石墨烯層狀結構光學性質之研究
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(2) 摘要 此篇論文主要以轉移矩陣法(Transfer Matrix Method, TMM)來模擬石墨烯層 狀結構在 THz 下的光學性質。. 在第一個主題中，我們將由 TMM 來模擬 Si 和 SiO2 所形成的光子晶體在 THz 下不同入射角度的光子能隙的變化。. 在第二個主題中，我們將單層的石墨烯參雜在由 Si 和 SiO2 所形成的光子晶 體的不同位置中，並藉由改變石墨烯的化學勢以及電磁波在 TE 和 TM 的不同入射 角度，來探導其對光子能隙的變化。. 在第三個主題，則是將石墨烯放在每一層的 Si 和 SiO2 中，同樣改變石墨烯 的化學勢以及電磁波在 TE 和 TM 的不同的入射角度，來探導其對光子能隙的變化。 在低頻的範圍與出現了第一個主題中的沒有出現的截止頻率，在不同角度的 TE 波變化趨勢也與前三種結構的變化略有不同。. 關鍵字：光子晶體、光子能隙、石墨烯、轉移矩陣法. i.
(3) Abstract In this thesis, we shall study the optical properties in graphene layered structures. There are two topics to be studied. In the first topic, we used transfer matrix method (TMM) to investigate photonic crystal used by Si and SiO2 and a layer of graphene. In these structures, we could find the photonic band gap (PBG) will be shifted as the angle of incident increase. And PBG will increase as the TE wave angle of incident increase, but TM wave is opposite. In the second topic, we also used the same method to investigate photonic crystal used by (Si/SiO2/graphene). In the structure, we could find the cutoff frequency and PBG will be shifted as the chemical potential increase or angle of incident increase. And PBG will increase as the TE and TM wave angle of incident increase.. Keyword : photonic crystal, photonic band gap, graphene, transfer matrix method. ii.
(4) Acknowledgement 首先我要感謝的是我的指導教授吳謙讓老師，研究所的這兩年來 老師細心的指導我在課業上以及寫論文時碰到的問題，期間與老師不 斷的討論下，終於解決了碰到的所有困難，才讓這篇論文得以完成， 感謝老師在學生的論文上所花費的時間與精力，在此由衷的感謝老師 的幫忙。 在學期間，也感謝吳家和教授與楊宗哲教授時常特地北上來師大 給予我們指教與評點，因為有你們的幫忙，使得這篇論文才能順利地 進行下去。同時我也要感謝我們實驗室的各個夥伴，侯大鈞學長、黃 華乾同學、劉奕暉同學、余宗同學等人，大家一同討論課業與做研究， 讓我在這過程中學到了許多。口試期間，也感謝吳家和教授、楊宗哲 教授和郭文凱教授的細心指點與寶貴的意見，使得本論文能更趨完 美。 最後，我要感謝我的家人，在我求學期間的包容與關懷，感謝你 們總是在背後默默的支持我，讓我能夠專注地在課業上，擁有源源不 絕的動力面對不同的挑戰，感謝一路陪伴我的家人，謹以此篇論文獻 給我最親愛的家人。. iii.
(5) 目錄 Abstract…………………………………………………………………...i Acknowledgement……………………………………………………….iii 目錄……………………………………………………………………...iv 第一章 導論……………………………………………………………1 1-1. 石墨烯簡介與應用………………………………………1. 1-2. 光子晶體簡介……………………………………………1. 1-3. 研究動機…………………………………………………2. 1-4. 論文概述…………………………………………………2. 第二章 轉移矩陣法……………………………………………………3 2-1 轉移矩陣法簡介…………………………………………3 2-2 單層介質動態矩陣………………………………………3 2-3 單層轉移矩陣……………………………………………6 2-4 多層轉移矩陣……………………………………………8 2-5 透射率與反射率…………………………………..……11 第三章 石墨烯在層狀結構中的光學性質……………………………12 3-1 簡介……………………………………………..………12 3-2-1 基本方程式……………………………………..……12 3-2-2 石墨烯轉移矩陣……………………………..………13 iv.
(6) 3-3-1 數值結果與討論…………………………..…………16 3-3-2 參雜單層石墨烯 (結構一) ……………………...…18 3-3-3 參雜單層石墨烯 (結構二) …………………...……24 3-3-4 參雜單層石墨烯 (結構三) …………………...……29 第四章 石墨烯光子晶體的光學性質…………………………………34 4-1 簡介………………………………………………………34 4-2 基本方程式……………………………………..………35 4-3 數值結果與討論……………………………..…………35 第五章 結論……………………………………………………………45 第六章 參考文獻………………………………………………....……47. v.
(7) 第一章 導論 1-1 石墨烯簡介與應用. 石墨烯(graphene)是由碳原子以 sp2 混成軌域鍵結形成蜂巢晶格(honeycomb crystal lattice）排列構成的單層二維晶體。在 2004 年由 Andrei Konstantinovich Geim 和 Konstantin Sergeevich Novoselov 以膠帶剝離的方法，取得單層的石墨烯， 證實石墨烯的存在。. 單層石墨烯在可見光到近紅外光下的吸收率約為 2.2% [1,2,3]，此外也可 透過外加電壓改變吸收率[4,5]，導熱系數約為 5300 W/m·K，超過金剛石，常溫 下電子遷移率超過 15000 cm2/V·s，電阻率只約 10-6 Ω·cm，比銀更低，為目前 世上電阻率最小的材料。因為它的電阻率極低，電子的移動速度極快，因此被期 待可用來發展出更薄、導電速度更快的新一代電子元件或電晶體。由於石墨烯實 質上是一種透明、良好的導體，也適合用來製造觸控螢幕、太陽能電池等[6]， 而氧化石墨烯甚至被認為可應用在癌症治療上，因為癌細胞與正常細胞的電子密 度不同，而氧化石墨烯可附著在癌細胞上，能為標靶藥物所使用，不過目前僅在 研究階段中[7]。. 1-2 光子晶體簡介. 光子晶體是只在空間上，其介電系數或折射率會呈現周期性排列的結構的物 體，而當介電係數的變化足夠大且變化周期與光波長相當時，光波的色散關係會出 1.
(8) 現帶狀結構，而這個帶狀結構一般稱為光子能隙(Photonic Band structures， PBG) [6]。光子晶體依照排列的方式可分為一維、二維和三維的的結構，以下為示意圖 Fig. 1-1。. Fig. 1-1 光子晶體排列方法示意圖 [11]. 1-3 研究動機. 探討將石墨烯參雜在周期性的層狀結構內的不同光學性質，主要以研究各個 的光子能隙(PBG)為主。光子能隙會使某些頻率範圍的電磁波無法在物體內傳播， 在光子能隙的範圍內，電磁波會全部被反射回去。在此將石墨烯放在層狀結構的 不同位置探討對於 PBG 的影響，例如將石墨烯至於第一層、中間、最後一層或是 每一層周期結構均有石墨烯所形成的光子晶體。希望能藉由改變不同的入射角度、 化學勢 或結構等參數來研究光子能隙的變化以及透射結果。. 1-4 論文概述 第一章是石墨烯的簡介與研究動機、第二章是理論方法，主要是介紹轉移矩 陣法(Transfer Matrix Method)、第三章與第四章則是研究石墨烯不同的排列方 式下對於 PBG 的改變與影響，第五章則是結論。. 2.
(9) 第二章 轉移矩陣法(TMM) 2-1 轉移矩陣法簡介 這個章節中，將介紹轉移矩陣法(Transfer Matrix Method)的推導過程，用來分析 多層結構的光學性質，推導過程主要是參考 Optical Waves in Layered Media 這本 書 [8]。. 2-2 單層介質動態矩陣. n1. n2 kt. kr. r. t. x. i ki. Fig. 2-1 reflection and refraction of plane wave at a boundary between two dielectric media [8]. 假設入射波為. 、反射波為. 、透射波為. 。. 利用 x=0 的邊界上相位連續，可得. (2-1) 3.
(10) 此即為折射定律與反射定律。. Fig. 2-2 reflection and refraction of TE wave [8]. 為了處理更多層的結構，首先假定一 TE 波從 xz 平面入射，各電場表示如下. (2-2). 磁場可由法拉地定律獲得 (2-3) 其中. ，特徵組抗. 。. 參考圖 2-2 可得 (2-4) (2-5) 4.
(11) 將(2-4)、(2-5)合併寫成矩陣形式. (2-6). 我們定義在介質. 中 TE 波的動態矩陣(dynamical matrices)如下. (2-7). Fig. 2-3 reflection and refraction of TM wave [8]. 5.
(12) 同理，我們可由 Fig.2-3 可得 TM 波的動態矩陣如下. (2-8). 2-3 單層轉移矩陣. Fig. 2-4. A thin layer of dielectric material [8]. (2-9). 假設電場為. 6.
(13) (2-10) 其中 是波傳播向量(Propagation Wave Vector)在 z 方向上的分量，. 的左行波. 和右行波又可寫成下列式子. (2-11). 這裡我們假設入射的電磁波為 TE 波，可得. (2-12). 是入射方向與 x 軸的夾角， 和 在每層均為常數。. 假設. 為向右傳波的振幅，. 為向左傳波的振幅，並定義下列式子. (2-13). 若將. 中的向左振幅和向右振幅寫成行向量，我們可得. (2-14). (2-15). (2-16). 7.
(14) D1,D2,D3 均為動態矩陣(Dynamical matrices). (2-17). 其中. ，. 為每層的角度，且與. 和. 相關，關係式如下. , (2-15)中的 P2 稱為傳播矩陣，. (2-18). 可以表示成下列式子 (2-19). 從(2-14)到(2-16)式，A1、B1 和 A’1、B’1 兩震幅之間的關係式可以寫成以下式 子. (2-20). 2-4 多層轉移矩陣. 參考 Fig. 2-5，現在考慮多層結構，各層結構的介電常數如下. 8.
(15) Fig. 2-6 A multilayer dielectric medium [8] 第 層的厚度我們假設為. (2-21) 電場的通解為. (2-22). 根據 Fig. 2-6 電場的分布可寫為下列式子. (2-23). 為 X 軸波向量的分量 (2-24) 9.
(16) 根據(2-11)和(2-23)，在. 接面的平面波振幅由 和 表示。使用同 2-2-2. 的方法，我們可得. (2-25). (2-26). 用. 表示，. ，. ，矩陣可寫成. (2-27). (2-28). (2-29). 和. 之間的關係可寫成下列式子. 由上式整理我們可得. (2-30) 10.
(17) M 矩陣(總傳輸矩陣)可表示為. (2-31). (2-31) 的結構示意圖如下. Fig. 2-7 [8]. 2-5 透射率與反射率. (2-32). (2-33). (2-34). 11.
(18) 第三章 石墨烯在層狀結構中的光學性質 3-1 簡介 這個章節中，將使用最常見的兩種材料 Si 和 SiO2 做週期性的排列結構如圖 Fig. 3-1 所示，然後分別將單一層的石墨烯參雜在此結構中不同的位置，然後 改變不同的化學勢 以及不同的入射角度 ，再利用第二章所介紹的方法來分析， 並探討不同化學勢與入射角度對光子能隙(Photonic Band Gap，PBG)的影響 da. . db. Si SiO Si 2. N-Period. Fig. 3-1 基礎結構圖. 3-2-1 基本方程式 根據 Fig. 3-1 的結構，我們有參數如下 ,. ：. ：. 。. (3-1). 12.
(19) (3-2). 3-2-2 石墨烯轉移矩陣 由 Kubo 公式我們可知石墨烯導電率主要由帶間導電率 組成. 與帶內導電率. 。一般來說，帶間導電率通常可忽略不計，. 主要由帶內導電率決定[9]。帶內導電率可由 Drude 模型展開可得[10] (3-3). (3-4). ℏ 。. . a1exp(ik1zz). a2exp(ik2zz). . . b1exp(-ik1zz). b1exp(-ik2zz) X Z. Fig. 3-2. 單層石墨烯在兩介質中間 [10]. 假設 TM 波(p-wave)的磁場偏振沿著 y 軸方向，我們可寫成下列式子. (3-5). (3-6) 13.
(20) 電場與磁場在接面根據邊界條件我們可得. (3-7). (3-8). 其中. 根據歐姆定律我們可得. (3-9). 從(2-35)到(2-37)我們可得. (3-10). (3-11). ，. (3-12). 假設 TE 波(s-wave)的電場偏振方向沿著 y 軸，根據邊界條件和歐姆定律，同理 可得. (3-13). ，. 14. (3-14).
(21) 以下是石墨烯導電率對頻率做圖. 0.05. 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. Conductivity (Re). 0.04. 0.03. 0.02. 0.01. 0.00 0. 2. 4. 6. 8. f (THz). Fig. 3-3. 石墨烯實部導電率分布圖. 0.025. 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. Conductivity (-Im). 0.020. 0.015. 0.010. 0.005. 0.000. -0.005 0. 2. 4. 6. f (THz). Fig. 3-4. 石墨烯虛部導電率分布圖. 15. 8.
(22) 3-3-1 數值結果與討論 以下我們將 TM 波以不同角度入射到 Fig. 3-1 的結構中，探討角度與光子能隙 (Photonic Band Gap，PBG)之間的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6 TM wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-5 TM 波 透射率對頻率之圖形 (基礎結構). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.035. 5.967. 1.932. 15o. 4.071. 5.988. 1.917. 30o. 4.177. 6.048. 1.871. 45o. 4.345. 6.124. 1.779. 60o. 4.538. 6.200. 1.662. 75o. 4.690. 6.270. 1.580. 光子能隙 PBG 隨著角度的增加而有逐漸下降趨勢，0o 角時，PBG 的中心在 5 (THz)， 隨著角度的增加，PBG 的中心也向右偏移，到 75o 角時 PBG 的中心在 5.48 (THz)。 接著，我們將 TE 波以不同角度入射到 Fig. 3-1 的結構中，探討角度與光子能隙 16.
(23) 之間的關係，結果如下圖 Fig. 3-6. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6 TE wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-6 TE 波 透射率對頻率之圖形 (基礎結構). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.035. 5.967. 1.932. 15o. 4.045. 6.017. 1.972. 30o. 4.073. 6.153. 2.080. 45o. 4.111. 6.359. 2.248. 60o. 4.142. 6.589. 2.447. 75o. 4.154. 6.790. 2.636. o. 光子能隙 PBG 的頻寬隨著角度的增加而逐漸增加，0 角時，PBG 的中心在 5 (THz)， 隨著角度的增加，PBG 的中心也向右偏移，到 75o 角時 PBG 的中心在 5.472 (THz)。. 17.
(24) 7.0. fR. TE 6.5 TM. f (THz). 6.0. 5.5. Omnidirectional Band 5.0. 4.5. 4.0. fL 3.5 0. 20. 40. 60. Angle of incident ( ) Fig. A 頻率對入射角度之圖形 (基礎結構). 3-3-2 參雜單層石墨烯 (結構一) da. . SiO2. Graphene. ds. db. Si SiO2. N-Period. Fig. 3-7 參雜單層石墨烯 (結構一). 在此結構中，我們假設光在空氣中從左邊入射，其總傳輸矩陣可寫為下列式 子。 18.
(25) (3-15). 根據 Fig. 3-5 的結構，我們有參數如下 ：. ：. ,. 。. 以下我們將 TM 波入射角固定為 0o，改變不同的化學勢 ，來探討光子能隙 (Photonic Band Gap，PBG)與 之間的關係。. 1.2 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 1.0 0.8. T. TM wave 0.6 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-8 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構一). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 4.040. 5.967. 1.927. 4.040. 5.973. 1.933. 4.045. 5.977. 1.932. 4.050. 5.981. 1.931. 19.
(26) 在改變不同的化學勢 後可發現，PBG 不隨 而改變，PBG 的範圍約在 4(THz)到 6 (THz)之間，中心約在 5 (THz)，頻寬平均為 1.931 (THz)。. 接著，我們固定. ，然後改變 TM 波不同的入射角度，探討 PBG 與入射. 角度的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6. TM wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-9 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構一). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.045. 5.972. 1.927. 15o. 4.085. 5.997. 1.912. 30o. 4.193. 6.058. 1.865. 45o. 4.360. 6.139. 1.779. 60o. 4.559. 6.215. 1.656. 75o. 4.716. 6.291. 1.575. 20.
(27) 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0o 時的 1.927 (THz)逐漸減 少為在 75o 時的 1.575 (THz)。PBG 的中心也隨著角度增加而向右偏移，在 75o 時 PBG 中心約在 5.503 (THz)。. 接著，我們將 TE 波入射角固定為 0o，改變不同的化學勢 ，來探討光子能隙 (Photonic Band Gap，PBG)與 之間的關係。. 1.2 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 1.0. T. 0.8 0.6. TE wave. 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-10 TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構一). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 4.040. 5.967. 1.927. 4.040. 5.973. 1.933. 4.045. 5.977. 1.932. 4.050. 5.981. 1.931. 21.
(28) 與預期結果相同，在 0o 角入射下，TE 與 TM 波的結果一模一樣。之後在同樣 0o 角入射的條件下，將 TE 與 TM 波合併探討。在改變不同的化學勢 後可發現，PBG 不隨 而改變，PBG 的範圍約在 4(THz)到 6 (THz)之間，中心約在 5 (THz)，頻 寬平均為 1.931 (THz)。. 然後，我們固定. ，然後改變 TE 波不同的入射角度，探討 PBG 與入射. 角度的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6 TE wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-11 TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構一). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.045. 5.972. 1.927. 15o. 4.055. 6.023. 1.968. 30o. 4.090. 6.159. 2.069. 45o. 4.121. 6.363. 2.242. 60o. 4.151. 6.594. 2.443. 75o. 4.159. 6.793. 2.634. 22.
(29) 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0o 時的 1.927 (THz)逐漸增 加為在 75o 時的 2.634 (THz)。PBG 的中心也隨著角度增加而向右偏移，在 75o 時 PBG 中心在 5.476 (THz)。. 7.0. fR. TE 6.5 TM. f (THz). 6.0. 5.5. Omnidirectional Band 5.0. 4.5. 4.0. fL 3.5 0. 20. 40. 60. Angle of incident ( ) Fig. B 頻率對入射角度之圖形 (結構一). 23.
(30) . Graphene. 3-3-3 參雜單層石墨烯 (結構二) da. db. SiO2 Si. Si. N-Period Fig. 3-12 參雜單層石墨烯 (結構二). 在此結構中，我們假設光在空氣中從左邊入射，其總傳輸矩陣可寫為下列式 子。. (3-16). 根據 Fig. 3-10 的結構，我們有參數如下 ：. ：. ,. 。. 以下我們將入射角固定為 0o，改變不同的化學勢 ，來探討光子能隙(Photonic Band Gap，PBG)與 之間的關係。因垂直入射時，TE 與 TM 波的結果將會相同， 故在此將不分開討論。. 24.
(31) 1.2 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 1.0. T. 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz) Fig. 3-13. 透射率對頻率之圖形 (結構二). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 4.034. 5.941. 1.907. 4.020. 5.930. 1.910. 4.010. 5.916. 1.906. 4.004. 5.904. 1.900. 在改變不同的化學勢 後可發現，PBG 幾乎不隨 而改變，PBG 的範圍約在 4 (THz) 到 6 (THz)之間，中心在 5 (THz)，頻寬平均為 1.906 (THz)，平均頻寬在各個 不同的 下，均略小於結構一的 PBG 頻寬約 0.025 (THz)。. 25.
(32) 接著，我們固定. ，然後改變 TM 波不同的入射角度，探討 PBG 與入射. 角度的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6. TM wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-14 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構二). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0. 4.015. 5.920. 1.905. 15o. 4.050. 5.941. 1.891. 30o. 4.156. 5.992. 1.836. 45o. 4.315. 6.068. 1.753. 60o. 4.491. 6.169. 1.678. 75o. 4.613. 6.296. 1.656. o. o. 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0 時的 1.905 (THz)逐漸減 少為在 75o 時的 1.575 (THz)。PBG 的中心也隨著角度增加而向右偏移，在 75o 時 PBG 中心約在 5.455 (THz)。. 26.
(33) 然後，我們同樣固定. ，然後改變 TE 波不同的入射角度，探討 PBG 與. 入射角度的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6. TE wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-15 TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構二). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.015. 5.920. 1.905. 15o. 4.024. 5.972. 1.948. 30o. 4.055. 6.108. 2.053. 45o. 4.094. 6.317. 2.223. 60o. 4.126. 6.556. 2.430. 75o. 4.139. 6.779. 2.640. 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0o 時的 1.905 (THz)逐漸增 加為在 75o 時的 2.640 (THz)。PBG 的中心也隨著角度增加而向右偏移，在 75o 時 PBG 中心約在 5.459 (THz)。. 27.
(34) 7.0. fR. TE 6.5 TM. f (THz). 6.0. 5.5. Omnidirectional Band 5.0. 4.5. 4.0. fL 3.5 0. 20. 40. 60. Angle of incident ( ) Fig. C 頻率對入射角度之圖形 (結構二). 28.
(35) . da. db. Si. SiO2. Si. Graphene. 3-3-4 參雜單層石墨烯 (結構三). N-Period. Fig. 3-16 參雜單層石墨烯 (結構三). 在此結構中，我們假設光在空氣中從左邊入射，其總傳輸矩陣可寫為下列式 子。. (3-16). 根據 Fig. 3-14 的結構，我們有參數如下 ：. ：. ,. 。. 以下我們將入射角固定為 0o，改變不同的化學勢 ，來探討光子能隙(Photonic Band Gap，PBG)與 之間的關係。因垂直入射時，TE 與 TM 波的結果將會相同， 故在此將不分開討論。. 29.
(36) 1.2 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 1.0. T. 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz) Fig. 3-17. 透射率對頻率之圖形 (結構三). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 4.015. 5.997. 1.982. 4.020. 5.997. 1.977. 4.023. 5.992. 1.969. 4.027. 5.989. 1.962. 在改變不同的化學勢 後可發現，PBG 幾乎不隨 而改變，PBG 的範圍約在 4 (THz) 到 6 (THz)之間，中心在 5 (THz)，頻寬平均為 1.972 (THz)，平均頻寬在各個 不同的 下，大於結構一的 PBG 頻寬約 0.041 (THz)，大於結構二的 PBG 頻寬約 0.066 (THz). 30.
(37) 接著，我們固定. ，然後改變 TM 波不同的入射角度，探討 PBG 與入射. 角度的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6. TM wave 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-18 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構三). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0. 4.020. 5.992. 1.972. 15o. 4.055. 6.018. 1.963. 30o. 4.157. 6.078. 1.921. 45o. 4.310. 6.159. 1.849. 60o. 4.498. 6.231. 1.733. 75o. 4.696. 6.257. 1.561. o. o. 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0 時的 1.972 (THz)逐漸減 少為在 75o 時的 1.561 (THz)。PBG 的中心也隨著角度增加而向右偏移，在 75o 時 PBG 中心約在 5.477 (THz)。. 31.
(38) 然後，我們同樣固定. ，然後改變 TE 波不同的入射角度，探討 PBG 與. 入射角度的關係。. 1.2 0o 15o 30o 45o 60o 75o. 1.0. T. 0.8 0.6. TE wave. 0.4 0.2 0.0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. f (THz). Fig. 3-19 TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構三). fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.020. 5.992. 1.972. 15o. 4.033. 6.042. 2.009. 30o. 4.063. 6.185. 2.122. 45o. 4.106. 6.392. 2.286. 60o. 4.146. 6.556. 2.410. 75o. 4.167. 6.804. 2.637. 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0o 時的 1.972 (THz)逐漸增 加為在 75o 時的 2.637 (THz)。PBG 的中心也隨著角度增加而向右偏移，在 75o 時 PBG 中心約在 5.484 (THz)。. 32.
(39) 7.0. fR. TE 6.5 TM. f (THz). 6.0. 5.5. Omnidirectional Band 5.0. 4.5. 4.0. fL 3.5 0. 20. 40. 60. Angle of incident ( ) Fig. D 頻率對入射角度之圖形 (結構三). 33.
(40) 第四章 石墨烯光子晶體的光學性質 4-1 簡介 這個章節中，我們同樣使用最常見的兩種材料 Si 和 SiO2 與石墨烯做週期性 的排列結構如圖 Fig. 4-1 所示，分別將石墨烯參雜 Si 和 SiO2 的結構中，然後 改變不同的化學勢 以及不同的入射角度 ，再利用第二章所介紹的方法來分析， 並探討不同化學勢與入射角度對光子能隙(Photonic Band Gap，PBG)的影響. db. . Si. Graphene. da. SiO2. Si. N-Period Fig. 4-1 石墨烯光子晶體結構圖 (結構四). 34. SiO2.
(41) 4-2 基本方程式. 根據 Fig. 4-1 的結構，我們有參數如下 ,. ：. ：. 。在此結構中，我們假設光在空氣. 中從左邊入射，利用第二章與第三章的公式我們可得，其總傳輸矩陣可寫為下列 式子。 (3-15). 4-3 數值結果與討論. 我們將入射角固定為 0o，改變不同的化學勢 ，來探討光子能隙(Photonic Band Gap，PBG)與 之間的關係。因垂直入射時，TE 與 TM 波的結果將會相同， 故在此將不分開討論。. 1.0. 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 0.8. T. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0. 0. 2. 4. f (THz) 35. 6.
(42) Fig. 4-1 透射率對頻率之圖形 (結構四) 由 Fig. 4-1 我們可以發現，PBG 會隨 上升而向右偏移，而且頻率在 2 (THz)以 下時出現了截止頻率，所以我們以下將分為 0 (THz)-3 (THz) 與 3 (THz)-7 (THz) 探討。. 1.0. 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 0.8. T. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. f (THz) Fig. 4-2. 透射率對頻率之圖形 (結構四). fcutoff (THz) 0.797 1.218 1.514 1.746. 我們將此表做成截止頻率對 之圖形如下 Fig. 4-3。. 36. 3.0.
(43) Cutoff frequency (THz). 1.8. 1.6. 1.4. 1.2. 1.0. 0.8 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. c eV Fig. 4-3. 截止頻率對 之圖形 (結構四). 由上圖我們可知，截止頻率明顯會隨著 的增加而從 0.797 (THz)上升到 1.746 (THz). 1.0. 0.2 eV 0.4 eV 0.6 eV 0.8 eV. 0.8. T. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0. 3. 4. 5. 6. f (THz) Fig. 4-4. 透射率對頻率之圖形 (結構四) 37. 7.
(44) fL (THz). fR (THz). PBG (THz). PBG 中心(THz). 4.133. 6.041. 1.908. 5.087. 4.217. 6.117. 1.900. 5.167. 4.292. 6.197. 1.905. 5.245. 4.356. 6.274. 1.918. 5.315. 在改變不同的化學勢 後可發現，PBG 的頻寬不隨 而改變，但 PBG 的範圍會隨 的上升而向右偏移，中心從. 的 5.087 (THz) 偏移到了. 時的 5.315 (THz)，PBG 頻寬平均為 1.908 (THz)。. 接著，我們固定 角度的關係。. ，然後改變 TM 波不同的入射角度，探討 PBG 與入射. 1.0 o. 0 15o o 30 o 45 60o o 75. 0.8. TM wave. T. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0. 0. 2. 4. 6. f (THz). Fig. 4-5 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構四). 38. 8.
(45) 由 Fig. 4-5 我們可以發現，頻率在 2 (THz)以下時出現了截止頻率，所以我們以 下將分為 0 (THz)-3 (THz) 與 3 (THz)-8 (THz)探討。. 0.5 o. 0 15o o 30 o 45 60o o 75. 0.4. T. 0.3. TM wave. 0.2. 0.1. 0.0. -0.1. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. f (THz). Fig. 4-6 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構四). fcutoff (THz) 0o. 1.376. 15o. 1.381. 30o. 1.399. 45o. 1.427. 60o. 1.468. 75o. 1.534. 我們將此表做成截止頻率對角度之圖形如下 Fig. 4-7。. 39. 3.0.
(46) 1.54. Cutoff frequency (THz). 1.52 1.50. TM wave. 1.48 1.46 1.44 1.42 1.40 1.38 0. 20. 40. 60. 80. degree 截止頻率對角度之圖形 (結構四). Fig. 4-7. TM 波的截止頻率會隨著角度增加而從 0o 角的 1.376 (THz)上升到 75o 角的 1.534 (THz)，比較 Fig. 4-3 和 Fig. 4-7 後我們可發現，TM 波的角度改變對截止頻率 影響較 的改變而來的小。. 1.0 o. 0 o 15 o 30 o 45 o 60 o 75. 0.8. T. 0.6. 0.4. 0.2. TM wave. 0.0. 3. 4. 5. 6. 7. f (THz). Fig. 4-8 TM 波 透射率對頻率之圖形 (結構四) 40. 8.
(47) fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.256. 6.156. 1.900. 15o. 4.284. 6.187. 1.903. 30o. 4.360. 6.278. 1.918. 45o. 4.474. 6.405. 1.931. 60o. 4.599. 6.537. 1.938. 75o. 4.685. 6.649. 1.964. 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0o 時的 1.900 (THz)逐漸增 加為在 75o 時的 1.964 (THz)。PBG 的中心也隨著 0o 時的 5.206 (THz)向右偏移到 75o 時的 5.667 (THz)。. 接著，我們同樣固定. ，然後改變 TE 波不同的入射角度，探討 PBG 與. 入射角度的關係。. 1.0 o. 0 o 15 o 30 o 45 o 60 o 75. 0.8. T. 0.6. TE wave. 0.4. 0.2. 0.0. 0. 2. 4. 6. f (THz). Fig. 4-9 TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構四). 41. 8.
(48) 由 Fig. 4-9 我們同樣可以發現，頻率在 2 (THz)以下時出現了截止頻率，所以我 們以下將分為 0 (THz)-3 (THz) 與 3 (THz)-8 (THz)探討。. 1.0 o. 0 o 15 o 30 o 45 o 60 o 75. 0.8. T. 0.6. TE wave. 0.4. 0.2. 0.0. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. f (THz). Fig. 4-10 TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構四). fcutoff (THz) 0o. 1.375. 15o. 1.390. 30o. 1.428. 45o. 1.489. 60o. 1.568. 75o. 1.703. 我們將此表做成截止頻率對角度之圖形如下 Fig. 4-11。. 42. 3.0.
(49) Cutoff frequency (THz). 1.7. TE wave 1.6. 1.5. 1.4. 0. 20. 40. 60. 80. degree Fig. 4-11 截止頻率對角度之圖形 (結構四). TE 波的截止頻率會隨著角度增加而從 0o 角的 1.375 (THz)上升到 75o 角的 1.703 (THz)，比較 Fig. 4-3 和 Fig. 4-11 我們可發現，TE 波的角度改變對截止頻率 影響也較 的改變而來的小。. 1.0. 0o o 15 o 30 o 45 o 60 o 75. TE wave. 0.8. T. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0. 3. 4. 5. 6. 7. f (THz). Fig. 4-12. TE 波 透射率對頻率之圖形 (結構四) 43. 8.
(50) fL (THz). fR (THz). PBG (THz). 0o. 4.257. 6.155. 1.898. 15o. 4.272. 6.206. 1.934. 30o. 4.313. 6.341. 2.028. 45o. 4.376. 6.541. 2.165. 60o. 4.428. 6.765. 2.337. 75o. 4.461. 6.949. 2.488. 由上可發現，隨著入射角度的增加 PBG 的頻寬則由在 0o 時的 1.898 (THz)逐漸增 加為在 75o 時的 2.488 (THz)。PBG 的中心也隨著 0o 時的 5.206 (THz)向右偏移到 75o 時的 5.705 (THz)。. 7.5 TE. fR. 7.0 TM. f (THz). 6.5. 6.0. 5.5. Omnidirectional Band. 5.0. 4.5. fL. 4.0 0. 20. 40. 60. Angle of incident ( ) Fig. E 頻率對入射角度之圖形 (結構四). 44.
(51) 第五章 結論 在第三章中，我們可以發現改變石墨烯的化學勢 對於光子能隙 PBG 的影響 不大；而隨著入射角度的增加 PBG 均有向右偏移的情形，TM 波的 PBG 頻寬都有 變小的趨勢，而 TE 波的 PBG 頻寬卻剛好像反有增加的趨勢。結構三的排列方式 能增加最多的 PBG 頻寬；而在結構二低角度入射時的 PBG 頻寬會比原本基礎結構 的 PBG 頻寬來的窄。. 第四章中，Si、SiO2 以及石墨烯以光子晶體的方式排列時，在 2 (THz)以下 均出現截止頻率，截止頻率會隨著角度或化學勢 的增加而上升。在不同角度下， TE 與 TM 波的 PBG 頻寬均會隨著角度增加而上升。TM 波的 PBG 頻寬在入射角大 o. 15 之後會大於基礎結構的 PBG 頻寬，而 TE 波的 PBG 頻寬均比基礎結構來的窄。. 2.8. 基礎 結構. Bandwidth (THz). 2.6. 結構 一 結構 二. 2.4. 結構 三 結構 四. 2.2. 2.0. 1.8. TM wave 1.6. TE wave. 1.4 0. 20. 40. 60. Angle of incident ( ). Fig. 5-1 光子能隙頻寬對入射角度之圖形 45. 80.
(52) 2.00. Bandwidth (THz). 1.98. 1.96. 結構 一 結構 二. 1.94. 結構 三 1.92. 結構 四. 1.90. 1.88 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. c (eV) Fig. 5-2 光子能隙頻寬對 之圖形. 46. 0.8. 0.9.
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