數學科學能力競賽複試試題

(1)

九十六學年度師大附中數學競賽決賽題目卷

一、填充題：（直接寫答案即可，每題15 分） 1. 已知1 i 與2 i 是方程式 8 7 6 5 4 3 2 10x 78x 273x 546x 676x 546x 273x 78x10 0 的兩根，請寫出其他六根。 2. 已知₀_x_₂__, y_ f₍x₎__cosx__sin2 x_，當

x



a

_{時， y 有最大值}_b_，求

a



_b __。 3. 直線y 2xm_和圓_x2 _{ y}2 _1 交於 A 、 B 兩點，以

x

軸正方向為始邊，OA為終邊的角為



、 OB為終邊的角為，則sin(  )  。 4. 若a N ，設f a( )為a中各位數字中非零數之倒數和，ex： (12) 1 1 1 2 f   ； (2007) 1 1 2 7 f   。又n N ，令 10 1 ( ) n n a S f a  



，求使Sn為整數之最小n值為。二、計算證明題：（需列出合理過程） 5. 數列

 

an 滿足 1 2 1 1 , 7 25 a  a  ，且當n3時，a an1 n2 7a an n212a an n1。求an的一般式。（15 分） 6. 有一個拋物線，與x3y4切於(4,0)，且與5x3y 16切於(4, 12) 。求此拋物線方程式。（15 分） 7. 複數

z

滿足條件z4的主幅角為 4  ，設u _z _z _i 3 6 1     _，當  z z  _時，

u

_{有最大值，求}z__。（15 分） 8. 在ABC中，  C 2 B；在BAC內部一點P，滿足PB PC 且AP AC。試證： 1 3 BAP BAC    （20 分） 9. 已知



ABC

中，內切圓O， 含的旁切圓為A Oa，如右圖。 (1) 圓O、Oa半徑分別為2、5，BC4，試求



ABC

的面積。（10 分） (2) 若 、B C含的旁切圓分別為Ob、Oc，圓O、Oa、 b O 、Oc的半徑分別為

r

、ra、rb、rc 試證： r r r ra b c 1 1 1 1 _ _ _ （15 分） 10. 以下 4 小題中，後小題可利用前小題的結果證明，前小題不能使用後小題結果 Oa O A B C

(2)

(1) 平面上 4 個點，兩兩連線，最長線段長 L ，最短線段長l ，試證：  2 l L 。（8 分） (2) 平面上 6 個點，用 13 條線段連結，求證：必存在 4 個點，它們兩兩之間都有線段相連。（6 分） (3) 平面上 6 個點中，兩兩間最大距離為 2，求距離超過 2的點對至多有幾對？並證明之。（10 分） (4) 請說明如何作出 6 個點使符合(3)的對數。（6 分）