數學科陳清風／桃園高中

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命中率分析

1

數學科

_{陳清風／桃園高中}

2

1070770

4 8

戰地記者龍騰報導

近幾年來，學測儼然成為升上大學的主要管道，今年試題是採用99 課綱的第七年，整體而言，今年的試題難度中偏易，題目靈活，文字閱讀量及計算量適中，只要掌握基本觀念就能作答，出現好幾題不錯的題目（如第4、6、11、13、C、D、F 題），

是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將是今年甄選入學的關鍵科目。

108 年 2 月 15 日

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命中率分析

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命中率分析

3

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大考風向球

前言

受少子化現象影響，學測報考人數逐年減少，今年約有13 萬 8 千多人報考，大學入學競爭仍是激烈。今年為減輕考生壓力，首度改採「選考」，不用5 科全考，大學招生最多只能參採 4 科，並可將部分科目合為一個組合，作為分發比序（繁星推薦）、倍率篩選（個人申請）的項目。然而根據大考中心統計，報考數學的考生有13 萬 6 千多人，幾乎人人報考。

甄選入學仍是升大學的主流，今年「繁星推薦入學」共有66 所大學、1784 校系參加，提供 1 萬 6371 個招生名額。而「個人申請入學」則有 68 所大學、2092 個學系參加，提供 5 萬 4978 個招生名額。

兩個管道總計招生名額超過7 萬個，使得這份學測試題受到多方的關注。

99 課綱將數學課程的內容簡化，採用此課綱的學測已七年，整體的難易度如下：

102 年第一次採用，出乎大家意料的難；

103 年第二次採用，將難易度調回來了，是一份難易適中的試題；

104 年第三次採用，又是意外的難；

105 年第四次採用，調回難易適中；

106 年第五次採用，再回到難的一方；

107 年第六次採用，又調回難易適中；

108 年第七次採用，七年來最簡單，會讓放棄數學的人很後悔。

現就個人見解，針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。

108 學測命題特色

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大考風向球

5 歷年題型分配

今年試題的題型沒有改變，仍然包含單選題、多選題及選填題三大題，各大題的題數略有更動，

但總題數（20 題）及配分（每題 5 分）則維持不變。

題型

年度單選題多選題選填題總題數

102 年 6 6 8 20

103 年 6 6 8 20

104 年 4 6 10 20

105 年 6 7 7 20

106 年 7 6 7 20

107 年 7 5 8 20

108 年 6 7 7 20

108學測試題分布

今年試題的分布如下表（單元名稱的劃分是依據99 課綱）：

冊章單元名稱題號配分小計

一

1 數與式 8 5

25 2 多項式函數 2﹐12 10

3 指數﹑對數函數 3﹐5 10

二

1 數列與級數 7 5

2 排列﹑組合 4 5 25

3 機率 9﹐11 10

4 數據分析 6 5

三

1 三角 10﹐E 10

25 2 直線與圓 1﹐C 10

3 平面向量 G 5

四

1 空間向量 F 5

2 空間中的平面與直線 13﹐D 10 25

3 矩陣 A 5

4 二次曲線 B 5

觀察上表後，有以下看法：

1. 若以冊來分類，配分相當平均，各冊均占 25 分。

2. 若以章來分類，每一章都至少出一題，這應是學測的命題原則。

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大考風向球

試題評析

底下針對今年數學考題作評析：

1. 第 1 題：只考距離的概念，不須計算，這個難度很適合放第 1 題，但需注意 A 點不算在內。

2. 第 2 題：根據方程式解的定義，或利用因式分解，兩種方法都可解出。

3. 第 3 題：一開始使用指數律化簡是顯然的，但接著求正整數解時，就必須有分類的概念，有鑑別度。

4. 第 4 題：題意明確、生活化，是比往年簡單的排列組合題目。

5. 第 5 題：了解對數的定義，及指數函數y10^x是遞增函數，就可解出。

6. 第 6 題：結合相關係數的意義及直線斜率的定義，題目新穎，是不錯的素養題，樂見這種考題。

7. 第 7 題：等差數列是學生很熟悉的數列，此題用一個等差數列的項來定義一數列，再問此數列的大小順序，及是否仍為等差數列，不會太困難。

8. 第 8 題：很簡單的數線問題，答對率應該很高。

9. 第 9 題：了解機率的定義便可解出。但若能將「任取兩數」改為「任取相異兩數」，則題意較明確。

10. 第 10 題：三角形三個內角都是銳角且大小順序很容易排出，在此前提下，選項只問它們的三角比大小，很佛心。

11. 第 11 題：題目敘述有點長，數據有點多，但只要根據題意，再利用機率的定義，就可解出。

12. 第 12 題：這麼多數學符號，狀似嚇人，其實只要了解多項式的除法定理，就可解出，而且還算是常見的題目。

13. 第 13 題：「求過不共線三點的平面方程式」是教學的重點，且根據課程內容設計選項，可見出題者的用心。

14. 第 A 題：結合矩陣的乘法及解二元聯立方程式設計的題目，難度低，放選填題的第一題很適合。

15. 第 B 題：考二次曲線的標準式，符合課綱。但若能加上「a 」的條件，則更理想。 0 16. 第 C 題：學測常會出現不需用到高中數學就可解出的題目，此題就是。

17. 第 D 題：讀懂題目，再用文氏圖表達，最後解三元一次聯立方程式。是一道結合時事與課程的素養題。

18. 第 E 題：依題意求出各個角度，就可發現大三角形內有一個正三角形及一個等腰三角形，再利用餘弦定理求出另一個三角形的一邊長。

19. 第 F 題：簡單有創意的空間概念題。

20. 第 G 題：放在試卷的最後一題應是命題者認為最難的一題，這題與往年的最後一題比較，難度中下，不僅如此，它還有多種解法，足見命題者設定這份考題的難度不高。

21. 有「概念題」：今年有考單一概念的題目，如第 2 題。

22. 數據美化：數據的設計可看出命題者的用心，如第 11 題。

23. 選項細膩：答案與選項相同的設計可避免考生誤答，如第 1 題。

24. 計算量適當，符合學測精神。

25. 跨章節的題目量適當。

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大考風向球

7 結語

整體而言，題目靈活，文字閱讀量及計算量適中，只要掌握基本觀念就能作答，難度中偏易，出現好幾題不錯的題目（如第4、6、11、13、C、D、F 題），是一份有鑑別度的試題。這也意味著數學將是今年甄選入學的關鍵科目。

大考中心所列數學考科的測驗目標，為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」

等三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主，較偏向概念性知識與程序性知識。往年這三方面知能的試題各約占三分之一，今年應符合這個組題原則。相信大考中心會審慎檢視這份試卷，讓來年的試題都符合學測評量的目標。

在99 課綱的框架內，對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法：

1. 基本概念：著重基本概念的靈活應用，一直是學測命題的中心想法。因此，加強基本概念的練習是必做的功課。

2. 素養題：這必然是將來的命題趨勢。因為這類試題的敘述往往會比一般的題目長，所以應培養仔細閱讀題目的耐性，及加強將問題與教材連結的能力。

3. 熱門單元：有幾個預期會考的單元沒出現，反而可能會成為明年的大熱門，值得注意。例如：線性規劃、算幾不等式、轉移矩陣、標準差等。

4. 三星以下的單元：指考對標示三星以下的單元是不直接命題的，這些單元往往會出在學測，例如：

二次曲線（一星），數列與級數（二星），數與式（二星）等。

5. 跨章節題：學測從 14 個單元中命 20 題，必然會有幾題涵蓋兩個單元以上，也藉此提高試題的鑑別度。因此，加強單元與單元之間的連結能力，多練習跨章節的題目，才能在眾多考生中勝出。

以上提出個人淺見供大家參考，尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

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試題大剖析

第壹部分﹕選擇題（占 65 分）

（此份試卷解題係依據大學考試中心於 108 年 1 月 27 日所公告之答案為主）

說明﹕第1 題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項 者﹐該題以零分計算﹒

1

直線與圓

點^A

 

^1,0 ^在單位圓^^：^x²^^y²^¹^{上﹒試問﹕} 上除了 A點以外﹐還有幾個點到直線L y： 2x的距離﹐等於A點到 L 的距離﹖

(1)1個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個﹒

出處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 9 單元直線與圓 解題觀念：點到直線的距離﹑兩平行直線的距離﹒

答案：(3)

解析：如右圖﹐過 A點作直線L 平行直線 L 交圓₁  於 B 點﹔

在直線L 的另一側﹐再作一直線L ﹐ ₂

使得三平行直線L ﹐ L ﹐₁ L 等距離﹐並交圓₂  於 C ﹐ D 兩點﹒

因此﹐圓 上除了 A點外﹐還有 B ﹐ C ﹐ D 三點到直線 L 的距離﹐

等於A點到直線 L 的距離﹒

故選(3)﹒

一､單選題（占 30 分）

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試題大剖析

9

2

多項式方程式

下列哪一個選項是方程式x³x²4x  的解﹖（註﹕4 0 i  ） 1 (1) 2i (2) i (3) i (4) 2 (5) 4 ﹒

出處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 2 單元多項式函數 解題觀念：方程式解的定義﹑解方程式﹒

答案：(1)

解析：將 5 個選項逐一代入方程式檢查﹕

(1)

   

^²ⁱ ³^{ }²ⁱ ²^{ }^{4 2}

 

ⁱ        ﹒ ^{4 8}ⁱ

 

⁴ ⁸ⁱ ^{4 0}

(2)

   

^{  }ⁱ ³ ⁱ ²            ﹒ ⁴

 

ⁱ ⁴ ⁱ

 

¹ ⁴ⁱ ⁴ ^{3 3}ⁱ ⁰

(3)ⁱ³             ﹒ ⁱ² ⁴ⁱ ⁴ ⁱ

 

¹ ⁴ⁱ ⁴ ^{3 3}ⁱ ⁰

(4)2³2²         ﹒ 4 2 4 8 4 8 4 8 0 (5)4³4²   4 4 4 60 0 ﹒

故選(1)﹒

〈另解〉

將方程式因式分解﹐得

       

2 1 4 1 0 1 2 4 0

x x  x   x x   ﹐ 解得x 或 2i1  ﹒

故選(1)﹒

(10)

試題大剖析

3

指數

試問共有多少組正整數



^{k m n 滿足}^{, ,}



^{2 4 8}^{k m n} ^⁵¹²^﹖

(1)1組 (2) 2 組 (3) 3 組 (4) 4 組 (5) 0 組﹒

出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數﹑對數函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 3 單元指數與對數函數 解題觀念：指數律﹑正整數解的個數﹒

答案：(3)

解析：依題意﹐利用指數律﹐得

2 3 2 3 9

2 2 2^k ^m ⁿ 5122^k^ ^m^ⁿ ﹐ 2 再得k2m3n ﹒ 9

因為k m n 為正整數﹐所以, , n1,2﹒

當n 時﹐1



^{m k 有}^,

  

^{1,4 ﹐}

 

2,2 共 2 組解﹒

當n 時﹐2



^{m k 有}^,

  

^{1,1 共1組解﹒}

因此﹐共有2 1 3  組解﹒

故選(3)﹒

4

排列

廚師買了豬﹑雞﹑牛三種肉類食材以及白菜﹑豆腐﹑香菇三種素類食材﹒若廚師想用完這六種食材作三道菜﹐每道菜可以只用一種食材或用多種食材﹐但每種食材只能使用一次﹐且每道菜一定要有肉﹐試問食材的分配共有幾種方法﹖

(1) 3 (2) 6 (3) 9 (4)18 (5) 27 ﹒

出處：龍騰版《數學 2》第 2 章排列﹑組合

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 5 單元排列﹑組合 解題觀念：乘法原理﹑重複排列﹒

答案：(5)

解析：依題意﹐三道菜恰一肉類﹐分別為豬﹑雞﹑牛﹒

因為白菜﹑豆腐﹑香菇的分配各有豬﹑雞﹑牛3 種選擇﹐所以由乘法原理﹐得食材的分配共有3 3 3 27   種方法﹒

故選(5)﹒

(11)

試題大剖析

11

5

對數

設正實數b 滿足



^{log100 log}



^b



^^{log100 log}^ ^b ﹒試選出正確的選項﹒ ⁷

(1)1 b 10 (2) 10 b 10 (3)10 b 10 10 (4)10 10 b 100 (5)100 b 100 10﹒

出處：龍騰版《數學 1》第 3 章指數﹑對數函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 3 單元指數與對數函數 解題觀念：對數的定義﹑解對數方程式﹒

答案：(4)

解析：因為 log100 2 ﹐所以

2log 2 log 7 3log 5 log 5

b  b  b  b ﹒ 3 解得

5

103

b ﹒ 又因為

3 5 3 2

102 10 10 ﹐所以10 10 b 100﹒ 故選(4)﹒

(12)

試題大剖析

6

二維數據分析

某超商依據過去的銷售紀錄﹐冬天平均氣溫在6 C 到 24 C 時﹐每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為0.99﹐部分紀錄如下表﹒

平均氣溫（ ） C 11 13 15 17 19 21 平均售出量（杯） 512 437 361 279 203 135 某日平均氣溫為8 C ﹐依據上述資訊推測﹐試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項﹖

(1) 570 杯 (2) 625 杯 (3) 700 杯 (4) 755 杯 (5) 800 杯﹒

出處：龍騰版《數學 2》第 4 章數據分析

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 7 單元數據分析 解題觀念：相關係數的意義﹑直線的斜率﹒

答案：(2)

解析：因為相關係數為 0.99 ﹐所以散佈圖的所有點會相當靠近一條斜率為負的直線L ﹒觀察紀 錄表中平均售出量的變化﹕

C 11 13 15 17 19 21 512 437 361 279 203 135

 平均氣溫（）平均售出量（杯）

得知﹕平均氣溫每增加2 C ﹐平均售出量約減少 76 杯﹒因此﹐直線 L 的斜率約為 76 38

2

   ﹒

令8C 賣出的咖啡數量為 x ﹒由直線斜率的定義﹐得 512 38 626

11 8

x x

    

 ﹒

故選(2)﹒

75 76 82 76 68

(13)

試題大剖析

13 說明﹕第 7 題至第 13 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記

在答案卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得5 分﹔

答錯1 個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未 作答者﹐該題以零分計算﹒

7

數列

設各項都是實數的等差數列a ﹐₁ a ﹐₂ a ﹐…之公差為正實數₃ ﹒試選出正確的選項﹒

(1)若b_n  ﹐則a_n b₁b₂  b₃ (2)若c_na_n²﹐則c₁c₂  c₃

(3)若d_na_na_n_₁﹐則d ﹐₁ d ﹐₂ d ﹐…是公差為₃ 的等差數列 (4)若e_na_n ﹐則n e ﹐₁ e ﹐₂ e ﹐…是公差為₃  的等差數列 1

(5)若 f 為_n a ﹐₁ a ﹐…﹐₂ a 的算術平均數﹐則_n f ﹐₁ f ﹐₂ f ﹐…是公差為₃ 的等差數列﹒

出處：龍騰版《數學 2》第 1 章數列與級數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 4 單元數列與級數 解題觀念：等差數列的定義及其性質﹒

答案：(1)(4)

解析：(1) 因為公差為正數﹐所以a₁a₂a₃ ﹒因此﹐

1 2 3

a a a

     

即b₁b₂   ﹒ b₃

(2) 當 a_n : 3, 2, 1   時﹐ c_n : 9,4,1﹐此時c₁c₂ ﹒ c₃

(3) 當 a_n :1,2,3,4時﹐ d_n : 3,5,7不是公差為1 的等差數列﹒

(4) 因為

 

     

1 1 1 1 1 1

n n n n n n

e_  e a_  n  a n  a_ a    ﹐  所以 e 是公差為_n  的等差數列﹒ 1

(5) 當 a_n :1,2,3,4時﹐ :1, ,2,3 5 2 2

fn 不是公差為1 的等差數列﹒

故選(1)(4)﹒

二､多選題（占 35 分）

(14)

試題大剖析

8

數線

在數線上﹐甲從點 開始做等速運動﹐同時乙也從點10 開始做等速運動﹐乙移動的速率是甲的 a8 倍﹐且a ﹒試選出正確的選項﹒ 1

(1)若甲朝負向移動而乙朝正向移動﹐則他們會相遇 (2)若甲朝負向移動且乙朝負向移動﹐則他們不會相遇 (3)若甲朝正向移動而乙朝負向移動﹐則乙先到達原點 0

(4)若甲朝正向移動且乙朝正向移動﹐則他們之間的距離會越來越大 (5)若甲朝正向移動而乙朝負向移動﹐且他們在點 2 相遇﹐則a ﹒ 2

出處：龍騰版《數學 1》第 1 章數與式

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 1 單元數與式 解題觀念：數線上的幾何﹒

答案：(4)(5)

解析：依題意﹐得甲﹑乙兩人的位置如下﹕

(1) 甲向左﹑乙向右移動﹐他們不會相遇﹒

(2) 因為乙的速率較快﹐所以兩人都向左移動﹐乙會追到甲﹒

(3) 令甲的速率為1﹐乙的速率為1.1﹐且在時刻 t 時相遇﹐

則t1.1t18﹐解得 18 60 2.1 7 t  ﹒

此時乙位於 60 4 10 1.1

7 7

   處﹐還未到達原點 0 ﹒

(4) 因為乙的速率較快﹐所以兩人都向右移動﹐他們之間的距離會越來越遠﹒

(5) 因為在點 2 相遇﹐所以甲走 6﹑乙走12 ﹐因此 12 6 2

a  ﹒ 故選(4)(5)﹒

9

機率

從1﹐ 2 ﹐ 3 ﹐ 4 ﹐ 5 ﹐ 6 ﹐ 7 這七個數字中隨機任取兩數﹒試選出正確的選項﹒

(1)其和大於10 的機率為1

7 (2)其和小於 5 的機率為1

7 (3)其和為奇數的機率為4 7 (4)其差為偶數的機率為5

7 (5)其積為奇數的機率為2 7﹒

(15)

試題大剖析

15 出處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 6 單元機率 解題觀念：機率的定義﹒

答案：(3)(5)

解析：樣本空間的元素個數為C₂⁷21﹒

(1) 因為和大於 10 有 4,7﹐5,6﹐5,7﹐6,7 共 4 種﹐所以機率為 4 21﹒ (2) 因為和小於 5 有 1,2﹐1,3 共 2 種﹐所以機率為 2

21﹒ (3) 因為和為奇數﹐所以兩數為一奇數一偶數﹐其機率為

4 3

1 1 12 4

21 21 7 C C   ﹒ (4) 因為差為偶數﹐所以兩數為二奇數或二偶數﹐

其機率為

4 3

2 2 9 3

21 21 7 C C   ﹒

(5) 因為積為奇數﹐所以兩數均為奇數﹐其機率為

4

2 6 2

21 21 7 C   ﹒ 故選(3)(5)﹒

10

三角

在△ABC中﹐已知50       ﹒試選出正確的選項﹒ A B 60

(1) sinAsinB (2) sinBsinC (3) cosAcosB (4) sinCcosC (5) AB BC ﹒

出處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角 解題觀念：三角形的幾何性質﹑三角比的定義﹒

答案：(1)(2)

解析：因為 50       ﹐所以 60A B 60      ﹒ C 80 因此﹐50         ﹒ A B C 90

(1) 因為 0       ﹐所以 sinA B 90 AsinB﹒ (2) 因為 0       ﹐所以 sinB C 90 BsinC﹒ (3) 因為 0       ﹐所以 cosA B 90 AcosB﹒ (4) 因為 45     ﹐所以 sinC 90 CcosC﹒ (5) 因為 C   ﹐所以 AB BCA  ﹒

故選(1)(2)﹒

(16)

試題大剖析

11

機率

某地區衛生機構成功訪問了500 人﹐其中年齡為 50 59 歲及60 歲（含）以上者分別有 220 名及 280 名﹒這500 名受訪者中﹐120 名曾做過大腸癌篩檢﹐其中有 75 名是在一年之前做的﹐有 45 名是在一年之內做的﹒已知受訪者中﹐60 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 50 59 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的3.5 倍﹒試選出正確的選項﹒

(1)受訪者中年齡為 60 歲（含）以上者超過 60%

(2)由受訪者中隨機抽取兩人﹐此兩人的年齡皆落在 50 59 歲間的機率大於0.25

(3)由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人﹐其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為 45 75

2 ( )( ) 120 119



(4)這 500 名受訪者中﹐未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 75%

(5)受訪者中 60 歲（含）以上者﹐曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名﹒

出處：龍騰版《數學 2》第 3 章機率

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 6 單元機率 解題觀念：機率的定義﹒

答案：(3)(5) 解析：依題意﹐得

(1) 年齡為 60 歲（含）以上者占280

56% 60%

500  ﹒ (2) 機率為

220 2

500 2

220 219 220 219 1 1 1 500 499 500 499 2 2 4 0.25 C

C

       

 ﹒

(3) 機率為 ¹⁴⁵₁₂₀¹⁷⁵

2

45 75 2 45 75 120 119 120 119

2 C C

C

     ﹒

(4) 比率為500 120 380 500 500 76%

   ﹒

(5) 設 60 歲（含）以上且曾做過大腸癌篩檢有 x 人﹒依題意﹐得 120 3.5

280 220

x  x 120 7 280 220 2

x x

  

440x 280 120 7 1960x

     2400x 280 120 7

    ﹐ 解得x98﹐即超過90 人﹒

故選(3)(5)﹒

(17)

試題大剖析

17

12

多項式

設 f x ﹐1

 

f x 為實係數三次多項式﹐2

 

g x 為實係數二次多項式﹒已知

 

f x ﹐1

 

f x 除以2

 

^{g x 的}

 

餘式分別為r x ﹐1

 

r x ﹒試選出正確的選項﹒ 2

 

(1)f x1

 

除以^{g x 的餘式為}

 

r x1

 

(2) f x1

 

 f x2

 

除以^{g x 的餘式為}

 

r x1

 

r x2

 

(3) f x f x 除以1

   

2 ^{g x 的餘式為}

 

r x r x 1

   

2

(4) f x 除以1

 

^^{3g x}

 

^的餘式為 1

1 ( ) 3 r x



(5) f x r x1

   

2  f x r x2

   

1 可被^{g x 整除﹒}

 

出處：龍騰版《數學 1》第 2 章多項式函數

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 2 單元多項式函數 解題觀念：除法原理及其應用﹒

答案：(1)(2)(5)

解析：依題意﹐利用除法定理﹐可設

       

1 1 1

f x  g x q x r x ﹐

       

2 2 2

f x g x q x r x ﹐

其中q x ﹐1

 

q x 為一次多項式﹐2

 

r x ﹐1

 

r x 為一次多項式或常數多項式﹒ 2

 

(1) 因為f x1

 

 g x q x

     

1 r x1 g x

 

q x1

 

   r x1

 

 ﹐ 且r x1

 

的次數低於二次﹐所以餘式為r x1

 

﹒

(2) 因為 f x1

 

 f x2

 

g x q x

   

 1 q x2

 

   r x1

 

r x2

 

 ﹐ 且r x1

 

r x2

 

的次數低於二次﹐所以餘式為r x1

 

r x2

 

﹒ (3) 因為r x r x 可能為二次多項式﹐所以不一定是餘式﹒ 1

   

2

(4) 因為 1

       

1 1

 

1

 

1

 

3 1

f x  g x q x r x   g x 3q x r x ﹐ 且r x 的次數低於二次﹐所以餘式為1

 

r x ﹒ 1

 

(5) 因為 f x r x1

   

2  f x r x2

   

1 g x q x

       

1 r x r x1  2 g x q x

   

2 r x r x2

   

 1

     

1 2 2

   

1

g x q x r x q x r x

    ﹐ 所以此選項正確﹒

故選(1)(2)(5)﹒

(18)

試題大剖析

13

平面方程式

坐標空間中有一平面P 過



^{0,0,0 ﹐}

 

^{1,2,3 及}

 

^^1,2,3



三點﹒試選出正確的選項﹒

(1)向量



0,3,2 與平面 P 垂直



(2)平面 P 與 xy 平面垂直 (3)點



0,4,6 在平面 P 上



(4)平面 P 包含 x 軸

(5)點



1,1,1 到平面 P 的距離是1﹒



出處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 12 單元空間中的平面與直線 解題觀念：向量的外積﹑兩平面的關係﹑平面方程式﹑點到平面的距離公式﹒

答案：(3)(4)

解析：因為平面 P 過^O



^0,0,0



^﹐^A



^1,2,3



^﹐^B



^^1,2,3



^{三點﹐所以外積}



^1,2,3

 

^1,2,3



^{2 3 3}_{2 3 3}^, ¹₁^, ¹_{1 2}²



^{0, 6,4}



OA OB  

        

 

為平面P 的一個法向量﹒又因為平面 P 過點^O



^0,0,0



^﹐所以^{P 的方程式為}

6y 4z 0 3y 2z 0

      ﹒

(1) 因為



0,3,2 與平面 P 的法向量

 

^{0,3, 2}^{ 不平行﹐所以}

 

0,3,2 與平面 P 不垂直﹒



(2) 因為 xy 平面﹕z 的法向量為0



^{0,0,1 ﹐且}





^0,0,1

 

^ ^{0,3, 2}^{    ﹐}



^{2 0}

即兩法向量不垂直﹐所以兩平面不垂直﹒

(3) 因為 3 4 2 6 0    ﹐所以點



0,4,6 在平面 P 上﹒



(4) 因為 x 軸上兩點^O



^0,0,0



^與



1,0,0 都在平面 P 上﹐所以平面 P 包含 x 軸﹒



(5) 利用點到平面的距離公式﹐得

 

²

2 2

3 1 2 1 1 0 3 2 13

d   

 

   ﹒ 故選(3)(4)﹒

(19)

試題大剖析

19

第貳部分﹕選填題（占 35 分）

說明﹕1.第 A 至 G 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14-30）

2.每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

矩陣

設x ﹐y 為實數﹐且滿足 3 1 3 6

2 4 1 6

1 x y

  

    

     

     

﹐則x3y ﹒

出處：龍騰版《數學 4》第 3 章矩陣

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 13 單元矩陣 解題觀念：矩陣的相等﹑矩陣的乘法﹒

答案： 4

解析：由矩陣的乘法﹐得 3 3 6 3 3 2 4 1 6 2 4 5

x y x y

x y x y

    

 

        

  ﹐

解得 1

x ﹐2 3

y  ﹒故2 1 3

3 3 4

2 2

x y      ﹒

B

二次曲線

如圖（此為示意圖）﹐A ﹐ B ﹐ C ﹐ D 是橢圓

2 2

2 1

16 x y

a   的頂點﹒若四邊形ABCD 的面積為 58 ﹐則 a ﹒（化為最簡分數）

出處：龍騰版《數學 4》第 4 章二次曲線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 14 單元二次曲線 解題觀念：橢圓的標準式﹑三角形的面積﹒

答案：29 4

解析：由橢圓的標準式﹐得知 OA a ﹐OB ﹒ 4

因為四邊形ABCD 的面積等於△OAB面積的4 倍﹐

所以 4

4 58 8 58 2

a a

    ﹐解得 29 a 4 ﹒

○¹⁴○¹⁵

○¹⁶○¹⁷

○¹⁸

(20)

試題大剖析

C

圓

某高中已有一個長90 公尺﹑寬 60 公尺的足球練習場﹒

若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為400 公尺的跑道﹐跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓﹐而中間是上下各一條的直線跑道﹐直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖）﹒則圖中一條直線跑道AB 長

度的最大可能整數值為公尺﹒

出處：龍騰版《數學 3》第 2 章直線與圓

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 9 單元直線與圓 解題觀念：圓的周長﹒

答案：105

解析：設內圈左右兩半圓的半徑都是 r 公尺﹒因為內圈總長度 400 公尺﹐

所以2 2 400 400 2 200 2

r AB AB r r

     ^   公尺﹒

當 60 2 30

r  時﹐AB 有最大值200 30  200 30 3.14 105.8   公尺﹒

故AB 的最大可能整數值為105 公尺﹒

D

三元一次聯立方程式

某次選舉中進行甲﹑乙﹑丙三項公投案﹐每項公投案一張選票﹐投票人可選擇領或不領﹒投票結束後清點某投票所的選票﹐發現甲案有765 人領票﹑乙案有 537 人領票﹑丙案有 648 人領票﹐同時領甲﹑乙﹑丙三案公投票的有224 人﹐並且每個人都至少領了兩張公投票﹒根據以上資訊﹐可知

同時領甲﹑乙兩案但沒有領丙案公投票者共有人﹒

出處：龍騰版《數學 4》第 2 章空間中的平面與直線

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 12 單元空間中的平面與直線 解題觀念：文氏圖﹑解聯立方程式﹒

答案： 215

○¹⁹○²⁰○²¹

○²²○²³○²⁴

(21)

試題大剖析

21 解析：依題意﹐畫文氏圖如右﹐且

224 765 541 224 537 313 224 648 424

x z x z

x y x y

y z y z

    

 

      

 

      

 

﹐

將三式相加後﹐再整理得 541 313 424

2 639

x y z      ﹒ 再得x639 424 215  ﹒

故同時領甲﹑乙兩案但沒有領丙案者共有215 人﹒

E

餘弦定理

如圖（此為示意圖）﹐在△ABC中﹐AD 交 BC 於 D 點﹐ BE 交 AD 於 E 點﹐且 30

ACB  ﹐ EDB  ﹐60 AEB120 ﹒ 若 CD15 ﹐ ED7 ﹐ 則

AB ﹒

出處：龍騰版《數學 3》第 1 章三角

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 8 單元三角 解題觀念：解三角形﹒

答案：13

解析：依題意﹐可推得 BDE

△ 為正三角形﹐△ACD為等腰三角形﹒

因此﹐BE ﹐7 AE15 7 8  ﹒ 在△ABE中﹐利用餘弦定理﹐得

2 82 72 2 8 7 cos120

AB        64 49 56 169    ﹒ 故AB13﹒

○²⁵○²⁶

(22)

試題大剖析

F

空間概念

坐標空間中﹐考慮有一個頂點在平面z 上﹑且有另一個頂點在平面0 z 上的正立方體﹒則滿足6 前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 ﹒（化成最簡根式）

出處：龍騰版《數學 4》第 1 章空間向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 11 單元空間向量 解題觀念：兩平行平面的距離﹑正立方體對角線長﹒

答案： 2 3

解析：設正立方體的邊長為 a ﹒

因為正立方體兩頂點最遠的距離為對角線長 3a ﹐且兩平行平面z 與0 z 的距離為 6﹐6 所以當 3a 時﹐ a 有最小值6 6

32 3﹒

G

平面向量

如圖（此為示意圖）﹐A﹐B ﹐C ﹐D 為平面上的四個點﹒已知 BC

  

AB AD

﹐ AC



﹑BD



兩向量等長且互相垂直﹐則tan BAD  ﹒

出處：龍騰版《數學 3》第 3 章平面向量

《【ALL PASS】數學學測總複習講義》第 10 單元平面向量 解題觀念：向量的拆解﹑三角比的定義﹑和角公式﹒

答案： 3

○²⁷ ○²⁸

○²⁹○³⁰

(23)

試題大剖析

23 解析：依題意﹐令AC BD  ﹐OA a1  ﹐OB b ﹐並定坐標如圖﹒

因為BC

  

AB AD _﹐所以



¹^^{a b}^,

 

^ ^{a b}^,^{ }

 

^a^,1^^b

 

^ ^{2 ,1 2}^a ^ ^b



^﹐

得1 a 2a且b 1 2b﹐ 解得 1 1

3, 3

a b ﹒因此 tan 1 b 2

OAD a

    且 tan b 1 OAB a

   ﹒ 利用和角公式﹐得

 

^{2 1}

tan tan 3

1 2 1

BAD OAD OAB 

       

  ﹒

〈另解〉

利用向量的拆解﹐得 BC BA AD DC

   

  

﹒ 代入BC

  

AB AD

﹐得BA AD DC

    

  AB AD _﹐ 整理得DC

 

2AB

﹐即 //

DC AB 且DC2AB﹒ 因此﹐△OCD~△OAB﹐且

OC OD DC 2

OA OB  AB  ﹐

得AC OA OC  3OA 且 BD OB OD  3OB﹒ 因為AC



與BD



等長﹐所以OA OB ﹒ 又因為AC



與BD



_{互相垂直﹐所以}

tan OD 2OB 2 OAD OA OA

    且 tan OB 1 OAB OA

   ﹒ 利用和角公式﹐得

 

^{2 1}

tan tan 3

1 2 1

BAD OAD OAB 

       

  ﹒

(24)

試題大剖析

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為 d 的等差數列前 n 項之和為



²



¹

 

2 n a n d

S  

 ﹔

首項為a ﹐公比為r （r ）的等比數列前 n 項之和為1



¹



1 a rn

S r

 

 ﹒ 2. 三角函數的和角公式﹕^sin



^{A B}^



^^{sin cos}^A ^B^^{cos sin}^A ^B^﹐

^cos



^{A B}^



^^{cos cos}^A ^B^^{sin sin}^A ^B^﹐

^tan



^{A B}^



^_{1 tan tan}^tan_ ^A^_A^tan^B_B^﹒

3. ABC 的正弦定理﹕ 2

sin sin sin

a b c

A B C  R（R 為ABC外接圓半徑）﹔

ABC 的餘弦定理﹕c²a²b²2abcosC﹒ 4. 一維數據 X ﹕x ﹐₁ x ﹐…﹐₂ x ﹐ _n

算術平均數



1 2



1

1 1 ⁿ

X n i

i

x x x x

n n





   ^ 



^﹐

標準差

 

²

1

1 ⁿ

X i X

i

n x

 





 ² ²

1

1 ⁿ

i X

i

x n

n 



  

   

 





^﹒ 5. 二維數據



^{X Y ﹕}^,

 

x y ﹐1, 1

 

x y ﹐…﹐2, 2

 

x y ﹐ n^, n



相關係數

  

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 



 





﹐

迴歸直線（最適合直線）方程式 , Y

 

Y X Y X

X

y  r  x 

    ﹒

6. 參考數值﹕ 2 1.414 ﹐ 3 1.732 ﹐ 5 2.236 ﹐ 6 2.449 ﹐ 3.142﹒ 7. 對數值﹕log 2 0.3010₁₀  ﹐log 3 0.4771₁₀  ﹐log 5 0.6990₁₀  ﹐log 7 0.8451₁₀  ﹒ 8. 角錐體積 1

 底面積3  高﹒

數學科 陳清風／桃園高中

數學科

2

4 8

戰地記者龍騰報導

108 學測命題特色

未來命題趨勢

第壹部分﹕選擇題（占 65 分）

1

 

一､單選題（占 30 分）

2

   

 

 

   

 

 

 

       

3







  

 



  

4

5







6

7

 

     

二､多選題（占 35 分）

8

9

10

11

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

   

 

 

   

   

 

       

       

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

數學科陳清風／桃園高中