第06期試題與參考解答

中學生通訊解題第六期 問題編號

三支燃燒速度均勻，但長度不同的燃燒棒 A、B、C，若三支燃燒棒燃燒完畢 的時間各為 55 分鐘、40 分鐘、20 分鐘，三支燃燒棒可同時燃燒也可分開燃燒， 每支燃燒棒的兩端可同時點燃或分開點燃，則應如何安排才能使這三支燃燒棒 恰在 45 分鐘燃燒完畢？ 參考解答： 1.將 C 棒兩端與 B 棒一端同時點燃。 2.待 C 棒燒完時，立即點燃 B 棒另一端與 A 棒的一端。 3.待 B 棒燒完時，立即點燃 A 棒另一端。待 A 棒燒完時，共計費時 45 20 15 10   （分鐘）。 問題編號 89602

設 x1 , x2 , x3 ,...,x7為自然數，且 x1<x2<x3<...<x7， 又 x1 + x2 + x3+...+x7 = 2000，求 x1 + x2 + x3的最大值。 參考解答： 由條件x1,x2,...,x6,x7每個後面的數比前一個數至少大1。 又2000 x1x2 ...x6x7  x₁(x₁1)(x₁2)...(x₁6) 7x₁(12...6)7x₁21 所以 x1 282₇5 故 x1的最大值為282 所以 2000282x2x3...x7 1718 x2 x3...x7 x2(x21)(x22)...(x25) 6x2 (12...5)6x2 15， 7 5 283 2  x 故 x2的最大值283. 當x1, x2都取最大值時，得到 2000282283x3x4...x7 1435x3x4x5x6x7  x3(x31)(x32)(x33)(x34) 5x3(1234)5x3 10， x3 285 故 x3的最大值為285 所以x1x2 x3的最大值為282283285850. 問題編號 89603

ABC 的中線AM 、角平分線AE、和高AD將BAC 分成 4 等分， 求BAC 的大小。(請詳加說明理由) 參考解答： 〈解法一〉 如圖一所示，因為將角 A 作 4 等分的角必把弧 BTC 截為相等的 4 等弧。 即( =(=(=( 所以SU //BC 因為高AU 垂直BC必也垂直SU 所以線段AS是一條直徑 因為 M 是弦BC的中點 T 是弧BTC的中點 所以TM 必通過圓心如圖（二） 這就是說，TM 將與任一直徑相交於圓心 因為TM 與AS相交於 M 所以 M 圓心,BC為直徑 所以角 A 為直角。 〈解法二〉 設AB y_,AC x,DC a,ME b,ADh



EADCAD（已知）, ADE ACD90,AD  AD（公共邊） ADE ADC  AE  ACx,EDDC a 由題意AM 為ABC之中線 BM  2ab 對 ABE 而言，AM 為角平分線，由內角平分線定理知： ME BM AE AB   b b a x y _ 2  對ABC而言，AE為角平分線，由內角平分線知： A B _M E D C A B _D C E M S T U (圖一) B O T M C (圖二)

EC BE ACAB   a b a a b a x y _  _  2 ) ( 2  a b a b b a    2 _{ 2 2} 2a b  b 2a（邊長取正號） 對 ADE 而言, _h2 _x2 _a2 對 ADB 而言, ₂









2









2 2 2 3 1 2 x a h     由以上兩式可得 _x2 _a2 _



_21



2_x2_



_{32 2}



2_a2 



_{22 2}



_x2 _



_{1612 2}



_a2  _x2 _



_{42 2}



_a2



_h2 _{ x}2_a2 _



_{32 2}



_a2 _h



_21



_{a（取正號）} 對 ADM 而言, AD h



21



a

MDMEED 2aa



21



a

ADM 為一等腰直角三角形, MAD45 由題意知：BAC2 MAD 24590。 〈解法三〉

設CAD ，由題意知DAE EAM MABCAD

設ADh,DC  x,ME y



EADCAD（已知）, ADE ACD90,AD  AD（公共邊） ADE ADC  EDDC x 由題意AM 為ABC之中線 BM  2xy 則（由 EAD ）, h x   tan _{， （由 EAD} ）, h y x    2 tan （由 EAD ）, h y x   3 2 3 tan  設 h y y h x

x ,  ，則tan  x,tan2 xy_,tan3 3x2y

x y x x _{ }     _{2 2} 1 2 tan 1 tan 2 2 tan    (1)





x y x x x x x x x x x 2 3 3 1 3 1 2 1 1 2 2 tan tan 1 2 tan tan 2 tan 3 tan ₂ 2 2 2                       (2) 由(1)式 ₂3 1 x x x y   

代入(2)式得        2 3 2 2 1 ) ( 2 3 3 1 3 x x x x x x x _     2 3 2 2 1 2 2 3 1 8 x x x x x 0 ) 1 6 ( 4 _{ x}2 _{ } x x 2 32 6 , 0 2 _   x x 3 8 x0, 21, 21, 21, 21 1 tan 0 45 0 180 4 0          所以合乎條件之_x_tan  ₂₁_  _tan1_x_22.5 故BAC4 422.590 問題編號 89604

冬梅善畫，有一天畫好三張牡丹，兩張黃菊，摯友春蓮、夏冰、秋雨看了讚 不絕口，冬梅暗藏起其中二張，在三位摯友背部各貼了一張畫(贈送)，並且要 她們去猜：自己背部貼的是牡丹或黃菊。冬梅先讓春蓮看清夏冰、秋雨背部的 畫，春蓮看過後想了一下，回答「不知道」。其次夏冰再看另外兩人背部的畫， 夏冰看過後，考慮再三，還是搖頭。此時，秋雨心想：前面兩人很慎重思考後 都回答不知道，我雖然未看春蓮、夏冰背後的畫，但我已經知道自己背部貼的 畫是牡丹或黃菊了。請問秋雨如何推知的？ 參考解答： 1.因黃菊只有兩張，當春蓮看過夏雨、秋冰背部的畫後，答說「不知道」，這 項資訊告訴秋雨及夏冰： 「夏冰、秋雨背部的〝畫作〞至少一張是牡丹」 (A) （不可能兩張都是黃菊） 2.當夏冰看過春蓮、秋雨背部的畫後，仍說「不知道」，這項資訊告訴秋雨： 「秋雨背部的〝畫作〞是牡丹」 (B) 因為，若秋雨背部的畫作是「黃菊」時，由結論(A)，夏冰就知道自己背後 的畫是牡丹，不應答「不知道」。 3.故秋雨背部的畫是牡丹。 問題編號 89605

有一矩形 ABCD，AB=a，BC =b 其中 a<b，如圖，現在我們用下列步驟 將其剪開拼成一個與原矩形等面積的正方形。 (1)首先求出此正方形的邊長 c=。 (2)以 B 為圓心，正方形的邊長為半徑畫圓弧，交AD於 E，過 C 作BE的垂 線 垂足為 F。 (3)今沿BE剪下三角形 ABE，並拼裝在原矩形右側，可得一個平行四邊形 EBCE1，再沿CF 剪下三角形 BCF，並將其拼裝在平行四邊形的上方，而 得一個四邊形 FCE1F1，則此四邊形即為所求之正方形。 (a)請說明這個四邊形 FCE1F1即為所求的正方形。

(b)今任取兩個線段 a,b，形成一個矩形 ABCD 且_{=a,=b，請問在何種條} 件下，可依上述的 3 個步驟做出與矩形 ABCD 等面積的正方形？

參考解答：

(a)因為 c=，所以如果可以說明四邊形是一個邊長為 c 的正方形，則就可得出 此四邊形 FCE1F1即為所求的正方形。

由(3_)可知

EAB=CFB=90_{，ABE+CBF=90}_{=FCB+CBF，ABE=FCB。} ABE  FCB  AB:BE=FC:CB  FC=。 因為(3_{)故ABE=DCE} 1，所以 DCE1+DCF=ABE+DCF=CBF+DCF=90 所以四邊形 FCE1F1為邊長 c 的正方形。 (b)若要依前面的步驟拼裝成正方形，則 F 點必須要落在BE上，否則若 F 點落在BE的延長線上，則無法剪得BCF，因此我們要找出 a,b 在何 種關係下保證能使得 F 點落在上。 設 BF=y，因為ABE  FCB，故 FC=， 直角三角形 BFC 中 y2_=BC2_FC2_=b2_{ab，故 y=，} 若 F 點必須要落在上，則 yBE= y2_{abb2a。} 反之，若 F 點落在外，則 b>2a。 B C A E D E₁ F B _C A E D E₁ F F₁ A E D F A E D E₁ F

解題重點： 1.剪下的三角形經過移動拼裝到別處，此時移動前與移動後的三角形會全等。 2.利用三角形全等、相似的性質即可說明四邊形 FCE1F1是一個邊長為 c 的正 方形即為所求的正方形。 3.第二小題的解題重點在於，C 對直線 BE 的垂足 F 須落在線段 BE 上，因此 再利用ABE 與FCB 兩個三角形相似，即可得 b2a 這個條件。