐

等於A點到直線 L 的距離﹒

故選(3)﹒

一、單選題(占 30 分)

(9)

試題大剖析

9

2

多項式方程式

下列哪一個選項是方程式x3x24x  的解﹖(註﹕4 0 i  ) 1 (1) 2i (2) i (3) i (4) 2 (5) 4 ﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念:方程式解的定義﹑解方程式﹒

答 案:(1)

解 析:將 5 個選項逐一代入方程式檢查﹕

(1)

   

2i 3 2i 2 4 2

 

i        ﹒ 4 8i

 

4 8i 4 0

(2)

   

  i 3 i 2            ﹒ 4

 

i 4 i

 

1 4i 4 3 3i 0

(3)i3             ﹒ i2 4i 4 i

 

1 4i 4 3 3i 0

(4)2322         ﹒ 4 2 4 8 4 8 4 8 0 (5)4342   4 4 4 60 0 ﹒

故選(1)﹒

〈另解〉

將方程式因式分解﹐得

       

2 1 4 1 0 1 2 4 0

x x  x   xx   ﹐ 解得x 或 2i1  ﹒

故選(1)﹒

(10)

試題大剖析

3

指數

試問共有多少組正整數

k m n 滿足, ,

2 4 8k m n 512

(1)1組 (2) 2 組 (3) 3 組 (4) 4 組 (5) 0 組﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 3 章 指數﹑對數函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 3 單元 指數與對數函數 解題觀念:指數律﹑正整數解的個數﹒

答 案:(3)

解 析:依題意﹐利用指數律﹐得

2 3 2 3 9

2 2 2k m n 5122k mn ﹐ 2 再得k2m3n ﹒ 9

因為k m n 為正整數﹐所以, , n1,2﹒

n 時﹐1

m k 有,

  

1,4 ﹐

 

2,2 共 2 組解﹒

n 時﹐2

m k 有,

  

1,1 共1組解﹒

因此﹐共有2 1 3  組解﹒

故選(3)﹒

4

排列

廚師買了豬﹑雞﹑牛三種肉類食材以及白菜﹑豆腐﹑香菇三種素類食材﹒若廚師想用完這六種食 材作三道菜﹐每道菜可以只用一種食材或用多種食材﹐但每種食材只能使用一次﹐且每道菜一定 要有肉﹐試問食材的分配共有幾種方法﹖

(1) 3 (2) 6 (3) 9 (4)18 (5) 27 ﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 2 章 排列﹑組合

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 5 單元 排列﹑組合 解題觀念:乘法原理﹑重複排列﹒

答 案:(5)

解 析:依題意﹐三道菜恰一肉類﹐分別為豬﹑雞﹑牛﹒

因為白菜﹑豆腐﹑香菇的分配各有豬﹑雞﹑牛3 種選擇﹐所以由乘法原理﹐得食材的分配 共有3 3 3 27   種方法﹒

故選(5)﹒

(11)

試題大剖析

11

5

對數

設正實數b 滿足

log100 log



b

log100 log b ﹒試選出正確的選項﹒ 7

(1)1 b 10 (2) 10 b 10 (3)10 b 10 10 (4)10 10 b 100 (5)100 b 100 10﹒

出 處:龍騰版《數學 1》第 3 章 指數﹑對數函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 3 單元 指數與對數函數 解題觀念:對數的定義﹑解對數方程式﹒

答 案:(4)

解 析:因為 log100 2 ﹐所以

2log 2 log 7 3log 5 log 5

b  b  b  b ﹒ 3 解得

5

103

b ﹒ 又因為

3 5 3 2

102 10 10 ﹐所以10 10 b 100﹒ 故選(4)﹒

(12)

試題大剖析

6

二維數據分析

某超商依據過去的銷售紀錄﹐冬天平均氣溫在6 C 到 24 C 時﹐每日平均售出的咖啡數量與當天的 平均氣溫之相關係數為0.99﹐部分紀錄如下表﹒

平均氣溫( ) C 11 13 15 17 19 21 平均售出量(杯) 512 437 361 279 203 135 某日平均氣溫為8 C ﹐依據上述資訊推測﹐試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項﹖

(1) 570 杯 (2) 625 杯 (3) 700 杯 (4) 755 杯 (5) 800 杯﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 4 章 數據分析

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 7 單元 數據分析 解題觀念:相關係數的意義﹑直線的斜率﹒

答 案:(2)

解 析:因為相關係數為 0.99 ﹐所以散佈圖的所有點會相當靠近一條斜率為負的直線L ﹒觀察紀 錄表中平均售出量的變化﹕

C 11 13 15 17 19 21 512 437 361 279 203 135

 平均氣溫( ) 平均售出量(杯)

得知﹕平均氣溫每增加2 C ﹐平均售出量約減少 76 杯﹒因此﹐直線 L 的斜率約為 76 38

2

   ﹒

令8C 賣出的咖啡數量為 x ﹒由直線斜率的定義﹐得 512 38 626

11 8

x x

    

 ﹒

故選(2)﹒

75 76 82 76 68

(13)

試題大剖析

13 說明﹕第 7 題至第 13 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記

在答案卡之「選擇(填)題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得5 分﹔

答錯1 個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未 作答者﹐該題以零分計算﹒

7

數列

設各項都是實數的等差數列a ﹐1 a ﹐2 a ﹐…之公差為正實數3 ﹒試選出正確的選項﹒

(1)若bn  ﹐則an b1b2  b3 (2)若cnan2﹐則c1c2  c3

(3)若dnanan1﹐則d ﹐1 d ﹐2 d ﹐…是公差為3 的等差數列 (4)若enan ﹐則n e ﹐1 e ﹐2 e ﹐…是公差為3  的等差數列 1

(5)若 f 為n a ﹐1 a ﹐…﹐2 a 的算術平均數﹐則n f ﹐1 f ﹐2 f ﹐…是公差為3 的等差數列﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 1 章 數列與級數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 4 單元 數列與級數 解題觀念:等差數列的定義及其性質﹒

答 案:(1)(4)

解 析:(1) 因為公差為正數﹐所以a1a2a3 ﹒因此﹐

1 2 3

a a a

     

b1b2   ﹒ b3

(2) 當 an : 3, 2, 1   時﹐ cn : 9,4,1﹐此時c1c2 ﹒ c3

(3) 當 an :1,2,3,4時﹐ dn : 3,5,7不是公差為1 的等差數列﹒

(4) 因為

 

     

1 1 1 1 1 1

n n n n n n

e  e an  anaa    ﹐  所以 e 是公差為n  的等差數列﹒ 1

(5) 當 an :1,2,3,4時﹐ :1, ,2,3 5 2 2

fn 不是公差為1 的等差數列﹒

故選(1)(4)﹒

二、多選題(占 35 分)

(14)

試題大剖析

8

數線

在數線上﹐甲從點 開始做等速運動﹐同時乙也從點10 開始做等速運動﹐乙移動的速率是甲的 a8 倍﹐且a ﹒試選出正確的選項﹒ 1

(1)若甲朝負向移動而乙朝正向移動﹐則他們會相遇 (2)若甲朝負向移動且乙朝負向移動﹐則他們不會相遇 (3)若甲朝正向移動而乙朝負向移動﹐則乙先到達原點 0

(4)若甲朝正向移動且乙朝正向移動﹐則他們之間的距離會越來越大 (5)若甲朝正向移動而乙朝負向移動﹐且他們在點 2 相遇﹐則a ﹒ 2

出 處:龍騰版《數學 1》第 1 章 數與式

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 1 單元 數與式 解題觀念:數線上的幾何﹒

答 案:(4)(5)

解 析:依題意﹐得甲﹑乙兩人的位置如下﹕

(1) 甲向左﹑乙向右移動﹐他們不會相遇﹒

(2) 因為乙的速率較快﹐所以兩人都向左移動﹐乙會追到甲﹒

(3) 令甲的速率為1﹐乙的速率為1.1﹐且在時刻 t 時相遇﹐

t1.1t18﹐解得 18 60 2.1 7 t  ﹒

此時乙位於 60 4 10 1.1

7 7

   處﹐還未到達原點 0 ﹒

(4) 因為乙的速率較快﹐所以兩人都向右移動﹐他們之間的距離會越來越遠﹒

(5) 因為在點 2 相遇﹐所以甲走 6﹑乙走12 ﹐因此 12 6 2

a  ﹒ 故選(4)(5)﹒

9

機率

從1﹐ 2 ﹐ 3 ﹐ 4 ﹐ 5 ﹐ 6 ﹐ 7 這七個數字中隨機任取兩數﹒試選出正確的選項﹒

(1)其和大於10 的機率為1

7 (2)其和小於 5 的機率為1

7 (3)其和為奇數的機率為4 7 (4)其差為偶數的機率為5

7 (5)其積為奇數的機率為2 7﹒

(15)

試題大剖析

15 出 處:龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念:機率的定義﹒

答 案:(3)(5)

解 析:樣本空間的元素個數為C2721﹒

(1) 因為和大於 10 有 4,7﹐5,6﹐5,7﹐6,7 共 4 種﹐所以機率為 4 21﹒ (2) 因為和小於 5 有 1,2﹐1,3 共 2 種﹐所以機率為 2

21﹒ (3) 因為和為奇數﹐所以兩數為一奇數一偶數﹐其機率為

4 3

1 1 12 4

21 21 7 C C   ﹒ (4) 因為差為偶數﹐所以兩數為二奇數或二偶數﹐

其機率為

4 3

2 2 9 3

21 21 7 CC   ﹒

(5) 因為積為奇數﹐所以兩數均為奇數﹐其機率為

4

2 6 2

21 21 7 C   ﹒ 故選(3)(5)﹒

10

三角

在△ABC中﹐已知50       ﹒試選出正確的選項﹒ A B 60

(1) sinAsinB (2) sinBsinC (3) cosAcosB (4) sinCcosC (5) AB BC ﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念:三角形的幾何性質﹑三角比的定義﹒

答 案:(1)(2)

解 析:因為 50       ﹐所以 60A B 60      ﹒ C 80 因此﹐50         ﹒ A B C 90

(1) 因為 0       ﹐所以 sinA B 90 AsinB﹒ (2) 因為 0       ﹐所以 sinB C 90 BsinC﹒ (3) 因為 0       ﹐所以 cosA B 90 AcosB﹒ (4) 因為 45     ﹐所以 sinC 90 CcosC(5) 因為 C   ﹐所以 AB BCA  ﹒

故選(1)(2)﹒

(16)

試題大剖析

11

機率

某地區衛生機構成功訪問了500 人﹐其中年齡為 50 59 歲及60 歲(含)以上者分別有 220 名及 280 名﹒這500 名受訪者中﹐120 名曾做過大腸癌篩檢﹐其中有 75 名是在一年之前做的﹐有 45 名是在 一年之內做的﹒已知受訪者中﹐60 歲(含)以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 50 59 歲者曾做過大 腸癌篩檢比率的3.5 倍﹒試選出正確的選項﹒

(1)受訪者中年齡為 60 歲(含)以上者超過 60%

(2)由受訪者中隨機抽取兩人﹐此兩人的年齡皆落在 50 59 歲間的機率大於0.25

(3)由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人﹐其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前 受檢的機率為 45 75

2 ( )( ) 120 119

(4)這 500 名受訪者中﹐未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75%

(5)受訪者中 60 歲(含)以上者﹐曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名﹒

出 處:龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念:機率的定義﹒

答 案:(3)(5) 解 析:依題意﹐得

(1) 年齡為 60 歲(含)以上者占280

56% 60%

500  ﹒ (2) 機率為

220 2

500 2

220 219 220 219 1 1 1 500 499 500 499 2 2 4 0.25 C

C

       

 ﹒

(3) 機率為 145120175

2

45 75 2 45 75 120 119 120 119

2 C C

C

     ﹒

(4) 比率為500 120 380 500 500 76%

   ﹒

(5) 設 60 歲(含)以上且曾做過大腸癌篩檢有 x 人﹒依題意﹐得 120 3.5

280 220

x  x 120 7 280 220 2

xx

  

440x 280 120 7 1960x

     2400x 280 120 7

    ﹐ 解得x98﹐即超過90 人﹒

故選(3)(5)﹒

(17)

試題大剖析

17

12

多項式

f x ﹐1

 

f x 為實係數三次多項式﹐2

 

g x 為實係數二次多項式﹒已知

 

f x ﹐1

 

f x 除以2

 

g x 的

 

餘式分別為r x ﹐1

 

r x ﹒試選出正確的選項﹒ 2

 

(1)f x1

 

除以g x 的餘式為

 

r x1

 

(2) f x1

 

f x2

 

除以g x 的餘式為

 

r x1

 

r x2

 

(3) f x f x 除以1

   

2 g x 的餘式為

 

r x r x 1

   

2

(4) f x 除以1

 

3g x

 

的餘式為 1

1 ( ) 3 r x

(5) f x r x1

   

2f x r x2

   

1 可被g x 整除﹒

 

出 處:龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念:除法原理及其應用﹒

答 案:(1)(2)(5)

解 析:依題意﹐利用除法定理﹐可設

       

1 1 1

f xg x q xr x

       

2 2 2

f xg x q xr x

其中q x ﹐1

 

q x 為一次多項式﹐2

 

r x ﹐1

 

r x 為一次多項式或常數多項式﹒ 2

 

(1) 因為f x1

 

 g x q x

     

1r x1g x

 

q x1

 

   r x1

 

 ﹐ 且r x1

 

的次數低於二次﹐所以餘式為r x1

 

(2) 因為 f x1

 

f x2

 

g x q x

   

 1q x2

 

   r x1

 

r x2

 

 ﹐ 且r x1

 

r x2

 

的次數低於二次﹐所以餘式為r x1

 

r x2

 

﹒ (3) 因為r x r x 可能為二次多項式﹐所以不一定是餘式﹒ 1

   

2

(4) 因為 1

       

1 1

 

1

 

1

 

3 1

f xg x q xr x   g x 3q x r x ﹐ 且r x 的次數低於二次﹐所以餘式為1

 

r x ﹒ 1

 

(5) 因為 f x r x1

   

2f x r x2

   

1 g x q x

       

1r x r x1  2 g x q x

   

2r x r x2

   

 1

     

1 2 2

   

1

g x q x r x q x r x

    ﹐ 所以此選項正確﹒

故選(1)(2)(5)﹒

(18)

試題大剖析

13

平面方程式

坐標空間中有一平面P 過

0,0,0 ﹐

 

1,2,3 及

 

1,2,3

三點﹒試選出正確的選項﹒

(1)向量

0,3,2 與平面 P 垂直

(2)平面 P 與 xy 平面垂直 (3)點

0,4,6 在平面 P 上

(4)平面 P 包含 x 軸

(5)點

1,1,1 到平面 P 的距離是1﹒

出 處:龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念:向量的外積﹑兩平面的關係﹑平面方程式﹑點到平面的距離公式﹒

答 案:(3)(4)

解 析:因為平面 P 過O

0,0,0

A

1,2,3

B

1,2,3

三點﹐所以外積

1,2,3

 

1,2,3

2 3 32 3 3, 11, 11 22

0, 6,4

OA OB  

        

 

為平面P 的一個法向量﹒又因為平面 P 過點O

0,0,0

﹐所以P 的方程式為

6y 4z 0 3y 2z 0

      ﹒

(1) 因為

0,3,2 與平面 P 的法向量

 

0,3, 2 不平行﹐所以

 

0,3,2 與平面 P 不垂直﹒

(2) 因為 xy 平面﹕z 的法向量為0

0,0,1 ﹐且

0,0,1

 

0,3, 2    ﹐

2 0

即兩法向量不垂直﹐所以兩平面不垂直﹒

(3) 因為 3 4 2 6 0    ﹐所以點

0,4,6 在平面 P 上﹒

(4) 因為 x 軸上兩點O

0,0,0

1,0,0 都在平面 P 上﹐所以平面 P 包含 x 軸﹒

(5) 利用點到平面的距離公式﹐得

 

2

2 2

3 1 2 1 1 0 3 2 13

d   

 

   ﹒ 故選(3)(4)﹒

(19)

試題大剖析

19

第貳部分﹕選填題(占 35 分)

說明﹕1.第 A 至 G 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14-30)

2.每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

矩陣

x ﹐y 為實數﹐且滿足 3 1 3 6

2 4 1 6

1 x y

  

    

     

     

﹐則x3y ﹒

出 處:龍騰版《數學 4》第 3 章 矩陣

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 13 單元 矩陣 解題觀念:矩陣的相等﹑矩陣的乘法﹒

答 案: 4

解 析:由矩陣的乘法﹐得 3 3 6 3 3 2 4 1 6 2 4 5

x y x y

x y x y

    

 

        

  ﹐

解得 1

x ﹐2 3

y  ﹒故2 1 3

3 3 4

2 2

xy      ﹒

B

二次曲線

如圖(此為示意圖)﹐A ﹐ B ﹐ C ﹐ D 是橢圓

2 2

2 1

16 x y

a   的頂點﹒若四邊 形ABCD 的面積為 58 ﹐則 a ﹒(化為最簡分數)

出 處:龍騰版《數學 4》第 4 章 二次曲線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 14 單元 二次曲線 解題觀念:橢圓的標準式﹑三角形的面積﹒

答 案:29 4

解 析:由橢圓的標準式﹐得知 OA a ﹐OB ﹒ 4

因為四邊形ABCD 的面積等於OAB面積的4 倍﹐

所以 4

4 58 8 58 2

aa

    ﹐解得 29 a 4 ﹒

1415

1617

18

(20)

試題大剖析

C

某高中已有一個長90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒

若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為400 公尺 的跑道﹐跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐而 中間是上下各一條的直線跑道﹐直線跑道與足球練習場 的長邊平行(如示意圖)﹒則圖中一條直線跑道AB 長

度的最大可能整數值為 公尺﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念:圓的周長﹒

答 案:105

解 析:設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐

所以2 2 400 400 2 200 2

r AB ABr r

       公尺﹒

當 60 2 30

r  時﹐AB 有最大值200 30  200 30 3.14 105.8   公尺﹒

AB 的最大可能整數值為105 公尺﹒

D

三元一次聯立方程式

某次選舉中進行甲﹑乙﹑丙三項公投案﹐每項公投案一張選票﹐投票人可選擇領或不領﹒投票結 束後清點某投票所的選票﹐發現甲案有765 人領票﹑乙案有 537 人領票﹑丙案有 648 人領票﹐同時 領甲﹑乙﹑丙三案公投票的有224 人﹐並且每個人都至少領了兩張公投票﹒根據以上資訊﹐可知

同時領甲﹑乙兩案但沒有領丙案公投票者共有 人﹒

出 處:龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念:文氏圖﹑解聯立方程式﹒

答 案: 215

192021

222324

(21)

試題大剖析

21 解 析:依題意﹐畫文氏圖如右﹐且

224 765 541 224 537 313 224 648 424

x z x z

x y x y

y z y z

    

 

      

 

      

 

將三式相加後﹐再整理得 541 313 424

2 639

x y z      ﹒ 再得x639 424 215  ﹒

故同時領甲﹑乙兩案但沒有領丙案者共有215 人﹒

E

餘弦定理

如圖(此為示意圖)﹐在△ABC中﹐AD 交 BC 於 D 點﹐ BE 交 AD 於 E 點﹐且 30

ACB  ﹐ EDB  ﹐60 AEB120 ﹒ 若 CD15 ﹐ ED7 ﹐ 則

AB ﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念:解三角形﹒

答 案:13

解 析:依題意﹐可推得 BDE

△ 為正三角形﹐△ACD為等腰三角形﹒

因此﹐BE ﹐7 AE15 7 8  ﹒ 在△ABE中﹐利用餘弦定理﹐得

2 82 72 2 8 7 cos120

AB        64 49 56 169    ﹒ 故AB13﹒

2526

(22)

試題大剖析

F

空間概念

坐標空間中﹐考慮有一個頂點在平面z 上﹑且有另一個頂點在平面0 z 上的正立方體﹒則滿足6 前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 ﹒(化成最簡根式)

出 處:龍騰版《數學 4》第 1 章 空間向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 11 單元 空間向量 解題觀念:兩平行平面的距離﹑正立方體對角線長﹒

答 案: 2 3

解 析:設正立方體的邊長為 a ﹒

因為正立方體兩頂點最遠的距離為對角線長 3a ﹐且兩平行平面z 與0 z 的距離為 6﹐6 所以當 3a 時﹐ a 有最小值6 6

32 3﹒

G

平面向量

如圖(此為示意圖)﹐A﹐B ﹐C ﹐D 為平面上的四個點﹒已知 BC

  

AB AD

AC

BD

兩向量等長且互相垂直﹐則tan BAD  ﹒

出 處:龍騰版《數學 3》第 3 章 平面向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 10 單元 平面向量 解題觀念:向量的拆解﹑三角比的定義﹑和角公式﹒

答 案: 3

2728

2930

(23)

試題大剖析

23 解 析:依題意﹐令AC BD ﹐OA a1  ﹐OB b ﹐並定坐標如圖﹒

因為BC

  

AB AD﹐所以

1a b,

 

a b, 

 

a,1b

 

2 ,1 2a b

得1 a 2ab 1 2b﹐ 解得 1 1

3, 3

ab ﹒因此 tan 1 b 2

OAD a

    且 tan b 1 OAB a

   ﹒ 利用和角公式﹐得

 

2 1

tan tan 3

1 2 1

BAD OAD OAB

       

  ﹒

〈另解〉

利用向量的拆解﹐得 BC BA AD DC

   

  

﹒ 代入BC

  

AB AD

﹐得BA AD DC

    

  AB AD 整理得DC

 

2AB

﹐即 //

DC AB 且DC2AB﹒ 因此﹐△OCD~△OAB﹐且

OC OD DC 2

OAOBAB  ﹐

AC OA OC  3OABD OB OD  3OB﹒ 因為AC

BD

等長﹐所以OA OB ﹒ 又因為AC

BD

互相垂直﹐所以

tan OD 2OB 2 OAD OA OA

    且 tan OB 1 OAB OA

   ﹒ 利用和角公式﹐得

 

2 1

tan tan 3

1 2 1

BAD OAD OAB

       

  ﹒

(24)

試題大剖析

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為 d 的等差數列前 n 項之和為

2

1

 

2 n a n d

S  

 ﹔

首項為a ﹐公比為r (r )的等比數列前 n 項之和為1

1

1 a rn

S r

 

 ﹒ 2. 三角函數的和角公式﹕sin

A B

sin cosA Bcos sinA B

cos

A B

cos cosA Bsin sinA B

tan

A B

1 tan tantan AAtanBB

3. ABC 的正弦定理﹕ 2

sin sin sin

a b c

ABCRR 為ABC外接圓半徑)﹔

ABC 的餘弦定理﹕c2a2b22abcosC4. 一維數據 X ﹕x ﹐1 x ﹐…﹐2 x ﹐ n

算術平均數

1 2

1

1 1 n

X n i

i

x x x x

n n

   

標準差

 

2

1

1 n

X i X

i

n x

 

2 2

1

1 n

i X

i

x n

n

  

   

 

5. 二維數據

X Y ﹕,

 

x y ﹐1, 1

 

x y ﹐…﹐2, 2

 

x y ﹐ n, n

相關係數

  

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 

 

迴歸直線(最適合直線)方程式 , Y

 

Y X Y X

X

yrx

    ﹒

6. 參考數值﹕ 2 1.414 ﹐ 3 1.732 ﹐ 5 2.236 ﹐ 6 2.449 ﹐ 3.142﹒ 7. 對數值﹕log 2 0.301010  ﹐log 3 0.477110  ﹐log 5 0.699010  ﹐log 7 0.845110  ﹒ 8. 角錐體積 1

 底面積3  高﹒

Figure

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